MATEMÁTICA 2 – VOLUME 1 Observando os gráficos, é fácil ...€¦ · MATEMÁTICA 2 – VOLUME...

ALEX/2018/APOSTILA 3° ANO EM – MATEMÁTICA II RONDINELLI – RESOLUÇÃO MAT. II – COMP3./Alencar

MATEMÁTICA 2 – VOLUME 1 RESOLUÇÕES – EXERCITANDO EM CASA

AULA 1 01. E A cada 24 horas têm-se 2 pontos de interseção

dos gráficos, conforme as condições estabelecidas. Portanto, em uma semana, o valor do parâmetro será igual a 2 . 7 = 14.

02. D Basta observar os intervalos em que o gráfico da

função Q está abaixo do gráfico da função P. Logo, a resposta é de 0 a 20 e de 100 a 160.

03. B Quando o valor da ação ultrapassa pela primeira

vez Vi, o investidor vende x2

ações, ficando com

x2

. No momento seguinte, quando o valor da ação

fica abaixo de Vm, ele compra x2

, ficando com x. A

seguir, ultrapassando o valor Vi, ele vende x2

,

ficando com x2

. Por último, o valor da ação

ultrapassa Vo, e o investidor se desfaz de todas as ações que restavam, não efetuando nenhuma outra operação no dia.

Portanto, a resposta é 4. 04. C O plano mais vantajoso é aquele que permite o

maior tempo mensal de chamada pelo valor de R$ 30,00. Portanto, do gráfico, é imediato que a resposta é a proposta C.

05. D A taxa de crescimento da altura no tronco de

cone inferior aumenta com o tempo. Já no tronco de cone superior, a mesma taxa diminui com o tempo. Por outro lado, no cilindro, a taxa é constante. Assim, o gráfico que expressa a altura da água na escultura em função do tempo decorrido é o da alternativa D.

06. D De acordo com o gráfico, segue que o resultado

pedido é 2 . 1,7 + 3 . 2,65 + 4 = R$ 15,35. 07. B

Observando os gráficos, é fácil verificar que o nível de eficiência foi muito bom na terça e na quarta-feira.

08. A Tabela obtida com as informações da tabela dada.

Investidor Compra Venda Ganhou Perdeu 1 150 460 310 - 2 150 200 50 - 3 380 460 80 - 4 460 100 - 360 6 100 200 100 -

Portanto, o investidor 1 fez o melhor negócio. 09. E O gráfico deverá representar a função m = f(n) = 1,75n, onde n é o número de quilogramas comprados.

O gráfico correto é:

10. B

M

H

M R 1.200.000 1.410CDRS 1 1H R 1.000.000 2.022

16.9201 0, 1620.220

⋅ ⋅= − = − = ⋅ ⋅

= −

AULA 2 01. C Se em 10 corridas ele arrecadou R$ 410,00, em

média, ele arrecadou 41 reais por corrida. Daí, temos 41 = 5 + 2x, onde x é a quantidade de

quilômetros rodados, em média, por corrida. Resolvendo a equação 2x + 5 = 41, temos x = 18 km. 02. B O preço de equilíbrio é tal que

O DQ Q 20 4P 46 2P

6P 66P 11.

= ⇔ − + = −⇔ =⇔ =

03. C Admitido um crescimento constante, temos uma

função de primeiro grau dada por: y ax b,= + onde a = 4300 (taxa constante) e = − ⋅ =b 880.605 2 4300 872005. Logo, y = 4300x + 872005. 04. A Para obter o custo de cada camiseta, basta

aplicar o valor x = 50 na função y(x).


y(x) 0,4x 60y(50) 0,4 (50) 60y(50) 20 60 40

= − += − ⋅ += − + =

Portanto, R$ 40,00 cada camiseta. 05. A [I] Verdadeira, pois, sabendo que a colheita

segue um padrão de crescimento linear, ou seja, podemos expressá-lo por uma função afim, e sabendo que às 9 horas haviam sido colhidos 730 kg e às 14 horas haviam sido colhidos 3650 kg, temos as seguintes funções:

y ax b 3650 14a by ax b 730 9a b= + = +

⇒ = + = +

Multiplicando a segunda equação por 1:−

= + = +

⇒ × − − = − −= +

3650 14a b 3650 14a b( 1) 730 9a b730 9a b

Somando as duas equações do sistema:

3650 14a b730 9a b

5a 2920a 584

= + +− = − −==

Substituindo a na segunda equação para obter b:

730 9a b 9 (584) b 7305356 b 730b 4526

= + ⇒ ⋅ + =+ =

= −

Logo, a equação que permite calcular o número

de quilogramas (y) em função do tempo (x) é dada pela expressão y = 584x – 4526.

[II] Verdadeira, pois, para obter a produção às 18

horas, basta utilizar a função encontrada em [I]. Logo:

y(x) 584x 4526y(18) 584 (18) 4526y(18) 5986 kg.

= −= ⋅ −=

[III] Falsa, pois, para obter o início da produção,

basta encontrar o valor que zera a função, ou seja, deve-se obter y(x) = 0.

y(x) 584x 4526y(0) 584x 4526584x 4526x 7,75 horasx 7 horas 45 minutos.

= −= −=

==

06. A O valor de b é a taxa de variação da função linear.

Como já foi dito que essa variação é de 10.000 documentos ao ano, podemos considerar que b = 10.000.

07. C Calculando o custo total: + ⋅ = + =2.000 (25 60) 2.000 1.500 R$ 3.500,00. 08. D Chamemos de e o resultado procurado. Sabendo

que a temperatura de solidificação da água na escala Celsius é igual a 0 ºC, vem:

e 0 0 16 e 51 E.

0 80 16 41− −

= ⇔ ≅ − °− −

09. B Uma equação que nos dá a porcentagem P da

bateria em função do tempo t (em minutos) será

dada por: 50 tP ,100 300

= − pois a bateria consome

1% da carga a cada 3 minutos.

Portanto, 50 t0 t 150min t 2,5h.100 300

= − ⇒ = ⇒ =

10. D

A BL (t) L (t)3t 1 2t 9 t 10.− = + ⇒ =

=

Portanto, no décimo mês, as empresas A e B terão o mesmo lucro.

AULA 3 01. C Sabendo que a venda diária total nas bilheterias é

constante e igual a 2 milhões de ingressos, tem-se que v é uma função linear do tempo t, isto é,

∈ ≤ → v : {x | x 10} , com =v(t) 2t. Portanto, o gráfico que melhor descreve v para os

dez primeiros dias é o da alternativa [C]. 02. A Seja + ∞ → H : [0, [ a função dada por

= +H(A) mA h, em que H(A) é a população mundial, em bilhões, A anos após 2025. Tomando A = 0 para o ano de 2025 e A = 25 para o ano de 2050, obtemos os pontos (0; 8, 1) e (25; 9,6). Desse modo, vem:

−= =

−9,6 8, 1m 0,06.25 0

Portanto, a lei de H é = ⋅ +H(A) 0,06 A 8,1. 03. D ⇒ =2006 t 0 e y = 11% ⇒ =2013 t 7 e y = 17% Considerando a função afim = ⋅ +y a t b, temos: = ⋅ + ⇒ =11 a 0 b b 11

Logo, = ⋅ + ⇒ =617 a 7 11 a7

Portanto, 6y t 117

= ⋅ +


04. A Seja + → p : a função dada por = +p(t) at b,

em que p(t) é a porcentagem relativa à capacidade máxima do reservatório após t meses. Logo, tomando os pontos (6, 10) e (1, 30), segue que a taxa de variação é dada por

−

= = −−

10 30a 4.6 1

Em consequência, vem: = ⇔ − ⋅ + = ⇔ =p(1) 30 4 1 b 30 b 34. Portanto, temos: − + =4t 34 0, implicando em

=t 8,5. A resposta é 8,5 – 6 = 2,5 meses, ou seja, 2 meses

e meio. 05. C Variação entre 2004 e 2010 = − =968 750 218 . Logo, em 2016, teremos: + =968 218 1.186 favelas. 06. B A taxa de variação do nível da bateria é igual a

−= −

−40 100 10.16 10

Desse modo, o nível da bateria

atinge 10% após =90 910

horas de uso, ou seja, às

19 h. 07. E Do enunciado e do gráfico, temos:

Os triângulos ABC e AED são semelhantes, pois

ˆ ˆBCA EDA 90= = ° e α é ângulo comum dos triângulos ABC e AED.

Então,

AC BCAD EDx 120 200

80 3200x 120 1

80 16x 120 5x 125

=

−=

−=

− ==

Nas condições apresentadas, o maior número de peças que se pode comprar com R$ 9.800,00 é 125.

08. A Sendo a lei da função R dada por R(x) = 1.000x,

tem-se que o lucro obtido com a venda de 1 kg do produto é igual a − =1.000 950 R$ 50,00. Portanto, como R$ 50,00 corresponde a 5% de R$ 1.000,00, segue o resultado.

09. E

Tem-se que =2y x,4

isto é, =1y x.2

Portanto, para

x = 2.350, vem = ⋅ =1y 2.350 R$ 1.175,00.2

10. C Considerando como x’ a porção de madeira

chamuscada e y o tempo em segundos, pode-se escrever:

y = ax’, onde:

− −

= = → = → =− −

2 1

2 1

y y 15 3a a 6 y 6xx x 2,5 0,5

Logo, para queimar totalmente o palito de fósforo:

== ⋅ → = =

x’ 10,5 cmy 6 10,5 y 63 segundos 1 min e 3 segundos

AULA 4 01. B As taxas de desvalorização anual dos veículos I, II,

III e IV foram, respectivamente, iguais a

25 75 105 0

10 60 12,54 0

14 50 66

16 36 5.4

−= −

−−

= −−−

= −

−= −

Portanto, segue que o veículo que mais desvalorizou por ano foi o II.

02. C Sendo o gráfico uma reta, pode-se escrever:

y ax bb 10

30 10a a 102 0

y 10x 10

= +=

−= → =

−= +

Piscina cheia quando x = 5, logo: y 10 5 10 y 60 litros= ⋅ + → = 03. D Analisando as alternativas:: [A] INCORRETA. A parte fixa cobrada pelo Sr. Luiz

corresponde ao ponto onde a reta apresentada corta o eixo y (ou seja, quando a quantidade de fios é igual a zero). Para encontrar a equação da reta, faz-se:


2 11 1

2 1

y yy y (x x )

x x100 80y 80 (x 15)25 15

y 2x 50

−− = ⋅ − →

−−

→ − = −−

→ = +

Assim, quando x = 0, y = 50. Logo, a parte fixa cobrada pelo Sr. Luiz equivale a R$ 50,00. A alternativa é incorreta.

[B] INCORRETA. Pela equação do gráfico que

representa o orçamento do Sr. Luiz, percebe-se que ele cobra a parte fixa de R4 50,00 mais R$ 2,00 a cada metro de fio instalado (y = 2x + 50). Portanto, a alternativa é incorreta.

[C] INCORRETA. Se o Sr. José cobra R$ 4,50 por

metro de fio utilizado, então a função de seu orçamento é uma reta que passa pela origem e cuja equação é y = 4,5x. Percebe-se, pela análise dos coeficientes angulares, que a reta que representa o valor cobrado pelo Sr. José começa na origem mas cresce mais rápido que a reta que representa o valor cobrado pelo Sr. Luiz. Assim, até as duas retas se encontrarem, será vantajoso contratar os serviços do Sr. José. Após isso, será mais vantajoso contratar os serviços do Sr. Luiz. Na figura a seguir, a linha vermelha indica a função do orçamento do Sr. José. Portanto a alternativa é incorreta.

[D] CORRETA. Substituindo a quantidade de fios

x = 20 nas duas equações, tem-se: Sr. Luiz y 2x 50 2 20 50 90→ = + = ⋅ + = Sr. José y 4,5x 4.5 20 90→ = = ⋅ = Portanto, se forem gastos 20 metros de fio

ambos os orçamentos resultarão em R$ 90,00. A alternativa é correta.

04. B Seja g : + → a função dada por g(x) ax b,= +

em que g(x) é o gasto de água por minuto para x voltas da torneira. Logo, a taxa de variação da função g é

0,03 0,02a 0,02.112

−= =

−

Desse modo, temos 0,03 0,02 1 b b 0,01.= ⋅ + ⇔ =

Para um gasto de 30,034 m por minuto, segue que

0,034 0,02 x 0,01 0,02 x 0,024x 1,2x 1 0,2

1x 1 .5

= ⋅ + ⇔ ⋅ =⇔ =⇔ = +

⇔ = +

A resposta é 15

de volta.

05. C

R(1) 1 a b 1R(2) 1 2a b 1

= − ⇒ + = −= ⇒ + =

Resolvendo o sistema a b 12a b 1+ = −

+ = temos, a = 2 e

b = -3 e R(t) = 2t – 3; Em quatro meses temos, R(4) 2 4 3 5.= ⋅ − = Resposta: R$ 5.000,00. 06. A Pelo gráfico pode-se concluir que o salário inicial

fixo do vendedor é de R$ 800 e que se este vender R$ 20.000 em produtos, receberá um aumento de R$ 400 no salário. Logo, pode-se concluir que sua comissão é de 2% sobre o valor das vendas (400 20.000 0,02 2%).÷ = =

07. D Considerando x o total de quilômetros rodados e y

o valor da corrida, que poderá ser expresso através da função do afim y = ax + b, onde é o preço da corrida e b o valor fixo da bandeirada.

De acordo com as informações do problema, temos o seguinte sistema linear:

8 a b 28,505 a b 19,50⋅ + =

⋅ + =

Onde, a = 3 e b = 4,50 Portanto, o valor da bandeirada será de R$4,50. 08. B Admitindo que Q = mt + p, temos: Em 2010, t = 0 e Q = 49. Em 2020, t = 10 e Q = 44

P = Q(0) = 49 e 44 49 1m10 0 2−

= = −−

Logo, 1Q t 49.2

= − +

09. B Sabe-se que o tempo da mãe de João é 30

minutos menor que o tempo de João. Considerando t o tempo da mãe de João e t + 0,5

o tempo de João, temos a seguinte igualdade:

60t 20(t 0,5) 60t 20t 10

t 0,25h 15min.= + ⇒ = + ⇒

⇒ = =

E a distância percorrida por ambos é d 60 0,25h 15km.= ⋅ =


10. B De acordo com as informações do problema,

temos:

A

B

y 720 – 10x

y 60 12x

=

= +

O valor x0 indicado no gráfico é o valor de x quando yA = yB, ou seja:

720 10x 60 12x22x 660

x 30

− = +− = −=

Logo, 0x 30 horas.= AULA 5 01. D Sejam x e y, respectivamente, o peso de uma telha

e o peso de um tijolo. Logo:

= ⇔ =5x1.500x 1.200y y .4

Se n é o número máximo de tijolos que o caminhão pode transportar quando está carregado com 900 telhas, então:

+ = ⇔ ⋅ =

⇔ =

5x900x ny 1500x n 600x4

n 480.

02. B

Considerando x a largura da escrivaninha, temos: 0,4 + 1,2 + 0,4 + x + 0,4 + 1,2 + 0,4 = 5 m Portanto, x = 1 m. 03. C x: quantidade de gasolina a ser adicionada em

litros. 25% de 40.000 = 10.000. Portanto:

( )+ = ⇔ = ⇔

⇔ =

⋅40.000 x 0,20 10.000 0,2x 2.000x 10.000.

10.000 L de gasolina precisam ser adicionados. 04. A De acordo com as informações, obtemos o

sistema:

+ =

+ =

x y 1505000000,28x 0,22y 36140000

Portanto, o funcionário que modelou corretamente o problema foi André.

05. C 500 (0,65 + 0,60 + 0,20) + x . 0,65 = 1.000 0,65x + 725 = 1.000 0,65x = 275 x = 423,076 (423 selos) Logo, deverão ser comprados 923 (500 + 423)

selos de R$ 0,65. 06. D X é a cota de cada participante. 50.7 + 5x = 510 ⇔ 5x = 510 – 350 ⇔ 5x = 160 ⇔ ⇔ x = 32,00 07. E Custo:

2 118 14,70 16,903 3

2 1 216,90 x 15,30 x 11,80 x 17,70 .3 3 3

⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ ⇒ ⋅ = ⇒ =

Redução de R$ 0,30. 08. D Tempo utilizado para as questões de Língua

Portuguesa: T3

;

Tempo utilizado para as questões de Língua

Inglesa: ⋅

⋅ =1 2 T T4 3 6

;

Tempo utilizado para as questões de Matemática: ⋅ ⋅ − − =

80 T T 2 T1100 3 6 5

;

Tempo utilizado para o preenchimento do cartão de respostas: 5 minutos;

Tempo que sobrou depois de ter entregado a prova: 22 minutos.

Temos, então, a seguinte equação:

+ + + + = ⇒T T 2T 5 22 T3 6 5

+ + + += ⇒

10T 5T 12T 150 660 30T30 30

= ⇒ =3T 810 T 270 minutos. Portanto, ≥T 260. 09. D Sejam a e , respectivamente, a massa de um

cubo azul e a massa de um cubo laranja. Assim, temos:

+ = = − ⇔ + = − + =

=⇔ =

2a 2 a 2 3a 3 2 4 6 2

a 0,2 kg.

1,6 kg

Portanto, a resposta é − = a 1,4 kg. 10. D A produção P das duas máquinas juntas será,

considerando o tempo em minutos:

=nP

160


A produção de n2

peças da máquina A

funcionando sozinha será:

= = ⋅ → =A A

n n 1 n2P P120 2 120 240

A produção de n2

peças da máquina B

funcionando sozinha durante o tempo t será:

= = ⋅ → =B B

n n 1 n2P Pt 2 t 2t

Se a velocidade de produção é constante, então pode-se escrever:

A Bn P P

160n n n n n (t 120)

160 240 2t 160 240tt 120 80t 19200 t 240 minutos240t

= +

⋅ += + → = =

+= → = → =

AULA 6 01. B Tem-se que

+ +≤ ⇔ ≥ ⇔ < − ≥ −

− − +x 1 x 1

0 0 x 5 ou x 1.x 5 x 5

Portanto, vem = −∞ − ∪ − ∞S ( , 5) [ 1, ). 02. C Preço de venda: V = 5p – 7 Preço de custo: C = 2p + 11 Para que não se tenha prejuízo: V ≥ C Logo: 5p – 7 ≥ 2p + 11 3p ≥ 18 p ≥ 6 A quantidade mínima de itens produzidos e

vendidos para que não se tenha prejuízo é 6. 03. E Seja n o número de empregados reabilitados ou

com deficiência, habilitados, que será contratado. Logo, deve-se ter:

+ ≥ ⋅ + ⇔ ⋅ ≥ ⇔ ≥n 10 0,05 (n 1.200) 0,95 n 50 n 52,6. Portanto, a resposta é 53. 04. A Seja v o valor cobrado por dia no estacionamento.

Para que o usuário prefira deixar seu carro no estacionamento por dois dias, deve-se ter:

+ ≤ ⇔ ≤2v 10 80 v R$ 35,00. Portanto, o valor deve ser no máximo R$ 35,00. 05. A Seja p o percentual da população vacinada, e

supondo que para os 2% em que a vacina é ineficaz ainda há 50% de probabilidade de infecção, temos:

⋅ ⋅ + ⋅ − ≤ ⇔ ≥

⇔ ≥0,02 0,5 p 0,5 (1 p) 0,059 0,49p 0,441

p 0,9.

Portanto, a proposta implementada foi a I.

06. D

≥ +− ≥≥

≥

5q 2q 125q 3q 123q 12q 4

Portanto, a quantidade mínima deverá ser 4 unidades.

07. C Como as dimensões da caixa, em centímetros,

são iguais a x, 16 – 2x e 20 – 2x, temos: = ⋅ − − = − +3 2V x (16 2x)(20 2x) 4x 72x 320x, em que

V é o volume, em centímetros cúbicos, e 0 < x < 8. Daí temos que: − + ≥ ⇔ − + − ≥3 2 3 24x 72x 320x 384 x 18x 80x 96 0. Logo, observando que x = 2 é raiz da equação

− + − =3 2x 18x 80x 96 0, e, sabendo de (a) que < <0 x 8, vem:

− − + ≥ ⇔ − − − ≥⇒ ≤ ≤

2(x 2)(x 16x 48) 0 (x 2)(x 4)(x 12) 02 x 4.

08. E Do enunciado, temos:

( ) ( )=

C xC x ,

x onde ( )C x é o custo médio.

Então:

( )

( )

( )

+=

= +

= +

10000 axC xx

10000 axC xx x

10000C x ax

Em janeiro, ( ) =C 1000 60, logo:

= +

= +=

1000060 a1000

60 10 aa 50

Em fevereiro, para que não haja prejuízo, devemos ter:

( )− + ≥

− − ≥≥

≥=mínimo

75x 10000 50x 075x 10000 50x 025x 10000x 400x 400

09. C O carro de André consome 0,1 litro de combustível

por cada quilômetro rodado. Considerando que x é o preço em reais de cada

litro de combustível, temos o valor do reembolso dado por + ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤0,2 0,1x 0,5 0,1x 0,3 x 3.

Portanto, o valor máximo que André dera para pôr 1 litro de combustível é de R$ 3,00.


10. D

Sofia gastaria 30 12 R$ 0,60,

600⋅ = ou seja,

sessenta centavos de reais, em cada lavagem com o sabão C.

Se n = 1, o gasto por lavagem com o sabão D é

igual a 100 24 R$ 0,80.

3.000⋅ =

O valor de n, com 1 n 10,< ≤ para que Sofia gaste menos reais com o sabão D do que com o sabão C, em cada lavagem de roupas, deve ser tal que

100 3n 6 2524 1 n 8,333 ,3.000 100 10 3

⋅ ⋅ − < ⇔ > =

ou seja, o valor mínimo de n é 9. AULA 7 01. D X = Número de amigos.

− = ⇔ − = ⇔

⇔ − − =2

342 342(x 3).19 3. x.(x 3) 3.x 19

x 3x 54 0

Resolvendo, temos x = 9 ou x = –6 (não convém). 02. B Calculando:

( ) ( ) ( )

= ⇒ =

= + ⇒ = + ⇒ = +− − −

300 livros 300x livros / prateleira xN prateleiras N300 300 300 60 60x 5 5 1N 3 N 3 N N 3 N

=

− − = ⇒= −

= ⇒

2 N 15N 3N 180 0

N 12 (não convém)N 15 múltiplo de 3

03. A Quantidade de calculadoras: x

Preço de cada calculadora: 300

x

De acordo com o enunciado, podemos escrever:

+ ⋅ − = ⇒

⇒ + − − = ⇒

− − = ⇒ − − = ⇒

− − = ⇒ = = −2

300 20 (x 4) 300x

1200300 20x 80 300x

1200 6020x 80 0 x 4 0x x

x 4x 60 0 x 10 ou x 6 (não convém)

Portanto, em março, ele compraria mais de 8

calculadoras. 04. C

Valor que cada aluno deveria pagar: =600pn

;

Valor referente aos alunos que foram embora:

= ⋅6002p 2n

.

Os outros alunos pagaram 10 a mais cada um para suprir a dívida dos colegas que foram embora. Portanto:

− ⋅ = ⋅ ⇒ − − =2600(n 2) 10 2 n 2n 120 0n

⇒ = = −n 12 ou n 10 (não convém) Considerando, então, n = 12, temos p = 50. Analisando cada uma das alternativas, temos: [A] Correta, pois 20% de 50 = 10. [B] Correta, pois n = 12 > 11. [C] Incorreta, pois p = 50 > 45. [D] Correta, pois 2 . 50 = 100 > 80. 05. A Sendo x o número de convites que recebeu cada

funcionário do Planejamento, podemos escrever: Número de funcionários do Atendimento será

dado por: +90

x 4;

Número de funcionários do Atendimento será

dado por: 90x

.

Podemos, então, escrever:

( )+ = ÷+

+ =+⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ +

90 90 60 30x 4 x

3 3 2x 4 x3 x 3 (x 4) 2 x (x 4)

( )+ + = +

+ − = ÷

+ − =

− ±=

⋅=

2

2

2

3x 3x 12 2x 8x

2x 2x 12 0 2

x x 6 0

1 25x2 1

x 2 ou x = -3

Portanto, cada funcionário do Planejamento

recebeu dois convites e cada funcionário do Atendimento recebeu 6 convites.

[A] Verdadeira, pois 4 + 2 = 6. [B] Falsa, pois x = 2.

[C] Falsa, pois =+90 15.

2 4

[D] Falsa, pois =90 45.2

06. E Calculando:

( )

( ) 2

2 x y 700x y 30.000

x y 350 x 350 y

350 y y 30.000 y 350y 30.000 0

y ' 150 x ' 200y '' 200 x '' 150

⋅ + =

⋅ =+ = → = −

− ⋅ = → − + = →

= → = = → =

Assim, as dimensões do retângulo são 150 e 200 centímetros.


07. A Seja p o preço de uma caixa. Temos:

Qp 480 Q 10

.(Q 2)(p 8) 480 p 48

= = ⇔ + − = =

Portanto, Q 10.= 08. A Sejam n e q, respectivamente, o número de

caminhões utilizados e a capacidade de cada caminhão. Tem-se que

⋅ = + ⋅ − ⇔ = ⋅ +n q (n 4) (q 500) q 125 n 500. Desse modo, vem:

⋅ = ⇔ ⋅ ⋅ + =

⇔ + − =⇒ =

2

n q 60000 n (125 n 500) 60000

n 4n 480 0n 20.

Portanto, o resultado pedido é 20 + 4 = 24. 09. C n = número inicial de trabalhadores.

Cada trabalhador deveria receber 10800 .

n

Como três desistiram e os demais receberam, cada, 600 reais a mais referente ao valor que caberia aos três desistentes, temos a equação:

2

10.800 324600.(n 3) 3 6.(n 3)n n

6n 18n 324 0

− = ⋅ ⇒ − = ⇒

⇒ − − =

Resolvendo a equação acima, temos: n = 9 ou

n = –6 (não convém). Portanto, 6 (9 – 3) trabalhadores realizaram o

serviço.

Cada um deles recebeu 10.800 1.800 reais.

6=

10. C Seja n o número de pessoas que inicialmente

fariam a divisão. De acordo com as informações, obtemos:

= + ⇔ − − =

−⇒ =

21200 1200 90 n 3n 40 0n 3 n

n 8.

AULA 8 01. D Sendo f(0) = 2, vem B = (0, 2). Ademais, como

ABCD é um quadrado, temos D = (2, 0). Finalmente, como f(2) = 6, vem P = (2, 6) e,

portanto, o resultado é 22 + 62 = 40. 02. D Queremos calcular o valor de t, para o qual se tem

T(t) = 39. Desse modo:

= − + ⇔ =

⇒ = ⋅⇔ =

2 2t t39 400 3614 4

t 4 361t 38min.

03. D Completando a tabela para x meses, temos:

Número de meses

Preço do pacote

Número de pacotes

1 2.000 – 100 . 1 50 + 10 . 1 2 2.000 – 100 . 2 50 + 10 . 2 3 2.000 – 100 . 3 50 + 10 . 3 … … … x 2.000 – 100 . x 50 + 10 . x

Portanto, a equação que determina o mês de faturamento de R$ 136.000,00, é

2

2 2

(2.000 100 x) (50 10 x) 136.000

100.000 20.000 x 5.000 x 1.000 x 136.000

100 20 x 5 x x 136 x 15x 100 136.

− ⋅ ⋅ + ⋅ =

⇒ + ⋅ − ⋅ − ⋅ =

⇒ + ⋅ − ⋅ − = ⇒ − + + =

04. C Pontos de intersecção da função f com o eixo x :

2x 10x 9 0x 1

10 64x2

x 9

− + − =

=− ±

=−

=

Portando, os pontos de intersecção são (1, 0) e (9, 0).

Pontos de intersecção da função f com a função g.

2

2

x 10x 9 7

x 10x 16 0x 2

10 36x2

x 8

− + − =

− + − =

=− ±

=−

=

Portanto, os pontos são (2, 7) e (8, 7). Calculando agora a área do trapézio formado com

os vértices nestes quatros pontos.

( )8 6 7

A 492+ ⋅

= =


05. A Seja f : [0, 10] [0, 10],→ com 2f(x) ax bx c.= + +

Desse modo, temos

f(0) 0 c 0f(5) 6 25a 5b 6f(10) 10 100a 10b 10

1a25

7b .5

c 0

= == ⇔ + == + =

= −

⇔ =

=

Portanto, segue que 21 7f(x) x x.25 5

= − +

06. E A abscissa do vértice da parábola

23y x 6x C2

= − + é igual a ( 6) 2.322

−− =

⋅

Por outro lado, sabendo que o vértice da parábola pertence ao eixo das ordenadas, temos:

2

v

3( 6) 4 C2y 0 34a 4

26C 36 0C 6.

− − ⋅ ⋅∆= − ⇔ = −

⋅

⇔ − =⇔ =

Portanto, segue-se que o resultado pedido é f(0) C 6cm.= =

07. A Considerando que na figura a bola atinge o ponto

mais alto quando está a 3,5 m do eixo y. Isto nos permite escrever que o x do vértice é 3,5.

Portanto, na função 2y ax bx c,= + + o valor do x do vértice será dado por:

b 3,5 b 7a2a

− = ⇒ = −

O valor de c é justamente a ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo y, portanto c = 2.

Temos então a função do segundo grau descrita por: 2y ax 7x 2= − +

É possível também observar na figura que o ponto (4,6; 3) pertence ao gráfico desta parábola, logo:

23 a (4,6) 7a (4,6) 23 21, 16a 32,2a 21 11,4a

1 7a e b11,04 11,04

= ⋅ − ⋅ += − += −

− −= =

Portanto, 2x 7xy 2

11,04 11,04−

= + +

Observação: quando determinamos que b 7a,= − poderíamos ter assinalado diretamente a resposta, pois a única alternativa em que b 7a= − é a [A].

08. D

2 P r i

P k E= ⋅= ⋅

2

2 r.ik E r i Ek

⋅ = ⋅ ⇒ = (como r e kA são constantes

reais, temos uma função do segundo grau na variável i).

Portanto, o melhor gráfico para que representa a relação pedida é o da alternativa [D].

09. E Consideremos a função y = ax2 + bx + c. Como xv = 0, então b = 0. Veja:

vb bx 0 b 02a 2a

= − ⇒ = − ⇒ =

Como f(0) = 4 então c = 4. Veja: 24 a 0 0.0 c c 4= ⋅ + + ⇒ =

Como f(10) = 3 então a = 1100

− . Veja:

23 a 10 0.10 4 3 100a 4

1100a 1 a100

= ⋅ + + ⇒ = + ⇒

⇒ = − ⇒ = −

Então a função é: 21y x 4100

= − +

10. E O valor de p é a ordenada do ponto ocupado pelo

bombeiro (x = 0). 2p 0 2.0 3 p 3= − + + ⇒ =

O valor de q é a abscissa do ponto ocupado pelo fogo (y = 2).

( ) ( )

2

2

2

2 x 2x 3

x 2x 1 0

2 4.1. 1 8

2 8x 1 22

= − + +

⇒ − − =

∆ = − − − =

±= = ±

Como q é positivo então q 1 2= + .

Daí p – q = 2 2− AULA 9 01. A

( )

( )

( )

máx

máx

x 2h 120 minno vértice

y 100%

x 0raízes y ax x 240

x 2401100 120a 120 240 a

144xy x 240 para 0 x 120

144

= =⇒ ==

⇒ ⇒ = ⋅ − =

= ⋅ − ⇒ = −

= − ⋅ − ≤ ≤

02. C Do gráfico, temos que os zeros da função

quadrática são 2 e 5. Logo, a lei da função é dada


por y a (x 2) (x 5),= ⋅ − ⋅ − com a .∗∈ Então, como a parábola intersecta o eixo das ordenadas no ponto (0, 10),− segue que

10 a (0 2) (0 5) a 1.− = ⋅ − ⋅ − ⇔ = − Portanto, y (x 2) (x 5)= − − ⋅ − e a soma pedida é

igual a (1 2) (1 5) 4.− − ⋅ − = − 03. B Utilizando a fórmula fatorada, temos: Y = a (x - 4) . (x + 4) 4 = a . (2 - 4) . (2 + 4) a = - 1/3 Portanto, y = -1/3 . (x2 – 16)

y = 1 162x3 3

− ⋅ +

Logo, a altura do túnel é b = 16/3. 04. C Pode-se redesenhar a parábola formada pela

montanha russa no plano cartesiano com as coordenadas:

Sabendo que uma parábola é a representação

gráfica de uma função do segundo grau e sabendo que o eixo das coordenadas é o eixo de simetria da parábola, logo:

2f(x) ax bx c= + + mas b = 0, logo: 2f(x) ax c= + . Ainda, sabendo que V(0,30) e M1(450,280),

pode-se escrever:

2

2

f(0) 30

f(0) a 0 c 30 c 30f(450) 280

f(450) a 450 30 280250 1a a

202500 810

=

= ⋅ + = → ==

= ⋅ + = →

→ = → =

Logo, a função da parábola será:

21f(x) x 30810

= ⋅ +

E a distância entre o centro da roda dianteira do carrinho 1 e o centro da roda traseira do carrinho 3 quando esses centros estiverem a 70 metros do solo é igual a 2x, quando f(x) = 70, ou seja:

2

2

1f(x) 70 x 30810

x 32400 x 180

= = ⋅ + →

→ = → = ±

Como trata-se de distância, pode-se descartar a raiz negativa da equação e a distância entre as rodas dos carrinhos 1 e 3 será igual a 2x 2 18 360 m.= ⋅ =

05. D Adotando convenientemente um sistema de

coordenadas cartesianas, considere a figura.

Sejam A o ponto de lançamento do projétil e a

função quadrática f : [ 20, 20] ,− → dada na

forma canônica por 2f(x) a (x m) k,= ⋅ − + com a, m, k ∈ e a 0.≠ É imediato que m = 0 e k = 200. Logo, sabendo que f(20) = 0, vem

2 10 a 20 200 a .2

= ⋅ + ⇔ = −

Portanto, temos 2xf(x) 200

2= − e, desse modo,

segue que o resultado pedido é

2( 10)f( 10) 200 150 m.

2−

− = − =

06. D V= (1,5 –x/10). (1000 + 100x) V = 15000 + 50x – x2 07. D Queremos calcular os valores de 2x e de 2y, e tal

modo que a área A = x . y seja máxima e 40x 10y 5.000,+ = isto é, y 500 4x.= − Daí, como A 4x(x 125)= − − atinge um máximo para

0 125x 62,5 m,2+

= = temos y 500 4 62,5 250= − ⋅ =

e, portanto, segue que 2x 125 m= e 2y 500 m.= 08. A Sejam v o valor da entrada e n o número de

aumentos de R$ 2,00. Logo,

v 10v 10 2 n n .

2−

= + ⋅ ⇔ =

Assim, temos


P 1000 40 nv 101000 40

21200 20v.

= − ⋅−

= − ⋅

= −

O que implica em Pv 6020

= − e, portanto,

2P PF 60 P 60P.

20 20 = − ⋅ = − +

09. D Considere a figura, em que AC 80 m= e

AB 60 m.=

Tomando AD y= e AF x,= da semelhança dos

triângulos ABC e DEC, obtemos

CD DE 80 y x80 60CA AB

4xy 80 .3

−= ⇔ =

⇔ = −

Logo, a medida da área do terreno destinado à construção da casa é dada por

2

2

2

(ADEF) AF AD4xx 803

4 (x 60x)34 [(x 30) 900]3

41200 (x 30) .3

= ⋅

= ⋅ −

= − ⋅ −

= − − −

= − −

Portanto, a área máxima é igual a 21200 m , quando x = 30 m.

10. A Considerando que na figura a bola atinge o ponto

mais alto quando está a 3,5 m do eixo y. Isto nos permite escrever que o x do vértice é 3,5.

Portanto, na função 2y ax bx c,= + + o valor do x do vértice será dado por:

b 3,5 b 7a2a

− = ⇒ = −

O valor de c é justamente a ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo y, portanto c = 2.

Temos então a função do segundo grau descrita por: 2y ax 7x 2= − +

É possível também observar na figura que o ponto (4,6; 3) pertence ao gráfico desta parábola, logo:

23 a (4,6) 7a (4,6) 23 21, 16a 32,2a 21 11,4a

1 7a e b11,04 11,04

= ⋅ − ⋅ += − += −

− −= =

Portanto, 2x 7xy 2

11,04 11,04−

= + +

Observação: quando determinamos que b 7a,= − poderíamos ter assinalado diretamente a resposta, pois a única alternativa em que b 7a,= − é a [A].

AULA 10 01. B Seja P a idade de Paulo e C a idade de Carlos.

Temos:

P C 35 P 35 CP C 35 C C3 2 3 2

3C 70 2C5C 70

C 14 P 21

+ = ⇒ = −

−= ⇒ =

⇒ = −⇒ =

⇒ = ⇒ =

Daí a diferença de idades é igual a 7 anos. 02. D Sejam R e C os tamanhos do rabo e do corpo,

respectivamente. Então temos:

CR 202

C 20 RSubstituindo a primeira equação na segunda temos:

CC 20 20 2C 80 C2

C 80cm

Substituindo na primeira equação temos:80R 20 R 60cm2

= + = +

= + + ⇒ = + ⇒

⇒ =

= + ⇒ =

Daí o comprimento do peixe era 20 + 80 + 60 = 160 cm. 03. B Seja t horas o tempo da viagem que fará

Waldemir chegar exatamente no horário da festa. Desenvolvendo velocidade média de 40km/h ele

chegará em um tempo (t + 1) horas e desenvolvendo velocidade média de 60km/h ele chegará em um tempo (t – 1) horas. Então:

( )ms sv 40 s 40 t 1 et t 1

∆ ∆= ⇒ = ⇒ ∆ = +∆ +

( )ms sv 60 s 60 t 1t t 1

∆ ∆= ⇒ = ⇒ ∆ = −∆ −


Então ( ) ( )60 t 1 40 t 1 60t 60 40t 40 t 5h− = + ⇒ − = + ⇒ = Daí ( ) ( )s 40 t 1 s 40 5 1 s 240km∆ = + ⇒ ∆ = + ⇒ ∆ = Agora calculamos a velocidade média a ser

desenvolvida para que a viagem seja feita em 5h.

m240v 48km / h5

= =

Este problema também pode ser resolvido simplesmente calculando a média harmônica entre as duas velocidades. Veja:

m2 2 120v 2 48km / h1 1 3 2 5

40 60 120

= = = ⋅ =+

+

04. B Tem-se que 2 2f(x) 2x 8x 6 2(x 1)(x 3) 2 2(x 2) .= − + = − − = − + −

Daí, como vy 2,= − vem M (2, 2),= − P (1, 0)= e Q (3, 0).= Portanto, segue que a resposta é

Q P M1(MPQ) (x x ) | y |21 (3 1) | 2 |22 u.a.

= ⋅ − ⋅

= ⋅ − ⋅ −

=

05. A Seja V o volume total da caixa-d’água. Tem-se que

V V V80 80 V 960 L.3 4 12− = ⇔ = ⇔ =

Portanto, a resposta é 3V 720 L.4

=

06. D

Calculando o x do vértice, temos:

Vb 1 1x

2 a 2 1 2= − = − = −

⋅ ⋅

Pela simetria, temos:

P1 3x 22 2

= − + =

A distância da reta PQ ao eixo x será dada por 3f2

.

23 3 3 19f 1 4,75.

2 2 2 4 = + + = =

07. C Sejam c e p, respectivamente o preço de um

chocolate e o preço de um saco de pipoca. Tem-se que 2c 3p 11+ = e 3c 2p 13.+ = Subtraindo a segunda equação multiplicada por 2, da primeira equação multiplicada por 3, encontramos p = R$ 1,40.

08. B Se a é o valor monetário da mesada de Artur,

então o valor monetário da mesada de Carlos é 810 – 1. Portanto, sabendo que Carlos gastou R$ 8,00 a mais do que Artur, vem

2 3(810 a) a 8 8100 10a 9a 1203 5

a 420.

− = + ⇔ − = +

⇔ =

O valor monetário da diferença entre os valores das duas mesadas é

a (810 a) 2 420 810 R$ 30,00.− − = ⋅ − = 09. D Considerando x o total de quilômetros rodados e y

o valor da corrida, que poderá ser expresso através da função do afim y = ax + b, onde é o preço da corrida e b o valor fixo da bandeirada.

De acordo com as informações do problema, temos o seguinte sistema linear:

8 a b 28,505 a b 19,50⋅ + =

⋅ + =

Onde, a = 3 e b = 4,50 Portanto, o valor da bandeirada será de R$4,50. 10. C

Primeira parcela: x3

Segunda parcela: 2 2 4xx5 3 15⋅ ⋅ =

Terceira parcela: 204.000 Temos então a equação:

x 4x 204000 x3 155x 4x 3060000 15x

15 x6x 3060000x 510.000

+ + =

+ +=

==

Portanto, o valor total da dívida se localiza entre R$ 505.000,00 e R$ 520.000,00, conforme alternativa [C].

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