Matemática y Razonamiento Lógico - Radio Fe y Alegría ... · hagas un repaso detallado de los...

Semana 1Orientaciones generales 147

Semana 2Diagnosis 149

Semana 3Potenciación 151

Semana 4Divisibilidad 158

Semana 5Conjuntos numéricos: naturales y enteros 168

Semana 6Las fracciones 179

Semana 7Orden de las fracciones. La adición y sustracción 185

Semana 8Multiplicación y división de fracciones 198

Semana 9La proporcionalidad 202

Semana 10Cuerpos geométricos. Construcción y aplicaciones 211

Semana 11Elementos geométricos del entorno 217

Semana 12Gráficos estadísticos 220

Semana 13Análisis estadístico 227

Semana 14Consolidación de aprendizajes 228

Referencias 231

Matemática y Razonamiento Lógico

2do. semestre EMT

Semana 1Orientaciones generales

147

Orientaciones generales Semana 1

Bienvenido y bienvenida a esta primera semana, en la que darás continuidad a tu proceso de formación en el área de Matemática y Razonamiento Lógico. El objetivo primordial en este encuentro es que manifiestes tus expectativas e intereses sobre el área y que, además, hagas un breve repaso de lo que estudiaste en el semestre pasado.

Actividad 1. Intereses y expectativas

1. Forma un pequeño grupo, de 4 ó 5 participantes, con los que puedas relacionarte y compartir experiencias.

2. Discute con tus compañeros la experiencia que han tenido en el IRFA.

3. Desde tu experiencia en este programa de estudios, ¿qué aspectos positivos y negativos podrías señalar? Discute con tu grupo.

4. ¿Cuáles son las expectativas que tienes para este nuevo semestre?

5. En un papelógrafo, escribe las expectativas que tiene el grupo, para que luego las expongas al resto de los participantes.

Actividad 2. Repasando lo aprendido

Responde las siguientes preguntas individualmente, para que luego las discutas con tus compañeros en el CCA.

Orientaciones generalesSemana 1

148

1. Menciona dos contenidos matemáticos del semestre anterior, que consideres que has logrado dominar.

2. ¿A cuáles situaciones cotidianas puedes asociar estos contenidos?

3. A partir de tu experiencia en el semestre anterior, ¿consideras que es importante saber Matemática para comprender y convivir mejor en nuestra cotidianidad? Explica.

En el transcurso del semestre, iremos traba-jando con nuevos contenidos matemáticos y las aplicaciones de éstos a la vida cotidiana. Para calentar motores e iniciar con buen pie, te sugerimos, que para el próximo encuentro, hagas un repaso detallado de los contenidos matemáticos estudiados en el módulo anterior.

Semana 2Diagnosis

149

Bienvenido y bienvenida a nuestro segundo encuentro. En esta oportunidad nos planteamos dos objetivos: primero, establecer las formas de evaluación que tendre-mos a lo largo del semestre y, luego, diagnosticar el nivel de aprendizaje matemático que has adquirido, tanto empíricamente, como en tus estudios previos.

Los contenidos que trabajaremos en este semestre están relacionados con tu entor-no cotidiano. Básicamente, trabajaremos con tópicos muy importantes para el desa-rrollo de nuestro pensamiento lógico matemático. En primer lugar, abordaremos los conjuntos numéricos y todas las operaciones y propiedades que se cumplen en éstos, y además, veremos la gran aplicabilidad que tienen los mismos en nuestro entorno; luego, trabajaremos con Geometría, una rama de la Matemática, que sin duda, pode-mos apreciar en todos los aspectos de nuestra vida, desde las estructuras de nuestras casas, hasta el comportamiento de los astros en el universo. Finalmente, haremos un trabajo con una rama de la Matemática que no se escapa de nuestra cotidianidad, la Estadística, con la cual podemos hacer, por ejemplo, un análisis de una temporada de béisbol y hasta predecir sus resultados. La Estadística, además, es muy útil en los tra-bajos de investigación, así como en la política, la economía, las ciencias sociales, etc.

Para comenzar a sumergirnos en esta nueva etapa de adquisición de nuevos saberes, es necesario que, a modo de diagnosis, comencemos recordando algunas ideas que, quizás, tenemos olvidadas desde hace mucho tiempo. A continuación, se te presentan una serie de problemas para que trates de responder, a partir de los conocimientos previos que tú tengas y luego intercambies opiniones con el resto de los participantes en el CCA. Ten en cuenta que, de momento, no se esperan respuestas acertadas, ni tampoco justificaciones matemáticas, sólo se busca que respondas con lo que sabes.

1. Una planta que está en una laguna se reproduce de la si-guiente manera: el primer día sólo había una planta, el segundo día había dos plantas, el tercer día había cuatro plantas, el cuarto día había 8, al siguiente día ya había 16 y así sucesivamente. a) Después de 10 días ¿cuántas plantas habrán?; b) Si en el día número 30 la mitad de la laguna estaba llena de plantas, ¿qué día estará completamente llena la laguna?

2. Carlos va a la biblioteca cada 3 días y Juan va cada 15 días, ambos a la misma hora. Si hoy se han encontrado los dos en la biblioteca, ¿cuándo van a coincidir nuevamente?

Diagnosis Semana 2

DiagnosisSemana 2

150

3. ¿De cuántas maneras podemos colocar 16 libros en varios estantes, de modo que cada estante tenga el mismo nú-mero de libros?

4. ¿Qué fracción indica la porción de torta que le corresponde a cuatro personas, si a cada una se le da la misma cantidad?

5. Eduardo gasta de su sueldo: 1/4 en comida, 1/5 en ropa, 1/3 en alquiler, 1/6 en vicios y el resto lo ahorra. ¿Qué parte del sueldo ahorra Eduardo? Si su sueldo es de 1200 Bs.F., ¿cuánto gasta?

6. La siguiente figura representa el plano de un parque a) ¿qué figuras geométricas observas en la cancha?, ¿cuáles se repiten? Clasifícalas de acuerdo a su forma.

7. ¿Qué interpretación puedes hacer a partir del siguiente diagrama?

Gráfico: Tomado de: http://www.evp.edu.py/images/EST2P018D0002.png

Gráfico. Tomado de: http://www.clubdeamigos.org.ar/admin/files/htmlimg/clip_image002.jpg

Semana 3Potenciación

151

Bienvenido y bienvenida a nuestro tercer encuentro en este maravilloso mundo de las matemáticas, mundo en el que subyacen muchas situaciones cotidianas que nos permiten explorarlo con mucha facilidad.

En el semestre anterior, estudiaste el conjunto de los números naturales y con ellos algunas operaciones, como la suma, la sustracción, la multiplicación y la división, al igual que sus propiedades. En esta ocasión, tendremos la oportunidad de hacer un es-tudio sobre otra operación muy importante en el conjunto de los números naturales: la potenciación.

Para este encuentro, será necesario que recuerdes las operaciones ya estudiadas, al igual que sus propiedades (en caso que tengas dudas, recurre a los materiales del semestre pasado), pues nos basaremos en éstas para definir la potenciación.

Al finalizar la sesión, verás las aplicaciones que tiene la potenciación en la vida coti-diana y podrás hacer cálculos donde interviene esta operación, haciendo uso de sus propiedades. Para este encuentro es necesario que tengas bien claro cómo se realiza la multiplicación en el conjunto de los números naturales, así como sus propiedades.

Recuerda que si multiplicas dos números, cada uno de ellos recibe el nombre de factor y cuando los sumas, cada número recibe el nombre de sumandos.

Con los conocimientos adquiridos en el semestre anterior, trata de analizar la siguien-te situación (inicialmente tú, y en el encuentro en el CCA, hazlo con tus compañeros): Juan es el dueño de un pequeño abasto. Juan debe determinar cuántos huevos tiene en el abasto, para saber por cuánto tiempo estará surtido. Al hacer el inventario, se encuentra que tiene ocho (8) “cartones” llenos, conteniendo cada cartón 30 huevos. ¿Existen varias formas de responder a las preguntas de Juan?

Si tienes alguna dificultad, no dudes en consultar con tus compañeros o pregúntale a tu facilitador.

Potenciación Semana 3

PotenciaciónSemana 3

152

Generalmente las bacterias se reproducen por bipartición, esto es, llegado el mo-mento de la reproducción, se duplican. Un biólogo desea saber cuántas bacterias ten-dría luego de 10 reproducciones, si inicia su estudio con una sola.

Analicemos en detalle las sucesivas reproducciones, a partir de una bacteria. El diagra-ma que acompaña a la explicación nos servirá, a su vez, para esquematizar el proceso.

Denominaremos fase al momento de reproducción de una bacteria. Y diremos que la fase cero significa que la bacteria no se ha reproducido aún por primera vez. Luego, tenemos que:

Proceso de reproducción de las bacterias

Si seguimos con este análisis hasta llegar a la fase diez, sin duda daríamos respuesta al biólogo. Sin embargo, podríamos preguntarnos qué haríamos si el biólogo desea-ra saber el número de bacterias después de 100, 500, 1000 ó más reproducciones.

Fases Diagrama

Fase 0: Existe una bacteria que aún no se ha reproducido por primera vez.

Fase 1: La bacteria de la fase 0 se ha reproducido por primera vez “par-tiéndose” en dos, lo cual da origen a dos bacterias. Se duplicó el número de la fase 0.

Fase 2: Las dos bacterias que resulta-ron de la fase 1 se han reproducido, originándose de cada una de ellas dos nuevas bacterias, quedando un total de cuatro bacterias en esta fase. Se duplicó el número de la fase 1.

Fase 3: Las cuatro bacterias de la fase 2 se han reproducido, generándose de cada una de ellas 2 bacterias, re-sultando un total de 8 bacterias para esta fase. Se duplicó el número de la fase 2.

Fase 4: Las ocho bacterias de la fase 3 dan origen a dieciséis bacterias, dos por cada bacteria, es decir, nueva-mente se ha duplicado el número de bacterias de la fase anterior.


153

Hacerlo de esta forma significaría un trabajo arduo. Entonces, acudamos a nuestra amiga, la Matemática, a ver cómo nos puede ayudar.

Sabemos que, en cada fase, se duplica el número de bacterias, por tanto, tenemos que:

Observa que el número de bacterias resultantes en cada fase lo puedes obtener por dos métodos:

El primero y más natural es multiplicando por dos el número de bacterias de la fase anterior. Sin embargo, este método presenta un problema y es que, para saber cuán-tas bacterias hay en la fase 1000, debes saber primero cuántas hay en la fase 999 y para esto debes saber cuántas hay en la fase 998 y así sucesivamente. Este método suele llamarse recursivo, porque siempre se requiere del número anterior.

El segundo método, consiste en multiplicar el 2 (que representa en cuántas partes se divide cada bacteria) por sí mismo, tantas veces como fases hayan transcurrido. Así, por ejemplo, en la fase 5 habrá 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32.

Este ejemplo nos puede llevar a definir una nueva operación que llamamos poten-ciación. En principio, pensemos en esta operación como una multiplicación abrevia-da, es decir, de ahora en adelante, en vez de escribir: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 escribiremos 25

y lo leeremos como: dos elevado a la cinco, donde el 2 representa el número que se está multiplicando por sí mismo (factor) y el 5 el número de veces que se está multi-plicando. Luego, 25 representa el número dos multiplicado por sí mismo cinco veces. Entenderemos 20 como uno, pues en la fase 0 sólo hay una bacteria. Si queremos sa-ber cuántas bacterias habrán en la fase 1000 simplemente escribimos 21000 en lugar de escribir el 2 multiplicado mil veces. Este número puede ser obtenido fácilmente con una calculadora. Sin embargo, nosotros no lo calcularemos, pues nos interesaremos más en las propiedades de la potenciación.

Así como ocurre en la multiplicación y en la suma, los números involucrados en la potenciación reciben nombres particulares, observa el ejemplo:

base 25 exponente } potencia

Fase Número de bacterias

0 1

1 2 x 1 = 2

2 2 x 2 = 4

3 2 x 4 = 2 x 2 x 2 = 8

4 2 x 8 = 2 x 2 x 2 x 2 =16

5 2 x 16 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32


154

1. El factor que se repite se llama base.

2. El número que indica las veces que se repite el factor se llama exponente.

3. La expresión completa se llama potencia.

En el ejemplo precedente hemos usado como base el número dos, por la naturaleza propia del problema. No obstante, la base puede tomar cualquier número natural que conozcas. Observa la siguiente tabla:

Propiedades de la potenciación

Una vez que hemos entendido el significado de una potencia, podemos preguntar-nos cómo operar con ellas, es decir, si puedes multiplicar dos potencias por ejemplo, o dividirlas y, en tal caso, cuándo lo puedes hacer. Para ello, consideremos los siguientes ejemplos:

1. Sabemos que 53 lo podemos escribir como 5 x 5 x 5 y que 54 se puede expresar como 5 x 5 x 5 x 5. Ahora, si intentamos multiplicar estos dos números, obtendríamos la expresión:

2. Intentémoslo ahora con 72 y 76

Observa que, en ambos ejemplos, hemos multiplicado dos potencias con la misma base: en el primero, la base es 5 y en el segundo, la base es 7, y el resultado que se ha

Multiplicación Potencia

3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 36

10 x 10 x 10 103

7 x 7 x 7 x 7 74

9 x 9 x 9 x 9 x 9 95

20 x 20 x 20 x 20 204

13 x 13 132

53 x 54 = 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 57

53 54

72 x 76 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 78

72 76


155

45

42

45 4.4.4.4.4 =

42 4.4

45

= 43 42

(32)3 = (32) (32) (32) = 3.3.3.3.3.3 = 36

(53)5 = (53) (53) (53) (53) (53) = (5.5.5) (5.5.5) (5.5.5) (5.5.5) (5.5.5) =

5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 = 515

45

= 45-2 42

obtenido ha sido una potencia con la misma base, elevada a un exponente que tiene la particularidad de ser el resultado de la suma de los exponentes de las potencias originales, esto es:

1. 53 x 54 = 53+4= 57

2. 72 x 76 = 72+6= 78

Con estos resultados, podemos mencionar la primera propiedad de esta operación:

Prop.1. Multiplicación de potencias con igual base: Al multipli-car dos potencias que tienen la misma base, siempre obten-dremos como resultado una potencia con esa base y un ex-ponente igual a la suma de los exponentes de las potencias originales.

Consideremos ahora la siguiente división

Usando la definición que hemos dado de potencia, tenemos que,

pero, este cociente lo puedes escribir como,

luego,

Fíjate que el resultado que se ha obtenido es una potencia con la misma base, pero con un exponente que es igual a la resta del exponente que está en el dividendo, me-nos el exponente de la potencia que está en el divisor, es decir,

Con esto, podemos enunciar la segunda propiedad:

Prop. 2. División de potencias con igual base: al dividir dos po-tencias que tienen la misma base, siempre obtendremos como resultado una potencia cuyo exponente será la resta del expo-nente que está en el dividendo, menos el exponente de la po-tencia que está en el divisor.

Veamos esta potencia muy particular (32)3. Esta potencia tiene como base otra po-

tencia. Observemos cómo lo podemos resolver:

Veamos esta otra (53)5, esto es,

4.4.4.4.4 4 4 = = 4.4.4 = 1.1.4.4.4 = 4.4.4 = 43

4.4 4 4.


156

Observa que el resultado en ambos casos es otra potencia que tiene la misma base, con un exponente igual al producto de los exponentes, es decir,

(52)5 = 52.5

Enunciamos así nuestra tercera propiedad:

Prop. 3. Para calcular la potencia de una potencia, basta con escribir la misma base con un exponente igual al producto de los exponentes de las potencias iniciales.

Observa una forma de resolver este ejercicio (2.5)3:

(2.5)3 = (2.5) (2.5) (2.5)

Como la multiplicación cumple la propiedad asociativa y conmutativa, entonces po-demos escribir

(2.5)3 = 2.2.2.5.5.5 = 2353

Este resultado nos lleva a la siguiente propiedad:

Prop. 4. Para calcular la potencia de un producto, se eleva cada factor al exponente de la potencia.

Saber más

Para consolidar tus conocimientos sobre la potenciación, visita la siguiente dirección web, donde encontrarás otros ejemplos, que te ayudarán a superar tus dificultades.

http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/Matematica/TEMA2/potenciacionN.html

1. Toma una hoja de papel, divídela en dos partes iguales. Luego, sin desdoblarla, vuelve a dividirla en dos partes iguales, y de nuevo, divídela en dos partes iguales. Al desdoblar la hoja, ¿cuántos cuadrados quedaron marcados?

Si el proceso anterior lo repitieras 6 veces, ¿cuántos cuadros quedarían marcados? Y si lo haces 7, 8, 9 veces, ¿cuántos quedarían marcados?


157

En el encuentro en el CCA, contrasta tu resultado con el de tus compañeros.

2. Simplifica las siguientes potencias, utilizando las propiedades ya conocidas. Deja tu respuesta indicada como una potencia.

a) 132 x 133 b) c) (72)3 d) (7x5)

2 e)

f ) 33 x 35 g) h) (34)2 i) (6x3)

3 j)

3. En una calle hay 5 edificios, en cada edificio hay 5 pisos, cada piso tiene 5 apartamentos y en cada apartamento viven 5 personas. ¿Cuántas personas habitan en la calle? Grafica la situación y expresa tu respuesta como una potencia.

4. Juan se interesó en leer un libro de 100 páginas. El primer día leyó una página, y cada día leyó el doble de las páginas del día anterior. ¿Para qué día Juan habrá leído 63 páginas?

5. Carlos tiene sus dos padres; los padres de sus padres son sus abuelos; los padres de sus abuelos son sus bisabuelos; los padres de sus bisabuelos son sus tatarabuelos. Entonces, ¿cuántos abuelos tiene Carlos?, ¿cuántos bisabuelos tiene?, y ¿cuántos tatarabuelos tiene?

6. Pedro y María se casaron y tuvieron tres hijos; cada hijo ha tenido tres hijos más y cada uno de ellos ha tenido, a su vez, tres hijos. Entonces, ¿cuántos nietos tendrán en total Pedro y María?

En esta sesión, hemos estudiado la utilidad que tiene la Potenciación en nuestra cotidia-nidad. Hemos visto que ésta es definida como un producto abreviado y que además cumple ciertas propiedades que facilitan muchos cál-culos matemáticos a la hora de resolver algu-nos problemas.

55

53

47

44

3 4

4

2 3

3

DivisibilidadSemana 4

158

En este encuentro estudiaremos una herramienta sumamente importante para nuestras vidas: la divisibilidad. Esta herramienta nos permite dar respuesta a muchas interrogantes que a diario nos hacemos y que además usamos, sin ser conscientes de ello. La divisibilidad está presente en todo. Por ejemplo, un albañil que desea terminar una obra en un par de días puede pensar en buscar un compañero que le ayude, y así dividir el trabajo entre los dos, logrando terminar su obra más rápido, aunque, obvia-mente, también se dividiría el pago.

En el semestre anterior, trabajaste con la división y la multiplicación en los números naturales. Si no lo recuerdas, ubica la semana Nº 5 de la guía de autoaprendizaje del 7mo semestre y repasa ese contenido, pues será de vital importancia para que puedas comprender las nociones que trabajaremos en esta sesión, donde aprenderás el con-cepto de divisibilidad y su utilidad para solucionar problemas cotidianos, haciendo uso de algunos criterios de esta operación. Además, se espera que puedas encontrar el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de un conjunto de números y los uses para resolver problemas.

Razona y responde las siguientes interrogantes, para que luego, en el encuentro en el CCA, las discutas con tus compañeros.

1. ¿Cuántas camisas puedo comprar con 100 Bs.F. si cada una cuesta 20 Bs.F.?

2. ¿Cuántas vueltas le he dado a una plaza en 1 hora, si tardé 15 minutos por cada vuelta?

3. ¿Cómo puedo acomodar 15 camisas en 3 gavetas, si cada gaveta debe tener el mismo número de camisas?

4. El señor Eduardo ha recibido un bono de 750 Bs.F. por su buen rendimiento laboral. Él desea repartir ese dinero entre sus 15 nietos, ¿cuánto debe darle a cada uno, si quiere que éstos no piensen que tiene preferencia por alguno de ellos?

5. Un albañil debe colocarle cerámicas al piso de una habitación. El piso cubre un área de 16 metros cuadrados. Cada caja de cerámica cubre un área de 1 metro cuadrado. ¿Cuántas cajas necesita para cubrir el piso completo? Si cada caja cubriera 2 metros, ¿cuántas se necesitarían?

Consideremos la siguiente interrogante: ¿cómo se pueden distribuir 24 libros en 4 compartimientos de un estante, si todos los compartimientos deben tener el mismo número de libros?Una forma de dar respuesta a esta pregunta consiste en hacer el proceso de colocar 1


Semana 4Divisibilidad

159

libro en cada compartimiento, luego colocamos otro libro en cada compartimiento y repetimos el proceso hasta que se terminen los libros. La siguiente figura nos ilustra esta situación.

Sin embargo, este método podría ser poco práctico si aumentáramos el número de libros, digamos 100 libros, por ejemplo. Sería un poco tedioso ir colocando cada libro en cada compartimiento a la vez. No obstante, existe otra forma de dar respuesta a la pregunta que nos hicimos originalmente y sería simplemente dividiendo el número de libros (24) entre el número de compartimientos (4), esto es, 24 ÷ 4 = 6, este resulta-do indica que en cada compartimiento debemos colocar 6 libros.

Tratemos de responder la misma pregunta, pero, ahora considerando que se tienen 25 libros. Al hacer la división veríamos que no existe un número entero de libros, de manera que puedan colocarse en cada compartimiento y que éstos queden con la misma cantidad, pues deberíamos colocar seis libros y un pedazo de otro en cada compartimiento, si quisiéramos que todos queden igualmente distribuidos.

En el ejemplo precedente se puede observar que el 4 es un divisor del 24, porque existe el número 6 que cumple la condición de que 24 = 6 x 4. También podemos decir que 24 es un múltiplo de 4.

Un número entero positivo (que representaremos con la letra b) es un divisor de otro entero positivo (representado por la letra a) si existe otro entero positivo (llamémoslo c) que cum-ple la condición de que a = b x c. También suele decirse que el entero positivo a es múltiplo del entero positivo b.


160

Veamos otra forma de esta definición:

Si al efectuar la división del número a entre el número b se obtiene un residuo igual a cero que dice que b es divisor de a, o también podemos decir que a es un múltiplo de b. Esto es,

Entonces decimos que b es divisor de a, o bien, a es múltiplo de b.

Veamos otros ejemplos que puedan aclarar estas explicaciones:

• 8 es divisor de 32, o bien 32 es múltiplo de 8.






En los ejemplos anteriores hemos dicho que 8 es divisor de 32, esto es porque existe el número 4 que hace que 8 x 4 = 32, o bien podemos decir que:

Trata de justificar el resto de los ejemplos que planteamos anteriormente, haciendo uso de las herramientas que hasta ahora se han proporcionado, y luego discútelos con tus compañeros en el CCA.

Una vez que tengamos claro lo que es un divisor y lo que es un múltiplo de un nú-mero dado, cabe la pregunta natural: ¿cuáles son los divisores y los múltiplos de un determinado número entero positivo y cómo se pueden encontrar?

Para conocer los múltiplos positivos de un número entero positivo, simplemente se multiplica dicho número por 1, 2, 3, 4, 5, 6,… Así, los primeros cinco múltiplos positi-vos del 5, vendrían dados por: 5 • 1 = 5; 5 • 2 = 10; 5 • 3 = 15; 5 • 4 = 20; 5 • 5 = 25.

Si queremos saber si un número a es múltiplo de otro número b, basta con dividir este otro por el primero y si la división da exacta, es decir, el residuo es igual a cero, entonces podemos decir que a es múltiplo de b.

Por otro lado, si deseamos saber los divisores de un número a, comenzamos a dividir este número entre 1, 2, 3, 4,… hasta el mismo número a, y todos aquéllos con los cua-les obtenga residuo cero serán los divisores de a. Por ejemplo, los divisores del 15 son los números 1, 3, 5 y 15, porque son los únicos que dividen al quince en un número exacto. Verifica esto como ejercicio.

a b

0 c

32 8

0 4


161

Números primos y compuestos

Consideremos el caso en el que queramos repartir 8 libretas entre un número de-terminado de personas, dándoles a cada uno la misma cantidad de libretas. Entonces, podríamos tener los siguientes casos:

• Las ocho libretas para una sola persona.

• Las ocho libretas repartidas entre dos personas, cuatro para cada una.

• Las ocho libretas repartidas entre cuatro personas, dos para cada una.

• Las ocho libretas repartidas entre ocho personas, una para cada una.

Ahora, consideremos que sólo hay 7 libretas, entonces, tendríamos estos casos:

• Las siete libretas para una sola persona.

• Las siete libretas repartidas entre siete personas, una para cada una.

Los números, como el 7, que sólo aceptan como divisores a él mismo y a la unidad, se llaman números primos.

Cuando un número no es primo, como el ocho, que también puede ser dividido por el 2 y por 4, recibe el nombre de núme-ro compuesto.

Definimos un número primo como cualquier entero mayor que el 1 y que sea divisible exactamente por dos números diferen-tes, él y la unidad.

El primer número primo es el 2, luego el 3, el 5, 7, 11, 13...

Escribe en una lista todos los números primos menores que 100.

Descomposición de un número en factores primos

Veamos cómo descomponer un número dado en factores primos, esto significa, es-cribir el número como el producto de números primos. Para ello, consideremos el nú-mero 360. Procedemos de la siguiente manera:

Primero, dividimos 360 entre el menor número primo posible, en este caso, el 2, y repetimos el proceso con este número mientras se pueda hacer, nos quedaría:

360 2

180 2

90 2

45


162

Como el 45 no se puede dividir por el número 2, entonces, procedemos a dividir por el siguiente número primo posible, en este caso, el 3:

Como el 5 no es divisible entre 3, entonces, ubicamos el siguiente número primo posible, el 5. Luego,

Este proceso se repite hasta que se obtiene 1 en el cociente.

Una vez hecho esto, podemos escribir 360 como el producto de factores primos, es decir,

360 = 2.2.2.3.3.5 = 23 . 32 . 5

Mínimo común múltiplo

Analicemos la siguiente situación: María va a la biblioteca cada 4 días y Carlos va cada 14 días, ambos a la misma hora. Si hoy se han encontrado los dos en la biblioteca, ¿cuándo van a coincidir nuevamente?

45 3

15 3

5

5 5

1

Sabemos que María a partir de hoy irá a la biblioteca nuevamente dentro de:

4 días por 1era vez

8 días por 2da vez


16 días por 4ta vez



32 días por 7ma vez

36 días por 8va vez

40 días por 9na vez





Por otro lado, Carlos irá a la biblioteca a partir de hoy dentro de:


28 días por 2da vez







126 días por 9na vez






163

Observa que el número de días que transcurren para que María vaya a la biblioteca son los múltiplos de 4, así como el número de días que transcurren para que Carlos vaya a la biblioteca son los múltiplos de 14.

Podemos ver entonces, que Carlos y María coincidirán de nuevo en la biblioteca cuando María haya ido por sexta vez y Carlos por segunda vez a partir de hoy, esto es, dentro de 28 días. Pero, además, volverán a coincidir cuando María haya ido por décima tercera vez y Carlos por cuarta vez, esto es, dentro de 56 días. Si continuamos llenando las columnas anteriores, podríamos determinar dentro de cuántos días vol-verían a coincidir María y Carlos.

Existen muchos números que son múltiplos comunes del 4 y del 14. Sin embargo, el número 28 es el menor de esos múltiplos comunes; este número recibe el nombre de mínimo común múltiplo, y lo escribimos así: m.c.m. (4, 14) = 28

Definimos el mínimo común múltiplo de dos o más números como el menor múltiplo común entre ellos.

Veamos otro ejemplo, un poco más operativo:

Encuentra el mínimo común múltiplo de los números 5 y 16.

Para hallar el mínimo común múltiplo entre dos o más números, no es necesario encontrar los múltiplos de cada uno de ellos hasta ver cuál coincide. Podemos hacerlo aplicando un criterio que permite resolverlo directamente:

Si se desea encontrar el mínimo común múltiplo de dos o más números, se debe descomponer cada uno de ellos en factores primos, y multiplicar los factores comunes y los no comunes que tengan el mayor exponente.

Ahora bien, para encontrar el m.c.m. (5, 16) procedemos a escribir cada uno de estos números como el producto de factores primos.

Por un lado, tenemos que el 5 es primo, por lo tanto no podemos descomponerlo. Por otro lado,

Luego, 16 = 24

En este caso, no hay factores primos comunes, así que multiplicamos los factores no comunes con su mayor exponente. Así, m.c.m. (5, 16) = 5.24 = 80

16 2

8 2

4 2

2 2

1


164

4 2

2 2

1

14 2

7 7

1

Para el caso de María y Carlos en la biblioteca, tendríamos lo siguiente:

4 = 22 14 = 2. 7

Como observamos, el único factor primo común es el 2, por tanto, lo tomamos don-de el exponente sea mayor, es decir, 22. El único factor no común es el 7. Luego, tene-mos que m.c.m. (4, 14) = 22 . 7 = 4 . 7 = 28.

Supongamos que Martha asiste a la misma biblioteca que Carlos y María, pero cada 15 días. ¿Cuándo coincidirán los tres, si hoy se encontraron en la biblioteca?

Para responder esta pregunta basta con encontrar m.c.m. (4, 14, 15). Ya sabemos que 4 = 22 y 14 = 2. 7, y al descomponer el 15 en factores primos tenemos que 15 = 3. 5. Luego tenemos lo siguiente:

4 = 22 14 = 2. 7 15 = 3. 5

Para este caso, no existen factores primos comunes para los tres números. Los fac-tores no comunes con su mayor exponente son 22, 7, 3 y 5. Luego, el m.c.m. (4, 14, 15) = 22. 7. 3. 5 = 420. Por lo tanto, deberán transcurrir 420 días para que los tres vuelvan a coincidir.

Máximo común divisor

Analicemos el siguiente problema: Eduardo tiene en un recipiente 16 kgs de leche y en otro recipiente tiene 24 kgs de leche. Su mamá le pide que reparta la leche en bolsas que tengan la misma capacidad. ¿Cómo podría Eduardo hacer el trabajo?

Si se desea repartir la leche en bolsas que tengan la misma capacidad, procedemos a buscar primero cuáles son los divisores de 16 y de 24.

Los divisores de 16 son: 1, 2, 4, 8, 16

Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Vemos pues que para repartir la leche en bolsas de igual cantidad, podemos usar bol-sas de 1, 2, 4 y 8 kgs. Por ejemplo, no podemos usar bolsas de 3 kgs, porque a pesar de que 24 kgs pueden distribuirse completamente en estas bolsas, se presentaría el proble-ma de repartir los 16 kgs en estas bolsas, pero nos quedaría 1 kg de leche sin repartir.


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Si la mamá de Eduardo desea que la leche quede distribuida en bolsas de igual ca-pacidad, pero, además, desea que la capacidad sea la máxima, entonces, Eduardo de-berá empacar la leche en bolsas de 8 kgs. Este número recibe el nombre de máximo común divisor, y lo escribimos así: m.c.d. (16, 24) = 8

Definimos el máximo común divisor de dos o más números como el mayor de sus divisores comunes.

Veamos el siguiente ejemplo:

Encuentra el máximo común divisor de los números 32 y 54.

Para encontrar el m.c.d. (32, 54) se aplica un procedimiento similar al que aplicamos para encontrar el mínimo común múltiplo:

Para encontrar el máximo común divisor de dos o más números, se descomponen cada uno de éstos en factores primos y el producto de los factores comunes elevados al menor exponente será el m.c.d.

Encontremos el m.c.d. (32, 54).

Primero, descomponemos ambos números en factores primos:

32 = 25 54 = 2. 33

El factor común es 2, y se elije el de menor exponente.

Entonces, el m.c.d. (32, 54) = 2.

Para el caso de los 16 y 24 kgs de leche, tendríamos lo siguiente:

16 = 24 y 24 = 23. 3

El factor común es 2, y tomamos el que tenga el menor exponente, es decir, m.c.d. (16, 24) = 23 = 8.

32 2

16 2

8 2

4 2

2 2

1

54 2

27 3

9 3

3 3

1


166

Saber más

Para que consolides tus conocimientos sobre Divisibilidad, visita esta dirección web, donde se presentan algunos pro-blemas y actividades interactivas; trata de analizarlos y, si tienes dudas, acude a tu facilitador: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/07/matematicas-07.html

1. Verifica si los siguientes números son primos o compuestos:

a) 6 b) 181 c) 302 d) 3147

e) 321 f ) 97 g) 47 h) 231

2. Realiza el procedimiento de descomposición de los siguientes números en factores primos:

a) 240 b) 208 c) 133 d) 645

e) 345 f ) 329 g) 478 h) 219

3. Encuentra el mínimo común múltiplo de las siguientes parejas de números:

a) 28 y 58 b) 22 y 24 c) 46 y 69 d) 12 y 50 e) 20 y 70

4. Encuentra el mínimo común múltiplo de las siguientes ternas de números:

a) 8, 92 y 110 b) 152, 184 y 200 c) 140, 210 y 220

d) 20, 38 y 52 e) 18, 24 y 40 f ) 10, 12 y 14

5. Encuentra el máximo común divisor de las siguientes parejas de números:

a) 76 y 82 b) 140 y 250 c) 11 y 23 d) 12 y 56 e) 21 y 70

6. Encuentra el máximo común divisor de las siguientes ternas de números:

a) 14, 16 y 28 b) 27, 74 y 130 c) 34, 72 y 64

d) 46, 86 y 98 e) 120, 210 y 220 f ) 42, 84 y 112


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7. María y Alberto viajan a Aruba constantemente. María viaja cada 15 días y Alberto viaja cada 24 días. Hoy se han encontrado los dos en Aruba ¿dentro de cuánto tiempo volverán a estar juntos en Aruba?

8. Un bombillo se enciente cada 24 horas, otro se enciende cada 48 horas y otro cada 72 horas. Si a las 12 del mediodía de ayer han coincidido los bombillos prendidos, ¿cuándo volverán a coincidir?

9. Se desean repartir 180 libros, 240 juguetes y 360 chocolates entre un cierto número de niños, de tal modo que cada uno reciba un número igual y exacto de cada uno de esos elementos. ¿Cuál es el mayor número de niños que puede beneficiarse así y qué cantidad recibe cada uno?

10. Cuatro buques parten para el mismo destino: el primero, cada 10 días; el segundo, cada 8; el tercero, cada 9 y el cuarto cada 15 días. Suponiendo que hoy salen todos juntos, ¿cuántos días transcurrirán para la próxima salida simultánea?

11. Dos letreros luminosos se encienden con intermitencias de 42 y 54 segundos. A las 20 h 15 m se encienden simultáneamente, ¿a qué hora vuelven a encenderse juntos?

12. Se desean organizar 1830 latas de aceite y 1170 latas de vinagre en un cierto número de cajones, que contengan el mismo número de latas cada uno, sin que sobre ninguna y sin mezclarlas. ¿Cuál será el mayor número posible de latas que puedan ponerse en cada cajón?

En esta sesión hemos estudiado la divisibi-lidad como una herramienta de suma impor-tancia en nuestras vidas. Vimos que un núme-ro divide a otro si el cociente entre este último y el primero es un número exacto. También estudiamos los números primos, que sólo ad-miten como divisores el mismo número y la unidad.

Finalmente, se trabajó con el mínimo co-mún múltiplo y el máximo común divisor de dos o más números, y su importante aplicabi-lidad en la cotidianidad.

Conjuntos numéricos: naturales y enterosSemana 5

168

Los números han surgido a lo largo de la historia, gracias a la necesidad que ha teni-do el ser humano de contar, medir, repartir, clasificar, distribuir, etc. El primer conjunto numérico que surgió fue el de los números naturales; sin embargo, con el correr de los años, este conjunto no cubría las nuevas necesidades que se presentaban en la vida cotidiana, motivo por el cual surgieron otros conjuntos numéricos como el de los nú-meros enteros, los números racionales, los números reales, entre otros.

Por ejemplo, para contar las cabezas de ganado en un rebaño, se necesitaba asignar un símbolo que representara esa cantidad y además debía ser único para esa cultu-ra. En el semestre anterior ya has estudiado algunos sistemas de numeración que te pueden ser útiles en este encuentro, por eso, es recomendable que hagas un repaso de ello.

A medida que el ser humano va satisfaciendo algunas de sus necesidades, surgen otras que también debe atender. Por ejemplo, ¿cómo hace un comerciante para re-presentar matemáticamente las deudas que tiene en su negocio o un marinero para indicar a qué profundidad bajo el nivel del mar se encuentra determinada especie marina? Pareciera que los números naturales no lograran dar respuesta a estas cues-tiones. Sin embargo, estas ideas se pueden manejar matemáticamente dando paso a un nuevo conjunto numérico: el de los números enteros, donde se incluyen los núme-ros negativos. Basándose en este conjunto, un comerciante puede decir que tiene un saldo de -5000 Bs.F., donde el signo menos “-” representa que 5000 Bs.F. son deudas y se lee: menos cinco mil bolívares fuertes. Análogamente, se pueden usar los números negativos para indicar que un pez está a 20 metros bajo el nivel del mar, escribiendo -20 m.

Curiosamente, a lo largo de la historia, los conjuntos numéricos no surgieron en el orden que hemos seguido hasta ahora y tampoco fueron aceptados tan fácilmente como lo pretendemos proponer en la actualidad. El conjunto numérico que más costó para ser aceptado fue el de los números enteros, ya que, en un principio, los números negativos no tenían sentido para asociarlos a los problemas cotidianos.

Para que profundices en la historia de los conjuntos numéricos, se propone la Actividad 1 (en la sección de Actividades).


Semana 5Conjuntos numéricos: naturales y enteros

169

Esta semana, tenemos como objetivo primordial estudiar los dos primeros conjun-tos numéricos antes mencionados, naturales y enteros, de manera que logres distin-guir claramente los elementos de cada uno de ellos, así como las restricciones de las operaciones básicas definidas en cada conjunto.

En adelante, trabajaremos con los dos conjuntos numéricos naturales y enteros, así como sus operaciones y propiedades. Sin embargo, es necesario que revises el módu-lo del semestre anterior en el que trabajaste estos contenidos, en especial las opera-ciones y propiedades en estos conjuntos.

Conjuntos numéricos

En la vida cotidiana se presentan muchos números, pero no todos pertenecen al mismo conjunto. Estudiemos cada conjunto por separado y sus operaciones.

Los números naturales

Si deseas saber cuántos compañeros tienes en este curso, simplemente los contarías uno por uno y obtendrías la respuesta. Esa respuesta siempre será un número natural. Un número natural es todo número que se pueda expresar como una suma de unos. Por ejemplo, el 3 es natural, pues se puede escribir como 1 + 1 + 1. Sin embargo, el 3,5 no es un número natural, porque no puede ser expresado como suma de unos.

El conjunto de los números naturales los representamos con la letra N, y lo expresa-mos en forma de conjunto, de la siguiente manera:

N = {1, 2, 3, 4, 5,……..10, 11,………, 100,101,…..}

Los puntos suspensivos que están al final, indican que el conjunto posee infinitos elementos. Es decir, existen infinitos números naturales. Este conjunto tiene una gran aplicabilidad en la vida cotidiana; siempre que contamos algo, usamos un elemento del conjunto. ¿Cuántas sillas hay en la sala?, ¿cuántos perros hay en tu casa?, ¿cuántas personas viven en tu casa?, ¿cuántos amigos tienes tú?, ¿cuántas veces vas a la biblio-teca en una semana?, etc. Todas estas preguntas tienen como respuesta un número natural. Algunos autores toman el cero como un número natural, aunque no hay un acuerdo general para ello. Sin embargo, nosotros asumiremos que el cero no es natu-ral, pues, no nos sirve para contar.

Operaciones y sus propiedades en N

Cualquier operación que se defina sobre algún conjunto debe cumplir la propiedad de clausura, la cual establece que si dos elementos del conjunto se operan, el resulta-do debe también pertenecer al conjunto.


170

La adición

La adición en los números naturales cumple la propiedad de clausura para todos sus elementos. Si sumamos dos números naturales, cualquiera que sea el resultado, siempre será un número natural. Por ejemplo: 154 + 15 = 169. En general,

Si a y b son números naturales, entonces a + b es un número natural.

Los números que están al lado izquierdo de la igualdad reciben el nombre de su-mandos o términos y el número que está a la derecha, recibe el nombre de suma.

Propiedades de la adición

Esta operación cumple con algunas propiedades:

Prop. 1. Conmutativa

Si Juan tiene cinco metras y Carlos tiene 8 metras, ¿cuántas metras tienen entre los dos? Para responder a esta pregunta, podemos tomar las metras de Juan y sumárselas a las de Carlos; o bien, tomar las de Carlos y sumárselas a las de Juan. En ambos casos, la respuesta es la misma: 13. Esto, matemáticamente, significa que: 5 + 8 = 8 + 5 = 13. En general, podemos decir que,

Si a y b son números naturales, entonces a + b = b + a

Prop. 2. Asociativa

Si además, Pedro tiene 7 metras y queremos saber cuántas metras tienen entre los tres, podemos sumar las metras de Juan y las de Carlos y sumar el resultado con las metras de Pedro; o bien, podemos sumar las de Juan con el resultado de sumar las de Carlos y Pedro. En símbolos, tenemos esto: (5 + 8) + 7 = 5 + (8 + 7) = 20. Donde los paréntesis indican la operación que se va a realizar primero. En general escribimos:

Si a, b y c son números naturales, entonces (a + b) + c = a + (b + c)


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La sustracción

La sustracción se representa con el símbolo “ - “, que se lee: menos. Y escribimos, por ejemplo, 15 - 3 = 12. Cada uno de estos números recibe un nombre particular. El primer número del lado izquierdo de la igualdad (15) se llama minuendo, el siguiente (3) se llama sustraendo y el número que está del lado derecho de la igualdad se llama diferencia o resta.

Existen muchas situaciones de la vida cotidiana donde usamos la sustracción de nú-meros naturales, por ejemplo, si he comprado 20 panes y en el desayuno nos comi-mos 8, ¿cuántos panes tengo para la cena? La respuesta es muy natural: 12 panes. Lo que hemos hecho es efectuar la operación 20 - 8 = 12.

En el caso de la sustracción de números naturales, la propiedad de clausura no siem-pre se cumple; por ejemplo, 154 - 15 = 139. En este caso, hemos restado dos números naturales y la resta es otro número natural. Si embargo, cuando se nos presenta este caso: 8 - 14 = ?, la sustracción carece de sentido. Si contextualizamos el problema con los panes, tendríamos 8 panes de los cuales nos comimos 14, cosa que es absurda, pues no se pueden comer más panes de los que tengo.

Por esta razón, la sustracción en los números naturales sólo se define cuando el mi-nuendo es mayor que el sustraendo. Así, la diferencia 8 - 14 no está definida en los naturales, pero si escribimos 14 - 8, entonces sí estaría definida, pues el minuendo es mayor al sustraendo.

La multiplicación

La multiplicación se suele representar con un punto (•), aunque a veces se utiliza también el símbolo x. Entonces, podemos escribir 3 • 5 = 3 x 5 = 15. En los casos en los que no haya lugar a que se presenten confusiones, se puede, incluso, omitir el símbo-lo. Los números 3 y 5 reciben el nombre de factores y el resultado que es 15, en este caso, se llama producto.

La multiplicación de dos números naturales siempre es otro número natural; es de-cir, se cumple la propiedad de clausura. Esto es:

Si a y b son números naturales, entonces a • b es un número natural

Propiedades de la multiplicación

Prop.1. Conmutativa

La propiedad conmutativa advierte que el orden de los factores no altera el resulta-do. Por ejemplo, 3 x 4 = 4 x 3 = 12. En general,

Si a y b son números naturales, entonces a • b = b • a


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Prop. 2. Asociativa

Esta propiedad, al igual que para la suma, establece que, si vamos a multiplicar tres números, podemos hacerlo con los dos primeros factores y el producto obtenido lo multiplicamos con el tercer factor; o bien, multiplicamos el primer factor con el pro-ducto, que se obtiene de multiplicar el segundo y tercer factor. Por ejemplo,

(3 x 2) x 5 = 6 x 5 = 30

3 x (2 x 5) = 3 x 10 = 30

En general,

Si a, b y c son números naturales, entonces (a • b) • c = a • (b • c)

Prop. 3. Existencia de un elemento neutro

En el conjunto de los números naturales existe un número que cumple la propiedad de que cualquier número del conjunto dé como resultado el mismo número: el núme-ro uno, que es el primer elemento del conjunto. Por ejemplo, 5 • 1 = 5, y lo mismo ocu-rre con todos los elementos del conjunto. En general, escribimos esta propiedad así:

Si a es un número natural, entonces a • 1 = a

Los números enteros

Si al conjunto de los números naturales le agregamos los números negativos -1, -2, -3, -4, -5,… que son conocidos como los opuestos a los naturales, y, además, agrega-mos el cero, obtenemos un nuevo conjunto numérico, llamado conjunto de los nú-meros enteros. Este conjunto se denota con la letra Z y lo expresamos de la siguiente manera: Z = {...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,….}

Los puntos a la izquierda y derecha indican que el conjunto sigue infinitamente ha-cia ambos lados. Una de las asociaciones que de los números negativos suele hacerse en la cotidianidad es con las deudas, y los positivos con las ganancias; el cero indica, entonces, que no hay deudas ni ganancias.

El origen de este conjunto da posibilidades de resolver problemas que, bajo el con-junto de los números naturales, no se podían resolver. Por ejemplo, la ecuación x + 3 = 1 no tiene solución en los números naturales, porque no existe un número natural que al sumarlo con 3 el resultado sea 1. Sin embargo, en el conjunto de los números enteros existe el -2, que es la solución de la ecuación, pues -2 + 3 = 1.


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Operaciones de los números enteros

En el conjunto de los números enteros también existen algunas operaciones, cada una de ellas con ciertas propiedades.

Adición

La adición de los números enteros siempre da como resultado un número entero, es decir, se cumple la propiedad de clausura.

Trata de responder estas preguntas antes de continuar avanzando:

1. Si en tu celular tienes un saldo deudor de 2 Bs.F. y un día logras llamar porque la línea estaba libre, y consumes en la llamada 3 Bs.F., ¿qué saldo tendrás en tu celular?

2. Supongamos que ahora tienes en tu celular 10 Bs.F. y haces una llamada que te cuesta 3 Bs.F., ¿cuál es ahora el saldo de tu celular?

3. Si en la llamada anterior hubieras consumido 13 Bs.F., ¿de qué saldo dispondrías en tu celular?

4. Si ahora tienes 4 Bs.F. y le introduces una tarjeta de 15 Bs.F., ¿cuál es tu nuevo saldo?

Ahora, veamos cómo podemos hacer uso de nuestro nuevo conjunto numérico, para responder a estas preguntas:

1. Si tengo 2 Bs.F. en saldo deudor, que se representaría así: -2. Y si he llamado, significa que me he endeudado más; en este caso con 3 Bs.F., que por ser una deuda lo representamos con -3. El saldo que tendré en mi celular será la suma de mis deudas, es decir, (-2) + (-3) = -5. Luego, tendré 5 Bs.F. de deuda.

2. Si en mi celular tengo 10 Bs.F. de saldo disponible para llamar, entonces, lo podré ver como ganancias; es decir, se puede representar con 10. Pero al llamar, he consumido de mi saldo, lo que se puede interpretar como una deuda que, en este caso, es de 3 Bs.F., y la representamos con -3. Por lo tanto, el saldo en mi celular será la suma de las ganancias con las deudas, es decir, 10 + (-3) = 7. El saldo en mi celular es de 7 Bs.F.

3. Si en lugar de consumir 3 Bs.F. en la llamada, consumo 13 Bs.F., el saldo en mi celular seguirá siendo la suma de las ganancias con las deudas, esto es, 10 + (-13) = -3. El signo menos (-), me indica que el saldo ahora será una deuda de 3 Bs.F.

4. Finalmente, si en mi celular tengo una ganancia de 4 Bs.F. y le agrego un monto adicional de 15 Bs.F., entonces tendré en mi celular un total de 19 Bs.F., esto es, 4 +15 = 19.


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Este ejemplo nos ayuda a generalizar unas reglas en la suma de números enteros:

1. Si se suman deudas con deudas el resultado será la suma de las deudas y seguirá siendo una deuda. Por ejemplo: (-5) + (-3)= -8

2. Si se suman deudas con ganancias, y la ganancia es mayor a la deuda, entonces, el resultado será una ganancia igual a la resta de la ganancia con la deuda. Por ejemplo, (-2) + 7 = 5

3. Si se suman deudas con ganancias, y la ganancia es menor a la deuda, entonces, el resultado será una deuda igual a la resta de la deuda con la ganancia. Por ejemplo, (-9) + 7 = -2

4. Si sumamos ganancias con ganancias, el resultado es la suma de las ganancias y seguirá siendo una ganancia. Por ejemplo, 5 + 8 = 13

Propiedades de la adición en Z

La adición en Z cumple la propiedad conmutativa y la propiedad asociativa, al igual que en los números naturales. Pero además, se cumplen dos propiedades más: exis-tencia de un elemento neutro y existencia de un opuesto para cada elemento del conjunto.

Prop.1. Conmutativa

Si a y b son dos enteros cualesquiera, entonces a + b = b + a

Prop. 2. Asociativa

Si a, b y c son tres enteros cualesquiera, entonces (a + b) + c = a + (b + c)


En el conjunto de los números enteros existe un número que tiene la propiedad que al ser sumado con cualquier número da como resultado el mismo número. Este núme-ro es el cero (0) y se le llama elemento neutro para la suma de enteros. Por ejemplo: 5 + 0 = 5 ; 0 + (-3) = -3. En general,

Si a es un entero cualquiera, entonces se cumple que a + 0 = a


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Prop. 4. Existencia del opuesto aditivo

Para cada elemento del conjunto de los números naturales existe un elemento que cumple la propiedad de que al sumarlos da como resultado el elemento neutro de la suma, es decir, cero. Por ejemplo, para el -3 existe el 3, tal que (-3) + 3 = 0, para el 7 exis-te el -7, tal que 7 + (-7) = 0, para el cero está él mismo, que al sumarlo consigo mismo resulta cero, esto es 0 + 0 = 0. En general,

Si a es un entero cualquiera, entonces se cumple que a + (-a) = 0

Donde -a significa el opuesto de a, es decir el signo menos (-) lo leemos como “el opuesto de…”.

Observa que el opuesto del cero es él mismo y, además, es el único que tiene esta particularidad.

Sustracción

La sustracción de dos números enteros cumple con la propiedad de clausura y se define a partir de la adición. Por ejemplo, si deseamos encontrar la resta 5 - 4 simple-mente transformamos esta sustracción como la suma 5 + (-4), si deseamos encontrar la resta -7 -6 lo escribimos como la suma -7 + (-6), y en cada caso, aplicamos las reglas para la suma de enteros, que ya hemos trabajado antes. En general,

Si a y b son dos enteros cualesquiera, entonces definimos la resta a - b como a + (-b), esto es, a - b = a + (-b)

De esta manera, la sustracción en los núme-ros enteros no es más que una suma. Por tal motivo, en adelante, nos abstendremos de hablar de sustracción y en su lugar sólo ha-blaremos de suma algebraica, entendiendo ésta como la suma de dos o más números enteros cualesquiera. Por ejemplo, (3 - 2) + 4 es una suma algebraica, a pesar de haber un signo menos en la expresión.


176

Multiplicación

La multiplicación de dos números enteros da como resultado un número entero; esto significa que la multiplicación cumple la propiedad de clausura. La notación que se usa es igual a la usada en los números naturales.

Al igual que en la suma, existen unas reglas que permiten encontrar el producto de dos enteros cualesquiera, teniendo en cuenta su signo.

Si tienes que multiplicar dos enteros cualesquiera, haces lo siguiente:

1. Multiplicas los números como lo hacías con los naturales, sin tomar en cuenta sus signos.

2. Si los signos son iguales, el producto siempre es positivo.

3. Si los signos son diferentes, el producto es negativo. Por ejemplo:

a) (-3) • (-2) = 6. Si multiplicamos el 3 con el 2 resulta 6, y como los signos son iguales, lo colocamos positivo.

b) 8 • 3 = 24. Lo mismo del caso anterior.

c) 4 • (-5) = -20. Al multiplicar el 4 con el 5 resulta 20 y, como los signos son diferentes, entonces el producto lo colocamos negativo.

Propiedades de la multiplicación en Z

Las propiedades de la multiplicación en el conjunto de los números enteros son las mismas que las del conjunto de los números naturales.

Prop. 1. Conmutativa

Si a y b son números enteros, entonces a • b = b • a

Prop. 2. Asociativa

Si a, b y c son números enteros, entonces (a • b) • c = a • (b • c)


Si a es un número entero, entonces a • 1 = a


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Operaciones combinadas

Si en el mismo problema se te presentan varias operaciones combinadas, debes te-ner en cuenta el orden de prioridad para resolverla. Siempre que vayas a resolver un problema de este estilo, debes efectuar primero el producto y luego la suma o resta, a menos que los paréntesis te indiquen lo contrario. Por ejemplo:

1. 3 • (-5) + 2 = -15 + 2 = -13

No puedes cometer el error de sumar algebraicamente el -5 con el 2 y luego multi-plicarlo por 3, porque la prioridad siempre será el producto.

2. 3 • (-5) + 2) = 3. (-3) = -9

En este caso, hemos sumado primero el -5 con el 2 y luego multiplicamos por 3 el resultado, sólo porque los paréntesis indican que lo hagamos primero.

Actividad 1

1. Realiza las lecturas que encontrarás en la siguiente dirección web: http://personales.ya.com/casanchi/mat/enteros01.pdf

2. ¿Quiénes son los primeros en diferenciar entre los números positivos y los negativos? Explica cómo lo hacían.

3. ¿Cómo surgen los símbolos que usamos actualmente para representar la suma (+) y la resta (-)?

4. ¿Quién fue el primero en dar un estatuto legal a los números negativos?

5. Explica cómo surge el conjunto de los números enteros, a partir de los negativos y los naturales.

Actividad 2

Completa el siguiente cuadro comparativo entre el conjunto de los números natu-rales y enteros, señalando con un ejemplo las propiedades que se cumplen en cada conjunto, y con una x las propiedades que no se cumplen.

Operaciones y Propiedades

Adición

Conmutativa Asociativa Existencia Elemento Neutro

Existencia del Opuesto

Números Enteros

Números Naturales 3 + 4 = 4 + 3 = 7

Multiplicación

Conmutativa Asociativa Existencia Elemento Neutro

Existencia del Inverso

Números Enteros X

Números Naturales X


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1. ¿Un número puede ser entero y natural a la vez? Justifica tu respuesta.

2. Menciona 3 situaciones de la vida cotidiana donde uses los números naturales y 3 donde uses los números enteros.

3. Observa la resolución de los siguientes problemas, e indica en el espacio libre la operación o propiedad que se ha usado.

a) 4.(-3 + 2) + (6 – 3) b) 5. (3 + 0) – 2. (4 – 2)

4.(-1) + (6 – 3) 5. 3 - 2. (4 - 2)

-4 + (6 – 3) 5. 3 - 2. 2

-4 + (6 + (-3)) 15 – 4

-4 + 3 11

- 1

4. Completa el espacio en blanco en cada caso:

a) 145 + ______ = 131 b) ______ + 147 = -24 c) 134 - 87 = _______

5. Resuelve aplicando propiedades y menciona cada propiedad al momento de usarla.

a) (12 - 3) + 3. (4 +3) b) (-1 + 4). 5 + 4 c) 5. (7 - 12) + 3. (-4)

En esta sesión hemos hecho un estudio de dos conjuntos numéricos muy importantes, los números naturales y los números ente-ros. Hemos visto que éstos surgen a través de la historia, a partir de las necesidades co-tidianas del ser humano y, de allí, se han ido estudiando y expandiendo, definiéndose al-gunas operaciones y propiedades en cada conjunto. Hemos visto las operaciones que se definen en los naturales y enteros, así como sus propiedades. Esto último lo has resumi-do en el cuadro comparativo propuesto en la Actividad 2.

Semana 6Las fracciones

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Las fracciones Semana 6

La semana anterior estudiamos dos conjuntos numéricos que, de algún modo, per-mitieron satisfacer algunas necesidades en los problemas cotidianos del ser humano. Sin embargo, existen otros problemas donde estos conjuntos son insuficientes. Por ejemplo, si deseo comprar café para llevar a mi casa, y 1 kg es demasiado, ¿cuánto café podría llevar?, si debo repartir una torta entre 10 niños, ¿qué fracción de la torta debo darle a cada uno? Para encontrar las respuestas a estas interrogantes, es necesario acudir a otro concepto matemático: las fracciones.

Las fracciones forman un conjunto que amplía nuestros conjuntos anteriores, per-mitiendo representar cantidades que no son exactas, por ejemplo la mitad de 1 kg de café, que lo representamos por 1/2 kg de café, la décima parte de una torta, etc.

El propósito de esta semana será estudiar el concepto de fracción y la diversidad en los sistemas de representación, así como la aplicabilidad que tienen en la vida cotidiana.

Trata de responder las siguientes preguntas, para que luego las discutas con tus compañeros en el CCA.

1. ¿Qué fracción de la semana representan 3 días?

2. Si un corredor tiene que recorrer 18 km y ya ha recorrido 6 km ¿qué fracción del camino le falta por recorrer?

3. ¿Qué fracción de una hora representan 15 minutos?

4. Si de 48 franelas se repartieron 15. ¿Qué fracción del total de franelas falta por repartir?

5. Un comerciante gastó tres quintos de lo que tenía en la caja y le quedaron 800 Bs.F. para comprar mercancía para su tienda ¿Cuánto dinero tenía en la caja inicialmente?

6. Para preparar una torta, se necesita ¾ de kg de queso rayado y ½ kg de queso picado en cuadros. ¿Es suficiente con 1 kg de queso para preparar la torta?

7. Anota en una hoja las edades de las personas que viven contigo. ¿Qué fracción de tu familia es menor a 20 años?, ¿qué fracción es mayor a 27?

Las fraccionesSemana 6

180

316

Recuerda que, para leer una fracción, primero debes leer el numerador y luego el denominador. El numerador lo lees del mismo modo como lees los números: uno, dos, tres,… y si el denominador es:

2 se lee “medios”

3 se lee “tercios”

4 se lee “cuartos”

5 se lee “quintos”

6 se lee “sextos”

7 se lee “séptimos”

8 se lee “octavos”

9 se lee “novenos”

Si el denominador es mayor a 10, y diferente a 100, 1000,… se le agrega al nú-mero el sufijo “avos”. Por ejemplo, se lee tres dieciseisavos.

El concepto de fracción

Para poder hablar de fracciones, es necesario tener en cuenta algunos aspectos importantes:

¿Qué es lo que voy a fraccionar?

¿En cuántas partes iguales lo voy a fraccionar?

¿Cuántas partes se tomarán?

Si tenemos claras estas tres preguntas en el momento de resolver un problema, ya habremos avanzado bastante. Consideremos la siguiente situación: en una fiesta hay una torta y la anfitriona debe repartirla entre quince personas, de tal manera que a cada uno le corresponda la misma cantidad, excepto a su novio (que está entre los 15) a quien le repartirá un poco más que al resto. La anfitriona decide dividir la torta en 16 pedazos iguales y reparte uno a cada invitado, pero como son 15 personas, sobra un pedazo y se lo da a su novio. ¿Qué fracción de la torta recibió el novio?

Respondamos las preguntas que en un comienzo nos hemos planteado:

1. ¿Qué hemos fraccionado? La respuesta es: una torta. En adelante, la respuesta a esta pregunta la conoceremos como el todo.


181

ab

a Numeradorb Denominador

23

59

310

815

519

216

216

2. ¿En cuántas partes iguales hemos fraccionado la torta? Evidentemente, en 16 partes.

3. ¿Cuántas partes se tomaron? El novio tomo 2 de las partes iguales de la torta.

Ahora bien, para representar matemáticamente la parte de la torta que ha tomado el novio, escribimos de la torta. El número es una fracción de la torta, donde el 2 representa el número de partes que se toman y el 16 el número de partes iguales en que se divide el todo, en nuestro caso, la torta. Al número 2 se le llama numerador, y al número 16 se llama denominador.

En general, si tenemos la fracción entonces,

Una fracción es un número que se obtiene de dividir una to-talidad en partes iguales, y se escribe de la forma , donde a y b son números enteros, y se llaman numerador y denomi-nador de la fracción, respectivamente.

Las fracciones en las que el numerador es menor al denominador, reciben el nombre de fracciones propias.

Por ejemplo, las fracciones , , , , , , son fracciones propias.

En caso de que el numerador sea mayor al denominador, decimos que la fracción es impropia.

Como es el caso de las fracciones: , , , , .

Estas fracciones indican que se han tomado más partes de las que hay divididas en el todo.

El todo como unidad

Es importante tener bien claro lo que significa el todo, cuando nos referimos a una fracción. Por ejemplo, si decimos que Juan trabaja las tres cuartas partes de un año, entonces el todo sería un año (12 meses). Pero si decimos que Juan trabaja la mitad de lo que trabaja Carlos, entonces el todo. en este caso. es el tiempo que trabaje Carlos.

73

52

1510

87

135

ab


182

Consideremos el siguiente ejemplo: María tiene dos barras de chocolate y las desea repartir entre sus tres hermanos menores ¿Qué porción de las dos barras deberá darle a cada hermano?

Para repartir las barras de chocolate, María divide en tres partes iguales las dos barras de chocolate, tocándole a cada uno de las dos barras de choco-late. Ahora, si en lugar de dos barras de chocolate, María tuviera sólo una barra de chocolate, enton-ces, le entregaría a cada hermano de la barra de chocolate.

Observa que en ambos casos les está entregando del total de chocolates.

Sin embargo, en cantidad de chocolate, no se les estaría entregando lo mismo; esto se debe a que el todo no es igual en ambos casos, y aunque la fracción ( ) sea la mis-ma, no está representando igual cantidad. Otro ejemplo más claro, es darse cuenta de que la décima parte del dinero de Bill Gates1 no es igual a la décima parte del dinero del panadero de la esquina.

Sistemas de representación de una fracción

Las fracciones pueden representarse por medio de diferentes sistemas:

1. Verbal: normalmente, cuando las madres mandan a sus hijos a hacer compras al abasto, les dicen, por ejemplo: cómprame medio litro de leche, o un cuarto de kg de queso, o tres cuartos de kgs de carne, etc. De esta forma, en la vida cotidiana usamos un lenguaje verbal para referirnos a la fracción de un todo.

2. Numérico: aunque el lenguaje verbal es muy útil, a veces no es suficiente para trasmitir la idea de fracción. Imagina que vas al supermercado y tienes que pregun-tar al vendedor la cantidad de leche que hay en un envase, o de cualquier producto porque no está señalado por algún lado. Para ello, existe el sistema numérico, donde se explicitan los dos números enteros que establecen la relación entre las partes y el todo.

Y escribimos , , , …

3. Gráfico continuo: una forma muy útil de entender la idea de fracción es por me-dio de un gráfico. Normalmente, se usa una barra continua, pero en algunos casos, se puede usar también un círculo.

13

13

13

13

34

23

12

13


183

La barra completa (o el círculo completo) representa el todo.

Cada división interna representa las partes iguales en las que se ha hecho la partición.

El área sombreada representa el número de partes que se han tomado.

Así, tenemos que, en la barra se ha representado del total, y en el caso del círculo se ha representado del total.

4. Gráfico discreto: hay algunos casos donde el todo está representado por una can-tidad de objetos, por ejemplo, 3 marcadores, 5 estudiantes, 7 libros, etc. En estos ca-sos, es muy útil utilizar un gráfico discreto que está formado por un cuadrado en el que se ubica el todo, y dentro de él los puntos que representan todas las partes, y a las partes que se toman se les hace alguna marca. Nosotros hemos usado una cruz.

Por ejemplo, si en un salón de clases hay 12 estudian-tes, de los cuales 5 son parientes, ¿qué fracción de la clase tiene parentesco? Para responder a esta pregunta, acudi-mos al gráfico discreto.

En total, tenemos 12 estudiantes, representados cada uno por un punto. Como cin-co son los que tienen una característica particular (tienen parentesco), entonces los marcamos con una cruz. Luego, la fracción de la clase que es familia es 5/12.

Observa que para estos casos, el denominador siempre representa el número de objetos por los cuales está formado el todo.

Continuando con la profundización de nuestro estudio de los conjuntos numéricos, debemos recordar que éstos surgían de la obligación que sentía el ser humano de satisfacer ciertas necesidades como: contar, quitar, agregar, etc. Sin embargo, dentro de estas necesidades existían y aún existen otras más, como el reparto de un herencia, de un terreno o el pago de una deuda, etc. Situaciones que no recibían respuesta con el conjunto de los números naturales, de ahí surge la necesidad de construir un nuevo conjunto numérico: los números racionales.

Saber más

Para que amplíes tus conocimientos sobre este tema, visita la siguiente dirección web: http://www.caf.com/attach/17/de-fault/N%C2%B09Fracciones.pdf

351

3


184

Realiza la lectura que encontrarás en la siguiente dirección web, y responde las pre-guntas que se proponen, para que luego las discutas con tus compañeros en el CCA.

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Teoria/Racionales/Mod1/node1.html

1. ¿Cuál es el primer documento en el que se hace referencia a los números racionales?

2. ¿Qué dificultad se le presentó a los egipcios y a los griegos al trabajar con los números racionales? Explica.

3. ¿Cómo trabajaron los babilonios los números racionales?

1. Escribe en el sistema verbal las siguientes fracciones:

a) b) c) d) e) f ) g)

2. Escribe las siguientes fracciones en el lenguaje numérico:

a) dos quintos

b) tres octavos

c) siete medios

d) un tercio

e) quince dieciseisavos

f ) diecisiete novenos

g) ocho quinceavos

3. La longitud de una pieza de tela es de 5 m. Si se venden las tres cuartas partes de esa pieza por 560 Bs.F., ¿cuántos metros de tela falta por vender?, ¿cuánto cuestan los cinco metros de tela? Usa un sistema de representación gráfico continuo.

4. En un grupo de 18 personas, se sabe que 7 son mujeres, 11 son hombres y 5 son vegetarianos. Si 2 mujeres son vegetarianas: a) ¿qué fracción de las mujeres son vegetarianas?, b) ¿qué fracción del grupo son mujeres vegetarianas?, c) ¿qué fracción del grupo son hombres?, d) ¿qué fracción del grupo son vegetarianos?, e) ¿qué fracción de los hombres son vegetarianos?

Nota: 1 William Henry Gates III, nacido en EEUU el 28 de octubre de 1955, más conocido como Bill Gates, es cofundador de la empresa de software Microsoft, productora del sistema operativo para computadoras personales más utilizado en el mundo, Microsoft Windows.

12

35

321

27

118

92

317

Semana 7Orden de las fracciones. La adición y sustracción

185

Bienvenido y bienvenida a nuestro séptimo encuentro. En esta ocasión, trabajare-mos en base a lo aprendido en la sesión anterior, las fracciones.

Al igual que los números naturales y enteros, las fracciones se pueden ordenar, bien sea creciente o decrecientemente, así como también se definen algunas operaciones que, a su vez, cumplen con ciertas propiedades.

El objetivo de esta semana es que puedas ordenar un grupo de fracciones dadas, en orden creciente o decreciente, además de reconocer el significado de las operaciones de adición y sustracción de las fracciones en problemas cotidianos.

Para esta semana, es necesario que tengas claras las nociones de fracciones que tra-bajaste en el encuentro pasado, incluyendo los sistemas de representación. Si aún pre-sentas algunas dudas con respecto a ese tema, acude a tu facilitador para aclararlas.

Además de esto, es necesario que repases las operaciones y propiedades de los números naturales y enteros que ya hemos estudiado en sesiones anteriores, como encontrar el máximo común divisor entre dos o más números. Teniendo estas ideas claras, podrás terminar con éxito este nuevo tema.

Responde cada una de las siguientes preguntas individualmente y luego, discútelas con tus compañeros en el CCA.

1. María compró en el supermercado un cuarto de kg de queso, y Martha compró 3 cuartos de kg de queso. ¿Cuál de las dos compró más queso?

2. Entre María y Martha, ¿cuánto queso compraron?

Orden de las fracciones. La adición y sustracción Semana 7

Orden de las fracciones. La adición y sustracciónSemana 7

186

3. La señora Cecilia fue al supermercado y compró un cuarto de kg de ajo, kilogramo y medio de papas y tres cuartos de kg de tomate. ¿Cuánto peso llevó la señora Cecilia en su bolsa?

4. ¿Qué pesa más, cinco cuartos de un kg u ocho novenos de un kg?

5. Se desea preparar una torta con los siguientes ingredientes: 2 kgs de harina de trigo, ½ litro de leche, ¼ kg de mantequilla y 1 kg y medio de azúcar ¿Cuántos kgs suman estos ingredientes?

Orden de las fracciones

Consideremos el siguiente conjunto de números {1, 3, 2, 7, 5}. Como puedes notar, estos números pertenecen al conjunto de los números naturales. Ahora bien, si qui-siéramos ordenar este conjunto, lo podríamos hacer, bien sea en orden creciente o decreciente, de la siguiente manera: {1, 2, 3, 5, 7} o bien, {7, 5, 3, 2, 1} respectivamente. Ordenar el conjunto de esta forma nos da una idea sobre una relación de orden entre sus elementos. Para ordenarlos, simplemente seguimos la idea de la relación mayor que (“ >”) o menor que (“<”).

Gráficamente, podríamos saber cuándo un número es mayor o menor a otro, ubi-cándolos sobre la recta numérica y viendo cuál está más cerca del cero. La regla la podemos resumir así:

Mientras más se aleje el número hacia la derecha del cero, ma-yor será, y mientras más se aleje el número hacia la izquierda, menor será. Cualquier número que esté a la derecha del cero siempre será mayor a alguno que esté a la izquierda del cero.

De la gráfica que se muestra, podemos decir:

El 3 es mayor que el 1 porque está más lejos del cero hacia la derecha que el mismo 1.

El -2 es menor que el -1 porque está más lejos del cero hacia la izquierda que el me-nos uno.

El -1 es menor que el 2 porque éste está a la derecha y el -1 está a la izquierda.

-2 -1 0 1 2 3


187

12

12

14

14

14

14

34

14 3

414

Las mismas relaciones se cumplen en el caso de las fracciones. Sin embargo, para el caso de las fracciones no siempre es fácil detectar cuando una fracción es ma-yor o menor a otra. Consideremos los siguientes casos:

1. Fracciones de igual denominador: si tenemos dos fracciones de igual denomi-nador, la mayor será aquella que tenga el mayor numerador, o del mismo modo, la menor será la que tenga el menor numerador. Por ejemplo:

Si María compra ¼ kg de café y Martha compra ¾ kg de café, entonces decimos que Martha compró más café que María, pues ambas fracciones tienen el mismo denomi-nador, pero el numerador de ¾ es mayor al de ¼, es decir, 3 es mayor que 1. Luego, escribimos que ¼ < ¾ o bien, ¾ > ¼

2. Fracciones de diferente denominador: si tenemos fracciones de diferente deno-minador, entonces, podemos determinar cuál es mayor, usando un gráfico continuo o un método más aritmético.

Supongamos que María ha comprado ½ kg de café y Martha ¾ de café. Para saber quién compró más, podemos acudir a un gráfico continuo:

María Martha

Ambas gráficas representan el todo, es decir 1 kg de café. En el lado izquierdo, he-mos dividido la barra en dos partes para tomar una, es decir ½ kg de café. Del lado derecho, dividimos la barra en cuatro partes iguales, y de ellas tomamos tres, es decir, ¾ de café.

Si observamos detalladamente ambos gráficos, vemos que en la barra de la derecha se ha sombreado un poco más que en la barra de la izquierda, lo cual nos lleva a con-cluir que ¾ > ¼ o bien, ¼ < ¾

Otro método más aritmético, y en muchas ocasiones, más eficaz, se denomina pro-ducto cruzado, que consiste en lo siguiente: ¿cuál número es mayor ¾ ó ¼?

El producto cruzado consiste en multiplicar el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción y comparar el resultado con el producto que se obtiene al multiplicar el denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción.

Así tenemos, y entonces, al multiplicar 3 x 4 = 12 y al multiplicar 4 x 1 = 4, tenemos que 12 > 4, por lo tanto, >


188

Fracciones equivalentes

La mamá de Juancito tiene una barra de chocolate y le dijo a su hijo que le podía dar la mitad de la barra o bien dos cuartos de la barra, que él eligiera. ¿Cuál es la mejor opción de Juancito?

Tratemos de graficar las dos fracciones de chocolate para ver con cuál de ellas le toca más chocolate a Juancito.

La primera opción es un medio (1/2 ) de la barra, es decir, dividimos la barra en dos partes iguales y tomamos una. Con un gráfico de barras tenemos lo siguiente:

Ahora bien, la segunda opción es tomar dos cuartos ( ) de la barra de chocola-te, esto significa dividir la barra en cuatro partes y tomar dos de ellas. Gráficamente tenemos:

Si observamos las dos barras, vemos que es indiferente la decisión que pueda to-mar Juancito, pues en ambos casos le tocará tomar la misma cantidad de chocolate. Cuando esto ocurre, decimos que las fracciones consideradas son fracciones equiva-lentes, y escribimos =

Además, existen otras fracciones que también son equivalentes a estas dos. Por ejemplo, la fracción que gráficamente representa la misma cantidad de los casos anteriores. El gráfico correspondiente sería:

La pregunta natural que nos puede surgir ahora es ¿cómo encontrar una fracción equivalente a otra?

Para esto, sólo tenemos que multiplicar el numerador y el denominador de la frac-ción por el mismo número natural. A este procedimiento se le llama amplificación de fracciones. Por ejemplo,

Asi, hemos multiplicado el 1 (numerador) por 2, y a su vez, multiplicamos el 2 (de-nominador) por el mismo número 2.

En el ejemplo anterior, multiplicamos el numerador y el denominador por el factor 4.

18

18

18

18

18

18

18

18

14

14

14

14

12

12

12

24

1 1.4 4 = =

2 2.4 8

1 1.2 2 = =

2 2.2 4

24

48


189

618

6 6 ÷ 3 2 = =

18 18 ÷ 3 6

2 2 ÷ 2 1 = =

6 6 ÷ 2 3

618 1

3

También, se pueden encontrar fracciones equivalentes, dividiendo por un divisor común para el denominador y el numerador distinto de la unidad. A este proceso se le llama simplificación de fracciones. Por ejemplo, si tenemos la fracción , podemos encontrar una fracción equivalente, dividiendo el 6 y el 18 por algún divisor común diferente de uno, es decir, el 2 ó el 3.

Si usamos el 3 para dividir, tenemos:

Dividamos ahora la fracción equivalente que hemos obtenido por el divisor común que nos queda. Entonces tenemos,

Observa que el proceso de amplificación lo podemos repetir las veces que quera-mos, porque podemos usar cualquier número, mientras que el proceso de simplifica-ción sólo puede aplicarse un número limitado de veces, porque los divisores comunes entre dos números son limitados.

La fracción ha sido reducida, aplicando el proceso de reducción dos veces, obte-niendo la fracción equivalente . Esta última fracción no puede seguir siendo redu-cida porque el 1 y el 3 no tienen divisores comunes distintos de la unidad. A este tipo de fracciones, se les llama fracciones irreducibles.

De ahora en adelante, cada vez que resolvamos un problema que involucre fraccio-nes, daremos la respuesta final con una fracción reducida.

Operaciones con fracciones

Al igual que en el caso de los números naturales y enteros, las fracciones también pueden ser relacionadas por medio de algunas operaciones.

Adición de fracciones

Cuando vamos a sumar fracciones, se nos pueden presentar dos situaciones dife-rentes: que ambas fracciones sean de igual denominador, o, que ambas fracciones sean de distinto denominador. Veamos cómo abordar cada caso.

Suma de fracciones de igual denominador

Consideremos el siguiente problema: María ha preparado un dulce de lechosa y un dulce de durazno. Para el dulce de lechosa, ha usado kg de azúcar, y para el dulce de durazno ha usado kg de azúcar. Deseamos saber cuántos kgs de azúcar ha gastado María.

45

25


190

Si usamos un diagrama de barras para ilustrar la situación, tendríamos lo siguiente:

+ =

+ =

La barra completa (el todo) representa un kg de azúcar.

Observa que el resultado obtenido es una nueva fracción impropia que tiene como numerador la suma de los respectivos numeradores de las fracciones originales, mien-tras el denominador se mantiene igual.

Esto lo podemos resumir en el siguiente enunciado:

Para sumar dos fracciones de igual denominador, se suman los numeradores y se coloca el mismo denominador.

Veamos los siguientes ejemplos:

a)

b)

c)

Suma de fracciones con distinto denominador

Eduardo y María han salido al supermercado. María ha comprado kg de papa y Eduardo, por su lado, ha comprado kg de papa. ¿Cuántos kgs de papa han com-prado entre los dos?

65

25

45

1 3 1+3 4 + = =

7 7 7 7

4 5 4+5 9 + = = = 3

3 3 3 3

9 5 9+5 14 7 + = = =

8 8 8 8 8

231

2


191

23

12

12

12

13

13

13

23

46

12

36

76

46

36

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

1/6

76

23

12

Evidentemente, la respuesta es la suma de ambas compras, pero ¿cómo sumamos estas fracciones, si sus denominadores no son iguales? Veamos tres métodos para hacerlo:

1. Haciendo uso de las fracciones equivalentes

La suma que debemos resolver es + . Para ello, hagamos una representación gráfica de cada una de las fracciones:

La barra completa representa un kg de papas.

La idea en este método es encontrar dos fracciones que tengan el mismo denomina-dor y así estaríamos en el caso anterior.

Luego, tenemos por un lado = y por otro lado = , amplificando por 2 y por 3, respectivamente.

Haciendo los gráficos correspondientes y sumando fracciones de igual denomina-dor, tenemos:

+ =

Por lo tanto, entre Eduardo y María han comprado kg de papa.

2. Haciendo uso del mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo entre dos números, que has aprendido en la semana Nº 4, es muy útil para sumar fracciones.

Veamos cómo sumar la cantidad de papas que han comprado María y Eduardo, es decir, + .

La idea en este método es llevar las fracciones a un mínimo denominador común y luego sumar las fracciones resultantes. El primer paso, es hallar el mínimo común múltiplo entre los denominadores, que para nuestro caso es 6. Este número será el de-nominador de la fracción suma. El numerador de la fracción, se obtiene de la siguiente manera:


192

1. Primero dividimos el m.c.m. obtenido antes por cada denominador.

2. El resultado de esta división lo multiplicamos por su respectivo numerador y lue-go los sumamos. Esta suma será el numerador de la fracción suma.

Para nuestro ejemplo, tenemos:

a) 6 ÷3 = 2 dividimos el m.c.m. entre el denominador de la primera fracción.

b) 2 x 2 = 4 multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la primera fracción.

c) 6 ÷2 = 3 dividimos el m.c.m. entre el denominador de la segunda fracción.

d) 3 x 1 = 3 multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la segunda fracción.

e) 4 + 3 = 7 sumamos los resultados obtenidos en b) y d).

El resultado final es: + = = , por lo tanto, entre María y Eduardo han comprado kg de papa.

Este método es muy útil cuando tenemos que realizar una adición de más de una fracción. Por ejemplo, supongamos que Martha también va al supermercado y com-pra kg de papa. ¿Cuántos kgs han comprado entre los tres?

Debemos encontrar la suma + +

Hallemos el m.c.m. (3, 2, 8).

3 = 3 2 = 2 8 = 23

Luego, m.c.m. (3, 2, 8) = 3 . 23 = 24

Con esto, hemos hallado el denominador de la fracción suma.

Ahora, encontremos el numerador:

a) 24 ÷ 3 = 8 dividimos el m.c.m. entre el denominador de la primera fracción.

b) 8 x 2 =16 multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la primera fracción.

c) 24 ÷ 2 = 12 dividimos el m.c.m. entre el denominador de la segunda fracción.


e) 24 ÷ 8 = 3 dividimos el m.c.m. entre el denominador de la tercera fracción.

23

12

76

4+365

6

78

23

12

78

8 2

4 2

2 2

1

3 3

1

2 2

1


193

f ) 3 x 7 = 21 multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la tercera fracción.

g) 16 + 12 + 21 = 49 sumamos los resultados obtenidos en b), d) y f ).

El resultado final es: + + = =

Por lo tanto entre María, Martha y Eduardo, habrían comprado kg de papa.

3. Método de la multiplicación cruzada

Este último método es muy útil para sumar dos fracciones. Usémoslo para nuestro problema original.

Debemos resolver la suma +

El método de la multiplicación cruzada consiste en lo siguiente:

1. Multiplicamos el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción, Para nuestro caso: 1 • 2 = 2

2. Multiplicamos el denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción. En nuestro ejemplo: 3 • 1 = 3

3. Multiplicamos los dos denominadores, es decir, 3 • 2 = 6

La fracción suma tiene como numerador la suma de los resultados obtenidos en los primeros dos pasos, y el denominador es el producto obtenido en el tercer paso, es decir, + = =

Por lo tanto, entre María y Eduardo han comprado kg de papa.

Resolvamos la siguiente suma, aplicando este método: +

En la práctica, hacemos lo siguiente:

Lo último que hemos hecho ha sido llevar la fracción a una fracción irreducible.

4924

23

12

78

16+12+216

4924

13

12

13

12

56

2+36

56

56

73

7 5 7.6+5.3 42+15 57 19 + = = = =

3 6 3.6 18 18 6


194

Sustracción

La sustracción de las fracciones se resuelve de la misma forma que se hace la adición, pero teniendo en cuenta, en este caso, si los números son positivos o negativos.

Sustracción de fracciones de igual denominador

La hacienda de Don Iván tiene de su terreno con una siembra de plátano y del terreno con yuca. ¿Qué parte del terreno hay sembrada de plátano más que de yuca?

Para responder a esta pregunta, debemos restar - . El resultado vendrá dado por una fracción, cuyo numerador es la resta de los numeradores de los sumandos y el denominador es el mismo de los sumandos; esto es:

Simplificando el resultado tenemos que en la hacienda hay del terreno sembrado de plátano más que de maíz.

Gráficamente, tenemos lo siguiente:

_ = =

Sustracción de fracciones de diferentes denominadores

La sustracción entre fracciones que tienen distinto denominador, se puede resolver con los mismos métodos que hemos visto en la suma. Sólo debemos tener en cuenta el signo menos (-) en el momento de efectuar la operación.

Consideremos el siguiente problema:

Un vendedor gana de su inversión en su primer mes de trabajo, en el segundo mes pierde de la inversión original. En los dos meses, ¿qué fracción de su inversión ha ganado?

Abordemos el problema usando los tres métodos que vimos en el caso de la suma.

La respuesta a la pregunta es la diferencia de la ganancia que obtuvo en el primer mes, menos la pérdida que tuvo en el segundo mes, es decir, -

58

38

58

38

1

4

5 3 5 - 3 2 1 - = = =

8 8 8 8 4

1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8 1/8

28

58

38

14

34

25

342

5


195

1. Usando fracciones equivalentes

La idea es encontrar una fracción equivalente para y otra para , buscando que ambas tengan el mismo denominador. Esto significa que debemos colocar como denominador un múltiplo común para 4 y 5. Aunque no es obligatorio, se suele usar el menor de los múltiplos, es decir, el m.c.m. En este caso, tenemos que m.c.m. (4, 5) = 20. Así que multiplicamos el numerador y denominador de y por 5 y 4 res-pectivamente, para así obtener dos fracciones equivalentes con el número 20 como denominador común. Esto es, y

Luego, restamos las fracciones obtenidas, como ya hemos visto antes:

Por lo tanto, el vendedor ha ganado de su inversión original.

2. Usando el mínimo común múltiplo -

Para restar las fracciones y con este método hacemos lo siguiente:

1. Primero, dividimos el m.c.m. obtenido entre los denominadores por cada denominador.

2. El resultado de esta división lo multiplicamos por su respectivo numerador y luego los restamos. Esta resta será el numerador de la fracción suma.

En nuestro problema, sabemos que m.c.m. (4, 5) = 20 y aplicando el proceso descrito antes, resulta:

a) 20 ÷ 4 = 5 dividimos el m.c.m. entre el denominador de la primera fracción.

b) 5 x 3 =15 multiplicamos el resultado anterior por el numerador de la primera fracción.

c) 20 ÷ 5 = 4 dividimos el m.c.m. entre el denominador de la segunda fracción.


e) 15 - 8 = 7 restamos los resultados obtenidos en los pasos b) y d).

El resultado final es: - = = .


34

25

34

25

3.5 =

4.51520

2.4 =

5.48

20

720

15 - =

208

20

720

34

25

34

25

34

25

720

15 - 820

720


196

3. Usando la multiplicación cruzada

Debemos encontrar la resta - . Para usar este método, hacemos lo siguiente:

a) Multiplicamos el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción. Para nuestro caso: 3 • 5 = 15

b) Multiplicamos el denominador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción. En nuestro ejemplo: 4 • 2 = 8

c) Multiplicamos los dos denominadores; es decir, 4 • 5 = 20

La fracción resta tiene como numerador la diferencia de los resultados obtenidos en los primeros dos pasos, y el denominador es el producto obtenido en el tercer paso, es decir, - = =


Saber más

Si quieres complementar estas ideas, puedes visitar esta direc-ción web:

http://www.irfaperu.org/aulas/secundaria/secundaria1s3f3.pdf

1. El señor Pablo tiene de su parcela invertido en la cría de ganado, y de la parcela en la siembra de maíz.

a) ¿En qué ocupa la mayor parte de su terreno?

b) ¿Qué fracción de la parcela tiene en producción?

2. Carlos se ha comido dos quintos de un pan y Juan ha comido un octavo del pan.

a) ¿Quién ha comido más pan?

b) ¿Cuánto pan han comido entre los dos?

3. Alfonso fue al mercado y compró kg de zanahoria, kg de papa y kg de tomate ¿Cuántos kgs de verduras ha comprado Alfonso?

4. Carla ha comprado tres cuartos de una patilla y ha gastado media patilla en un jugo ¿Cuánta patilla le quedó?

34

25

720

15 - 820

720

34

25

59

27

75

32

73


197

18

34

34

18

325

221

314

115

87

912

125

73

32

314

221

115

912

87

92

5. Raúl recorrió la mitad del camino para llegar a Cabimas, y luego se regresó la tercera parte del camino ¿Qué distancia recorrió?

6. En el abasto de la señora María habían ocho paquetes de azúcar de medio kg. De éstos, vendió cinco paquetes, pero luego le devolvieron uno. ¿Cuántos kilos de azúcar quedaron en el abasto?

7. En los siguientes problemas, usa los tres métodos que hemos visto para su-mar o restar fracciones, dando tu respuesta en fracciones irreducibles.

a) - b) + c) -

d) + e) -

8. Coloca en orden decreciente las siguientes fracciones:

a) , , b) , , c) , ,

Esta semana, hemos aprendido a ordenar fracciones a través del producto cruzado. Además, hemos estudiado cómo sumar o restar fracciones de igual o distinto denomi-nador, con ayuda de tres métodos: fracciones equivalentes, mínimo común múltiplo y mul-tiplicación cruzada.

Multiplicación y división de fraccionesSemana 8

198302

12

1x302

La semana pasada trabajamos con la adición y sustracción de fracciones y, como habrás podido aprender, existe una variedad de problemas que pueden ser resuel-tos usando estas operaciones. No obstante, en la vida cotidiana podemos encontrar-nos con otros problemas que requieren de otras operaciones para resolverlos, como la multiplicación y división de fracciones, que precisamente estudiaremos en esta semana.

Para este tema es necesario que recuerdes la multiplicación de números enteros, que has estudiado en semanas anteriores. Además de esto, debes repasar cómo grafi-car las fracciones en un gráfico continuo.

Responde cada una de las siguientes preguntas individualmente y luego discútelas con tus compañeros en el CCA.

1. Si la cuarta parte de lo que se recomienda tomar diariamente de una vitamina es 2 onzas, ¿cuánto se debe tomar diariamente de esa vitamina?

2. La mitad de la mitad de una patilla, ¿qué fracción de la patilla representa?

3. María salió a trotar el lunes por la mañana, y recorrió 8 km, si cada día de esa semana recorre tres medios del camino recorrido el día anterior, ¿cuántos kilómetros recorrerá el jueves?

4. Si un carro avanza a 100 km/h, ¿cuánto avanzará en tres quintos de hora? ¿y en un cuarto de hora?

5. ¿Qué fracción de una manzana es la tercera parte de su mitad?

Multiplicación de fracciones

Digamos que en una bolsa se tienen 30 caramelos. Si deseamos saber cuál es la mi-tad de los caramelos que hay, simplemente dividimos 30 entre 2 y obtenemos la res-puesta: 15. Ahora bien, ¿de dónde sale esto? Esta respuesta se obtiene de la siguiente manera:

Multiplicamos (que representa la mitad de los caramelos) por el número de cara-melos (30), lo cual escribimos como x 30. Para resolver este producto, multiplica-mos el numerador de la fracción (1) por el número entero (30) y el denominador de la fracción queda como denominador de la respuesta final. Luego, cuando sea posible, se simplifica el resultado. En nuestro caso, tenemos:

x 30 = = , como esta fracción se puede simplificar,

12 1

2


Semana 8Multiplicación y división de fracciones

199

entonces resulta que = 15

No necesariamente este producto debe dar un número entero. Si en lugar de haber 30 caramelos, hubiesen 27, entonces diríamos que la mitad de los caramelos en la bolsa es veintisiete medios: . En conclusión, tenemos que, para encontrar la mitad de un número entero, debemos multiplicar un medio por este número. Esto también se cumple cuando, en vez de un número entero, se tiene una fracción.

Es decir, para encontrar la mitad de dos quintos, multiplicamos un medio por dos quintos, esto es, x . Este producto da como resultado una nueva fracción, que tiene como numerador el producto de multiplicar el numerador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción, y como denominador el producto de los denominadores de las dos fracciones, es decir,

El producto de dos fracciones da como resultado una nueva fracción, que tiene como numerador el producto de los nume-radores y como denominador el producto de los denominado-res. Esto es,

donde a, b, c, d son números naturales.

Veamos cómo aplicar esta definición en problemas cotidianos:

María va a la fiesta de su mejor amiga Martha. Ésta da la cuarta parte de la torta a María. Cuando María llega a su casa, se encuentra con sus dos hermanos y decide repartir un tercio de su pedazo a cada uno. ¿Qué porción de la torta de Martha ha recibido cada hermano?

María ha llevado a su casa de la torta de Martha, como repartió un tercio de su pe-dazo a cada hermano, y su pedazo era de la torta de Martha, significa que repartió a cada hermano de un de la torta de Martha. Matemáticamente, esto representa el producto de las fracciones, es decir, x

Este producto lo resolvemos aplicando la definición precedente. Luego, x =

Por lo tanto, cada hermano recibió de la torta de Martha.

Observa que para los hermanos de María el todo es el cuarto de torta, mientras que para María el todo es la torta de Martha. Por esta razón, es importante que se indique siempre, al lado de la fracción, lo que se esté tomando como unidad.

Veamos cómo se puede representar esta situación gráficamente.

302

272

12

25

1 2 1x2 2 1 x = = =

2 5 2x5 10 5

a c ac x =

b d bd

14 1

4

13

14

13

14

13

14

112

112


200

13

14

14

1/3 de 1/4

13

14

112

15

15

15

15

1/5

Debemos seguir varios pasos:

1. Graficamos la unidad, es decir, el todo, que para nuestro caso, es la torta de Martha, que por facilidad la representaremos con una barra y no con un círculo, como sería lo más lógico.

2. Como queremos graficar de de la torta, primero ubicamos en la gráfica.

¼

3. Ahora, ubicamos en la parte que representa de la torta.

Observa que de representa justamente de la unidad completa, la torta.

División de fracciones

Imaginemos que tenemos una barra de chocolate y la dividimos en cinco partes iguales, cada parte representaría de la barra de chocolate. Si ahora dividimos esta porción en dos partes, ¿qué porción de la barra completa tendríamos?

Este problema nos sugiere dividir de la barra de chocolate entre dos, lo cual escri-bimos matemáticamente como ÷ 2. Veamos cómo podemos resolver gráficamente este problema:

Si representamos con un diagrama continuo la barra de chocolate y representamos sobre éste , tenemos,

Ahora, dividimos de la porción en dos partes iguales y resulta:

13

15

14

Semana 8Multiplicación y división de fracciones

201

Todo número entero se puede escribir como una fracción que tiene denominador uno. Por ejemplo: 2 = , 5 =

Observa que la porción de color amarillo, representa de la barra completa, lo cual nos lleva a concluir que ÷2 = . Esto, los podemos escribir como ÷ = .

Lo cual nos lleva a inferir la siguiente proposición:

La división de dos fracciones da como resultado una nueva fracción, que tiene como numerador el producto del numera-dor de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción, y tiene como denominador el producto del denomi-nador de la primera fracción con el numerador de la segunda fracción.

Esto es, donde a,b,c,d son números enteros.

Fíjate que para dividir dos fracciones, simplemente multiplicamos en cruz, por ejem-plo ÷ = =

O bien, podemos ver esta división como el producto de las fracciones y decimos que la fracción es la inversa de la fracción . Es decir, tres medios entre cinco cuartos es lo mismo que decir tres medios de cuatro quintos.

1. El señor Carlos compró un tubo de 25 metros para hacer una enramada en su casa, y cortó tres pedazos de m cada uno. ¿Cuántos metros le quedaron?

2. María compró un televisor en 2000 Bs.F. y en una semana lo vendió por de su valor. ¿Hubo alguna ganancia en la venta?, ¿cuánto ganó?

3. La edad de Juan es un quinto de los cinco tercios de la edad de Marcos. Si marcos tiene 48 años, ¿qué edad tiene Juan?

4. Un auto gasta del tanque de gasolina para recorrer 50 km. Si el auto recorre 30 kilómetros, ¿qué porción del tanque de gasolina gastó?

5. Pedro usa tres quintos de su tierra para sembrar y emplea la tercera parte de los tres quintos para sembrar maíz. ¿Qué fracción de la tierra usó para el maíz?

6. Resuelve las siguientes operaciones y expresa tu repuesta en fracciones irreducibles:

a) x b) x c) x d) x

e) ÷ f ) ÷ g) ÷ h) ÷

51

21

110

15

110

15

21

110

a c ac ÷ =

b d bd

32

54

1210

3 . 42 . 5

3 · = =

254

3 . 42 . 5

1210

54

45

163

16

53

163

32

39

84

53

311

65

35

75

89

73

45

15

15

34

45

La proporcionalidadSemana 9

202

Kms recorridos 10 20 40 80

Litros de gasolina 2 4 16


Cuando observamos una fotografía, podemos apreciar en ella imágenes de perso-nas, animales u objetos presentes en nuestro mundo real. Al detallar la fotografía, po-dríamos determinar si una persona es alta, delgada, obesa, pequeña, etc. También, podemos saber cuán amplio es el espacio donde están ubicados los elementos pre-sentes en la fotografía. Es decir, podemos sacar mucha información con respecto al ta-maño de estos elementos de una simple imagen capturada de la realidad. Esa relación de tamaño entre los objetos de la realidad y una imagen de los mismos, se conoce en Matemática como proporcionalidad.

En esta semana, se espera que puedas dar respuesta a algunos de los problemas que se presentan en la cotidianidad, haciendo uso de la proporcionalidad.

Para esta semana, es necesario que manejes muy bien el concepto que ya hemos estudiado de fracción, así como las operaciones básicas, tanto con los números ente-ros como con las fracciones. También, es indispensable que tengas clara la noción de fracciones equivalentes.

Responde y reflexiona las siguientes preguntas individualmente, para que luego las puedas discutir con tus compañeros en el CCA.

1. Si tienes una fotografía de un amigo que visitó la Torre de Pisa1 y conoces la altura de tu amigo, ¿cómo podrías determinar la altura de la torre?

2. Completa la siguiente tabla:

Semana 9La proporcionalidad

203

3. María presentó un examen que tenía una puntuación máxima de 60 puntos, y en su examen obtuvo 42 puntos. La maestra de María debe pasar su calificación a control de estudio basada en 20 puntos. ¿Qué calificación debe pasar la maestra?

4. Juan empeñó su anillo de graduación con las siguientes condiciones: le dieron 500 Bs.F. para pagar en un mes el 20 por ciento más de lo que le prestaron. ¿Cuánto debe pagar?

5. Martha tiene dos hijos, Juan de 12 años y Pedrito de 4 años. A cada uno le sirve la comida de acuerdo a su edad. Si a Juan le da tres tequeños en el desayuno ¿cuántos debería darle a Pedrito? Si Pedrito se come 2 tequeños ¿cuántos comería Juan?

6. Completa las siguientes oraciones:

a) Tres es a seis, como 5 es a ________

b) Dos es a nueve, como seis es a _______

Observa las siguientes imágenes:

1

2

3

4

1. Mapa de Venezuela, tomada de http://www.infodestinations.com/graficos/venezuela-mapas1.jpg

2. Plano de una casa, tomada de http://img527.imageshack.us/img527/918/planoestructuralof9.jpg

3. Plano de una tienda, tomada de http://www.makro.com.ve/plan_mbo.jpg

4. Mapa Mundi, tomada de http://blocs.xtec.cat/jvvmusica/files/2008/02/mapa-mundi.jpg


204

Tiempo (horas) 2 4 6

Nº Bloques 400 800 1200

Cada una de las imágenes mostradas representa un espacio físico de nuestro mun-do real: un mapa de nuestro país, el croquis de una casa, un croquis que muestra las adyacencias de un establecimiento comercial y un mapamundi.

Con cada una de las imágenes podemos obtener información con respecto a los espacios que están representados en ellas. Por ejemplo, del mapa de Venezuela pode-mos afirmar que la cordillera central (zona rosada) abarca mucho más espacio que la cordillera de los Andes (zona azul). En la imagen de la casa se aprecia que la Sala-estar es más amplia que los dormitorios. ¿Qué otras relaciones puedes apreciar en el resto de las imágenes?

Podemos afirmar que la Cordillera Central abarca más espacio que la Cordillera de Los Andes, no sólo porque sea lo que se muestra en la imagen, sino porque el mapa ha sido dibujado proporcionalmente con la realidad. Esto significa que existe una rela-ción entre el tamaño real de las cordilleras y el tamaño que se aprecia en la figura: esta relación se llama proporción.

La proporcionalidad es de mucha utilidad en la elaboración de mapas. Imagina de qué tamaño serían los mapas si se construyeran con las medidas reales, ¡no habría espacio en nuestras bibliotecas para guardarlos!

También, en la cotidianidad usamos el término de proporcionalidad, por ejemplo, cuando decimos “la belleza de esa mujer es proporcional a su inteligencia”, estamos diciendo que existe una correlación entre belleza e inteligencia. Otro ejemplo claro es cuando decimos “proporcionalmente, una hormiga es más fuerte que el hombre”, esto es porque la hormiga puede levantar hasta diez veces su propio peso, mientras un hombre no podría hacer lo mismo.

En Matemática, se maneja el concepto de proporcionalidad a partir de las ideas bá-sicas que hemos visto hasta ahora.

Para estudiar en detalle la proporcionalidad, comencemos con algunos ejemplos que nos guiarán.

Ejemplo 1:

Una bloquera produce bloques en función del tiempo, como se muestra en la si-guiente tabla:

Observa que, a medida que aumenta el número de horas, también aumenta el nú-mero de bloques que se producen, como es lógico pensar. Pero, además, podemos apreciar que si el número de horas se duplica, entonces la producción de bloques también lo hace. Es decir, si multiplicamos por dos el tiempo invertido, entonces la producción de bloques también es multiplicada por dos.

Por ejemplo, si en lugar de 6 horas, se trabajan 12 horas (el doble), entonces la pro-ducción será de 2400 bloques. Pero si se trabajan 3 horas (la mitad de seis), entonces la producción será de 600 bloques.


205

Ejemplo 2:

Consideremos el caso de un automóvil que gasta 8 litros de gasolina cada 100 kms. Si sólo le quedan 7 litros en el tanque, ¿cuántos kms podrá recorrer el vehículo?

Si el auto recorre 100 kms con 8 litros de gasolina, entonces para la mitad de la dis-tancia (50 kms) usará la mitad de gasolina (4 litros), y si usa 4 litros para recorrer 50 kms, entonces usará 2 litros para recorrer 25 kms, y con el mismo análisis podemos decir que usará 1 litro de gasolina para recorrer 12,5 kms. Por lo tanto, si tiene 7 litros de gasolina en el tanque, podrá recorrer una distancia igual a 7 veces 12,5 kms, es decir, 87,5 kms.

En la siguiente tabla se ilustra mejor esta situación:

En las tablas que se mostraron en los ejemplos 1 y 2, podemos observar que, a me-dida que una de las variables varía, la otra también lo hace en la misma proporción, es decir, si el tiempo de trabajo se duplica, la producción de bloques se duplica; si los kilómetros recorridos por el auto se reducen a la mitad, entonces, se usará la mitad de la gasolina.

Cada vez que ocurre esto entre dos magnitudes, decimos que las magnitudes son directamente proporcionales.

Observa también que el cociente entre dos valores correspondientes de las varia-bles, siempre se mantiene constante. Fíjate en las tablas:

Dos magnitudes son directamente proporcionales si el cociente entre dos cantidades correspondientes entre ellas se mantiene constante. Esta constante se llama razón de proporcionalidad.

En el ejemplo 1, la razón de proporcionalidad es 1/200, en el segundo ejemplo la razón de proporcionalidad es 12,5.

Kms recorridos 100 50 25 12,5 87,5

Litros de gasolina 8 4 2 1 7

Tiempo (horas) 2 4 6

Nº Bloques 400 800 1200

Tiemp / Nº Bloq 1/200 1/200 1/200

Kms recorridos 100 50 25 12,5 87,5

Litros de gasolina 8 4 2 1 7

Kms / litros 12,5 12,5 12,5 12,5 12,5


206

A partir de la razón de proporcionalidad, podemos dar una definición más operativa de magnitudes directamente proporcionales. Consideremos la tabla siguiente:

Decimos que la magnitud 1 es directamente proporcional a la magnitud 2 si, se cum-ple que = , donde a, b, c y d son distintas de cero. Para leer esta ecuación, se suele decir a es a b como c es a d

Esta igualdad nos lleva a las expresiones equivalentes:

• =

• b.c = a.d

Con esta definición, podemos responder nuestro segundo ejemplo, resolviendo una simple ecuación.

Sabemos que el auto recorre 100 km con 8 litros de gasolina, y deseamos saber cuán-tos kms podrá recorrer con 7 litros, entonces decimos “100 es a 8 como cuánto es a 7”. Si representamos este cuánto con la letra x, podemos aplicar la definición precedente y nos resultaría: = al hacer el despeje de la x nos resulta: x = ·7 = 87,5. Es decir, con 7 litros de gasolina el carro recorrerá 87,5 kms.

Existen algunos problemas que pueden ser resueltos aplicando una regla muy simple.

Ejemplo 3:

Un albañil construye una habitación en 5 días, en un mes, de 30 días. Si trabaja todo el mes, ¿cuántas habitaciones con las mismas dimensiones construirá?

Hacemos lo siguiente para responder:

Ubicamos de un lado los valores de una variable, y del otro lado los valores de la otra variable, separándolos por una flecha que indica la correspondencia entre las mismas. De las cuatro magnitudes, desconocemos una, la cual denotamos con la letra x.

1 habitación 5 días

x habitaciones 30 días

Para conocer el valor de la x, resolvemos la siguiente operación:

x = = 6

Magnitud 1 a c

Magnitud 2 b d

ab

cd

ba

dc

1008

x7

1008

30.15


207

Por lo tanto, en un mes, el albañil construye seis habitaciones con las mismas dimensiones.

Esta regla es conocida como regla de tres y el valor que hemos encontrado se llama cuarta proporcional.

Observa que la operación se hizo como lo indican las flechas:

1 habitación 5 días

x habitaciones 30 días

Consideremos ahora el siguiente ejemplo:

Ejemplo 4:

Siguiendo con la situación de la bloquera, se quieren transportar 24000, bloques desde la fábrica hasta la construcción de un hotel. En un camión, caben 400 bloques. ¿Cuántos viajes tendrá que hacer un camión para transportar todos los bloques?, ¿y dos camiones?, ¿y tres camiones? Ilustremos esta situación en la siguiente tabla:

Si se tiene un sólo camión, se tendría que dividir el número de bloques a trasportar (24000) entre los 400 bloques que puede trasportar el camión, es decir, 24000 ÷ 400 = 60. Luego, el camión deberá hacer 60 viajes para transportar todos los bloques. Del mismo modo, si se tienen dos camiones, se harían 30 viajes y si tenemos tres, se harían 20 viajes.

Observa que, mientras aumenta el número de camiones disminuye el número de viajes por hacer, pero, además, esta disminución es en proporción inversa, es decir, si el número de camiones se duplica, el número de viajes se reduce a la mitad; si el número de camiones se triplica, el número de viajes se reduce a la tercera parte. Cuando ocurre esta correlación entre dos magnitudes, decimos que es inversamente proporcional.

Fíjate en la tabla y podrás ver que el número de viajes que se hacen también es inversamente proporcional al número de bloques que se llevan por viaje, es decir, mientras menos viajes se hacen, más bloques se llevan en cada viaje.

Además, el producto entre las cantidades correspondiente entre las variables tam-bién se mantiene constante. Ahora, observa las siguientes tablas:

entre

por

Nº de camiones 1 2 3

Nº de bloques por viaje 400 800 1200

Nº de viajes 60 30 20

Nº de camiones 1 2 3


Nº de cam. x Nº de viajes 60 60 60


208

Dos magnitudes son inversamente proporcionales si el pro-ducto entre dos cantidades correspondientes entre ellas se mantiene constante. Esta constante se llama razón de proporcionalidad.

Consideremos ahora la tabla siguiente:

Decimos que la magnitud 1 es inversamente proporcional a la magnitud 2, si se cumple que a. b = c . d , donde a, b, c y d son distintas de cero.

Esta igualdad nos lleva a las expresiones equivalentes:

Ejemplo 5:

Dos albañiles construyen una habitación en 5 días. Si fueran 4 albañiles, ¿en cuán-to tiempo la construirían, si todos trabajan por igual? Coloquemos los datos en una tabla:

Mientras más albañiles trabajen, terminarán la construcción en menos días, por lo que estas variables son inversamente proporcionales. Por lo tanto, debe cumplirse que 2 . 5 = 4 . x, despejando el valor de la x obtenemos que x =

Porcentajes y proporcionalidad directa

En la cotidianidad, nos encontramos con situaciones que involucran la palabra “por-centaje”. Por ejemplo, cuando decimos: el treinta por ciento (30%) de los alumnos es-tán aplazados; la inflación ha aumentado en un 60%; hoy ha faltado el 10% del perso-nal. Comencemos por decir el significado que tiene el porcentaje.


Nº de bloques por viaje 400 800 1200

Nº de viajes x Nº de bloques 24000 24000 24000

Magnitud 1 a c

Magnitud 2 b d

a d =

c bc b

= a d

Nº de albañiles 2 4

Nº de días 5 x

2.54


209

Cuando decimos que el 30% de los alumnos están aplazados, estamos diciendo que, de cada 100 alumnos; 30 están aplazados, esto es: 30% = . Lo mismo ocurre con cualquier porcentaje, en general escribimos:

El porcentaje está muy relacionado con la proporcionalidad directa. Veamos algu-nos ejemplos:

Ejemplo 6:

De los 800 alumnos que tiene un liceo, hoy ha ido a una convivencia el 5 %. ¿Cuántos alumnos están en la convivencia? Si 5% de los alumnos está en la convivencia, significa que, de cada 100 alumnos, 5 se fueron. La pregunta es: de los 800 alumnos, ¿cuántos se fueron? Entonces, decimos que 5 es a 100 como cuánto(x) es a 800. En términos de proporcionalidad tenemos lo siguiente: = despejando el valor de la x, tene-mos que x = .800 = 40 . Por lo tanto, 40 alumnos se fueron de convivencia.

Ejemplo 7:

Por ayudarle a mi papá un día en su trabajo, me pagará el 10% de su cobranza. Si al finalizar el trabajo él recibe 120 Bs.F. ¿cuánto dinero recibiré yo? Para responder al problema, decimos que 10 es a 100 como cuánto (x) es a 120, esto es, = , despe-jando el valor de la x tenemos que x = .120 = 12. Por lo tanto, recibiré 12 bolívares por mi trabajo.

Saber más

Para consolidar tus conocimientos, puedes seguir esta direc-ción web: http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarro-yo/matematicas/materiales/3eso/numeros/proporcionalidad/teoriaproporcionalidad/teoriaproporcionalidad.htm

Para reflexionar, escucha el micro radial: Parábola de la al-dea global, disponible en: http://www.radialistas.net/clip.php?id=1500009. ¿Que tal si reduces la población de tu país a una aldea de 100 familias y calculas los porcentajes?

1. En la siguiente tabla se muestra la relación entre la superficie de una pared a pintar y la pintura necesaria para hacerlo.

30100

aa % =

100

5100

x800

5100

10100

x12010

100

m2 de pared 3 7 10 13

Litros necesarios 1.5 3.5 5 6.5


210

a) ¿Las variables involucradas están en proporción?, ¿de qué tipo?

b) ¿Cuántos litros de pintura se necesitarían para pintar 20 m2 de pared?

2. Completa la siguiente tabla sabiendo que sus magnitudes son directamente proporcionales:

3. En un potrero, 16 caballos consumen un camión de paja en 9 días. Si llegan 8 nuevos caballos, ¿en cuántos días se comen el camión de paja?

4. Si tres pintores tardan 10 días en pintar un edificio, ¿cuánto tiempo tardarán seis pintores en hacer el mismo trabajo?

5. De un pozo de agua se han recogido 20 litros de agua en cinco minutos. ¿Cuántos litros se recogerán en nueve minutos?

6. Si cuatro personas tardan ocho días en limpiar un terreno, ¿cuántas personas se necesitan para hacerlo en dos días?

7. Un ciclista da seis vueltas a una pista en 18 minutos. Si sigue al mismo ritmo ¿cuánto tardará en dar 8 vueltas?, ¿cuánto tiempo tardó en dar las 4 primeras vueltas?

8. Si Martha compra en el supermercado 3 kgs de harina por 6 Bs.F., ¿cuánto le costarían 7 kgs?

9. Una rueda de un auto de carreras da 3060 vueltas en 6 min. ¿Cuántas vueltas dará en 24 horas?, ¿y en 24 minutos?

10. El 25 % de las 696 personas que viajan en un barco son miembros de un grupo político, el resto no pertenece a ningún grupo político ¿Cuántas personas están en el grupo político?

11. El 95 % de las 340 cabezas de un rebaño son becerras y el resto, ovejas. ¿Cuántas becerras y ovejas hay en el rebaño?

12. María compra unas sandalias de 275 Bs.F. y le rebajan un 15 %. ¿Cuánto le rebajan?, ¿cuánto paga?

Nota:

1. La Torre inclinada de Pisa es el campanario de la catedral de Pisa. Fue construida para que permaneciera en posición vertical pero comenzó a inclinarse tan pronto como se inició su construcción en agosto de 1173. La altura de la torre es de 55,7 a 55,8 metros desde la base, su peso se estima en 14.700 toneladas y la inclinación de unos 4° extendiéndose 3,9 m de la vertical. Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Torre_de_Pisa

x 36 8

y 3 2 10

Semana 10Cuerpos geométricos. Construcción y aplicaciones

211

Cuerpos geométricos. Construcción y aplicaciones Semana 10

Todo nuestro alrededor está habitado por el maravilloso mundo de la Geometría; desde el momento en que abrimos nues-tros ojos hasta cuando los cerramos, esta-mos observando, aunque a veces sin dar-nos cuenta, figuras geométricas. Cuando abres tus ojos y ves el techo de tu cuarto, estas viendo un cuadrado o un rectángu-lo, lo mismo ves cuando abres la puerta de tu habitación; en el ocaso, puedes apreciar una hermosa circunferencia en el sol, los edificios forman paralelepípedos, las casas son combinaciones de triángulos, cuadra-dos, círculos; las carreteras son como pla-nos que se extienden a lo largo de la tierra;

en los techos de las casas sueles encontrar grandes esferas que sirven para depositar agua. En general, cuando ves una figura geométrica de tres dimensiones se dice que es un cuerpo geométrico.

En esta semana se busca que construyas cuerpos geométricos a partir de la elabo-ración de modelos.

Es importante que antes de continuar explorando el mundo de la Geometría en el es-pacio, desempolves un poco lo que aprendiste el semestre pasado en la Geometría pla-na. Revisa conceptos como: ángulos, recta, triángulos, cuadrados, paralelogramos, etc.

Las imágenes mostradas evidencian algunas aplicaciones de las figuras geométricas que aprenderás a construir en esta semana.

Cuerpos geométricos. Construcción y aplicacionesSemana 10

212

Un cuerpo geométrico, también conocido como sólido, es una figura geométrica que está en el espacio y, por lo tanto, tiene tres dimensiones: largo, ancho, y alto. Así como las figuras planas tienen área, los cuerpos geométricos tienen volumen. Comencemos nuestra aventura por el mundo de la Geometría conociendo un poco más de los cuer-pos geométricos.

Los cuerpos geométricos se pueden clasificar en dos tipos: poliedros y cuerpos re-dondos. Los poliedros a su vez se clasifican en: poliedros regulares y poliedros irregu-lares. Los poliedros son cuerpos geométricos que poseen los siguientes elementos: caras, aristas, vértices y ángulos poliedros.

Vértice Arista

Ángulo poliedro Cara

Veamos la definición de cada uno de ellos:

Las caras son superficies planas que, al interceptarse entre sí, dan origen al poliedro.

Las aristas son los segmentos de recta que se forman de la intersección entre dos caras

Los vértices son los puntos donde se interceptan tres o más aristas.

Los ángulos poliedros son ángulos en el espacio, que se forman con la intersección de tres caras y un vértice.

Los poliedros regulares son cuerpos geométricos que tienen por caras polígonos regulares y todos sus ángulos poliedros son iguales. El matemático Leonhard Euler, en 1752, logró demostrar que sólo existen cinco tipos de poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro, icosaedro.

El tetraedro es un poliedro regular que tiene por caras, cuatro triángulos equiláteros.

El hexaedro es un polígono regular que tiene como caras seis cuadrados.

El octaedro es un polígono regular que tiene por caras, ocho triángulos equiláteros.

El dodecaedro es un polígono regular que tiene por caras, 12 pentágonos regulares.


213

El icosaedro es un polígono regular que tiene por caras, 20 triángulos equiláteros.

Los poliedros irregulares son cuerpos geométricos, cuyas caras no son polígonos regulares, ni sus ángulos poliedros son iguales. Dos poliedros irregulares son: los pris-mas y las pirámides.

Un prisma es un poliedro irregular limitado por varios paralelogramos y dos polígo-nos iguales paralelos, llamados bases.

Una pirámide es un poliedro irregular donde una de sus caras es un polígono cual-quiera al que se llama base, y las caras laterales son triángulos, que tienen un punto en común, llamado vértice.

Los cuerpos redondos son cuerpos geométricos que están parcial o totalmente li-mitados por superficies curvas. Algunos cuerpos redondos son: la esfera, el cilindro circular y el cono.

Observa el siguiente mapa conceptual, que te podrá aclarar mejor la clasificación de los cuerpos geométricos:

Saber más

Para visualizar estos poliedros y explorarlos muy detallada-mente, puedes usar una aplicación en Internet, conocida como Applet Java1 , de Matemática, visitando la siguiente dirección web: http://www.walter-fendt.de/m11s/platonsolids_s.htm

Para reflexionar, escucha el micro radial: El niño redondo, dis-ponible en: http://www.radialistas.net/clip.php?id=1200144

Cuerpos geométricos

Poliedros Cuerpos redondos

Tetraedro

Regulares Hexaedro Cono

Octaedro

Irregulares Dodecaedro Cilindro

Isocaedro

Piramides Prismas Esfera


214

Lleva al CCA una cartulina, tijeras, pega blanca, escuadras, reglas, un compás y témpera, para que te diviertas con tus compañeros, construyendo diversos cuerpos geométricos. A continuación, se presentan los procedimientos para que tú mismo los fabriques:

1. Construyendo un cubo

Lo primero que debes hacer es trazar cuatro cuadrados iguales, de 20 cm cada uno, de manera que queden uno al lado del otro.

Ahora, selecciona uno de los cuadrados que has hecho, y dibuja sobre sus laterales dos cuadrados más, con las mismas dimensiones.

Ahora, dibuja sobre los bordes de los otros tres cuadrados las pestañas con las que podrás juntar cada cara.

Finalmente, cierra el cubo, y pega las pestañas, para que puedas decorarlo a tu gusto.


215

2. Construyendo un cono

Comienza trazando una circunferencia de radio 8cm, la cual representará la base del cono.

Con el compás, haz un arco de radio mayor al de la base y traza dos segmentos de líneas rectas que, partiendo desde un mismo punto, lleguen a los extremos del arco. Se formará un triángulo con base en forma de arco. La altura del cono la determinarás con la magnitud de los segmentos de recta.

Sobre el arco de la figura anterior, dibuja las pestañas que te servirán para unirlo con la base.

Finalmente, pega la base del triángulo en forma de arco y decóralo a tu gusto.


216

3. Construyendo una pirámide triangular

Traza tres triángulos iguales, uno al lado del otro. Usa las dimensiones que quieras para hacer los triángulos.

Traza un triángulo equilátero debajo de alguno de los triángulos trazados antes. Éste será la base de la pirámide.

Ahora, dibuja las pestañas, tal como se muestra en la figura.

Finalmente, pega y decora la pirámide que has construido.

Nota:

1. Un applet es un componente de una aplicación que se ejecuta en el contexto de otro programa, por ejemplo, un navegador web. El applet debe ejecutarse en un contenedor, que lo proporciona un programa anfitrión, mediante un plugin, o en aplicaciones como teléfonos móviles que soportan el modelo de programación por applets. A diferencia de un programa, un applet no puede ejecutarse de manera independiente, ofrece información gráfica y a veces interactúa con el usuario, típicamente carece de sesión y tiene privilegios de seguridad restringidos. Un applet normalmente lleva a cabo una función muy específica que carece de uso independiente. El término fue introducido en AppleScript en 1993. Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/Applet

Semana 11Elementos geométricos del entorno

217

La semana pasada aprendimos a construir algunos cuerpos geométricos usando tijeras, pega y cartulina. Sin embargo, estos mismos cuerpos y muchos más, pode-mos encontrarlos en nuestra cotidianidad. De hecho, nuestro mundo está formado, en gran parte, por cuerpos geométricos como los que hemos estudiado. Culturas an-tiguas como la de los mayas, incas, aztecas, china, romana, africana, egipcia y otras, aplicaron mucha geometría en sus diferentes actividades. Esta semana se espera que puedas identificar algunos cuerpos geométricos en estas culturas, y que luego pue-das ubicar los mismos cuerpos en tu entorno cotidiano. ¡Ánimo!

En la siguiente lectura, trata de ubicar las partes donde los egipcios han utilizado la geometría y, en particular, los cuerpos geométricos:

Arte egipcio

El arte egipcio esta dirigido principalmente por los deseos de los distintos faraones, ya que todos buscaban construir edificaciones que perduraran a lo largo del tiempo y pasaran a la posteridad. Esta es la principal razón por la que utilizaban piedras para sus construcciones. Los edificios más significativos fueron los templos, donde se honraba a los dioses, y las tumbas, donde se guardaba la memoria de los difuntos. Los templos son construidos por los faraones para sus eternos padres. Existen varios tipos, pero, siempre se elige como característico el templo de Konsu en Karnak.

Los arquitectos egipcios no utilizan la bóveda, por lo que se trata de una arquitectura dintelada, creando una característica sensación de estabilidad. Sus muros eran extraor-dinariamente anchos y acababan en un talud, disminuyendo su anchura, a medida que se elevaban. Estos edificios están ampliamente decorados, bien con elementos vegeta-les o animales, o bien con jeroglíficos, escenas históricas, etc. La mayoría de estas deco-raciones se realizaban en relieve, siendo una de las principales fuentes para el conoci-

Elementos geométricos del entorno Semana 11

Pirámides Ghiza, imagen tomada de http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/18/All_Gizah_Pyramids-2.jpg

Elementos geométricos del entornoSemana 11

218

miento de la historia de Egipto. Antes de acceder al templo, nos encontramos con una larga avenida flanqueada por estatuas de animales divinos, habitualmente esfinges o carneros de Amón.

Dos obeliscos situados delante decoran la fachada. La avenida finaliza ante la facha-da del templo, llamada pilono, que tiene forma de trapecio y está construida en talud, abriéndose en el centro una puerta de acceso también trapezoidal. El pilono nos permi-te la entrada a un patio, rodeado de columnas por los lados, quedando la zona central a cielo abierto. Su nombre es la sala hipetra. Después, se accede a una nueva dependencia con columnas, ahora totalmente cubierta.

Esta sala de columnas, se denomina sala hipóstila. Desde este lugar se pasa al sanctasanc-tórum, un espacio rectangular, rodeado de corredores, donde se encuentra la estatua del dios.

Las diferentes salas del templo van disminuyendo en altura y en iluminación, ma-nifestándose también una diferenciación social en cada una de ellas. De esta forma, el pueblo sólo puede acceder hasta los pilonos, mientras que las clases superiores pueden pasar a la sala hipetra. La familia real tiene acceso a la sala hipóstila y los sa-cerdotes y el faraón al santuario.

Además de los templos construidos con piedras, se realizaron algunos otros exca-vados en la roca. Éstos reciben el nombre griego de speos, que significa “cueva”. Estos templos se encuentran en Ipsambul, en Nubia.

En las tumbas, se aprecia una evolución, a lo largo de los diferentes periodos. La primera que se utilizó fue la mastaba, en forma de banco, de donde viene su nombre. El enterramiento se realiza en un pozo que, tras el sepelio, se cierra con tierra. A nivel del suelo, nos encontramos la capilla, donde se depositan los alimentos, decorada con escenas en relieve o pintura de temática funeraria.

Posteriormente se pasa a la pirámide escalonada, formada por diferentes mastabas superpuestas, siendo la más famosa la de Sanakht. El siguiente paso lo encontramos en la IV Dinastía, con las pirámides de Kheops, Khefren y Micerino, de perfecta estruc-tura y con la cámara funeraria absolutamente disimulada, aunque esto no evitó los saqueos de épocas posteriores.

Ya en el periodo tebano se renuncia a las grandes edificaciones, para construir las tumbas en los acantilados de la región de Abidós. Las puertas de acceso estaban di-simuladas al máximo y algunas veces se duplicaban las entradas, para evitar los sa-queos. Este tipo de tumba excavada, se denomina hipogeo.

Respecto a la escultura egipcia, nos encontramos con una dualidad muy significati-va: las estatuas que representan a los dioses y los faraones son tremendamente estáti-cas, mostrando una absoluta rigidez, lo que se ha venido llamando la ley de la fronta-lidad. Los brazos están pegados al cuerpo y una de las piernas avanza sin abandonar la rigidez. Por otro lado, las estatuas de personajes secundarios como los escribas, los funcionarios o los animales, están realizados con un naturalismo digno de destacar. Estas estatuas se mueven, creando la sensación de viveza y espontaneidad. Una de las preferencias del escultor es el relieve, utilizando el bajorrelieve e incluso el hueco re-lieve. Eluden la perspectiva y representan a la figura de perfil. Las piernas se muestran de perfil, mientras que el torso aparece de frente. En la cara ocurre algo parecido, el rostro de perfil aunque el ojo se ve de frente.

Semana 11Elementos geométricos del entorno

219

Los faraones y los dioses son mayores que las demás personas, mostrando una ley de la jerarquía. Las escenas se suelen desarrollar en filas paralelas, aunque a veces se muestran diversos escenarios de manera simultánea. La temática de estos relieves está normalmente relacionada con la vida de ultratumba o con imágenes relaciona-das con el difunto, por lo que gracias a estas escenas, se puede conocer con mayor facilidad el Egipto antiguo.

La pintura está muy relacionada con el relieve ya que mantiene la ausencia de pers-pectiva, la representación de la figura y la ubicación de los escenarios. Utilizan colores planos y tienen carácter decorativo.

1. En la siguiente dirección web encontrarás información sobre otras culturas; mayas, incas, aztecas, romana, china, etc. http://www.webcultura.net/u-cultura-griega.html. Lee al menos dos de esas culturas, y menciona algunos cuerpos geométricos presentes en ellas.

2. Menciona al menos 5 objetos de la realidad, que puedas asociar con un cuerpo geométrico. Puedes guiarte usando la siguiente tabla:

Objeto de la realidad Cuerpo asociado

Gorro para fiesta de niños Cono

3. Describe uno de tus días, haciendo énfasis en los cuerpos geométricos que te encuentras durante el mismo.

4. Indaga sobre las labores de algún albañil, costurera o dibujante de tu comunidad y sobre el uso que hace de la geometría cuando desarrolla su trabajo. Escribe tus impresiones.

En esta semana, hemos podido apreciar la pre-sencia de los cuerpos geométricos en nuestra realidad, no sólo en las culturas antiguas, sino también en nuestra vida actual. Desde el mo-mento en que nos levantamos hasta el momen-to en que nos acostamos, estamos observando objetos con forma de cuerpos geométricos.

Gráficos estadísticosSemana 12

220


Bienvenido y bienvenida a esta nueva semana en la que encontraremos nuevos ele-mentos que nos mostrarán la estrecha relación que existe entre la Matemática y las situaciones de nuestra vida cotidiana. A menudo, se observa en los periódicos, gráfi-cos donde se reflejan los resultados sobre diversas actividades, tales como el deporte, la política, la economía, salud, etc. Estamos hablando de los gráficos estadísticos. Este será el tema que trabajaremos en esta nueva sesión de adquisición de saberes.

Al finalizar la semana, se busca que logres interpretar los gráficos estadísticos que sueles encontrar en el periódico u otros medios de comunicación.

El semestre pasado estudiaste los conceptos básicos de la Estadística y su impor-tancia en el ámbito social. Para refrescar un poco estas ideas, responde las siguientes preguntas. Puedes recurrir al módulo del semestre anterior u otro material que consi-deres necesario.

1. ¿Qué es la Estadística?

2. ¿Qué importancia tiene la Estadística en nuestra cotidianidad?

3. ¿Dónde puedes ver el uso de la Estadística en la vida diaria?

4. ¿Qué es la frecuencia absoluta?

5. ¿Qué es un gráfico estadístico?

6. ¿Dónde encontramos los gráficos estadísticos?

7. ¿Facilita la interpretación de los datos un gráfico estadístico?, ¿por qué?

8. Menciona algunos gráficos estadísticos que alguna vez hayas visto.

Semana 12Gráficos estadísticos

221

Los gráficos estadísticos son herramientas que permiten ubicar un determinado conjunto de datos, obtenidos de algún evento, sobre un diagrama. Este diagrama permite una mejor comprensión de los datos y con él se puede hacer un análisis con relativa facilidad.

En esta semana, nos encargaremos de estudiar en detalle tres tipos de diagramas: diagrama de sectores, diagrama de barras e histogramas. De cada uno de éstos vere-mos cómo se construyen y cómo interpretarlos.

Comencemos con el primer diagrama:

Diagrama de barras

Consideremos el siguiente problema: Eduardo es un estudiante de medicina, que gasta los lunes y viernes 3 Bs.F. para ir a la universidad, los martes gasta 5 Bs.F. porque debe asistir a las prácticas de enfermería, los miércoles gasta 7 Bs.F. porque sale muy tarde, pero, los jueves no gasta dinero, porque su papá lo lleva a la universidad y un amigo lo trae de vuelta a casa. Ubiquemos esta información en una tabla:

Un diagrama de barras es un gráfico, utilizado normalmente para variables cualitati-vas, como es nuestro caso (días de la semana), así que usaremos uno de estos diagra-mas para analizar los datos.

Un diagrama de barras se construye en un plano de coordenadas, de tal manera que en el eje horizontal se colocan los valores de la variable (días de clase) y en el eje vertical colocamos sus valores correspondientes (gasto en pasaje). Haciendo uso del programa computacional Microsoft Excel 2003, podemos obtener fácilmente este diagrama.

Si no posees el recurso tecnológico, no te preocupes por eso, pues la construcción del diagrama es muy sencillo. A continuación, se muestra, paso a paso, cómo hacerlo:

1. Traza dos líneas perpendiculares. En la línea vertical, coloca (en escala) los números que se asignarán al gasto de pasaje; y en la horizontal, coloca los días de la semana.

2. Con los datos que tienes en la tabla, comienza a levantar las barras, asignando a cada día de la semana su respectivo gasto en pasaje. Así, obtendrás el gráfico.

Días de clase Gasto en pasaje

Lunes 3

Martes 5

Miércoles 7

Jueves 0

Viernes 3


222

Fíjate que el diagrama de barras está formado por barras verticales y separadas en-tre sí. Esta característica es muy importante, porque es la que hace la diferencia con el histograma, que veremos más adelante.

En ocasiones, los diagramas de barras se presentan con las barras ubicadas horizon-talmente, como se muestra a continuación.

Al observar el diagrama de barras (cualquiera de los dos), podemos darnos cuenta, casi inmediatamente, que los días miércoles, Eduardo gasta más dinero que cualquier otro día, además de ver que el jueves no gasta dinero.

Histograma

Consideremos el siguiente conjunto de datos, los cuales representan las estaturas en centímetros de un grupo de 20 estudiantes de 7mo grado, de un determinado colegio: {153, 153, 154, 152, 150, 154, 155, 156, 154,151, 152, 151, 154, 149, 150, 150, 153, 156, 155, 156}

Lo primero que debemos hacer, es ordenar los datos en una tabla de distribución de frecuencia, y lo haremos con datos agrupados. Si tienes dudas de cómo construirla, puedes revisar la semana Nº 13 del semestre anterior. Sin embargo, haremos la cons-trucción de la tabla, paso a paso.

8

6

4

2

0

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

Días de clase

Gas

to e

n pa

saje

Diagrama de barras

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

0 2 4 6 8 Gasto en pasaje

Día

s de

clas

e

Diagrama de barras


223

De los datos, podemos extraer el rango de la distribución, restando el valor máximo con el valor mínimo, es decir, 156 - 149 = 7. En nuestro problema, usaremos 4 interva-los de clases. La amplitud de cada intervalo la obtenemos dividiendo el rango entre el número de intervalos. En nuestro caso 7 ÷ 4 = 1,75, por lo que redondeamos a 2 la amplitud de cada intervalo.

Construyendo la tabla:

Cada clase está formada por dos números: el límite inferior y el límite superior. Observa que el límite superior de la primera clase es igual al límite inferior de la se-gunda clase, y lo mismo ocurre con las siguientes clases. Esto se hace para que, al momento de construir el histograma, las barras queden unidas, ya que las estaturas son datos continuos.

Para llenar la columna de las frecuencias, sólo debemos tener en cuenta que los lí-mites superiores de cada clase no se cuentan en los datos, excepto en la última clase. ¿Por qué?

Al observar el conjunto de datos y contar los elementos de cada intervalo de clases, obtenemos la siguiente tabla de distribución de frecuencia:

Una vez que hemos construido la tabla de frecuencia, procedemos a realizar el his-tograma. El proceso es el siguiente:

1.En la tabla de frecuencia, ubicamos una nueva columna donde colocaremos las medias de clases, es decir, la semisuma de los límites de cada clase, la cual se obtiene sumando los límites y dividiendo entre dos.

Clases Frecuencia149 - 151

151 - 153

153 - 155

155 - 157

Clases Frecuencia

149 - 151 4

151 - 153 4

153 - 155 7

155 - 157 5

Clases Frecuencia Medias de clase

149 - 151 4 150

151 - 153 4 152

153 - 155 7 154

155 - 157 5 156


224

Trazamos dos rectas perpendiculares. En la recta horizontal, ubicamos las clases y en la vertical, las frecuencias.

2. A cada media de clase, le asignamos su respectiva frecuencia.

3. En cada media de clase, levantamos rectángulos, tomando como límites los respectivos límites de cada clase.

4. Al inicio del gráfico, colocamos el símbolo el cual indica que la escala de los datos se comienza a tomar en cuenta a partir de él.

Una vez que hemos hecho el diagrama de barras, podemos hacer un análisis de los datos de un modo más visual. Por ejemplo, en el histograma se ve que hay más alumnos que tienen una estatura entre los 153 cm y 155 cm ¿Qué otras conclusiones puedes sacar del histograma?

Diagrama de sectores

Consideremos el mismo ejemplo anterior para estudiar los diagramas de sectores. Para ello, tomemos la tabla de frecuencia encontrada antes, y agreguemos una co-lumna, con el porcentaje que representa cada una de las frecuencias dentro de los 20 estudiantes. Para encontrar el porcentaje de cada frecuencia, debemos dividir la frecuencia entre el número total de datos y el resultado lo multiplicamos por cien. Por ejemplo, si la frecuencia es 4, entonces, en porcentaje tenemos: .100 = 20.

Este porcentaje suele llamarse frecuencia relativa.

7

6

5

4

3

2

1

149 150 151 152 153 154 155 156 157

Clases Frecuencia Medias de clase %149 - 151 4 150 20

151 - 153 4 152 20

153 - 155 7 154 35

155 - 157 5 156 25

420


225

Un diagrama de sectores es una figura con forma de pastel, que está dividida en sec-tores, los cuales representan una porción de la totalidad de los datos. En cada sector se ubica el porcentaje que representa dicha porción sobre la totalidad.

El diagrama de sectores correspondiente, nos permite constatar que el mayor por-centaje se encuentra en el intervalo de clase comprendido entre los 153 cm y 155 cm, y en el resto de las clases la distribución está un poco pareja. ¿Qué otra interpretación puedes sacar del diagrama, con respecto a las estaturas de los estudiantes?

Para el problema que se presentó al inicio, al explicar el diagrama de barras, también podríamos realizar un diagrama de sectores, como el que se muestra.

Saber más

Podrás saber más sobre los diagramas, visitando esta dirección web: http://sapiens.ya.com/matagus/unidad2.htm

Para reflexionar, escucha el micro radial: La dama de la lámpara, disponible en: http://www.radialistas.net/clip.php?id=1600073

1. María ha dictado el taller “La presencia de la Matemática en nuestro entorno”, a un grupo de 120 personas. Al final del taller se ha hecho una evaluación, entre los participantes, en la que se obtuvieron los siguientes resultados:

Muy bueno: 63 Bueno: 31 Regular: 20 Malo: 6

Construye un diagrama de barras a partir de esta información y escribe un análisis del mismo.

LunesMartesMiércolesJuevesViernes

17% 17%

0%

38% 28%

25%20%

35%

20%

149 - 151151 - 153153 - 155155 - 157


226

2. La siguiente tabla representa la masa, en kgs, de un grupo de 30 estudiantes universitarios.

a) Con estos datos, construye una tabla de frecuencia.

b) Realiza un histograma de frecuencia con seis intervalos de clases.

c) Analiza los resultados.

3. A la tabla de frecuencia que has realizado en la pregunta anterior, agrégale una columna con el porcentaje de cada media de clase y elabora un diagrama de sectores.

4. En el siguiente histograma se representa el peso de ambos riñones de un grupo de 25 hombres de 40 a 49 años.

a) Construye una tabla de frecuencia que se corresponda con el gráfico.

b) ¿En qué intervalo se encuentra la mayor cantidad de hombres?, ¿cuántos son? Interpreta esto.

c) ¿En qué intervalo se encuentra la menor cantidad de hombres?, ¿cuántos son? Interpreta esto.

60,3 70,2 60 59,9 70,1 67,3 68,2 55,3 80,2 82

61,3 67,2 68 69,9 71,1 66,3 68,5 58,3 70,5 80,5

79,3 78,2 71,1 69,9 78,1 77,3 66,2 57,3 81,3 81

12

10

8

6

4

2

0(207 - 247) (247 - 287) (187 - 237) (237 - 367) (367 - 407)

Peso en gramos

Frec

uenc

ia

Semana 13Análisis estadísticos

227

Análisis estadístico Semana 13

Con todo lo que aprendimos la semana pasada, podremos llevar a cabo nuestra pe-núltima semana del semestre, en la que haremos uso de los gráficos estadísticos es-tudiados. En esta semana, se espera que puedas interpretar un conjunto de datos de la vida cotidiana.

Haz un repaso de los contenidos de Estadística tratados durante el semestre pasado y éste. Apóyate, igualmente, en las técnicas de recolección de datos que has visto en el área de Ciencia y Tecnología.

1. Junto con tus compañeros, reúne la información que tienes sobre el tema seleccionado para trabajar tu proyecto comunitario.

2. A partir de los datos seleccionados, construyan:

a) Una tabla de frecuencia.

b) Un histograma.

c) Un diagrama de barras (para éste, selecciona una variable cualitativa).

d) Un diagrama de frecuencia (selecciona una variable continua).

e) Analiza e interpreta los resultados obtenidos en cada gráfico.

Consolidación de aprendizajesSemana 14

228


Durante todo el semestre, hemos dado un paseo por el maravilloso mundo de las matemáticas. Seguramente, has tenido algunos tropiezos, pero con ayuda de tus compañeros, el facilitador y tú mismo, te habrás podido levantar, y superar esos inconvenientes.

En esta última semana, pondremos en práctica todos los conocimientos adquiridos a lo largo del semestre. Para ello, se te presentarán una serie de ejercicios, en cuyas so-luciones debes aplicar los contenidos estudiados en las semanas anteriores. Cuando lo consideres necesario, no dudes en acudir a tu facilitador. ¡Comienza tu trabajo!

Como primera actividad, retoma los problemas propuestos en la semana Nº 2 de este módulo, y en esta ocasión, trata de dar una justificación a tus respuestas, basán-dote en lo estudiado a lo largo del semestre.

Intenta aplicar los conocimientos que has adquirido en el transcurso de este semes-tre, para responder los siguientes problemas:

1. Carlos se interesó en leer un libro que tiene 500 páginas. El 1 de abril leyó 1 página, y cada día leyó el triple de páginas que había leído el día anterior. Completa y responde: ¿en qué fecha terminó Carlos de leer el libro?

2. En un salón de clases de Derecho de la Universidad, con 100 alumnos, el profesor no puede asistir un día y se lo comunica a sus estudiantes por teléfono, de la siguiente manera: a las 10:00 am llama a dos alumnos y les da la información, y cada uno de éstos tienen la tarea de llamar a otros dos de sus compañeros, para darles la información en los próximos 10 minutos; y así, cada alumno que se entera del asunto debe llamar a dos de sus compañeros de los que aún no conozcan la información en los próximos 10 minutos. Aproximadamente, ¿a qué hora se enterará el último alumno de que no hay clases?

3. Tres avionetas salen del aeropuerto La Chinita con las siguientes frecuencias: el primero cada 12 horas, el segundo cada 18 horas y el tercero cada 30 horas. Si el 1 de marzo parten las tres avionetas juntas, ¿cuándo volverán a partir juntas y cuántas veces habrán despegado cada una, antes de que vuelvan a coincidir?

4. En una disquera, si se agrupan los discos en grupos de 12 y 36, no sobra alguno, pero, si se agrupan en grupos de 14, sobran 4 discos. Si hay más de 200 y menos de 400, ¿cuántos discos hay?

5. Un recipiente contiene 140 litros de jugo de naranja y otro 352 de durazno. ¿Qué tamaño tendría que tener la botella, lo más grande posible, que sirviese para

Semana 14Consolidación de aprendizajes

229

envasar los dos jugos, por separado, de manera que quepa justo el líquido en ellas?

6. Un cometa es visible desde la Tierra cada 16 años y otro cada 24 años. El último año que fueron visibles conjuntamente fue en 1968. ¿En qué año volverán a coincidir?

7. Si tienes una torta para la merienda del colegio y el lunes te comes 1/5 de la torta, el martes 3/8, y viernes 2/7, ¿qué fracción de torta te has comido?, ¿sobró torta?, ¿cuánta?

8. Debes hacer una tarea de Sociedad y Cultura y es muy larga. Piensas dividirla, para que sea más fácil. El primer día harás los 2/3 de la tarea; el otro día, 1/7 de la tarea; y el tercer día, 5/12 de la tarea. ¿Terminarás todo el trabajo en ese tiempo o tendrás que trabajar el cuarto día?

9. Isabel compró varios jugos de litro, para la merienda de sus hijos. Si el lunes, miércoles y jueves se tomaron un tercio de litro de jugo cada día, y el martes y jueves se tomaron un cuarto de litro de jugo cada día, y quedó medio litro de jugo para el sábado, ¿cuántos litros de jugo compró Isabel?

10. Alicia y Rubén caminan todos los días. Si Rubén camina 3/4 km y luego 2/3 km; y Alicia camina 1/2 km y luego 3/7 km, ¿cuál de los dos camina más?

11. José jugó 1/8 de tiempo de un juego. Si éste duró 60 minutos, ¿Cuánto tiempo jugó?

12. En un salón de clases hay 30 alumnos. Si por terminar antes del tiempo una evaluación, el profesor le permite la salida a 5/6 de los alumnos, ¿cuántos alumnos quedan en el salón?

13. En un encuentro deportivo, que reúne a 750 atletas, el 30% de los participantes son venezolanos, el 18% colombianos, el 16% brasileros y el resto estadounidenses. ¿Cuántos atletas estadounidenses participan en el encuentro?

14. Si en una cesta hay 20 frutas, 35% son manzanas, 20% cambures y el resto son duraznos, ¿cuántos duraznos hay?

15. De los 120 jugadores de ajedrez de un torneo, 15 son mujeres. ¿Qué porcentaje representan los hombres?

16. Las notas de los alumnos del octavo semestre son:

10 - 12 - 15 -20 - 08 - 07 - 12 - 14 - 18 - 08 - 09 - 10 - 11 -13 -15 - 19 - 18 - 12 -14 - 10 - 09

a) Con estos datos, construye una tabla de frecuencia de 5 intervalos de clases.

b) Elabora un histograma e interpreta los resultados.


230

17. Un veterinario midió los diferentes tiempos de recorrido de 6 caballos. Todos se desplazaron una distancia de 500 m. Éstos fueron los tiempos medidos:

Elabora un diagrama de barras que refleje el análisis obtenido, e interprétalo.

18. Los siguientes datos son las temperaturas en °C registradas en una ciudad, en un período de 40 días consecutivos:

24°, 22°, 23°, 24, 21°, 23°, 22°, 23°, 22°, 29°, 28°, 30°, 26°, 27°, 21°, 23°, 27°, 27°, 20°, 24°, 23°, 22°, 27°, 28°, 30°, 31°, 27°, 29°, 24°, 22°, 21°, 24°, 26°, 29°, 30°, 30°, 33°, 27°, 23°, 22°.

a) Agrupa los datos obtenidos en 6 intervalos de clase de amplitud 2,5° y halla la correspondiente distribución de frecuencias.

b) Elabora el histograma respectivo.

Con esta sección de ejercicios, hemos fina-lizado el octavo semestre. Seguramente has aprendido mucho, así que anímate a apli-car todo lo aprendido en tu vida cotidiana y prepárate, porque para el próximo semestre aprenderás muchas cosas nuevas, y verás cómo la Matemática sigue presentándose en muchas de las actividades y situaciones de nuestro entorno. ¡Éxitos!

Caballo Intervalo de tiempo

1 20

2 30

3 15

4 25

5 20

6 18

Adición y sustracción de fracciones. Recuperado el 30 de enero de 2009. Disponible en: http://www.irfaperu.org/aulas/secundaria/secundaria1s3f3.pdf

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Referencias Electrónicas

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