Mat emt i cas yTecnol ogaEducacin Secundaria para Personas Adultas Mat emt i cas yMat emt i cas yTecnol ogaTecnol ogamdulo Este material pertenece a la actuacin Innovacin educativa: materiales didcticos para el desarrollo de cursos on-line dirigidos a la poblacin adulta, del Programa Operativo del Fondo Social Europeo del Gobierno de Aragn 2007-13 Primera edicin marzo 2011 Autores: D M Jos Garca Cebrian, DNI 17685225-L, coordinadora y responsable de la elaboracin de los contenidos de las unidades 1 y 6. D Francisco Javier Bosch Bernal, DNI 17445023-Y, responsable de la elaboracin de los contenidos de la unidad 5. D Juan Mara Gascn Valls, DNI 25135096-Y, responsable de la elaboracin de los contenidos de la unidad 2. D Soledad Sanz Lpez, DNI 17727299-A, responsable de la elaboracin de los contenidos de la unidad 4. D. Javier Sanz Seral, DNI 17732276-N, responsable de la elaboracin de los contenidos de la unidad 3. Diseo de maquetacin: Mara Jos Garca Cebrian Diseo de cubierta: INO reproducciones Edita: GobiernodeAragn.DireccinGeneraldeFormacinProfesionalyEducacinPermanente.ServiciodeEducacinPermanentey Formacin del Profesorado. Impreso en Espaa. Por: INO reproducciones Estapublicacinelectrnica,correspondealmbitoMatemtico-tecnolgicoparalaobtencindelttulodeGraduadoEscolaren Educacin Secundaria Obligatoria para las personas adultas. El presente material tiene carcter educativo y se distribuye gratuitamente. Tanto en los textos como en las imgenes, aportadas por los autores,sepuedenencontrarelementosdeterceros.Sienalgnmomentoexistieraenlosmaterialeselementoscuyautilizaciny difusin no estuvieran permitidas en los trminos que aqu se hace, es debido a un error, omisin o cambio en la licencia original; si el usuariodetectaraalgnelementoenestasituacinpodracomunicarloalresponsabledelaedicin,paraquetalcircunstanciasea corregida de manera inmediata. UD 1 Los nmeros naturales ........................................................................................................................................ 7 1.Nmeros para contar y ordenar.......................................................................................................................... 8 1.1.Sistema de numeracin decimal................................................................................................................. 8 1.2.Comparar y aproximar.............................................................................................................................. 10 2.Operaciones ....................................................................................................................................................... 12 2.1.Sumar y restar ........................................................................................................................................... 12 2.2.Multiplicar y dividir . .................................................................................................................................. 16 3.Potencias y races.............................................................................................................................................. 19 3.1.races cuadradas....................................................................................................................................... 22 4.Operaciones combinadas . ................................................................................................................................. 24 UD 2 Divisibilidad...................................................................................................................................................... 29 1.Relaciones de divisibilidad. Mltiplos y divisores............................................................................................... 30 1.1.Mltiplos................................................................................................................................................... 30 1.2.Divisores .................................................................................................................................................... 32 1.3. Criterios de divisibilidad........................................................................................................................... 342.Nmeros primos y compuestos.......................................................................................................................... 36 3.1.Descomposicin en factores primos.......................................................................................................... 37 3.2.Clculo de todos los divisores .................................................................................................................... 39 3.Mnimo comn mltiplo y mximo comn divisor............................................................................................ 41 3.1.Mnimo comn mltiplo ............................................................................................................................ 41 3.2.Mximo comn divisor .............................................................................................................................. 43 3.3.Aplicacin a la resolucin de problemas.................................................................................................. 45 UD 3 Los nmeros decimales.................................................................................................................................... 49 1.Nmeros decimales........................................................................................................................................... 50 1.1.Ordenar . .................................................................................................................................................... 52 1.2.Representar.............................................................................................................................................. 52 2.Operaciones ....................................................................................................................................................... 53 2.1.Sumar y restar ........................................................................................................................................... 54 2.2.Multiplicar ................................................................................................................................................. 55 2.3.Dividir........................................................................................................................................................ 56 3.Sistema mtrico decimal . .................................................................................................................................. 58 3.1.Cambio de unidades................................................................................................................................. 61 4.Problemas.......................................................................................................................................................... 63 UD 4 Fracciones......................................................................................................................................................... 65 1.Qu es una fraccin? ........................................................................................................................................ 66 1.1.La fraccin como operador....................................................................................................................... 67 1.1.La fraccin como cociente ......................................................................................................................... 67 2.Fracciones equivalentes.................................................................................................................................... 68 2.1.Reduccin a comn denominador ............................................................................................................. 70 3. Comparacin de fracciones................................................................................................................................ 714.Suma y resta de fracciones ................................................................................................................................. 72 5.Multiplicacin y divisin de fracciones . ............................................................................................................. 74 6.Problemas.......................................................................................................................................................... 76 NDI CE UD 5 Tecnologa de la informacin........................................................................................................................... 79 1.El ordenador y sus elementos........................................................................................................................... 80 1.1.Qu es un ordenador?............................................................................................................................ 80 1.2.Evolucin de los ordenadores ................................................................................................................... 81 1.3.Lenguaje de ordenadores......................................................................................................................... 82 1.4.Arquitectura de ordenadores................................................................................................................... 83 1.5.Sistema operativo..................................................................................................................................... 86 2.Procesador de textos......................................................................................................................................... 89 2.1.Concepto. Paquete de ofimtica.............................................................................................................. 89 2.2.Editor y procesador de textos................................................................................................................... 90 2.3.Caractersticas de un procesador de textos............................................................................................. 90 2.4.Editor de textos: WordPad....................................................................................................................... 91 2.5.Generar un documento en WordPad....................................................................................................... 95 3.Internet. Navegacin y buscadores................................................................................................................. 101 3.1.Redes de ordenadores. Internet............................................................................................................. 102 3.2.Funcionamiento de Internet................................................................................................................... 102 3.3.Navegacin............................................................................................................................................. 105 3.4.Buscadores .............................................................................................................................................. 107 4.Correo electrnico........................................................................................................................................... 110 4.1.Tipos de correo electrnico.................................................................................................................... 110 4.2.Estructura de un mensaje correo electrnico........................................................................................ 111 4.2. Funcionamiento del correo electrnico................................................................................................. 111 UD 6 Geometra plana .............................................................................................................................................. 115 1.Puntos, rectas, ngulos................................................................................................................................... 116 1.1.Rectas, semirrectas y segmentos ............................................................................................................ 116 1.2.ngulos................................................................................................................................................... 118 1.3.Dibujando puntos y rectas...................................................................................................................... 122 2.Polgonos . ........................................................................................................................................................ 124 2.1.Tringulos . .............................................................................................................................................. 126 2.2.Cuadrilteros.......................................................................................................................................... 128 2.3.Polgonos regulares................................................................................................................................ 129 3.Medidas en el plano........................................................................................................................................ 130 3.1.Unidades de superficie........................................................................................................................... 130 3.2.Permetros y reas.................................................................................................................................. 132 4.La circunferencia y el crculo........................................................................................................................... 136 4.1. Longitud de la circunferencia y rea del crculo..................................................................................... 137 UD 1 Nmeros naturales ...........................................143UD 2 Divisibilidad ....145UD 3 Nmeros decimales ......149UD 4 Fracciones ......151UD 5 Tecnologas de la Informacin ....155UD 6 Geometra del plano .........157Solucin a los ejercicios................................................................................................................................ 141 MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 Los nmeros naturales 1. Nmeros para contar y ordenar. 1.1. Sistema de numeracin decimal. 1.2. Comparar y aproximar. 2. Operaciones. 2.1. Sumar y restar. 2.2. Multiplicar y dividir. 3. Potencias y races. 3.1. Races cuadradas. 4. Operaciones combinadas. Comienzaselestudiodeestebloqueconnmeros,tratndose de Matemticas no poda ser de otra manera. Si te paras un momento a pensar para qu utilizas los nmeros en la vida diaria, te dars cuenta de que los utilizas continuamente. Cuntosaostienes?,qudaeshoy?,enqupisovives?,aqu velocidad va tu coche?, cunto cuesta unbilletede autobs?, cul estuDNI?Intentaimaginarunmundosinnmerosyversque resulta imposible. Los nmeros que sirven para contar: uno, dos, tres, cuatro,, se llaman naturales y estos son de los que trata esta unidad. Al finalizar la unidad debers ser capaz de: Leer y escribir nmeros mediante el sistema de numeracin decimal. Redondear nmeros naturales. Sumar, restar, multiplicar ydividir con nmerosnaturales, y conocer las propiedades de estas operaciones. Saberelordenenquehayqueefectuarlasoperaciones cuando aparecen combinadas. Calcular potencias de base y exponente natural. Conocerqusonloscuadradosperfectosysuraz cuadrada. Resolverproblemasdondeintervienenoperacionescon nmeros naturales. Es muy importante que adquieras agilidad en el manejo de las operaciones,poresoconvienequepractiquesconlpizypapel, utiliza la calculadora para comprobar tus resultados. MDULO I 8

1. Los nmeros naturales 1. Nmeros para contar y ordenar Los nmeros estn presentes en nuestra vida cotidiana, los empleamos para: Identificar:"Mi DNI es 71114113" "Llmame al 966123123" "Cdigo Postal?, 50010" Contar: "Hay 245 alumnos" "150 nuevos puestos de trabajo" "800 000 coches en la operacin salida" Ordenar: "Gan el 2 premio" "Vivo en el 9 piso" "Ocupa el 8 lugar en la clasificacin" Medir:"De Barcelona a Madrid hay 623 km" "Necesitar 2 metros de tela" "Esta garrafa es de 5 litros" Estosnmeros,queaparecen"naturalmente"alcontarloselementosquehayenun conjunto se llaman nmeros naturales.= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ..., 101, 102, 103, ..., 999, 1000,...} ElconjuntodenmerosnaturalessedesignaconlaletraNytieneinfinitoselementos, pues dado un nmero natural siempre puedes pensar en uno mayor. Sistema de numeracin decimal Elsistemadenumeracinqueutilizamosactualmenteeselsistemadenumeracin decimal.Este sistema que tiene su origen en la India y fue introducido en Europa por los rabes en el siglo XIII, se caracteriza por: Cualquier nmero puede escribirse con slo diez smbolos, llamados cifras o dgitos: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Esdecimalodebase10,yaque10unidadesdeundeterminadoordenseagrupan para formar una unidad de orden inmediatamente superior. Unidad1 unidad Diez unidades hacen una decena1 decena = 10 unidades Diez decenas hacen una centena1 centena = 100 unidades Diez centenas hacen un millar1 millar = 1000 unidades Diez millares hacen una decena de millar1 decena de millar = 10 000 unidades Diez decenas de millar hacen una centena de millar1 centena de millar = 100 000 unidades Diez centenas de millar hacen un milln1 milln = 1 000 000 unidades ms... Otros sistemas de numeracin Lahumanidadhaempleado distintossistemasde numeracinalolargodela historia.Egipcios,babilonios, griegos,romanos,mayas, chinos,...,todaslasantiguas civilizacionestenansu propiomtodoparaescribir y utilizar los nmeros. Nmeros egipcios Nmeros chinos Deelloslosnmeros romanosanseutilizan comohabrspodidoveren monumentos,relojeso textos. MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 1. Los nmeros naturales 9 Es posicional ya que cada cifra tiene un valor relativo dependiendo de la posicin que ocupe en el nmero. Asporejemplo,enelnmerodela derecha la cifra 4 est dos veces, una en el lugar de las unidades y otra en el lugar de lasdecenasdemilln.Enelprimercaso significa4unidadesyenelsegundo 40000000 unidades. En este sistema es fundamental el cero, 0, que significa la no existencia de algo, pero queaadidoaladerechadeotracifra cambiasustancialmenteelvalordela misma. Lectura y escritura de nmeros naturales Paraescribirnmerosnaturalesde msdecuatrocifrasseagrupan stasdetresentres,comenzando porladerechayseseparanlos gruposmedianteunespacioen blanco, no por puntos ni comas.Paraleerunnmeronaturalprimeroseseparan tambinlascifrasdetresentres comenzandoporladerecha,despusseleendeizquierdaaderechacomosifuesen nmerosdetrescifras,aadiendolaspalabrasmil,millones,billones,...donde corresponda. Ejemplos 187ciento ochenta y siete 23 456veintitrs mil cuatrocientos cincuenta y seis 234 567doscientos treinta y cuatro mil quinientos sesenta y siete 56 185 501cincuenta y seis millones, ciento ochenta y cinco mil, quinientos uno Practica Cada nmero con su lectura. ms... Nmeros ordinales Losnmerosordinalesse escribenyleendeforma distinta a los cardinales:1Primero 2Segundo 3Tercero...... 10Dcimo 11Undcimo 12Duodcimo 13Decimotercero ...... 20Vigsimo 21Vigsimo primero ...... 29Vigsimo noveno 30Trigsimo 40Cuadragsimo 50Quincuagsimo 60Sexagsimo 70Septuagsimo 80Octogsimo 90Nonagsimo 100Centsimo MDULO I 10

1. Los nmeros naturales 1.2. Comparar y aproximar Comparar nmeros naturales Dadosdosnmerosnaturalesdistintossiemprepodemosdeterminarsiunoesmayor(o menor) que otro. Cul es mayor, 435 1345?. Como sabes es mayor 1345, ya que se puede formar grupo deunidadesdemillar,mientrasqueen435solosepuedeformargrupodecentenas.Se escribe: 1345 > 435 435 < 1345 Qu pasa si los dos nmeros que queremos comparar tienen el mismo nmero de cifras?. Por ejemplo, cul es mayor, 4673 4736?. El mayor es 4736 pues aunque los dos tienen 4unidadesdemillar,alcompararlasiguientecifra,ladelascentenastiene7,mientras que 4673 tiene 6. Se escribe: 4736 > 4673 4673 < 4736 Sidosnmerosnaturalestienendistintonmerode cifras, ser mayor el que tenga ms cifras. Sidosnmerostienenelmismonmerodecifrasse comparanstasdeizquierdaaderecha.Esmayorel quetienelaprimeraciframayor,sisonigualesse compara la siguiente y as sucesivamente. Distancia en km desde Zaragoza a las capitales de provincia A Corua783Ciudad Real509Lugo691 Segovia 400 Albacete 398 Crdoba 696 Madrid308 Sevilla831Alicante503Cuenca271Mlaga 828Soria 156 Almera753Girona382Murcia 546Tarragona 228 vila417Granada716Ourense746 Teruel182 Badajoz706Guadalajara254Oviedo 578Toledo 379 Barcelona303Huelva922Palencia 384Valencia 320 Bilbao303Huesca74 Pamplona 179 Valladolid 420 Burgos297Jan636Pontevedra 855Vitoria 227 Cceres606Len478S. Sebastin 259Zamora 516 Cdiz948Lleida 148Salamanca 532 Castelln262Logroo 173Santander 396 Ordena Ordena de menor a mayor la distancia en km de Zaragoza a las ciudades indicadas fijndote en el cuadro de encima. MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 1. Los nmeros naturales 11 Aproximar Paramanejarciertosdatos,comodistancias,nmerodehabitantesdeunpas,etc.,es frecuente realizar aproximaciones del nmero que expresa esos datos.Estasaproximacionessepuedenhacerdedosmaneras,mediantetruncamientoo mediante redondeo. Para truncar un nmero natural en una de sus cifras, se sustituyen por ceros todas las cifras de orden inferior, esto es las situadas a la derecha de la deseada. Pararedondearunnmeronaturalaunadesuscifras,sesustituyenporceroslas cifras de orden inferior, y la cifra redondeada: Se deja como est si la inmediatamente siguiente es menor que 5. Se aumenta en una unidad si la siguiente es mayor o igual que 5. Ejemplos Dado el nmero: 145 693 294 Truncamiento en las centenas 145 693 200 Redondeo a las centenas145 693 300 Truncamiento en las decenas de millar145 690 000 Redondeo a las decenas de millar145 690 000 Redondeo a las unidades de milln146 000 000

Practica Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes. Por defecto y por exceso Unaaproximacindeun nmeronaturalsellamapor defectosiesmenorqueel nmero y por exceso en caso contrario, o sea si es mayor. Lostruncamientossiempre sonaproximacionespor defecto,mientrasquelos redondeospuedenserpor defecto o por exceso. Comohasvistohayveces que al redondear y al truncar unnmeronaturalresultael mismonmero,peroen otrasocasionesno. Como reglageneralespreferible redondearquetruncar,ya queelredondeosiemprees mejoraproximacinal nmeroqueel truncamiento. Porejemplo,alaproximarel nmero2347alasdecenas, sitruncamoses2340ysi redondeamos2350,Enel truncamientohayuna diferencia de 7 unidades con elvalorreal,mientrasque estadiferenciasloesde3 unidadesencasode redondear. ms... MDULO I 12

1. Los nmeros naturales 2. Operaciones Sumar, restar, multiplicar y dividir, es necesario que domines bien las cuatro operaciones bsicas.Nosetratadehaceroperacionesmuylargasquepuedesrealizarconla calculadora,cuandoseaelcaso,perosdequeseascapazdehacerlasoperaciones elementales con nmeros pequeos con cierta rapidez. 2.1. Sumar y restar La suma Sumas cuando calculas los gastos del mes, alquiler, telfono, luz, transportes, ... Suman en la caja del supermercado los precios de lo que has comprado. Sumas cuando calculas en un mapa los km que hars en un viaje. Sumas cuando cuentas los puntos en un partido de baloncesto. En estas y otras muchas ocasiones de la vida diaria es necesario sumar nmeros,pero en qu consiste sumar?: Sumar es agrupar varias cantidades en una sola. Losnmerosquesesumansellamansumandosyelsmboloqueempleamospara designarla es "+", se lee "ms". Recuerdaenel ejemplodela derechacmose sumannmeros grandes. . Cmo se realiza la suma? MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 1. Los nmeros naturales 13 Propiedades de la suma Lasumadedosnmerosnaturalessiempredaotronmeronatural,porloquesedice queesunaoperacininterna.Estaoperacincumpledeterminadaspropiedadesque facilitan su utilizacin a la hora de calcular. En qu orden hay que hacer la suma de nmeros naturales?. Comosabesalsumar12+26daelmismoresultadoquelasuma26+12,38en ambos casos. En una suma se puede cambiar el orden de los sumando sin que vare el resultado. Esto se conoce con el nombre de propiedad conmutativa. Ejemplos: 12+6 = 6+12 = 188+15 = 15+8 = 2311+14 = 14+11 = 25 Cmo se realiza una suma de tres o ms sumandos? Si por ejemplo queremos sumar 12 + 23 + 45 podemos hacerlo de dos maneras: 1) Sumamos 12 + 23 = 35 y al resultado le sumamos 45, 35 + 45 = 80 2) Sumamos primero 23 + 45 = 68 y sumamos este resultado a 12, 12 + 68 = 80 De las dos formas la suma resulta igual. La primera forma se expresa as:(12+23) + 45 donde el parntesis indica la operacin que hay que hacer en primer lugar, y la segunda 12 + (23+45), y has visto que: A esta propiedad se le llama propiedad asociativa, ya que lo que hemos hecho ha sido "asociar" dos sumandos en uno.

Ejemplos:(7+3)+5 = 10+5 = 157+(3+5) = 7+8 = 15(7+3)+5 = 7+(3+5) (6+4)+9 = 10+9 = 196+(4+9) = 6+13 = 19(6+4)+9 = 6+(4+9) Qu ocurre si a un nmero se le suma 0? Comosabescualquiernmerosumadocon0sequedaigual,17+0=17,elcerono aade nada. Por ese motivo al nmero 0 se le llama elemento neutro de la suma. Propiedad conmutativa: El orden de los sumandos no altera la suma. a + b = b + a (a y b expresan dos nmeros naturales cualesquiera) Propiedad asociativa: Si se suman tres o ms sumandos se puede sustituir la suma de doscualquiera de ellos por el resultado de su suma. (a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro: Al sumar 0 a cualquier nmero ste no se altera. a + 0 = a MDULO I 14

1. Los nmeros naturales La resta En qu situaciones de la vida diaria se utiliza la resta?.Siporejemplotienes en el banco 948 euros ytecobranuna facturade325euros, cunto te queda?. Si a 1248 le quitas 325 quedan623euros. Estaoperacinesuna resta. 948 - 325 = 623 Siestamoshaciendo unviajede360kmy llevamosrecorridos 150,cuntoskm faltan para llegar?. Tambinhayque restar: 360 - 150 = 210 Restamossipara pagarunacuentade 34eurosdamosun billetede50.Noshan de devolver 16 euros. 50 - 34 = 16 Larestaeslaoperacinopuestaalasuma;qunmerohayquesumara32para obtener 50?. 32 + 18 = 50 o bien 50 32 =18 Decimos que:a - b = c sib + c = a En una resta cualquiera: a b = c a es el minuendo, b el sustraendoy c es la diferencia.El signo que se emplea es "-", se lee "menos".Observa que el sustraendo siempre debe ser menor que el minuendo. ms... Observa Larestanocumplelas propiedades de la suma. Noesconmutativa,sienla resta37-25=12secambia elorden25-37nisiquiera se puede hacer (por ahora). Tampococumplela propiedad asociativa, fjate:(40 - 17) - 15 = 23 - 15 = 8 40 - (17 - 15) = 40 - 2 = 38 Portantoesnecesario utilizarbienlosparntesis parasaberenquorden realizarlasoperaciones.Si hayparntesisharemosen primerlugarlaoperacin que encierran y si no hay, las efectuaremosdeizquierdaa derecha. 16 - 10 - 2 = 6 - 2 = 4 16 - (10 - 2) = 16 - 8 = 8

MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 1. Los nmeros naturales 15 Completa Elige la correcta A)Aunaoposicinsepresentaron2345candidatos.Enlaprimerapruebaeliminarona 1027 y en la segunda a 792. Cuntos quedaron para la tercera? B)EntreMarayJuancobranlomismoqueentreMartayPablo.SiMaracobra1820 euros, Juan 1385 y Pablo 1760, cunto gana Marta? C) Luisa tiene en el banco una cuenta con 2134 euros. Este mes ha ingresado la nmina de 1586 euros y le han cargado los gastos con tarjeta que ascienden a 358 euros. Tambin ha pagado la hipoteca de 650 euros y el recibo de la luz de 58 euros. Si adems ha sacado en efectivo 500 euros un da y 200 otro, cunto le queda en el banco?. D)Juancompraunacamisade44eurosyunospantalonesde68euros.Enlacamisale rebajan 12 euros y en el pantaln 18. Cunto paga?. MDULO I 16

1. Los nmeros naturales 2.2. Multiplicar y dividir Multiplicar Imagina que vas a pagar 5 entradas para el ciney cada entrada cuesta 7 euros, para calcular el precio total puedes sumar 5 veces los 7 euros, 7+7+7+7+7=35 o bien multiplicar 5 x 7 = 35. Una multiplicacin es una suma de sumandos iguales. Los nmeros que semultiplican se llaman factores y el resultado eselproducto.Paraindicarlamultiplicacinseempleael smbolo "", o bien un punto "", situadoentrelos dosfactores, se lee "por". Aqu emplearemos ms a menudo el punto. Multiplicar por la unidad seguida de ceros Qu significa 4100?, significa 4 veces 100, es decir 400. Cunto es 121000?, 12 veces 1000, esto es 12 000. Paramultiplicarporlaunidadseguidadecerosseleaadenalnmerotantosceros como siguen a la unidad. Ejemplos:124 10 = 124037 100 = 3700 843 1000 = 843 000 Recuerda Paramultiplicar nmerosgrandes, sedisponenlos clculoscomose indica enel ejemplodela derecha. Propiedades de la multiplicacin Como ocurra en la suma, el producto de dos nmeros naturales siempre da otro nmero natural,es una operacin interna y tambin cumple las mismas propiedades. Es lo mismo 53 que 35? En efecto s, en ambos casos el producto es 15.Ejemplos:12 6 = 6 12 = 728 15 = 15 8 = 12011 14 = 14 11 = 154 Sabesquelosparntesisindicanquoperacinhayqueefectuarprimero,veamos cmo afectan a la multiplicacin. Para multiplicar 584 se pueden agrupar los factores de dos maneras:(5 8) 4 = 40 4 = 160 5 (8 4) = 5 32 = 160 Delasdosformaselproductoresultaigual,lamultiplicacintambincumplela propiedad asociativa. Ejemplos: (73)5 = 215 =1057(35) = 715 = 105(7 3) 5 = 7 (3 5) (64)9 = 249 =216 6(49) = 636 = 216 (6 4) 9 = 6 (4 9)5 7 = 35 Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. a b = b a Propiedadasociativa:Enunamultiplicacinsepuedensustituirdosoms factores por su producto. (a b) c = a (b c) MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 1. Los nmeros naturales 17 Elementoneutro.Ascomoenlasumadecamosqueel0eraelelementoneutro porque al sumarlo a cualquier otro, ste no vara, en la multiplicacin ocurre lo mismo con el 1.La divisin Queremosenvasar45litrosdevinoengarrafasde5litros,cuntasgarrafas necesitaremos?. Hay que encontrar un nmero que multiplicado por 5 de 45, como 95=45, harnfalta9garrafas.Estaoperacinpararepartirenpartesigualesesladivisin.Se indica: 45 : 5 = 9 La divisin es la operacin inversa a la multiplicacin. DividirunnmeroDentreotronmerod,significabuscar otro nmero c, de forma que d c = D D : d = c

si d c = D D es el dividendo, d es el divisor y c es el cociente. Pero,quhubieraocurridosienlugarde 45hubisemosqueridoenvasar49litros?, enestecasonohayningnnmero naturalquemultiplicadopor9de49.Con 9 garrafas nos quedaran 49- 45= 4litros sin envasar.Estadivisinnoesexacta,tieneunresto quenoescero.Lallamaremosdivisin entera. En una divisin entera se cumple que:Dividendo = divisor cociente + resto Recuerda ahora cmo se hace. El 1 es el elemento neutro de la multiplicacin porque multiplicado por cualquier nmero resulta ese mismo nmero. a 1 = a Cociente por defecto y por exceso Enelproblemaderepartir 49litrosdevinoen5 garrafasnospodemos plantea dos preguntas. 1)Cuntasgarrafasse llenan?,larespuestaes9y quedan 4 litros sin envasar. 2)Cuntasgarrafashacen falta?,siqueremosenvasar todoelvinohacenfalta10 garrafas y a una le faltara un litro para estar llena. En el primer caso el cociente sedicepordefecto,enel segundo por exceso. En una divisin por defecto: c d < D y en una por exceso: c d > D Aqu,sinoseindicalo contrarionosreferiremosal cociente por defecto. ms... MDULO I 18

1. Los nmeros naturales Completa Elige la correcta A) Un pintor que cobra a 42 euros la hora ha recibido 504 euros como pago de un trabajo. Cuntas horas trabaj? B)Cuntasvueltasdaenundaunaruedaquegiraaraznde45revolucionespor minuto? C)Unagranjade3000gallinasponedorastieneunrendimientode4huevosdiariospor cada 5 gallinas. Cuntas docenas de huevos produce cada semana? D)Unbarcopesquerohaobtenido8100eurosporlacapturade1350kgdemerluza. Cunto obtendr otro barco que ha pescado 1645 kg de merluza del mismo precio? MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 1. Los nmeros naturales 19 3. Potencias y races Potencias Unapotenciaesunaformaabreviadade escribir un producto de varios factores iguales.Elfactorrepetidosellamabase,yelnmero de veces que se repite, exponente. a a a a a = a5 Seescribe:a5 yselee"aelevadoa5"o"a elevado a la quinta"Al utilizar las potencias ten en cuenta que: Cualquiernmeropuedeexpresarsemedianteunapotenciadeexponente1.Por ejemplo: 51 = 5, 71 = 7, ... Para efectuar una potencia debes multiplicar la base por s misma tantas veces como indique el exponente. No confundas 54= 5 5 5 5 = 625 con 54 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20.Potencias de base 10 Ya sabes que para multiplicar por 10 basta aadir un 0. Teniendo en cuenta esto el clculo de las potencias de 10 resulta muy sencillo y has de procurar hacerlo mentalmente. 101 = 10 102 = 10 10 = 100103= 10 10 10 = 1000104 = 10 10 10 10 = 10 000 105 = 10 10 10 10 10 = 100 000 ... y as sucesivamente. Paraelevar10aunapotenciabasta escribir1seguidodetantosceroscomo indique el exponente. 1012 =1 000 000 000 000 12 ceros Recuerdaquealprincipiodelaunidadvistecmosepuededescomponerunnmero segn el valor de posicin de sus cifras, y observa cmo escribirlo utilizando las potencias de 10. Podemos escribir: 145 673 294 = 1108 + 4107 + 5106 + 6105 + 7104 + 3103 + 2102+ 910 + 4 Esta descomposicin de un nmero en la que cada orden de unidades est representado por una potencia de 10, se llama descomposicin polinmica. Ejemplos 234 567 =2 105 + 3 104 + 4 103 + 5 102 + 6 10 + 78 123 045 =8 106 + 1 105 + 2 104 + 3 103 + 4 10 + 547 523 500=4 107 + 7 106 + 5 105 + 2 104 + 3 103 + 5 102 Cuadrados y cubos Elcuadradodeun nmeroessupotenciade exponente 2. a2 = aa "a al cuadrado"

52 = 5 5 = 25

(25 cuadraditos)

Elcubodeunnmeroes su potencia de exponente 3. a3 = aaa "a al cubo" 53=555=125

(125 cubitos)

ms... 35= 3 3 3 3 3 = 243

MDULO I 20

1. Los nmeros racionales Propiedades de las potencias Potencia de un producto Si aplicamos las propiedades de la multiplicacin a la siguiente potencia resulta: (5 4)3 = (54) (54) (54) = 545454 = 555444 = (555) (444) = 5343

La potencia de un producto podemos hacerla pues de dos maneras: Secalculaelvalordelabaseyluegola potencia que resulta. Se calcula el valor de las potencias de los factores y se multiplica el resultado. (5 4)3 = 203 = 8000(5 4)3 = 53 43 = 125 64 = 8000 (3 7)2 = 212 = 441(3 7)2 = 32 72 = 9 49 = 441 Potencia de un cociente Delamismamanera,parahacerlapotenciadeuncocientesepuedehacertambin de dos maneras. Secalculaelvalordelabaseyluegola potencia que resulta. Secalculaelvalordelaspotenciasde dividendoydivisor,ysemultiplicael resultado. (12 : 4)3 = 33 = 27 (12 : 4)3 =12 3 : 43 = 1728 : 64 = 27 (28 : 7)2 = 42 = 16 (28 : 7)2 = 282 72 = 784 : 49 = 16 Verdadero o falsoIndica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Lapotenciadeunproductoeselproductodelas potencias de cada uno de sus factores. (a b)n = an bnLapotenciadeuncocienteeselcocientedelas potencias del dividendo y del divisor. (a : b)n = an : bn Fjate bien Estaspropiedadesquehas vistoparaelproductoyel cocientenosecumplen cuando se trata de la suma o la resta. (4 + 3)2 = 72 = 49 mientras que: 42+ 32= 16 + 9 = 25Lomismoocurreconla resta: (5 - 3)3= 23 = 8 y sin embargo: 53 - 33 = 125 - 27 = 98 ms... MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 1. Los nmeros naturales 21 Operaciones con potencias Producto de potencias de la misma base Fjate en la siguiente multiplicacin de potencias: 54 53 = (5 5 5 5) (5 5 5) = 5 5 5 5 5 5 5 = 57

Ejemplos: 75 72= 77 68 64 = 612 27 23 25 = 215

Cociente de potencias de la misma base Fjate en la siguiente divisin de potencias: 75 : 72 = (5 5 5 5 5) : (5 5) = (5 5 5) (5 5) : (5 5) = (5 5 5) 25 : 25 = 53

Ejemplos: 75 : 72= 73 68 : 64 = 64 27 : 23 = 24

Potencia de una potencia Observa ahora cmo se hace la potencia de una potencia: (54)3 = 54 54 54 = 54+4+4 = 543 = 512

Ejemplos: (75)2= 710 (68)4 = 632(27)3 = 221 Practica 1) Expresa como una sola potencia: a) 25 55 b) 202: 52 c) 73 72

d) 58: 53 e) (53)2 f)34 (35)22) Expresa como una sola potencia: a) (75 73): 76 b) (65: 62) 63 c) (23 22): 25

d) (55: 53)3 52 e) (54)2: (52 53) f) (34)2 (32)4: (33)5 Elproductodedospotenciasdelamismabaseesotra potenciaconigualbaseyexponentelasumadelos exponentes. am an = am+n Elcocientededospotenciasdelamismabaseesotra potenciaconigualbaseyexponenteladiferenciadelos exponentes. am : an = am nLapotenciadeunapotenciaesotrapotenciaconigual base y exponente el producto de los exponentes.(am)n = amnComprueba 1.a) 105 b) 42 c) 75 d) 55 e) 56 f) 314 2. a) 72 b) 66c) 20 = 1 d) 58 e) 53 f) 3 Exponente cero Sepuedencalcular potencias de exponente 0? Segnladefinicinde potenciaunnmeroelevado a0equivaldraa multiplicarloporsmismo "ningunavez",luegoparece que no tiene mucho sentido. Ahorabiensitefijasenla siguiente operacin: 54 : 54 = 54-4 = 50 pero por otra parte: 54 : 54 = 1 con lo que concluiremos que 50 = 1 Una potencia de exponente 0 vale 1 a0 = 1 ms... MDULO I 22

1. Los nmeros naturales 3.1. Races cuadradas Losnmeroscomo1,4,9,16,25,...que resultandeelevaralcuadradolosnmeros naturales se llaman cuadrados perfectos. 1 = 124 = 229 = 3216 = 42 25 = 52 36 = 62 ... etc El nmero 81 es uncuadrado perfecto?, o lo queeslomismo,hayalgnnmeroqueal elevarlo al cuadrado sea 81? 92 = 81 Se dice que 9 es la raz cuadrada de 81.81 = 9 ya que 92= 81 La raz cuadrada exacta de un nmero, b, es otro nmero a, que cumple:

2= y se indica = b es el radicando y el smbolo es el radical Races cuadradas enteras Lamayoradelosnmerosnaturalesnosoncuadradosperfectos,surazcuadradanoes exacta. Tomemosporejemplo41,nohayningnnmeronaturalquealelevarloalcuadradode 41, pero hay dos que se aproximan: 62 = 36 < 41 72 = 49 > 41 6 < 41 < 7La raz cuadrada de 41 es un nmero comprendido entre 6 y 7 Alnmeronaturalcuyocuadradomsseaproxima,pordebajo,alnmero,lo llamamossurazentera.Aslarazenterade41es6yladiferencia4136esel resto. Ejemplo Cul es la raz cuadrada entera de 130? 112= 121 < 130122= 144 > 130 11 < 130 < 12 La raz cuadrada entera de 130 es 11 y el resto es 130 121 = 9 Ms cuadrados perfectos Acontinuacintienesloscuadradosdelosveinteprimerosnmeros,silosmemorizaste vendr bien para aproximar algunas races cuadradas. 12345678910 149162536496481100 11121314151617181920 121144169196225256289324361400 12= 11 = 122= 44 = 2 32= 99 = 3 42= 1616 = 4 52= 2525 = 5 Con la calculadora Lascalculadorastienen teclasparacalcular potencias y races cuadradas. Laquecalculapotencias suele llevar el smbolo: xy^ habitualmenteprimerose introducelabase,despus sepulsalateclaindicaday luego el exponente. Utilzalaparacalcularlas potenciasyracescuadradas de nmeros grandes. ms... MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 1. Los nmeros naturales 23 Relaciona Relaciona cada nmero con su raz cuadrada exacta Elige la correcta La raz cuadrada exacta de un nmero es 16, de qu nmero se trata? Paraembaldosarunasuperficiecuadradaseemplearon36baldosas,tambincuadradas de 1 metro de lado, cuntas baldosas hay en cada lado? La raz cuadrada entera de un nmero es 17 y el resto 4. De qu nmero se trata? Cul es la raz cuadrada entera de 630? MDULO I 24

1. Los nmeros naturales 4. Operaciones combinadas La propiedad distributiva Marta trabaja de canguro y cobra 8 euros la hora. El jueves estuvo 4 horas en una casa y el sbadotrabaj 5 horas en otra, cunto ha ganado esta semana?. Hay dos formas de resolver este problema: 1)Secalculaelnmerototaldehoras trabajadas:4 + 5 = 9 horas y si cada hora gana 8 euros habr ganado 9 8 = 72 euros. 2) Se calcula lo que gan cada da: el jueves gan 4 8 = 32 euros el sbado 5 8 = 40 euros entre los dos das gan 32 + 40 = 72 euros Operacin: (4 + 5 ) 8 = 72Operacin: 4 8 + 5 8 = 72 En ambos casos resulta la misma cantidad, luego (4 + 5) 8 = 4 8 + 5 8 Estapropiedadseconoceconelnombredepropiedaddistributivaytambinsepuede aplicar si en vez de una suma hay una resta. Observaquecomoelproductoesconmutativo,lapropiedadsecumpletantosiel producto va primero como si va en segundo lugar.Ejemplos Realiza de dos formas1) Primero el parntesis2) Aplicando la distributiva 4 (5+6) =411=444 5 + 4 6 = 20 + 24 = 44 (8+ 5)7=137=918 7 + 5 7 = 56 + 35 = 91 5 (224) =518=905 22 5 4 = 110 20 = 90 En ocasiones interesa aplicar la propiedad distributiva en sentido contrario: a b + a c = a (b + c) En este caso hablamos de "sacar factor comn". Ejemplos Saca factor comn: 5 6+58=5 (6+8) 3 10 38+37=3 (108+7) 4 16 4748=4 (1687) Elproductodeunnmeroporunasuma,ounaresta,es igualrespectivamentealasuma,olaresta,delos productos de dicho nmero por cada uno de los trminos de la suma o la resta. a (b + c) = a b + a c a (b - c) = a b - a c MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 1. Los nmeros naturales 25 Jerarqua de operaciones Cuandoenunaexpresinaparecensumasorestasymultiplicacioneso divisiones, combinadas,elresultadovaradependiendodelordenenquesehaganestas operaciones. Si por ejemplo queremos hacer 4 + 5 3, y en primer lugar se efecta la suma 4 + 5= 9 y luego por 3, resulta 27. Perosi hacemos primero 5 3 = 15 y luego 4+ 15 ,el resultado es 19. Paraevitarequvocoshayestablecidasunasreglasdeprioridaddelasoperaciones.Hay que tener en cuenta que: Lamisindelosparntesis,(...),ycorchetes,[...],esladeuniro"empaquetar" aquello a lo que afectan. Lossignosdemultiplicarodividirunen,esdecir,cuandodosnmerosestn unidos por el signo de multiplicar forman un bloque inseparable Para poder sumar o restar dos nmeros deben estar sueltos, no podemos sumar dos nmeros si uno de ellos est unido por el otro lado a otra expresin mediante un signo de multiplicar o dividir. El orden en que se hacen las operaciones es:1)Losparntesisycorchetes, de dentro hacia fuera, si hay. 2) Las potencias y races. 3)Lasmultiplicacionesy divisiones,enelordenenque aparecen. 4)Lassumasyrestas,enel orden en que aparecen. Lasoperacionescombinadasseresuelvenenvariospasos,todoloquenoseresuelvaen un paso se debe copiar otra vez tal como estaba, sin olvidarlo ni cambiarlo de posicin. Segn estas reglas el resultado correcto para el ejemplo del principio es 19 y no 27. Ejemplos (3 + 5) 6 8: 2 + 9 2 3 = 8 6 8: 2 + 9 6 = 48 4 + 9 6 = 47 3 +5 (6 8: 2) + 9 2 3 = 3 +5 (6 4) + 9 2 3 = 3 +5 2 + 9 2 3 == 3 + 10 +9 6 = 16 (3 + 5 6) (8: 2 + 7 2) 3 = (3 + 30) (4 +9 2) 3 = 33 11 3 = = 33 33 = 0

Practica 3) Calcula: a)6 + 8 3b)12: 3 + 11 c) (10 4) 8 d) 4 +14: (6 4)4) Calcula: b)4 + 8 5 8b)12 + 3 8 8: 4 d) 7 2 +8 (7 4) 8d) 3 +7 (6 4) 28: 4 e) (3 +8) 8 +5 (11 3)f) 5 [4 + 6 (15 10)] Averigua... Situcalculadorarespetalas reglasdeprioridadde operaciones. En la actualidad lamayoralohacenpero algunasrealizanlas operacionessegnelorden de introduccin. Parasabercmoeslatuya realizalaoperacindel ejemplo, 4 + 5 3 Sielresultadoes19lohace, sies27no.Enestecaso debersutilizarlasteclasde memoria y teclear: 4M+5x3M+ RMAprende a utilizar tambin, si tienes,lasteclasde parntesis,habrunapara abriryotraparacerrar. Aunquedebespracticarsin ellaparaprogresarenla prcticadelclculo, comprobartusresultados con la calculadora te ayudar a corregir errores. ms... Comprueba 3. a) 30 b) 15c) 48 d) 11 4. a) 36 b) 34 c) 30 d) 10 e) 128 f)170 MDULO I 26

1. Los nmeros naturales Completa Elige la correcta Pedrotiene28aosmenosquesupadreydentrode5aoscumplir23.Dentrode cuantos aos la edad del padre ser el doble de la de Pedro?. Unafbricadeelectrodomsticosfabrica200frigorficosdiarios,conunosgastospor unidadde210euros.Sivendelaproduccindeunmes(30das)aunmayoristaporun milln ochocientos mil euros, qu ganancia obtiene? Un comerciante compra 150 cajas de 20 kg de naranjas por 2000 euros. Cuando selecciona lamercancadesecha300kgyelrestoloponeenbolsasde5kgquevendea6euros. Qu ganancia obtiene?. MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 1. Los nmeros naturales 27 Ejercicios 1. Escribe con cifras: a) Dos millones doscientos cincuenta mil b) Trescientas tres mil seiscientas ochenta y cinco c) Noventa mil cuatrocientos veintiuno d) Cuatro mil novecientos noventa millones 2. Escribe cmo se leen estas cantidades: e) 423 235 600 a) 17 525 812 000 b) 658 120 c) 8457 3. Redondea al orden indicado en cada caso: a) 24 765 a millares b) 3 458 a centenas c) 12 345 678 a millones d) 924 912 a decenas de millar 4. Calcula con lpiz y papel: a) 254 + 37 + 125 =c) 125 35 + 256 = b) 4567 1280 564 =d) 1987 + 321 875= 5. Realiza las siguientes operaciones: a) 254 (37 + 125) =d) 125 (35 + 56 22) = b) 320 (125 45) =e) 1560 + 1234 (690 + 147) = c) 4567 (1280 + 564) =f) 1987 (875 + 321 268) = 6. Completa estas multiplicaciones: a)b) c) 7. Completa estas divisiones: a)b) c) a) 1 8 2 9 4 1 7 b) 9 8 2 8 7 4 6 9 93 4 c) 5 3 3 9 7 5 a) b)48 5 368 c)82 1 4 9 5 7 5 c) b) c)9 5 8 3 2 MDULO I 28

1. Los nmeros naturales 8.Realiza las siguientes operaciones: a) 12 (9 + 6 10) =b) 8 7 + 21 (6 + 9 4) = c) 15 + (4 + 6 8) 9 =d) (25 12 8) + 17 3 = e) 6 (9 3) + 3 (12 9) =f) 8 [9 (1 + 6) + 4] + 6= g) 1 + [3 + (8 5 1)] 6 =h) 3 + (10 6) + [5 (3 + 1)] = i) 9 + 2 (11 7) =j) 36 75: (3 + 14 2) = k) 5 + 3 4 + 2 =l) 6 (19 7) : (6 4) = m) 3 6 + 12 : 4 4 =n) 24 5 : 2 : 15 = o) 1 + 2 3 +18 : (4 + 6 8)= p) (2 + 9 5) 4 + 5 = q) 28 : [1 + (3 + 10)] + 10 =r) (32 20) : (9 7) + 5 = s) 5 + 6 (8 3 1) : 2 =t) 18 : 3 2 (10 + 7 6)= u) 3 4 15 : [14 (7 2) + 6] =v) 3 (12 5) [6 + 2 (8 2)] = w) 4 (6 : 2 1) + 3 5 (7 + 8) =x) 14 2[7 (5 4) 2 3] = y) 3 (13 + 7) : 2 + (9 6 + 3) 3 =z) 8 + 12 [3 (6 4) + 8 4] = 9.Realiza las siguientes operaciones: a) 32 : 2 + 24 = b) 3 5 32 = c) 25 + 24 23 =d) 53 5 32 = e) (3 + 5)2 = f) 92 32 = g) 2 + 3 25 =h) 32 + 52 =i) (9 3)2 = 10.Utilizalaspropiedadesdelaspotenciasparasimplificaryexpresaelresultadoen forma de potencia. a)32 35 : 36 =c) 25 (23)2e) (53)2:(55 5) b)53 23 33 =d) 64 : 24 =f) 65 25 : 35 = 11.Enunagranjahayvacas,ovejasygallinas.Entotalhemoscontado714patas,168 cuernos y 137 picos. Cuntos animales hay en total en la granja?. 12.Un apicultor tiene 150 colmenas que producen dos cosechas al ao, a razn de 8 kg de miel por colmena en cada cosecha. La miel se envasa en tarros de medio kilo y se comercializaencajasde6tarrosquesevendena20euroslacaja.Qubeneficio anual tiene?. 13.Enunacasade9plantashay4pisosporplantayencadapiso5ventanas.Seha encargado a una empresa la limpieza de los cristales y sta ha dado un presupuesto de 12 euros por ventana de las cuatro primeras plantas y 15 euros por cada ventana de las restantes plantas. A cunto asciende el presupuesto?. 14.De un depsito que contena 4765 litros de agua salen 18 litros por minuto. Hay otro grifo que vierte en el depsito 20 litros por minuto. Cuntos litros de agua habr al cabo de un cuarto de hora?. 15.Una coleccin de fascculos consta de 75 nmeros. Los dos primeros se venden juntos por1,el3yel4cuestan1cadauno,yelrestosevendepor2ejemplar. Cunto costar la coleccin?. MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 Divisibilidad 1. Relaciones de divisibilidad: mltiplos y divisores. 1.1. Mltiplos. 1.2. Divisores. 1.3. Criterios de divisibilidad. 2. Nmeros primos y compuestos. 2.1. Descomposicin en factores primos. 2.2. Clculo de todos los divisores de un nmero. 3. Mnimo comn mltiplo y mximo comn divisor. 3.1. Mnimo comn mltiplo. 3.2. Mximo comn divisor. 3.3. Aplicacin a la resolucin de problemas. Paraseguiravanzandoenelestudiodelosnmerosnaturales enestaunidadvamosaconocerlasrelacionesdedivisibilidadque sedanentreellos.Estonospermitirrelacionaryclasificarmejor este conjunto de nmeros.Aprenderemos herramientas que despus necesitaremosparaoperarconotrosconjuntosdenmerosynos ayudarnaresolverproblemasdesituacionesenquesedan determinadas repeticiones o particiones. Enestaunidadpodrsaprenderainvestigarybuscar regularidadesdentrodelconjuntodelosnmerosnaturales,a mejorartuscapacidadesdeclculoyadesarrollaralgoritmosy tcnicasparaencontrarlosnmerosquecumplanrelacionesy condiciones determinadas. En algunos momentos experimentars qu es ms fcil realizar loquetepidenmatemticamentequexpresarloconpalabras,en este sentido, debers realizar un esfuerzo especialde concentracin hastaquecomprendasestosconceptossinunadificultadespecial. Te resultar cmodo leer las explicaciones de los procesos al mismo tiempo que observas los ejemplos resueltos. Al finalizar la unidad debers ser capaz de: Mejorarlosclculosconlasoperacionesdedivisiny multiplicacin entre nmeros naturales. Reconocer relaciones de divisibilidad entre nmeros naturales. Aplicar criterios de divisibilidad y calcular todos los divisores de un nmero natural. Clasificar los nmeros naturales en primos o compuestos. Descomponer un nmero natural en sus factores primos. Encontrarelmnimocomnmltiployelmximocomn divisor de varios nmeros. Resolverproblemasdondeintervienenlosmltiplosodivisores comunes. MDULO I 30 2. Divisibilidad 1. Relaciones de divisibilidad: mltiplos y divisores Vamosaestudiarlasrelacionesdedivisibilidadquesedanentrelosnmerosnaturales (duranteeltema,siemprenosreferiremosconlapalabranmerosalosnmeros naturales). stasnosvanapermitirclasificaralosnmerosentreparesoimpares*, mltiplos y divisores, primos o compuestos. Lasrelacionesdedivisibilidadseestablecenmedianteladivisinexactadedosnmeros naturales, de forma que el menor cabe un nmero exacto de veces en el mayor. Recuerda que la multiplicacin es la operacin contraria a la divisin: 30 : 6 = 5 implica que 30 : 5 = 6y,5 x 6 = 30. 1.1. MltiplosConsideraremos que un nmero a es mltiplo de otro b, si se cumple que: a = k b siempre que k sea un nmero natural Por ejemplo, los mltiplos de 11 sern, 11 x 0 = 0, 11 x 1 = 11, 11 x 2 = 22, 11 x 3 = 33,... La"tablademultiplicar"deunnmerocontieneatodossusmltiplos.Dichodeotra manera, un nmero es mltiplo de otro si lo contiene un nmero entero de veces; el 22 es mltiplo de 11 porque lo contiene 2 veces. Paraversiunnmeroesmltiplodeotrobastarrealizarladivisinyversiesexacta (resto 0).Ejemplos 37 es mltiplo de 6? No, ya que el resto no es 0. 98 es mltiplo de 7? Si, ya que el resto es 0. Reflexiona Existen infinitos mltiplos de cada nmero. El cero slo tiene un mltiplo, el mismo 0. Los mltiplos de un nmero son mayores o iguales que dicho nmero. El cero es mltiplo de cualquier nmero. Cada nmero es mltiplo de s mismo. ms...* Recuerda... Un nmero par es el que se puede dividir por 2, en caso contrario se llama impar. DIVISIN ENTERA Dividendo 27 5 Divisor 25 Resto Cociente Dividendo = Divisor Cociente + Resto 27 = 55 + 2 DIVISIN EXACTA Dividendo 30 5 Divisor 06 Resto Cociente Dividendo = Divisor Cociente 30 = 56 37 6 1 6 Si, ya que el resto es 0.98 728 14 0 Mltiplos de 15 MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 2. Divisibilidad 31 Verdadero o falso Indica de las siguientes afirmaciones las que son verdaderas o falsas Relaciona Relaciona los nmeros con sus mltiplos. MDULO I 32 2. Divisibilidad 1.2. Divisores Consideraremos que un nmero a es divisor de otro b, si se cumple que:a : b = k,siempre que k sea un nmero natural (divisin exacta, resto 0). Por ejemplo, los divisores de 12 sern: 12 : 1 = 12, 12 : 2 = 6, 12 : 3 = 4, 12 : 4 = 3, 12 : 6 = 2 y 12 : 12 = 1. Dicho de otra manera, un nmero es divisor de otro si est contenido un nmero entero de veces en l; el 11 es divisor de 22 porque est contenido 2 veces en l. Para ver si un nmero es divisor de otro nos bastar realizar la divisin y ver que es exacta. Ejemplos 6 es divisor de 37? No, ya que el resto no es 0. 7 es divisorde 98? Si, ya que el resto es 0. Reflexiona Existen un nmero finito de divisores de cada nmero. El 0 tiene infinitos divisores ya que todos los nmeros son divisores de 0. Los divisores de un nmero son menores o iguales que dicho nmero. El 1 slo tiene un divisor, el mismo 1. El uno es divisor de cualquier nmero. El cero no es divisor de ningn nmero.* Cada nmero es divisor de s mismo. 37 6 1 6 ya que el resto es 0.98 728 14 0 ms... Fjate... Lapalabradivisorla utilizamoscondossigni-ficados: en una divisin, divisor es el nmero por quien se divide el dividendo. el divisor de un nmero es otro que lo divide de manera exacta. Cuando a : b = c a es divisible por b. b es divisor de a. a es mltiplo de b. * Recuerda... Aldividirel0paracualquier nmero, siempre dar 0. 0/4=0,"repartiramos0a cada uno de los 4" Dividirpor0paracualquier nmero es ms complicado... Fjatequesucedeenuna divisinsieldividendocada vez es ms pequeo. 10 : 2 = 5 10: 1 = 10 10: 0,1 = 100 10 : 0,01 = 1000 10 : 0,0 ... 01 = 100 ... 0 ...10 : 0 = infinito!!! As,aldividirunnmero cualquieraporelnmero mspequeo(elcero),dael ms grande ( infinito). Divisores de 60 160 230 320 415 512 610 Divisores de 32 132 216 48 Divisores de 45 145 315 59 Divisores de 21 121 37 Divisores de 17 117 MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 2. Divisibilidad 33 Elige las correctas Cules de los siguientes nmeros son divisibles por 13? Elige las correctas Elige de entre los siguientes nmeros los que sean divisores del nmero 225. MDULO I 34 2. Divisibilidad 1.3. Criterios de divisibilidad Para comprobar si la divisin resulta exacta al dividir por un nmero determinado, en vez derealizarladivisinyversielrestoescero,podemosfijarnosenelcumplimientode determinadoscriterios. Sepuedenbuscarregularidadesparaestablecercriteriosde divisibilidadencualquiernmeronatural,peroslonosinteresarnaquellosquesu aplicacin sea ms sencilla que realizar la divisin. Se pueden comprobar observando sus "tablas de multiplicar" que: Losmltiplosde2terminanen 0,2,4,6,u8.Serndivisibles por 2 si son pares. Paralosmltiplosde3, se cumplequealsumarelvalorde cadacifraquecomponeese nmero su resultado esmltiplo de 3. Losmltiplosde5,terminanen 0 o en 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ... As, 334 NO es mltiplo de 5; y, 135 SI es mltiplo de 5. Paralosmltiplosde11,se cumplequesisumamoslas cifrasqueestnenlas posicionesparesylasrestamos delascifrasqueestnenlas posicionesimpares,nosresulta 0 o mltiplo de 11. Tambinestilelcriteriode divisibilidaddel9,esigualque eldel3,perolasumadelas cifras ahora debe ser mltiplo de 9.Ejemplo: 945 es mltiplo de 9 porque9+4+5=18quees mltiplo de 9. Estos criterios se pueden componer entre s, por ejemplo si queremos saber si un nmero es mltiplo de 6 = 2 3, deber ser mltiplo de 2 y de 3 a la vez (par y suma de sus cifras mltiplo de 3). Elige las correctas Cules de los siguientes nmeros son divisibles por 3? Culesdelossiguientesnmerossondivisiblespor15?Recuerda15=3x5, luego tendrn que ser por 3 y por 5 a la vez. Cules de los siguientes nmeros son divisibles por 11? OBSERVA LOS MLTIPLOS DE 3 13 = 33 es mltiplo de 3 S M L T I P L O S 23 = 63 es mltiplo de 3 33 = 33 es mltiplo de 3 43 = 121+2=3 mltiplo de 3 53 = 151+5=6 mltiplo de 3 63 = 181+8=9 mltiplo de 3 73 = 212+1=3 mltiplo de 3 83 = 242+4=6 mltiplo de 3 3 = 1173 = 3513+5+1=9 mltiplo de 3 2142+1+4=7 no es mltiplo de 3 111312310320193302 111153201200333555246 2002 882345123321111121 OBSERVA: 2345 es mltiplo de 11? 3+5=8 2 3 4 5 8 6 = 2 Ni 0, ni mltiplo de 11NO 2+4=6 7370 es mltiplo de 11? 3+0=3 7 3 7 0 14 3 = 11 No 0, si mltiplo de 11 SI 7+7=14 ms... Ms criterios... Buscandoregularidadesse puedenencontrarotros criterios. Veamos uno para 7. Criterio divisibilidad del 7. Un nmero es divisible por 7, sieliminandolacifradelas unidades y restando el doble delacifraeliminadaeste resultado es divisible por 7. Ejemplos 343divisible por 7? 34 2 3 = 28 : 7 = 4SI 151 divisible por 7? 15 2 1 = 13 : 7 = 1,8... NO Compruebalasiguiente curiosidad... Todoslosnmerosdetres cifrascontodasellas repetidassondivisiblespor 37(ademssondivisibles por el triple de la cifra que se repite). 555 = 37 15 777 = 37 21 MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 2. Divisibilidad 35 Completa Completa Recuerda Un nmero es: mltiplo de 2 si acaba en 0, 2, 4, 6 u 8. mltiplo de 3 si al sumar el valor de cada cifra el resultado es mltiplo de 3. mltiplo de 5 si acaba en 0 en 5. mltiplo de 11 si la suma de las cifras que estn en la posicin par menos la suma de las cifras de posicin impar, es 0 o mltiplo de 11. MDULO I 36 2. Divisibilidad 2. Nmeros primos y compuestos Unaclasificacinsencilladelosnmerosnaturalessurgeenfuncindelnmerode divisores que tiene cada nmero natural. Llamaremos nmero primo al que slo tiene dos divisores(lmismoylaunidad). Alnmeroquetienemsdedosdivisoressele denomina nmero compuesto. El nmero 2 slo se puede dividir por 1 y por 2, luego es un nmero primo. Elnmero4sepuededividirpor1,por2ypor4,luegoserunnmero compuesto. Fjatequeningnnmeroparvahaserprimo(todossepueden dividir, al menos, por 2, por ellos mismos y por la unidad) salvo el 2. Miraelcuadroadjuntodelos 100primerosnmeros naturales,fjateque hay muchosmsnmeros compuestos que primos.Noexisteningnalgoritmo paraobtenerlosnmeros primosdeformasistemticaa pesardelosencilloquees reconocerlos: basta con que no existaunnmeronaturalque lodividadeformaexacta distintodelmismoyla unidad.Parasabersiun nmerodadoesprimo,sersuficientedividirelnmeroporlosprimos anteriores a l hasta llegar a una divisin exacta (el nmero ser compuesto) o hasta que elcocientedeladivisinseaigualomenorqueeldivisor(encuyocasoelnmerodado ser primo).Verdadero o falso Los siguientes nmeros son primos? Recuerda que deberas probar en orden por todoslosprimosanterioresalhastaqueelcocienteseamenoroigualqueel divisor... no vale mirarlo en internet, si usar criterios de divisibilidad. ms... Observa... El1eselniconmero quetienesloundivisor,l mismo.As, no es ni primo ni compuesto.Aunquealgunos autoresloincluyenentrelos primosparecems razonable no hacerlo.

El0tieneinfinitos divisores,todoslosnmeros naturales. As, es compuesto. Quieres 150.000 Euros?Consguelosbuscandoun nmero primo "grande". Infrmateenlassiguientes direcciones: https://www.eff.org/awards/coop http://www.mersenne.org/ http://www.divulgauned.es/spip.php?article30#forum47 MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 2. Divisibilidad 37 2.1. Descomposicin en factores primos. Todoslosnmeroscompuestossepuedenponercomoproductodenmerosprimos siendo su resultado nico. Llamaremos descomposicin factorial de un nmero natural a su expresin en forma de producto de factores primos.

Ladescomposicinfactorialesmejorrealizarladeformaordenada conelsiguiente proceso reiterativo:

PROCESOEjemplo: factorizar 140VISUALIZACIN Dividimoselnmeroa factorizarporelprimer nmeroprimoenque resultesudivisinexacta, elcocienteresultantese ponebajoelnmeroyel divisoralotroladodela lnea vertical.Empezamosprobandopor el primo ms pequeo 140:2 = 70 .Vale el 2. Ponemoselnmeroque nosquedapordividir70, debajo de 140.

Seintentaseguirdivi-diendoporesenmero hastaquesudivisinno seaexacta,entonces probaremos a dividir por el siguientenmeroprimo; poniendocadavezque obtengamosunadivisin exactaelcocientebajoel nmeroyeldivisoralotro lado de la lnea vertical.

Secontinaesteproceso hastaobtenercomo cociente el nmero 1. Se sigue intentando dividir por 2 70:2=35, vale 2 otra vez.

Se sigue intentando con 2, 35:2 no se puede. Lointentamosporel siguiente primo, el 3, 35:3 no se puede. Lointentamosporel siguiente primo, el5, 35:5 = 7, vale el 5. Vemos que el ltimo primo es7.Yahemosterminado, 7:7=1obteniendoel1 como cociente. Ponemoselnmerodado comoproductode potenciasdefactores primos. Expresamoselresultado haciendousodela notacinqueconocemos de las potencias. 140=225171

Ms ejemplos Descomponer en factores primos 252 252 = 22327 Descomponer en factores primos 252 980 = 22572 ms... Recuerda... Llambamosfactoracada unodelosnmerosque intervienenenuna multiplicacin. Unproductodefactores igualessepodaescribiren forma de potencia. Una potencia se defina:an= a.a.a... (n veces) ...a, en donde a era la base y n el exponente. 140:2=70 140 270:2=35702 35 140:2=70 140 270 35:2=17,5 NO 35:3=11,6 NO 35:5=71402 702 35 57 es primo77 7:7=11 252:2=1262522 126:2=631262 63:3=21633 21:3=7213 7 es primo77 1 980:2=4909802 490:2=2454902 245:5=492455 49:7=7497 7 es primo77 1 MDULO I 38 2. Divisibilidad Relaciona Relaciona los factores primos que estn incluidos en un nmero. Relaciona Realizaprimerounpapelladescomposicinfactorialdecadanmeroy comprueba los resultados relacionndolos en la tabla. MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 2. Divisibilidad 39 2.2. Clculo de todos los divisores de un nmero Un sistema sencillo para calcular todos los divisores de un nmero dado, es ir haciendo de formaordenadaproductosdeparejasdenmeros enterosquedencomoresultadoel nmero dado. El proceso se termina cuando se repite una pareja de forma inversa con los mismos nmeros. Fjate como lo puedes hacer en los siguientes ejemplos. Todos los divisores de 60: 12345610 6030201512106 Todos los divisores de 50: 12510 5025105 Un algoritmo para calcular cuntos divisores tiene un nmero. Trashacerladescomposicinfactorial,elnmerodedivisorescoincideconel producto de los exponentes de las potencias de cada factor primo aumentadas en una unidad cada una de ellas.Vemoslo en los ejemplos anteriores. Nmero de divisores de 60. Primero hacemos su descomposicin factorial:60 = 22 31 51 Sumamos una unidad a cada exponente y los multiplicamos entre s: (2+1) (1+1) (1+1) =3 2 2 = 12 divisores. Nmero de divisores de 50. Primero hacemos su descomposicin factorial:50 = 21 . 52 Sumamos una unidad a cada exponente y los multiplicamos entre s: (1+1) . (2+1) = 2 . 3 = 6 divisores.

Ejemplos Para encontrar todos los divisores de 220 y 196. 1 Calculamoselnmerodedivisores paracomprobarquenonosdejamos ninguno. 2Vamosponiendolosdivisores ordenados por parejas. Observa que su producto es el nmero dado. 220 220 = 22 . 51 . 111 = (2+1)(1+1)(1+1)=322=12 divisores 1245101120 2201105544222011 196 196 = 22 72 = (2+1)(2+1) = 33 = 9 divisores 124714 19698492814

MDULO I 40 2. Divisibilidad Completa Completa MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 2. Divisibilidad 41 3. Mnimo comn mltiplo y mximo comn divisor Hasta ahora hemos estado estudiando la divisibilidad teniendo en cuenta un solo nmero natural,enesteapartadonosinteresaaprenderalgunascondicionesdedivisibilidad comunes a varios nmeros. Para no confundir los dos conceptos que vamos a estudiar a continuacin es bueno fijarse bienenelsignificadodelaspalabrasquelosdenominanyenlosresultadosquese obtienen. OBSERVA Si son mltiplos comunes a varios nmeros: Nos interesar el menor de todos ya que el mayor para todos los casos ser infinito. El resultado deber ser mayor o igual que los nmeros de los que partimos. Si son divisores comunes a varios nmeros: Nos interesar el mayor de todos ya que el menor para todos los casos ser 1. El resultado deber ser menor o igual que los nmeros de los que partimos. 3.1. Mnimo comn mltiplo El mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de varios nmeros ser el resultado de seleccionar entre los mltiplos comunes a varios nmeros al menor de ellos.Vamos a realizar el clculo del mnimo comn mltiplo de los nmeros 6, 4 y 8. Mltiplos de 6 = 6, 12, 24, 30, ..., 48, ... , 72,... Mltiplos de 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ... , 48, ... , 72, ... Mltiplos de 8 = 8, 16, 24, 32, ..., 48, ... , 72, ... Unavezcalculadossusmltiplos,nosbastaconverelmenorqueserepite,as, m.c.m.(6,4,8)=24. Observaquetodoslosmltiplosde24sontambinmltiplosdelos tresnmerosdados(losmltiploscomunesdevariosnmeros,sonmltiplosdesu m.c.m.). Estemtodosencilloparacalcularelm.c.m.resultamuytediososilosnmerosson grandes,as,unavezconocidobienelsignificadodelm.c.m.vamosaestudiarun algoritmo,enelsiguienteejemplo,quenosresuelvecualquierclculodelmenordelos mltiplos comunes a de varios nmeros de forma rpida. Ejemplo Para calcular el m.c.m. (12, 18): 1 Descomponemoslosnmerosen factores primos. 2 Los expresamos como potencias.12 = 22 318 = 2 32 3 Semultiplicanentrestodoslos nmerosprimosqueaparecenycon su mayor exponente. m.c.m. (12,18) = 22 32 = 36

122 62 33 1 182 93 33 1 MDULO I 42 2. Divisibilidad Relaciona Calculamentalmenteelmnimocomnmltiplodeestosnmerosyrelacionalo con su resultado. Relaciona Calculaelmnimocomnmltiplodeestosnmerosyrelacinaloconsu resultado. MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 2. Divisibilidad 43 3.2. Mximo comn divisor Elmximocomndivisor(m.c.d.)devariosnmerosserelresultadodeseleccionar entre sus divisores comunes al mayor de ellos. Vamos a realizar el clculo del mximo comn divisor de los nmeros 12, 30 y 18. Divisores de 12 = 1, 2, 3, 4,6 y 12. Divisores de 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30. Divisores de 18 = 1, 2, 3, 6, 9 y 18. Unavezpuestossusdivisores,bastaconverelmayorqueserepite,as, m.c.d.(12,30,18)=6. Estemtodosencilloresultamuytediososilosnmerossongrandes,as,unavez conocidobienelsignificadodelm.c.d.,vamosaestudiarunalgoritmo,enelsiguiente ejemplo,quenosresuelvecualquierclculodelmenordelosdivisorescomunesavarios nmeros de forma rpida. Ejemplos Para calcular el m.c.d. (12, 18): 1 Descomponemoslosnmerosen factores primos. 2 Los expresamos como potencias.12 = 22 318 = 2 32 3 Semultiplicanentresslolos nmerosprimosqueaparecen repetidos y con el menor exponente. m.c.d. (12,18) = 2 3 = 6 Para calcular el m.c.d. (30, 75): 1 Descomponemoslosnmerosen factores primos. 2 Los expresamos como potencias.30 = 2 3 575 = 3 52 3 Semultiplicanentresslolos nmerosprimosqueaparecen repetidos y con el menor exponente. m.c.m. (30,75) = 3 5 = 15

RECUERDA: El m.c.d. de varios nmeros siempre es igual o menor que el menor de ellos. Paranoconfundirelm.c.d.yelm.c.m.facilitapensarenquenosinteresa el mayor de los divisores (ya que el menor sera el uno para todos ellos) y el menor de los mltiplos (ya que el mayor sera infinito para todos ellos). 122 62 33 1 182 93 33 1 302 153 55 1 753 255 55 1 ms... Para saber ms... Cuandoelm.c.d.devarios nmeroses1,aesos nmerosselesdenomina primos entre s. COMPRUEBA:Pontevariosejemplosy observa que se verifica! Sivariosnmerosson primosentres,su m.c.m.esigualasu producto. Elproductodedos nmerosesigualal productodesum.c.m. por su m.c.d. MDULO I 44 2. Divisibilidad Relaciona Calculamentalmenteelmximocomndivisordeestosnmerosyrelacinalo con el resultado. Relaciona Calcula el mximo comn divisor de estos nmeros y relacinalo con el resultado. MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 2. Divisibilidad 45 3.3. Aplicacin a la resolucin de problemas Se resuelven con el m.c.m. o el m.c.d. los problemas en los que, por ejemplo,se desee averiguar algn tipo de coincidencia, agrupamiento o reparto de varias cantidades de forma que no sobre nada. Pasamos a ver dos problemas resueltos: Ejemplo 1 TresamigosPedro,JuanyMara,coincidenundaenla piscina.Alterminardebaarseacuerdanquedarpara jugar al tenis la prxima vez que se vean. Si Pedronada 1 vez cada 4 semanas, Juan una vez cada 15 dasyMaracadatresdas,dentrodecuntosdas tendrn que traer las raquetas de tenis?. Tenemos que cada uno nada los das mltiplo de 28 (4 semanas), 15 y 3 das. Como nos interesael primer daque seencuentren,ste ser el menor mltiplo comn (m.c.m.) de 28, 15 y 3. Resolvindolo, tenemos que sus descomposiciones en factores primos son: 28 = 22 715 = 3 5 3 = 3 m.c.m. (28, 15, 3 ) = 22 3 5 7 = 420 das. As, debernllevarlasraquetasdentrode420das,momentoenelque coincidirn la prxima vez en la piscina. Ejemplo 2 Un carpintero tiene 20 listones de 1,50 metros, 15 listones de 0,60metrosy12listonesde2,40metros. Deseaconstruir marcoscuadradosparafotografasdeformaquetenganel mayor tamao posible de lado. Cul es el tamao mayor del ladoquepodrconstruirsinquelesobreningn trozo?Cuntos marcos podr realizar? Observamos que se desean hacer divisiones exactas y con el mayor tamao comn paravariasmaderas. Seresolverutilizandoelmximocomndivisordelas longitudes de los tres listones. Como las medidas del marco sern del orden de los cm,pasamosaestaunidadloslistonesparaencontrarsumayordivisorcomn (m.c.d.) (a 150, 60 y 240 centmetros). Resolvindolo, tenemos que sus descomposiciones en factores primos son: 150 = 2 3 52 60 = 22 3 5240 = 24 3 5 m.c.d.(150, 60, 240) = 2 3 5 = 30 cm. As, como los trozos son de 30 cm: del listn de 150cm : 30cm = 5 trozos por 20 listones = 100 trozos. del listn de 60 cm : 30 cm = 2 trozos por 15 listones = 30 trozos. del listn de 240 cm : 30 cm = 8 trozos por 12 listones = 96 trozos El carpintero tendr en total 226 trozos, que divididos para los 4 que se necesitan en cada marco, nos dan un total de 56 marcos y le sobrarn dos trozos de 30 cm. MDULO I 46 2. Divisibilidad Elige las correctas Enunatiendadecomestiblestienen,400caramelosdefresay720delimn. Quieren hacer paquetes del mayor nmero de caramelos posible y de forma que tenganlamismacantidaddecaramelossinmezclarlosdossabores.Tambin deseanquealfinaldelenvasadonosobrenifalteningncaramelo.Cuntos caramelos habr en cada paquete? Cuntos paquetes se obtendrn? Elige las correctas En una plaza hay una parada de autobs donde coinciden tres lneas distintas. La primeratarda40minutosenhacerelrecorrido,lasegunda30ylatercera48 minutos.Sialas10delamaanaseencuentranlostresautobusesenlaplaza, cundo se volvern a encontrar por primera vez? MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 2. Divisibilidad 47 Ejercicios 1.Indica de entre los siguientes nmeros cules son mltiplos de 13. 35 195 127 104 1040 231 321 2.Indica de los siguientes nmeros cules son divisores de 360. 42 12 27 45 18 62 24 3.De los siguientes nmeros di los que son divisibles por 3. 327 110 431 695 522 4.De los siguientes nmeros di los que son divisibles por 5. 427 505 2370 1115 617 5.De los siguientes nmeros di los que son divisibles por 11. 111 924 3113 27172 142 6.Rellena la tabla poniendo s o no en cada casilla. Utiliza los criterios de divisibilidad. 131250501111584722169 Divisible por 2 Divisible por 3 Divisible por 5 Divisible por 11 7.Escribe todos los nmeros divisibles por 6 que hay entre 598 y 625. 8.Delossiguientesnmerosdiculessonprimosyculescompuestos.Razonala respuesta. 123 127 235 1302 947 283 43769 9.Completa el hueco con un nmero para que se cumplan las siguientes condiciones. a) 1 para que sea un nmero primo. b) 23 para que sea divisible de 3. c) 247 para que sea mltiplo de 11. d) 111 para que sea mltiplo de 3 y divisor de 5. 10.Realiza la factorizacin de los siguientes nmeros. 120 84 108 600 4620 11.Halla todos los divisores de los siguientes nmeros. 40 110 1000 191 360 MDULO I 48 2. Divisibilidad 12.Busca un nmero que cumpla cada una de las siguientes frases. a) Sea primo y par. b) El menor nmero compuesto divisible por 5 y 10. c) Un nmero primo divisible por 11. d) El primer nmero compuesto impar. e) El menor nmero compuesto divisible por 3, 5 y 7. 13.Tenemos120baldosascuadradascoloreadasde10cmdelado.Queremosanalizar lasposiblescombinacionesparaponerlascomounrectnguloquetengadelado ms de 3 baldosas y no sobrepase de 8. Cules son? 14.Calculaelmximocomndivisoryelmnimocomnmltiplodelossiguientes conjuntos de nmeros. a) 48 y 36. b) 150, 180 y 108. c) 252, 90 y 600. 15.Tresatraccionesdeunparquetemticoduran40segundos,2minutosy30 segundos. Si tres amigos entran a la vez en cada una de estas atracciones, cuntas veces tendrn que repetir en ellas si desean salir todos a la vez? 16.Endoscolegioshay600y210alumnos.Sequierenhacerequiposlomsgrandes posiblesydelmismonmerodealumnosparaunacompeticinentrelosdos centros. Cuntos equipos se harn en total?. 17.EnBenasquehaytresnuevasavenidasde1500m,240metrosy720metros.Se deseanponerfarolasalamismadistanciaentodaslasavenidasdeformaquesta sealamayorposible.Aqudistanciaestarn?.Esrazonableestasolucin?.Qu otras opciones tenemos? 18.Tenemosmaderasdeviejospalsrectangularesusadosenlaconstruccinque tienen 120 cm de largo por 80 cm de ancho. Deseamos hacer trozos de igual tamao para ordenarlos en la leera. Deseamos que sean lo ms grandes posibles y que no se desperdicie ningn trozo. De qu medida ser cada leo?. 19.MaratienequellamarportelfonoaBrian.Brianesungraciosilloyledijoal despedirse:minmerodetelfonoempiezaporlosdivisoresde6ordenadosde formadecreciente,estnseguidosdelprimernmeroprimoyacontinuacindel menor nmero primo de cuatro cifras. A qu nmero de telfono le tiene que llamar Mara?. MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 Los nmeros decimales 1. Nmeros decimales 1.1. Ordenar 1.2. Representar 2. Operaciones 2.1. Sumar y restar 2.2. Multiplicar 2.3. Dividir 3. Sistema Mtrico Decimal 3.1. Cambio de unidades 4. Problemas Losnmerosdecimalesaparecencontinuamenteenlavida cotidiana.Entenderlosyoperarconelloscorrectamentees imprescindibleparatareastanhabitualescomocomprarenel mercadoomedirunadistancia.Enestaunidadrepasarsy ampliarstusconocimientosacercadelosnmerosdecimalesyel Sistema Mtrico Decimal Loscontenidosestnestructuradosentrespartes.Enla primeradeellasseestablecenlosconceptosydefiniciones necesariasparadescribirymanejarlosnmerosdecimales.Enla segundaserecuerdalamaneraderealizarlasoperaciones aritmticas.FinalmenteenlaterceraseestudiaelSistemaMtrico Decimal, como aplicacin directa del uso de nmeros decimales Al finalizar la unidad debers ser capaz de: Distinguir y ordenar nmeros decimales. Leer nmeros decimales. Conoceryutilizarlaequivalenciaentrelasposiciones decimales. Realizar operaciones con nmeros decimales. Expresarcantidadesdelongitud,masaycapacidaden diferentes unidades del Sistema Mtrico Decimal Resolver problemas operando con nmeros decimales. MDULO I 50

3. Los nmeros decimales 1. Nmeros decimales Llamaremosnmerosdecimalesaaquellos nmeroscuyascifrasestnseparadaspor unacoma.Lascifrasalaizquierdadela comacorrespondenalaparteenteradel nmero, mientras que las cifras a la derecha de la coma son la parte decimal Recuerdaquecifraodgitoescadaunodeloscaracteresquesirvenpararepresentar nmeros.EnelSistemaDecimaldisponemosdediezcifras,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, mediantelascualesrepresentamoscualquiernmero.Enelnmero256,859hemos utilizado las cifras 2, 5, 6, 8 y 9.Losnmerosdecimalessonnecesarios paraexpresarcantidadescuyovalores mayorqueunnmeroenterodado,pero menorqueelnmeroenterosiguiente. Poresoaparecenenmltiplesocasiones enlavidadiaria,comoporejemploal manejar moneda fraccionaria o al efectuar cualquier medida. 2 euros y 25 cntimos 2 < 2,25 < 3 Unadelasaplicacionesdirectasdelsistemadenumeracindecimallaencontramosen nuestrosistemademedida,queseconocecomoSistemaMtricoDecimal.Hastasu implantacinen1889,enlaPrimeraConferenciaGeneraldePesosyMedidas, encada reginsemanejabandistintasunidadesdemedida,loquedificultabaenormementeel intercambio comercial y la comunicacin cientfica. Nombre y valor de las cifras decimalesAligualqueenlaparteentera,enlapartedecimalelvalordecadacifradependedela posicinqueocuparespectoalaunidad.Sitomamoselnmero25,255942vemosque est compuesto de:decenaunidad,dcimacentsimamilsimadiezmilsimacienmilsimamillonsima 25,255942 En la parte entera conforme se avanza una posicin desde la unidad hacia la izquierda, su valorsemultiplicapor10,esdecir1decenatiene10unidades,1centenatiene100 unidadesyassucesivamente.Enlapartedecimal,conformeseavanzaunaposicinala derecha, su valor se divide entre 10 dcimacentsimamilsimadiezmilsimacienmilsimamillonsima unidades0,10,010,0010,00010,000010,000001 En general, podemos comparar dos posiciones cualesquiera, no importa si pertenecen a la parteenteraodecimal. Sipasamosdeunaposicinaotramenor,tendremosque multiplicar por 10 tantas veces como sea preciso. A la inversa, para pasar de una posicin a otra mayor tendremos que dividir sucesivamente entre 10. 256,859 Parte entera Parte decimal ms... Otros nmeros Elsistemadenumeracin decimalquehoymanejamos provienedelaIndia.Se comenzaemplearen EuropaapartirdelsigloXI. Suusosimplificmucholos clculos,quehastaentonces eranrealizadosporexpertos calculistas. Ademsdelsistemadecimal seutilizanotrossistemasde numeracin,comoel romano,paranumerarlos siglos,oelbinario,utilizado eninformtica,queutiliza slo dos cifras: 0 y 1. MDULO I Matemticas y Tecnologa 1 3. Los nmeros decimales 51 Lectura de nmeros decimales A la hora de leer un nmero decimal, procederemos del siguiente modo:1 Leemos la parte entera: 256 unidades. 2 Leemoslapartedecimal859milsimas dndoleelnombredelaposicindela ltima cifra decimal. Loscerosqueaparecenalfinaldelapartedecimaldeunnmeropuedensuprimirse, tanto a la hora de escribirlo como a la hora de nombrarlo: 3,4 = 3,40 = 3,400 porque 4 dcimas = 40 centsimas = 400 milsimas Ejemplos El nmeroSe lee 87,95887 unidades 958 milsimas 6,10566 unidades 1056 diezmilsimas. 0,058960 unidades 5896 cienmilsimas 0,00505 milsimas 58923,0158923 unidades 1 centsima Relaciona Los siguientes nmeros decimales con su parte decimal Practica 1) a)Cuntas centsimas son un millar? b)Cuntas unidades son una milsima? c) Cuntas centenas son una milsima? 2) Escribe los siguientes nmeros: a) 5 unidades 5 milsimas b) 25 unidades 326 diezmilsimas c) 0 unidades 58084 cienmilsimas 256,859 Parte entera Parte decimal Comprueba 1. a) 100000 b) 0,001 c) 0,00001 2. a) 5,005 b) 25,0326 c) 0,58084 ms... Punto o coma? Qusignodebemosutilizar parasepararlaparteentera de la parte decimal?. LanormadelaReal AcademiadelaLengua establecequeelseparador decimalutilizadoennuestro passealacoma,escritaen laparteinferiordelrengln, no arriba. 3,14 y no 3'14 Aunque se permite el uso del puntoanglosajn,comoen lascalculadoras,normalen pases hispanoamericanos. Enlaimagen,tomadadela wikipedia,puedesverlautilizacindeunouotro smboloenelmundo.En verdelacomayenazulel punto. MDULO I 52

3. Los nmeros decimales 1.1. OrdenarOrdenardosnmerossignificadecidirculdeellosesmayoryculmenor.El procedimiento para comparar nmeros decimales es el siguiente En primer lugar, nos fijamos es su parte entera.24,2 > 23,9 porque 24>23 Sitienenlaspartesenterasiguales,nosfijamosenla cifra siguiente, de las dcimas. 24,23 > 24,19 porque 2>1 Si tienen la cifra de las dcimas iguales, nos fijamos en la cifra de las centsimas. 24,271 > 24,238 porque 7>3 Si tienen la cifra de las centsimas iguales, nos fijamos en la cifra de las milsimas, y as sucesivamente. 24,278 > 24,2779 porque 8>7 1.2. RepresentarCualquiernmerodecimalestarsituadoentredosnmerosenteros.Elprocedimiento para representar sobre la recta un nmero decimal es el siguiente: 1) Localizamossobrelarectalosdosnmerosenterosentrelosqueseencuentrael nmero decimal que queremos representar 2) Dividimoselsegmentodeterminadoporestosnmerosen10partesigualespara representarlasdcimas.Sielnmerodecimaltienecentsimas,localizamoslas dcimas entre las que se encuentra 3) Dividimos,denuevo,elsegmentoanterioren10partesigualespararepresentarlas centsimas. Si nuestro nmero tiene milsimas, tendremos que repetir el proceso. Ejemplo Queremos localizar sobre la recta el nmero 85,744 85 < 85,744 < 86 85,7 < 85,744 < 85,5 85,74 < 85,744 < 85,75Practica 3)Ordena los siguientes pares de nmeros de menor a mayor a) 25,589 y 24,09 b) 25,001 y 25,101 c) 8,186 y 8,099 d) 52,84 y 52,845 e) 5,8752 y 5,8749 f) 5,5436 y 5,54359 Comprueba3. a) 24,09