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MATEMÁTICAS 1º ESO A y D

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL TEMA 8: SISTEMAS

DE ECUACIONES

Los ejercicios 1, 3 y 4 de la página 160, y los ejercicios 5, 6 y 7 de la página 161 están

hechos y corregidos en clase.

Ejercicio 1, página 162

a)

Hallamos una tabla de valores de cada una de las ecuaciones lineales. Para ello

despejamos una incógnita en cada ecuación y damos valores a la incógnita no

despejada.

x 0 1 2 3 4

y 4 3 2 1 0

x 0 1 2 3 4

y 2 1 0 1 2

Ahora representamos los pares de valores obtenidos en un sistema de ejes de

coordenadas, siendo el eje "x" el eje horizontal, y el eje "y" el eje vertical:

Las rectas se cortan en el punto (3,1), por lo que la solución del sistema de ecuaciones

lineales es e .

b)

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Hallamos una tabla de valores de cada una de las ecuaciones lineales. Para ello

despejamos una incógnita en cada ecuación y damos valores a la incógnita no

despejada (en este caso ya nos dan la "y" despejada).

x 2 0 2 4

y 1 2 3 4

x 2 0 2 4

y 4 3 2

Ahora representamos los pares de valores obtenidos en un sistema de ejes de

coordenadas, siendo el eje "x" el eje horizontal, y el eje "y" el eje vertical:

Las rectas se cortan en el punto (2,3), por lo que la solución del sistema de ecuaciones

lineales es e .

Ejercicio 1, página 163

a)

i) Ya tenemos despejada en la primera ecuación, por lo que sustituimos la expresión

obtenida en la segunda ecuación:

3

ii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iii) Sustituimos el valor de en la expresión donde está despejada , y calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

b)

i) Ya tenemos despejada en la primera ecuación, por lo que sustituimos la expresión

obtenida en la segunda ecuación:

ii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iii) Sustituimos el valor de en la expresión donde está despejada , y calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

c)

i) Ya tenemos despejada en la primera ecuación, por lo que sustituimos la expresión

obtenida en la segunda ecuación:

ii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iii) Sustituimos el valor de en la expresión donde está despejada , y calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

4

d)

i) Ya tenemos despejada en la primera ecuación, por lo que sustituimos la expresión

obtenida en la segunda ecuación:

ii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iii) Sustituimos el valor de en la expresión donde está despejada , y calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

Ejercicio 2, página 163

a)

i) Despejamos, por ejemplo, en la primera ecuación:

ii) Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación:

iii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iv) Sustituimos el valor de en la expresión obtenida al principio al despejar , y

calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

5

b)

i) Despejamos, por ejemplo, en la primera ecuación:

ii) Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación:

iii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iv) Sustituimos el valor de en la expresión obtenida al principio al despejar , y

calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

Ejercicio 3, página 164

a)

i) En este caso, ya tenemos despejada en ambas ecuaciones. Igualamos las dos

expresiones obtenidas para :

ii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iii) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las expresiones donde tenemos la

despejada, y calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

6

b)

i) En este caso, ya tenemos despejada en ambas ecuaciones. Igualamos las dos

expresiones obtenidas para :

ii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iii) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las expresiones donde tenemos la

despejada, y calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

c)

i) Despejamos, por ejemplo, en ambas ecuaciones:

ii) Igualamos las dos expresiones obtenidas para :

iii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las expresiones obtenidas al

principio al despejar , y calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

7

d)

i) Despejamos, por ejemplo, en ambas ecuaciones:

ii) Igualamos las dos expresiones obtenidas para :

iii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las expresiones obtenidas al

principio al despejar , y calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

Ejercicio 4, página 164

a)

i) Despejamos, por ejemplo, en ambas ecuaciones:

ii) Igualamos las dos expresiones obtenidas para :

iii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

8

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las expresiones obtenidas al

principio al despejar , y calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

b)

i) Despejamos, por ejemplo, en ambas ecuaciones:

ii) Igualamos las dos expresiones obtenidas para :

iii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las expresiones obtenidas al

principio al despejar , y calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

Ejercicio 5, página 165

a)

i) En este caso no hace falta multiplicar las ecuaciones por ningún número ya que los

coeficientes de la incógnita son opuestos ( 3 y 3):

9

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

iii) Resolvemos la ecuación obtenida:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

b)

i) Multiplicamos la segunda ecuación por para que los coeficientes de la incógnita

sean opuestos ( 5 y 5):

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

iii) Resolvemos la ecuación obtenida:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

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Ejercicio 6, página 165

a)

i) Multiplicamos la primera ecuación por 3 para que los coeficientes de la incógnita

sean opuestos ( 3 y 3):

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

iii) Resolvemos la ecuación obtenida:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

b)

i) Multiplicamos la primera ecuación por 5 y la segunda ecuación por 3 para que los

coeficientes de la incógnita sean opuestos ( 15 y 15):

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

iii) Resolvemos la ecuación obtenida:

11

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

Ejercicio 7, página 165

a)

i) Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para que los coeficientes de la incógnita

sean opuestos ( 2 y 2):

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

iii) Resolvemos la ecuación obtenida:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

b)

i) Multiplicamos la primera ecuación por 2 para que los coeficientes de la incógnita

sean opuestos ( 4 y 4):

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

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iii) Resolvemos la ecuación obtenida:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

Ejercicio 1, página 166

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Edad de Pepa:

Edad de Enrique:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

Pepa tiene 5 años más que su hermano Enrique:

Entre los dos suman 21 años:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de sustitución, ya que tenemos despejada en la primera

ecuación y solo tenemos que sustituir dicha incógnita en la segunda ecuación.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: era la edad de Pepa e la edad de Enrique, por lo que Pepa tiene 13 años

y Enrique 8 años.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 2, página 166

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Nº de chicos:

Nº de chicas:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

El número de chicas supera en tres al de chicos:

En total hay 29 alumnos y alumnas:

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iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos): en este caso aplicamos el método

de sustitución, ya que tenemos despejada en la primera ecuación y solo tenemos

que sustituir dicha incógnita en la segunda ecuación.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: era el número de chicos e el número de chicas, por lo que hay 13 chicos

y 16 chicas en la clase.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 3, página 167

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Precio de un bolígrafo:

Precio de un rotulador:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

He comprado tres bolígrafos y un rotulador por 6 €:

Rosa ha pagado 9,25 € por dos bolígrafos y tres rotuladores:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de reducción, multiplicando la primera ecuación por 3:

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: hemos denominado al precio de un bolígrafo e al precio de un rotulador,

por lo que un bolígrafo cuesta 1,25 €, y un rotulador, 2,25 €.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

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Ejercicio 4, página 167

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Precio de un kilo de naranjas:

Precio de un kilo de manzanas:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

Un cliente ha pagado 3,90 € por un kilo de naranjas y dos de manzanas:

Otro cliente ha pagado 5,70 € por tres kilos de naranjas y uno de manzanas:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de reducción, multiplicando la primera ecuación por 3:

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: hemos denominado al precio de un kilo de naranjas e al precio de un kilo

de manzanas, por lo que un kilo de naranjas cuesta 1,50 €, y un kilo de manzanas,

1,20 €.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 6, página 168

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

En este tipo de problemas es conveniente hacer una tabla como esta.

Cantidad (kg) Precio (€/kg) Coste (€)

C. superior x 13 13x

C. inferior y 8 8y

Mezcla 30 10 300

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

Cantidades de café

Coste de la mezcla

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iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos): en este caso aplicamos el método

de sustitución, despejando en la primera ecuación y sustituyendo dicha incógnita en

la segunda ecuación.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: hemos denominado a la cantidad de café de calidad superior e a la

cantidad de café de calidad inferior, por lo que se necesitan 12 kg del primero y 18 kg

del segundo.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 8, página 169

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Longitud del lado desigual:

Longitud de cada uno de los lados iguales:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos: el

perímetro es la suma de todos los lados.

Perímetro:

Suma de los dos lados iguales supera en 3 cm al lado desigual:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de reducción.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: el lado desigual del triángulo mide 13 cm, y los lados iguales, 8 cm.

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Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 9, página 169

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Largo:

Ancho:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos: el

área se calcula multiplicando el largo del rectángulo por el ancho del mismo.

Un rectángulo es 7 cm más largo que ancho:

Ocupa una superficie de 98 m²:

En este caso, la segunda ecuación del sistema no es lineal, ya que no es una ecuación

de primer grado sino de segundo grado, como vimos en el tema 6 de Álgebra

(recordad que es de segundo grado porque al haber una multiplicación de dos

incógnitas se suman los exponentes).

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de sustitución, ya que tenemos despejada la en la primera

ecuación.

Llegamos a una ecuación de segundo grado que resolvemos como hemos aprendido

en el tema anterior.

Soluciones del sistema

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Ambas soluciones son conjugadas y nos dan una única solución del problema. las

longitudes no pueden ser negativas, por lo que tomamos las soluciones positivas.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: los lados del rectángulo miden 14 cm y 7 cm.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 1, página 170

a)

Hallamos una tabla de valores de cada una de las ecuaciones lineales. Para ello

despejamos una incógnita en cada ecuación y damos valores a la incógnita no

despejada.

x 5 3 1 1

y 6 4 2 0

x 5 3 1 1

y 1 2 3

Ahora representamos los pares de valores obtenidos en un sistema de ejes de

coordenadas, siendo el eje "x" el eje horizontal, y el eje "y" el eje vertical:

Las rectas se cortan en el punto ( 1,2), por lo que la solución del sistema de

ecuaciones lineales es e .

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b)

Hallamos una tabla de valores de cada una de las ecuaciones lineales. Para ello

despejamos una incógnita en cada ecuación y damos valores a la incógnita no

despejada.

x 4 2 2

y 4 3 2 1

x 4 2 2

y 9 3 3 9

Ahora representamos los pares de valores obtenidos en un sistema de ejes de

coordenadas, siendo el eje "x" el eje horizontal, y el eje "y" el eje vertical:

Las rectas se cortan en el punto ( 2, 3), por lo que la solución del sistema de

ecuaciones lineales es e .

Ejercicio 3, página 170

a)

i) Despejamos, por ejemplo, en la segunda ecuación:

19

ii) Sustituimos la expresión obtenida en la primera ecuación:

iii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iv) Sustituimos el valor en la expresión obtenida al principio al despejar , y

calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

b)

i) Despejamos, por ejemplo, en la primera ecuación:

ii) Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación:

iii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iv) Sustituimos el valor en la expresión obtenida al principio al despejar , y

calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

c)

i) Despejamos, por ejemplo, en la primera ecuación:

20

ii) Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación:

iii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iv) Sustituimos el valor de en la expresión obtenida al principio al despejar , y

calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

d)

i) Despejamos, por ejemplo, en la primera ecuación:

ii) Sustituimos la expresión obtenida en la segunda ecuación:

iii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iv) Sustituimos el valor en la expresión obtenida al principio al despejar , y

calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

21

Ejercicio 4, página 170

a)

i) En este caso, ya tenemos despejada en ambas ecuaciones. Igualamos las dos

expresiones obtenidas para :

ii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iii) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las expresiones donde tenemos

la despejada, y calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

b)

i) Despejamos, por ejemplo, en ambas ecuaciones:

ii) Igualamos las dos expresiones obtenidas para :

iii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las expresiones obtenidas al

principio al despejar , y calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

22

c)

i) Despejamos, por ejemplo, en ambas ecuaciones:

ii) Igualamos las dos expresiones obtenidas para :

iii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las expresiones obtenidas al

principio al despejar , y calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

d)

i) Despejamos, por ejemplo, en ambas ecuaciones:

ii) Igualamos las dos expresiones obtenidas para :

iii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

23

iv) Sustituimos el valor en cualesquiera de las expresiones obtenidas al principio

al despejar , y calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

Ejercicio 5, página 170

a)

i) Los coeficientes de la incógnita ya son opuestos, por lo que no tenemos que

multiplicar por ningún número.

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

iii) Resolvemos la ecuación obtenida:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

b)

i) Multiplicamos la segunda ecuación por 4 para que los coeficientes de la incógnita

sean opuestos ( 4 y 4):.

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

24

iii) Resolvemos la ecuación obtenida:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

c)

i) Multiplicamos la segunda ecuación por 3 para que los coeficientes de la incógnita

sean opuestos ( 3 y 3):.

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

iii) Resolvemos la ecuación obtenida:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

d)

i) Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por 3 para que los

coeficientes de la incógnita sean opuestos ( 6 y 6):.

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

25

iii) Resolvemos la ecuación obtenida:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

Ejercicio 6, página 170 OPCIONAL

a)

Vamos a resolver el sistema mediante el método de reducción.

i) Ordenamos las ecuaciones y multiplicamos la primera ecuación por 2 para que los

coeficientes de la incógnita sean opuestos ( 2 y 2):

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

iii) Resolvemos la ecuación obtenida:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

b)

Vamos a resolver el sistema mediante el método de reducción.

i) Multiplicamos la primera ecuación por 1 para que los coeficientes de la incógnita

sean opuestos ( 1 y 1):

26

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

iii) Resolvemos la ecuación obtenida. En este caso ya es directamente:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

c)

Vamos a resolver el sistema mediante el método de sustitución.

i) Despejamos, por ejemplo, en la segunda ecuación:

ii) Sustituimos la expresión obtenida en la primera ecuación:

iii) Resolvemos la ecuación que hemos obtenido, la cual solo tiene una incógnita:

iv) Sustituimos el valor de en la expresión obtenida al principio al despejar , y

calculamos:

Por tanto, la solución del sistema es e .

d)

Vamos a resolver el sistema mediante el método de reducción.

i) Multiplicamos la primera ecuación por 2 para que los coeficientes de la incógnita

sean opuestos ( 2 y 2):

27

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

iii) Resolvemos la ecuación obtenida:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

e)

Vamos a resolver el sistema mediante el método de reducción.

i) Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para que los coeficientes de la incógnita

sean opuestos ( 6 y 6):

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

iii) Resolvemos la ecuación obtenida:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

28

f)

Vamos a resolver el sistema mediante el método de reducción.

i) Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por 7 para que los

coeficientes de la incógnita sean opuestos ( 14 y 14):

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

iii) Resolvemos la ecuación obtenida:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

Ejercicio 8, página 170 OPCIONAL

a)

Vamos a resolver el sistema mediante el método de reducción.

i) Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para que los coeficientes de la incógnita

sean opuestos ( 2 y 2):

29

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

iii) Resolvemos la ecuación obtenida:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

b)

Vamos a resolver el sistema mediante el método de reducción.

i) Multiplicamos la segunda ecuación por 6 para que los coeficientes de la incógnita

sean opuestos ( 6 y 6):

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

iii) Resolvemos la ecuación obtenida:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

30

c)

Vamos a resolver el sistema mediante el método de reducción.

i) Multiplicamos la primera ecuación por 15 y la segunda ecuación por 4 para que

los coeficientes de la incógnita sean opuestos ( 60 y 60):

ii) Ahora, sumando miembro a miembro, obtenemos una ecuación con una sola

incógnita ( ):

iii) Resolvemos la ecuación obtenida:

iv) Sustituimos el valor de en cualesquiera de las ecuaciones iniciales:

Por tanto, la solución del sistema es e .

Ejercicio 9, página 171

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Denominamos e a los números.

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

La suma de dos números es 57:

La diferencia de dos números es 9:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de reducción.

31

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: los números son 33 y 24.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 10, página 171

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Denominamos al número más pequeño e al número más grande.

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

La diferencia de dos números es 16:

El doble del menor sobrepasa en cinco unidades al mayor:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de reducción.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: los números son 37 y 21.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 11, página 171

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Dinero que lleva Alejandro:

Dinero que lleva Palmira:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

Entre Alejandro y Palmira llevan 15 euros:

Si él le diera a ella 1,50 €, ella tendría el doble:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de reducción.

32

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: Alejandro lleva 6,50 €, y Palmira, 8,50 €.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 12, página 171

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Longitud de la parte que rompe de la caña de bambú:

Longitud de la parte inferior de la caña de bambú, es decir, altura a la que se ha

quebrado:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

Longitud total es 4,80 m:

Se quiebra y el extremo inferior queda a una altura de 60 cm:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de reducción.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: la caña se ha quebrado a una altura de 2,70 m.

4,80 m

y x

0,60 m

33

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 13, página 171

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Tiempo de subida:

Tiempo de bajada:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

La duración total del paseo ha sido de 87 minutos:

En la subida ha tardado 23 minutos más que en la bajada:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de reducción.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: ha tardado 55 minutos en subir y 32 minutos en bajar.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 14, página 171 OPCIONAL

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Precio de un café:

Precio de un refresco:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

Por dos cafés y un refresco nos cobraron 2,70 €:

Por un café y tres refrescos nos han cobrado 4,10 €:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de reducción, multiplicando la segunda ecuación por 2.

34

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: un café cuesta 0,80 €, y un refresco, 1,10 €.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 15, página 171 OPCIONAL

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Número de habitaciones simples:

Número de habitaciones dobles:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

El hotel tiene 35 habitaciones:

El hotel alberga 62 clientes:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de reducción, multiplicando la segunda ecuación por 1.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: el hotel tiene 8 habitaciones simples y 27 habitaciones dobles.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 16, página 171

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Precio de un melón:

Precio de una sandía:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

Carolina se lleva 5 melones y 2 sandías, que le cuestan 13 euros:

35

Julián paga 12 € por 3 melones y 4 sandías:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de reducción, multiplicando la primera ecuación por 2.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: un melón cuesta 2 euros, y una sandía, 1,50 euros.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 17, página 171

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Número de paquetes de 2 kg:

Número de paquetes de 5kg:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

En total hay 200 paquetes de detergente:

Envasa 550 kg de detergente en paquetes de 2 kg y 5 kg:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de reducción, multiplicando la primera ecuación por 2.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: utiliza 150 envases de 2 kg y 50 envases de 5 kg.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

36

Ejercicio 18, página 171

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Número de juegos rebajados:

Número de juegos sin rebajar:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

En total pone a la venta 100 juegos de cama:

Vende os juegos de cama rebajados a 50 €/juego, y los que son sin rebajar, a 70

€/juego, recaudando en total 6 600 €:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de sustitución.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: ha vendido 80 juegos de cama sin rebajar y 20 rebajados.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 19, página 171 OPCIONAL

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Número de kilos vendidos:

Número de kilos retirados:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

Pone a la venta 80 kg de cerezas:

Gana 1 € por cada kilo vendido y pierde 2 € por cada kilo retirado, sabiendo que la

ganancia ha sido de 56 €: ¡IMPORTANTE EL MENOS, PORQUE SON

PÉRDIDAS!

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de reducción, multiplicando la segunda ecuación por 1.

37

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: ha vendido 72 kilos y ha retirado 8 kilos.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 20, página 171

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Número de búfalos:

Número de avestruces:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

Hay 12 cabezas, por lo que hay 12 animales:

Hay 34 patas. Los búfalos tienen 4 patas y las avestruces 2, por lo tanto:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de reducción, multiplicando la primera ecuación por 2.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: hay 5 búfalos y 7 avestruces.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 21, página 171 OPCIONAL

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Número de monedas de 20 céntimos:

Número de monedas de 50 céntimos:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

Tiene 12 monedas:

En total tiene 3,30 €:

38

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de sustitución.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: lleva 9 monedas de 20 céntimos y 3 monedas de 50 céntimos.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 22, página 171 OPCIONAL

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Centímetros que avanza la rana en cada salto:

Centímetros que avanza el saltamontes en cada salto:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

En siete saltos la rana avanza tanto como el saltamontes en cinco:

Si da seis saltos cada uno, el saltamontes habrá superado a la rana en 144 cm:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de sustitución.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: la rana avanza 60 cm en cada salto, y el saltamontes, 84 cm.

39

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 23, página 171 OPCIONAL

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Edad de Cristina:

Edad de María:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

Cristina tiene el triple de edad que su prima María:

Dentro de diez años Cristina tendrá el doble de la edad de María:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de sustitución. Sustituimos en la segunda ecuación:

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: Cristina tiene 30 años, y María, 10 años.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 24, página 171

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Edad de Javier:

Edad del padre de Javier:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

El doble de la edad de Javier coincide con la mitad de la edad de su padre:

Dentro de cinco años, la edad del padre será tres veces la edad de Javier:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de sustitución.

40

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: Javier tiene 10 años, y su padre, 40 años.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 25, página 172

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Largo de la parcela:

Ancho de la parcela:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

La parcela es 25 metros más larga que ancha:

Para cercar la parcela se han necesitado 210 m de alambrada:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de sustitución. Sustituimos la primera ecuación en la segunda.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: la parcela mide 65 m de largo y 40 m de ancho.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

x

y

41

Ejercicio 26, página 172

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Longitud de la base:

Longitud de la altura:

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

El área mide 117 m²:

(ya que el área de un triángulo se calcula como

)

La base supera en un centímetro a los dos tercios de la altura:

En este caso, la primera ecuación del sistema no es lineal, ya que no es una ecuación

de primer grado sino de segundo grado, como vimos en el tema 6 de Álgebra

(recordad que al haber una multiplicación de dos incógnitas se suman los exponentes)

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos anteriormente): en este

caso aplicamos el método de sustitución. Sustituimos la segunda ecuación en la

primera.

Llegamos a una ecuación de segundo grado que resolvemos como hemos aprendido

en el tema anterior. Antes multiplicamos toda la ecuación por 6 para eliminar los

denominadores.

Soluciones del sistema

x

y

42

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: la base mide 13 cm, y la altura, 18 cm. (Ni la longitud de la base ni la de la

altura puede ser un número negativo).

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 27, página 172

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Llamamos x e y a la longitud de los lados desconocidos.

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

El perímetro (que es la suma de la longitud de los lados del polígono) mide 42 cm:

El área mide 73 cm²: (Calculamos el área como la suma

del área de dos rectángulos).

En este caso, la segunda ecuación del sistema no es lineal, ya que no es una ecuación

de primer grado sino de segundo grado, como vimos en el tema 6 de Álgebra

(recordad que al haber una multiplicación de dos incógnitas se suman los exponentes)

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos anteriormente): en este

caso aplicamos el método de sustitución.

Llegamos a una ecuación de segundo grado que resolvemos como hemos aprendido

en el tema anterior. Antes multiplicamos toda la ecuación por 6 para eliminar los

denominadores.

43

Soluciones del sistema

Ambas soluciones son conjugadas y nos dan una única solución del problema.

Tenemos la longitud de dos de los lados, pero faltan los demás lados desconocidos.

Calculamos su longitud así:

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: las longitudes de los lados del polígono son 14 cm, 7 cm, 9 cm, 5 cm, 5 cm y

2 cm.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 28, página 172 OPCIONAL

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Base menor y altura:

Base mayor:

El perímetro de un trapecio es la suma de las longitudes de sus lados. Para calcular

tenemos que hallar antes las longitudes de los lados desconocidos.

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

En este caso ya nos dan las ecuaciones.

En este caso, la primera ecuación del sistema no es lineal, ya que no es una ecuación

de primer grado sino de segundo grado, como vimos en el tema 6 de Álgebra

(recordad que al haber una multiplicación de dos incógnitas se suman los exponentes)

44

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos anteriormente): en este

caso aplicamos el método de sustitución, despejando en la segunda ecuación, con lo

que sustituimos en la primera ecuación después de operarla.

Llegamos a una ecuación de segundo grado que resolvemos como hemos aprendido

en el tema anterior. Antes multiplicamos toda la ecuación por 6 para eliminar los

denominadores.

Soluciones del sistema

Las longitudes de los lados de un trapecio no pueden ser negativas, por lo que nos

quedamos con las soluciones positivas.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: el perímetro del trapecio es cm.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

45

Ejercicio 30, página 172

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

En este tipo de problemas es conveniente hacer una tabla como esta.

Cantidad (l) Precio (€/l) Coste (€/g)

Aceite de oliva

x 3 3 . x

Aceite de orujo

y 2 2 . y

Mezcla 600 2,40 2,40 . 600

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

Cantidades de aceite

Coste de la aleación

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos anteriormente): en este

caso aplicamos el método de sustitución, despejando en la primera ecuación y

sustituyendo dicha incógnita en la segunda ecuación.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: hemos denominado a la cantidad de aceite puro de oliva e a la cantidad

de aceite de orujo, por lo que se necesitan 240 litros del primero y 360 litros del

segundo.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 31, página 172 OPCIONAL

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Distancia que recorre el coche:

Distancia que recorre el camión:

46

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

La suma de las distancias es 270 km:

Los tiempos invertidos por el coche y el camión, hasta el encuentro, son iguales:

(recordad que )

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de sustitución. Despejamos en la primera ecuación y la

sustituimos en la segunda.

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: el coche recorre 165 km, y el camión, 105 km.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.

Ejercicio 32, página 172 OPCIONAL

i) Identifica los elementos del problema y codifícalos algebraicamente:

Distancia desde A del peatón: . Por lo tanto, sabemos que la distancia desde A del

ciclista es

Tiempo: t

ii) Expresa, mediante ecuaciones, las relaciones existentes entre estos elementos:

sabemos que y que el ciclista y el peatón emplean el

mismo tiempo.

Para el peatón:

Para el ciclista:

iii) Resuelve el sistema (por alguno de los métodos aprendidos): en este caso

aplicamos el método de sustitución. Sustituimos la primera ecuación en la segunda.

47

iv) Interpreta la solución en el contexto del problema y compruébala:

Solución: tardan en encontrarse

h, es decir, 20 minutos. El encuentro se produce a

km, es decir, 1 km 333 m del punto de partida A del peatón.

Comprobación: solo tenemos que sustituir los valores obtenidos en las ecuaciones y

ver que se cumplen las igualdades.