Ana¡Lisis ¡Tico

7/24/2019 AnaLisis Tico

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David JornetVicente Montesinos

Alicia Roca

ANLISIS MATEMTICO

Departamento de Matemtica Aplicada

Escuela Tcnica Superior de Ingenieros de Telecomunicacin

UNIVERSIDAD POLITCNICA DE VALENCIA

EDITORIAL UPV Ref.: 2003.320


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Dibujo de la portada:Elisa Montesinos Pustkowska

David Jornet

Vicente Mostesinos

Alicia Roca

Edita: EDITORIAL DE LA UPV

Camino de Vera, s/n46071 VALENCIA

Tel. 96-387 70 12

Fax 96-387 79 12

Imprime: REPROVAL, S.L.

Tel. 96-369 22 72

Depsito Legal: V-2497-2003

ISBN: 84-9705-411-3


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A Carolina y mama,

A Alba.

A Danusia, Alek y Elisa.

A Jaime.

A Teresita y a Jose Ma.


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Si no lo sientes, no lo lograras;si no brota del almay, con fluidez de fuerza original,somete, firme, el corazon de todos los oyentes,no, ya puedes quedarte bien sentado!

J. W. Goethe: Fausto (Primera Parte)

Y es razon averiguadaque aquello que mas cuesta,se estima y debe de estimar en mas.

Miguel de Cervantes: Don Quijote de la Mancha (Primera Parte, Captulo 38)


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Prologo

A la hora de escribir unas notas sobre una materia como el An alisis Matematico,lo primero que hemos considerado es, aparte del contenido, una cuestion de estilo. Esdifcil encontrar el tono adecuado al tratar cualquier cuestion de Matematicas, espe-cialmente si el lector al que va destinado este Curso no va, en su actividad profesional,a considerar a estas mas que como un instrumento en su trabajo. Hemos decidido dis-

tanciarnos de la sequedad del metodo formal y utilizar, tanto como nos sea posibley en la medida en que no sobrepase en extension lo que parece razonable, una pre-sentacion mas coloquial de la materia, aunque, desde luego, no menos rigurosa que laque se puede encontrar en otros tipos de textos. Presentamos, junto con cada noci onintroducida, ejemplos aclaratorios, y damos las ideas que subyacen en los teoremasy sus demostraciones con el objetivo de que el lector entienda el proceso por el quese ha llegado a uno y otras. Estamos tan interesados en el rigor y la claridad comoen las aplicaciones que estos conceptos y resultados puedan tener en la Ciencia y laTecnica. Solo si el lector sabe aplicar sus conocimientos a la resolucion de problemasconcretos este Curso habra cumplido su objetivo.

Respecto a la version anterior se han introducido cambios significativos. El mas

evidente es que hemos cambiado el formato, usando ahora LA

TEX. En cuanto al con-tenido, no se tratan las ecuaciones diferenciales ordinarias, pero s se incluye el CalculoDiferencial de una variable y se incorpora a cada captulo una coleccion de ejercicios.Se ha restructurado el captulo de Integracion, que ahora es practicamente autocon-tenido. Hemos mantenido el listado de programas de ordenador que tratan algunosde los metodos numericos desarrollados, aunque se sustituye el codigo fuente de losprogramas en BASIC por el de archivos .m paraMatlab. Se anade tambien un ndicede terminos, en el que los numeros en negrita refieren a las definiciones.

Este texto es un curso de Analisis de funciones de una y varias variables. Muchasde las ideas esenciales se deberan tratar en un contexto unificado, y as se haceen buena parte del libro. Sin embargo, ciertos aspectos de la teora de una variableson especficos y se tratan por tanto de forma diferenciada. As, en el captulo 3

se introducen en primer lugar conceptos y propiedades b asicos sobre funciones deuna variable, como son los relativos a la continuidad (por ejemplo, el Teorema deBolzano). El captulo 4 (que versa sobre diferenciabilidad), se inicia tambien con unasnotas sobre derivabilidad de funciones de una variable, en donde se tratan resultadospropios de este caso, como, por ejemplo, el Teorema del Valor Medio. Parte del captulo

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6 (Integracion) trata asmismo la teora de una variable: la integral de Riemann-Stieltjes la integral de Riemann se presenta como un caso particular y sus aspectosmas practicos: el Teorema Fundamental del Calculo, las aplicaciones geometricas de laintegral de Riemann y el calculo de primitivas. El captulo 7 vuelve al contexto de unavariable: en el se hace un estudio de las series numericas, se considera la integracion

impropia y, por ultimo, se trata la teora de sucesiones y series de funciones. Seincluyen tambien aspectos de Analisis Numerico en los captulos 5 y 6, pues creemosque deben de formar parte de un curso de estas caractersticas. Este es un breveresumen de la interaccion entre el calculo de una y varias variables en el texto.

En una descripcion general, el captulo 1 es, de alguna forma, de caracter intro-ductorio. Se tratan en el, entre otras cosas, algunos aspectos basicos de la teora deconjuntos (el lector debera conocer el Principio de Induccion, que se demuestra aqu apartir del Principio de Buena Ordenacion). Se construye tambien el conjunto de losnumeros reales (brevemente presentamos dos modelos: el metodo de las cortadurasde Dedekind, y el de las sucesiones de Cauchy de Weierstrass).

Como requisito previo a la teora de funciones de varias variables, el captulo 2

introduce el espacioRn, haciendose en el un estudio de su estructura geometrica ytopologica. En los captulos 4, 5 y 6 se desarrolla el cuerpo de esta teora (diferen-ciabilidad, aproximacion de funciones y problemas de extremos, e integracion). Elultimo captulo trata la teora de series, numericas y de funciones. Se ha optado porincluir en el el tratamiento de las integrales impropias, pues creemos que las ideas ylos ejemplos adecuados para ellas estan en ntima conexion con la teora de series.

Este libro debe mucho a lecturas y discusiones realizadas sobre la materia delAnalisis Matematico. Muchas de sus paginas estan inspiradas por otros autores, delos que se da precisa referencia. Las notas previas han servido de texto a los alumnosde las Escuelas Superiores de Ingenieros Industriales y de Telecomunicacion de laUniversidad Politecnica de Valencia, quienes, en algunos casos, han colaborado en la

deteccion de algun error mecanografico, por lo que les damos las gracias. En la seccionde Analisis de funciones de una variable y en los programas deMatlabincluidos hacolaborado Ramon Aliaga, a quien agradecemos su dedicacion. Tambien queremosagradecer al profesor Felix Martnez sus sugerencias en el uso del sistema LATEX,contribuyendo en dar al documento su aspecto definitivo.

Agradecemos a los responsables de la Editorial UPV su soporte tecnico, as comola comprension y paciencia que han tenido con nosotros.

Los autores, mayo de 2003.

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Indice general

Prologo V

1. Intro duccion 1

1.1. Conceptos elementales y notaciones en Teora de Conjuntos . . . . . . 1

1.1.1. Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2. Conjuntos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.3. Producto cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2. El conjunto de los numeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.1. N como conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2. El Principio de Induccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Numeros enteros y racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.1. El conjunto de los numeros enteros . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3.2. El conjunto de los numeros racionales . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4. El conjunto de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.1. Un conjunto de axiomas para los numeros reales . . . . . . . . 11

1.4.2. Construccion de los numeros reales a partir de los racionales,junto con una interpretacion geometrica . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.3. Dos modelos de los numeros reales . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.5. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. El espacio Rn 23

2.1. Introduccion: Dos problemas de localizacion optima . . . . . . . . . . 23

2.1.1. Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2. Comentarios al enunciado de los problemas . . . . . . . . . . . 23

2.2. Descripcion del ambito de traba jo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1. El espacio vectorialRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.2. Definicion de distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

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Indice general

2.2.3. Ejemplos de distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2.4. Definicion de norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2.5. Ejemplos de normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2.6. Bolas abiertas y cerradas; esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.7. Producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.8. Ejemplos de productos escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.9. Desigualdad de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.10. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2.11. Norma obtenida mediante un producto escalar . . . . . . . . . 38

2.3. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.1. Normas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3.2. El lmite de una sucesion convergente . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.3. Propiedades algebraicas de los lmites . . . . . . . . . . . . . . 42

2.3.4. Conjuntos abiertos, cerrados y acotados . . . . . . . . . . . . . 422.4. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.1. Espacio eucldeo. Norma. Distancia. . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.2. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4.3. Lmites de Sucesiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3. Funciones y graficas 61

3.1. El concepto de funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.1.1. Definiciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.1.2. La teora de funciones de una variable versus la de funciones de

varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.2. Funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2.2. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2.3. Concepto de lmite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

3.3. Lmites y continuidad. El caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.3.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.3.2. Propiedades de los lmites y de las funciones continuas. Calculode algunos lmites enR2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.3.3. Funciones uniformemente continuas . . . . . . . . . . . . . . . 88


3.4.1. Funciones enRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4.2. Lmites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

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Indice general

3.4.3. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4. Diferenciabilidad 95

4.1. Introduccion al calculo diferencial de funciones de una variable . . . . 95

4.1.1. La derivada y su interpretacion geometrica . . . . . . . . . . . 954.1.2. Algunas propiedades de las funciones derivables de una variable 96

4.1.3. Infinitesimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.1.4. Diferencial de una funcion en un punto . . . . . . . . . . . . . 100

4.1.5. Teoremas del Valor Medio y de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2. Calculo diferencial de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . 108

4.2.1. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.2.2. Derivada direccional, derivadas parciales, gradiente . . . . . . . 114

4.2.3. La Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

4.2.4. Una aplicacion. La solucion de la ecuacion de onda . . . . . . . 1254.2.5. Interpretacion geometrica del gradiente . . . . . . . . . . . . . 128

4.2.6. Un caso concreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131


4.3.1. Diferenciabilidad de funciones de varias variables. . . . . . . . . 133

5. Aproximacion de funciones y problemas de extremos 139

5.1. Aproximacion polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5.1.1. Breve repaso del concepto de polinomio de Taylor de una fun-cion de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.1.2. Aplicaciones geometricas elementales . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.1.3. Metodos numericos de calculo de ceros (solucion de ecuacionespor aproximaciones sucesivas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5.1.4. Iteracion de punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.1.5. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

5.1.6. Un programa enMatlab para los metodos introducidos . . . . 161

5.2. Polinomios de interpolacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

5.2.2. Forma de Lagrange del polinomio de interpolacion . . . . . . . 164

5.2.3. Forma de Newton del polinomio de interpolacion (polinomioscon diferencias divididas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

5.2.4. Analisis del error en el polinomio de interpolacion . . . . . . . 166

5.3. Interpolacion segmentaria (spline) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

5.3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

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Indice general

5.3.2. Interpolacion cubica fragmentaria (spline cubico) . . . . . . . . 169

5.4. Formula de Taylor para funciones de varias variables . . . . . . . . . . 173

5.4.1. Introduccion. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . 173

5.4.2. Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.4.3. Analisis del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

5.4.4. Aplicaciones a problemas de extremos . . . . . . . . . . . . . . 182

5.4.5. Aplicacion a la resolucion numerica de sistemas de ecuaciones . 192

5.4.6. Segundo metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.5. Teoremas de la Funcion Implcita y de la Funcion Inversa . . . . . . . 196

5.5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

5.5.2. La linealidad de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . 200

5.5.3. El Teorema de la Funcion Implcita para tres variables . . . . . 200

5.5.4. El Teorema de la Funcion Implcita en el caso de mas variables 206

5.5.5. El Teorema de la Funcion Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

5.5.6. El Teorema del Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

5.6. Problemas de extremos condicionados de funciones de varias variables 209

5.6.1. Una condicion necesaria de extremo local condicionado . . . . . 209

5.6.2. Existencia de plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

5.6.3. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

5.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

5.7.1. Polinomios de Taylor de una variable. . . . . . . . . . . . . . . 218

5.7.2. Metodos numericos de obtencion de races. . . . . . . . . . . . 220

5.7.3. Polinomios de interpolacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

5.7.4. Polinomios de Taylor de Funciones de varias variables. . . . . . 221

5.7.5. Formas cuadraticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

5.7.6. Extremos de funciones de varias variables. . . . . . . . . . . . . 222

5.7.7. Teoremas de la Funcion Inversa e Implcita. . . . . . . . . . . . 224

5.7.8. Extremos condicionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

6. Integracion 227

6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

6.2. Introduccion al calculo de primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2296.2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6.2.2. Integracion de funciones racionales cuyo denominador tiene racesmultiples (Metodo de Hermite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6.2.3. Integrales del tipo

R

x,

Ax2 + 2Bx + C

dx, Rfuncion racional230

x


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Indice general

6.2.4. Integrales binomias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

6.2.5. Integracion de funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . 233

6.3. Introduccion a la Integral de Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . 236

6.3.1. Introduccion y motivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

6.3.2. Integradores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.3.3. Definicion de la integral de Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . 239

6.3.4. Propiedades de la integral de Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . 243

6.3.5. La integrabilidad frente a la composicion con funciones continuas243

6.3.6. El Teorema Fundamental del Calculo Integral . . . . . . . . . . 245

6.3.7. Calculo de una integral de Riemann-Stieltjes mediante reduc-cion a una integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

6.3.8. Extension de la clase de integradores: integracion respecto aintegradores de variacion acotada . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.3.9. Formula de integracion por partes. Teoremas del Valor Medio.Cambio de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

6.4. Algunas aplicaciones geometricas de la integral de Riemann . . . . . . 251

6.4.1. Area encerrada por la grafica de una funcion . . . . . . . . . . 251

6.4.2. Volumenes de cuerpos de revolucion . . . . . . . . . . . . . . . 252

6.4.3. Volumenes de cuerpos usando sus secciones . . . . . . . . . . . 255

6.5. Integracion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

6.5.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

6.5.2. Formulas de integracion de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . 258

6.5.3. Integracion de Romberg y cuadratura gaussiana . . . . . . . . 267

6.5.4. Investigacion del error en la integracion numerica . . . . . . . . 270

6.5.5. Traduccion de los metodos de integracion numerica expuestosa programas en Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

6.6. Integrales dependientes de un parametro . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

6.6.1. Introduccion. Un caso particular . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

6.6.2. El caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

6.7. Integracion multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

6.7.1. Definiciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

6.7.2. Funciones escalonadas y sus integrales . . . . . . . . . . . . . . 293

6.7.3. Integrales de funciones acotadas definidas en rectangulos . . . . 2966.7.4. Una condicion suficiente de integrabilidad . . . . . . . . . . . . 299

6.7.5. Integracion de funciones acotadas definidas en dominios masgenerales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

6.7.6. Aplicaciones geometricas de la integral doble . . . . . . . . . . 309

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Indice general

6.8. Curvas e integrales de lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

6.8.1. Curvas y caminos enRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

6.8.2. Integrales de lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

6.8.3. Teorema de Green en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

6.9. Cambio de variable en integracion doble . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

6.10. Superficies e integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

6.10.1. Representaciones de una superficie enR3 . . . . . . . . . . . . 331

6.10.2. Producto vectorial fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

6.10.3. Area de una superficie parametrica . . . . . . . . . . . . . . . . 336

6.10.4. Integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

6.10.5. Cambio de representacion parametrica . . . . . . . . . . . . . . 338

6.10.6. Otras notaciones para las integrales de superficie . . . . . . . . 339

6.10.7. El Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

6.10.8. Una aplicacion: campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . 3436.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

6.11.1. Calculo de primitivas. Integracion numerica. . . . . . . . . . . . 347

6.11.2. Integracion de Riemann-Stieltjes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

6.11.3. Integral definida y aplicaciones geometricas elementales de laintegral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

6.11.4. Metodos numericos de integracion. . . . . . . . . . . . . . . . . 350

6.11.5. Integrales parametricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

6.11.6. Integracion multiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353

6.11.7. Integrales de lnea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

6.11.8. Integrales de superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359

7. Series numericas y de funciones. Integrales impropias 361

7.1. Series numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

7.1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

7.1.2. Tests generales para la convergencia o divergencia de series . . 364

7.1.3. Criterios de convergencia para series de terminos positivos . . . 365

7.1.4. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

7.1.5. Sumacion parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374

7.1.6. Reordenacion de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3837.2. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

7.2.1. Generalizacion de la idea de integral: integrales impropias deprimera y de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386

7.2.2. Criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

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Indice general

7.2.3. Integrales impropias y series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395

7.3. Sucesiones y series de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404

7.3.1. Convergencia puntual y uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

7.3.2. Convergencia uniforme y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . 411

7.3.3. Convergencia uniforme, integracion y diferenciacion . . . . . . 412

7.3.4. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

7.3.5. Funciones real-analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421

7.3.6. Algunas aplicaciones de los resultados sobre series de potenciasa ciertas series particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422


7.4.1. Series numericas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431

7.4.2. Integrales Impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435

7.4.3. Sucesiones de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438

7.4.4. Series de potencias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

Indice de terminos 444

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Captulo 1

Introduccion

1.1. Conceptos elementales y notaciones en Teorade Conjuntos

Para un Curso de Analisis Matematico como el que aqu se inicia, la Teora deConjuntos sera solo una herramienta y un lenguaje (lo que no es poco para cualquierdisciplina), de los que bastara conocer sus rudimentos. Resulta difcil desarrollar co-herentemente y, al mismo tiempo, con precision y flexibilidad, los conceptos que for-man parte del Calculo Infinitesimal sin recurrir, aunque sea de forma superficial, a losde la Teora de Conjuntos. Solo a partir de su conocimiento le sera posible al lectoracceder a cualquier libro que trate el tema. Es por ello por lo que iniciaremos estecaptulo con una breve discusion de dichos conceptos. Tenga sin embargo presente el

lector que la Teora de Conjuntos es actualmente un campo de estudio desarrollado,con sus metodos propios y sus resultados de importancia excepcional no solo para lasMatematicas.

1.1.1. Conjuntos

Sera suficiente considerar unconjunto como una coleccion de objetos de cualquiertipo. No vamos a encontrarnos en nuestro estudio con situaciones en las que estanocion, puramente intuitiva, nos conduzca a dificultades. Sin embargo, casos en losque ello ocurre no son difciles de encontrar, aunque es cierto que aparecen en nivelesde abstraccion superiores a aquellos en los que vamos a movernos. En la primeranota a pie de pagina, cuando hayamos introducido algunas definiciones adicionales,remitiremos a un ejemplo de ello.

Los objetos formando parte de un conjunto son sus elementos, o miembros, opuntos. Diremos que un conjunto contiene a sus elementos, o que estos pertenecena un conjunto, o son miembros de el. Usaremos en general letras mayusculas, talescomoA, B , C , . . ., para referirnos a conjuntos, letras minusculas, comoa, b , c, . . ., para

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1.1. Conceptos elementales y notaciones en Teora de Conjuntos

sus elementos, y el hecho de que, por ejemplo, a sea un elemento del conjunto Ase simbolizara por a A. Los conjuntos de los que trataremos estar an formados,generalmente, por puntos de la geometra ordinaria, por numeros, por funciones o,incluso, por otros conjuntos. Para simplificar casos complicados hablaremos entoncesde familiasoclasesde conjuntos. Sera algo menos enrevesado hablar de una clase de

familias de conjuntos que de un conjunto de conjuntos de conjuntos.

Si A es un conjunto, otro conjunto B sera llamado un subconjunto de A, y es-cribiremos B A, cuando todo elemento de B sea tambien elemento de A. Hay unerror que se comete con frecuencia, y es el siguiente: Sea A el conjunto formado porlos numeros 1, 2 y 3 (introduciremos la notacionA = {1, 2, 3}). Formalmente, es dis-tinto considerar el conjunto{1} que el elemento 1. El primero es un subconjunto deA, que posee un solo elemento. El segundo es un elemento del conjunto A. Por tanto,son entes diferentes. Observar que, entonces, las notaciones adecuadas son{1} A,y 1 A, aunque ambas representan el mismo hecho.

Ahora, con estos conceptos en mente, aparecen1 algunas dificultades surgidas alaceptar la nocion intuitiva de conjunto como algo tan evidente que no requiere mayor

analisis y no es susceptible de producir dudas ni problemas.Dado un conjunto A y un subconjunto suyo B, el complemento de B respecto

de A es el conjunto formado por todos aquellos elementos de A que no estan en B.Utilizaremos la notacion A\Bpara referirnos a este conjunto.

SeanA y B conjuntos. Hay dos conjuntos adicionales que pueden formarse usandoestos. Aparecen con tanta frecuencia que merecen un nombre propio: Uno de elloses la union de los conjuntos A y B, denotada por AB , y que, por definicion,es el conjunto que contiene los elementos que estan en A o en B (o en ambos; unelemento que esta simultaneamente en A y en B se cuenta solo una vez). Otro es suinterseccion, denotada por A B, y que se define como el conjunto formado por loselementos comunes a A y a B . Dos conjuntos A y B cuya interseccion es el conjunto

vaco2, denotado por, se dice que son disjuntos.1Un ejemplo de las dificultades que se pueden encontrar al considerar la nocion intuitiva de

conjunto es el siguiente: Si aceptamos la existencia del conjunto cuyos elementos son todos losconjuntos existentes, tendremos que admitir que, puesto que el es un conjunto, es un elemento des mismo. Esta es una situacion que vamos a excluir por principio. Porque, que pasara si aceptamosque hay conjuntos que pueden ser elementos de s mismos? (y tales conjuntos aparecen en el discursonormal: considerese, por ejemplo, el conjunto formado por todos aquellos objetos que puedan serdefinidos con menos de treinta palabras. Este conjunto es un elemento de s mismo). Ocurrira losiguiente: llamemos a un conjunto A normal si no es elemento de s mismo, especial si, por elcontrario, es elemento de s mismo. Formemos el conjuntoA cuyos elementos son todos los conjuntosnormales. EsA un conjunto normal o especial? Si A es normal,A pertenece aA, luegoA es especial.Si A es especial,A se contiene a s mismo como uno de sus elementos, luego A es normal. En amboscasos obtenemos una contradiccion! La unica forma de salvar la dificultad es convenir que las palabras

que sirven para definir A no definen en realidad un conjunto.

2La existencia de un conjunto llamado conjunto vaco, suele producir confusion, al entender, y nosin razon, que no tiene sentido hablar de un conjunto que no contiene ning un elemento. En ciertaforma, y salvando las distancias, la repugnancia a aceptar la existencia de tal ente es la misma que laque algunos sintieron confrontados con el numero 0, que no denota ninguna cantidad. Sin embargo,el uso de este ultimo es tan conveniente para la Aritmetica como lo puede ser el del primero para la

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Captulo 1. Introduccion

Haremos uso de unas notaciones que extienden las anteriores en el caso en que lasoperaciones de union e interseccion se realicen con muchos conjuntos. Nos detendremosun momento en ellas:

Antes de comenzar propiamente veamos como suele denotarse un conjunto deelementos: supongamos que queremos describir el conjuntoCde puntos de la circun-ferencia de centro el origen de coordenadas, 0, y de radio 1, en el plano eucldeo. Unaforma de hacerlo es desde luego listando todos sus elementos . Esto, aunque es f acilde hacer en el caso, digamos, del conjunto A formado por los cinco primeros numerosnaturales (se escribe, sin mas, A ={1, 2, 3, 4, 5}), no tiene sentido en el nuestro(hay demasiados puntos). En lugar de ello, se da una propiedad que satisfaganlos puntos de nuestro conjunto y solo ellos. La notacion empleada es la siguiente:C := {x: x R2,d(x, 0) = 1} ,dondeR2 es la notacion empleada para el plano, ydes la distancia eucldea (la distancia entre dos puntos de coordenadas cartesianas (a, b)y (c, d) respectivamente, es

(a c)2 + (b d)2). Esta segunda opcion, insustituible

en el caso de conjuntos de puntos tan grandes como C, puede utilizarse tambienpara nuestro sencillo ejemplo A. Sera as A ={x: x N, 1 x 5} , dondeNdenota el conjunto de los numeros naturales, es decirN = {1, 2, 3, . . .}

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.Introduciremos ahora una notacion adecuada para representar familias de con-

juntos. Sea I un conjunto no vaco arbitrario. Lo llamaremos conjunto de ndices.Sus elementos entonces son los ndices. Supongamos que, dado un ndice i I, leasociamos un cierto conjunto A. Para recordar que este conjunto ha sido asociado alndice i, sera mejor denotar al conjunto como Ai. As tenemos una familia de con-juntos, tantos como ndices tena nuestro conjuntoI. La denotaremos entonces como{Ai : i I} .Ahora, podemos extender la notacion de union e interseccion a familiasde conjuntos. Supongamos que tenemos una familia de conjuntos{Ai : i I} .Deno-taremos por {Ai : i I} o poriIA el conjunto tal que un elemento pertenece ael si y solo si esta en alguno de los conjuntos Ai. La notacion para la interseccion detodos los conjuntos de la familia, es decir, para el conjunto que tiene como elementosexactamente a los que estan simultaneamente en todos ellos, es analoga: {Ai : i I}oiIA.

1.1.2. Conjuntos ordenados

Un orden en un conjunto A es una relacion en A que verifica las siguientescondiciones:

1. (reflexiva) a a para todo elemento a A.2. (transitiva) Si a, b y c son elementos de A tales que a

b y b

c, entonces

a c.Teora de Conjuntos. Aceptelo el lector como una simple comodidad notacional.

3Aqu hemos abusado de la notacion que precisamente estamos introduciendo, pues que significanesos puntos suspensivos? Desde luego no son ninguna propiedad. Bien, mientras el lector no sesienta confundido, p odremos, en algunas ocasiones como esta, violar algunas reglas en aras de lasencillez. Pues todo el mundo imagina lo que hay detras de esos puntos suspensivos.

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1.2. El conjunto de los numeros naturales

3. (antisimetrica) Sia b y b a, entonces a = b.

Cuando a bse dice quea es anteriora b, o queprecedea b. Un conjuntoA con unarelacion de orden se dice que esta totalmente ordenado si dados dos elementos a y bcualesquiera de A se tiene que, o bien a

b o bien b

a. Un conjunto totalmente

ordenado A se dice que esta bien ordenado (o que el orden en A es un buen orden)cuando todo subconjuntoB no vaco de Atiene primer elemento, es decir, un elementoque es anterior a todos los otros del conjunto. Se acepta el siguiente axioma de la Teorade Conjuntos:

Axioma 1.1.1 (Principio de Buena Ordenacion) En todo conjunto no vaco sepuede definir un orden que lo haga un conjunto bien ordenado.

1.1.3. Producto cartesiano

Definicion 1.1.2 Dados dos conjuntosSyTno vacos, se define suproducto carte-siano S Tcomo el conjunto de todas las parejas(s, t), dondes S y t T.

Hay que hacer observar que el orden de los elementos en cada pareja es relevante.El primer elemento pertenece al conjunto S, el segundo al conjunto T. El productocartesiano de un conjunto por s mismo, digamos S S, se denota como S2. Obvia-mente, estas definiciones se pueden extender al caso de n conjuntos. Se suele utilizarel smbolo

ni=1

Si

para denotar el producto cartesiano de los conjuntos S1, S2, . . . , S n, tomados en eseorden. Cuando todos ellos coinciden se denota el producto como Sn.


1.2.1. N como conjunto

En la seccion 1.1 se ha mencionado el conjunto de los n umeros naturales, quehemos llamadoN. Tiene como elementos los numeros 1, 2, 3, . . .Aunque se puede daruna definicion formal, creemos que no es necesario (la frase de L. Kronecker , 1823-1891, es conocida: Dios creo los numeros naturales. El hombre hizo todo lo demas).A pesar de que nuestra intuicion nos gua con seguridad a la hora de considerarlo,hay que hacer algunas observaciones, algunas de ellas obvias:

En primer lugar, el conjuntoN es infinito. Es necesario que el lector abandonedesde este momento el error de utilizar la l ogica de los conjuntos finitos para los queno lo son. Por ejemplo, no tiene ningun sentido hablar del ultimo elemento de un

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conjunto comoN. Simplemente no hay ningun elemento enN que pueda llevar esecalificativo4.

Sin embargo, en N s que se puede hablar de elemento siguiente a uno determinado,as como del anterior, excepto en el caso del elemento 1, que no posee anterior (el 0no es un numero natural). As, enN hay una ordenacion muy particular: por unaparte, ademas de no tener ultimo elemento, es un orden total, es decir, dados doselementos distintos cualesquiera, siempre uno de ellos es menor que el otro. Por otra,N estabien ordenado, es decir, todo subconjunto no vaco tiene primer elemento. Estaultima propiedad genera un mecanismo fundamental en el estudio de los conjuntosinfinitos comoN: es el llamado principio de induccion, que tratamos a continuacion.

1.2.2. El Principio de Induccion

Elprincipio de induccion, tambien llamadoprincipio de induccion finita, expresa-do en forma no tecnica, viene a decir los siguiente: supongamos que queremos probarque una determinada propiedad P, que esta expresada usando numeros naturales, es

cierta sea cual sea el numero natural que se introduce. El alumno puede pensar enuna maquina (llamada propiedad P) que acepta como input numeros naturales,dando como resultado uno de los dos output: verdadero o falso. Presumimosque sea cual sea el numero natural n introducido el resultado va a ser verdadero.Un primer intento de prueba sera introducir numeros consecutivamente y observarel output, pero es evidente que este procedimiento nunca va a proporcionarnos lacerteza de que para cualquier numero introducido la maquina va a responder ver-dadero. Hay un procedimiento que s nos asegura esto. Consiste tan solo en dosoperaciones:

1. Introducir el numero 1 y esperar el resultado (verdadero!).

2. Destripar la maquina y analizar su estructura. Supongamos que al hacer estodescubrimos lo siguiente: que si la introduccion de un numero n provoca el re-sultado verdadero entonces la introduccion den+1 provoca tambien el mismoresultado

Los puntos 1 y 2 conjuntamente aseguran que sea cual sea el numero n introducido,el resultado es verdadero.

4Se pueden plantear unas adivinanzas que ilustran lo que ocurre cuando no se tiene en cuentaque las afirmaciones hechas sobre conjuntos finitos no pueden en general ser extrapoladas a losconjuntos infinitos. Una de las mas conocidas es la siguiente: Suponga el lector que es el (afortunado)propietario de un hotel que posee tantas habitaciones como numeros naturales! (cada una de ellastiene un numero natural en la puerta), y que (su fortuna es todava mayor), todas las habitacionesestan ocupadas. De pronto se presenta un viajero que quiere pasar la noche. Es posible acomodarlo sin

dejar a ninguno de los huespedes en la calle. El procedimiento es sencillo (aunque un poco molestopara los mismos): Basta pedir a cada uno de los inquilinos de las habitaciones que se trasladen a lahabitacion con numero una unidad mas que la que antes ocupaban. De nuevo todos tienen habitaciony, desde luego, la que lleva el numero 1 queda libre.

Planteamos ahora el siguiente problema: Estando el hotel lleno, se presenta una delegacion detantos miembros como numeros naturales! Intente el lector acomodarlos, cada uno de ellos en unahabitacion, sin dejar a ninguno de los anteriores ocupantes en la calle.

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Demostraremos ahora, basandonos en el Principio de Buena Ordenacion (teorema1.1.1), el Principio de Induccion Finita (teorema 1.2.1). La forma de hacerlo es unejemplo tpico de lo que se entiende por una demostracion por reduccion al absurdo:Se supone que lo que se quiere demostrar es falso. A partir de ello, se construyeuna cadena de razonamientos que conduzca a una contradiccion. Se puede afirmar

entonces que el punto de partida era falso, es decir, aquello que se quera demostrarera verdadero.

Teorema 1.2.1 (Principio de Induccion Finita) Supongamos que para cada nu-mero naturaln tenemos una asercionP(n), y que podemos probar las dos siguientespropiedades:

1. La asercionP(1) es verdadera.

2. Dado cualquier numero naturaln, siP(n) es cierta, as lo esP(n + 1).

Entonces, la asercionP(n) es cierta para todo numero naturaln.

Demostracion.SeaSel conjunto de todos los numeros naturales para los que P(n)es falsa. Supongamos que S no es el conjunto vaco. Entonces, p or el Principio deBuena Ordenacion (axioma 1.1.1), Stiene un primer elemento n0. Por la afirmacion1 de la hipotesis n0= 1, luego n0 > 1. Como n0 es el primer elemento de S, resultaque n0 1 no pertenece a S, es decir, P(n0 1) es verdadera. Por la afirmacion 2 dela hipotesis, P(n0) es cierta, luego n0 / S, una contradiccion. Entonces, el punto departida es falso, es decir, S=. Por lo tanto, la propiedad P(n) es cierta para todonumero natural n.

Algunos ejemplos aclararan el procedimiento de prueba. Necesitaremos conceptosbasicos, como el de sucesionde puntos de un conjunto.

Definicion 1.2.2 Dado un conjunto no vaco S, una sucesion en S es una formade asignar a cada numero natural n N un elemento y solo uno de S, denotadocomoxn. Numeros naturales distintos pueden tener asociado el mismo elemento. Unasucesion enS se denotara como (x1, x2, x3 . . .) o, mas brevemente, como (xn)nN o,incluso, como (xn).

Elegimos en primer lugar un resultado bien conocido: La expresion del n-esimotermino y de la suma de los n primeros terminos de una progresion aritmetica. Sea(an) una sucesion de numeros reales (el conocimiento que de los numeros reales tieneel lector es suficiente para lo que nos interesa demostrar) que forma una progresi on

aritmetica, es decir, cada termino se obtiene del anterior al sumar a este una cantidadconstante r (la razon de la progresion). Dicho de otro modo: an+1 = an+ r, n =1, 2, 3, . . . Se tiene la siguiente

Proposicion 1.2.3 Sea{an :n N} una progresion aritmetica de razonr. Entonces,se tienean+1= a1+ nr,paran= 1, 2, 3, . . .

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Demostracion. Dividiremos el argumento en dos partes.

1. El resultado es obvio paran = 1.

2. Probaremos ahora que si se supone el resultado cierto para un numero natural

n, entonces tambien es cierto para n+1.As pues, vamos a suponer que

an+1= a1+ nr. (1.1)

Intentemos demostrar que a partir de (1.1) se obtiene la formula

an+2= a1+ (n + 1)r. (1.2)

Para ello escribimosan+2=an+1+ r. (1.3)

Usando ahora (1.1) en (1.3) tenemos

an+2=a1+ nr+ r= a1+ (n + 1)r,

y esta es la formula (1.2) que queramos probar.

Proposicion 1.2.4 Si Sn representa la suma de los n primeros terminos de unaprogresion aritmetica{an :n N} de razon r, entonces

Sn =

a1+ an

2

n.

Demostracion. Dividiremos el argumento en dos partes.

1. El resultado es obviamente cierto paran = 1.

2. Probaremos ahora lo siguiente: en el supuesto de que el resultado sea cierto paran, tambien va a ser cierto para n + 1.

Como antes, vamos a suponer que

Sn =a1+ an

2 n. (1.4)

Intentemos demostrar que a partir de (1.4) se obtiene la formula

Sn+1=a1+ an+1

2 (n + 1). (1.5)

Para ello escribimosSn+1= Sn+ an+1. (1.6)

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Usando ahora (1.6) y el resultado de la proposicion 1.2.3 en (1.4) obtenemos

Sn+1= (a1+ an)n + 2a1+ 2nr

2 =

a1+ an+12

(n + 1)

y esta es la formula (1.5) que queramos probar5.

Proposicion 1.2.5 Sea{an :n N} unaprogresion geometrica de razonr, es decir,una sucesion de numeros naturales tales quean+1 = an r, n= 1, 2, 3, . . . Entonces,

an = a1rn1, n= 1, 2, 3, . . . , (1.7)

y, siSn denota la suma de losn primeros elementos de la progresion, se tiene

Sn = anr a1

r

1

. (1.8)

Si, en particular,|r| < 1, la sucesion (Sn) tiene lmite 6, llamado la suma de laprogresion y cuyo valor es

S= a11 r . (1.9)

Demostracion. La igualdad (1.7) es obvia para n = 1. Supongamos que es ciertapara un cierto numero natural n. Ahora, an+2 = an+1r = a1r

nr = a1rn+1, luego la

formula (1.7) es cierta para todo n.

5El lector, sobre todo el se encuentra por vez primera argumentos de este tipo, puede sorprendersede que para demostrar un resultado se utilice precisamente ese mismo resultado (las formulas (1.1)y (1.4) en las demostraciones anteriores). En esta situacion esto no es una peticion de principioy el razonamiento es correcto. Observese su estructura: la frase que precede a la formula (1.1) o(1.4), respectivamente, es condicional (vamos a suponer que...). No se esta afirmando que (1.1) o(1.4) sean ciertas necesariamente. Es lo que en terminos logicos corresponde a una implicacion deltipo A B en nuestro caso (1.1) (1.2) (o (1.4) (1.5)). La verdad de una tal implicacion nopresupone la verdad de la premisaA. De forma mas precisaA B es cierta si y solo si siendo ciertaA es tambien cierta B , o cuando es falsa A.

Aun corriendo el riesgo de ser reiterativos, queremos insistir sobre el mecanismo subyacente almetodo de induccion finita. Antes hemos hablado de una maquina que acepta inputs (numerosnaturales) y proporciona outputs (verdadero o falso). Hay una imagen mas ajustada: supon-gamos que tenemos una coleccion de fichas de domino numeradas mediante los numeros naturales.Hay por tanto una familia infinita de fichas, pero cada una de ellas es reconocible al llevar adscrito undeterminado numero natural. Estan colo cadas de pie, una detras de la otra, respetando la ordenacioncreciente del numero de su rotulo y a una cierta distancia una de la que le sigue, siempre la misma.Aseguramos que todas las fichas caen. Esta es una afirmacion acerca de infinitos elementos. Sucomprobacion va a quedar reducida a la verificaci on de dos puntos: 1) que la ficha rotulada con el

numero 1 cae; 2) que la distancia entre la fichas es tal que podemos asegurar que si una cualquieralo hace, la que le sigue tambien. Este ejemplo de las fichas de domino hara entender que la siguienteversion del metodo de induccion finita es valida:

1) La proposicion es cierta para el numero natural n0.2) Si es cierta para un numero n arbitrario, entonces es cierta para n+1.Entonces la proposicion es cierta para todo numero natural mayor o igual que n0.6La nocion precisa de l mite de una sucesion aparece en la definicion 2.3.4

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La demostracion de (1.8) no requiere el uso del metodo de induccion:

Sn = a1+ a2+ . . . + an,

de donde

Snr= a1r+ a2r+ . . . + anr= a2+ a3+ . . . + an+1.Entonces

Snr Sn = Sn(r 1) =an+1 a1= a1rn a1.Obtenemos (1.8).

Para demostrar (1.9) supondremos que el lector esta familiarizado con los rudi-mentos de la teora de lmites de sucesiones: De la formula (1.8) se obtiene

lmn

Sn = lmn

anr a1r 1 =

a11 r ,

pues anr= a1rn

0 cuando n

.

1.3. Numeros enteros y racionales

No vamos a detenernos en analizar exhaustivamente los conjuntos Z de los numerosenteros yQ de los numeros racionales, que el lector conoce bien. Tan s olo damos unresumen de sus propiedades mas importantes.

1.3.1. El conjunto de los numeros enteros

El conjuntoZ (de los numeros enteros) es el conjunto

{0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . .} .

Posee dos leyes de composicion; una, + , la suma, que lo convierte en un grupoconmutativo (es decir, la ley es asociativa, conmutativa, posee elemento neutro, ytodo elemento posee un simetrico), y otra, , el producto, que es asociativa. Conambas leyes,Z es un anillo.

1.3.2. El conjunto de los numeros racionales

Hay una forma de introducir el conjunto de los numeros racionalesQ usando elde los numeros enterosZ, introducidos en la subseccion anterior.Q es el conjunto detodas las parejas (a, b), dondea Z,b Z,b = 0,si convenimos en identificar ciertasparejas entre s: precisamente, se introduce en Z(Z\ {0}) (el producto cartesiano fueintroducido mediante la definicion 1.1.2) una relacion de equivalencia: diremos quedos parejas (a, b) y (c, d) enZ (Z\ {0}) estan relacionadas, y escribiremos (a, b)

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1.3. Numeros enteros y racionales

(c, d), cuandoad= bc.Esta relacion es de equivalencia porque satisface las siguientescondiciones: (1) reflexiva: (a, b) (a, b), (2) simetrica: s i (a, b) (c, d), entonces(c, d) (a, b), y (3) transitiva: si (a, b) (c, d) y (c, d) (e, f), entonces (a, b)(e, f). Es posible considerar ahora en Z (Z\ {0}) el subconjunto de todas las parejasque estan relacionadas con una determinada (a, b); dicho subconjunto se llama clase

de equivalencia definida por la relacion, y lo denotaremos por < a, b > .Entonces,definiremos Q, llamado conjunto de los numeros racionales, como el formado portodas las posibles clases < a, b >, donde aZ, bZ, b= 0. Se identificaZ con unsubconjunto de Q, ya que precisamente az Z se le hace corresponder < z, 1>, quese suele seguir denotando por z.

Hay dos operaciones definidas enQ: la suma (+) y el producto (). Actuan de lasiguiente forma:

< a, b >+ < c, d >= , (1.10)

< a, b > < c, d >= < a c, b d >, (1.11)donde a, b, c y d son numeros enteros, siendo b= 0, d= 0. Es facil ver que estasdefiniciones no dependen de los representantes elegidos7.Q con estas operaciones esun cuerpo8.

Respecto a su ordenacion Q deja de tener una propiedad muy importante delos numeros naturales. Aunque sigue estando ordenado (el orden viene dado por< a , b > < c, d > a d cb, si b > 0, d > 0), deja de estar bien or-denado (ver las definiciones en la subseccion 1.1.2). Ahora, ya no es cierto en ge-neral que todo subconjunto S= deQ tenga primer elemento. Por ejemplo: seaS= {x: x Q : 0< x a

b,

las formulas (1.10) y (1.11) se ajustan a lo esperado.

8Una cuestion denumerabilidad. Piense el lector en lo que realmente hace alcontaruna coleccionde elementos: a uno de ellos le asocia el numero natural 1, a otro el 2, y as sucesivamente. Estarealizando una correspondencia o aplicacion biyectiva (ver la definicion 3.1.3) entre su conjunto

y una parte del conjunto N. Un conjunto S es finito cuando hay un numero natural n de modoque S y el conjunto {1, 2, 3, . . . , n} estan en correspondencia biyectiva. Un conjunto S es infinitonumerablecuandoSy N estan en correspondencia biyectiva. Es sencillo probar queZ es un conjuntoinfinito numerable. Un poco mas arduo es probar que Q es tambien un conjunto infinito numerable:omitiendo los detalles, digamos que una manera decontar los elementos de Q es escribirlos en formade tabla de dos entradas. En la interseccion de la fila j y la columna i esta < i,j >. Cuente ahoralos elementos de la tabla por diagonales como en la figura 1.1.

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Figura 1.1: El orden de numeracion deZ N

1.4. El conjunto de los numeros reales

El conjuntoR de los numeros reales es la estructura numerica mas compleja quevamos a tratar con cierto detenimiento en este Curso (solo eventualmente mencionare-mos los numeros complejos). Solo su definicion precisa comporta una gran dificultadpara el principiante. Hoy en da, y para evitar las complicaciones de los metodosconstructivos de definicion deR a partir deQ, muchos libros de texto prefieren daruna definicion puramente axiomatica deR. Segun este punto de vista,R es un con-junto abstracto que satisface unos ciertos axiomas (que sean sus elementos no tienenla menor importancia; solo se les exige que cumplan los axiomas). No cabe la menorduda de que resulta un procedimiento expeditivo, aunque no es el mas adecuado paraconstruirse una imagen mental de apoyo. En cierta forma, los que adoptan la defini-cion axiomatica de los numeros reales confan en que sus lectores tengan ya esa imagende la que hablabamos. Nosotros no vamos a quedarnos con uno de los procedimientos

tan solo, aunque es cierto que tampoco vamos a realizar un estudio muy detallado dela estructura deR. Daremos los axiomas que la definen, y completaremos su descrip-cion mencionando el procedimiento constructivo y la expresion decimal de un numeroreal, as como proporcionando una representacion geometrica.

1.4.1. Un conjunto de axiomas para los numeros reales

Los elementos del conjunto R verifican los siguientes axiomas. Los hay de trestipos: unos son de naturaleza algebraica (es decir, hacen referencia a las operacionesalgebraicas), otros describen propiedades del orden, y hay uno especial, de naturalezatopologica9.

En todo lo que sigue las letras x,y,z . . ., denotaran elementos arbitrarios deR.

9Topologaes una palabra derivada de la griega oo, lugar, y hace referencia a la disciplinamatematica que antes se llamaba Analisis Situs. Es dif cil describir en pocas palabras su objeto. Esuna abstraccion de las relaciones espaciales entre los cuerpos, y tiene su origen en la Geometra. Dealguna forma, es una Geometra sin co ordenadas.

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Axiomas de cuerpo (algebraicos)

Existen dos operaciones enR, llamadas suma (+) y producto (), de forma queRes un cuerpo:

1. Propiedad conmutativa: x + y= y + x, x

y= y

x.

2. Propiedad asociativa:x + (y+ z) = (x + y) + z, x (y z) = (x y) z.3. Propiedad distributiva: x (y+ z) = (x y) + (x z).4.Existencia de elementos neutros: Existen dos elementos, denotados por 0 y por

1, de modo que se tiene x + 0 =x, x 1 =x.5.Existencia de elementos inversos: Para todo elemento x hay otro (denotado por

x), de forma que x + (x) = 0, y para todo elemento x = 0 hay otro (denotado porx1), de forma que x x1 = 1.

Axiomas de orden

Hay un subconjunto deR, denotado porR+

, que verifica10

:6. Estabilidad por las operaciones + y : si x, y R+, entonces x+ y R+,

as como x y R+.7. Propiedad de tricotoma: se tiene x = 0, o bien x R+ o bien (x) R+,

siendo las tres alternativas excluyentes.

8.0 / R+.

El axioma del supremo

La razon de queR posea una estructura tan rica se debe al llamado Axioma delSupremo.

La descripcion del mismo requiere algunas definiciones previas:

Definicion 1.4.1 Dado un subconjunto S deR, se dice que esta acotado superior-mente (inferiormente)cuando existe un numero realc, llamadocota superior (inferior)deS, tal quexS, xc (o bienxc)11. Observar que c puede o no pertenecer

10El lector no tendra dificultad en recordar los axiomas referentes a la ordenacion (ver las defini-ciones en la subseccion 1.1.2) si tiene presente que, en realidad, se esta introduciendo un orden en elconjuntoR definiendo un subconjunto especial de R, denotado R+, los numeros positivos. Es sencillodemostrar a partir de estos axiomas que la relaci on definida en R mediante la formula

x y (x= y)

o bieny x R+,

es una relacion de orden.11Para abreviar la escritura utilizaremos los smbolos siguientes:: se lee para todo. Quiere decir sea cual sea....: se lee existe. Se debe interpretar como existe por lo menos uno.... No excluye que puedan

existir varios.

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aS.

Si un conjunto S esta acotado superiormente, considerese el conjunto C de suscotas superiores. Este conjunto, por definicion, no es vaco. SiC tiene un elementomas pequeno, ese elemento recibe el nombre de supremo de S. Hay una definicionsimetrica para nfimo deS.

Entonces se tiene

9. Axioma del supremo: Todo subconjunto no vaco deRacotado superiormente tiene supremo.

Es conveniente que el lector considere la siguiente caracterizacion de supremo deun conjunto, obtenida trivialmente a partir de la propia definicion.

Proposicion 1.4.2 Sea S un subconjunto no vaco deR

. Un punto s R

es supremode S si, y solo si, se verifican simultaneamente las dos siguientes condiciones:

1. >0, x S tal ques < x.2. x S, x s.

La siguiente consecuencia del Axioma del Supremo sera utilizada mas adelante.Incluimos aqu la demostracion de la misma, aunque hay que estar familiarizado conla definicion de sucesion convergente, que trataremos en la seccion 2.3.2.

Proposicion 1.4.3 (de la convergencia monotona) Sea (xn) una sucesion mo-notona no decreciente y acotada superiormente de numeros reales. Entonces (xn)

converge.

Demostracion. El conjunto S ={xn :n N} esta acotado superiormente, luegoposee supremos. Probaremos queses el lmite de (xn): Sea >0 arbitrario. Entonces,en virtud de la caracterizacion anterior de supremo, hay un elemento de S, digamosxn0 , tal que s < xn0 . Por la monotona de la sucesion, se tiene s < xn s,n n0.Pero esta propiedad es precisamente la definicion de que s es el lmite de lasucesion.

El lector no encontrara dificultad en sustituir el Axioma del Supremo por otroequivalente usando nfimos, as como formular la proposicion 1.4.2 y la proposicion

1.4.3 para nfimos y sucesiones monotonas no crecientes acotadas inferiormente, re-spectivamente.

La introduccion axiomatica deR no establece quienes sean sus elementos, comoantes hemos mencionado. Existe, por el axioma 4, un elemento, denotado por 1.

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Definimos recursivamente12 un subconjunto deR, denotado de momento por N, dela siguiente forma: se denota como 2 el elemento 1+1, como 3 el elemento 2+1, yas sucesivamente. El subconjunto deR as definido tiene todas las propiedades deN(en particular, la siguiente: si un elemento n N, entonces n + 1 N), por lo que seusara a partir de este momento el mismo smbolo. Se entendera, pues queN

R.

La siguiente propiedad de los numeros naturales se llamapropiedad arquimediana.Simplemente indica que el conjuntoN no esta acotado superiormente enR:

Teorema 1.4.4 Para todo x R existen N conn > x.

Demostracion. Supongamos queN Reste acotado superiormente. Por el axiomadel supremo, existe s := supN. Por la proposicion 1.4.2, dado = 1/2 existe nNtal que s 1/2< n s. Entonces s < n + 1 N, una contradiccion.

1.4.2. Construccion de los numeros reales a partir de los ra-

cionales, junto con una interpretacion geometrica

En 1.4.1 hemos introducido un conjunto de axiomas paraR. Desde luego ello nobasta para asegurar la existencia de tal conjunto. Una forma de hacerlo es partir deQ, introducido en la subseccion 1.3.2, para definir nuevos entes (los numeros reales),y demostrar que satisfacen los axiomas mencionados. Esto requiere mas esfuerzo queel consagrado a una introduccion, as que nos limitaremos a dar una idea aproximadadel procedimiento.

Tomemos una lnea recta horizontal 13. Marcamos dos puntos sobre ella como enla figura 1.2 asociandolo a 0 (0) y a 1 (I). Determinan un intervalo unidad. Ahora, es

Figura 1.2: 0 y 1 sobre la recta

sencillo situar sobre la recta cualquier numero entero, y, por ende, cualquier racional.Fue una aportacion fundamental de los pitagoricos entre los siglos VI y V antesde Cristo el descubrimiento de que hay puntos de esta recta que no correspondena ningun numero racional. En particular, encontraron que no hay numero racionalcorrespondiente al punto Pde la recta tal que su distancia al origen 0 coincida conla longitud de la diagonal de un cuadrado de lado unidad (ver la figura 1.3).

12Podra pensarse que esta definicion hace uso, precisamente, de la estructura de los numerosnaturales al invocar el Principio de Induccion Finita 1.2.1, por lo que sera circular. Esto no es as,pues este Principio es una consecuencia del Axioma de Buena Ordenacion (axioma 1.1.1).

13Apelamos aqu solo a la idea intuitiva de recta que el lector tiene. Se trata de dar una repre-sentacion geometrica util para indicar razonamientos que se pueden precisar completamente con elmetodo axiomatico.

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Figura 1.3: Raz de 2

Posteriormente se demostro que muchos otros puntos de la recta no correspondana numeros racionales. Hubo que introducir otros numeros (llamados irracionales)para cubrir esos huecos. Los numeros reales, as, estan formados por los numeros

racionales junto con los irracionales. La demostracion de que la longitud de la diagonalde un cuadrado de lado 1 no es un numero racional es extraordinariamente elegante,y es otro ejemplo de demostracion por reduccion al absurdo:

Proposicion 1.4.5

2 no es un numero racional.

Demostracion. Supongamos que lo sea, digamos

2 =

p

q, (1.12)

donde p y qson numeros enteros, q= 0, pudiendo suponer de partida que no tienenfactores comunes en su descomposicion en factores primos.

Elevando al cuadrado ambos miembros en (1.12) resulta

2 =p2

q2, (1.13)

de donde2 q2 =p2. (1.14)

Resulta quep2 es par, es decir, tiene a 2 en su descomposicion en factores primos.Necesariamente, ap le ocurre lo mismo, es decir, 2 es uno de sus factores primos. As,

p= 2 r, (1.15)siendo r un numero entero.

Llevando (1.15) a (1.13) tendremos

2 q2 = 4 r2,

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as que

q2 = 2 r2, (1.16)luego q2 tiene a 2 como uno de sus factores primos, y as le ocurre a q. Resulta queambosqy p son pares, lo que contradice la eleccion hecha dep y qsin factores primos

comunes. El punto de partida es falso y 2 no es racional.

La siguiente proposicion, una generalizacion de la proposicion 1.4.5, tiene unademostracion que utiliza las mismas ideas que la anterior, aunque es ligeramente mascomplicada. Queda propuesta como ejercicio.

Proposicion 1.4.6 Sea n un numero natural que no es cuadrado perfecto (es decir,que no es el cuadrado de ningun numero natural). Entonces

n no es un numero

racional.

El tecnico utiliza solo en sus calculos numeros racionales, e incluso no todos ellos.

As, un numero racional como 1/3, cuando es manipulado en una calculadora o enun ordenador14, adquiere el aspecto (segun el numero de dgitos significativos de lapresentacion), digamos, 0.33333333. Este valor no coincide con 1/3, aunque el errorque se comete puede ser irrelevante (o no, depende del objetivo del c alculo) para laaproximacion deseada en el resultado final. Por ello, y por otros mecanismos de los queya daremos alguna cuenta, la estimacion de errores cometidos en calculos numericoses importante en la Tecnica. Los resultados como los que hemos mencionado en lasproposiciones 1.4.5 y 1.4.6 son de caracter teorico, aunque no esta de mas que uncientfico o un tecnico conozcan los entes que manejan, en particular el soporte detodas sus formulas: los numeros que las integran.

Aparte de estas consideraciones, lo que realmente importa para la Tecnica es elhecho de que un numero real (

cualquier punto de la recta real) tiene una repre-

sentacion decimal:

Sea x R. Supongamos x 0. Entonces existe un unico numero entero ntal que n x < n + 1. Dicho numero n se llama la parte entera de x, y s erepresenta como [x] . Ahora, sea a1 = [10 (x n)], a2 = [10 (10 (x n) a1)],a3 = [10 (10 (10 (x n) a1) a2)], y as sucesivamente. Se conviene en repre-sentarxmediante su expresion decimal

x= n.a1a2a3a4a5a6a7a8 . . . (1.17)

(el tratamiento de los numeros reales negativos es analogo). Observar que el procesoelemental de division de un numero entero por otro distinto de cero reproduce esta

secuencia de definiciones; en el cociente van apareciendo sucesivamente los dgitos queforman n, seguidos de a1, a2, . . .

14Hay programas de matematica simbolica para ordenadores personales que trabajan, si el usuariolo desea, con fracciones racionales. De esta forma se eliminan los errores de redondeo correspondientesal truncamiento de los numeros racionales. Algunos de tales programas son-Math, Derive,Matlabo Mathematica.

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El lector sabe que hay dos tipos diferentes de expresiones decimales: las periodicasy lasno periodicas. Las primeras tienen la propiedad de que existe un bloque de dgitos(lo representaremos subrayado) que se repite indefinidamente, como en los numeros

0,1674367

25,045 (= 25,0450)0.3

Las segundas no poseen tal propiedad. La siguiente proposicion determina que expre-siones decimales corresponden a los distintos tipos de numeros reales.

Proposicion 1.4.7 Un numero real x es racional si y solamente si su expresiondecimal es periodica. Sea

x= n.a1a2 . . . aip1p2 . . . pj (1.18)

Entonces se tiene

x=

na1a2 . . . ai10i +

p1p2 . . . pj10i+j

10j

10j 1. (1.19)Donde porna1a2 . . . ai se entiende el numero natural formado por esos dgitos.

Demostracion. Sea xQ. Entonces se puede escribir x = p/q, donde p y q sonnumeros enteros, q= 0. Al realizar el algoritmo de la division de p por q, se vanobteniendo restos que, en todos los casos, son menores que el divisorq. Necesariamentehay un momento en que un resto que ya haba aparecido lo vuelve a hacer, pues nohay mas que un numero finito de posibles restos distintos. En ese momento comienzaa repetirse un bloque de dgitos en el cociente, con lo que su expresion decimal esperiodica.

Recprocamente, sea x

R un numero con expresion decimal periodica, digamos

x= n.a1a2 . . . aip1p2 . . . pj.

Entonces podemos escribir

x= na1a2 . . . ai

10i +

p1p2 . . . pj10i+j

1 + 1

10j +

1

102j +

1

103j + . . .

. (1.20)

La expresion entre parentesis en (1.20) en una suma infinita15. El lector ya encon-tro una suma de este tipo en la proposicion 1.2.5, ya que se trata de una progresiongeometrica de razon (10j)1


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lo que proporciona la formula (1.19) del enunciado.

1.4.3. Dos modelos de los numeros reales

Como hemos mencionado al principio de la seccion anterior, decir que los numerosreales son un conjunto de entes abstractos que satisfacen un cierto numero de ax-iomas no asegura que se pueda construir un conjunto y unas operaciones y relacionesentre sus elementos de forma que la estructura resultante efectivamente verifique talconjunto de axiomas.

Hasta el momento, y partiendo de la existencia del conjunto de lo numeros natu-ralesN, se ha construido el conjuntoZde los numeros enteros y el conjuntoQ de losracionales. Se ha visto que los numeros racionales, representado sobre una recta, no lallenan. Precisamente, una definicionconstructivadel conjunto R de los numeros realesconsiste en el llenado de los posibles huecos que aparecen: basicamente, dos formas

de hacer esto conducen al Metodo de las Cortadurasde R. Dedekind por una parte, ypor otra al de las Clases de equivalencia de sucesiones de Cauchyde K. Weierstrass(1815-1897).

Daremos una idea breve de ambos, sin entrar en detalles (estos parrafos puedenomitirse en una primera lectura). Tengase presente que disponemos tan solo del con-juntoQ de los numeros racionales.

El metodo de las cortaduras de Dedekind

Dedekind denomina cortadura a un subconjunto deQ que verifica

1. = , = Q,2. sia Q, b , a b,entonces a ,

3. no contiene un numero racional maximo.

Ahora, un numero reales precisamente una cortadura. Ciertas cortaduras se de-nominan racionales. Son aquellas definidas por {x: x Q, x < r}, donder es ciertoelemento deQ. Identificamos r con esta cortadura; asQ es un subconjunto deR.

Es posible definir una ordenacion enR: dadas dos cortaduras y , se dice que < cuando existe p Qcon p , pero p / .

Para introducir dos operaciones + y en el conjuntoR

de cortaduras, basta definircomo + la cortadura{p + q: p , q } . Es posible demostrar queR conesta operacion es un grupo conmutativo. Denotamos por la unica cortadura queverifica + () = 0, y por|| la cortadura si 0 , si < 0. Entonces,dadas dos cortaduras y tales que 0 , 0 , se define la cortadura{r Q : r 0} {p q: p , 0 p, q , 0 q} . Finalmente en los otros casos

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se define

=

(|| ||), si y < qn >, laclase suma < pn > + < qn > se define como < pn + qn >, y la producto < pn > < qn > como < pn qn > . Asmismo se define una ordenacion en el conjunto delas clases: < pn > es menor que < qn > cuando > 0 y n0N tales quepn < qn , n n0.

Resulta que el conjuntoR de las clases de equivalencia de sucesiones de Cauchyde numeros racionales, con este orden y estas operaciones, satisface todos los axiomasexigidos a los numeros reales.

16Una relacion entre los elementos de un conjunto S se dice que esde equivalencia(ver tambien

la pagina 9) cuando satisface las tres siguientes propiedades: (i) Reflexividad: a a, a s, (ii)Antisimetra: Si a b, tambien b a, siendo a y b elementos de S, y (iii) Transitividad: si a b yb c, entonces a c, siendo a, b y c elementos de S.

Una relacion de equivalencia en un conjunto permite agrupar sus elementos en clases de equiv-alencia, de forma que una clase contiene a todos los elementos que estan relacionados entre s. Elconjunto cuyos elementos son las distintas clases resultantes se llama conjunto cociente de Spor larelacion de equivalencia .

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1.5. Ejercicios propuestos

1.5. Ejercicios propuestos

1. Se ha introducido el concepto desupremode un conjunto acotado superiormentede numeros reales (su existencia viene garantizada por uno de los axiomas delsistema de los numeros reales), y se han probado ciertas afirmaciones sobre

el. Introducir el concepto de nfimo de un conjunto acotado inferiormente enR y probar correspondientes afirmaciones. Demostrar que no hay mas que unnumero (para un subconjunto acotado superiormente enR) que corresponda ala definicion de supremo (analogamente para nfimo). Dar un ejemplo de un talconjunto para el que el supremo no este en el conjunto, y otro para el que s.

2. Completar los detalles de las construcciones deR a partir deQ realizadas en1.4.3.

3. Demostrar la proposicion 1.4.6.

Sugerencia: seguir los pasos de la demostracion de la proposicion 1.4.5. Tener en

cuenta que sin es divisor dep2 yn no es cuadrado de ningun entero, entoncesn es divisor dep.

4. Demostrar, con un procedimiento similar al usado para probar que Q es numera-ble, que el producto cartesiano de dos conjuntos numerables es numerable.

Sugerencia: enumerados los elementos del conjunto S, basta seguir el proced-imiento indicado en la figura 1.1.

5. Probar que la union de una familia numerable de conjuntos numerables es unconjunto numerable.

Sugerencia: utilizando el ejercicio anterior, efectuar la prueba por induccion.

Nota: Como consecuencia, siSes un conjunto numerable, la familia de todos lossubconjuntos finitos deSes numerable puesto que posee una cantidad numera-ble de subconjuntos de 1 elemento, una cantidad numerable de subconjuntos de2 elementos, . . . .

6. Se denominanumero algebraico al que es raz de un p olinomio con coeficientesenteros. Demuestre que hay una cantidad numerable de numeros algebraicos.

Sugerencia: existe una cantidad numerable de polinomios con coeficientes en-teros. Por el Teorema fundamental del Algebra, todo polinomio de grado n tiene,a lo sumo, n races. Del ejercicio anterior se sigue la conclusion.

7. Probar que hay tantos numeros reales enRcomo en cualquier intervalo abiertono vaco enR.

Sugerencia: la funcion f :]/2, /2[ R, f(x) = tg x es biyectiva. Elloprueba que hay tantos elementos en ] /2, /2[ como enR. Comprobar quehay tantos elementos en ] /2, /2[ como en cualquier otro intervalo ]a, b[.

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8. Demostrar queR no es numerable.

Sugerencia: probar que el intervalo ]0, 1[ no lo es. Proceder por reduccion alabsurdo: Considerar una enumeracion0, xn1 x

n2 . . . , n= 1, 2, . . .de los elementos

del intervalo (en forma decimal periodica; por ejemplo 0, 5 se representa por0,499 . . .). Siempre es posible encontrar un elemento b = 0, b

1b

2. . . , b

i=xi

i, i=

1, 2, . . . no incluido en la enumeracion.

Nota: Como consecuencia, hay mas numeros irracionales que racionales, en unsentido que el lector debe precisar, y demostrar.

9. Si un conjuntoSes numerable, pruebe que la familia de todos los subconjuntosde Sno es numerable

Sugerencia: esto es delicado; el procedimiento de prueba contiene las mismasideas que el de probar queR no es numerable.

Nota: De hecho, el mismo argumento prueba que no hay ninguna biyecci on entreun conjunto y el conjunto de todos sus subconjuntos. Esto prueba que no existe

un conjunto con el mayor numero posible de elementos. Como consecuencia, noexiste el conjunto de todos los conjuntos.

10. Demuestre que hay numeros reales que no son algebraicos. Todos los numerosreales que no son algebraicos se llaman transcendentes. De hecho, puede probarque hay mas numeros transcendentes que algebraicos.

Sugerencia: utilizar adecuadamente resultados de los ejercicios anteriores.

11. Dado un puntox en R, hay siempre una sucesion de irracionales que converja ael? y de racionales?. Probar que en todo intervalo que no se reduzca a un puntohay una cantidad infinita de racionales y una cantidad infinita de irracionales.

Sugerencia: probar en primer lugar la segunda parte utilizando el ejercicio 8.

12. Demostrar que el conjunto de todas las sucesiones formadas con los numeros0 y 1 es no numerable. Como consecuencia, probar que la familia de todos lossubconjuntos deN es, tambien, no numerable.

Sugerencia: sirve un razonamiento similar al que prueba queRes no numerable.

13. Demostrar que toda familia de intervalos disjuntos de longitud positiva enR esnumerable.

Sugerencia: razonar por reduccion al absurdo y utilizar el ejercicio 11.

14. Probar que hay tantos elementos en un cuadrado deR2 como en uno de suslados.

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Captulo 2

El espacioRn

2.1. Introduccion: Dos problemas de localizacion op-tima

2.1.1. Enunciados

Problema 1.1 En una meseta dedicada al cultivo extensivo de cereales se encuentransituadas 10 ciudades. Usted es un ingeniero al que se le pide que calcule la localizacionde una planta de energa electrica para abastecer a las mencionadas ciudades. Debehacerlo de forma que cada una de ellas este unida a la planta por su propia lneaelectrica y que la longitud total del cable empleado sea mnima.

Problema 2. En la ciudad de Nueva York los autobuses urbanos circulan, o bien alo largo de las calles, o bien de las avenidas, que se cruzan formando angulo recto.Un ciudadano quiere alquilar un apartamento en un lugar desde el que pierda, a lalarga, menos tiempo en los desplazamientos a 6 distintos lugares en los que trabajasucesivamente durante la semana, cada da en uno. Se trata de localizar el mejoremplazamiento para su piso.

2.1.2. Comentarios al enunciado de los problemas

1. En primer lugar, no hay ninguna razon que haga suponer que el numero 10, o

el 6 tengan algun significado especial a la hora de buscar una solucion a estosproblemas. Lo unico que nos dice es que el numero de ciudades, o de lugaresde trabajo, es lo suficientemente grande como para hacernos abandonar la ideade que se pueda intentar un metodo de tanteo. As que trataremos de resolver

1El problema aqu enunciado aparece en [No67].

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2.2. Descripcion del ambito de trabajo

estos problemas suponiendo que el numero de datos es k , un numero natural.

2. Los problemas as planteados pueden parecer irreales en su simplificacion: esdudoso que el unico criterio para la instalacion de una planta electrica, en elprimero, o para el alquiler de un apartamento, en el segundo, sea la minimizaci on

del cable empleado o del tiempo de acceso al trabajo, respectivamente. Inclusoen el caso de que as sea en el primero, se podra pensar en tender un unicocable en ciertas direcciones que se bifurcara en otros para alcanzar las ciudades.Resolveremos estos casos simplificados en primer lugar.

3. El enunciado de ambos problemas permite hacer la simplificacion de que esposible situar las ciudades, o los lugares de trabajo, en un plano. Este es elprimer paso para la construccion de un modelo matematico que nos permitautilizar tecnicas que a continuacion desarrollaremos. Una de nuestra primerastareas sera la de describir ese plano (o al menos los elementos que necesitaremosen el).

4. Los problemas 1 y 2 son de naturaleza similar. En ambos hay que hacer mnimauna suma de distancias. La descripcion del entorno en el primero sugiere quelos cables se puedan tender en lnea recta entre la planta y las ciudades, ya quese trata de campos de cultivo de cereales. La distanciaes medida de formausual (la llamada distancia eucldeaque luego discutiremos). En el segundo, ladistancia es de otro tipo distinto: a lo largo de rectas perpendiculares a unosejes. El tener una nocion de distancia que contemple esas dos posibilidades si-multaneamente (y otras hipoteticas), hara que podamos hacer un planteamientounificado para ambos problemas (resaltando as lo que tienen de comun). Sinembargo, veremos que la obtencion de la solucion final necesita de tecnicas decalculo distintas segun se trate de una distancia o de otra.


De acuerdo con lo dicho en el comentario 3, supondremos que los datos (las ciu-dades o los lugares de trabajo) se encuentran sobre un plano, cuyo modelo matematicoes el conjuntoR2.

Mas generalmente, muchas de las construcciones que se describiran a lo largo deestas paginas se realizaran sobre el conjuntoRn, que pasamos a describir.

2.2.1. El espacio vectorialRn

En el apartado 1.4.1 se definio el conjuntoR como un conjunto abstracto quesatisfaca un determinado conjunto de axiomas, y en 1.4.3 se dieron dos estructurasque se comportan de la forma descrita, por lo que se pueden tomar como modelos delos numeros reales. En la definicion 1.1.2 se introdujo el concepto producto cartesianode un numero finito de conjuntos.

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Captulo 2. El espacioRn

Definicion 2.2.1 Considerese el conjunto, denotado comoRn, producto cartesianoden copias deR. Sus elementos se expresan comox = (x1, x2, . . . , xn), donde cadaxi R se denomina coordenada iesima dex, i= 1, 2, . . . , n.

Este conjunto tiene una estructura algebraica. Precisamente, las operaciones de

suma y producto enR permiten definir operaciones suma y producto por un escalar(es decir, un numero real) enRn. Precisamente se tiene la siguiente

Definicion 2.2.2 Dados elementosx := (x1, . . . , xn) ey := (y1, . . . , yn) enRn,

elementos que se llamaran vectores, y dado un elemento enR, elemento que sellamaraescalar, se define

1. La operacion suma como aquella que asocia a la pareja (x, y) el elementox+y:= (x1+ y1, . . . , xn+ yn).

2. La operacionproducto por un escalar como aquella que asocia a la pareja(, x)el elemento x:= (x1, . . . , xn).

Estas definiciones introducen una estructura algebraica en el conjunto Rn. Se tienela siguiente proposicion, cuya demostracion es puramente rutinaria, limitandose a unacomprobacion, por lo que no la realizaremos.

Proposicion 2.2.3 El conjuntoRn con las operaciones introducidas en la definicion2.2.2 es un espacio vectorial, es decir, se verifican las siguientes propiedades:

1. (Rn, +) es un grupo conmutativo, es decir,

a) x + (y + z) = (x + y) + z,x, y, z enRn.b) x + y=y + x,

x, y enRn.

c) Existe un elemento0= (0, . . . , 0) enRn tal quex + 0=x,x Rn.d) Dado cualquierx enRn, existe un elemento enRn, denotado comox,

tal quex + (x) =0.2. El producto por un escalar tiene las siguientes propiedades:

a) (x) = ()x, , escalares,x Rn.b) 1x=x,x Rn.c) ( + )x= x + x, , escalares,x Rn.d) (x + y) =x + y, escalar,x, y enRn.

Los elementos de un espacio vectorial arbitrario se llaman vectores. As, nos referire-mos a los elementos deRn como vectores, o tambien puntos.

Podemos ahora dar una formulacion matematica unificada tanto del Problema1como del Problema2. Ambos se formulan sobre el espacioR2. Tenemos localizados

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k puntos en ese plano,p1, p2, . . . , pk, cada uno de ellos con dos coordenadaspi =(xi, yi), i = 1, 2, . . . , k . Intentaremos encontrar un puntop = (x, y) en ese plano deforma que, si d(, ) denota la distancia entre dos puntos, entonces

M=

k

i=1 d(p, pi) (2.1)sea mnima. Es necesario introducir lo que se entiende como una distancia. Esto es loque haremos en el siguiente apartado.

2.2.2. Definicion de distancia

Como hemos dicho antes, los problemas 1 y 2 involucran distancias diferentesen el plano. Esas distancias tienen, sin embargo, algo comun, que queda reflejadoen la siguiente definicion abstracta de lo que se debe entender como una distancia,definicion que puede realizarse en un conjunto no vaco cualquiera.

Definicion 2.2.4 SeaSun conjunto no vaco arbitrario. Una funcion d definida enSS con valores enR (los numeros reales) se dice que es una distancia en S siverifica las siguientes propiedades, siendo x, y, z, elementos deS:

d1) d(x, y) 0.d2) d(x, y) = 0 x= y.d3) d(x, y) =d(y, x) (simetra).

d4) d(x, z) d(x, y) + d(y, z) (desigualdad triangular).

2.2.3. Ejemplos de distancias

La distancia cero-uno

Dado un conjunto no vaco arbitrario Sse define la siguiente funcion sobre S S:

d(x, y) =

1 six =y,0 six= y.

(2.2)

Es sencillo comprobar que d as definida satisface las propiedades d1) a d4) de ladefinicion 2.2.4.

La distancia d1

DadoRn, se define la funcion d1 sobreRn Rn (el producto cartesiano, ver ladefinicion 1.1.2) como

d1(x, y) =ni=1

|xi yi| . (2.3)

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Captulo 2. El espacioRn

Tampoco ofrece ninguna dificultad comprobar que d1 satisface las condiciones dela definicion 2.2.4 para ser una distancia. Notar que es esa la distancia que debe sersubstituida en la formula (2.1) si queremos considerar el Problema 2.

La distancia eucldeaDado el mismo espacio Rn del ejemplo anterior, la siguiente funcion d2 sobre

Rn Rn tambien es una distancia (la distancia eucldea):

d2(x, y) =

ni=1

(xi yi)21/2

. (2.4)

Probar que d2 satisface las condiciones d1), d2) y d3) de la definicion 2.2.4 essimple. Tambien satisface d4) como consecuencia de una desigualdad importante, laDesigualdad de Cauchy-Schwarz, que enunciaremos y probaremos mas adelante (verel teorema 2.2.9). Notar que la distancia eucldea definida en (2.4) es la que debe sersubstituida en la formula (2.1) para considerar el Problema 1.

La distancia d

Dado de nuevo el espacioRn, la siguiente funcion d sobreRn Rn definida por

d(x, y) = max{|xi yi| : i= 1, 2, . . . , n},

dondex = (x1, x2, . . . , xn),y = (y1, y2, . . . , yn) son dos vectores enRn, es una dis-

tancia, como es sencillo comprobar.

2.2.4. Definicion de norma

La siguiente nocion es la generalizacion natural del concepto de valor absoluto deun numero real. Es lo que en Fsica recibe el nombre de modulo de un vector. Sudefinicion debe hacerse en un espacio vectorial, pues requiere la existencia de una talestructura algebraica.

Definicion 2.2.5 SeaEun espacio vectorial sobre el cuerpoK de los reales o de loscomplejos. Unanorma enEes una funcion definida en este espacio con valoresenR, que satisface las siguientes propiedades:

n1)x 0, x E.n2)x = 0 x= 0.n3)x = | | x , x E, K.n4)x + y x + y , x, y E.

Una norma en E induce una distancia, de forma natural; se define

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