Matematicas teleco

7/23/2019 Matematicas teleco

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243101 Matemáticas I

Grado en ingeniería en tecnologías de latelecomunicación

Apuntes de clase

Semestre de otoño del curso 2015-2016

Profesores:

Berta García Celayeta (teoría y problemas)

Andrés Arrarás Ventura (problemas)

Área de Matemática aplicada

Departamento de Ingeniería matemática e informática

Universidad Pública de Navarra

26 de octubre de 2015



Índice general

1. Numeros reales y complejos, sucesiones y series de números reales 11.1. El conjunto de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. El método de inducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3. Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4. Sucesiones de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4.1. Definiciones y notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.2. Monotonía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.3. Acotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.4. Operaciones con sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.5. Límite de una sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5. Series de números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.1. Definiciones y notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.5.2. Algunas series notables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.5.3. Resultados generales sobre convergencia . . . . . . . . . . . . . . . 321.5.4. Series de términos positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.5.5. Series de términos cualesquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.5.6. Otros criterios de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6. Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.1. La raíz cuadrada en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.2. Producto cartesiano, aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.6.3. La fórmula ciclotómica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.6.4. El factorial y los números combinatorios . . . . . . . . . . . . . . 38

1.6.5. Algunas fórmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.8. Algunas soluciones e indicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2. Funciones de R en R 512.1. Funciones. Tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2. Operaciones con funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3. Límite de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.5. Anexo: Funciones usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5.1. Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71III



2.6. Otras funciones usuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.8. Algunas soluciones e indicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

3. Cálculo diferencial en R 913.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913.2. Derivada en un punto y función derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.2.1. Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 983.2.2. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.3. Máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.3.1. Máximos y mínimos relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1003.3.2. Máximos y mínimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

3.4. Resultados clásicos sobre derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.5. Crecimiento. Máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1063.6. Cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1083.7. Resolución numérica de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.7.1. Método de bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1123.8. Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3.8.1. Aplicaciones al cálculo de límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1223.9. Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.10. Anexo I: Representación gráfica de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1313.11. Anexo II: Algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1343.12. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135



Tema 1

Numeros reales y complejos, sucesiones y

series de numeros reales

Vamos a dedicar 10 horas de clase a este capítulo. Debes resolver por tu cuenta losejercicios que no hayan sido resueltos en clase. No todos los ejercicios tienen la mismadificultad. Para orientar tu trabajo, se han etiquetado Los ejercicios por niveles:

nivel 0: ejercicios de repaso de conceptos que se suponen conocidos,

niveles 1 a 3: grado de dificultad,

nivel extra: para ampliar conocimientos (no necesariamente son más difíciles).

También es recomendable consultar [1], [2], [3].

1.1. El conjunto de los números reales

Podemos construir R de forma intuitiva partiendo de un conjunto de números muysencillo, el conjunto de los números naturales, que responde a la idea primitiva decontar.

Definición 1.1.1. El conjunto de los números naturales es

N = {1, 2, 3, . . .} .

Nota 1.1.2. Algunos autores consideran el cero como elemento de N. En estos apuntes,cuando queramos incluir el cero pondremos N0 = N ∪ {0}.

Proposición 1.1.3. Si dotamos al conjunto N de las operaciones internas suma

(+

) y

producto (⋅) habituales, entonces la terna (N,+

,⋅) satisface las siguientes propiedades:

1



2 Numeros reales y complejos, sucesiones y series de números reales

1. Propiedad conmutativa para la suma y el producto:

a + b = b + a, ∀a, b ∈ N,

a ⋅ b = b ⋅ a, ∀a, b ∈ N.

2. Propiedad asociativa para la suma y el producto:

(a + b) + c = a + (b + c), ∀a,b,c ∈ N,(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c), ∀a,b,c ∈ N.

3. Propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:

a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c, ∀a,b,c ∈ N.

4. En N0, existencia de elemento neutro para la suma :

∃0 ∈ N0 tal que a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ N0.

5. Existencia de elemento neutro para el producto:

∃1 ∈ N tal que 1 ≠ 0 y a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a, ∀a ∈ N.

6. Axiomas de orden. En el cojunto N

, hay definida una relación de orden total ,denotada ≤, es decir un relación que verifica las siguientes propiedades:

(a) Reflexividad : a ≤ a ∀a ∈ N.

(b) Antisimetría : ∀a, b ∈ N tales que a ≤ b y b ≤ a, se tiene que a = b.

(c) Transitividad : ∀a,b,c ∈ N tales que a ≤ b y b ≤ c se tiene que a ≤ c.

(d) Totalidad : ∀a, b ∈ N se tiene que a ≤ b ó b ≤ a.

7. Axiomas de compatibilidad.

(a) Compatibilidad de la relación de orden total con la operación suma : ∀a,b,c ∈

N se tiene que si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c.

(b) Compatibilidad de la relación de orden total con la operación producto:

∀a,b,c ∈ N se tiene que si a ≤ b entonces a ⋅ c ≤ b ⋅ c.

Nota 1.1.4. A pesar de estas propiedades, el conjunto de los números naturales presentabastantes carencias. Si bien ciertas ecuaciones como x +1 = 3 tienen solución en N, otrascomo x + 5 = 3 no tienen. La primera ampliación del conjunto N nos lleva a considerar

los números enteros.Semestre de primavera, curso 2014/2015



1.1. El conjunto de los números reales 3

Definición 1.1.5. El conjunto de los números enteros es

Z =

{. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .

}.

La letra Z es la inicial de Zahl ("número" en alemán). Si dotamos a este conjunto de lasoperaciones internas suma y producto anteriores, entonces la terna (Z, +, ⋅) satisfacelas propiedades (1-6) y además:

8. Existencia de elemento opuesto (para la suma):

∀a ∈ Z, ∃b ∈ Z tal que a + b = b + a = 0.

(b se denota habitualmente −a).

9. En cuanto al axioma 7, la primera parte queda igual, pero la segunda parteno: vamos a utilizar la siguiente notación: a ≥ b significa b ≤ a. Con esto, lacompatibilidad de la relación de orden total con la operación producto, cambiarespecto de los naturales quedando ahora:

∀a,b,c ∈ Z con c ≥ 0 se tiene que si a ≤ b entonces a ⋅ c ≤ b ⋅ c.

Nota 1.1.6. Para el caso a,b,c ∈ Z con c ≤ 0 se tiene que si a ≤ b entonces a ⋅ c ≥ b ⋅ c.

Nota 1.1.7. La ecuación x + 5 = 3 sí tiene solución en Z: x = −2. Pero sigue habiendo

ecuaciones, como 2 x = 1, que no la tienen.

Definición 1.1.8. El conjunto de los números racionales es

Q = a

b a, b ∈ Z , b ≠ 0 .

Cada cociente a

b de números enteros se denomina fracción. Dos fracciones

a

b y

c

d se

dicen equivalentes si a ⋅d = b ⋅c. Por ejemplo 2

3 y

10

15 son equivalentes porque 2 ⋅15 = 3 ⋅10.

Todas las fracciones equivalentes a una dada corresponden al mismo número racional.De todas ellas, se llama representación irreducible o canónica a aquella de la forma ab

que satisface mcd{a, b} = 1. En tal caso se dice que a y b son primos entre sí.

Extendiendo adecuadamente las operaciones internas suma y producto anteriores alconjunto de los números racionales, se tiene que la terna (Q, +, ⋅) satisface, además delas propiedades (1-9), la siguiente propiedad:

10. Existencia de elemento recíproco o inverso (respecto al producto):

∀q ∈ Q tal que q ≠ 0, ∃r ∈Q tal que q ⋅ r = r ⋅ q = 1.

UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




Nota 1.1.9. Observa que la ecuación 2 x = 1 ya puede resolverse en el conjunto de losnúmeros racionales: x = 1

2 ∈ Q. Este conjunto, con todas sus propiedades, todavía

presenta algunas carencias. Sigue habiendo ecuaciones cuyas soluciones no están en Q,como, por ejemplo, x2 − 2 = 0 .

Proposición 1.1.10. Las soluciones de la ecuación x2 − 2 = 0 no son racionales.

−√

2 ∈Q,√

2 ∈ QAcabamos de ver que hay números que no son racionales, entre ellos las soluciones de laecuación x2 − 2 = 0 . A continuación definimos un nuevo conjunto de números entre los

que se encuentran las soluciones de esta ecuación. Dicho conjunto no es una extensiónde Q, sino su complemento. Recordemos la propiedad 17 de los números racionales,que decía que todo número racional puede escribirse en forma decimal con un númerode dígitos finito o infinito periódico.

Definición 1.1.11. El conjunto de los números irracionales es

I = { números que en su forma decimal tienen un número

infinito de cifras no periódicas

}.

De la definición se deduce la imposibilidad de escribir exactamente estos números enforma decimal. En la figura 1.1 mostramos algunos de ellos.

√ 2 ∈ I

1

1

1

π ∈ I 1 + 1

nn

→ e ∈ I

Figura 1.1. Algunos irracionales

En la práctica se suelen utilizar aproximaciones racionales de estos números. Para losirracionales anteriores mostramos las siguientes aproximaciones:√

2 1.414 ,

π 3.14159265359 ,

e 2.718281828459045235360287471352662497757 .

En el primer caso, la aproximación se ha hecho hasta las milésimas; en los otros dos

casos, se ha cometido un error bastante menor.Semestre de primavera, curso 2014/2015




Definición 1.1.12. El conjunto de los números reales es

R =Q ∪ I .

La unión anterior es disjunta, es decir, Q ∩ I = .

Nota 1.1.13. Entre los conjuntos de números definidos en esta sección se verifican lossiguientes contenidos

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R , (1.1.a)

I ⊂ R . (1.1.b)

Los números reales se representan en una recta, la recta real. Se fija un origen (elementoneutro para la suma) y la unidad (elemento neutro para el producto), y a partir de ellase sitúan los naturales y los enteros.

0 1

2 3 4 5-1-2-3-4-5 . . .. . .

R

Para representar un número racional pq , dividimos la unidad en q partes iguales y acontinuación tomamos p trozos.

0 1

138

↓

Algunos números irracionales se puedenrepresentar fácilmente como la hipotenusade ciertos triángulos rectángulos.

0 1 2

√ 5

√ 5

La terna (R, +, ⋅) verifica las propiedades 1-10. El elemento inverso de x ∈ R se denota

habitualmente x−1 o 1

x.

Para enunciar el axioma del supremo es necesario dar dos definiciones previas, y esconveniente introducir dos nuevos símbolos:

(Notación) La expresión a < b significa que a ≤ b y que además a ≠ b. La expresión

a >

b significa que a ≥

b y que además a ≠

b.UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




(Definición) Sea S ⊂ R, se dice que S está acotado superiormente si ∃K ∈ R talque x ≤ K ∀x ∈ S . Se dice además que K es una cota superior de S .

(Definición) Sea S ⊂ R y s ∈ R. Se dice que s es el supremo de S y se denotas = supS si

s es una cota superior de S .

∀ε > 0∃x ∈ S tal que x > s − ε. (Observemos que podemos interpretar loanterior como “s − ε no es cota superior de S , luego s es la menor de lascotas superiores de S ”).

11. Axioma del supremo: Sea S ⊂ R, S ≠ y acotado superiormente. Entonces existeel supremo de S .

Nota 1.1.14. Observemos que de la definición se deduce que el supremo de un conjunto,si existe, es único.

Definición 1.1.15. Sea S ⊂ R. Se dice que M ∈ R es el máximo de S y se denotaM = max S si

1. M es una cota superior de S

2. M ∈ S

Proposición 1.1.16. Sea S ⊂ R. Si existe M = max S , entonces M = supS .

Definición 1.1.17. Sea S ⊂ R, se dice que S está acotado inferiormente si ∃l ∈ R talque x ≥ l ∀x ∈ S . Se dice además que l es una cota inferior de S .

Definición 1.1.18. Sean S ⊂ R y c ∈ R. Se dice que c es el ínfimo de S y se denota

c = inf S si

1. c es una cota inferior de S .2. ∀ε > 0∃x ∈ S tal que x < c + ε. (Observemos que podemos interpretar lo anterior

como “c + ε no es cota inferior de S , luego c es la mayor de las cotas inferiores de

S ”).

Nota 1.1.19. Observemos que de la definición se deduce que el ínfimo de un conjunto,si existe, es único.

Definición 1.1.20. Sea S ⊂ R. Se dice que m ∈ R es el mínimo de S y se denota

m =

mın S siSemestre de primavera, curso 2014/2015




1. m es una cota inferior de S ,

2. m ∈ S .

Proposición 1.1.21. Sea S ⊂ R. Si existe m = mın S , entonces m = inf S .

Proposición 1.1.22. Sea S ⊂ R, S ≠ y acotado inferiormente. Entonces existe el

ínfimo de S .

Definición 1.1.23. Algunos subconjuntos notables de R que aparecerán con frecuencia

a lo largo del curso son los intervalos. Dados a, b ∈ R , con a < b, definimos los siguientesintervalos:

(a, b) = { x ∈ R a < x < b } , (a, +∞) = { x ∈ R a < x } ,

[a, b] = { x ∈ R a ≤ x ≤ b } , [a, +∞) = { x ∈ R a ≤ x } ,

(a, b] = { x ∈ R a < x ≤ b } , (−∞, b] = { x ∈ R x ≤ b } ,

[a, b) = { x ∈ R a ≤ x < b } , (−∞, b) = { x ∈ R x < b } .

Los intervalos

(a, b

) y

[a, b

] se llaman, respectivamente, intervalo abierto e intervalo

cerrado. Los intervalos (a, b] y [a, b) se llaman intervalos semiabiertos o semicerrados.

Ejemplo 1.1.24. Consideramos el conjunto A = (a, b]. Se tiene que max A = sup A = b,ınf A = a y no existe mın A.

Ejemplo 1.1.25. Consideramos el conjunto A = [a, b). Se tiene que sup A = b, no existemax A, y mın A = ınf A = a.

Ejercicio 1.1.26. Para el resto de intervalos, estudiar su acotación y la existencia desupremo, máximo, ínfimo, mínimo.

Proposición 1.1.27. Propiedades de los números reales: sean x, y,z ∈ Rde las propie-dades 1-10, se deduce:

1. Si x + y = z , entonces y = −x + z

2. Si x ⋅ y = z y x ≠ 0, entonces y = x−1z

3. Si x ⋅ y = x ⋅ z y x ≠ 0, entonces y = z

4. x⋅

0 =

0





5. Si x ⋅ y = 0, entonces x = 0 ó y = 0

6.

(−1

)x = −x

7. −(x + y) = −x − y

8. −(−x) = x

9. (−1) ⋅ (−1) = 1

10. x ⋅ (−y) = (−x) ⋅ y = −(x ⋅ y)11.

(−x

)⋅

(−y

) = x ⋅ y

12. Si x ≠ 0, entonces −x ≠ 0, x−1 ≠ 0, (−x)−1 = −x−1 y (x−1)−1 = x

13. x ≥ 0 si y sólo si −x ≤ 0

14. x2≥ 0

15. 1 ≥ 0

16. Entre dos números racionales cualesquiera r1 y r2 existe siempre otro númeroracional r3.

17. Todo número racional puede escribirse en forma decimal con un número de dígitos finito o infinito periódico.

18. Todo número decimal con un número de dígitos finito o infinito periódico, admite una expresión de la forma

p

q con p, q ∈ Z y q ≠ 0, es decir, es un número racional.

Nota 1.1.28. En estos apuntes, si x > 0 e y ∈ R, definiremos xy ∶= ey log x, donde log

representa el logaritmo neperiano.

Definición 1.1.29. Dado x ∈ R, se define la parte entera de x como el mayor númeroentero de entre los que son menores o iguales que x. Se denota [x].Definición 1.1.30. Dado x ∈ R, se define el valor absoluto de x como

x = x si x ≥ 0

−x si x < 0

Proposición 1.1.31. Propiedades del valor absoluto: para todo x, y ∈ R, se tiene

1. x ≥ 0,Semestre de primavera, curso 2014/2015



1.2. El método de inducción 9

2. x = 0 ⇔ x = 0,

3. x + y ≤ x + y ,4. xy = x ⋅ y ,5. √

x2 = x .1.2. El método de inducción

Una de las propiedades más importantes de los números naturales es el principio deiducción matemática. Supongamos que P (m) significa que la propiedad P se cumplepara cierto número natural m. El principio de inducción matemática afirma que P (n)es cierta ∀ n ∈ N∗ siempre que

1. P (1) es cierta.

2. Si P (k) es cierta, entonces P (k + 1) también lo es.

1.3. Números complejos

La ecuación x2 − 2 = 0 ya puede resolverse en el conjunto de los números reales, tienedos soluciones x1 = −

√ 2 ∈ R y x2 =

√ 2 ∈ R . Sin embargo todavía hay ecuaciones cuyas

soluciones no son reales, por ejemplo

x2+ 1 = 0 .

Para resolver este problema, se define un nuevo conjunto de números que extiende aR: el conjunto de los números complejos.

En secciones anteriores hemos estudiado el conjunto R y sus propiedades. Hemos vistoque tiene más propiedades que sus subconjuntos N, Z y Q. Sin embargo, tiene unacarencia importante y es que no toda ecuación polinómica con coeficientes en R tienesoluciones reales. El ejemplo más sencillo es la ecuación x2 + 1 = 0. Esto nos motiva abuscar un superconjunto de R que, verifique la deseada propiedad de que toda ecuaciónpolinómica con coeficientes en dicho superconjunto tenga solución en él.

Definición 1.3.1. Definimos el conjunto de los números complejos como

C= {(x1, x2) x1, x2

∈

R}UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




en el que se definen las operaciones

+ ∶ C × C → C(x1, x2), (y1, y2) (x1 + y1, x2 + y2)y

⋅ ∶ C × C → C(x1, x2), (y1, y2) (x1y1 − x2y2, x1y2 + x2y1)Teorema 1.3.2. La terna

(C, +, ⋅

) tiene las propiedades (1-5), 8,10,.

Demostración.- Ejercicio.

Teorema 1.3.3. (C, +, ⋅) es algebraicamente cerrado, es decir, toda ecuación polinó-

mica con coeficientes en C tiene solución en C.

Teorema 1.3.4. En (C, +, ⋅) no existe una relación de orden total compatible con las operaciones.

Nota 1.3.5. Si consideramos el subconjunto de C:

A ∶= {(x1, x2) ∈ C x2 = 0}podemos identificar A con R, en el sentido de que las operaciones + y ⋅ definidas en Cextienden las conocidas para R. A partir de ahora, podremos pues, escribir R ⊂ C.

Nota 1.3.6. Del teorema 1.3.3 y de la nota 1.3.5 se deduce que toda ecuación polinómica

con coeficientes en R tiene solución en C.

Definición 1.3.7. El número complejo

(0, 1

) se llama unidad imaginaria y suele de-

notarse por i.

Nota 1.3.8. Tenemos que i2= −1.

Nota 1.3.9. Es habitual escribir el número complejo (x, y) como x + iy.

Definición 1.3.10. Dado z = x + iy ∈ C se define el módulo de z como el número real

z ∶= x2 + y2.

Nota 1.3.11. Si z ∈ C es, en particular, un número real, entonces el módulo de z coincide

con el valor absoluto de z .Semestre de primavera, curso 2014/2015



1.3. Números complejos 11

Definición 1.3.12. Dado z = x + iy ∈ C {0} se define el argumento principal de Z

como α ∈

(−π, π

] que verifica

1. x = z cos α,

2. y = z sen α.

α suele denotarse Argz .

Proposición 1.3.13. Dados z = x + iy,z 1, z 2 ∈ C, tenemos las siguientes propiedades

1. z ≥ 0.2. z = 0 ⇔ z = 0.

3. z 1z 2 = z 1 ⋅ z 2 .4. z 1 + z 2 ≤ z 1 + z 2 .

Nota 1.3.14. El conjunto C suele representarse en el plano R2.

Definición 1.3.15. Dado z = x + iy ∈ C se define

ez∶= ex(cos y + iseny).

Nota 1.3.16. De la definición anterior se deduce la fórmula de Euler:

eiπ+ 1 = 0,

que, como puedes ver, es muy popular

http://www.fotomat.es/ecuacion-de-euler/

Proposición 1.3.17. Dados z, z 1, z 2 ∈ C, se tienen las siguientes propiedades:

1. ez1ez2 = ez1+z2.

2. ez ≠ 0.

3. Si x ∈ R, entonces eix = 1.

4. ez = 1 ⇔ z = i2nπ con n ∈ Z.

5. ez1 = ez2 ⇔ z 1 − z 2 = i2nπ con n ∈ Z.







Proposición 1.3.18. Sea 0 ≠ z ∈ C, entonces z se puede expresar en la forma z = reiα

con r =

z

y α = Argz + 2nπ con n ∈ Z.

Nota 1.3.19. Debido a la proposición anterior, si z 1, z 2 ∈ C con z 1z 2 ≠ 0, podemoscalcular de manera más sencilla z 1z 2 y z1

z2ya que

1. (r1eiα1)(r2eiα2) = (r1r2)ei(α1+α2).

2. r1eiα1

r2eiα2=

r1

r2

ei(α1−α2).

Proposición 1.3.20. Sean m, n ∈ Z y z, z 1, z 2 ∈ C, entonces

1. z nz m = z n+m.

2. (z 1z 2)n= z n1 z n2 .

Teorema 1.3.21. Sea 0 ≠ z ∈ C y n ∈ N, entonces existen n elementos en C: z 0, . . . , z n−1

tales que z nk = z , k = 0, . . . , n − 1. Además

z k = z 1n eiαk

con αk =Argz

n +

2kπ

n , k = 0, . . . , n − 1.

1.4. Sucesiones de números reales

1.4.1. Definiciones y notación

Definición 1.4.1. Una sucesión de números reales es una aplicación de N en R

a ∶ N → R

n a(n) ∶= an.

Es decir, a cada número natural n, se le hace corresponder un único número real an .

Abusando de lenguaje, también suele llamarse sucesión a la imagen de la aplicación a,es decir, al conjunto formado por todas las imágenes

(an)n∈N = {a0, a1, a2, . . . , an, . . .} .

Semestre de primavera, curso 2014/2015



1.4. Sucesiones de números reales 13

A la imagen an de un natural n se le llama término general de la sucesión. A loselementos del conjunto

(an

)n∈N

se les llama términos de la sucesión.

Una sucesión puede venir dada de dos formas diferentes, bien mediante su términogeneral an, o bien por recurrencia. En el segundo caso cada término se obtine a partirdel anterior (o anteriores) mediante una fórmula recurrente.

Ejemplo 1.4.2. La sucesiones siguientes vienen dadas mediante el término general

an =3 − 2n

n , n ∈ N ; bn =

1

2n n ∈ N0 ; cn = 1 +

1

nn

, n ∈ N .

Estas otras, en cambio, se determinan por recurrencia

x0 = 4

xn =1

2 xn−1 +

13

xn−1

,

y0 = 1

yn+1 = 2 yn

,

z 0 = 1

z 1 = 1

z n = z n−2 + z n−1

.

Cuando una sucesión viene dada por recurrencia, para obtener el término n-ésimopreviamente hay que obtener todos los anteriores.

La sucesión z n fue estudiada por primera vez por Fibonacci de Pisa (1170-1250). Comoejercicio obtén los 5 primeros términos de esta sucesión.

1.4.2. Monotonía

Definición 1.4.3. Una sucesión de números reales (an)n∈N se dice

creciente si an ≤ an+1 ∀ n ∈ N .

decreciente si an ≥ an+1 ∀ n ∈ N .

estrictamente creciente si an < an+1 ∀ n ∈ N .

estrictamente decreciente si an > an+1 ∀ n ∈ N .

Definición 1.4.4. Una sucesión de números reales se llama monótona si es crecienteo decreciente. Si la sucesión es estrictamente creciente o decreciente, diremos que la

sucesión es estrictamente monótona.UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




Para estudiar la monotonía de una sucesión debemos comparar dos términos consecu-tivos cualesquiera, por ejemplo an y an+1.Si

an+1 − an

≥ 0 ⇒ Creciente> 0 ⇒ Estrictamente creciente

≤ 0 ⇒ Decreciente

< 0 ⇒ Estrictamente decreciente

Sii los términos de la sucesión son estrictamente positivos, podemos estudiar el cocientede dos términos consecutivos. Si

an+1

an

≥ 1 ⇒ Creciente

> 1 ⇒ Estrictamente creciente≤ 1 ⇒ Decreciente

< 1 ⇒ Estrictamente decreciente

Ejemplo 1.4.5. Estudiemos la monotonía de algunas de las sucesiones del ejemplo1.4.2.

an+1 − an =(3 − 2(n + 1))n − (3 − 2n)(n + 1)

n

(n + 1

) =

−3

n

(n + 1

) < 0 , ∀n ∈ N

y por tanto la sucesión (an)n∈N es estríctamente monótona (decreciente). Para la suce-sión yn observamos que todos los términos son estrictamente positivos.

yn+1

yn

= 2 > 1 , ∀n ∈ N

y por tanto la sucesión (yn)n∈N es estríctamente monótona (creciente).

Ejercicio 1.4.6. Estudia la monotonía del resto de sucesiones del ejemplo 1.4.2.

1.4.3. Acotación

Definición 1.4.7. Se dice que una sucesión de números reales (an)n∈N está

acotada superiormente si

∃K ∈ R tal que an ≤ K ∀ n ∈ N .

K se llama cota superior de la sucesión (an)n∈

N.Semestre de primavera, curso 2014/2015




acotada inferiormente si

∃l ∈ R tal que l ≤ an ∀ n ∈ N .

l se llama cota inferior de la sucesión (an)n∈N.

acotada si

∃C ∈ R tal que an ≤ C ∀ n ∈ N .

Proposición 1.4.8. Una sucesión de números reales (an)n∈N está acotada si y sólo si está acotada superior e inferiormente.

Ejemplo 1.4.9. Veamos que la sucesión

(an

)n∈N

del ejemplo 1.4.2 está acotada. Según

la proposición anterior bastará con encontrar una cota superior y otra inferior. En elejemplo 1.4.5 hemos visto que esta sucesión es estrictamente decreciente, por tanto a1

es una cota superior (además, la menor de todas). Veamos si l = 0 es una cota inferior :

0 ≤3 − 2n

n ⇔ 0 ≤ 3 − 2n ⇔ 2n ≤ 3 ⇔ n ≤

3

2 .

La desigualdad n ≤ 32 no es válida para todo número natural (de hecho sólo se verificapara n = 1), por tanto k2 = 0 no es una cota inferior. Probemos con un valor máspequeño, por ejemplo l = −5 :

−5 ≤ 3−

2nn ⇔ −5n ≤ 3 − 2n ⇔ −3n ≤ 3 ⇔ n ≥ −1

La desigualdad n ≥ −1 es válida para todo natural n, por tanto l = −5 es una cotainferior.

Resumiendo:

−5 ≤ an ≤ 1 ∀ n ∈ N ,

es decir, todos los términos de la sucesión están en el intervalo [−5, 1].Ejercicio 1.4.10. Para la sucesión del ejemplo anterior encontrar una cota inferior

mayor que −5 .

1.4.4. Operaciones con sucesiones

A continuación definimos una serie de operaciones en el conjunto de las sucesiones detal manera que el resultado de la operación sea una nueva sucesión de números reales.

Definición 1.4.11. Dadas dos sucesiones de números reales

(an

)n∈N

y

(bn

)n∈N

, definimos

a partir de ellas las siguientes sucesiones:UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




Sucesión suma

s ∶ N → R

n sn = an + bn (1.2)

(El término general de la sucesión suma se obtiene sumando los términos generalesde las sucesiones an y bn).

Ejemplo 1.4.12.

an =1

n + 1 → {1,

1

2, 1

3, . . .}

bn = n + 1 →

{1, 2, 3, . . .

}sn =1

n + 1 + n + 1 =

n2 + 2n + 2

n + 1 → {2,

5

2, 10

3 , . . .}

Sucesión producto

p ∶ N → R

n pn = an ⋅ bn

(El término general de la sucesión producto se obtiene multiplicando los términosgenerales de las sucesiones an y bn).

Ejemplo 1.4.13.

an =1

n + 1 → {1,

1

2, 1

3, . . .}

bn = n + 1 → {1, 2, 3, . . .}sn =

1

n + 1 ⋅ (n + 1) = 1 → {1, 1, 1, . . .}

Sucesión producto por un escalar

α ⋅ a ∶ N → R

n α an

Es un caso particular del producto anterior, en el que una de las sucesiones es lasucesión constante.

Sucesión cociente: si bn ≠ 0 ∀n ∈ N:

c ∶ N → R

n cn = anbn





Ejemplo 1.4.14.

an = n2 + 1 → {1, 2, 5, 10, 17, 26, . . .}bn = 2n − 6 → {−6, −4, −2, 0, 2, 4, . . .}cn =

n2 + 1

2n − 6 → {−1

6 ,

−1

2 ,

−5

2 , ? ,

17

2 , . . .}

Como b3 = 0, la sucesión cociente no está bien definida.

Otras operaciones

De la misma forma, imponiendo en cada caso las condiciones que sean necesarias,

podemos definir, entre otras, las siguientes sucesiones

Si an > 0 ∀ n ∈ N, podemos definir la sucesión (log an)n∈N Sucesión exponencial de una dada: (ean)

n∈N

Si an ≥ 0 ∀ n ∈ N , podemos definir la sucesión (√ an)n∈N.

1.4.5. Límite de una sucesión

Definición 1.4.15. Decimos que una sucesión (an)n∈N tiene por límite l ∈ R, o tiendea l si para cualquier ε > 0 existe un número natural n0 de tal manera que an − l < ε si

n ≥ n0.

∀ε > 0 ∃n0 ∈ N tal que an − l < ε ∀n ≥ n0

Suele escribirse

an →n

l ó lımn→+∞

an = l

Nota 1.4.16. El número natural n0 depende de ε. Como an −l < ε si y sólo si l −ε < an <

l + ε, de la definición se deduce que a partir de an0 todos los términos de la sucesión

están en el intervalo (l − ε, l + ε).l )l + ε(l − ε

an0−1

↑

an0

↑





Ejemplo 1.4.17. Utilizamos la definición 1.4.15 para probar que

1

n

n→ 0 .

En efecto, dado ε > 0 arbitrario, para que an − l = 1n sea menor que ε basta conque n sea mayor que 1ε, lo que siempre es posible puesto que N no está acotadosuperiormente.

1

n < ε ⇔ n >

1

ε . (1.3)

Por tanto para un ε > 0 arbitrario, el menor número natural que verifica (1.3) vienedado por

n0 =

1

ε

+ 1 .

Ejemplo 1.4.18. Demostrar mediante la definción de límite que

lımn

3 − 2n

n = −2 .

En efecto, dado ε > 0 arbitrario, se tiene que

an − l = 3 − 2n

n + 2 = 3

n < ε ⇔ n >

3

ε .

Por tanto para el n0 buscado es

n0 =

3

ε

+ 1

Ejercicio 1.4.19. Probar que el límite de la sucesión an = 2n − 3n + 1 es 2.

Definición 1.4.20. Se dice que una sucesión (an)n∈N tiende a +∞ si para cualquier

número real M existe un término de la sucesión an0

de tal manera que a partir de éltodos los términos de la sucesión son mayores que M .

∀M ∈ R ∃n0 ∈ N tal que an ≥ M ∀n ≥ n0

(n0 depende de M ). Se escribe an →n

+∞ ó lımn→+∞

an = +∞

an0

M

a3 a1 a2 . . .

Se dice que la sucesión (an)n∈N tiende a −∞ si para cualquier número real l existe un

término de la sucesión an0

de tal manera que a partir de él todos los términos de lasucesión son menores que l.

∀l ∈ R ∃n0(M ) ∈ N tal que an ≤ M ∀n ≥ n0

(n0 depende de l). Se escribe an →n

−∞ ó lımn→+∞

an = −∞





an0

M

. . . a2 a1 a3

Ejemplo 1.4.21. Demostrar mediante la definición que

lımn

2n= +∞ .

En efecto, dado M ∈ R, se tiene que

2n≥ M ⇔ n > log2 M

Por tanto el n0 buscado es

n0 = [log2 M ] + 1

Ejercicio 1.4.22. Demostrar que el límite de la sucesión an = 1 − 2n es −∞.

Definición 1.4.23. Una sucesión (an)n∈N se dice

Convergente si lımn

an = l ∈ R

Divergente si lımn

an = +∞ ó −∞

Oscilante si

∃ lım

nan

Ejemplo 1.4.24. La sucesión an =3 − 2n

n es convergente pues su límite es −2, como

hemos visto en el ejemplo 1.4.18. La sucesión bn = 2n es divergente (a +∞) ya que sulímite no es real. La sucesión cn = (−1)n es oscilante puesto que no tiene límite.

Proposición 1.4.25. Si una sucesión es convergente, entonces está acotada.

(an)n∈N convergente ⇒ (an)n∈N acotada

Proposición 1.4.26. (Unicidad del límte)Si una sucesión tiene límite, entonces dicho límite es único.

Demostración. Vamos a ver solamente el caso de que la sucesión tiene dos límites,l1, l2 ∈ R con l1 < l2. Por reducción al absurdo: Para ε = (l2 − l1)2, por ser el límite l1,

todos los términos de la sucesión están en el intervalo (l1 − ε, l1 + ε) salvo a lo sumo unnúmero finito de ellos.

Para el mismo ε anterior, por ser el límite l2, todos los términos de la sucesión están

en el intervalo (l2−

ε, l2+

ε) salvo a lo sumo un número finito de ellos.UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




l1 − ε

( l1

l1+l2

2)( l2

)l2 + ε

Pero esto no puede ser puesto que los intervalos (l1 − ε, l1 + ε) y (l2 − ε, l2 + ε) sondisjuntos.

De manera análoga se demostrarían el resto de casos.

Proposición 1.4.27. Si una sucesión es monótona y acotada, entonces es convergente.

(an)n∈N monótona y acotada ⇒ (an)n∈N convergente

Álgebra de límites

En esta sección se pretende resolver el siguiente problema. Supongamos que tenemosdos sucesiones

(an

)n∈N

y

(bn

)n∈N

con límites conocidos l y l′ respectivamente. En lasección 1.4.4 hemos definido algunas operaciones con sucesiones. La cuestión es ¿quése puede decir del límite de la sucesión (cn)n∈N resultado de operar con (an)n∈N con(bn)n∈N ? ¿será igual al resultado de operar l con l′?

(cn)n∈N = (an)n∈N ∗ (bn)n∈N ⇒ ¿ lımn

cn = l ∗ l′ ?

Desafortunadamente la pregunta no siempre tiene respuesta afirmativa; si la tuvierano sería necesaria la última sección del capítulo. En esta sección contestaremos a lapregunta para las operaciones definidas en la sección 1.4.4. La respuesta se ha resumidoen forma las tablas 2.1-2.10. Cuando no sea posible responder pondremos el símbolo I (indeterminación). En tales casos habrá que calcular el límite utilizando técnicasconcretas para cada caso, como veremos en la sección 1.4.5.

A continuación desarrollamos, a modo de ejemplo, los casos suma y de dos sucesionesy exponencial de una sucesión. En los demás casos nos hemos limitado a mostrar losresultados en las tablas correspondientes.

Proposición 1.4.28. Dadas dos sucesiones

(an

)n∈N

y

(bn

)n∈N

con límites l y l′ respec-

tivamente, se tienen los siguientes resultados para el límite de la sucesión suma (sn)n∈NSemestre de primavera, curso 2014/2015




definida en ( 1.2 )

1. Si l, l′ ∈ R entonces sn→ l + l′ ∈ R

2. Si l ∈ R y l′ = +∞ entonces sn→ + ∞

3. Si l ∈ R y l′ = −∞ entonces sn→ − ∞

4. Si l = +∞ y l′ = +∞ entonces sn→ + ∞

5. Si l = −∞ y l′ = −∞ entonces sn→ − ∞

Demostración. Probaremos sólo el primer caso, el resto se deja como ejercicio para elalumno.

Sea ε > 0, tenemos que probar que existe n0 ∈ N de tal manera que para todo n ≥ n0 setiene an + bn − (l + l′) < ε.

Como an→ l ∈ R, para ε2 existe n1 ∈ N tal que para todo n ≥ n1 se tiene que

an − l < ε2 . (1.4)

Análogamente, como bn→ l′ ∈ R, para ε

2 existe n2 ∈ N tal que para todo n ≥ n2 se

tiene que

bn − l′ < ε2 . (1.5)

Si tomamos n0 = max(n1, n2), entonces para todo n ≥ n0 se verifican simultáneamente(1.4) y (1.5), por lo que podemos poner

an + bn − (l + l′) ≤ an − l + bn − l′ < ε2 + ε2 = ε , ∀ n ≥ n0 .

El resto de combinaciones da lugar a casos indeterminados (ver tabla 2.1).

Proposición 1.4.29. Sea la sucesión (an)n∈N. Entonces

1. Si lımn→+∞

an = l ∈ R

, entonces lımn→+∞

ean= el

2. Si lımn→+∞

an = +∞, entonces lımn→+∞

ean= +∞

3. Si lımn→+∞

an = −∞, entonces lımn→+∞

ean= 0

Nota 1.4.30. Cuando en la tabla 2.10 nos encontremos con la indeterminación 1∞

usaremos la expresión xy = ey ogx y la proposición 1.4.29.

Para el resto de operaciones entre sucesiones, nos limitamos a mostrar las tablas co-rrespondientes (2.3-2.10).





an l ∈ R +∞ −∞

bn

l′ ∈ R l + l′ +∞ −∞

+∞ +∞ +∞ I

−∞ −∞ I −∞

Tabla 1.1. Límite de la suma (an + bn)

an l ∈ R 0 l ∈ R +∞ −∞

bn l > 0 l < 0

l′ ∈ R, l′ > 0 l ⋅ l′ 0 l ⋅ l′ +∞ −∞

0 0 0 0 I I

l′ ∈ R, l′ < 0 l ⋅ l′ 0 l ⋅ l′ −∞ +∞

+∞ +∞ I −∞ +∞ −∞

−∞ −∞ I +∞ −∞ +∞

Tabla 1.2. Límite del producto (an ⋅ bn)





an = 0 1an

l ∈ R, l = 0 1/l

0 I

+∞ 0

−∞ 0

an > 0 1an

l ∈ R, l = 0 1/l

0 +∞

+∞ 0

an < 0 1an

l ∈ R, l = 0 1/l

0 −∞

−∞ 0

Tabla 1.3. Límite para la inversa 1an

an l ∈ R 0 l ∈ R +∞ −∞

bn l > 0 l < 0

l′ ∈ R, l ′ > 0 ll′ 0 ll′ +∞ −∞

0 I I I I I

l′ ∈ R, l ′ < 0 l

l′ 0 l

l′ −∞ +∞

+∞ 0 0 0 I I

−∞ 0 0 0 I I

Tabla 1.4. Límite para el cociente anbn, bn ≠ 0





an l ∈ R 0 l ∈ R +∞ −∞

bn l > 0 l < 0

l′ ∈ R, l′ > 0 ll′ 0 ll′ +∞ −∞

0 +∞ I −∞ +∞ −∞

+∞ 0 0 0 I I

Tabla 1.5. Límite para el cociente anbn, bn > 0

an l ∈ R 0 l ∈ R +∞ −∞

bn l > 0 l < 0

l′ ∈ R, l′ < 0 ll′ 0 ll′ −∞ +∞

0 −∞ I +∞ −∞ +∞

−∞ 0 0 0 I I

Tabla 1.6. Límite para el cociente anbn, bn < 0

an > 0 log an

l ∈ R, l > 0 log l

0 −∞

+∞ +∞

Tabla 1.7. Límite para el logaritmo log an, an > 0





Tabla 1.8. Límite para la exponencial β an , β > 0

an l ∈ R +∞ −∞

0 < β < 1 β l 0 +∞

β > 1 β l +∞ 0

an l ∈ R 0 +∞

r l > 0

r > 0 lr 0 +∞

r < 0 lr +∞ 0

Tabla 1.9. Límite para la potencial ar

n

, an > 0

an 0 l ∈ R 1 l ∈ R +∞

bn 0 < l < 1 l > 1

l′ ∈ R, l ′ < 0 +∞ ll′

1 ll′

0

0 I 1 1 1 I

l′ ∈ R, l ′ > 0 0 ll′

1 ll′

+∞

+∞ 0 0 I +∞ +∞

−∞ +∞ +∞ I 0 0

Tabla 1.10. Límite para la potencial-exponencial abnn , an > 0





A continuación mostramos algunos ejemplos correspondientes a indeterminaciones delas tablas anteriores. Veremos cómo el resultado del límite cambia en los diferentescasos.

Ejemplo 1.4.31. En cada caso se ha considerado una sucesión an → +∞ y una sucesión

bn → +∞. Veamos qué ocurre con el límite de la suma:

1. an = n2 , bn = 1 − n2 y an + bn = 1 → 1 ∈ R .

2. an = n2 , bn = n − n2 y an + bn = n → +∞ .

3. an = n2 , bn = −n − n2 y an + bn = −n→ −∞ .

4. an = n + cos(πn) , bn = −n y an + bn = cos(πn) = (−1)n, que no tiene límite.

Ejemplo 1.4.32. En cada caso se ha considerado una sucesión an → 0 y una sucesión

bn → +∞. Veamos qué ocurre con el límite del producto:

1. an =1(n + 1)2

, bn = n + 1 y an ⋅ bn =1

n + 1 → 0 .

2. an =1

n + 1 , bn =

(n + 1

)2 y an ⋅ bn = n + 1 → +∞ .

3. an =−1

n + 1 , bn = (n + 1)2 y an ⋅ bn = −(n + 1) → −∞ .

Ejercicio 1.4.33. Encotrar para cada caso dos sucesiones an → 0 y bn → 0 tales que

para la sucesión cociente se verifique

1. anbn → 1 .

2. anbn → +∞ .

3. a

nbn→ 0

.4. ∃ lım

an

bn

.

Cálculo de límites

No hay un procedimiento general para resolver los casos indeterminados vistos en lasección anterior. La forma de proceder depende de cada caso particular. A continuacióndamos una serie de criterios que pueden resultar útiles para resolver algunos casos de

indeterminación.Semestre de primavera, curso 2014/2015




Proposición 1.4.34. (Regla del sándwich)Sean

(an

)n∈N

y

(bn

)n∈N

dos sucesiones con el mismo límite l (real o infinito). Sea otra

sucesión (cn)n∈N. Si se verifica que

an ≤ cn ≤ bn

a partir de cierto n0 ∈ N, entonces la sucesión (cn)n∈N también tiene el mismo límite l(real o infinito).

Nota 1.4.35. De la regla del sándwich se deduce inmediatamente que si (an)n∈N es una

sucesión acotada y bn → 0, entonces anbn → 0.

Ejemplo 1.4.36. Utilizamos la regla del sándwich para calcular el límite de la sucesión

an =1√

n2 + 1+ . . . +

1√ n2 + n

.

Observa que lım an = I . Sean αn y β n las sucesiones dadas por

αn =n√

n2 + n=

1√ n2 + n

+ . . . + 1√ n2 + n

. (1.6)

β n = 1 =n

√ n2

=1

√ n2

+ . . . + 1

√ n2

. (1.7)

Comparando término a término se puede comprobar fácilmente que αn ≤ an ≤ β n ∀n ∈

N. Como lım αn = lım β n = 1 , se tiene que lım an = 1 .

Proposición 1.4.37. (Criterio de la raíz por el cociente)

Sea (an)n∈N una sucesión de números reales con an > 0 para todo n ∈ N. Entonces

lım an+1

an

= l ⇒ lım n√

an = l (l real o infinito) .

Ejemplo 1.4.38.

lımn

n√ n = lımn

n1n= lım

ne 1n log n

y tenemos una indeterminación en el cociente

lımn

an+1

an

= lımn

n + 1

n = 1 ⇒ lım

n

n√

n = 1 .

Definición 1.4.39. Dos sucesiones (an)n∈N y (bn)n∈N se dicen equivalentes si

lımn

an

bn

= 1 .

En tal caso se denota an ∼

bn .UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




Ejemplo 1.4.40. Las sucesiones an = n2 y bn = n2 + 1 son equivalentes puesto que

lımn

n2

n2 + 1 = 1 .

Nota 1.4.41. Las equivalencias son de aplicación directa al cálculo de límites en expre-

siones en las que intervengan productos. Supongamos, por ejemplo an ∼ bn, y tenemosque calcular

lımn

an ⋅ cn,

podemos “utilizar equivalencias” del siguiente modo

lımn

an ⋅ cn = lımn

an

bn

⋅ bn ⋅ cn = lımn

bncn

ya quelım

n

an

bn

= 1.

Esto será de utilidad cuando la expresión bn ⋅cn sea más sencilla (desde el punto de vistadel cálculo de límites) que an ⋅ bn. De manera análoga se puede proceder en expresiones

en las que intervengan cocientes.

Nota 1.4.42. Observemos que si an ∼ bn puede ocurrir

lımn

(an + cn

) ≠ lım

n

(bn + cn

),

como puede verse en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.4.43. Sean

an = n2+ n,

bn = n2,

cn = −n2,

Tenemos que an ∼ bn, sin embargo

lımn (an + cn) = +∞ y lım

n (bn + cn) = 0.

En la tabla 1.11 mostramos algunas de las equivalencias más empleadas en el cálculode límites (los ángulos están expresados en radianes).

Definición 1.4.44. Sean (an)n∈N y (bn)n∈N dos sucesiones tales que an → +∞ y bn →

+∞ . Se dice que “an es mucho menor que bn”, y se denota an bn, si

lımn

an

bn

= 0 .





an → 0

11 − an

∼ (1 + an)sen an ∼ an ∼ tg an ∼ arcsen an ∼ arctg an

1 − cos(an) ∼ (an)22

log(1 + an) ∼ an

ean − 1 ∼ an

Otras equivalencias

Si a0 ≠ 0, a0

nk+ a1nk−1

+ . . . + ak ∼ a

0nk

log(nk+ a1nk−1

+ . . . + ak) ∼ k log n

n! ∼ nne−n√

2πn (Stirling)

Tabla 1.11. Algunas equivalencias para sucesiones

Intuitivamente: para n "suficientemente grande", los términos de la sucesión (bn)n∈N son“muy grandes” respecto a los de (an)n∈N ⋅

Ejemplo 1.4.45. La sucesión an = n + 50000 es mucho menor que bn = n2

n + 50000 n2 ,

puesto que

lımn

an

bn

= lımn

n + 50000

n2 = 0 .

Proposición 1.4.46. (Órdenes de infinitud)Sea (an)n∈N una sucesión de números reales tal que an > 0 para todo n ∈ N y tal que an →

+∞. Sean a,p, q,k ∈ N con a > 1 y p,q,k > 0. Se verifican las siguientes desigualdades

(log an) p (an)q aan (an)k an .

Comprueba, usando la tabla correspondiente, que las cuatro sucesiones que aparecenen las desigualdades de la proposción son infinitos1.

1 Cuando el término general de una sucesión tiende a +∞, se suele decir que la sucesión es un

infinito.





Ejercicio 1.4.47. Utilizamos la proposición anterior para resolver el siguiente caso deindeterminación

lımn

log2 n + 1√ n =

+∞

+∞= I .

Para ello dividimos numerador y denominador por el infinito de mayor orden, obte-niendo

lımn

log2 n + 1√ n

= lımn

log2 n√ n

+ 1√

n

1 = 0,

puesto que

log2 n √

n .

1.5. Series de números reales

1.5.1. Definiciones y notación

Definición 1.5.1. Dada una sucesión de números reales (an)n∈N definimos a partir deella otra sucesión, (S n)n∈N, llamada sucesión de sumas parciales de la siguiente manera

S n ∶=

n

k=1

ak.

Definición 1.5.2. Sea una sucesión de números reales (an)n∈N, y sea (S n)n∈N la sucesión

de sus sumas parciales, se llama serie números reales y se denota+∞

k=1

ak. (1.8)

alım

nS n, (1.9)

cuando exista.

Nota 1.5.3. Por extensión, la palabra "serie" y la expresión 1.8 también hacen referencia

a la sucesión de sumas parciales (S n)n∈N.

Nota 1.5.4. Las expresiones "estudiar el carácter de una serie" o "estudiar la conver-

gencia de una serie" quieren decir estudiar la existencia del límite (1.9). La expresión"sumar una serie" quiere decir calcular el límite (1.9), cuando sea finito.

Ejemplo 1.5.5. Consideramos la serie+∞

n=0

1

2n = 1 +

1

2 +

1

4 +

1

8 + . . . +

1

2n + . . .

Veremos un poco más adelante la sucesión de sumas parciales S n es convergente.Semestre de primavera, curso 2014/2015



1.5. Series de números reales 31

Definición 1.5.6. Diremos que una serie de números reales es convergente si la suce-sión formada por las sumas parciales S n es convergente. La serie se dice divergente si

la sucesión S n es divergente. En otro caso diremos que la serie es oscilante.Ejemplo 1.5.7.

1. La serie+∞

n=0

1

2n es convergente y su suma es 2.

2. La serie+∞

n=0

2n es divergente.

3. La serie+∞

n=0(

−1

)n es oscilante.

1.5.2. Algunas series notables

La serie geométrica

Dado r ∈ R, se define la serie geométrica de razón r como+∞

n=0

rn . (1.10)

Proposición 1.5.8. La serie geométrica 1.10 converge si y sólo si r < 1 .

Demostración. Para obtener una expresión del término general de la sucesión de sumasparciales S n, restamos S n y r ⋅ S n

S n =

n

k=0

rk= 1 + r + r2

+ . . . + rn (1.11)

r ⋅ S n =

n

k=0

rk+1= r + r2

+ . . . + rn+ rn+1

con lo queS n − r ⋅ S n = 1 − rn+1 . (1.12)

Distinguimos ahora varios casos

r = 1 En este caso, de 1.11 se obtiene que S n = (n + 1), y por tanto lım S n = +∞

r ≠ 1 De 1.12 tenemos

S n =1 − rn+1

1 − r .

Calculamos el límite de esta sucesión, en función de los valores de r .UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




○ −1 < r < 1 En este caso la serie converge ya que

lımn→+∞S n =

1

1 − r ∈

R .

○ r > 1 La serie diverge ya que lımn S n = +∞

○ r ≤ −1 En este caso, la sucesión S n no tiene límite, y por tanto, la serie esoscilante.

Por tanto, la serie es convergente si y sólo si r < 1 . Observa que, no sólo hemos demos-trado el enunciado, sino que, además, cuando la serie es convergente hemos calculadosu suma

S =1

1 − r .

La serie armónica

Definición 1.5.9. La serie∞

n=1

1

n (1.13)

se llama serie armónica. y la serie+∞

n=1

1nr

se llama serie armónica generalizada.

Proposición 1.5.10. La serie armónica generalizada

+∞

n=1

1

nr

converge si y sólo si r > 1.

1.5.3. Resultados generales sobre convergencia

Proposición 1.5.11. Las series

+∞

n=1

an y +∞

n=n0

an

tienen el mismo carácter.Semestre de primavera, curso 2014/2015




Nota 1.5.12. Teniendo en cuenta la proposición 1.5.11, cuando sólo nos interese elcarácter de una serie, escribiremos

an

en vez de+∞

n=n0

an

Ejemplo 1.5.13. La serie+∞

n=0

1

2n es geométrica de razón r =

1

2, luego convergente. Por

tanto, la serie+∞

n=3

1

2n también es convergente. La suma de una y de la otra no coinciden,

ya que+∞

n=3

1

2n =

+∞

n=0

1

2n − (a0

+a1

+a2) = 2

− 7

4 =

1

4 .

Proposición 1.5.14. Las series

an y λ an

con λ ∈ R {0} tienen el mismo carácter . Además, en caso de que sean convergentes,se tiene que

+∞

n=n0

λan = λ+∞

n=n0

an .

Proposición 1.5.15. Si dos series an y bn son convergentes, entonces la serie (an + bn) también es convergente. En tal caso, se tiene que

+∞

n=n0

(an + bn) = +∞

n=n0

an +

+∞

n=n0

bn .

Ejemplo 1.5.16. Las series∞

n=0

1

2n y

∞

n=0

1

3n son convergentes. Por tanto, la serie

∞

n=0

1

2n +

1

3n

también es convergente y su suma es

∞

n=0 1

2n +

1

3n = ∞

n=0

1

2n +

∞

n=0

1

3n = 2 +

3

2 =

7

2 .

El recíproco a la proposición 1.5.15 no es cierto. En efecto, la serie 0 es convergente

(su suma es cero), mientras que las series 1

n y −1

n no convergen.

Proposición 1.5.17. (Condición necesaria para la convergencia)

an convergente ⇒ lımn

an = 0





1.5.4. Series de términos positivos

Observa que si (an)n∈n verifica an ≥ 0 ∀n ≥ n0 entonces la sucesión de sumas parciales(S n)n∈N es creciente (n ≥ n0), y por tanto, la serie no puede ser oscilante.

Criterio de comparación

Sean an y bn dos series tales que 0 ≤ an ≤ bn ∀n ≥ n0. Se tiene que

bn convergente ⇒ an convergente.

Nota 1.5.18. Del criterio de comparación se deduce que si an y bn son dos series

tales que 0 ≤ an ≤ bn ∀n ≥ n0, entonces

an divergene ⇒ bn divergente.

Ejemplo 1.5.19. La serie 1

2n + 1 es convergente pues se verifica

1

2n + 1 ≤

1

2n , ∀ n ∈ N ,

y 1

2n es una serie geométrica de razón r =

1

2 .

Criterio de comparación en el límite

Sean an y bn con an ≥ 0, bn > 0 ∀n ≥ n0 y tales que

lımn

an

bn

= l , con l ∈ R (l ≠ 0) .

Entoncesan converge ⇐⇒ bn converge.

En particular, si an ∼ bn, las series an y bn tendrán el mismo carácter.

Ejemplo 1.5.20. Para determinar el carácter de la serie 3

n + 2 , la comparamos con

la serie 1

n, cuyo carácter es conocido

lımn

3n+2

1n

= 3 ∈ R (l ≠ 0) .

con lo que 3

n+

2

es divergente.





1.5.5. Series de términos cualesquiera

Definición 1.5.21. Una serie an se dice absolutamente convergente si an esconvergente.

Proposición 1.5.22. Si una serie an es absolutamente convergente, entonces es convergente

Ejemplo 1.5.23. Determinar el carácter de la serie cos n

n2 .

No es una serie de términos positivos, así que estudiamos la convergencia absoluta, es

decir, la convergencia de la serie

cos n

n2

, esta sí, de términos positivos. Para ello

usamos el criterio de comparación cos n

n2 ≤ 1

n2 .

La serie 1

n2 es convergente. Así, la serie cos n

n2 es convergente y, por tanto, la

serie cos n

n2 es absolutamente convergente luego convergente.

Definición 1.5.24. Una serie an se llama alternada si an = (−1)nxn con xn ≥

0, ∀n ≥ n0 o si an =

(−1

)n+1xn con xn ≥ 0, ∀n ≥ n0.

Criterio de Leibnitz

Sea an = (−1)nxn con x1 ≥ x2 ≥ . . . ≥ xn ≥ . . . ≥ 0 y lım xn = 0. Entonces, la serie an esconvergente.

Ejemplo 1.5.25. La serie (−1)n

n es convergente. Efectivamente, se verifican las

condiciones para aplicar el criterio de Leibnitz: an = (−1)nxn con xn = 1

n sucesión

decreciente hacia cero.

1.5.6. Otros criterios de convergencia

Criterio de la raíz

Dada la series an, con lım n

an = l, se tiene que

l > 1 ⇒ an no converge.

l < 1 ⇒ an converge absolutamente.





Criterio del cociente

Sea an tal que an ≠ 0 ∀n ≥ n0 y sea l = lım an+1an , entonces

l > 1 ⇒ an no converge.

l < 1 ⇒ an converge absolutamente.

Criterio de Raabe

(A aplicar cuando ya hemos aplicado el criterio del cociente o de la raíz y l = 1)

Dada an, sea

l = lımn

n1 − an+1 an ,

entoncesl > 1 ⇒ an converge absolutamente.

l < 1 ⇒ an no converge.




1.6. Anexo 37

1.6. Anexo

1.6.1. La raíz cuadrada en R

Definición 1.6.1. Sea a ∈ R, a ≥ 0, se define la raíz cuadrada de a, como el número

b ∈ R, b ≥ 0 tal que b2= a. b se denota

√ a .

Nota 1.6.2. La ecuación x2= 0 tiene una solución en R: 0. Si a ∈ R, a > 0, la ecuación

x2= a tiene dos soluciones:

√ a y −

√ a.

En la medida de lo posible, evitaremos la notación ±

√ a, pues suele dar lugar a confu-

sión.

1.6.2. Producto cartesiano, aplicaciones

Definición 1.6.3. Dados dos conjuntos A y B se definen

el producto cartesiano de A y B, como el conjunto

A × B = {(a, b) a ∈ A, b ∈ B} una aplicación entre A y B, como una ley que asocia a cada elemento de A uno

y sólo un elemento de B. Suele denotarse

f ∶ A → B

a b.

El elemento b suele denotarse f

(a

). b se llama imagen de a, y a se llama antiimagen

de b.

Observemos que en una aplicación, fijado a ∈ A, su imagen b siempre existe y es única,pero, dado b ∈ B, no siempre existe su antiimagen, y si existe, no es necesariamenteúnica.

Nota 1.6.4. Una aplicación entre A y B puede verse como un subconjunto de A × B.

Definición 1.6.5. Una aplicación f ∶ A → B se dice

Inyectiva si, para todo a1, a2 ∈

A tales que a1 ≠

a2, se tiene f (a1) ≠ f (a2).UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




Suprayectiva si todo elemento de B tiene antiimagen.

Biyectiva si es a la vez inyectiva y suprayectiva.

1.6.3. La fórmula ciclotómica

La siguiente fórmula puede resultar útil para el cálculo de algunos límites

an− bn

= (a − b)(an−1+ an−2b + . . . + abn−2

+ bn−1) . (1.14)

Esta fórmula se obtiene sin más que efectuar la división (an −bn)(a−b) . A continuaciónmostramos la fórmula (1.14) en los casos particulares n = 2 y n = 3 .

n = 2 → a2 − b2 = (a − b)(a + b) ,

n = 3 → a3 − b3= (a − b)(a2 + ab + b2) .

Ejemplo 1.6.6.

lım ( 3√ n3 + an2 − n) = +∞ − ∞ = I .

Para poder aplicar la fórmula (1.14) en el caso n = 3, multiplicamos numerador ydenominador por el factor (a2 + ab + b2)

3

√ n3 + an2 − n = (

3

√ n3 + an2 − n)

3

(n3 + an2

)2 +

3

√ n3 + an2 n + n2

3 (n3 + an2)2 + 3√ n3 + an2 n + n2

(1.14)=

n3+an2− n3

3 (n3 + an2)2 +

3√

n3 + an2 n + n2

n→

a

3 .

1.6.4. El factorial y los números combinatorios

Definición 1.6.7. Sea n ∈ N ∪

{0

}, se define el factorial de n como

n! ∶= 1 si n = 0n(n − 1)! si n ≥ 1.

Definición 1.6.8. Sean n, p ∈ N∪ {0}, p ≤ n, se define el número combinatorio n sobre

p como n

p ∶=

n!

p!(n − p)!

Nota 1.6.9. Si tenemos un conjunto con n elementos distintos y elegimos p elementos(sin considerar el orden de elección), entonces hay

n

p

maneras distintas de hacer esta

elección.Semestre de primavera, curso 2014/2015



1.6. Anexo 39

1.6.5. Algunas fórmulas

Propiedades del seno y del cosenoSean α, β ∈ R, se tiene

1. cos2 α + sen2 α = 1.

2. sen(α + β ) = sen α cos β + cos α sen β .

3. cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b.

4. sen α + sen β = 2 sen α + β

2 cos

α − β

2 ,

sen α − sen β = 2 cos α + β

2 sen

α − β

2 ,

cos α + cos β = 2 cos α + β

2 cos

α − β

2 ,

cos α − cos β = −2sen α + β

2 sen

α − β

2 .

Propiedades del logaritmo

Sean x, y ∈

(0, +∞

), entonces:

1. log(x y) = log x + log y,

2. log xα= α log x , (α ∈ R),

3. log 1

x = − log x.

Otra notación posible: ln x. Salvo expresa indicación en contra, todos los logaritmosserán neperianos.

Razones trigonométricas hiperbólicas

Definición 1.6.10. Sea x ∈ R, se definen

seno hiperbólico: Sh x ∶=ex − e−x

2

coseno hiperbólico: Ch x ∶=ex + e−x

2

Propiedades Sean x, y ∈ R, se tiene





1. Ch2 x − senh2 x = 1

2. senh

(x + y

) = senh x Ch y + Ch x senh y

3. Ch(x + y) = Ch x Ch y + senh x senh y




1.7. Ejercicios 41

1.7. Ejercicios

El conjunto de los números reales

1. (nivel 2) Demuestra la desigualdad triangular:x + y ≤ x + y, ∀x, y ∈ R.

Ayuda considera los tres casos distintos posibles

(caso 1: x, y ≥ 0, caso 2: x ≥ 0, y < 0, caso 3: x, y < 0).

2. (nivel 2) Con la ayuda del problema 1, demuestra la desigualdad triangular in-versa:

x − y ≥ x − y ∀x, y ∈ R.

3. (nivel 1) Un estudiante hizo un "descubrimiento": 1 = 0. Su "razonamiento" fue:

Tomo x = 1. Se tiene

x = 1 ⇒ x2= x ⇒ x2

− 1 = x − 1 ⇒ (x − 1)(x + 1) = x − 1

⇒ x + 1 = 1 ⇒ x = 0.

Por tanto, 1 = 0.

Encuentra el error (o errores) que cometió este estudiante.

4. (nivel 2) Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) 2x − 3 = 5

(b) 2x − 3 = x + 1

(c) 2x + 3 = x + 1

(d) 3 − x − x + 2 = 5

(e) x − 2 + x − 1 = x − 3

5. (nivel 3) Resuelve la siguientes inecuaciones, expresando el resultado medianteuniones de intervalos:

(a) 5 − x−1 < 1

(b) x2 − 2 ≤ 1

(c) x < x2 − 12 < 4x

(d) x − 5 < x + 1(e) x2 − 7 x + 12 > x2 − 7 x + 12

Método de inducción

6. (nivel 2) Demostrar por inducción:





(a) 1 + 2 + + n =n(n + 1)

2

(b) 1 + 3 + + (2

n− 1) = n

2

(c) 12 + 22 + + n2=

n(n + 1)(2n + 1)6

(d) 2n > n

(e) 34n + 9 es múltiplo de 10

(f) 1+x+x2 +. . .+xn−1=

1 − xn

1−

x

∀ x ≠ 1

(g) 2n + n3 es múltiplo de 3

(h) 13 + . . . + n3= (1 + . . . + n)2

(i) 3n5 + 5n3 + 7n es múltiplo de 15

Números complejos

7. (nivel 1) En cada caso, expresa número complejo z en la forma a + bi y calcula sumódulo y su argumento principal

(a) z = (1 + i)2

(b) z = (1 + i)3

(c) z =1 + i

1 − i

(d) z =−3 + i

2 − 2i

(e) z = i5 + i16

(f) z =1 + i

2(1 + i−8)(g) z = e

π

2 i

(h) z =1 − e

π

2 i

1 + eπ

2 i

8. (nivel 2) Representa en el plano complejo C los siguientes conjuntos

(a) {z ∈ C 2z + 3 ≤ 1}(b) {z ∈ C z + i = z − i} (c) {z ∈ C e−z

= −1}(d) {z ∈ C z < 2z + 1}

Sucesiones de números reales

9. (nivel 2) Estudiar la monotonía y la acotación de las siguientes sucesiones (n ≥ 1):(a) an =

(−1

)n 2n

(b) 3n−

12n + 2

(c) an = 2n

(d) 3

2n + 1

(e)

(−1

)n

1

2n

(f)

an =

3 si n es impar

5 si n es par

10. (nivel 0) Calcular los límites de las sucesiones cuyo término general es el siguiente:

(a) 5n3 + 2n − 6

4n4 − 5n3 + 9 (b)

n2 − 1√ n4 + 2n − 1




1.7. Ejercicios 43

(c) 9n2 + 3n + 5

3n2 − 16n − 13

(d) 2n

en + 44

(e) 3n + 2n

3n − 2n

(f) 3n2 + 8n − 10

7n2 − 10n + 28n+1

(g) √

3n + 2 −√

2n − 2

(h) 7n4 + 5n − 1

2n4 − 5n2 + 3n − 2n2

−1

(i) n −√

n2 − 1(j) √ n n + n +√ n(k) 3

√ n3 + an2 −

3√

n3 − an2

(l) (4n + 3) log n + 1

n − 1

(m) √

4n2 − 1 − (2n − 1)11. (nivel 2) Calcular los límites de las sucesiones cuyo término general es el siguiente:

(a) (n − log n)(b)

1

n a +

1

n2

+ . . . + a + n − 1

n 2

(c) 1 − 1

n2n

(d)

n + 1

n − 1

n2 + 2

n − 3

(e) log n

n

log n!

(f) (2n + 3n) 1

n

(g) n

p

n p , p ∈ R

(h)loga +

1

n − log a

1

n

, a > 0

(i)n√

n!

n

(j)

5n4 − 3n + 1

5n4 + 8n

5n2

+10

(k) 1

n

1

log 3

n

(l) 2n (n!)2

√ n(2n + 1)!

12. (nivel 3) Para cada una de las sucesiones, demostrar que tiene límite y calcularlo.

(a)

u1 =

1,un+1 =√ 2 + un.

(b) v1 =

√ 2,

vn+1 =√

2vn.

13. (nivel 3) Definimos la sucesión (xn)n∈N como

x1 = 4,

xn+1 =1

2 xn +

17

xnUPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




Si suponemos que la sucesión es convergente, calcula su límite ¿Cuál sería ellímite si x1 = 10?

14. (nivel 3) Sea la sucesión (xn)n∈N demostrar que:

lımn→+∞

(x1 + . . . + xn) = l ∈ R ⇒ lımn→+∞

xn = 0

Series de números reales

15. (nivel 3) Dada la sucesión de números reales (an)n∈N definida por

a1 = 1,

an+1 =

an

n ,

(a) Demostrar que es convergente.

(b) Calcular su límite.

(c) Determinar el carácter de la serie∞

n=1

(−1)n an .

16. (nivel 2) Hallar la suma parcial s3 de la serie+∞

n=1

(−1

)n

n3n+1. Estimar el valor absoluto

la diferencia entre esta suma y la suma de la serie.17. (nivel 2) Determinar la convergencia de las siguientes series y sumar las tres

últimas.

(a)+∞

n=1

n√ n + 1

(b)+∞

n=1

√ n + 1√ n + 8

(c)+∞

n=1

3

5 + 5n

(d)+∞

n=1

1

13n

(e)+∞

n=1

23n+4

32n+5

(f)+∞

n=1

2n+1

3n−

2

18. (nivel 2) Dar un ejemplo de dos series+∞

n=1

an y+∞

n=1

bn tales que+∞

n=1

(an +bn) converja,

mientras+∞

n=1

an diverja y+∞

n=1

bn también diverja.

Calcular 1 + 2 + 4 + 8 + . . . ¿Por qué no es igual a 1

1 − 2 = −1?

19. (nivel 1) Demostrar que+∞

n=1

1 + 1

2n

diverge.




1.7. Ejercicios 45

20. (nivel 2) Determinar, mediante el criterio de comparación, la convergencia de lasseries cuyo término general es el siguiente

(a) 13n − 1

(b) 2

4n − 3

(c) cos(nπ)

3n − 1

(d) (−1)n

4n + 1

(e) 86n − 1

(f) 8

5 + 7n

(g) 3

2 + n

21. (nivel 3) Hallar con un error menor que 0.01 la suma+∞

n=1

2n − 1

5n + 1 .

22. (nivel 2) Determinar la convergencia y la convergencia absoluta de las series cuyotérmino general es el siguiente

(a) 3

4n + 2

(b) −4

2n + 3n

(c) 1

2n + 3n

(d) √ 3 + n4n

(e) e−n

(f) n

n + 2n

(g) 1

√ n

(h) (−1)n

8n + 2

23. (nivel 2) Usando el criterio del cociente determinar si convergen las siguientesseries

(a)+∞

n=1

2√

n

3n (b)

+∞

n=1

2n2 + n!

n5 + 3n! (c)

+∞

n=1

n33n

n! (d)

+∞

n=1

3n

2√

n

24. (nivel 2) Utilizando el criterio de comparación, determinar si convergen las seriesde término general

(a) cos n

n2 (b)

sen n

n32

(c) n

n2 + 4 (d)

n

n3 + 4

25. (nivel 2) Utilizando el criterio de la raíz, determinar el carácter de las series contérmino general

(a) 3n

nn (b)

nn

2n (c)

2n

n3 (d) n2

2n

26. (nivel 3) Determinar el carácter de las series cuyo término general es





(a) sen4 n

n2

(b)

1

√ n − 23

(c) cos

2

nn2

(d) n!

nn

(e) nn

n!

(f) cos2n

( nπ

2n + 4

)(g) n + 1

n −n3

(h) n

1

n2

(i) 1 +

1

nn2

e−n

(j) sen 1

n cos

1

n

(k) 2n + 5n2

3n

(l) n2 + 1

nan con a ≠ 0

(m)3√

n

(n + 1

)√ n

(n) 1

nn+ 1

n

(ñ) 1

n

(n + 1

)(n + 2

)(o) n2

n! an

(p) log(n + 1

n )

(q) (a + 1)(a + 2) . . . (a + n)

n!

(r) 1 + n2

n!

(s) 1 + sen3 n

nn

(t) 1n( n3 + n√ n − n)

27. (nivel 2) Sumar las siguientes series

(a)+∞

n=1

2n − 5n

10n

(b)+∞

n=1

1

n

(n + 1

)(n + 2

)

(c)+∞

n=1

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(d)

+∞

n=1

n!

(n + 2

)!

(e)+∞

n=2

2n + 3(n − 1)n(n + 2)

28. (nivel 2) Justificar si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones

(a) Si an → 0 , entonces+∞

n=1

an converge.

(b) Toda serie geométrica+∞

n=1

rn converge.

(c)+∞

n=1

1

2n = 1 .

(d) Con el criterio del cociente se determina la convergencia de cualquier serie.

(e) Una serie que converge también debe converger absolutamente.

(f) Si 0 ≤ an ≤ arn, r < 1 , entonces +∞k=1

ak −

n

k=1

ak ≤ a rn+1

1 − r .

(g) La convergencia de+∞

n=1

(an + an+1) implica la convergencia de+∞

n=1

an .

(h) Si+∞

n=1

1

n4 =

π4

90 , entonces

+∞

n=1

1(2n)4 =

π4

1440 .

(i) Si+∞

n=1

1

n2 =

π2

6 , se tiene que

+∞

n=1

1

(2n − 1

)2 =

π2

8 .




1.8. Algunas soluciones e indicaciones 47

1.8. Algunas soluciones e indicaciones

El conjunto de los números reales

1.

2.

3. Simplemente hay que tener en cuenta que si x = 1, entonces x−1 = 0 y, recordemos,0 ⋅ α = 0 ⋅ β ⇒ α = β .

4. (a) x = −1 o x = 4.

(b) x =2

3

o x = 4.

(c) .

(d) (−∞, −2].(e) .

5. (a) 1

6, 1

4.

(b) [−√ 3, −1] ∪ [1,√

3].(c)

(4, 6

).

(d)

(2, +∞

).

(e) (3, 4).Método de inducción

6.

Números complejos

7. (a) 2i(b) −2 + 2i

(c) i

(d) −1 − i2

(e) 1 + i(f) 1

4 +

i4

(g) i

(h) −i

8. (a) Círculo de centro −32

, 0 y radio 12

(b)

(c)

(d)





Sucesiones de números reales

9. (a) No es monótona, no está acotada(b) (an) es estrictamente monótona y acotada.

(c) Es estrictamente creciente, no está acotada

(d) Está acotada

(e) No es monótona, está acotada

(f) No es monótona, está acotada

10.

11. (a) +∞

(b) a2 + a + 1

3(c) 0

(d) e

(e) 1

(f) 3

(g) 1

p!

(h) 1

a

(i) 1

e

(j) 1

(k) e

(l) 0

12. (a) Observamos en primer lugar que un ≥ 0 para todo n. Después se demuestrapor inducción que (un) es creciente. Para hacer los cálculos, observa que, alser un ≥ 0 la expresión un ≤ un+1 es equivalente a u2

n ≤ u2n+1. A continuación,

se demuestra por inducción que 2 es una cota superior de (un). Para hacerlos cálculos, observa que, al ser un ≥ 0 la expresión un ≤ 2 es equivalentea u2

n ≤ 4. Con esto se demuestra la existencia de límite. Ahora, tomandolímites en la expresión un+1 =

√ 2 + un se obtiene la igualdad l =

√ 2 + l. Para

resolver esta ecuación, la elevamos al cuadrado. Al hacer esto, hay que teneren cuenta que podemos estar añadiendo soluciones espurias2. La ecuaciónl2 − l − 2 = 0 tiene dos soluciones, la espuria l1 = −1 y la solución del problemal2 = 2. Con esto demostramos que el límite de (un) es 2.

(b)

13.

14.

2

espuria: http://lema.rae.es/drae/?val=espuria


http://lema.rae.es/drae/?val=espuria

http://lema.rae.es/drae/?val=espuria




Series de números reales

15.

16.

17. (a) Diverge

(b) Diverge

(c) Diverge

(d) Converge, su suma es 1

12

(e) Converge, su suma es 128

243

(f) Converge, su suma es 36

18.

19.

20. (a) Converge, tomar bn = 1

2n

.

(b) Converge

(c) Converge

(d) Converge

(e) Diverge

(f) Diverge

(g) Diverge

21.

22. (a) Converge absolutamente, luego converge.

(b) Converge absolutamente, luego converge.

(c) Converge absolutamente, luego converge.

(d) Converge absolutamente, luego converge.

(e) Converge absolutamente, luego converge.

(f) No converge, luego no converge absolutamente.

(g) No converge, luego no converge absolutamente.

(h) Converge, no converge absolutamente.

23. (a) Converge.(b) Diverge.

(c) Converge.(d) Diverge.

24. (a) Converge

(b) Converge

(c) Diverge

(d) Converge

25. (a) Converge

(b) Diverge

(c) Diverge

(d) Converge

26.UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




(a) Converge

(b) Diverge

(c)(d) Converge

(e)

(f)

(g)

(h) Diverge

(i)

(j)(k) Converge

(l)

(m)

(n)

(ñ) Converge

(o)

(p)(q)

(r) Converge

(s) Converge

(t)

27.

28. (a) Falsa

(b) Falsa

(c) Cierta

(d) Falsa

(e) Falsa

(f)

(g) Falsa

(h)

(i)




Tema 2

Funciones, lımites y continuidad en R

Vamos a dedicar 5 horas de clase a este capítulo. Debes resolver por tu cuenta losejercicios que no hayan sido resueltos en clase. No todos los ejercicios tienen la mismadificultad. Para orientar tu trabajo, se ha etiquetado cada ejercicio en niveles, como enel capítulo anterior.

También es recomendable consultar [1], [2], [3].

2.1. Funciones. Tipos de funciones

Definición 2.1.1. Se llama función real de variable real a una aplicación f entre dossubconjuntos A y B de R.

f ∶ A → B

x f (x)El conjunto A se llama dominio de f . El conjunto

Imf = f (A) = { y ∈ B ∃ x ∈ A tal que f (x) = y }se llama imagen, rango o recorrido de f . El conjunto

Gf = {(x, f (x)) x ∈ A } ⊂ R2 ,

se llama gráfica o grafo de f .

Ejemplo 2.1.2. Consideremos la función

f ∶ R → R

x x2

Es una función no inyectiva porque f

(1

) = f

(−1

), y no suprayectiva ya que f

(R

) =

[0,+∞).

51



52 Funciones de R en R

Definición 2.1.3. Sea D ⊂ R y sea f ∶ D → R se dice

Acotada superiormente si

∃ K ∈ R tal que f (x) ≤ K ∀x ∈ D .

Acotada inferiormente si

∃ l ∈ R tal que f (x) ≥ l ∀x ∈ D .

Acotada si

∃ C ∈ R tal que

f

(x

) ≤ C ∀x ∈ D .

Proposición 2.1.4. Una función f está acotada si y sólo si está acotada superior e inferiormente.

Definición 2.1.5. Sea D ⊂ R y sea f ∶ D → R se dice que f es

creciente en D si

∀ x1, x2 ∈ D tales que x1 < x2 , se tiene que f

(x1

) ≤ f

(x2

),

estrictamente creciente en D si

∀ x1, x2 ∈ D tales que x1 < x2 , se tiene que f (x1) < f (x2), decreciente en D si

∀ x1, x2 ∈ D tales que x1 < x2 , se tiene que f (x1) ≥ f (x2), estrictamente decreciente en D si

∀ x1, x2 ∈ D tales que x1 < x2 , se tiene que f (x1) > f (x2) .

monótona en D si es creciente o decreciente en D.

estrictamente monótona en D si es estrictamente creciente o estrictamente de-creciente en D.

Nota 2.1.6. Observa que las funciones crecientes mantienen el sentido de las desigual-

dades, mientras que las funciones decrecientes lo invierten. Observa también que lasfunciones estrictamente monótonas son inyectivas.




2.2. Operaciones con funciones 53

Definición 2.1.7. Sea una función f ∶ A → B con dominio A simétrico respecto del 0.Se dice que f es par si para todo x ∈ A se tiene f

(x

) = f

(−x

), y se dice que es impar

si para todo x ∈ A se tiene −f (x) = f (−x).Ejemplo 2.1.8. La función del ejemplo 2.1.2, f (x) = x2, es una función par. La función

f (x) = x3 es una función impar.

Nota 2.1.9. El grafo de una función par es simétrico respecto del eje vertical; el grafode una función impar es simétrica respecto del punto (0, 0).Definición 2.1.10. Sea una función f ∶ R→ R y sea p > 0. Se dice que f es una funciónperiódica de periodo p (ó p-periódica) si f

(x + p

) = f

(x

) para todo x ∈ R.

Ejemplo 2.1.11. Las funciones seno y coseno son periódicas de periodo 2π; la funcióntangente es periódica de periodo π (véase la sección 2.5).

Nota 2.1.12. Para saber cómo es el grafo de una función periódica de periodo p basta

con conocerlo en un intervalo de longitud p.

2.2. Operaciones con funciones

En el conjunto de funciones podemos definir una serie de operaciones de manera que elresultado de la operación sea una nueva función. Hay que tener en cuenta los dominiosde las funciones con las que queremos operar.

Definición 2.2.1. Sea D ⊂ R, α ∈ R, dadas dos funciones f, g ∶ D → R, definimos las

siguientes operaciones.

Suma de funciones.f + g ∶ D → R

x f (x) + g(x) Producto de funciones.

f ⋅ g ∶ D → R

x f (x) ⋅ g(x) Producto de un escalar por una función.

α ⋅ f ∶ D → R

x α f

(x

)UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




Cociente de funciones. Si g(x) ≠ 0 para todo x ∈ D

f

g ∶

D→ R

xf (x)g(x)

Otras operaciones. Imponiendo en cada caso las condiciones que sean necesarias,podemos definir las siguientes operaciones

Si f (x) > 0 para todo x ∈ D:

log f ∶ D → R

x log f (x) Si f (x) > 0 para todo x ∈ D:

f g ∶ D → R

x f (x)g(x) = eg(x) log(f (x))

Si f (x) ≥ 0 para todo x ∈ D:

√ f ∶ D → R

x f (x)Ejemplo 2.2.2. Dadas las funciones f (x) = sen x y g(x) = cos x, la función suma

s = f + g viene dada por s(x) = sen x + cos x. El grafo de s se obtiene de forma muy

sencilla a partir de los grafos de las funciones f y g : en cada valor de la abscisa x, paraobtener s(x) basta con añadir a f (x) el valor de g(x). Véase la figura 2.1.

f

g

f + g

Figura 2.1. Suma de funciones

Veamos ahora otras operaciones entre funciones.Semestre de primavera, curso 2014/2015



2.2. Operaciones con funciones 55

Definición 2.2.3. Consideremos dos funciones

f ∶ A → B

x f (x) g ∶ C → D

x g(x)tales que Im f ⊂ C . Se define la nueva función f compuesta con g, y se denota por

g ○ f , comog ○ f ∶ A → D

x g (f (x))Observa que la función anterior está bien definida para los dominios e imágenes de lasfunciones que intervienen en la definición.

Ejemplo 2.2.4. Sea D ⊂ R y consideremos una función f ∶ D → R, entonces

Si f (x) ≥ 0 ∀x ∈ Dy si g(x) = √ x, entonces (g ○ f )(x) = f (x). Si f (x) > 0 ∀x ∈ Dy si g(x) = log x, entonces (g ○ f )(x) = log f (x).

Definición 2.2.5. Sean D ⊂ R y f ∶ D → R una función inyectiva, definimos la funcióninversa de f , y la denotamos por f −1, como

f −1 ∶ Im f → A

y x tal que f (x) = y .

Esta función inversa está bien definida por ser f inyectiva.

Observa que se verifica que f −1(f (x)) = x para todo x ∈ D, y que f (f −1(y)) = y

para todo y ∈ Im f . Teniendo en cuenta que el punto (x, y) ∈ Gf si y sólo si el punto(y, x) ∈ Gf −1, tenemos que la gráfica de f −1 se puede obtener a partir de la de f

intercambiando x e y.

Ejemplo 2.2.6. Mostramos los grafos de la función f

(x

) = cos x y la de su función

inversa, f −1(x) = arccos x.

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

-1 -0.5 0.5 1

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Función cos x Función arccos x





2.3. Límite de una función

Dado un conjunto D ⊂ R, se define el conjunto de puntos de acumulación de D comoD′

∶= {x ∈ R ∀ ε > 0 se verifica que D ∩ (x − ε, x + ε){x} ≠ } .

Observemos que si x0 ∈ D′, hay puntos de D, distintos del propio x0, tan próximos comose quiera a x0. Para los intervalos I de la forma (a, b), [a, b), (a, b] y [a, b], tenemosque I ′ = [a, b].Definición 2.3.1. Sean D ⊂ R, x0 ∈ D′, ∈ R y f ∶ D → R,

Se dice que es el límite de f en x0, y se escribe

lımx→x0

f (x) =

si

∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que si 0 < x − x0 < δ

x ∈ D

, entonces f (x) − < ε .

(Si x está "suficientemente cerca” de x0, se tiene que f (x) está tan cerca de

como previamente habíamos exigido).

Se dice que +∞ es el límite de f en x0 , y se escribe

lımx→x0

f (x) = +∞

si

∀ M > 0 ∃ δ > 0 tal que si 0 < x − x0 < δ

x ∈ D

, entonces f (x) > M .

(Si x está “suficientemente cerca” de x0, se tiene que f

(x

) es mayor de lo que

previamente habíamos exigido).

Se dice que −∞ es el límite de f en x0, y se escribe

lımx→x0

f (x) = −∞

si

∀ M < 0 ∃ δ > 0 tal que si 0 < x − x0 < δ

x ∈ D

, entonces f (x) < M .

(Si x está “suficientemente cerca” de x0, se tiene que f

(x

) es menor de lo que

previamente habíamos exigido).




2.3. Límite de una función 57

Definición 2.3.2. Sean f ∶ R → R y ∈ R.

Se dice que es el límite de f cuando x → +∞, y se escribe

lımx→+∞

f (x) = ,

si ∀ ε > 0 ∃ x1 > 0 tal que si x ≥ x1, entonces f (x) − < ε .

(Si x es “suficientemente grande”, se tiene que f (x) está tan cerca de comopreviamente habíamos exigido).

Se dice que +∞ es el límite de f cuando x→ +∞, y se escribe

lımx→+∞

f (x) = +∞ ,

si ∀ M > 0 ∃ x1 > 0 tal que si x ≥ x1, entonces f (x) > M .

(Si x es “suficientemente grande”, se tiene que f (x) es mayor de lo que previa-mente habíamos exigido).

Se dice que −∞ es el límite de f cuando x→ +∞, y se escribe

lımx→+∞

f

(x

) = −∞ ,

si ∀ M < 0 ∃ x1 > 0 tal que si x ≥ x1, entonces f (x) < M .

(Si x es “suficientemente grande”, se tiene que f (x) es menor de lo que previa-mente habíamos exigido).

Se dice que es el límite de f cuando x → −∞, y se escribe

lımx→−∞

f (x) = ∈ R ,

si ∀ ε > 0 ∃ x1 < 0 tal que si x ≤ x1, entonces

f

(x

)−

< ε .

(Si x es “suficientemente pequeño”, se tiene que f (x) está tan cerca de comopreviamente habíamos exigido).

Se dice que +∞ es el límite de f cuando x→ −∞, y se escribe

lımx→−∞

f (x) = +∞ ,

si ∀ M > 0 ∃ x1 < 0 tal que si x ≤ x1, entonces f (x) > M .

(Si x es “suficientemente pequeño”, se tiene que f

(x

) es mayor de lo que previa-

mente habíamos exigido).UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




Se dice que −∞ es el límite de f cuando x→ −∞, y se escribe

lımx→−∞

f (x) = −∞ .

si ∀ M < 0 ∃ x1 < 0 tal que si x ≤ x1, entonces f (x) < M . (Si x es “sufi-cientemente pequeño”, se tiene que f (x) es menor de lo que previamente había-mos exigido).

Nota 2.3.3. En la definición 2.3.2, para definir los límites cuando x → +∞ no es necesarioque el dominio de f sea R. Es suficiente que el dominio de f contenga un intervalo de laforma

(a, +∞

). Análogamente, para el caso de los límites cuando x → −∞, es suficiente

que el dominio de f contenga un intervalo de la forma

(−∞, b

).

Proposición 2.3.4. Si una función tiene límite en un punto x0 ∈ R, o en +∞ o en

−∞, el límite es único.

Definición 2.3.5. Sean ∈ R, I un intervalo, x0 ∈ I ′ tal que x0 no sea el extremoderecho de I , y f ∶ I → R, se dice que es el límite por la derecha de f en x0 , y seescribe

lımx→x+0

f (x) = ,

si ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 tal que si 0 < x − x0 < δ

x ∈ I entonces f (x) − < ε .

Se pueden definir análogamente (se propone como ejercicio) los dos límites por laderecha

lımx→x+

0

f (x) = +∞ , lımx→x+

0

f (x) = −∞ ,

y, supuesto que x0 no sea el extremo izquierdo de I , los tres límites por la izquierdarestantes

lımx→x−0

f

(x

) = , lım

x→x−0

f

(x

) = +∞ , lım

x→x−0

f

(x

) = −∞ .

Proposición 2.3.6. Consideremos una función f ∶ I → R, con I un intervalo. Sea

x0 un número real tal que x0 ∈ I ′, y tal que x0 no sea extremo de I ′. Entonces existe lım

x→x0

f (x) si y sólo si existen y son iguales los límites laterales lımx→x+0

f (x) y lımx→x−0

f (x).En este caso,

lımx→x0

f (x) = lımx→x+0

f (x) = lımx→x−0

f (x) .

Proposición 2.3.7. Sean D ⊂ R, x0 ∈ R y f ∶ D → R. Entonces existe

lımx→x0

f (x) = l





si y solamente si para toda sucesión (an)n∈N con an ∈ D, ∀n ∈ N y con lım an = x0, se tiene

lım f (an) = l.

Nota 2.3.8. La proposición 2.3.7 es válida también si x0 = +∞, x0 = −∞, l = +∞, l = −∞

y para los límites laterales.

Nota 2.3.9. La proposición 2.3.7 es especialmente útil para demostrar la no existencia

de límite.

Ejemplo 2.3.10. Sea D = (0, ∞) yf ∶ D → R

x sen 1

x⋅

Vamos a demostrar, usando la proposición 2.3.7, que ∃ lımx→0+

f (x). Sean

an =1

2nπ, bn =

1π2

+ 2nπ,

tenemos que f (an) = 0 y f (bn) = 1, así que lım f (an) = 0 y lım f (bn) = 1, lo que noslleva a

∃ lımx→0+ f (x).

Álgebra de límites

Las tablas 2.1-2.10 son consecuencia inmediata de la proposición 2.3.7 y las tablasque teníamos para sucesiones. También aquí, la letra " I " significa "interminación", esdecir, con sólo con saber los límites de los operandos no sabemos cuál es el límite dela operación.





f ∈ R +∞ −∞

g

′ ∈ R + ′ +∞ −∞

+∞ +∞ +∞ I

−∞ −∞ I −∞

Tabla 2.1. Límite de la suma (f + g)

f ∈ R = 0 ∈ R +∞ −∞

g > 0 < 0

′ ∈ R, ′ > 0 ⋅ ′ 0 ⋅ ′ +∞ −∞

′ = 0 0 0 0 I I

′ ∈ R, ′ < 0 ⋅ ′ 0 ⋅ ′ −∞ +∞

+∞ +∞ I −∞ +∞ −∞

−∞ −∞ I +∞ −∞ +∞

Tabla 2.2. Límite del producto (f ⋅ g)





f = 0 1f

∈ R, = 0 1

= 0 I

+∞ 0

−∞ 0

f > 0 1f

∈ R, = 0 1

= 0 +∞

+∞ 0

f < 0 1f

∈ R, = 0 1

= 0 −∞

−∞ 0

Tabla 2.3. Límite de 1f , f (x) ≠ 0 ∀ x ∈ D

f ∈ R = 0 ∈ R +∞ −∞

g > 0 < 0

′ ∈ R, ′ > 0 ′ 0 ′ +∞ −∞

′ = 0 I I I I I

′ ∈ R, ′ < 0

′ 0

′ −∞ +∞

+∞ 0 0 0 I I

−∞ 0 0 0 I I

Tabla 2.4. Límite para el cociente f

g , g(x) ≠ 0 ∀ x ∈ D





f ∈ R = 0 ∈ R +∞ −∞

g > 0 < 0

′ ∈ R, ′ > 0 ′ 0 ′ +∞ −∞

′ = 0 +∞ I −∞ +∞ −∞

+∞ 0 0 0 I I

Tabla 2.5. Límite para el cociente f g , g(x) > 0 ∀ x ∈ D

f ∈ R = 0 ∈ R +∞ −∞

g > 0 < 0

′ ∈ R, ′ < 0 ′ 0 ′ −∞ +∞

′ = 0 −∞ I +∞ −∞ +∞

−∞ 0 0 0 I I

Tabla 2.6. Límite para el cociente f

g , g(x) < 0 ∀ x ∈ D

f > 0 log f

∈ R, > 0 log

= 0 −∞

+∞ +∞

Tabla 2.7. Límite para el logaritmo log f , f

(x

) > 0 ∀ x ∈ D





f ∈ R +∞ −∞

0 < β < 1 β 0 +∞

β > 1 β +∞ 0

Tabla 2.8. Límite para la exponencial β f , β > 0

f ∈ R 0 +∞

r > 0

r > 0 r 0 +∞

r < 0 r+∞ 0

Tabla 2.9. Límite para la potencial f

r

, f (x) > 0 ∀

x ∈

D

f 0 ∈ R 1 ∈ R +∞

g 0 < < 1 > 1

′ ∈ R, ′ < 0 +∞ ′

1 ′

0

0 I 1 1 1 I

′ ∈ R, ′ > 0 0 ′

1 ′

+∞

+∞ 0 0 I +∞ +∞

−∞ +∞ +∞ I 0 0

Tabla 2.10. Límite para la potencial-exponencial f g , f

(x

) > 0 ∀ x ∈ D





Cálculo de límites

Proposición 2.3.11. (Regla del sándwich)Dado un intervalo I , consideremos las funciones f,g,h ∶ I → R. Sea x0 ∈ R∪{−∞, +∞}.Si

f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) “suficientemente cerca" de x0

y existe lım

x→x0

f (x) = lımx→x0

h(x) = con ∈ R ∪ {−∞, +∞} ,

entonces también existe lımx→x0

g(x) = .

Nota 2.3.12. De la regla del sándwich, se deduce inmediatamente que el siguiente re-

sultado.

Proposición 2.3.13. Dado un intervalo I , consideremos las funciones f,g, ∶ I → R.Sea x0 ∈ R ∪ {−∞, +∞}. Si lım

x→x0

= g(x) = 0 y f (x) está acotada “suficientemente cerca"

de x0, entonces lım

x→x0

f (x)g(x) = 0.

Definición 2.3.14. Sean f, g ∶ D ⊂ R → R y sea x0 ∈ D′. Se dice que f es equivalentea g en x0 si

lımx→

x0

f

(x

)g(x) = 1.

Suele denotarse f ∼x0

g

Nota 2.3.15. En las condiciones de la definición 2.3.14, si f (x) →x→x0

0, en la tabla 2.11tienes algunas de las equivalencias más utilizadas

Nota 2.3.16. Las equivalencias son de aplicación directa al cálculo de límites en expre-siones en las que intervengan productos. Supongamos, por ejemplo f,g,h ∶ D ⊂ R → R

y x0 ∈ D′. Si f ∼x0

g, y tenemos que calcular

lımx→

x0

f

(x

).h

(x

),

podemos "utilizar equivalencias" del siguiente modo

lımx→x0

f (x) ⋅ h(x) = lımx→x0

f (x)g(x) ⋅ g(x) ⋅ h(x) = lım

x→x0

g(x).h(x)ya que

lımx→x0

f (x)g(x) = 1.

Esto será de utilidad cuando la expresión g(x).h(x) sea más sencilla (desde el puntode vista del cálculo de límites) que f

(x

).h

(x

). De manera análoga se puede proceder

en expresiones en las que intervengan cocientes.Semestre de primavera, curso 2014/2015




r →x0

0

1

1 − r(x) ∼x0

1 + r(x)

sen r(x) ∼x0

r(x) ∼x0

tg r(x) ∼x0

arcsen r(x) ∼x0

arctg r(x)

1 − cos r(x) ∼x0

(r(x))22

log(1 + r(x)) ∼x0

r(x)er(x) − 1 ∼

x0r(x)

Tabla 2.11. Algunas equivalencias para funciones elementales

Nota 2.3.17. Si f ∼x0

g, puede ocurrir que

lımx→x0

(f (x) + h(x)) ≠ lımx→x0

(g(x) + h(x))como muestra el contraejemplo 2.3.18

Ejemplo 2.3.18. Sean f

(x

) =

2

x2 y g

(x

) =

1

1 − cos x. Tenemos que f ∼

0g y, además

lımx→0(f (x) − g(x)) = −

1

6.

Pero si "aplicásemos equivalencias en sumas", llegaríamos a

−1

6 = lım

x→0(f (x) − g(x)) = lım

x→0(f (x) − f (x)) = 0,

lo que es imposible.

Asíntotas

Algunas funciones tienen unas rectas particulares que se “pegan" a su grafo. Estasrectas se conocen con el nombre de asíntotas.

Definición 2.3.19. Sea f ∶ R→ R y x0 ∈ R. La recta x = x0 es una asíntota vertical de

f si se verifica alguna de condiciones siguientes:

lımx→x−0

f (x) = +∞ , lımx→x−0

f (x) = −∞ ,

lımx→x+

0

f

(x

) = +∞ , lım

x→x+0

f

(x

) = −∞ .





Definición 2.3.20. La recta y = mx + b es una asíntota oblicua de f si

lımx→−∞f (x) − y(x) = 0 ó lım

x→+∞f (x) − y(x) = 0 .

En el caso particular m = 0, la asíntota se llama horizontal.

Desde el punto de vista práctico, la definición 2.3.20 es poco útil para averiguar si unafunción tiene o no asíntotas oblicuas. Es mejor estudiar en primer lugar el límite

lımx→+∞

f (x)x

.

Si este límite existe y es real, entonces su valor m es la pendiente de la asíntota. Paraencontrar b calculamos

lımx→+∞

(f (x) − mx) .

Si este límite existe y es real, entonces su valor es b. Análogamente se estudiaría laexistencia de asíntotas cuando x→ −∞.

2.4. Continuidad

Definición 2.4.1. Sea D ⊂ R y consideremos una función f ∶ D → R. Sea x0 ∈ D ∩ D′.

Se dice que f es continua en x0 si lımx→x0

f

(x

) = f

(x0

).

Si f es continua en x0 para todo x0 ∈ D, diremos que f es continua en D.

Definición 2.4.2. Sea D ⊂ R y consideremos una función f ∶ D → R. Sea x0 ∈ D′.

Diremos que f es discontinua en x0 si

x0 ∈ D

o

Si x0 ∈ D pero f no es continua en x0.




2.4. Continuidad 67

En la definición 2.2.1 vimos algunas operaciones con funciones. Si ambas funciones soncontinuas, la nueva función también lo es.

Proposición 2.4.3.

1. Sean f y g dos funciones continuas en x0. Entonces, la función suma f + g y la

función producto f ⋅ g son funciones continuas en x0.

2. Sean f y g dos funciones continuas en x0. Si g(x0) ≠ 0, entonces la función

cociente f

g es continua en x0.

3. Si f (x) > 0 ∀x ∈ D y f y g son continuas en x0, entonces f g

es continua en x0.

Veamos algunos ejemplos de funciones continuas

Ejemplo 2.4.4.

1. La función constante,

f ∶ R→ R

x k,

es continua en R.

2. La función identidad,

f ∶ R → R

x x,

es continua en R.

3. Los polinomios son funciones continuas en R.

4. La función

f ∶ (0, +∞)→ R

x log x,

es continua en (0+ ∞).





5. La función

f ∶ [0, +∞)→ R

x√ x,

es continua en [0, +∞).Pueden obtenerse nuevas funciones continuas mediante la composición de funcionescontinuas.

Proposición 2.4.5. Consideremos las funciones f ∶ I 1 → R y g ∶ I 2 → R, con I 2 tal que f

(I 1

) ⊂ I 2. Si f es continua en x0 y g es continua en f

(x0

), entonces la función g ○ f

es continua en x0.

Ejemplo 2.4.6. Sea I un intervalo, y sea f ∶ I → R continua en I , entonces

si f (x) ≥ 0 ∀x ∈ I , entonces las función √

f es continua en I ,

si f (x) > 0 ∀x ∈ I , entonces las función log f es continua en I .

Resultados clásicos sobre continuidad

En esta sección mostramos varios resultados importantes para funciones continuas de-finidas en un intervalo cerrado.

Una función continua en su dominio puede no estar acotada en él. Por ejemplo, la

función f (x) = 1

x es continua en (0, 1] pero está acotada dicho intervalo. Esta situación

no puede darse en un intervalo cerrado.

Proposición 2.4.7. Sea f ∶

[a, b

]→ R una continua en

[a, b

]. Entonces f está acotada,

es decir, existe una constante C ≥ 0

tal que f (x) ≤ C para todo x ∈ [a, b] .

Teorema 2.4.8. (Teorema de Weierstrass)Sea f ∶ [a, b] → R una función continua. Entonces f alcanza su máximo y su mínimoen [a, b], es decir, existen puntos c y d en [a, b] tales que

f

(c

) = max

x∈

[a,b

]

f

(x

), f

(d

) = mın

x∈

[a,b

]

f

(x

).




2.4. Continuidad 69

Teorema 2.4.9. (Teorema de Bolzano)Sea f ∶

[a, b

]→ R continua en

[a, b

] tal que f

(a

)⋅ f

(b

) < 0 . Entonces existe algún punto

x0 ∈ (a, b) verificando f (x0) = 0.

Los puntos x0 tales que f (x0) = 0 se llaman raíces de f . El teorema de Bolzano nosindica que, bajo las condiciones del teorema, existe al menos una raíz de f en el intervalo(a, b). El teorema no afirma nada acerca del número de raíces que existen en el intervalo.

Como consecuencia del teorema de Bolzano tenemos los resultados siguientes.

Proposición 2.4.10. (Propiedad de Darboux)Sea f ∶ [a, b] → R continua y tal que f (a) ≠ f (b). Entonces para todo y0 entre f (a) y

f (b), existe x0 ∈ (a, b) tal que f (x0) = y0.

Observemos que la propiedad de Darboux nos indica que, bajo las condiciones de la pro-posición, f toma todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b). Como consecuenciainmediata tenemos la siguiente proposición.

Proposición 2.4.11. Sea f ∶ [a, b] → R continua en [a, b]. Entonces f ([a, b]) es un

intervalo cerrado.

La siguiente proposición es también cierta (¡por supuesto!), pero no se deduce inme-diatamente de la propiedad de Darboux

Proposición 2.4.12. Sea I un intervalo y f ∶

I → R continua en I . Entonces f (I ) es un intervalo.

Clasificación de las discontinuidades

En la definición 2.4.2 se ha definido cuándo una función es discontinua en un puntox0. Una función puede ser discontinua en x0 debido a varios motivos; ello da lugar aclasificar las discontinuidades en distintos tipos.

Definición 2.4.13. Sean D ⊂

R, f ∶

D→R y x0

∈

D

′

. Se dice queUPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




f tiene una discontinuidad evitable en x0 si

◇ x0 ∈ D y existe lımx→x0

f

(x

) ∈ R, pero f

(x0)

≠ lımx→x0

f

(x

) ∈ R,

o bien

◇ x0 ∈ D y existe lımx→x0

f (x) ∈ R.

Si f tiene una discontinuidad evitable en x0, entonces podemos definir otra fun-ción f cuyo dominio es D ∪ {x0} de la siguiente manera

f

(x

) =

f (x) , si x ≠ x0 ,

lımx→x0

f

(x

), si x = x0 .

La función f es una función continua en x0 que se llama extensión continua def .

Se dice que f tiene una discontinuidad no evitable de primera especie en x0 si

◇ lımx→x0

f (x) = +∞,

ó

◇ lımx→x0

f

(x

) = −∞,

ó

◇ existen los dos límites laterales de f en x0 pero son distintos.

Se dice que f tiene una discontinuidad no evitable de segunda especie en x0 si no

existe alguno de los límites laterales de f en x0.

Ejemplo 2.4.14.

1. La función

f (x) = e1x , si x ≠ 0 ,

0 , si x = 0 .

tiene una discontinuidad no evitable de primera especie en x0 = 0.

2. La función

f (x) = sen 1

x , si x ≠ 0 ,

0 , si x = 0 .

tiene una discontinuidad no evitable de segunda especie en x0 = 0.




2.5. Anexo: Funciones usuales 71

2.5. Anexo: Algunas funciones usuales

2.5.1. Funciones elementales

Funciones polinómicas

f ∶ R → R

x a0

nk + a1nk−1 + + ak

, a0 ≠ 0

(a) f es continua en su dominio.

(b) Imagen de f :

si n es impar, f

(R

) = R,

si n es par Si a0 > 0 f (R) es un intervalo de la forma [a, +∞), Si a0 < 0 f (R) es un intervalo de la forma (−∞, b],

En la gráfica se muestran tres funciones polinómicas f , g y h de grados 2, 3 y 4,respectivamente.

-3 -2 -1 1 2 3

-20

-10

10

20

f

g

h

Función seno1f ∶ R → R

x sen x.


(b) f (R) = [−1, 1], luego f es una función acotada.

(c) Es impar.

(d) Es periódica de periodo 2π.

-1

1

1

En esta, y en todas las funciones trigonométricas, el argumento está expresado en radianes





Función cosenof ∶ R → R

x cos x


(b) f (R) = [−1, 1], luego f es una función acotada.

(c) Es par.

(d) Es periódica de periodo 2π.

-1

1

Función tangente

SeaD = R {x ∈ R cos x=0} = R (2k + 1)π

2 k ∈ Z .

yf ∶ D → R

x sen x

cos x

= tg x

(a) f es continua en D.

(b) f (R) = R, luego f no es una función acotada.

(c) Es impar.

(d) Es periódica de periodo π.

3 Π

2

Π Π

2

Π

2

Π 3 Π

2

-15

-10

-5

5

10

15





Función arcoseno.

Esta función es la inversa de la restricción de la función seno al intervalo

−

π2

, π2

.

f ∶ [−1, 1] → [−π2

, π2 ]

x y tal que sen y = x (y = arc sen x)(a) f es continua en su dominio.

(b) f ([−1, 1]) = [− π2

, π2], luego f es una función acotada.

(c) Es impar.

-1 -0.5 0.5 1

Π

2

Π

2

Se puede obtener su grafo a partir del de la función función seno (página 55).

Función arcocoseno

Esta función es la inversa de la restricción de la función coseno al intervalo

[0, π

]f ∶ [−1, 1] → [0, π]x y, tal que cos y = x (y = arccos x)


(b) f ([−1, 1]) = [0, π], luego f es una función acotada.

Se puede obtener su grafo a partir del de la función coseno.

-1 -0.5 0.5 1

Π

2

Π





Función arcotangente

Esta función es la inversa de la restricción de la función tangente al intervalo

−

π

2 , π

2 f ∶ R → (−π2

, π2 )

x y tal que tg y = x (y = arctg x)(a) f es continua en su dominio.

(b) f (R) = −π2

, π2, luego f es una función acotada.

(c) Es impar.

(d) Es estrictamente creciente.

Se puede obtener su grafo a partir del de de la función tangente.

-10 -5 5 10

Π

2

Π

2

Función exponencial

f ∶ R → R

x ex


(b) f (R) = (0, +∞), es decir, f (x) > 0 para todo x ∈ R.

(c) Es estrictamente creciente.

-3 -2 -1 1 2 3

5

10

15

20





Función logaritmo

Es la función inversa de la función exponencial.

f ∶ (0, +∞) → R

x y tal que ey= x (y = log x)


(b) f ((0, +∞)) = R, luego f no está acotada.

(c) f es estrictamente creciente.

Como es la inversa de la función exponencial, ya sabemos cómo es su gráfica.

1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

Función seno hiperbólico

f ∶ R → R

x ex − e−

x

2 = Sh x


(b) f (R) = R.

(c) Es impar

(d) Es estrictamente creciente.

24 2 4

20

10

20

10





Función coseno hiperbólico

f ∶ R → R

x ex + e−

x

2 = Ch x


(b) f (R) = [1, +∞), luego f está acotada inferiormente.

(c) Es par.

La gráfica correspondiente a esta función se llama catenaria.

http://www.fotomat.es/catenaria/

-1 -0.5 0.5 1

0.5

1

1.5

2

Función tangente hiperbólica

f ∶ R → R

x Sh x

Ch x = Th x


(b) Th x =ex − e−x

ex + e−x =

e2x − 1

e2x + 1 .

(c) f (R) = (−1, 1), luego f es una función acotada.

(d) Es impar

(e) Es estrictamente creciente.

-6 -3 3 6

-1

1







Función argumento del seno hiperbólico

f ∶ R → R

x y tal que Sh y = x (y = ArgSh x)

Es la función inversa de la función seno hiperbólico. Observa que está bien defi-nida, ya que Sh x es biyectiva.


(b) f (R) = R.

(c) Es impar y estrictamente creciente.

-10 -5 5 10

-3

-2

-1

1

2

3

Función argumento del coseno hiperbólico

f ∶

[1 + ∞

) →

[0, +∞

)x y tal que Ch y=x (y = ArgCh x)

Es la sta función inversa de la la restricción a [0, ∞) de la función coseno hiper-bólico.


(b) f [1, +∞) = [0, +∞) .

(c) Es estrictamente creciente.

2 4 6 8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3





Función argumento de la tangente hiperbólica Es la función inversa de de lafunción tangente hiperbólica.

f ∶ (−1, 1) → Rx y tal que Th y=x (y=ArgTh x)


(b) f ((−1, 1)) = R.

(c) Estrictamente creciente.

-1 -0.5 0.5 1

-2

-1

1

2

2.6. Otras funciones usuales

Función parte entera

f ∶ R → R

x [x] = max{n ∈ Z n ≤ x }(a) Dominio: R .

Es continua en R Z. En cada punto de Z, presenta una discontinuidad deno evitable de primera especie.

(b) f (R) = Z.

-2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2




2.6. Otras funciones usuales 79

Función valor absoluto

f ∶ R→ R

x x = x si x ≥ 0

−x si x < 0

(a) Dominio: R .

(b) Es continua en su dominio

(c) f (R) = [0, +∞).

1.0 0.5 0.5 1 .0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0




2.7. Ejercicios 81

2.7. Ejercicios

Conceptos básicos

1. (nivel 2 los dominios y nivel 3 las imágenes) Calcula el dominio y la imagen delas siguientes funciones

(a) f (x) = arctg(x − x2)(b) f (x) = arc cos(x2 − 1)(c) f (x) = cos

√ x2 − 1

(d) f

(x

) =√

sen x

(e) f (x) =x − 1

x2 − 2x + 8

(f) f (x) = log cos x − 1√

2

(g) f (x) = earcsen(cos(sen(x3+3x−8)))

(h) f (x) = 1√ 2 − x −

√ 2 + x

(i) f

(x

) = log

x2 + 1

x − 1

(j) f (x) = arccos x2 − 2x

3 − 4x

2. (nivel 3) Estudia la inyectividad de las siguientes funciones y calcula su funcióninversa cuando proceda

(a) x + 1

x + 2

(b) e−

x2

2

(c) 3√

x + 1

(d) arc cos x

x + 1

(e) x2+ 2x + 3

(f) 4

x + 2

2

(g) log x − 1

x + 1

(h) cos x + sen x

3. (nivel 1) Estudia si el dominio de las siguientes funciones es simétrico respectode 0 y, cuando proceda, si las funciones son pares o impares.

(a) x

x(b) log(ex2

x)(c)

x arctg x3

sen x cos x

(d) x2 − x

x3 − x2

(e) arctg(cos(sen(x2 tg x))))(f) x cos x2 − x2 sen x

(g) x3 + x2 + x + 1

(h) sen(x + 2)

x + 2

4. (nivel 2) Razona si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

(a) Si f es creciente, entonces f

2

es creciente.UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




(b) Si f y g son crecientes, y g(x) ≥ 0 ∀x, entonces f g es creciente.

(c) Si f es acotada superiormente, 1 + f 2 es acotada superior e inferiormente.

(d) Si f es periódica con periodo p, f (mx) es periódica con periodo pm (m > 0).(e) Si f y g son pares, entonces f g es par.

(f) Si f y g son impares, entonces f g es impar.

(g) Si f es par o impar, entonces f (0) = 0

Límites

5. (nivel 0) Calcula

(a) lımx→0

1x2

(b) lımx→−∞

x3 + 4x − 2

x2 + 5

(c) lımx→π

cos x − x

x + π

(d) lımx→2

x2 + 8x − 20

x2 − x − 2

(e) lımx→2

2

1

x − 2

(f) lımx→+∞

√ x3 + 1 −√ x3 + 4x2 − 1√ x + 1

(g) lımx→−∞

2x − 2

4

x − 2

2x + 1− 1

(h) lımx→1

2

−

1(x − 1)2

(i) lımx→0

log(1 + x)e− 1

x2


(a) lımx→1

ex2−2x+1 − 1

x3 − 3x + 2

(b) lımx→2

cos

(x − 2

)− 1

(x − 2

) sen

(2x − 4

)(c) lım

x→1

tg(arccos(x2 + x − 1))2x − 1

(d) lımx→1

4tg(2 arctg x)

(e) lımx→1−

(1 − x

)

1

1 − x

(f) lımx→1

log2 x

x − 1

(g) lımx→∞

x −√

x −√

x


(a) lımx→13x − 1

x + 1 x + 1

x − 1(b) lım

x→3+ 1

x − 3 x2 − x − 6

2x2 − 4x − 6




2.7. Ejercicios 83

(c) lımx→+∞

log(1 + log(1 + e−x))cos 1

x − 1

(d) lımx→0

log(1 + x)cos(ex2− 1) − 1

(e) lımx→4x2 − 3x − 3

x − 3 1

sen(x − 4)

(f) lımx→a

log x − log a

x − a (a > 0

)(g) lım

x→2(x − 2)8x 3

1

x − 2

(h) lımx→0

x cos x − x

sen x2

8. (nivel 3) Estudia por qué los siguientes límites no existen

(a) lımx→+∞

cos

(2x

)(b) lımx→1

xx2 − 1

(c) lımx→ 2

π

cos 2

x sen

1

πx − 2

(d) lımx→+∞

log(1 + x cos x)Continuidad

9. (nivel 3) Estudia si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

(a) Si f y g son discontinuas en un punto x0, entonces f + g es discontinua enx0.

(b) Si f es continua en x0, entonces f 5 es continua en x0.

(c) Si f es continua en x0, entonces √ f es continua en x0.

(d) Si existe el límite de f cuando x→ x0, entonces f es continua en x0.

(e) Los puntos de discontinuidad de las funciones log(x2) y de 2log x son losmismos

10. Estudia, según los valores de a y b la continuidad en R de las siguientes funciones

(a) (nivel 2) f

(x

) =

sen(b(x − 2))x − 2

, x ≠ 2

a − 1, x = 2

(b) (nivel 3) g(x) = x2 − 1

ax − 2, x ≠ −1

b x = −1

11. (nivel 2, salvo el apartado (f), que es de nivel 3) Halla los puntos de discontinuidadde las siguientes funciones. Clasifica las discontinuidades

(a) sen x2

x2(b)

x

x2 − 1





(c) x + 3

x2 − 3x + 2

(d) log x2 + 1

x − 1

(e) 2x

log x2 − 1

(f) 1, x ∈ Q

x, x ∈ R Q

12. (nivel 2) Halla las asíntotas de los grafos de las siguientes funciones

(a) x3 + 2x + 3

x2 + 4x − 5

(b) e−

x2

2

(c) x + 3

x − 2

(d) arc cos x

x2 + 1

(e) log x − 1

x + 1

(f) (x2 − 1)arctg x

x + 2

13. (nivel 3) Estudia si las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas.

(a) Si f, g son continuas en x0, entonces f + g + f − g

2 y

f + g − f − g)2

soncontinuas en x0.

(b) Si f es continua en R e Im

(f

) ⊂

−

π

2, π

2

entonces tg f es continua en R.

(c) Si f (x) es continua, lımx→∞

f (x) = 1, y lımx→−∞

f (x) = −1 entonces existe c ∈ R talque f (c) = 0

(d) Si f y g son discontinuas en x0, f

g es discontinua en x0 y, además, la dis-

continuidad es no evitable.

(e) Si f y g son continuas en (a, b), f (a) < g(a) y f (b) > g(b), entonces existec ∈ (a, b) tal que f (c) = g(c).

14. (nivel 2) Estudia la continuidad de la función

f (x) = arctg x2

sen2 x + x2 cos x

en el punto x0 = 0. Si f tiene en x0 una discontinuidad evitable, define la extensióncontinua de la función.

15. (nivel 2, salvo el (15e ), que es de nivel 3) Estudia la continuidad de las siguientesfunciones. Para las discontinuidades evitables, define la extensión continua de lafunción.




2.7. Ejercicios 85

(a) log(1 + sen4 x)2cos4 x + sen4 x

(b) x2 − 4

x3 + 2x2 − 7x − 2

(c) e−

2

x2

(d) sen x(π − 2x) cos x

(e) sen

xlog 1 + arctg

x16. (nivel 2) Demuestra que si f ∶ [0, 1] → [0, 1] es una función continua, entonces

existe c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c.

17. (nivel 3) Sean f y g dos funciones continuas definidas en el intervalo

[a, b

] tales

que f

(a

) < g

(a

) y f

(b

) > g

(b

). Demuestra que f

(x

) = g

(x

) para algún x ∈

[a, b

].

18. (nivel 3) Sea f ∶ [3, 5] → R una función continua tal que f (x) ≠ 4 para todox ∈ [3, 5] y f (3) = 3, demuestra que f (5) < 4.

19. (nivel 2) Demuestra que si una función es continua y no tiene ceros en un intervalocerrado [a, b], entonces no cambia de signo en ese intervalo.

20. (nivel 1) Dada f (x) = 1

x2 − 9, halla sus puntos de discontinuidad y sus asíntotas.

21. (nivel 2) Consideremos la función f

(x

) =

x

sen x. Comprueba que f

(π3

) > 0 y que

f (4π3 ) < 0. Comprueba también que no existe c ∈ π

3 , 4π

3 tal que f (c) = 0. Explicapor qué esto no contradice el teorema de Bolzano.

22. (nivel 1) Sean x, y ∈ R, ε > 0, demuestra que

(a) 2xy ≤ x2 + y2(b) 2xy ≤

x2

ε + εy2





2.8. Algunas soluciones e indicaciones

Conceptos básicos

1. (a) Dominio R, imagen −π2

, arctg 14.

(b) Dominio −√

2,√

2, imagen [0, π].(c)

(d)

(e)

(f) Dominio

−

π

4 + 2kπ,

π

4 + 2kπ

, k ∈ Z, imagen

−∞, log

1 −

√ 2

2

.

(g)

(h)

(i)

(j) Dominio −3, 3 −√

6 ∪ 1, 3 +√

6, imagen [0, π].2. (a) Dominio R {−2}, Imagen R {1}.

f −1∶ R {1} → R {−2}

y 1 − 2y

y − 1

(b) f no es invectiva. Como extra, se puede estudiar qué ocurre si tomamos larestricción de f al intervalo [0, +∞).

(c) Dominio R, Imagen R.

f −1∶ R→ R

y y3− 1

(d)

(e)(f)

(g) Tenemos que Domf = (−∞, −1) ∪ (1 + ∞), Imf = R {0} y

f −1∶ R {0}→ (−∞, −1) ∪ (1 + ∞)

y 1 + ey

1 − ey⋅

(h) f no inyectiva. Como extra, se puede puede estudiar qué ocurre si tomamos

la restricción de f al intervalo π

4

, 5

4

π.UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




3. (a) D es simétrico respecto de 0 y f es impar.

(b) El dominio no es simétrico respecto de 0.

(c) D es simétrico respecto de 0 y f es impar.(d) El dominio no es simétrico respecto de 0.

(e) D es simétrico respecto de 0 y f es par

(f) D es simétrico respecto de 0 y f no es par ni impar.

(g) D es simétrico respecto de 0 y f no es par ni impar.

(h) El dominio no es simétrico respecto de 0.

4. (a) Falsa.

(b) Falsa.

(c) Falsa.

(d) Verdadera.

(e)

(f)

(g)

Límites

5. (a) +∞

(b) −∞.

(c) −1 + π

2π .

(d) 4.

(e) No existe.(f) −2.

(g) −2.

(h) 0.

(i) 0.

6. (a) 1

3.

(b) −1

4

.

(c) 0.

(d) No existe.

(e) 0.

(f) 1

log2

.

(g) −12.

7. (a) e2.

(b) +∞.

(c) 0.

(d) 0.

(e) e4.

(f) 1a

.

(g) No existe.

(h) No existe.

8. (a) Basta tomar las sucesiones an = nπ y bn =π

4 + nπ.





(b)

(c)

(d)

Continuidad

9. (a) Falsa.

(b) Verdadera.

(c)

(d) Falsa.

(e) Falsa.

10. (a) Si b = a − 1, g es continua en R. Si b ≠ a − 1, g es continua en R {2} ydiscontinua en 2.

(b) Si a = 0

Si b = 0, g es continua en R Si b ≠ 0, g es continua en R {−1} y discontinua en −1.

Si a = −2

Si b = 1, g es continua en R

Si b ≠ 1, g es continua en R {−1} y discontinua en −1. Si a ≠ −2, 0

Si b = 0, g es continua en R 2

a y discontinua en

2

a

Si b ≠ 0, g es continua en R −1, 2

a y discontinua en −1 y en

2

a

11. (a) Continua en R {0}. Discontinuidad evitable en x = 0.

(b)

(c) Continua en R

{1, 2

}. Discontinuidades no evitables de primera especie en

x = 1, 2.(d)

(e) Domf = (−∞, −√

e) ∪ (−√

e, 0) ∪ (0,√

e) ∪ (√ e, +∞) y f tiene una discon-tinuidad evitable en x0 = 0 y dos discontinuidades no evitables del primeraespecie, una en x1 = −

√ e y la otra en x2 =

√ e.

12.

13.

14.UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.




Tema 3

Calculo diferencial en R

Vamos a dedicar 10 horas de clase a este capítulo. Debes resolver por tu cuenta losejercicios que no hayan sido resueltos en clase. No todos los ejercicios tienen la mismadificultad, los ejercicios están etiquetados como en los capítulos anteriores. Para ampliarestos apuntes puedes consultar [1], [2],[3].

3.1. Introducción

En este capítulo vamos a analizar cómo medir la variación de una función cerca de unpunto dado. Este estudio, en términos físicos, dará lugar a conceptos como velocidady aceleración; en términos geométricos dará lugar al concepto de tangencia.

La recta tangente a una circunferencia en un punto P se define como la única rectaque corta a la circunferencia únicamente en el punto P se puede dibujar de formasencilla, basta con trazar por P la recta perpendicular al radio que une el centro de lacircunferencia y el punto P .

Para una curva en el plano R2 más general, ya no es tan sencillo definir la rectatangente en un punto. Diremos brevemente, que esa dicha tangente es el "limite derectas secantes" (cuando exista). Si la curva es el grafo de una función f , entonces elconcepto de derivada nos ayudará a encontrar la ecuación de la recta tangente en unpunto.

3.2. Derivada de una función en un punto y función derivada

Definición 3.2.1. Sea D ⊂ R, se define el interior de D, denotado Do como

D

○∶= {x

∈

R ∃ε >

0 tal que (x−

ε, x+

ε) ⊂ D } .

91



92 Cálculo diferencial en R

.

P

t

t?

Figura 3.1. El problema de la tangente

Intuitivamente, si x ∈ D○ entonces x está “completamente rodeado” por puntos de D

Nota 3.2.2. Observemos que D○ ⊂ D. Para los intervalos I de la forma

(a, b

),

[a, b

),

(a, b] y [a, b], se tiene que I ○ = (a, b); para los intervalos de la forma (a, +∞) y [a, +∞),I o = (a, +∞), y para los de la forma (−∞, b) y (−∞, b], I o = (−∞, b).Definición 3.2.3. Sea D ⊂ R y sea x0 ∈ D, se dice que x0 es un punto aislado de D si

∃δ > 0 tal que (x0 − δ, x0 + δ ) ∩ D = {x0}.

(Intuitivamente, "cerca" de x0 no hay ningún punto de D distinto del propio x0).

Ejemplo 3.2.4. Sea D =

[1, 2

]∪

{3, 4

}. Tenemos que 3 y 4 son puntos aislados de D.

Nota 3.2.5. En lo que sigue, consideraremos siempre conjuntos D sin puntos aislados.

Nota 3.2.6. Los intervalos son conjuntos sin puntos aislados.

Definición 3.2.7. Sean D ⊂ R, x0 ∈ D y f ∶ D → R, se dice que f es derivable en x0 si

lımx→x0

f (x) − f (x0)x − x0

(3.1)

existe y es real. En tal caso, dicho límite se denota f ′

(x0

) y se llama derivada de f

en x0.

f (x) − f (x0)

x − x0

x0 x

f (x)

f (x0) P

Qx




3.2. Derivada en un punto y función derivada 93

Nota 3.2.8. Si llamamos h = x − x0 , entonces el límite (3.1) se puede expresar tambiéncomo

f ′(x0) = lımh→0

f

(x0 + h

)− f

(x0)h . (3.2)

Ejemplo 3.2.9. Vamos a calcular la derivada de de la función f (x) = x2 en el punto

x0 = 1:

f ′(1) = lımx→1

f (x) − f (1)x − 1

= lımx→1

x2 − 1

x − 1 = lım

x→1(x + 1) = 2 .

Ejemplo 3.2.10. Veamos que f (x) = x no es derivable en x0 = 0. En efecto,

lımx→0+

f (x) − f (0)x − 0

= lımx→0+

x

x = lım

x→0+1 = 1 ,

lımx→0−

f (x) − f (0)x − 0

= lımx→0−

−x

x = lım

x→0−(−1) = −1 .

Definición 3.2.11. Sea D ⊂ R y sea f ∶ D → R, se dice que f es derivable en D si f

es derivable todos de los puntos de D.

Definición 3.2.12. Sea D ⊂ R, tal que f es derivable en D. Definimos una función:

f ′ ∶ D → R

x f ′(x)La función f ′ se llama función derivada de f , o, si no hay lugar a la confusión, simple-mente derivada de f .

Ejemplo 3.2.13.

1. La función f

(x

) = xn es derivable en R. En efecto, para cada punto x0 ∈ R la

derivada es f ′

(x0

) = n xn−1

0 . La función derivada f ′ está definida en R como

f ′(x) = n xn−1 .

2. La función f (x) = sen x es derivable en R. En efecto, para cada punto x0 ∈ R la

derivada es f ′(x0) = cos x0. La función derivada f ′ está definida en R como

f ′(x) = cos x .

Ejercicio 3.2.14. Utilizando la definición 3.2.7, demostrar que si una función f esconstante, es decir, f (x) = k para todo x ∈ R, entonces f ′(x0) = 0 para cualquier x0.





Ejercicio 3.2.15. Utilizando la definición 3.2.7, calcular:

1. f ′(2.5) para la función f (x) = 4x − x2.

2. f ′(a) para la función f (x) = xn.

Procediendo de forma análoga se obtiene la función derivada de cada una de las fun-ciones elementales estudiadas en la sección 2.5 del capítulo anterior. En la tabla 3.1 semuestran las derivadas de las funciones elementales. 1

f (x) = xa a ∈ R f ′(x) = a xa−1

f (x) = ex f ′(x) = ex

f (x) = log x f ′(x) = 1

x

f

(x

) = sen x f ′

(x

) = cos x

f (x) = cos x f ′(x) = − sen x

f (x) = tg x f ′(x) = 1

cos2 x

f (x) = arcsen x x ∈ (−1, 1) f ′(x) = 1√ 1 − x2

f (x) = arccos x x ∈ (−1, 1) f ′(x) = −1√ 1 − x2

f (x) = arctg x f ′(x) = 1

1 + x2

Tabla 3.1. Derivadas de las funciones elementales

1

Los arcos están en radianes





Ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva en un punto

La recta tangente a una curva en un punto P es el límite (si existe) de cualquier familiade rectas secantes {sx} que pasan por los puntos de la gráfica P y Qx = (x, f (x)),cuando Qx tiende a P (véase la figura 3.2).

La recta tangente al grafo de una función f en un punto P = (x0, f (x0)), es la rectaque pasa por P con pendiente f ′(x0). Su ecuación es

y = f (x0) + f ′(x0) (x − x0) .

P

Qx

sx

t

Qx

x→a

−→P

sx

x→a

−→ t

Figura 3.2. La tangente como límite de secantes

En efecto, para cada punto Qx, la secante que pasa por P y Qx tiene pendiente

f

(x

)− f

(x0

)x − x0

, (3.3)

y, por tanto, la recta límite tendrá por pendiente

lımx→x0

f (x) − f (x0)x − x0

= f ′(x0) .

La recta normal a una curva en un punto P es la recta que pasa por P y es perpendiculara la recta tangente. Dadas dos rectas perpendiculares, si ninguna de ellas es vertical,el producto de sus pendientes es −1. Si la curva es el grafo de una función f en elpunto P = (x0, f (x0)), y si f ′(x0) ≠ 0, la recta normal tendrá pendiente −1f ′(x0). Suecuación es

y =

f (x0) − 1

f ′(x0) (x −x0) .

Ejemplo 3.2.16. Calculamos las ecuaciones de las rectas tangente y normal al grafode f (x) = x2 en el punto P = (1, f (1)). En el ejemplo 3.2.9, hemos obtenido f ′(1) = 2.Por tanto, la ecuación de la recta tangente será

y = f (1) + f ′(1) (x − 1) → y = −1 + 2x ,

y la ecuación de la recta normal será

y = f

(1

)−

1

f ′(1) (x − 1

) → y =

−1

2 x +

3

2 .





Ejercicio 3.2.17. Hallar la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de:

1. f (x) = 4x − x2

en el punto P = (2.5, f (2.5)).2. f (x) = xn en el punto P = (x0, f (x0)).

-1 1 2 3 4 5

-3

-2

-1

1

2

f ′+(1)

f ′−(1)

f

Figura 3.3. f ′+(1) ≠ f ′

−(1)

Nota 3.2.18. El grafo de una función f continua en un punto x0 pero no derivableen él suele reconocerse a simple vista. Estos puntos suelen llamarse picos, o puntos

angulosos. Un ejemplo se muestra en la figura 3.3.

Ejercicio 3.2.19. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntosque se indican:

a) f (x) = x2 − 3x + 2, en x0 = 2 .

b) f (x) = x, en x0 ∈ Z .

Continuidad y derivabilidad

Proposición 3.2.20. Sea D ⊂ R y consideremos una función f ∶ D → R. Sea x0 ∈ D.Si f es derivable en x0, entonces f es continua en x0.

f derivable en x0 ⇒ f continua en x0

Demostración. Tenemos que probar que

lımx→x0

f (x) = f (x0) ,





o, lo que es lo mismo,lım

x→x0

f

(x

)− f

(x0

) = 0 .

Realizamos los siguientes cálculos,

lımx→x0

f (x) − f (x0) = lımx→x0

f (x) − f (x0)x − x0

(x − x0)= lım

x→x0

f (x) − f (x0)x − x0

lımx→x0

(x − x0) = f ′(x0) ⋅ 0 = 0 .

Como f es derivable en x0, el primer límite del producto existe y es real. En otro caso,no podríamos asegurar que el límite del producto es cero (véase la tabla 2.2).

Nota 3.2.21. Según la proposición 3.2.20 la continuidad en un punto es condición ne-cesaria para que una función sea derivable en dicho punto. Dicha condición no essuficiente, es decir, en un punto una función puede ser continua y no derivable.

Ejemplo 3.2.22.

1. La función f de la figura 3.3 es continua en x0 = 1 y no es derivable en dicho

punto.

2. La función f (x) = x es continua en R y, por tanto, en x0 = 0, y no es derivable

en dicho punto.

3. Las siguientes funciones no son derivables en el origen:

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

5

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

Ejercicio 3.2.23. Estudiar la derivabilidad de las siguientes funciones en los puntos

que se indican:

a) f (x) = 1x, en x0 = 0.

b) f (x) = 3√

x − 1, en x0 = 1.

c) f (x) = 3

√ x2, en x0 = 0.





3.2.1. Reglas de derivación

En la sección 2.2 definimos varias operaciones con funciones (suma, producto por unescalar, producto y cociente). Vamos a estudiar cómo es la derivada de estas nuevasfunciones.

Proposición 3.2.24. Sea D ⊂ R y consideremos dos funciones f, g ∶ D → R. Sea

x0 ∈ D. Si f y g son derivables en x0 entonces:

a) La función suma s = f + g es derivable en x0. Además,

s′

(x0

) = f ′

(x0

)+ g′

(x0

).

b) Si λ ∈ R, entonces la función h = λf es derivable en x0. Además,

h′(x0) = λf ′(x0).c) La función producto p = f ⋅ g es derivable en x0. Además,

p′

(x0

) = f ′

(x0

)g

(x0

)+ f

(x0

)g′

(x0

).

d) Si g(x0) ≠ 0, entonces la función cociente c = f g es derivable en x0. Además,

c′(x0) = f ′(x0)g(x0) − f (x0) g′(x0)g(x0)2

.

En la sección 2.2 también vimos las definiciones de función compuesta y función inversa.Veamos qué ocurre con estas funciones respecto a la derivación.

Proposición 3.2.25. (Regla de la cadena)Sean D1, D2 ⊂ R y consideremos las funciones f ∶ D1 → R y g ∶ D2 → R , con f

(D1

) ⊂

D2 , tales que f es derivable en x0, y g es derivable en f (x0). Entonces la función h = g ○ f es derivable en x0. Además,

h′(x0) = g′(f (x0)) ⋅ f ′(x0) (3.4)

Ejercicio 3.2.26. Obtener una expresión análoga a (3.4) para la composición de tresfunciones.

Nota 3.2.27. La tabla 3.1 junto con la proposición 3.2.25 dan lugar a la tabla 3.2.





f (x) = u(x)a a ∈ R f ′(x) = a u(x)a−1 u′(x)

f (x) = eu(x) f ′(x) = u′(x) eu(x)

f (x) = log (u(x)) f ′(x) = u′(x)u(x)

f (x) = sen (u(x)) f ′(x) = u′(x) cos (u(x))

f (x) = cos (u(x)) f ′(x) = −u′(x) sen (u(x))

f (x) = tg (u(x)) f ′(x) = u′(x)cos2 (u(x))

f (x) = arcsen (u(x)) u(x) ∈ (−1, 1)∀x f ′(x) = u′(x) 1 − u(x)2

f (x) = arccos (u(x)) u(x) ∈ (−1, 1)∀x f ′(x) =

−u′

(x) 1 − u(x)2

f (x) = arctg (u(x)) f ′(x) = u′(x)1 + u(x)2

Tabla 3.2. Derivada de funciones compuestas

Teorema 3.2.28. (Derivada de la función inversa)

Sea D ⊂ R y consideremos una función inyectiva f ∶ D → R. Sea x0 ∈ D y supongamos que f es derivable en x0 , con f ′(x0) ≠ 0. Entonces la función inversa f −1 ∶ f (D) → R

es derivable en f (x0). Además,

(f −1)′(f (x0)) = 1

f ′(x0) (3.5)

Ejemplo 3.2.29. Utilizaremos el teorema 3.2.28 para obtener la derivada de la función

g(x) = n

√ xUPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




en un punto x0 > 0. Para ello consideramos su inversa, la función f (y) = yn. Del ejercicio3.2.15 tenemos que

f ′(y0) = n y

n−1

0 .

Teniendo en cuenta que también g = f −1,

g′(x0) = 1

f ′(g(x0)) = 1

f ′( n√ x0) = 1

n( n√ x0)n−1 =

1

n n

xn−1

0

.

Nota 3.2.30. Las derivadas de las funciones arcoseno, arcocoseno, arcotangente y loga-ritmo pueden obtenerse a partir de las derivadas del seno, coseno, tangente y exponen-cial, respectivamente. El resultado obtenido es el que aparece en la tabla 3.1.

3.2.2. Derivadas de orden superior

En la definición 3.2.12, a partir de una función f , hemos definido la función derivadaf ′ Si la función f ′ es, a su vez, derivable, podemos definir su derivada (f ′)′. La función(f ′)′ se denota f ′′ y se llama función derivada segunda. En general f (n) ∶= (f (n−1))′ sellama función derivada n-ésima de f .

Ejemplo 3.2.31. La función f (x) = x3 es derivable en R; su derivada primera es

f ′

(x

) = 3x2. Esta función también es derivable en R; su derivada es f ′′

(x

) = 6x .

-1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

1

2

3

4

5

f (x) = x3

-1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

1

2

3

4

5

f ′(x) = 3x2

-1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

1

2

3

4

5

f ′′(x) = 6x

3.3. Máximos y mínimos de una función

3.3.1. Máximos y mínimos relativos

Definición 3.3.1. Sean D ⊂ R, x0 ∈ D y f ∶ D → R, se dice que

f tiene un un máximo relativo o local en x0 si

∃δ >

0 tal que f (x) ≤ f (x0) ∀x ∈ (x0

−δ, x0

+δ ) ∩

D .




3.3. Máximos y mínimos 101

(intuitivamente, si f (x) ≤ f (x0) para todo x "suficientemente cerca de" x0)

f tiene un un mínimo relativo o local en x0 si

∃ δ > 0 tal que f (x0) ≤ f (x) ∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ ) ∩ D .

(intuitivamente, si f (x0) ≤ f (x) para todo x "suficientemente cerca de" x0)

Se dice que f tiene un extremo relativo en x0 si f tiene un máximo relativo en

x0 o f tiene un mínimo relativo en x0.

Ejemplo 3.3.2. La función de la figura siguiente tiene un mínimo relativo en el punto b,

y dos máximos relativos en los puntos a y c . Si el dominio de la función es I =

[d1, d2

],

de acuerdo con la definición 3.3.1, también hay dos mínimos relativos en d1 y d2.

a b c

f(a)

f(b)

f(c)

d1

d2

Proposición 3.3.3. Sea D ⊂ R y consideremos una función f ∶ D → R. Sea x0 ∈ D○

tal que f es derivable en x0. Si f tiene un extremo relativo en x0, entonces f ′(x0) = 0.

Definición 3.3.4. Sea D ⊂ R y consideremos una función f ∶ D → R. Sea x0 ∈ D○

y supongamos que f es derivable en x0. Diremos que x0 es un punto crítico de f si

f ′(x0) = 0.

Observemos que el recíproco de la proposición 3.3.3 no es cierto. Una función que

tenga un punto crítico en x

0 no tiene por qué alcanzar un máximo o mínimo local enél. Veamos un contraejemplo.

Ejemplo 3.3.5. La función f (x) = x3 tiene un punto crítico en 0, ya que f ′(0) = 0.Sin embargo, en ese punto f no tiene un extremo relativo.

-1 -0.5 0.5 1 1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2 f





Localización de extremos relativos

Sean D ⊂

R y f ∶

D → R, teniendo en cuenta la proposición 3.3.3, los puntos candidatosa extremo relativo de f en D son:

los puntos x0 ∈ Do en los que f ′(x0) = 0

los puntos x1 ∈ Do en los que f no es derivable

los puntos x2 ∈ D Do

Ejemplo 3.3.6.

a) La función

f (x) = (x − 1)2 , si x < 1 ,

x − 1 , si x ≥ 1 ,

no es derivable en x0 = 1 (véase el grafo de la izquierda en la figura 3.4) y en ese

punto f tiene un extremo relativo.

-1 1 2 3

1

2

3

4

f

-1 1 2 3

-2

-1

1

2

3

4

g

Figura 3.4. f y g no derivables en x = 1

b) La función

g

(x

) =

(x − 1)2 , si x < 1 ,

−

(x − 1

), si x ≥ 1 ,

no es derivable en x0 = 1 (véase el grafo de la derecha). En ese punto, g no tiene unextremo relativo.

De momento, para estudiar si los puntos son máximos o mínimos relativos tenemos queusar la definición 3.3.1. Más adelante, en la sección 3.5, veremos un criterio sencillo(teorema 3.5.5) para determinar si un punto crítico es máximo o mínimo relativo.

Ejercicio 3.3.7. Determinar los extremos relativos de las siguientes funciones:

a

) f

(x

) = x e1x , b

) g

(x

) = x23 − 2x .




3.3. Máximos y mínimos 103

3.3.2. Máximos y mínimos absolutos

Definición 3.3.8. Sean D ⊂ R, x0 ∈ D y f ∶ D → R, se dice que

f tiene un un máximo absoluto en x0 si

f (x) ≤ f (x0) ∀x ∈ D .

f tiene un un mínimo absoluto en x0 si

f (x0) ≤ f (x) ∀x ∈ D .

Se dice que f tiene un extremo absoluto en x0 si f tiene un máximo absoluto en

x0 o f tiene un mínimo absoluto en x0.

Sea f ∶ [a, b] → R una función continua en [a, b]. Por el teorema de Weierstrass sabemosque existe un punto c ∈ [a, b] tal que

f (c) = max{f (x) x ∈ [a, b]} ,

y un punto d ∈ [a, b] tal que

f

(d

) = mın

{f

(x

) x ∈

[a, b

]}.

Diremos que f alcanza el máximo absoluto en c, y que su valor máximo es f

(c

).

Análogamente, diremos que f alcanza el mínimo absoluto en d, y que su valor mínimoes f (d). Cuando deseemos referirnos de forma indistinta a un máximo o a un mínimoabsolutos hablaremos de extremos absolutos.

Localización de extremos absolutos

Dada f ∶ [a, b] → R continua en [a, b], los puntos candidatos a extremo absoluto son:

Los extremos relativos de f en

(a, b

) a

b

Evaluaremos f en estos puntos y en los que f tome mayor valor, serán los puntos demáximo absoluto, y donde f tome el menor valor, serán los puntos de mínimo absoluto.

Alternativamente, si no necesitamos calcular los extremos relativos de f , sino sólo losabsolutos:

Dada f ∶ [a, b] → R continua en [a, b], los puntos candidatos a extremo absoluto son:





Los puntos x0 en (a, b) tales que f ′(x0) = 0 (sin comprobar si son o no extremosrelativos)

Los puntos x1 en (a, b) tales que f no es derivable en x1 (sin comprobar si son ono extremos relativos)

a

b

Evaluaremos f en estos puntos y en los que f tome mayor valor, serán los puntos demáximo absoluto, y donde f tome el menor valor, serán los puntos de mínimo absoluto.

Ejercicio 3.3.9. Determinar los extremos absolutos de las siguientes funciones:

a) f (x) = xe1x en el intervalo [1e, 5] ,

b) g(x) = x23

− 2x en el intervalo [−1, 1] .

Nota 3.3.10. Si D ⊂ R no es un intervalo cerrado o f ∶ D → R no es una funcióncontinua en D, la localización de extremos absolutos es más complicada, ya que ni

siquiera tenemos garantías de que los extremos absolutos se alcancen. Habrá que añadiral estudio los puntos de discontinuidad de f , los puntos de D′ y calcular diversos límitesy límites laterales.

3.4. Resultados clásicos sobre derivabilidad

Teorema 3.4.1. (Teorema de Rolle)Sea f ∶ [a, b] → R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f (a) =f (b). Entonces existe un punto x0 ∈ (a, b) tal que f ′(x0) = 0 .

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

f (1) = f (3)

f ′(2) = 0

Figura 3.5. Teorema de Rolle

Si prescindimos de alguna de las hipótesis del teorema, el resultado no tiene por qué

ser cierto (véase la figura 3.6).Semestre de primavera, curso 2014/2015



3.4. Resultados clásicos sobre derivabilidad 105

0.5 1 1.5 2

-10

7.5

-5

2.5

2.5

5

7.5

10

f (0) = f (2) g(1) = g(3)0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Figura 3.6. No se verifican las hipótesis del teorema de Rolle

Teorema 3.4.2. (Teorema del valor medio de Lagrange)

Sea f ∶

[a, b

]→ R una función continua en

[a, b

] y derivable en

(a, b

). Entonces existe

un punto x0 ∈ (a, b) tal que

f ′(x0) = f (b) − f (a)b − a

.

Demostración. Basta con aplicar el teorema de Rolle a la función φ definida como

φ(x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a)

b − a (x − a) .

Observa que el teorema del valor medio de Lagrange asegura la existencia de, al menos,

un punto en el que la derivada coincide con la pendiente de la recta secante pasando por(a, f (a)) y (b, f (b)). Puede haber más puntos en el intervalo [a, b] con esa derivada.Por ejemplo, en la figura siguiente

x0a b

se aprecian tres puntos en los que la recta tangente es paralela a la recta secante.

En términos físicos, el teorema del valor medio tiene una interpretación bastante in-tuitiva: si f (t) representa la posición en el instante t de una partícula, la función f ′(t)representa la velocidad en el instante t. La velocidad media viene dada por

f (b) − f (a)b − a

.

El teorema de valor medio de Lagrange asegura la existencia de, al menos, un momento

tc en el que la velocidad instantánea coincide con la velocidad media.UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




En el ejercicio 3.2.14 vimos que, si una función f es constante, su derivada es cero. Siel dominio de la función es un intervalo, entonces el recíproco también es cierto.

Proposición 3.4.3.

a) Sea f ∶ [a, b] → R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), con f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b). Entonces f es constante en el intervalo [a, b] .

b) Sean f , g ∶ [a, b]→ R dos funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b), con f ′(x) = g′(x) para todo x ∈ (a, b). Entonces f y g difieren en una constante (véase la figura siguiente).

-1 1 2 3

-2

2

4

6

f ′(x) = g′(x)

-1 1 2 3

-2

2

4

6

f (x) − g(x) = c ∀ x ∈ (a, b)

c

c

f

g

Nota 3.4.4. La proposición 3.4.3 también es cierta si en vez de considerar el intervalo

[a, b

] se toma un intervalo I cualquiera. En este caso, tenemos que poner I ○ en lugar

de (a, b).3.5. Crecimiento de una función. Máximos y mínimos relativos

En la sección 2.1 definimos las funciones crecientes/decrecientes y las estrictamentecrecientes/decrecientes. Si una función es derivable, conociendo el signo de la derivada,podemos obtener información acerca del crecimiento/decrecimiento de la función.

Proposición 3.5.1. Sea f ∶ [a, b] → R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b).

1. Si f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f es creciente en [a, b].2. Si f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f es estrictamente creciente en [a, b].3. Si f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f es decreciente en [a, b] .

4. Si f ′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b) entonces f es estrictamente decreciente en [a, b].Semestre de primavera, curso 2014/2015



3.5. Crecimiento. Máximos y mínimos 107

Nota 3.5.2. La proposición 3.5.1 también es cierta si en vez de considerar el intervalo

[a, b

] se toma un intervalo I cualquiera. En este caso, tenemos que poner I ○ en lugar

de (a, b).El resultado anterior permite determinar de una forma sencilla los intervalos de cre-cimiento y decrecimiento de una función derivable. Para ello, resolvemos la ecuaciónf ′(x) = 0. Con las raíces obtenidas separamos el dominio en intervalos y estudiamos elsigno de f ′(x) en cada uno de estos intervalos.

Habrá que tener especial cuidado con las funciones no derivables en algún punto. Ental caso, además de considerar las raíces de f ′(x) = 0, habrá que tener en cuenta lospuntos en los que no exista la derivada.

Ejemplo 3.5.3. La función f de la figura 3.7 es continua en R y derivable en R{1, 92}.Se tiene que f ′(x) = 0 en x = 52

y en x = c. Utilizamos los puntos {1, 52

, 92

, c} paradelimitar los intervalos de crecimiento, y en cada intervalo evaluamos la derivada paracomprobar su signo. De esta forma obtenemos:

x ∈ (−∞, 1) → f ′(x) > 0

x ∈ (1, 52) → f ′(x) < 0

x ∈

(5

2, 9

2

) → f ′

(x

) > 0

x ∈ (92, c) → f ′(x) > 0

x ∈ (c, +∞) → f ′(x) < 0

Por tanto, f es creciente en los intervalos (−∞, 1) y (52, c) , y decreciente en losintervalos (1, 52) y (c, +∞).

1 2 3 4 c 6

1

3

5

Figura 3.7. Intervalos de crecimiento y decrecimiento

Podemos utilizar la proposición 3.5.1 para demostrar que siempre que la derivada

cambia de signo, se tiene un extremo relativo.UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




Teorema 3.5.4. Sea f ∶ [a, b]→ R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b),excepto quizás en un punto c ∈

(a, b

).

1. Si f ′(x) > 0 para todo x < c y f ′(x) < 0 para todo x > c, entonces f tiene unmáximo relativo en c.

2. Si f ′(x) < 0 para todo x < c y f ′(x) > 0 para todo x > c, entonces f tiene unmínimo relativo en c.

Observemos que este resultado es válido para los puntos críticos y también para lospuntos en los que f es continua y no derivable.

Según el teorema anterior, para estudiar si x0 es un punto de extremo relativo, hemosde comprobar los signos de f ′(x) a la izquierda y a la derecha de x0. Este estudio sepuede simplificar si existe la derivada segunda de f y su cálculo es sencillo.

Teorema 3.5.5. Sea f ∶ [a, b]→ R una función continua en [a, b] y derivable en (a, b).Sea x0 un punto crítico de f . Supongamos que f ′ es derivable en x0. Entonces,

1. Si f ′′(x0) < 0, f tiene un máximo relativo en x0.

2. Si f ′′

(x0

) > 0, f tiene un mínimo relativo en x0.

3.6. Cálculo de límites

En el cálculo de límites de expresiones del tipo f (x)g(x) , algunas indeterminaciones pueden

resolverse utilizando derivadas.

Proposición 3.6.1. (Regla de L’Hôpital)Sean f , g ∶

(a, b

)→ R, derivables en

(a, b

), y x0 ∈ I . Supongamos que en el cálculo del

límite lım

x→x0

f (x)g(x) (3.6)

obtenemos una indeterminación del tipo 00 ó ∞∞. Si existe

lımx→x0

f ′(x)g′(x) , (3.7)

entonces también existe el límite ( 3.6 ) y además

lımx→x0

f

(x

)g(x) = lım

x→x0

f ′

(x

)g′(x) .




3.7. Resolución numérica de ecuaciones no lineales 109

El resultado también es válido si x → −∞ ó x→ +∞.

Si en la expresión (3.7) se vuelve a presentar una indeterminación del tipo ∞

∞ ó 0

0,

y se verifican las condiciones de la regla de L’Hôpital, ésta se puede volver a aplicar.

Ejemplo 3.6.2. Deseamos hallar

lımx→0

sen x

x .

Como existe

lımx→0

cos x

1 = 1 ,

aplicando la regla de L’Hôpital obtenemos que

lımx→0

sen x

x = lımx→0

cos x

1 = 1.

Nota 3.6.3. Si, en la proposición 3.6.1, el límite (3.7) no existe, entonces no podemos

decir nada acerca de la existencia del límite (3.6)

Ejemplo 3.6.4. Sean f (x) = x + sen x y g(x) = 2x + cos x. Tenemos que

∃ lımx→+∞

f ′(x)g′(x)

y

lımx→+∞

f

(x

)g(x) =1

2 .

Ejemplo 3.6.5. Al intentar aplicar la proposición 3.6.1 también puede pasarnos algo

así:

http://gaussianos.com/un-ejemplo-de-lo-peligroso-que-es-la-dependencia-de-la-regla-de-lhopital/

3.7. Resolución numérica de ecuaciones no lineales

Ejemplo 3.7.1. Vamos a intentar encontrar una solución a la ecuación cos x = x. Enla figura 3.8 tenemos los grafos de x y de cos x en el intervalo [0, 2]. En esa figura se

puede apreciar que existe una única solución en [0, 2] de dicha ecuación. Si llamamos

f (x) = cos x − x, el problema anterior se puede reformular como encontrar una soluciónde f (x) = 0 en el intervalo [0, 2]. Combinando adecuadamente los teoremas de Bolzano

y de Rolle, es sencillo justificar que f (x) = 0 tiene una única solución en [0, 2]. Tam-bién se aprecia esto en la figura 3.9. Sin embargo no es tan sencillo averiguar cuál esesa solución. De hecho, no "podemos" calcular esta solución. Vamos a aprender cómo

aproximarla adecuadamente.UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación






Figura 3.8. Grafos de las funciones x y cos x en el intervalo [0, 2]Definición 3.7.2. Consideremos una función f ∶ I ⊂ R → R. Los puntos s ∈ R talesque

f (s) = 0 ,

se llaman ceros de la función f o raíces de la función f .

Para muchas funciones, por ejemplo, los polinomios de grado menor o igual que tres,existen fórmulas para hallar todos sus ceros de forma exacta. Sin embargo, para lamayoría de las funciones tales fórmulas no existen y tenemos que conformarnos conaproximaciones de las raíces mediante algún método numérico. En este tema estudia-remos métodos numéricos para calcular raíces de ecuaciones no lineales de la forma

f (x) = 0 .

Gráficamente, calcular los ceros de una función f , es hallar la intersección entre larecta y = 0 y la curva y = f

(x

). En la siguiente figura vemos el cero de la función

f (x) = x − e−x

.

0.5 1 1.5 2

-1

-0.5

0.5

1

1.5

Así como una función lineal f

(x

) = ax − b, con a ≠ 0, tiene siempre una única raíz,

s =

b

a , las soluciones de ecuaciones no lineales pueden ser muy variadas. Por ejemplo,Semestre de primavera, curso 2014/2015




Figura 3.9. Grafo de la función f (x) = x − cos x en el intervalo [0, 2]la ecuación x2 + 1 = 0 no tiene ninguna raíz real, x − e−x

= 0 tiene una única raíz,x2 + 3x + 2 = 0 tiene dos raíces, mientras que cos x −

12 = 0 tiene infinitas raíces.

Antes de plantear un método de aproximación de raíces, hemos de estudiar si el pro-blema posee solución única. En el caso en que haya más de una raíz, tenemos quelimitar el intervalo de trabajo de tal forma que en éste la raíz sea única. En otro caso,el método de aproximación utilizado puede proporcionar una solución no deseada.

Los métodos que vamos a usar para resolver numéricamente ecuaciones no lineales sonlos llamados métodos iterativos: partir de m valores iniciales x0, . . . , xm−1 construimosuna sucesión

xm , xm+1 , xm+2 , . . . , xk0−1 , xk0 , xk0+1 , . . . ,

tal que xn → s, cuando n → ∞, siendo s la raíz de la ecuación no lineal que deseamosaproximar.

Con un ordenador no es posible calcular los infinitos términos de la sucesión

(xn

)n∈N.

Por ello, con los métodos iterativos generalmente no se busca encontrar la raíz s,

sino una aproximación de ésta. En estos métodos se van construyendo términos de lasucesión hasta que el proceso se detiene, por ejemplo, en el término k0,

x0 , x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , . . . , xk0−1 , xk0 ,

PARARxk0+1 , . . . ,

y se toma xk0 como aproximación del límite, esto es, s xk0. Para detener las iteraciones

se necesita algún criterio de parada. Los criterios más usuales son

i) xn−

xn−

1 < TOL,UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




ii) xn − xn−1

xn

< TOL.

Un error bastante frecuente cuando se resuelve la ecuación no lineal f (x) = 0 es utilizarcomo único criterio de parada f (xn) < TOL . (3.8)

Suponer que xn es una buena aproximación de la raíz si se cumple que f (xn) es“pequeño”, puede ser totalmente incorrecto con algunas funciones.

Ejemplo 3.7.3. Consideremos la función f (x) = (x − 1)10, que tiene como única raízs = 1, y la sucesión

(xn

)n∈N con xn = 1 + 1

n. La sucesión

(xn

)n∈N converge a la raíz de

f , s = 1. Si usamos (3.8) como criterio de parada con TOL = 10−3, obtenemos

f (xn) = 1

n10 < 10−3 , para n ≥ 2 .

Con este criterio de parada y esta tolerancia daríamos como buena la aproximación

s x2 = 1.5, cometiendo un error absoluto muy grande, erra = 0.5. Sin embargo, el

criterio de parada ii) con TOL = 10−3 obliga a tomar n ≥ 1002. En este caso tomaríamoscomo aproximación s x1002 = 1.0009980. El error absoluto que cometemos es erra =

9.98 × 10−4.

3.7.1. Método de bisección

Recordemos el teorema de Bolzano estudiado en la sección 2.4 que decía que, dada unafunción f ∶ [a, b] → R continua con f (a) ⋅ f (b) < 0, existe una raíz en el intervalo (a, b).El teorema de Bolzano es la base del método más sencillo de localización y aproximaciónde raíces: el método de bisección. La idea de este método es, una vez localizado unintervalo [a, b] en el que hay una única raíz, dividir éste en dos subintervalos iguales,

[a, a+b

2

] y

[a+b

2 , b

], y determinar en qué subintervalo se encuentra la raíz. Reiterando

este proceso obtenemos un intervalo cada vez menor que contiene la raíz.

En la práctica procedemos de la siguiente forma. Si denotamos por a1 = a y b1 = b, lacondición f (a1) ⋅ f (b1) < 0 implica que f (a1) y f (b1) tienen signos opuestos. Tomamosel punto intermedio x1 =

a1+b12

y evaluamos la función f en él.

Si f (x1) = 0, entonces p1 es una raíz de la ecuación.

Si f (x1) ≠ 0, entonces comparamos los signos de f (x1) y f (a1). Si f

(x1

) tiene el mismo signo que f

(a1

), entonces hay una raíz en

[x1, b1

].

Nos quedamos con este intervalo tomando a2 =

x1, b2 =

b1.Semestre de primavera, curso 2014/2015




Si f (x1) y f (a1) tienen signos opuestos, entonces hay una raíz en [a1, x1].Nos quedamos con este intervalo tomando a2 = a1, b2 = x1.

Aplicamos de nuevo este proceso al intervalo [a2, b2] y así sucesivamente.

En el anexo de este capítulo (véase la página 134) mostramos un algoritmo para elmétodo de bisección.

Ejemplo 3.7.4. La función f (x) = x − e−x tiene una única raíz en el intervalo [0, 1](esto se justifica utilizando los teoremas de Bolzano y de Rolle). Aplicamos el métodode bisección parando las iteraciones cuando an−bn

2 < 10−4. Los resultados obtenidos se

muestran en la tabla 3.7.1. Después de 13 iteraciones, la aproximación de la raíz es

x14 =

0.56719971.Proposición 3.7.5. Consideremos una función f ∶ [a, b] → R continua en [a, b] tal que f (a) ⋅ f (b) < 0, y sea s una raíz de f en (a, b). Entonces el método de bisección

genera una sucesión (xn)n∈N tal que

xn − s ≤ b − a

2n , n ≥ 1 .

Con la expresión anterior podemos determinar el número de iteraciones necesarias parahallar una raíz con un error menor que ε,

b − a

2n ≤ ε ⇒ n ≥

log (b−a)ε

log2

Ejercicio 3.7.6. Usando la proposición 3.7.5, hallar una cota del error cometido en elejemplo 3.7.4 al aproximar la raíz de f (x) = 0 por x14 = 0.56719971.

El método de bisección tiene la ventaja de que la sucesión (xn)n∈N siempre convergea alguna de las raíces de la función f en

[a, b

]. Su principal inconveniente es que es

un método muy lento. Estas características hacen que, en la práctica, sea utilizado

únicamente para hallar una primera aproximación de las raíces. Una vez localizadauna raíz, se utiliza otro método más rápido para aproximarla con precisión.

Método de Newton-Raphson

Deseamos hallar una raíz s de f (x) = 0. Para ello vamos a considerar el siguientemétodo

x0 dado ,

xn+1 = xn − f

(xn

)f ′(xn)

, n ≥ 1 . (3.9)





n an bn xn

1 0 1.0000000 0.500000002 0.50000000 1.0000000 0.75000000

3 0.50000000 0.75000000 0.62500000

4 0.50000000 0.62500000 0.56250000

5 0.56250000 0.62500000 0.59375000

6 0.56250000 0.59375000 0.57812500

7 0.56250000 0.57812500 0.57031250

8 0.56250000 0.57031250 0.56640625

9 0.56640625 0.57031250 0.56835938

10 0.56640625 0.56835938 0.5673828111 0.56640625 0.56738281 0.56689453

12 0.56689453 0.56738281 0.56713867

13 0.56713867 0.56738281 0.56726074

14 0.56713867 0.56726074 0.56719971

Tabla 3.3. Método de bisección. Ejemplo 3.7.4

Este método recibe el nombre de método de Newton-Raphson o simplemente métodode Newton. En el anexo de este capítulo (véase la página 134) mostramos un algoritmopara el método de Newton.

Imponiendo algunas condiciones sobre la función f , puede demostrarse que el métodoes convergente.

Proposición 3.7.7. Consideremos una función f ∶ [a, b] → R tal que f es continua en [a, b] y las derivadas hasta orden dos existen y son continuas en [a, b]. Supongamos que f

(a

)⋅ f

(b

) < 0, que f ′

(x

) ≠ 0 para todo x ∈

[a, b

] y que f ′′ no cambia de signo en

[a, b]. Entonces

1. Existe una única raíz s de f en [a, b].2. Para todo x1 ∈ [a, b] tal que f (x1) ⋅ f ′′(x1) ≥ 0, la sucesión (xn)n∈N del método de

Newton converge a s.

Existen otras condiciones menos restrictivas que también permiten asegurar la conver-gencia del método de Newton. De forma general se suele requerir que f ′ no se anule

“cerca” de la raíz s de f , y que el valor inicial x1 esté “suficientemente” cerca de s.Semestre de primavera, curso 2014/2015




En la práctica, hallar x1 “suficientemente” cerca de s puede ser un problema. En lasección 3.7.1 estudiamos el método de bisección. Podemos calcular x1 con este método,que aunque es lento, siempre converge.

Ejemplo 3.7.8. (Aproximación de la raíz cuadrada)Todos los lenguajes de programación actuales incorporan una función que aproximahasta la precisión requerida la raíz cuadrada positiva de un número. El algoritmo más

utilizado para ello se basa en el método de Newton.

Si aplicamos dicho método para resolver la ecuación

x2− a = 0 ,

obtenemos la expresión recurrente

xn+1 =1

2 xn +

a

xn

.

Por ejemplo, para aproximar √

13, si partimos del valor inicial x0 = 4, obtenemos lasiguiente secuencia

x0 = 4

x1 = 3.625

x2 = 3.605603448275862x3 = 3.605551275463989293119221267470495946251

x4 = 3.605551275463989293119221267470495946251

Ejercicio 3.7.9. Utilizar el método de Newton para aproximar la solución de la ecua-ción x + log x = 3 .

Método de Newton con raíces múltiples

Como hemos señalado anteriormente, una de las condiciones para asegurar la conver-gencia del método de Newton es que f ′ no se anule “cerca" de la raíz de f . Para algunostipos de raíces esta condición no se cumple.

Definición 3.7.10. Dada una función f , se dice que s es un cero de multiplicidad m

si

f (s) = f ′(s) = = f (m−1)(s) = 0 , f (m)(s) ≠ 0 .

Así, si f

(s

) = 0, pero f ′

(s

) ≠ 0, el cero es simple; si f

(s

) = f ′

(s

) = 0, pero f ′′

(s

) ≠ 0, el

cero es doble; si f (s) = f

′(s) = f

′′(s) = 0, pero f

′′′(s) ≠ 0, el cero es triple, . . .UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




Ejemplo 3.7.11.

1. La función f (x) = ex

− x −1 tiene un cero doble en s = 0 ya que f (0) = 0, f ′(0) = 0,

pero f ′′(0) = 1.

2. La función f (x) = (x − 1)2(x − 2) tiene un cero doble en s = 1 y un cero simpleen s = 2.

3.8. Polinomios de Taylor

En esta sección vamos a estudiar el problema de interpolación de Taylor.Definición 3.8.1. El problema de interpolación de Taylor es el siguiente:

Dado un punto x0 y n +1 valores f x0, f ′√ , . . . , f

(n−1)x0

, f (n)x0

, encontrarun polinomio pn de grado menor o igual que n tal que

p(i)n (x0) = f

(i)x0 , i = 0, . . . , n .

Este problema tiene como solución única el polinomio

pn(x) = f x0 + f ′x0

(x − x0) +f ′′x0

2 (x − x0)2

+ + f

(n)x0

n! (x − x0)n ,

que recibe el nombre de polinomio interpolador de Taylor de orden n en x0.

Nota 3.8.2. El polinomio interpolador de Taylor de orden n en x0 es un polinomio degrado menor o igual que n.

Si los datos f x0, f ′

x0, . . ., f (n−1

)x0 y f (n

)x0 proceden de una función f definida en un entornode x0, derivable hasta orden n en x0, entonces

f = f (x0) , f ′x0 = f ′(x0) , f ′′x0

= f ′′(x0) , . . . , f (n)x0 = f (n)(x0) ,

el polinomio de Taylor de orden n de f en x0, , es

pn,x0(x) = f (x0) + f ′(x0) (x − x0) +

f ′′(x0)2 (x − x0)2

+ + f (n)(x0)

n! (x − x0)n

=

n

i=0

f (i)

(x0

)i!

(x − x0

)i . (3.10)




3.8. Polinomios de Taylor 117

Si en el polinomio de Taylor tomamos x0 = 0, se tiene

pn,0

(x

) = f

(0

)+ f ′

(0

)x +

f ′′

(0

)2

x2+ +

f (n)

(0

)n!

xn . (3.11)

Esta expresión se llama polinomio de MacLaurin de orden n de f .

Ejemplo 3.8.3. Vamos a calcular el polinomio de Taylor de orden 5 para la función

f (x) = sen x en el punto x0 = 0 (polinomio de MacLaurin).

De acuerdo con la fórmula (3.10), ó (3.11) en este caso, tenemos

p5,0(x) = f (0) + f ′(0)x + f ′′(0)

2 x2

+ + f (5)(0)

5! x5 .

Calculamos las derivadas hasta orden 5 y evaluamos en x = 0,

f (x) = sen x → f (0) = 0

f ′(x) = cos x → f ′(0) = 1

f ′′(x) = − sen x → f ′′(0) = 0

f ′′′(x) = − cos x → f ′′′(0) = −1

f (4)(x) = sen x → f (4)(0) = 0

f (5)(x) = cos x → f (5)(0) = 1

para obtener el polinomio

p5,0(x) = x − 16

x3+ 1

120 x5 .

Evaluamos este polinomio en x = 12,

p5,0 1

2 = 1

2 −

1

6

1

23 +

1

120

1

25 =

1841

3840 = 0.47942708

3 . (3.12)

Con una calculadora de 8 dígitos y con el argumento en radianes, se obtiene la aproxi-

mación

f

1

2

= sen

1

2 0.4794255 .

En la siguiente figura mostramos la función f (x) = sen x y la aproximación polinómica

p5,0(x).

f (x) = sen x

ππ

2

p5,0(x)

12

1

0





Ejercicio 3.8.4. Calcular el polinomio de Taylor de orden 4 para la función f (x) = log x

en el punto x0 = 1 . Representar gráficamente el logaritmo y su aproximación polinómica

en un entorno de x0 = 1 .

Una vez obtenido el polinomio de Taylor para aproximar a una función, centraremosnuestro interés en estudiar el error cometido en dicha aproximación.

Definición 3.8.5. Sea f ∶ [a, b]→ R y sea x0 ∈ (a, b). Supongamos que f es derivableal menos n veces en x0. Sea pn,x0

el polinomio de Taylor de f de orden n en x0, sedefine el resto n-ésimo de f en x0 como

Rn,x0

(x

) = f

(x

)− pn,x0

(x

),

con x ∈ (a, b).Proposición 3.8.6. Sea f ∶ [a, b] → R y sea x0 ∈ (a, b). Supongamos que f es de-

rivable al menos n + 1 veces en (a, b). Sea pn,x0 el polinomio de Taylor de f de orden

n en x0 y sea Rn,x0(x), el resto n-esimo de f en x0 . En estas condiciones, para todo

x ∈ (a, b) existe c entre x0 y x tal que

Rn,x0

(x

) =

f (n+1)

(c

)(n + 1

)!

(x − x0

)n+1 ,

Además

lımx→x0

Rn,x0(x)(x − x0)n

= 0 . (3.13)

Rn,x0(x)

xx0

Rn,x0(x) = f (x) − pn,x0

(x) .

En la figura 3.10 se muestran los polinomios de Taylor p1,0, p3,0, p5,0 y p7,0 para la funciónf (x) = sen x en x0 = 0. Observa que, conforme aumenta el grado del polinomio, laaproximación es "mejor" (véase la gráfica de la izquierda). Además, para cada polinomio

pn,0, el error cometido es menor cuanto más cerca estamos de x = 0 (véase la gráfica dela derecha).

En general, Rn,x0

(x

) no puede calcularse de forma exacta. Aprenderemosa acotar el

valor absoluto del resto n-ésimo.Semestre de primavera, curso 2014/2015




1

p1,0(x)

p3,0(x)

p5,0(x)

p7,0(x)

1

p5,0(x)Rn,0(x)

f (x) = sen x

Figura 3.10. Aproximaciones polinómicas para sen x en el origen.

Ejemplo 3.8.7. En el ejemplo 3.8.3 construimos el polinomio de MacLaurin de orden

5 para aproximar sen0.5. Para estimar el error cometido al aproximar sen0.5 mediante p5,0(0.5) debemos encontrar una cota superior razonable para R5,0(x).Para la función f (x) = sen x, el resto de orden 5 es

R5,0(x) = f (6)(c)6!

x6=

− sen c

6! x6 , con c entre 0 y x .

Evaluando en el punto x = 0.5 queda

R5,0

(0.5

) =

− sen c

6! 0.56 , c ∈

(0, 0.5

).

Tenemos que acotar superiormente el error cometido, es decir, el valor absoluto delresto R5,0(0.5) = − sen c

6! 0.56 ∗≤ 1

6! 0.56

= 2.17 × 10−5 . (3.14)

En el paso (∗), tenemos que encontrar una cota superior para la función sen x en elintervalo (0, 0.5). Como sen x ≤ 1 para todo x ∈ R, en particular en el intervalo (0, 0.5)también se puede tomar 1 como cota superior.

Ejemplo 3.8.8. Vamos a aproximar tg 0.25 con un polinomio de MacLaurin de orden

4, dando una estimación del error cometido en dicha aproximación.

El polinomio de MacLaurin de orden 4 de f es

p4,0(x) = f (0) + f ′(0)x + f ′′(0)

2! x2

+ f ′′′(0)

3! x3

+ f (4)(0)

4! x4 .

Tomando f (x) = tg x, todos los términos pares se anulan puesto que la función esimpar. En consecuencia el polinomio será de grado 3 y, como f ′(0) = 1 y f ′′′(0) = 2, el

polinomio resulta ser

p4,0(x) = x + 1

3 x3 .





Evaluando ahora en x = 0.25 obtenemos la aproximación para tg 0.25

p4,0(0.25) = 0.25 + 1

3 0.253

=49

192 = 0.255208 tg 0.25 . (3.15)

Utilizamos a continuación el resto R4,0(x) para dar una estimación del error cometidoen la aproximación anterior (3.15),

R4,0(x) = f (5)(c)5!

x5 , con c entre 0 y x .

En particular, cuando x = 0.25, el resto queda

R4,0

(0.25

) =

f (5)

(c

)5!

0.255 , c ∈

(0, 0.25

).

Teniendo en cuenta que maxc∈(0,0.25) f (5)(c) ≤ 30 , se tiene que

R4,0(0.25) = f (5)(c)5!

0.255 ≤ 30 ⋅ 0.255

5! = 2.44 × 10−4 .

Si comparamos la aproximación (3.15) con el valor obtenido con un potente ordenador

tg 0.25 0.25534192122103626650448223649047367820420163 ,

obtenemos tg 0.25 − p4,0(0.25) = 1.33 × 10−4

Efectivamente, el error queda por debajo de la cota superior dada 2.44 × 10−4.

Hasta ahora hemos estimado el error después de hacer la aproximación con un poli-nomio de grado prefijado. Este problema es poco realista. En la práctica suele ser elusuario quien establece el error máximo que se admite cometer. En general, la precisiónrequerida dependerá de la precisión con la que se hayan tomado los datos del proble-ma. Supongamos que tenemos que resolver un problema en el que los datos se hantomado con precisión hasta las milésimas. Poco sentido tendría dar el resultado con

precisión 10−

6. En el siguiente ejemplo, fijaremos la precisión y a continuación haremosla aproximación, es decir, determinaremos el orden del desarrollo buscado.

Ejemplo 3.8.9. Vamos a utilizar un polinomio de Taylor para aproximar 4√

e con unerror menor que 0.001. Como 4

√ e = e14, elegimos la función f (x) = ex y buscamos una

aproximación en x = 14 = 0.25. El punto x0 en el que centramos el polinomio debe ser

tal que sepamos calcular f (x0), f ′(x0), f ′′(x0), . . . En este caso, una buena elección esx0 = 0, que además está próximo a x = 0.25 . En tal caso, el polinomio será

pn,0(x) = f (0) + f ′(0)x + + f (n)

(0

)n! xn .





Como para todo k se tiene que f (k)(x) = f (x), para x = 0 obtenemos f (k)(0) = f (0) = 1.Así, el polinomio de Taylor de orden n es

pn,0(x) = 1 + x + x2

2 + +

xn

n! .

Para determinar n, tenemos que utilizar la fórmula del error e imponer que éste seamenor que 0.001 Rn,0,f (0.25) ≤ 0.001 .

Para ello escribimos el error

Rn,0,f

(x

) =

f (n+1)(c)(

n + 1

)!

xn+1

=

ec

(n + 1

)! xn+1 , con c entre 0 y x .

En particular, para x = 0.25,

Rn,0(0.25) = ec(n + 1)! 0.25n+1

∗

≤3(n + 1)!

0.25n+1≤ 0.001 , c ∈ (0, 0.25) .

En la desigualdad (∗) hemos utilizado que f es creciente, por lo que el máximo absolutode f en el intervalo (0, 0.25) es menor que f (1) = e < 3 .

Debemos encontrar el menor natural n que verifique la desigualdad

3

(n + 1)! 4n+1

≤ 0.001 .

Si no es posible obtener una expresión explícita para n, podemos ir dando valores hastaencontrar el valor buscado:

n = 1 ∶ 3

2! 42 ≤ 0.001

n = 2 ∶ 3

3! 43 ≤ 0.001

n = 3 ∶ 3

4! 44 ≤ 0.001

Luego basta con un polinomio de orden 3 para aproximar hasta las milésimas. El

polinomio es p3,0(x) = 1 + x +

x2

2 +

x3

3! .

Evaluando en x = 0.25 obtenemos la aproximación para 4√

e con la precisión requerida

pn,0(0.25) = 1 + 1

4 +

1

32 +

1

348 =

493

384 = 1.2838541

6 1.284 .

En la última expresión no hemos considerado más cifras decimales puesto que sólohemos aproximado hasta las milésimas y por tanto, esos dígitos de más no serían

significativos.UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




Si damos como bueno el valor 4√

e = 1.284025416687741, comprobamos que, en efecto

pn,0(0.25) − 4

√ e = 0.17 × 10−3 .

Ejercicio 3.8.10. Obtener sucesivas aproximaciones de sen0.5 con los polinomios de

MacLaurin de órdenes 1, 3, 5 y 7. En cada caso, estimar el error cometido en laaproximación. Observar cómo el error va disminuyendo según aumenta el grado delpolinomio.

Ejercicio 3.8.11. Obtener sucesivas aproximaciones para los valores sen0.5, sen1 y

sen1.5 mediante el polinomio de MacLaurin de orden 5. Observar cómo el error vadisminuyendo según nos acercamos al punto x0 = 0.

Ejercicio 3.8.12. Aproximar con error menor que 0.01 el valor de log1.3 .

3.8.1. Aplicaciones al cálculo de límites

Los desarrollos de Taylor pueden utilizarse para hallar algunos límites. Veamos unejemplo.

Ejemplo 3.8.13. Vamos a demostrar que

lımx→0

sen x − x

x3 = −

1

6 .

Para ello consideramos el desarrollo de Taylor de orden 3 de la función sen x en a = 0

sen x = x − x3

6 + R3,0(x) .

Vamos a introducir una notación conveniente para el cálculo de límites: expresamos

R3,0

(x

) como x3ω

(x

) siendo ω

(x

) una función que verifica lım

x→0ω

(x

) = 0. Esto se justifica

teniendo en cuenta la expresión (3.13) de la proposición 3.8.6. Así:

lımx→0

sen x − x

x3 = lım

x→0

−x3

6 + x3ω(x)

x3 = lım

x→0−

1

6 + ω(x) = −

1

6 ,

Ejercicio 3.8.14. Utilizando desarrollos de Taylor demostrar que:

1. lımx→0

cos x

1 − x2

2

= 1

2. lımx→0

arctg x

x = 1

3. lımx→0

11−x

x = 1

4. lımx→0

log

(1 + x

)x = 1




3.9. Series de potencias 123

5. lımx→1

log x

x − 1 = 1

Polinomios de Taylor de algunas funciones elementales

sen x =n

k=0

(−1)k(2k + 1)! x2k+1 → p2n+1,0 = x −

x3

6 +

x5

120 − +

(−1)n(2n + 1)! x2n+1

cos x =n

k=0

(−1)k

(2k

)! x2k → p2n,0 = 1 −

x2

2 +

x4

24 − +

(−1)n

(2n

)! x2n

arctg x =n

k=0

(−1)k

2k + 1 x2k+1 → p2n+1,0 = x −

x3

3 +

x5

5 − + (−1)n

2n + 1 x2n+1

ex=

n

k=0

1

k! xk → pn,0 = 1 + x +

x2

2 +

x3

6 + +

1

n! xn

log x =n

k=1

(−1)k+1

k (x − 1)k → pn,0 = (x − 1) −

(x − 1)2

2 + (x − 1)3

6

+ +

(−1

)n+1

n (x − 1

)n

log(1 + x) = n

k=1

(−1)k+1

k xk → pn,1 = x −

x2

2 +

x3

3 − +

(−1)n+1

n xn

1

1 − x =

n

k=0

xn → pn,0 = 1 + x + x2 + x3 + + xn

1

x =

n

k=0

(1 − x)k → pn,1 = 1 + (1 − x) + (1 − x)2 + + (1 − x)n

3.9. Series de potencias

Ejemplo 3.9.1. Sea x ∈ R, vamos a estudiar, en función de los valores de x, la con-vergencia de la serie

+∞

n=0

1

n!xn.

Si x = 0, la serie converge; si x ≠ 0, aplicamos el criterio del cociente, estudiamos

lım n!

xn+1

(n + 1)! xn = lım

1

n + 1 x

→ 0 ∀x ∈ R

{0

},





con lo que la serie converge para todo valor de x ∈ R.

Ejemplo 3.9.2. Sea x ∈ R, vamos a estudiar, en función de los valores de x, la con-

vergencia de la serie+∞

n=1

1

nxn.

Si x = 0, la serie converge; si x ≠ 0, aplicamos el criterio del cociente, estudiamos

lım n xn+1(n + 1) xn = lım

n

n + 1x → x

con lo que la serie converge si

x

< 1, no converge si

x

> 1 y si

x

= 1, no sabemos

(aún) qué ocurre. Si x = 1, nos queda la serie ∑ 1

n

que no converge y si x = −1 nos

queda la serie ∑ (−1)n

n , que converge.

Así esta serie converge si y sólo si x ∈ [−1, 1).Definición 3.9.3. Sea una sucesión (an)n∈N y sea x0 ∈ R, se llama serie de potencias

centrada en x0 a∞

n=0

an(x − x0)n. (3.16)

El conjunto

D ∶= x ∈ R ∞n=0

an(x − x0)n es convergente se llama dominio de convergencia (o simplemente dominio) de la serie de potencias(3.16).

Nota 3.9.4. El dominio de convergencia D de una serie de potencias es siempre no

vacío, pues x0 ∈ D.

Proposición 3.9.5. Consideremos la serie de potencias ( 3.16 ) con y n0 ∈ N tal que

an ≠ 0 ∀n ≥ n0. Sea D su dominio de convergencia y supongamos que existe

l = lımn→+∞

an+1 an .

Se tiene

1. si l = 0, entonces D = R,

2. si l = +∞, entonces D =

{x0

},

3. si l ∈

R, l ≠

0, entonces Semestre de primavera, curso 2014/2015




(a)

x0 −

1

l, x0 +

1

l

⊂ D,

(b) −∞, x0 − 1

l ∪ x0 +

1

l, +∞ ∩ D = .

En particular, el dominio de convergencia es siempre un intervalo.

Definición 3.9.6. En las condiciones de la proposición 3.9.5, se dice que el radio de

convergencia de la serie de potencias es

1. +∞

si l = 0

,2. 0 si l = +∞,

3. 1l si l ∈ R, l ≠ 0.

Ejemplo 3.9.7. Consideramos la serie de potencias

+∞

n=0

xn

n!

y vamos a calcular D, su dominio de convergencia. Estamos en condiciones de aplicar

la proposición 3.9.5. Tenemos que an+1 an = n!(n + 1)! =

1

n + 1 → 0

con lo que D = R.

Ejemplo 3.9.8. Consideramos la serie de potencias

+∞

n=1

xn

n

y vamos a calcular D, su dominio de convergencia. Estamos en condiciones de aplicarla proposición 3.9.5. Tenemos que an+1 an = n

n + 1 → 1

con lo que la serie converge en (−1, 1) y no converge en (−∞, −1)∪(1, +∞). Observemosque la proposición 3.9.5 no da información sobre la convergencia en los puntos 1 y −1.Vamos a estudiar qué ocurre en estos puntos. Para x = 1 la serie es

+∞

n=1

1

n





que es una serie ya estudiada y que sabemos que no converge. Para x = −1 la serie es

+∞

n=1 (−1

)n

n

que es una serie convergente (basta aplicar el criterio de Leibnitz). Por lo tanto D =[−1, 1).Ejemplo 3.9.9. Sea f (x) = +∞∑

n=0

2n+1n+1

x2n.

(a) Halla el dominio de f .

Solución: Observemos que no estamos en condiciones de aplicar la proposición 3.9.5La manera más sencilla de abordar el cálculo del dominio de f es tratarla como unaserie numérica dependiente de un parámetro, tal y como hicimos en los ejemplos 3.9.1

y 3.9.2. Llamemos bn = 2n+1

n+1 x2n , n ≥ 0. Tenemos que 0 ∈ D. Para x ≠ 0 la serie

+∞∑n=0

bn

es de términos estrictamente positivos. Aplicamos a esta serie el criterio del cociente ytenemos

lımn→+∞

bn+1

bn

= x2

con lo que para x2

< 1, la serie converge, para x2

> 1 la serie no converge y para x2

= 1el criterio no da información. No obstante, para x = 1, −1 tenemos que bn → 0, con loque la serie no converge. Así, la serie converge si y sólo si x2

< 1, es decir, el dominiode f es el intervalo (−1, 1).Proposición 3.9.10. Sea λ ∈ R {0}, entonces las series de potencias

an(x − x0)n y λan(x − x0)n

tienen el mismo dominio de convergencia.

Proposición 3.9.11. Consideramos las series de potencias

an(x − x0)n y bn(x − x0)n

y sean R1 y R2 sus respectivos radios de convergencia. Entonces, la serie de potencias

(an + bn)(x − x0)n

tiene radio de convergencia R ≥ mın(R1, R2).Semestre de primavera, curso 2014/2015




Teorema 3.9.12. Consideramos la serie de potencias

∞

n=0 an(x−

x0)n

y sean D su dominio de convergencia y R su radio de convergencia. Sea la función

f ∶ D → R

x ∞

n=0

an(x − x0)n.

Entonces

1. f es continua en D.

2. f es derivable en Do y

f ′(x) = ∞

n=1

nan(x − x0)n−1

siendo el radio de esta serie de potencias R.

3. La serie de potencias ∞

n=

0

an

n + 1(x − x0

)n+1

tiene radio de convergencia R y F (x) = ∞∑n=0

ann+1(x − x0)n+1 definida en (x0 − R, x0 +

R) es derivable en (x0 − R, x0 + R) y además F ′(x) = f (x).Proposición 3.9.13. Consideramos la serie de potencias

∞

n=0

an(x − x0)n

y sean D su dominio de convergencia y R su radio de convergencia. Sea la función

f ∶ D → R

x ∞

n=0

an(x − x0)n.

Entonces f es indefinidamente derivable en Do, y además su polinomio de Taylor de orden n en x0 es

n

i=0

ai(x − x0)i.

Ejemplo 3.9.14. (Continuación del ejemplo 3.9.9, -nivel extra-.)UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




(b) Estudia la monotonía de f . ¿Tiene algún punto de extremo relativo?

Solución: Tenemos que f ′

(x

) =

+∞∑n=

1

(2n+1)2n

n+1 x2n−1. Como todas las potencias de x

son impares tenemos:

f ′(x) = 0 si y sólo si x = 0

f ′(x) < 0 si y sólo si x < 0

f ′(x) > 0 si y sólo si x > 0

de lo que se deduce que f es estrictamente decreciente en

(−1, 0

), estrictamente

creciente en (0, 1) y tiene un mínimo relativo en x =

0. También se puede justificarque x = 0 es un mínimo relativo de la siguiente manera: como bn ≥ 0 ∀x, entonces

f (x) ≥ 0 en (−1, 1) y como f (0) = 0, entonces x = 0 es un mínimo absolutoque está en el interior del dominio de f , luego es también un mínimo relativo.

(Observemos que con este procedimiento no podríamos estudiar la existencia deotros posibles extremos relativos).

(c) Calcula lımx→0

xf (x)−sen x

(1+2x)log(1−x2)−1

Solución: El denominador se puede expresar como

elog(1−x2) log(1+2x)− 1.

Aplicando sucesiva y adecuadamente las equivalencias eh(x) − 1 ∼ h(x) cuando

h(x) → 0 y log(1 + h(x)) ∼ h(x) cuando h(x) → 0, tenemos el denominador esequivalente a −2x3. Así pues, el límite pedido es también

lımx→0

xf (x) − sen x

−2x3 .

A partir de aquí tenemos dos opciones para calcular el límite:

Op. 1 Podemos hacer un desarrollo limitado de Mac Laurin hasta orden 3 de

xf (x) − sen x. Dado que

xf (x) = +∞

n=0

2n + 1

n + 1 x2n+1,

podemos expresar

xf

(x

) =

1

n=0

2n + 1

n + 1

x2n+1+ x3w1

(x

) = x +

3

2

x3+ x3w1

(x

)Semestre de primavera, curso 2014/2015




con w1(x) → 0 cuando x→ 0. Además

sen x = x − 1

6x3

+ x3w2(x),con w2(x) → 0 cuando x→ 0. Así tenemos que calcular

lımx→0

x + 23

x3 + x3w1(x) − (x − 16

x3 + x3w2(x))−2x3

= −5

6

Op. 2 Podemos aplicar tres veces la regla de L´Hôpital, teniendo en cuenta que

xf (x) = +∞∑n=0

2n+1n+1

x2n+1, entonces

(xf

(x

))′

=

+∞

n=0 (

2n + 1

)2

n+

1

x2n,

(xf (x))′(0) = 1,

(xf (x))′′ =

+∞

n=1

(2n + 1)22n

n + 1 x2n−1,

(xf (x))′′(0) = 0,

(xf (x))′′′ =

+∞

n=1

(2n + 1)22n(2n − 1)n + 1

x2n−2,

(xf (x))′′′(0) = 9,

y así calculamos también el límite. (Nota: xf

(x

),

(xf

(x

))′,

(xf

(x

))′′ tienen

el mismo radio de convergencia que f ).

(d) Halla la suma de +∞∑n=1

2n(2n+1)4n(n+1)

Solución: Observemos que la suma de la serie es 12

f ′(12). Observemos también

que

F (x) = +∞

n=0

1

n + 1x2n+1

= (si x ≠ 0) = 1

x

+∞

n=0

(−1)n(−1)(−x2)n+1

n + 1 =

= − 1

x

+∞

n=0 (−1

)n

n + 1 (−x2

)n+1

= −1

x log(1 − x2

).

verifica F ′(x) = f (x) y su radio de convergencia es el mismo que el de f . Así

f (x) = log (1 − x2)x2

− 2

x2 − 1

y

f ′(x) = 6x2 − 2

x (x2 − 1)2 −

2log (1 − x2)x3

con lo que la suma de la serie es 12

f ′

(12

) = −

89

+ 8log

43

.





sen x =+∞

n=0 (−1)n(2n + 1)!

x2n+1

cos x =+∞

n=0

(−1)n(2n)! x2n

arctg x =+∞

n=0

(−1)n

2n + 1 x2n+1

ex=

+∞

n=0

1

n!

xn

log(1 + x) = +∞

n=1

(−1)n+1

n xn

1

1 − x =

+∞

n=0

xn

Tabla 3.4. Tabla de algunos desarrollos en serie de potencias




3.10. Anexo I: Representación gráfica de funciones 131

3.10. Anexo I: Representación gráfica de funciones

Ante la imposibilidad de obtener todos los puntos del grafo de una función f , es necesa-rio un estudio cualitativo que nos permita obtener su grafo con suficiente aproximación.Para ello, es conveniente seguir los siguientes pasos:

1. Determinar el dominio de f y estudiar la continuidad.

2. Estudio de simetrías y periodicidad.

3. Cortes con los ejes.

4. Estudio asintótico (asíntotas verticales, asíntotas oblicuas).

5. Estudio de f ′.

6. Estudio de f ′′.

Para algunas funciones particulares puede no ser necesario el estudio de algunos puntos.

Ejemplo 3.10.1. Vamos a representar gráficamente la función

f

(x

) =

x2 + 1

x − 1

.

Dominio de f :Como el numerador y denominador son funciones continuas en R, sólo habrá queexcluir las raíces del denominador. En este caso, f es continua en D = R{1}.

Simetrías y periodicidad:Para el estudio de las simetrías, calculamos f (−x) = −(x2 + 1)(x + 1). Se tieneque f (−x) ≠ f (x), por lo que f no es par. Como f (−x) ≠ −f (x), f no es impar.La función f no es periódica.

Cortes con los ejes:El único corte con el eje de ordenadas se corresponde con la imagen de x = 0,esto es, el punto P = (0, f (0)). En este caso P = (0, −1). Los posibles cortes conel eje de abscisas se corresponden con las antiimágenes de y = 0. Por lo tanto,tenemos que resolver la ecuación, posiblemente no lineal, f (x) = 0. En este caso,dicha ecuación no tiene soluciones, por lo que no hay cortes con el eje OX .

Estudio asintótico:

Estudiamos, en primer lugar, las asíntotas verticales. De la definición 2.3.19

de la página 65 se deduce que si la función f tiene una asíntota vertical enUPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




x = x0, entonces f no puede ser continua en ese punto. En este problema laúnica asíntota posible es x = 1. Se tiene que

lımx→1+

x2 + 1x − 1

= 20+

= +∞ , lımx→1−

x2 + 1x − 1

= 20−

= −∞ .

Por tanto, la recta x = 1 es una asíntota vertical.

Para estudiar las asíntotas oblicuas hacemos uso de la definición 2.3.20. Sila recta y = mx + b es una asíntota oblicua, entonces

m = lımx→+∞

f (x)x

, b = lımx→+∞

(f (x) − mx) .

Para que y = mx + b sea una recta, los valores de m y b obtenidos en loslímites anteriores deben ser reales. Recordemos que en el caso particularm = 0, la asíntota es horizontal.Para la función f del ejemplo tenemos

m = lımx→+∞

x2 + 1

x2 − x = 1 ∈ R , h = lım

x→+∞

x2 + 1

x − 1 − 1⋅x = 1 ∈ R ,

por lo que la recta y = x + 1 es la asíntota oblicua en +∞.Repitiendo el proceso cuando x → −∞, se tiene que

lımx→−∞

x2 + 1

x2 − x = 1 ∈ R , lım

x→−∞

x2 + 1

x − 1 − 1 ⋅ x

= 1 ∈ R ,

y, por tanto, la recta y = x + 1 es también asíntota oblicua de f , en este casocuando x→ −∞ .

Estudio de f ′ :La función f es derivable en D = R {1} . Derivando obtenemos

f ′(x) = x2 − 2x − 1(x − 1)2 . (3.17)

Resolviendo la ecuación f ′

(x

) = 0 obtenemos los puntos críticos de f , en este caso

1 −

√ 2, 1 +

√ 2. A continuación estudiamos el signo de f ′ en los distintos intervalos

x ∈ (−∞, 1 −√ 2) f ′(x) > 0 ⇒ f creciente

x ∈ (1 −√

2, 1) f ′(x) < 0 ⇒ f decreciente

x ∈ (1, 1 +√

2) f ′(x) < 0 ⇒ f decreciente

x ∈ (1 +√

2, +∞) f ′(x) > 0 ⇒ f creciente

Por tanto, f alcanza un máximo local en x = 1 −√

2, y un mínimo local enx = 1 +

√ 2. Los puntos correspondientes son M =

(1 −

√ 2, f

(1 −

√ 2

)) y m =

(1+√ 2, f (1

+√ 2)) .Semestre de primavera, curso 2014/2015



3.10. Anexo I: Representación gráfica de funciones 133

Estudio de f ′′ :Si todo el estudio anterior no ha aportado información suficiente sobre la gráficade f , se puede hacer uso de la derivada segunda. De la misma forma que con f ′

estudiamos el crecimiento de una función, con la derivada segunda f ′′ estudiamosel grado de curvatura de f .

f ′′(x) 0 f ′′(x) > 0 f ′′(x) = 0 f ′′(x) < 0 f ′′(x) 0

Si una función tiene derivada segunda nula en todos sus puntos, entonces, nece-sariamente f será una recta. A los puntos donde f es continua y derivable y laderivada segunda cambia de signo, se les suele llamar puntos de inflexión. Estosse obtienen a partir de f ′′(x) de manera análoga a como se obtienen los extremosrelativos a partir de f ′(x).Derivando la expresión (3.17) se obtiene

f ′′(x) = 4(x − 1)3 .

Separamos el dominio en diferentes intervalos utilizando los valores críticos def ′. Para ello necesitamos las raíces de la ecuación f ′′

(x

) = 0 . En este caso no hay

raíces para f ′′, por lo que tenemos

x ∈ (−∞, 1) f ′′(x) < 0 forma de "n"

x ∈ (1, +∞) f ′′(x) > 0 forma de "u"

Puede resultar útil resumir en una tabla los resultados obtenidos durante el desarro-llo de los puntos anteriores, evaluando la función f en los puntos notables que vayanapareciendo.

x f (x)0 −1

1+ +∞

1− −∞

1 −

√ 2 2 − 2

√ 2 −0.83

1 +

√ 2 2 + 2

√ 2 4.83 -2 2 4 6

-6

-4

-2

2

4

6

8

10





3.11. Anexo II: Algoritmos

Algoritmo del método de bisección

Dada una función f continua en [a, b] tal que f (a) ⋅ f (b) < 0, hallaruna raíz de f (x) = 0.

Entrada: a, b, T OL, número máximo de iteraciones N 0.Salida: Solución aproximada p, o mensaje de error.

Paso 1 Tomar i = 1

Paso 2 Mientras i ≤ N 0, hacer Pasos 3-6.

Paso 3 Tomar p =

(a + b

)2

Paso 4 Si f ( p) = 0, ó (b − a)2 < T OL, entoncesSALIDA (p); PARAR

Paso 5 Tomar i = i + 1Paso 6 Si f (a) ⋅ f ( p) > 0 tomar a = p

en otro caso tomar b = p

Paso 7 SALIDA (El método no ha convergido después deN 0 iteraciones); PARAR

Algoritmo del método de Newton-Raphson

Dada una aproximación inicial x1, encontrar una raíz de f (x) = 0.

Entrada: x1, T OL, número máximo de iteraciones N 0.Salida: Solución aproximada p, o mensaje de error.

Paso 1 Tomar i = 1

Paso 2 Mientras i ≤ N 0, hacer Pasos 3-6.

Paso 3 Tomar p = x1 − f

(x1

)f ′

(x1

)Paso 4 Si

p − x1

< T OL, entonces

SALIDA (p); PARARPaso 5 Tomar i = i + 1Paso 6 Tomar x1 = p

Paso 7 SALIDA (El método no ha convergido después deN 0 iteraciones); PARAR




3.12. Ejercicios 135

3.12. Ejercicios

Derivada en un punto y función derivada

1. (nivel 0) Para cada una de las siguientes funciones, estudia su dominio, en quépuntos de éste es derivable, y calcula la función derivada:

(a) x + 4

x − 3

(b) 2x

x + 1(c) cos

(ex sen x

)(d) xx

(e) log(cos x)(f)

x2 + 1

x2 − 1(g) (cos x)sen x

(h) arctg(tg x2)(i) sen2 x − cos2 x

(j) x(k) arctg

(1

x

)x

(l) tg(2x)

(m) cos(x2 log x)

sen(x2 log x) − x3

(n) x − x2. (nivel 0) Sean a,b,c,d,e,f ∈ R y

(a) sea

g ∶ R → R

x

(a x + b

) sen x +

(c x + d

)cos x.

Determina los valores de a, b, c y d para los que que g′(x) = x cos x.

(b) Sea

h ∶ R→ R

x (a x2+ b x + c) sen x + (d x2

+ e x + f ) cos x.

Determina los valores de a,b,c,d,e,f para que h′(x) = x2 sen x.

3. (nivel 2) Sea a ∈ R, a > 0. Estudia la continuidad y derivabilidad de la función

f ∶ R→ R

x e

a2

x2−a2 si x < a,

0 si x ≥ a.

4. (nivel 2) Sean a,b,c ∈ R, c > 0 y sea la función

f ∶ R→ R

x

1x , si x > c,

a + b x2, si

x

≤ c.

Halla los valores de a y b (en función de c) para que f sea derivable en c.UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




5. (nivel 3) Sean

f

(x

) = arctg x, g

(x

) = arctg

1 + x

1 − x.

(a) Calcula el dominio, D, de g

(b) ¿Cuánto vale f ′(x) − g′(x) con x ∈ D?

(c) ¿Es cierto que f − g es constante en D?

6. (nivel 3) Sean x0 ∈ R y sea f ∶ (−∞, x0] → R una función dos veces derivable ensu dominio. Sean a,b,c ∈ R y sea

g ∶ R→ R

x f (x), si x ≤ x0,

a (x − x0)2 + b (x − x0) + c, si x > x0.

Estudia para qué valores de a,b,c es g derivable en R.

7. (nivel 2) Sea f ∶ R→ R una función derivable en R. Calcula g′(x) -en función def ′(x)- si

(a) g

(x

) = f

(sen2 x

)+ f

(cos2 x

),

(b) g(x) = f (f (f (x))).8. (nivel 3) Dado n ∈ N (n ≥ 1), definimos

f ∶ R → R

x xn sen 1x

, si x ≠ 0,

0, si x = 0,

Calcular para qué valores de n

(a) f es continua en 0,(b) f es derivable en 0,

(c) f ′ es continua en 0.

9. (nivel 2) Sea

f ∶ R→ R

x 2x − 5.Estudia la derivabilidad de f en R.





Interpretación geométrica de la derivada

10. (nivel 1) Sea

f ∶ R→ R

xx3

3 − 2x2

+ 3x + 1

Halla los puntos de R2 en los que la recta tangente al grafo de f es horizontal.

11. (nivel 2) Sean a, b ∈ R y sea

f ∶ R→ R

x x2+ ax + b.

(a) Calcula la pendiente de la recta que une los puntos del grafo de f (x1, f (x1))y (x2, f (x2)), con x1 < x2.

(b) Halla, en función de x1 y x2, los valores de x para los que la recta tangente algrafo de f en (x, f (x)) tiene la misma pendiente que la recta correspondienteal apartado anterior.

Teoremas clásicos de derivabilidad

12. (nivel 2) Seaf ∶ R → R

x 1 − x23 .

Comprueba que f (1) = f (−1) = 0, y que f ′(x) no se anula en el intervalo [−1, 1].Explica por qué esto no contradice el teorema de Rolle.

13. (nivel 3) Utiliza el Teorema del Valor Medio para demostrar las siguientes de-sigualdades:

(a) sen x − sen y ≤ x − y, ∀x, y ∈ R,(b) n yn−1(x − y) ≤ xn − yn ≤ n xn−1 (x − y),

x, y ∈ R, 0 < y ≤ x, n ∈ N(n ≥ 1).Regla de la cadena

14. (nivel 1) Una escalera de 13 metros de largo está inclinada contra una pared.El pie de la escalera se está separando de la pared a una velocidad constante de6 metros por minuto. ¿Con qué rapidez se está moviendo hacia abajo la parte

superior de la escalera cuando el pie de la misma está a 5 metros de la pared?UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




15. (nivel 2) Si x ∈ (0, 5) la ecuación x12 + y

12 = 5

12 define y como función de x. Sin

despejar y, demuestra que y′ tiene signo constante en

(0, 5

).

16. (nivel 2) Consideramos un triángulo rectángulo variable ∆(t) de vértices A(t),B(t), C (t) siendo A(t) = (0, 0), B(t) el vértice correspondiente al ángulo rectoy C en la parábola y = 7

36x2 + 1. Si en el instante t = 0 tenemos que B = (0, 1)

y que B(t) se desplaza sobre el eje y hacia arriba a una velocidad constante de2cm/seg, ¿A qué velocidad crece el área del triángulo ∆(t) en el instante t = 7

2?

17. (nivel 2) Un objeto se mueve a lo largo de la curva

y =

x3

3 +

log(x2)2

+ sec

(x

)−1

de manera que su coordenada x en el instante t es x(t) = 2t + arctg t. ¿A quévelocidad está cambiando la coordenada y = y(t) cuando t = 0?

18. (nivel 1) Tenemos un montón de basura al que se le ha dado forma de cubo y quese está prensando manteniendo dicha forma cúbica. Sabiendo que el volumen v(t)de la basura decrece a razón de 2 metros cúbicos por minuto, halla la velocidada la que está variando la arista a(t) del cubo cuando el volumen es de 27 metroscúbicos. ¿Cuál es, en ese mismo instante, la velocidad de variación de la superficies

(t

) del cubo?

19. (nivel 2

) Una partícula se mueve a lo largo del tiempo por la parábola y = x2

.¿En qué punto de la curva coinciden la variación de la abscisa y la ordenada dela partícula?

Separación y aproximación de raíces

20. (nivel 2) Demuestra que la ecuación x2= x sen x + cos x tiene exactamente dos

raíces.

21. (nivel 2) Estudia si las siguientes ecuaciones tienen alguna raíz. En caso afirma-

tivo, utiliza el método de Newton–Raphson para aproximarla.

a) x3 − 3x = cos x − sen x, b) x − cos x = 0, c) ex + x + 2 = 0,

d) x3 + 2 x − 2 = 0, e) sen x = sen(5 x), f ) x2 + x + 1 = 0.

22. (nivel 2) Dada la función f (x) = x3 + x − 9:

(a) Estudia cuántas raíces (reales o complejas) tiene.

(b) Aproxima el valor de la raíz (o raíces) real de la función con tres cifras

decimales exactas.Semestre de primavera, curso 2014/2015




23. (nivel 2) Dada la ecuación:4x

= 8x

estudia cuántas raíces reales tiene. Aproxima una raíz no entera de esa ecuacióncon dos cifras decimales exactas utilizando dos métodos diferentes.

24. (nivel 3) Dada la función f (x) = 2x3 − 3x2 + k, estudia, según los valores de k ∈ R,cuántas raíces reales tiene la ecuación f (x) = 0.

Representación gráfica

25. (nivel 2) Para cada apartado, i) halla todos los puntos x tales que f ′

(x

) = 0,

ii) estudia el signo de f ′ y determina aquellos intervalos en los que f es monó-

tona, iii) estudia el signo de f ′′ y determina aquellos intervalos en los que f ′ esmonótona, iv) esboza el grafo de f .

(a) f (x) = x3 − 4 x,

(b) f (x) = x + 1x2 ,

(c) f (x) = 1(x−1) (x−3) ,

(d) f (x) = x − sen x,

(e) f

(x

) =

x2

6 +

cos2x12

.

26. (nivel 2) Dados m, n ∈ N, halla los puntos críticos de la función f (x) = xm (1

−x)n

.27. (nivel 1) Da un ejemplo de una función no acotada que tenga un mínimo absoluto.

Especifica en qué punto se alcanza el mínimo y su valor, y demuestra que lafunción no está acotada.

28. (nivel 2) Dibuja los grafos de las siguientes funciones:

a) y = xx−1

, b) y = xlog x

, c) y = 1+cos(2 x)

1+2 cos x ,

d

) y = e

x2+1

x−1 e

) y = x2

+x+1x2

−1 f

) y =

1 +

1x

x+1

.

Máximos y mínimos

29. Halla los extremos relativos de las siguientes funciones en sus respectivos dominios

(a) f (x) = (x − 1)2(4 − x)(b) f (x) = cos x

(c) f

(x

) =

x2

x2 + 2

(d) f (x) = 1 + 2x arctg x

1 + x2

(e) f (x) = √ 1 − x2

(f) f

(x

) = arcsen

2x

1 + x2





30. Halla los extremos absolutos de las siguientes funciones en los intervalos que seindican

(a) f (x) = (x − 1)2(4 − x) en [0, 4](b) f (x) = cos x en 0,

π

2

(c) f (x) = x2

x2 + 2 en [−2, 2]

(d) f (x) = 1 + 2x arctg x1 + x2

en [2, +∞)(e) f (x) = √ 1 − x2 en 1

2, 1

(f) f (x) = arc sen 2x

1 + x2 en [2, +∞)

31. (nivel 2) Dado un triángulo rectángulo de catetos a y b e hipotenusa 1, halla elmayor valor que puede tomar la expresión 2 a + b.

32. (nivel 2) Dada la elipsex2

9 +

y 2

4 = 1,

trazamos una cuerda que pasa por el punto B = (0, 2). Halla la longitud máximaque puede tener.

33. (nivel 2) Dada la parábola y = −x2 + 6x − 5, construimos un rectángulo que tengados vértices en ella y los otros dos en el eje OX . Halla el área máxima que puedetener dicho rectángulo.

34. (nivel 2) Una lata cilíndrica de pimientos, tomada al azar en un supermercado,

medía 10 cm. de diámetro y 11.5 cm. de altura, de donde se deduce que el fa-bricante no tenía asesores matemáticos. ¿Qué le aconsejaría alguien que supiesematemáticas? Razónalo. (Pista: no hay que derrochar latón.)

Desarrollos de Taylor

35. (nivel 2) Aproxima √

e utilizando un desarrollo de Taylor de segundo orden.

36. (nivel 2) Dado b ∈ R, b ≠ 0, calcula

lımx→0

3sen(a x) − 3 a x − a3 x3

6 b x − 6sen(b x) + b3 x3 ,

donde mediante adecuados desarrollos de Taylor de orden tres.

37. (nivel 2) Utilizando un polinomio de Taylor de orden 2 en torno a x0 = π2 calcula:

lımx→π

2

log (sen x)(π − 2 x)2 .

38. (nivel 2) Calcula una aproximación de

√ 26 utilizando un polinomio de Taylor de

orden 2 en torno a x0 =

25.Semestre de primavera, curso 2014/2015




39. (nivel 2) Calcula, de dos formas distintas

lımx→0

tg

(2x

)x .

40. (nivel 2) Queremos aproximar 1e con un error menor que 0.002 mediante un desa-

rrollo de MacLaurin. Calcula el orden, n, que debe tener, al menos, dicho desa-rrollo y aproxima 1

e usando el polinomio que hayas obtenido.

41. (nivel 2) Queremos aproximar log2 usando la función

f

(x

) = log

1 + x

1 − x

(observa que f (13) = log2). Utiliza los tres primeros términos no nulos de undesarrollo de Taylor de f para aproximar log2.

42. (nivel 3) Dada la función f (x) = ex + x.

(a) Calculalım

x→−∞

f (x) y lımx→+∞

f (x)(b) Demuestra que f tiene una única raíz.

(c) Utiliza un desarrollo de Taylor de orden 2 para estimar cuánto vale dicharaíz. De las dos soluciones obtenidas, ¿cuál te parece la más apropiada? ¿Por

qué?

43. (nivel 2) Calcula, de dos maneras distintas

lımx→1

sen π2x

log x(x3 + 5)(x − 1) .

44. (nivel 2) Dada f (x) = x5 −2x2 + 5x, demuestra que existe un c ∈ Rtal que f (c) = 1.Da una aproximación de c con una cifra decimal exacta.


lımx→0

log(1 − 2x) + 2x

x2 .

de dos maneras distintas

(a) aplicando la regla de L’Hôpital

(b) utilizando un polinomio de Taylor adecuado.

46. (nivel 2) Calcula, mediante desarrollos limitados de Taylor





(a) lımx→0

senx − tgx

x3

(b) lım

x→0

5x − 1

x

(c) lımx→a

xn − an

x − a , n ∈ N

(d) lımx→0

x2 − 2sen x

x

(e) lımx→0

x − sen x

x3 .

47. (nivel 2) Utilizando alguno de los métodos vistos en clase aproxima, con dos cifrasdecimales exactas, la menor de las raíces positivas de la ecuación

4 (x − 1) = sen x.

48. (nivel 2) Calcula:

lımx→0

x2 ex

(ex − 1)2(a) mediante polinomios de Taylor,

(b) mediante la regla de l’Hôpital.

49. (nivel 2) Calcula de dos maneras distintas (una de ellas, utilizando desarrolloslimitados de Taylor):

lımx→0

1 − ex2+ 2 x3

sen x + x2 + log(1 + 2x) .

50. (nivel 3) Estudia, en función de los valores de k ∈ R, cuántas raíces reales tiene la

ecuación 2 x3 −

3 x2 +

k =

0. Para el caso k = −

1 aproxima, con una cifra decimalexacta, una raíz de la ecuación (utilizando alguno de los métodos vistos en clase).

Series de potencias

51. Halla el dominio de convergencia de las siguientes series de potencias y súmalas.

(a)+∞

n=0

n + 1

n! xn

(b)

+∞

n=0(n + 1)2xn

(c)+∞

n=1

(−1)n

4n − 2x4n−2

(d)+∞

n=0

(−2)n n + 2

n + 1xn

(e)+∞

n=2

1

n2 − 1xn+1

(f)+∞

n=0

(−1)n

22n

(2n + 1

)x2n

(g)+∞

n=0

2n

+ n3n+1 (x + 1)2n+1

(h)+∞

n=0

2n

n 1

24n+1x2n+1

(i)+∞

n=0

(−3)n+1 n + 2

n xn−1

52. Desarrolla en serie de potencias las siguientes funciones, indicando en qué inter-

valo es válido tal desarrollo.Semestre de primavera, curso 2014/2015




(a) 1

9 − x2

(b) arc sen

2x

1 + x2

(c) x

x2 − 5x + 6

(d) (1 + x) log(1 + x)(e) log(1 + x2) − 2x arctg x

(f) cos2 x

(g) 1

√ 1 − 4x2

(h) 1

1 − 2x2 + x4

(i) x3 + 1

8 − x3

(j) (1 + ex)2





Más ejercicios

Regla de la Cadena1. (nivel 2) Dada la ecuación (x2 + y2)3 − 3 (x2 + y2)+ 1 = 0, en la que x es la variable

independiente e y = y(x), calcula y′(x).2.

2. (nivel 2) Tenemos una curva de ecuación

tg(x y2) = 2 x y

π

x es la variable independiente e y = y

(x

). Calcula la ecuación de la recta tangente

a la curva en el punto

(−π, 1

2

).

3. (nivel 2) Dada la ecuación x4 + 3 y (x2 − y2) = 0, en la que x es la variable inde-pendiente e y = y(x), calcula la ecuación de la recta tangente al grafo de f en elpunto ( 3

2√

2, −

34).

4. (nivel 2) Dada la ecuación x2 y−e2 x= sen y, en la que x es la variable independiente

e y = y(x), calcula y′(x).5. (nivel 1) Un objeto circular va aumentando de tamaño. Se sabe que cuando el

radio es 6 cm, la tasa de variación dicho radio es de 4 cm/s. Halla la tasa devariación del área cuando el radio es de 6 cm.

6. (nivel 1) Dada la ecuación x = y log(x y) en la que x es la variable independientee y = y(x), calcula y′(x).

7. (nivel 1) Un coche que se mueve a 60 kilómetros por hora a lo largo de unacarretera recta pasa bajo un globo meteorológico que se eleva verticalmente a20 kilómetros por hora. Si el globo está a una altura de un kilómetro cuando elcoche está debajo de él, ¿con qué rapidez está aumentando la distancia entre elcoche y el globo un minuto después?

8. (nivel 1) Calcula la ecuación de la recta tangente a la curva y2 + x2= y4 − 2x en

el punto (−2, 1).9. (nivel 2) Un punto se mueve a lo largo de la parábola x2= 4 p y ( p constante) de

tal manera que su proyección sobre el eje x tiene velocidad constante c. Calculala aceleración de su proyección sobre el eje y.

10. (nivel 2) Una partícula se mueve en el plano siguiendo una trayectoria que vienedada por las ecuaciones:

x(t) = sen t

t + 1, y(t) = t2

− 1.

2

Es frecuente utilizar también la notación

dy

dx para representar y ′

(x)Semestre de primavera, curso 2014/2015




Calcula dydx en el instante t = 0 y la ecuación de la recta tangente a la trayectoriaen el punto

(0, −1

).

11. (nivel 1) Un cohete que pese 1000 kg sobre la superficie de la Tierra, pesa:

W (r) = 10001 + r40002

kg

cuando está r metros por encima de la superficie de la Tierra. Si el cohete se estáelevando a una tasa de 1.25 metros por minuto, ¿con qué rapidez está perdiendopeso cuando su altitud es de 1000 m?

12. (nivel 2) Cuando una plancha circular de metal se calienta en un horno su radioaumenta a la velocidad de 0.01 cm/min. ¿A qué velocidad está aumentando el

área de la plancha cuando su radio es de 50 cm?maxmin

13. (nivel 2) Prueba que la función f (x) = x4 − 4x3 − 6x tiene algún máximo o mínimorelativo y utiliza uno de los métodos que hemos visto en clase para dar unaaproximación de su valor con dos cifras decimales exactas.

14. (nivel 2) La concentración de la especie B en el proceso cinético A k1→B

k2→C ,

consistente en dos reacciones irreversibles de primer orden, viene dado por:

[B] = [A]0 k1

k2 − k1 (e−k

1t

− e−k

2t)

con k1 ≠ k2 ≠ 0 y k1, k2 del mismo signo. Halla el tiempo t, en función de lasconstantes cinéticas k1 y k2 (suponiendo que [A]0 es constante) en el cual B

tiene concentración máxima o mínima.

15. (nivel 2) ¿Es posible encontrar un polinomio f de grado 3 que tenga un mínimorelativo en el punto P = (1, −3) y un máximo relativo en el punto Q = (−1, 1)? Sila respuesta es sí :

(a) justifica que P =

(1, −3

) es un mínimo relativo de f y Q =

(−1, 1

) es un

máximo relativo de f .(b) justifica que f tiene al menos una raíz en [−1, 1]

16. (nivel 2) Estudia para qué valor de a ∈ R la función

f (x) ∶=eax − ex − x

x2

tiene límite finito cuando x→ 0. ¿Cuál es ese límite?

17. (nivel 2) Sea f

(x

) = x5 − 2x2 + 5x. Demuestra que existe c ∈ R tal que f

(c

) = 1.

Calcula una aproximación de ese número con una cifra decimal exacta.UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




18. (nivel 2) Una cinta transportadora está vertiendo arena gruesa sobre un montónde forma cónica a una velocidad constante de 60π metros cúbicos por minuto.Las fuerzas de rozamiento son tales que la altura del montón es siempre 2/3 delradio. ¿A qué velocidad está cambiando el radio del montón cuando su altura esde 5 metros?

19. (nivel 1) La probabilidad de que una molécula de masa m en un gas a tempe-ratura T tenga velocidad v viene dada por la llamada distribución de Maxwell-Boltzmann :

f (v) = 4π m

2πkT 32

v2 e−mv

2

2kT

donde k es una constante, llamada constante de Boltzmann . Halla la velocidadmás probable de la molécula, es decir, la velocidad para la cual f

(v

) es máxima.

Separación y aproximación de raíces

20. (nivel 2) Sea n ∈ N impar y a ∈ R, a < 0. Demuestra que existe un único b ∈ R, b < 0

tal que bn = a.

21. (nivel 2) Efectúa cuatro iteraciones con el método de Newton–Raphson paraaproximar la raíz positiva de la ecuación x2

= 2. Comienza las iteraciones conx0 = 2. ¿Qué ocurre si comenzamos las iteraciones con x0 = −2? ¿Y si comenzamoscon x0 = 0? (Puedes ayudarte con una gráfica para dar la respuesta).

22. (nivel 2) Demuestra que el polinomio p(x) = x3 − 3x − 5 tiene una única raíz real.Aproxima el valor de esa raíz con una cifra decimal exacta utilizando alguno delos métodos vistos en clase.

23. (nivel 3) Estudia, según los valores de k ∈ R cuántas raíces reales tiene la ecuaciónx3 − 3x + k = 0. Para el caso k = 3 aproxima una raíz de la ecuación con una cifradecimal exacta utilizando alguno de los métodos vistos en clase.

Máximos y mínimos

24. (nivel 2) Dada una esfera de radio R, halla el radio r y la altura h del cilindrocircular recto de mayor superficie lateral (que, recuerda, vale 2πrh) que puedeinscribirse en la esfera.

25. (nivel 2) Dado un semicírculo, halla el trapecio de mayor área que puede ins-cribirse en él y cuya base inferior es el diámetro del semicírculo.

26. (nivel 2) La concentración C de un fármaco en sangre t horas después de serinyectado por vía intramuscular viene dada por: C

(t

) = 3 t

(27 + et

). ¿Cuándo es

máxima?Semestre de primavera, curso 2014/2015




27. (nivel 2) Se necesita una línea de potencia para conectar una estación eléctricasituada en la orilla de un río con una isla situada cuatro kilómetros río abajo y aun kilómetro de la orilla. Halla el coste mínimo para la línea sabiendo que el cablesubfluvial cuesta 50000 euros por kilómetro, mientras que un cable subterráneosólo cuesta 30000 euros por kilómetro.

28. (nivel 2) Un arquitecto quiere diseñar una ventana en forma de rectángulo coro-nado por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana está limitado a 24 metros,di razonadamente qué dimensiones deberá elegir el arquitecto de manera que laventana permita entrar la mayor cantidad de luz.

Desarrollos de Taylor

29. (nivel 2) Calcula una apoximación de sen 1○ utilizando un desarrollo de Tayloradecuado de orden 3. (Nota: ten en cuenta que primero debes expresar 1○ enradianes).

30. (nivel 3)

(a) Calcula el dominio, D, de la función:

f (x) = log x + x2

y, sin calcularlas explícitamente, estudia cuántas raíces tiene la ecuación:

f (x) = 0 (3.18)

en D.

(b) Mediante un desarrollo de Taylor de segundo orden de la función log x entorno a x0 = 1, calcula una aproximación de la raíz de (3.18) en D..

31. (nivel 2)

(a) Deriva varias veces la función

senh(x) =ex − e−x

2 ⋅

hasta intuir una expresión de su derivada n-ésima.

(b) Calcula, con dos procedimientos distintos

lımx→0

2 senh(x)x (x + 3) ⋅

32. (nivel 3) Dada la función:

f

(x

) = log

1 + x

1 − x





(a) Deriva f varias veces e intuye una expresión para su derivada n-ésima.

(b) Calcula el polinomio de McLaurin de orden n de f .

(c) Calcula una aproximación de log3 tomando n = 3 y x = 0.8.

Nota Recuerda que es más fácil derivar una suma que un producto. Observa quef (x) también se puede expresar como 1

2 [log(1 + x) − log(1 − x)] (en el dominio

adecuado).

33. (nivel 2) Aproxima 3√

9 utilizando un polinomio de Taylor de orden 2 de (8+x)13.





Ejercicios complementarios

1. (nivel extra) ¿Qué condiciones tienen que satisfacer los parámetros reales p y q para que la ecuación x3 + p x + q = 0 tenga exactamente tres raíces reales?

2. (nivel extra) Calcula, utilizando alguno de los métodos vistos en clase, una solu-ción aproximada de la ecuación: x = cos x con una cifra decimal exacta.

3. (nivel extra) ¿Cómo crees que habría que interpretar la siguiente fórmula?

cos x =∞

k=0

(−1)k x2k(2k)!

4. (nivel extra) Dada la función:

f (x) = ∞

n=1

(x + 1)n

2n ,

(interpretando la expresión anterior como que sabemos el polinomio de Taylor def de cualquier orden). Calcula f (9(−1).

5. (nivel extra)

(a) Dado 0 ∈

[0, 1

2

], demuestra que:

sen x = x − x3

3! + r(x), con r(x) ≤ (12)5

5! .

(b) Utiliza la estimación de (a) para encontrar un valor aproximado de

√

22

0sen x2dx.

6. (nivel extra) Dada la función

f ∶ [0, 1]→ R

x

sen x

x si 0 < x ≤ 1,

1 si x = 0

queremos aproximar

1

0f (x)dx (3.19)

Utiliza los tres primeros términos no nulos del desarrollo de MacLaurin de sen x

para calcular una aproximación de (3.19).UPNA, grado en ingeniería en tecnologías de la telecomunicación




7. (nivel extra) Calcula una aproximación de:

1

0

x2 + 1

x2 − 3x + 2 dx

utilizando un desarrollo de MacLaurin de orden 3 de x2+1

x2−3x+2

.

Nota: Observa que es más sencillo hacer el desarrollo de MacLaurin si se des-compone la fracción en fracciones simples.




Bibliografía

[1] R. A. Adams. Cálculo. Editorial Addison Wesley, Madrid, 2009.

[2] A. García y otros. Cálculo I. Teoría y problemas de Análisis Matemático en una variable . Editorial CLAGSA, Madrid, 1993.

[3] B. García, I. Higueras, T. Roldán. Análisis matemático y métodos numéri-cos . Universidad Pública de Navarra (2ª edición revisada), 2007.

[4] J. L. López. Álgebra lineal . Universidad Pública de Navarra, 2007.

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