Polgonos y poliedros

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El sentido de la vista, an con un solo ojo, junto con lassensaciones musculares relativas a los movimientos del globoocular, podra bastar para hacernos conocer el espacio de tresdimensiones. Las imgenes de los objetos exteriores vienena pintarse sobre la retina, que es un cuadro de dos dimensiones:son perspectivas (...). Y bien, lo mismo que se puede hacersobre un plano la perspectiva de una figura de tresdimensiones, se puede hacer la de una figura de cuatrodimensiones sobre un cuadro de tres (o de dos) dimensiones.Esto no es ms que un juego para el gemetra.

Henri Poincar en su libro La Ciencia y la hiptesis (1902).Versin en espaol de Coleccin Austral, Espasa-Calpe, 3 edicin, 1963.

Cuarta Dimensin de la estudiante Jin Hua Dong del4 ao en el Shepherd College y vicepresidenta delClub Math que promueve trabajos sobre matemticay arte. Este trabajo se realiz utilizando la tcnica defractales.

Fascculo 7 Polgonos y poliedros50

Grados de libertad y coordenadasLos parmetros, como en el caso del avin, son independientesentre s: es posible cambiar un parmetro sin que esto alterelos otros. As, podemos modificar la latitud de un avinmovindolo a lo largo de un meridiano de la Tierra, y esto nomodifica su longitud. Cada parmetro representa un gradode libertad y por lo tanto una dimensin.

Dos posicionesdel avin

Movimiento de untren 1 Una direccin, dos sentidos: ade-lante-atrs

La distancia s=s(t) al origen comofuncin del tiempo

0

Movimiento de unpndulo simple delongitud L

1 Uno. El movimiento de la masa mes oscilatorio y en cada instante detiempo su distancia a O es fija L

El ngulo como funcin del tiem-po t

Tambin se puede tomar como par-metro, en funcin del tiempo, lalongitud s del arco PA o la distanciahorizontal x (elongacin)

Movimiento de unnavo en un ocano 2 Dos direcciones y cada una condos sentidos: adelante-atrs, dere-

cha-izquierda

Latitud y longitud en funcindel tiempo.

Movimiento de unavin (posicin y ve-locidad)

4 Cuatro: las tres del ejemplo anteriory la velocidad Latitud, longitud, altura y velocidad

Movimiento de unavin (posicin) 3 Tres direcciones y cada una deellas con dos sentidos Latitud, longitud y altura

Movimiento libre deuna varilla en tornoa un extremo fijo(pndulo esfrico)

2 Dos: el extremo no fijo P se muevesobre una esfera de radio la longitudL de la varill

Latitud y longitud

A

P

L

O

navo

Meridiano deGreenwich

m

x

L

O

P

Fascculo 7 Polgonos y poliedros51

Los sistemas de coordenadas, creados durante el siglo XVIIpor el matemtico francs Ren Descartes (Francia, 1596-1650)en uno de los tres apndices de su obra conocida como ElDiscurso del Mtodo (1637), permitieron tratar los problemasgeomtricos mediante el lgebra. Estos sistemas decoordenadas se denominan cartesianos o rectilneos, y seconstruyen utilizando rectas, usualmente perpendiculares.

En cada una de las situaciones siguientes determina cuntos grados de libertad tiene el sistemadescrito, es decir, de cuntos parmetros depende el movimiento del sistema y cules sonstos.

a) El sistema masa-polea-resorte de la figura 1. Setrata del movimiento de la masa m.

b) El pndulo doble de la figura 2, donde m1 y m2son masas unidas por una varilla de longitud L2 ym1 est sujeta a otra varilla de longitud L1 con unextremo fijo O.

c) El sistema formado por tres carros unidos conresortes de la figura 3.

d) La denominada mquina de Atwood: se tratadel movimiento de las masas m1 y m2 unidas atravs de una polea mediante una cuerda sinrozamiento de longitud L (figura 4).

e) Una partcula de masa m que se mueve sobre unacircunferencia de radio R.

f) Piensa en otros sistemas mecnicos con uno, doso tres grados de libertad.

y

xSistema de coordenadas cartesianas en un plano.

Sistema de coordenadas no cartesiano en unplano (se denominan coordenadas generalizadas).Por ejemplo, las coordenadas polares (,) delpunto P.

Sistema de coordenadas cartesianas en el espacio.

z

y

x

O

O

P

Eje

Polea

Resorte

Polea

1

2

Figura 1

1

2

Figura 2

Figura 3

Figura 4

L1

L2

OP=

O

Fascculo 7 Polgonos y poliedros52

Anterior a Descartes la geometra era sinttica y luego, conla utilizacin de las coordenadas, se cre la geometra analtica,esto es la vinculacin de la geometra con el lgebra, etique-tando los puntos con nmeros y los entes geomtricos medianterelaciones entre variables.

UNIDIMENSIONAL

Segmentos, curvas (en el plano o enel espacio).

TRIDIMENSIONAL

Slidos del espacio. La Tierra se con-sidera como esfera slida y no sola-mente la superficie terrestre.

BIDIMENSIONAL

Regiones del plano encerradas porcurvas, como los polgonos.

En una dimensin un punto se loca-liza mediante una sola coordenada(un nmero).

Para los objetos unidimensionalesse calculan longitudes.

Hay sistemas fsicos que tienen ungrado de libertad.

Al inicio de la geometra analtica los matemticos restringanel uso de las coordenadas a una y dos dimensiones. Ya Fermat,creador de la geometra analtica junto con Descartes, estuvoconsciente de una geometra analtica con ms de dos dimen-siones, pero no fue sino en el s. XVIII que se entendi bienque el lgebra con una o dos coordenadas poda ser extendidaal espacio tridimensional y, posteriormente, a espacios conmayor nmero de dimensiones.

En el sistema masa-resorte-amorti-guacin, la masa m se mueve verti-calmente. Se necesita solamente unacoordenada x=x(t) para definir lalocalizacin de la masa en un instan-te cualquiera t (x se mide a partir dela posicin de equilibrio esttico).

La hlicede untornillo

resorte amortigua-dor

masa

x

El rea de la regin comprendidaentre los dos arcos de parbolas dibujadas es igual a 1/3.

Hay sistemas fsicos que tienen dosgrados de libertad.

Superficies en el espacio. Por ejem-plo: la superficie de la Tierra (la esfe-ra terrestre).

En dos dimensiones un punto selocaliza mediante dos coordenadas(dos nmeros).

Para las regiones del plano ence-rradas o limitadas por curvas se cal-culan las reas.

y

xO

y=x2

El volumen del tetraedro limitadopor los planos de coordenadas y elplano dibujado es 3/2.

Hay sistemas fsicos que tienen tresgrados de libertad.

En tres dimensiones un punto selocaliza mediante tres coordenadas(tres nmeros).

Para los slidos del espacio, los queestn encerradoso limitados porsuperficies, se calculan volmenes.

z

y

O

x

(0,0,3)

(0,1,0)

(3,0,0)

Elipsoide

53 Fascculo 7 Polgonos y poliedros

En 1884 sali publicado un libro del clrigo y educador inglsEdwin Abbot Abbot titulado Flatland. A romance of manydimensions, que era un stira social y una introduccin paraentender lo que es dimensin y dimensiones mayores quetres. Abbot promova la igualdad de oportunidades en laeducacin de los (las) jvenes de todas las clases sociales, loque no ocurra en la Inglaterra de la poca Victoriana en dondehaba muchos prejuicios sociales. Abbot describe la vida deseres que viven en un mundo plano (Flatland; Flat=plano,land=pas o tierra) y establece una interrelacin entre mundosde distintas dimensiones. En la portada del libro, A Square(Square=cuadrado) es el nombre que utiliza para el narrador.All se observa una casa plana (en forma de pentgonoregular), que nosotros podemos ver en su totalidad, peroA Square viviendo en el mundo plano solamente puedeobservar una parte de ella aunque puede caminar en todosu alrededor.En Flatland se visita otra tierra, unidimensional, Lineland,donde los habitantes se representan por segmentos (los hom-bres) y puntos (las mujeres), y el rey es un segmento msgrande. A Square intenta convencer, intilmente, al rey deLineland (Line=lnea) de la existencia de una segunda dimen-sin. A su vez, Flatland es visitada por Una Esfera del espacioque intenta convencer a A Square de la existencia de unatercera dimensin y argumenta inicialmente que l puede vertoda la casa desde arriba describiendo a todos los habitantes.La Esfera atraviesa el plano, y A Square primero ve un punto,luego una parte de circunferencia que se va agrandando hastallegar a lo mximo, para luego contraerse, reducirse a un pun-to y, por ltimo, desaparecer.

Finalmente A square se convence y pregunta para ver la cuartadimensin. La Esfera le niega esa posibilidad y lo enva a Flatland,donde intenta convencer a los otros de la tercera dimensin, siendoarrestado de por vida y escribe FLATLAND (Planilandia).En el siglo XX se han escrito varios trabajos inspirados en Flatland,como el Mundo esfrico (Sphereland) de Dionis Burger (1964) yPlaniverse de A.K. Downey, en 1984, conmemorando el centenariode Flatland. Asimismo, el escritor britnico H.G. Wells (1866-1946),autor de obras de ciencia ficcin como El hombre invisible (1897),La guerra de los mundos (1898) y La mquina del tiempo (1895), en laque la idea del tiempo como una dimensin est claramenteexplicada.

H.G. Wells y Laguerra de los mun-dos.

Fuente:forums.eveofthewar.com/photos/displayimage.php

54 Fascculo 7 Polgonos y poliedros

Hemos visto que el movimiento de un avin o de un submarinodepende de cuatro parmetros: tres son de posicin (latitud,longitud y altura o profundidad) y el cuarto es la velocidad.Por lo tanto necesitaramos cuatro ejes de coordenadas pararepresentar esas variables en funcin del tiempo (cuatro dimen-siones, 4D) y, si adems queremos representar el tiempo, nece-sitaramos un quinto eje de coordenadas (cinco dimensiones,5D). Con nuestros ojos no es posible ver ni imaginarnos msde tres dimensiones. Aqu tenemos que razonar y haceranalogas con lo que ocurre en 1D, 2D y 3D. An ms, haysituaciones prcticas en las que se necesitan ms dimensiones.Por ejemplo, en los procesos productivos intervienen muchosparmetros: precios de materiales que se compran, precios delo que se vende, cantidad de personal que interviene en laproduccin, cantidad de material que se utilizar (materiaprima), transporte, tiempo de fabricacin, entre otros. Estorequiere trabajar con ms de tres variables independientes yalgunas dependientes de las anteriores, y lo cual implica uncierto nmero de dimensiones que no es posible representargrficamente pero s calcular con las mismas. As, se hacenclculos con muchas variables utilizando computadoras, ypara esto ha sido necesario crear y estudiar los espacios n-dimensionales.

Cuntas dimensiones podemos considerar quetengan utilidad tanto en matemtica como enotras disciplinas ?

La geometra es a las artes plsticas lo que la gramtica es al artede escribir. Hoy los cientficos ya no se atienen a las tres dimen-siones de la geometra euclidiana. Los pintores han sido llevadosnatural y, por as decirlo, intuitivamente, a preocuparse por lasnuevas medidas posibles del espacio que se indican brevemente en su conjunto, en lenguaje figurativo de los modernos con eltrmino de cuarta dimensin. La cuarta dimensin aparece gene-rada por las tres dimensiones conocidas y representa la inmensidaddel espacio que se eterniza en todas las direcciones en cualquiermomento dado.

Guillaume Apollinaire, francs nacido en Roma (1880-1918), poeta, escritor ycrtico de arte, precursor del surrealismo. La cita es de Los pintores cubistas (1913) considerado el manifiesto de ese movimiento.Fuente de la imagen: french.chass.utoronto.ca/fcs195/apollinaire.html

Simulacin de movimiento a travs de un tnel de viento,donde se puede probar la aerodinamia de un vehculo. Estaimagen proviene de una simulacin por computadorautilizado por una empresa taiwanesa.Fuente: www.syzygia.com.tw

55 Fascculo 7 Polgonos y poliedros

A mediados del s. XIX se crean las denominadas geometrasno euclidianas y uno de los principales matemticos de estesiglo, Bernhard Riemann (Alemania, 1826-1866), haba pensadoen espacios con muchas dimensiones. En 1908, otro matemticoalemn, Hermann Minkowski (1864-1909), quien fue profesorde Einstein, fusion las tres dimensiones espaciales y la di-mensin temporal en un continuo de 4D. La teora de la relati-vidad de Einstein, inicios del s. XX, utiliza ese espacio de 4Dcon coordenadas (x,y,z,t). Las 4D eran objeto de estudio pormatemticos, fsicos y filsofos y tambin fueron objeto devariadas especulaciones en el perodo 1880-1910, en el cualAbbot public su Flatland.Las geometras no euclidianas, las dimensiones mayores quetres, y el estudio de las ilusiones pticas en las que intervinie-ron el astrofsico Johann Zllner (1834-1882), el fsico Hermannvon Helmotz (1821-1894) y otros, crearon un ambiente cientfico(lo no euclidiano, dimensiones mayor que tres e ilusin ptica)que tuvo repercusin en las artes.

La cuarta dimensin y el hipercubo

Segmento cortando a rectas para-lelas que no se ven como tales.

A B

C D

Los segmentos AB y CD tie-nen igual longitud

Una de las primeras manifestaciones artsticas en tal sentido lo testimonia el siguiente cuadro, de inspiracin cubista, delpintor francs, nacionalizado norteamericano y precursor enNueva York de un movimiento denominado dadasmo, MarcelDuchamp (1887-1968), titulado Desnudo bajando una escalera(1912), en el que se vincula el anlisis cubista del espacio conla representacin del movimiento, y de all las 4D. Fue unapintura futurista con insinuaciones cubistas, Una expresindel tiempo y del espacio a travs de una presentacin abstractadel movimiento, como lo escribi el mismo Duchamp.En este cuadro, las secuencias de la figura movindose haciaabajo de la escalera tiene lugar de manera simultnea y sonreveladas las distintas facetas de la figura.

El Sello Blanco (1965) de Ren Magritte (Blgica,1898-1967), obra surrealista, es una paradoja visualque forma parte de sus pinturas imposibles.Magritte afirm: Cada cosa que nosotros vemosesconde algo ms que queremos ver.

56 Fascculo 7 Polgonos y poliedros

De qu forma podemos representar e intentar imaginarnos la cuarta dimensin y algunas de sus figuras,anlogamente cmo se representa la tercera dimensin en un papel?

Observemos primero cmo se van generando las dimensiones por analoga e iniciando con la dimensincero.Dimensin cero: un punto O

O

Dimensin 1: una rectaUn segmento construido a partir de un punto O,teniendo a ste como un extremo o vrtice.

O A

Dimensin 2: una segunda recta perpendicular a laanterior indica la segunda dimensin. Un cuadradoconstruido a partir de un segmento perpendicularen O al segmento OA.

Dimensin 3: una tercera recta perpendicular a lasdos anteriores, esto es, perpendicular al plano queellas forman, indica la tercera dimensin. Un cuboconstruido a partir de un segmento perpendicularen O al cuadrado OABC.

C B

O A

D E

G H

C B

O ADimensin 4: tenemos que pensar en una recta per-pendicular a nuestro espacio 3D y mover el cubosegn esa direccin perpendicular. Esto genera elhipercubo que es un poliedro regular en el espaciode cuatro dimensiones.Es claro que en la realidad no podemos efectuar esemovimiento, pero s podemos dibujar como luciraun tal hipercubo al proyectarlo en una hoja de papel.

D E

G H

C B

O A O

El cubo de la izquierdatrasladado en la direccinde la 4ta. dimensin.