Matemáticaspara alumnos de tercero medio

“Métodos de Conteo”

Por Moisés GrilloIng. Industrial

Contar pequeñas cantidades es fácil

Dos peras

Tres personas

CincoAviones

El problema es contar grandes cantidades

Las personas en una asamblea Los ladrillos de una pared

Multiplicación:Herramienta fundamental de conteo

6

12

6 X 12 = 72 aviones

¿Cuantos Aviones hay en la tabla?

Se debe contar el número de filas y el número de columnas y luego multiplicar los resultados

Ejercicios

40 autos

Ejercicios

24 laminas

Ejercicios

32 pupitres

Factorial de un número5!=5×4×3×2×1=120

3!=7!=9!=1!=0!=

65040362880

11

6!=6×5×4×3×2×1 =720

Variación – Permutación - Combinación

Cuando se desea contar las formas en las que puede ocurrir un suceso se utilizan los siguientes métodos

Variación: El suceso cambia al cambiar el orden o los

elementos

VariaciónEl suceso cambia cuando cambian los elementos o el orden

Los colores de una bandera

En las primeras dos banderas hay un cambio de orden

En la última bandera hay un cambio de elementos

Variación – Permutación - Combinación

Variación: El suceso cambia al cambiar el orden o los

elementos

Permutación:Sólo puede cambiarse el orden

PermutaciónSólo puede cambiar el orden

Los libros en un estante

Si tenemos un conjunto determinado de libros en un estante, sólo podemos cambiar el orden en el que colocamos los libros en el estante

Variación – Permutación - Combinación

Variación: El suceso cambia al cambiar el orden o los

elementos

Permutación:Sólo puede cambiarse el orden

CombinaciónEl suceso cambia al cambiar los elementos

CombinaciónEl suceso cambia al cambiar los elementos

Un grupo de estudio Si cambiamos el orden

del grupo, sigue siendo el mismo grupo

Si cambiamos uno de los integrantes, ya no es el mismo grupo

Ejercicios1. ¿De cuantas maneras diferentes podemos

ordenar seis libros en un estante?

2. ¿Cuántos grupos de trabajo deferentes de tres estudiantes se pueden formar con cuatro alumnos?

3. ¿Cuantas banderas diferentes de tres colores se pueden formar con los colores rojo amarillo blanco y verde, sin repetir ningún color?

Permutación

Combinación

Variación

VariaciónEl suceso cambia cuando cambian los elementos o el orden

¿Cuantas banderas diferentes de tres colores se pueden formar con los colores rojo, amarillo, blanco y verde, sin repetir ningún color?

!!

rn

nnVr

n!

nVr =n -r !

4 3

4!V =

4 -3 !4!

=1!

4×3×2×1=

1=24

n =4

r =3

Ejercicios ¿Cuantas banderas diferentes de dos

colores se pueden formar con los colores rojo, amarillo, blanco y verde, sin repetir ningún color?

¿De cuantas formas puedo ordenar los libros de un estantes, si tengo ocho libros y sólo entran seis?

¿De cuantas formas pueden sentarse cuatro personas en un banco si se las escoge de entre siete personas?

4 2V =12

8 6V =20160

7 4V =840

PermutaciónSólo puede cambiar el orden

¿De cuantas maneras diferentes podemos ordenar seis libros en un estante?

nP =n!

6P =6×5×4×3×2×1

6P =720

Ejercicios

¿De cuantas formas puedo ordenas cinco libros en un estante?

¿Cuántas banderas de tres colores se pueden formar con rojo blanco y verde, sin repetir ningún color?

¿De cuantas formas pueden ordenarse siete alumnos en una fila?

5P =120

3P =6

7P =5040

CombinaciónEl suceso cambia al cambiar los elementos

¿Cuántos grupos de trabajo deferentes de tres estudiantes se pueden formar con cuatro alumnos?

4 3

4!C =

3! 4 -3 !

n!

nCr =r! n -r !

4!=

3!×1!24

=6×1

=4

n =4

r =3

Ejercicios

¿De cuantas formas puede formar un grupo de cuatro alumnos seleccionados de entre nueve alumnos?

¿De cuantas formas puedo seleccionar tres colores de entre los siguientes: rojo, azul, verde, amarillo, negro, naranja y blanco?

¿De cuantas formas puedo seleccionar cuatro libros de entre cinco libros?

9 4C =126

7 3C =35

5 4C =5

Número Combinatorio

nCr

n=

r n!

=r! n -r !

6

2 6!

=2! 6 -2 !

6!=

2! 4 !

6×5×4!=

2!×4!30

=2

=15

Ejercicios

7

3

9

5

8

2

4

1

6

0

9

9

=35

=126

=28

=4

=1

=1

Binomio de Newton

-

0

nn n k k

k

na b a b

k

2x +y

2-0 0 2-1 1 2-2 22 2 2= x y + x y + x y

0 1 22 1 1 0 2=1x 1+2x y +1x y2 2=x +2xy +y

Binomio de Newton

-

0

nn n k k

k

na b a b

k

3x +y

3-0 0 3-1 1 3-2 2 3-3 33 3 3 3= x y + x y + x y + x y

0 1 2 3

3 2 2 3=x +3x y +3xy +y

Binomio de Newton

3a +b 3 2 2 3=a +3a b +3ab +b

4a +b 4 3 2 2 3 4=a +4a b +6a b +4ab +b

5a +b

5 4 3 2 2 3 4 5=a +5a b +10a b +10a b +5ab +b

Números Combinatorios

6

2Numerador

Orden

Se lee “ 6 sobre 2”

Números Combinatorios

6

2 6!

=2! 6 -2 !

6!=

2! 4 !

6×5×4!=

2!×4!30

=2

=15

6

26×5

=2×1

30=

2=15

Números Combinatorios

7

37×6×5

=3×2×1

35=

1=35

10

410×9×8×7

=4×3×2×1

210=

1=210

Ejercicios

8

2

7

5

9

3

8

4

5

0

6

6

=28

=21

=84

=70

=1

=1

2

35

2 2 25 5

×5

-1 × -2=

3×2×1

-5 -10× ×

=

2 2 25 5 5

6

2 -3 -8× ×

5 5 5=6

48125=

61

8=

125

__1

__1

Ejercicios

1

27

2

92

1

45

2

03

5

12

5=

128

2=

7

63=

8

21=-

625

=1

7=

256

3

34

Binomio de Newton

n n-

k=0

k kna +b

k a b

12x +y

...

1 310 20 21 1 1 1

- - - -2 2 2 32

1 1 1 1x y + x y + x y + x y2 2 2

32

210

1 1 3 5- - -2 32 2 2 21 1 1

x + x y - x y + x y ...2 8 16

Binomio de Newton

13a +b

...

...

1 1 1 1-0 -1 -2 -30 1 2 33 3 3 3

1 2 5 8- - -2 33 3 3 3

1 1 1 1= a b + a b + a b + a b3 3 3 3

0 1 2 3

1 1 5=a + a b - a b + a b

3 9 81

14a +b ...

...

1 1 1 1 1-0 -1 -2 -3 -40 1 2 3 44 4 4 4 4

1 3 7 11 15- - - -2 3 44 4 4 4 4

1 1 1 1 1= a b + a b + a b + a b + a b4 4 4 4 4

0 1 2 3 4

1 3 7 77=a + a b - a b + a b - a b

4 32 128 2048