Matemática Maravillosa

Introduccin

2006Espiral de Fibonacci (2006)La imagen representa el desarrollo de la espiral de Fibonacci utilizando al tomo como inicio y al Universo como la representacin del infinito. Esta espiral pasa por los distintos estadios de la complejidad universal: tomo, organismo multicelular, girasol, el hombre, el planeta Tierra y el Universo.Ilustracin: Rogelio Chovet

Fascculo 1 Introduccin

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Nuevamente ponemos en tus manos, amigo lector, joven estudiante, respetado educador, un material de estudio cuidadosamente elaborado que, estamos seguros, se convertir en una herramienta til para una mejor comprensin y dominio de los conceptos y tcnicas propias de la matemtica. Matemtica Maravillosa, como hemos titulado la coleccin que hoy iniciamos, est particularmente dirigida a los estudiantes de los ltimos aos del bachillerato, educacin tcnica y preuniversitaria. En esta obra que presentaremos en 30 fascculos se aborda la matemtica de las formas y las transformaciones a travs de temas tales como: polgonos y poliedros, trigonometra, cnicas y cuadrticas, matrices, fractales y para cerrar la coleccin disfrutarn de unos fascculos finales que vinculan la matemtica con las artes, la arquitectura y la ingeniera. Como en las colecciones anteriores, Matemticas para todos y El mundo de la matemtica, donde se expusieron los contenidos propios de la educacin bsica y media, en esta obra sus autores, luego de un arduo trabajo, han volcado lo mejor de sus talentos, formacin y experiencia y han puesto especial cuidado en presentar los temas tratados de una manera sencilla, atractiva y motivante, con profusin de imgenes y grficos que ilustran los diversos conceptos desarrollados, relacionndolos permanentemente con hechos de la vida cotidiana y estableciendo numerosas conexiones entre esta importante disciplina y otras reas del conocimiento tales como: fsica, qumica, geografa, economa, entre otras, lo cual le imprime a estas colecciones un carcter decididamente innovador. Empresas Polar, de la mano con su fundacin y el decidido apoyo del diario ltimas Noticias, harn posible que cada martes, mircoles y jueves, durante los prximos meses, llegue gratuitamente Matemtica Maravillosa a cientos de miles de hogares venezolanos trayendo luces para todos. Impulsados por nuestra fe en el porvenir, desde Fundacin Polar seguiremos aportando soluciones. Leonor Gimnez de Mendoza


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Matemtica Maravillosa concluye la coleccin de tres volmenes cuyos dos primeros se publicaron en los aos 2004 y 2005 y llevan por ttulo, respectivamente, Matemtica para todos y El mundo de la matemtica. Esta triloga constituye una unidad dentro de la multiplicidad de temas presentados, abarcando desde el nivel de la tercera etapa de la educacin bsica hasta el primer semestre universitario y recorriendo el espectro de una variedad temtica integrada por contenidos de aritmtica, lgebra, geometra, medidas, trigonometra, grficos, curvas y superficies, estadstica y probabilidades, llegando hasta temas ms recientes como los cdigos, los fractales, los splines, los modelos matemticos, y ciertos aspectos de estadstica utilizados actualmente como tallos, hojas y cajas, los cuales impregnan el dinamismo de la matemtica y suministran una caracterstica de su vitalidad. Esta tercera coleccin de fascculos, Matemtica Maravillosa, se orienta bsicamente hacia los alumnos y docentes de la educacin media, diversificada y profesional, y los del primer semestre universitario. Asimismo, para aquellos bachilleres en ciencias, profesionales y tcnicos que cursaron algunas asignaturas de matemtica y quisieran revisar ciertos contenidos de una manera actualizada y vinculada a diversas disciplinas como la de ellos mismos. Ha sido un esfuerzo de trabajo sostenido durante ms de cuatro aos de un equipo multidisciplinario de profesionales (matemticos, docentes de matemtica de educacin bsica y media diversificada, especialistas en educacin matemtica, especialistas de lenguaje, fsicos, estadsticos y diseadores) que, bajo el patrocinio de la Fundacin Polar y con el apoyo para su publicacin del diario ltimas Noticias, han permitido alcanzar la meta de produccin de esta obra que en su totalidad cubre ms de 600 pginas.


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A travs de toda la obra los temas se presentan en una forma sencilla, prestando atencin especial al uso de imgenes y grficas que ilustran los diversos conceptos y temas desarrollados. Estos temas cubren parte de la matemtica que figura en los programas oficiales de los niveles educativos en referencia, pero son expuestos de una forma ms atractiva a lo cotidiano del aula puesto que incluyen diversas secciones, a saber: reseas histricas, situaciones interesantes, retos, tengo que pensarlo, juegos, ayer y hoy, ventana didctica y orientaciones metodolgicas, informacin actualizada de libros y pginas web, y numerosas conexiones de la matemtica con otras reas: arquitectura, ingeniera, artes, medicina, geografa, bisbol, poblaciones, economa, qumica, fsica, entre otras, que usualmente no se contemplan en esos programas de estudio. Tanto el equipo de redaccin y diseo de los fascculos como los patrocinantes: Empresas Polar, Fundacin Polar y ltimas Noticias, aspiran que esta publicacin y la coleccin completa, contribuyan a refrescar y aumentar el caudal cultural de los habitantes de nuestro pas en cuanto a la ciencia matemtica y sus vinculaciones con una vasta gama de otras disciplinas y, por otra parte, favorezcan y mejoren el proceso de enseanzaaprendizaje. La coleccin de los tres volmenes se propuso ser un canal de divulgacin de la matemtica para un pblico amplio, escrito de una manera actualizada y de fcil entendimiento. Esperamos haber alcanzado dicha meta, pues ello incide positivamente en mejorar la percepcin que puedan tener los ciudadanos de la matemtica y a acrecentar su importancia para el desarrollo de la sociedad.


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El mayor porcentaje de los temas desarrollados en estos fascculos es de geometra o estn vinculados con esta rama de la matemtica. Igualmente, incluye trigonometra la cual aborda aspectos geomtricos sobre ngulos y lados de un tringulo. Asimismo, en los contenidos sobre matrices se ha puesto especial atencin a las transformaciones geomtricas en un plano y en el espacio, y en los ltimos fascculos que relacionan la matemtica con las artes y la arquitectura, adems de las vinculaciones geomtricas se ha desarrollado el tema de construcciones con regla y comps y de perspectiva. En este sentido podemos afirmar que, de manera general, es una coleccin sobre La matemtica de las formas y sus transformaciones. Los distintos temas se agrupan en los ttulos que se describen a continuacin.

POLGONOS Y POLIEDROSIniciando por los polgonos regulares convexos y estrellados, que habamos tratado brevemente en Matemtica para todos, especialmente lo referido a los tringulos, ahora se insiste en sus conexiones con las artes, la arquitectura, la biologa y la qumica, abordando el tpico de teselaciones con mosaicos regulares, mosaicos semirregulares, mosaicos de Escher y teselaciones de Penrose. Esto ltimo sirve de introduccin a los cuasicristales. De aqu pasamos a la dimensin tres, extendindonos hasta la cuarta dimensin y utilizando tanto el lenguaje de coordenadas como el de grados de libertad. Desarrollamos lo referente a los poliedros regulares convexos y estrellados e, igualmente, sus vinculaciones con las artes, la arquitectura y la ingeniera, y con la qumica al abordar lo relativo a los fulerenos y los nanotubos. En Matemtica para todos ya se haba iniciado el tratamiento de este tema. Al pasar a la cuarta dimensin nos referimos previamente al famoso libro de Edwin A. Abbot Flatland. A Romance of Many Dimensions (Planilandia. Un romance de muchas dimensiones, 1884) que nos sirve de introduccin al tema, en donde se estudia especialmente el hipercubo mostrando algunas de sus aplicaciones.

TRIGONOMETRALa trigonometra es una rama de la matemtica que estudia las relaciones de ngulos con conceptos geomtricos. Adems de las funciones definidas sobre los ngulos, se tienen las funciones trigonomtricas definidas sobre conjuntos de nmeros reales, donde la vinculacin entre ambas est dada por la medida de ngulos. La trigonometra de ngulos tiene importancia especial en la astronoma, la geodesia, la geografa, la navegacin, las construcciones civiles, entre otras. Las funciones trigonomtricas de nmeros reales son utilizadas en el clculo infinitesimal y en los fenmenos oscilatorios y peridicos.


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Los fascculos dedicados a trigonometra contemplan los siguientes tpicos en cuanto a la trigonometra de ngulos: ngulos y medida de ngulos; las funciones trigonomtricas de ngulos, la identidad fundamental sen2 + cos2 = 1 y su equivalencia con el teorema de Pitgoras; la ley de los senos y la ley del coseno, y, finalmente, algunos aspectos de la geometra de la esfera y las coordenadas geogrficas. Luego se estudian las funciones trigonomtricas con dominio en un y sus grficas respectivas. Se aplican las funciones subconjunto trigonomtricas a las artes (construccin de Durero) y a la msica (con las aproximaciones de Fourier). Asimismo, para honrar a un grupo de venezolanos que lleg hasta el Polo Norte, se desarrolla una aplicacin referida a esta excursin.

CNICAS Y CUDRICASLa geometra del espacio ha sido un tema descuidado en los programas instruccionales previos a la educacin universitaria. La visualizacin de figuras en el espacio desde diferentes ngulos, sus secciones con planos y sus propiedades y caractersticas, es un tema que presenta dificultades de aprendizaje para estudiantes tanto a nivel de la educacin secundaria como la superior. Por ello se incluy el estudio de las cudricas como lo anlogo de las cnicas en un plano, con el fin de explorar un tema geomtrico en el espacio, adems de su importancia en varias reas de la matemtica y de la arquitectura e ingeniera. Definimos las cnicas como lugares geomtricos de puntos de un plano as como secciones planas de una superficie cnica. Presentamos diversas aplicaciones de las cnicas, desde las tradicionales de rbitas elpticas de los planetas al moverse alrededor del Sol y los rayos de luz en una linterna, y otras vinculantes con la arquitectura y la ingeniera. Incluimos otras curvas como la catenaria y la cicloide. El espacio lo iniciamos presentando las rectas y planos y sus posiciones relativas. Luego, al pasar del plano al espacio mediante rotacin de curvas planas en torno de ejes, se obtienen superficies cudricas de revolucin: esferas, cilindros, elipsoides, paraboloides e hiperboloides. Las cudricas son superficies muy utilizadas en la arquitectura y la ingeniera, desde las clsicas como los conos, los cilindros (que son cudricas regladas) y las cpulas esfricas, hasta las otras cudricas regladas como los hiperboloides de una hoja y el paraboloide hiperblico. De esto se muestran diversos ejemplos de obras civiles.

MATRICES Y TRANSFORMACIONESLas matrices (cuadros rectangulares de nmeros) constituyen una herramienta fundamental en el tratamiento de los problemas lineales. De hecho, su estudio es parte del lgebra Lineal. Mediante las mismas se pueden estudiar las transformaciones geomtricas del plano y del espacio: rotaciones, reflexiones, homotecias, lo cual las vincula con la geometra. Asimismo, cabe destacar que los sistemas lineales de ecuaciones se formulan y estudian en trminos matriciales.


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El desarrollo del tema se inicia con algunas situaciones conducentes a plantear matrices y sigue con sus operaciones (adicin y sustraccin, producto por un nmero, multiplicacin) y algunas matrices especiales. Se expresan diversas transformaciones geomtricas del plano y del espacio con matrices y se estudian los cuadrados mgicos y los cdigos como aplicaciones del lgebra matricial.

FRACTALESEste es un tema novedoso para los estudiantes y docentes, y en general para el pblico, puesto que no est incluido en los programas de la educacin secundaria ni en el primer ao universitario y, por lo tanto, gran parte de los lectores que habrn escuchado tal nombre no lo conocen, pues no tuvieron oportunidad de estudiarlo. Sin embargo, ya en El mundo de la matemtica se motivaron las sucesiones con el fractal de Sierpinski y en el Tengo que pensarlo correspondiente se propuso el fractal copo de nieve de von Koch. La geometra fractal es la geometra de la naturaleza. Fue creada por Benot Mandelbrot en 1975 y desde entonces se ha desarrollado vastamente, pasando a ser una teora matemtica con numerosas aplicaciones a otras ciencias e inclusive es utilizada en las artes. Presentamos ejemplos diversos de fractales: fractal de Sierpinski, fractal H, el polvo de Cantor, y se define la dimensin fractal que es, junto con la autosemejanza, la caracterstica clave de los fractales. Adems de los fractales en dos dimensiones, se construyen algunos en tres dimensiones y se dan ejemplos de fractales en obras de arte.

MATEMTICA, ARTE Y ARQUITECTURAA lo largo de todos los fascculos que componen los tres volmenes de la coleccin de matemtica, se han incluido, de manera sistemtica, conexiones de los temas tratados con las artes (pintura, escultura y msica) y la arquitectura e ingeniera. En el cierre de la coleccin presentamos una visin unificadora en cuanto a esas conexiones y una comparacin entre la evolucin de la matemtica y la de las artes (bsicamente pintura y escultura), resaltndolas con pensamientos de artistas venezolanos como Jess Soto, Mercedes Pardo y Manuel Quintana Castillo. Asimismo, dedicamos un fascculo a construcciones geomtricas; entre stas a los polgonos regulares y a la perspectiva, puesto que como se observa a travs de la coleccin, ellas tiene incidencia en arte, arquitectura e ingeniera. Este campo de relaciones fructferas matemtica-arte-arquitectura se ha desarrollado a nivel internacional con nfasis durante la segunda mitad del siglo XX, y mayor mpetu a partir de los aos setenta, lo que se refleja en congresos y seminarios internacionales, sociedades y revistas creadas al respecto y publicacin de libros. Se espera que dicho campo se convierta en un factor til para el proceso de enseanza-aprendizaje de la matemtica, camino donde todava hay bastante por realizar y profundizar.


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Polgonos y poliedros

Fotografa del enrejado de la pirmide de Pei que es la cubierta de la entrada del Museo del Louvre en Pars, Francia.

Si no puedo dibujarlo es que no lo comprendoAlbert Einstein (Alemania, 1879-1955).

Tributo a Einstein Bruni Sabian. Artista brasilea.

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Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar en forma errnea es mejor que no pensarHipatia de Alejandra (Egipto, 370-415 d.C.)

El mundo de las formas poligonales y polidricasLa geometra euclidiana establece como elementos bsicos puntos, rectas, planos y el espacio. Estudia las diferentes figuras que se pueden construir con esos elementos, con parte de ellos y con otras figuras como cnicas, cudricas, etc. As, con semirrectas y segmentos como partes de rectas se comienzan a construir ngulos, polgonos y poliedros.Punto. Dimensin 0: no tiene largo, ancho ni altura Recta. Dimensin 1: tiene largo, no tiene ancho ni altura

El mundo de los polgonosLo anterior nos indica que los polgonos (poli=muchos y gonos=ngulo) son figuras de muchos ngulos, pero es necesario establecer que los polgonos se definen de tal forma que el nmero de ngulos, de lados y vrtices son iguales. Una definicin de polgono es: una figura plana, cerrada, formada por segmentos que se unen slo en sus extremos y en donde dos segmentos adyacentes no son colineales.Plano. Dimensin 2: tiene largo y ancho, no tiene altura

Espacio. Dimensin 3: tiene largo, ancho y altura

Estos son polgonos

Estos no son polgonos

Lado

Un segmento, diferente a los lados, que une a dos vrtices, se denomina diagonal del polgono. La unin de dos lados consecutivos del polgono determina un ngulo del mismo llamado ngulo interior del polgono. Un lado y la prolongacin del otro determinan un ngulo exterior.

Vrtice

Dngulo interior

ia

go

na

l

ngulo exterior

Fascculo 2 Polgonos y poliedros

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Clasificacin de polgonosUna clasificacin de los polgonos es:

Polgonos

ConvexosP

No convexos (cncavos)P P Q Q Q

P

Q

Se caracterizan porque si elegimos en el polgono dos puntos P y Q cualesquiera, el segmento PQ tambin est en el polgono. Otra caracterizacin de los polgonos convexos es que todos sus ngulos internos miden menos de 180.

Se caracterizan porque se puede elegir dos puntos P y Q cualesquiera en el polgono, pero el segmento PQ no est completamente contenido en el polgono. Otra caracterizacin es que al menos uno de sus ngulos internos mide ms de 180.

Regulares

No regulares

Equilteros (lados iguales)

No equilteros

Se caracterizan porque son polgonos equingulos (todos sus ngulos son iguales) y equilteros (todos sus lados son iguales) A

Se obtienen al dividir una circunferencia en partes iguales y luego al unir los puntos de divisin de dos en dos, de tres en tres, puede resultar un poligono regular estrellado

Decide: cules de las siguientes figuras son polgonos? Cules son convexos? Cules son equingulos? Cules son equilteros? Cules son regulares? y cules son no regulares? Explica en cada caso el porqu de tu decisin. Fascculo 2 Polgonos y poliedros

B

C

D

E

F

G

H

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El mundo de los polgonos regularesLos polgonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados iguales y todos sus ngulos iguales. Por ello un polgono regular es inscrito en una circunferencia (todos sus vrtices son puntos de la circunferencia) y es circunscrito en una circunferencia (todos sus lados son tangentes a una circunferencia). Se denomina ngulo central de un polgono regular el ngulo que tiene de vrtice el centro del polgono y sus lados pasan por dos vrtices consecutivos. Cada ngulo central de un tringulo equiltero mide 360=120. 3 Cada ngulo central del pentgono regular mide 360 =72. 5 Cunto mide cada ngulo central de un hexgono regular? El de un octgono regular? En general, cunto mide cada ngulo central de un polgono regular de n lados? Se denomina apotema de un polgono regular al segmento determinado por el centro del polgono y el punto medio de un lado del polgono. La medida de un ngulo interior de un polgono regular es igual a 180 menos la medida del ngulo central. Por qu? El ngulo interior de un pentgono mide 108. Cunto mide el ngulo interior de un hexgono regular y el de un octgono regular? En general, cunto mide cada ngulo interior de un polgono regular de n lados? A partir de un polgono regular de n lados se pueden construir polgonos estrellados o formas estrelladas (que son no convexas) y se clasifican en dos categoras: polgonos estrellados y polgonos falsos estrellados. Para construir una forma estrellada partimos de un polgono regular de n vrtices. Enumeramos todos los vrtices. Partimos de uno de stos, por ejemplo del nmero 1, unindolos mediante segmentos de la siguiente manera: El vrtice 1 lo unimos con el 3, luego el 3 con el 5, el 5 con el 7 y as sucesivamente de dos en dos (p=2). Podemos saltar de tres en tres, 1 - 4 - 7 .... (p=3), etc. Si al final se han unido todos los vrtices y se llega al vrtice inicial se obtiene una figura estrellada (polgono estrellado).ngulo central 72Apotema

Hexgono regular

Octgono regular

ngulo interno 108

n=6 2 = 180- 360 = 6 180 (6-2) = 2 x180 6 3

360/n

1

5

2

4 Pentagrama 1 - 3 - 5 - 2 - 4 - 1 (p=2)

3

1 6

1 2

2

Cuando resulta ms de un polgono ste se llama polgono compuesto o falso estrellado.

8

3

5 4

3

7

4

6

5


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Hexagrama Falso estrellado 1-3-5-1 2-4-6-2

Falso estrellado 1-3-5-7-1 2-4-6-8-2

Otro ejemplo de polgonos estrelladosA partir de un dodecgono regular (n=12), el cual se puede construir por duplicacin de un hexgono regular o, tambin, utilizando un transportador y marcando sobre la circunferencia un ngulo central de 360/12 = 30. Tomar un comps y con esta abertura trazar los vrtices del dodecgono. Numeramos las marcas del 1 al 12.1 12 2360 =30 12

30

11

3 p=5

1-6-11-4-9-2-7-12-5-10-3-8-1 Resulta un dodecgono estrellado10 4

9

5

p=2 1-3-5-7-9-11-1 2-4-6-8-10-12-2 Resultan dos hexgonos por lo que es un estrellado compuesto o falso estrellado1 12 2

8 7 1 12

6

p=3 1-4-7-10-1 2-5-8-11-2 3-6-9-12-32

Resultan tres cuadrados por lo que es un falso estrellado

11

3

11

3

10

4

10

4

9

5

9

5

8 7

6

8 7

6

Cuntos octgonos estrellados hay? Cuantos undecgonos estrellados hay?Sugerencia: Determina los nmeros primos con 8 menores que 4 y aquellos primos con 11 y menores a 5.


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El mundo de los cuadrilteros concclicosTodo tringulo es inscrito en una circunferencia de centro el punto de corte de las mediatrices de los lados del tringulo y es circunscrito en una circunferencia de centro el punto de corte de las bisectrices de los ngulos internos del tringulo. Adems, todos los polgonos regulares satisfacen las mismas propiedades. En el caso especial de los cuadrilteros, existen los que se pueden inscribir en una circunferencia denominados concclicos o inscriptibles, como los cuadrados (polgonos regulares de 4 lados) y los rectngulos. Adems de los rectngulos, hay otros cuadrilteros no regulares que son concclicos. Mostramos varios ejemplos de estos cuadrilteros.O

O

Una caracterizacin de los cuadrilteros concclicos es la siguiente: Un cuadriltero es concclico s y solo s tiene dos ngulos opuestos suplementarios. Veamos porqu si un cuadriltero es concclico entonces tiene dos ngulos opuestos suplementarios. El cuadriltero ABCD es concclico. Los ngulos ADC y ABC son ngulos inscritos en la circunferencia por ello m ( ADC) es la mitad de la medida del arco ABC (en fucsia) y m ( ABC) es la mitad del arco ADC (en azul). Pero la medida del arco ABC ms la medida del arco ADC es 360, luego m( ADC) + m( ABC) = 180. Por tanto, los ngulos ADC y ABC, opuestos en el cuadriltero concclico, son suplementarios. De igual forma se demuestra que los ngulos BAD y BCD son suplementarios. Observa en la figura los ngulos del cuadriltero y los diferentes ngulos que se forman al trazar las diagonales del cuadriltero. Se establece que si el cuadriltero es concclico entonces se cumple cada una de las siguientes relaciones:i) m ( BAD) + m( BCD)=180 ii) m( ABC) + m( ADC)=180

D

C A O

B

D d w A x a b y B u c C O

iii) a = w iv) b = u v) c = d vi) x = y Y recprocamente, si alguna de las relaciones es verdadera el cuadriltero es concclico.Fascculo 2 Polgonos y poliedros

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Los polgonos en el diseo, las artes y la arquitecturaDesde tiempos remotos los polgonos se han utilizado en la pintura, en la arquitectura y en la decoracin de monumentos, adems de su sentido mstico-religioso. A los pitagricos, conocedores del dodecaedro que representa El Universo, con sus doce caras pentagonales, les fascinaba este poliedro por su relacin con el pentagrama o estrella de cinco puntas que era el smbolo mstico y de identificacin de esa hermandad, lo que a su vez est relacionado con el nmero de oro. ste fue tambin el signo cabalstico con el que el Fausto del gran escritor alemn Gethe (1749-1832) atrap a Mefistfeles. Diseo de un teatro romano realizado por Vitruvio. Se observa una circunferencia para representar el permetro interior y las filas de asientos. Se inscriben cuatro tringulos equilteros que reproducen el polgono estrellado compuesto de 12 lados (n=12 y p=4). Los astrlogos utilizan desde tiempos inmemoriales una figura semejante a sta para representar los 12 signos del zodaco. En el diseo de edificaciones como templos, monumentos, edificios, tambin es comn encontrar polgonos.

El gran genio del Renacimiento italiano, Leonardo Da Vinci (1452-1519), en sus planos para construir iglesias utilizaba los polgonos regulares como una parte esencial del diseo. All vemos una planta octogonal en la que se agregan capillas a la iglesia sin que se afecte la simetra del edificio principal.

En la circunferencia externa del borde del teatro se situaron las columnas.


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Muchos logotipos de fbricas o marcas comerciales se hacen sobre la base de polgonos, como mostramos a continuacin con Mitsubishi Motors y Chrysler Corporation.

El eminente arquitecto italiano de origen suizo, Francesco Castelli, conocido como Borromini (1599-1667), uno de los maestros del barroco italiano, igualmente se vala de los polgonos. Observemos, a la derecha, el esquema geomtrico de la planta de San Ivo alla Sapienza, Roma (1650), que se refleja en su parte superior. La decoracin, el diseo artstico, las artes en general, tienen en los polgonos un gran aliado. Es innumerable la utilizacin de los polgonos en estos campos, de los que suministramos unas pocas muestras en estos fascculos.

Composicin de Vctor Vasarely (Hungra, 19081997). Observa los cuadrados y los rombos, que al mantener fija la vista crean una sensacin de movimiento.Vasarely es uno de los maestros del arte cintico virtual. Mediante trucos perceptivos se observa un movimiento debido a los ngulos de enfoque y al desplazamiento del observador.

En la fotografa observamos el famoso Pentgono sede del departamento de defensa de los Estados Unidos. ste es el edificio ms grande del mundo con forma de pentgono, consistente de cinco anillos consecutivos de cinco plantas cada uno.


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Rojo central (1980).El cientfico se ocupa de demostrar hechos, para comprobarlos, las mentes ms estrictas utilizan ecuaciones matemticas, luego vienen otros hombres, que aplican estos conocimientos y los traducen en objetos concretos con aplicabilidad prctica. El artista por su parte demuestra la otra realidad del universo, aquella que no es tangible, aquella que no se puede demostrar a travs de esas frmulas matemticas: es la realidad sensible, son dos formas de explorar, descubrir y explicar el universo, los cuales normalmente marchan paralelas" Jess Rafael Soto (Venezuela, 1923 -2005).

El mundo de los poliedrosPasamos del mundo de los polgonos (figuras planas o bidimensionales) al mundo de los poliedros (cuerpos en el espacio tridimensional). En el proceso de fabricacin de piezas y en la construccin de edificios tiene especial importancia la interpretacin del plano de la pieza o del edificio, para luego construir el modelo, rplica de la pieza que se producir posteriormente. As tambin construimos cuerpos a partir de sus respectivas redes o planos, lo que nos permite proyectar edificios y estructuras de uso en la construccin y el diseo. Las figuras representadas son cuerpos geomtricos en el espacio, limitados por un nmero finito de superficies planas. Estos cuerpos reciben el nombre de poliedros. Las superficies planas en cuestin son polgonos y se denominan caras del poliedro.

Vrtice Observa cualquiera de los poliedros que estn dibujados y algunos de sus elementos caractersticos: a) Cmo definiras cada uno de sus elementos? b) Cuntas caras, vrtices y aristas tiene? c) Cuntas caras, como mnimo, habr que juntar en un vrtice? d) Cunto pueden sumar, como mximo, los ngulos de las caras que concurren en un mismo vrtice? Se denomina orden del vrtice al nmero de caras que concurren a un mismo vrtice. Este poliedro tiene orden del vrtice 3.

Cara

Este es un poliedro que tiene 14 vrtices, 21 aristas y nueve caras.

Este cuerpo geomtrico no es un poliedro.

Por qu el cuerpo de la derecha no es un poliedro?Fascculo 3 Polgonos y poliedros

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Clasificacin de poliedrosUna clasificacin de los poliedros es la siguiente:

Poliedros

Convexos

No convexos (cncavos)

Se caracterizan porque cada uno de ellos se puede apoyar en una superficie plana sobre cada una de sus caras.

Se caracterizan porque cada uno de ellos no se puede apoyar en una superficie plana sobre alguna de sus caras.

Regulares (slo hay 5)

No regulares

Regulares estrellados (hay 4)

No regulares

Se caracterizan porque todas sus caras son polgonos regulares congruentes y en cada vrtice concurre el mismo nmero de caras.

Se caracterizan porque son poliedros con caras no congruentes y en el caso de la segunda figura, aunque sus caras son congruentes no tienen el mismo nmero de caras en cada vrtice.

Decide: cules de los siguientes cuerpos son poliedros? Cules son convexos? Cules son cncavos? Cules son regulares? y cules son irregulares? Explica en cada caso el porqu de tu decisin.

A

B

C

D

E

F

G

H


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El mundo de los poliedros regularesLos poliedros regulares convexos son conocidos con el nombre de slidos platnicos en honor al filosofo griego Platn (428-347 a.C.) que los cita en el Timeo, pero lo cierto es que no se sabe en que poca llegaron a conocerse. Algunos investigadores asignan el cubo, el tetraedro y el dodecaedro a Pitgoras (siglo IV a.C.) y el octaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a.C.). Para Platn los elementos ltimos de la materia son los poliedros regulares, asignando el fuego al tetraedro (el fuego tiene la forma del tetraedro, pues es el elemento mas pequeo, ligero, mvil y agudo), la tierra al cubo (el poliedro mas slido de los cinco), el aire al octaedro (para los griegos el aire, de tamao, peso y fluidez, en cierto modo intermedios, se compone de octaedros) y el agua al icosaedro (el agua, el ms mvil y fluido de los elementos, debe tener como forma propia o "semilla , el icosaedro, el slido ms cercano a la esfera y, por tanto, el que con mayor facilidad puede rodar), mientras que al dodecaedro le asign el Universo. Como los griegos ya tenan asignados los cuatro elementos dejaban sin pareja al dodecaedro, por lo que lo relacionaron con el Universo como conjuncin de los otros cuatro. La forma del dodecaedro es la que los dioses emplean para disponer las constelaciones en los cielos. Dios lo utiliz para todo cuando dibuj el orden final. En cada uno de los poliedros abajo representados cuenta el nmero de vrtices V, el nmero de aristas A y el nmero de caras C. Calcula V-A+C. Qu nmero se obtiene? La relacin resultante fue demostrada por Euler.Poliedro regular Hexaedro regular o cubo Tetraedro regular Dodecaedro regularPlatn (Grecia 428-347 a.C.)

Tetraedro (fuego)

Observa los cinco poliedros regulares, las caras idnticas que se encuentran en cada vrtice y el elemento que representan.ro ed ta e) Oc (air

Icos a (aguedro a)

o Cubra) (tier

Icosaedro regular

Modelo

Caras Vrtices Aristas Aristas por vrtice

6 cuadrados 8 12 3

4 tringulos equilteros 4 6 3

12 pentgonos regulares 20 30 3



20

Do (u de niv cae er dr so o )

Octaedro regular


Euclides (Grecia, s. III a.C.) demostr, de forma algebraica, porqu slo existen cinco tipos de poliedros regulares convexos. Supongamos que se pueda construir un poliedro regular convexo cuyas caras sean polgonos regulares de n lados. Luego, el ngulo de cada vrtice del polgono mide (n-2) x 180. n Si el orden del vrtice de un poliedro regular es p, entonces la suma de los ngulos de un vrtice del poliedro es: p [ (n-2) x 180]. Pero esta suma tiene que ser menor que 360, n porque si fuera igual a 360 las caras estaran en un plano y no se tendra una figura slida. Luego: p[ (n-2) x 180] < 360 n p[ (n-2) ] < 2 p(n-2) < 2n n pn -2p -2n < 0 pn - 2p - 2n +4 < 4 p (n-2) - 2 (n-2) < 4 (p-2)(n-2) < 4 Como cada cara de un poliedro regular debe tener ms de dos lados y ms de dos caras deben concurrir en cada vrtice, vemos que p y n deben ser mayores que 2. Las nicas soluciones (n,p) a esta desigualdad son (3,3), (3,4), (3,5) (4,3) y (5,3). La tabla a la derecha justifica lo anterior.

360/n

2 = 180- 360 = (n-2)180 n n

n 3 3 3 4 5

p 3 4 5 3 3

n-2 p-2 1 1 1 2 1 3 2 1 3 1

(n-2)(p-2) 1 2 3 2 3

Figura Tetraedro Octaedro Icosaedro Cubo Dodecaedro

O

Proyeccin de SchlegelA B F

Los slidos platnicos pueden adems ser proyectados sobre un plano. Esta proyeccin se obtiene eligiendo una cara y proyectando los lados del poliedro platnico desde un punto O por encima del centro de esta cara. La figura que se obtiene se llama diagrama de Schlegel. Tambin se pueden obtener si rompemos una cara y estiramos las restantes caras sobre la pared, sin romper las aristas. Observa el diagrama de Schlegel del cubo. Parte de las caractersticas del poliedro (como la conexin entre vrtices y lados) se preserva en su correspondiente diagrama de Schlegel. Esto facilita el estudio de determinados problemas, tales como recorrido y coloracin. En el caso de los slidos platnicos estos diagramas son nicos (no depende de la cara desde la que se proyecte). Tambin se pueden hacer los desarrollos planos tal como se ensean en Educacin Bsica (1 y 2 etapas) adems de los diagramas de Schlegel de los poliedros platnicos. Estos desarrollos los presentamos en la pgina siguiente.

E

A D C B

H E A

G

F B

D

C

H

G


21E F

Vista Hexaedro regular o cubo

Desarrollo plano

Diagrama de Schlegel

Tetraedro

Dodecaedro

Icosaedro

Octaedro

Como hemos visto slo existen cinco poliedros regulares convexos. Si eliminamos la condicin de ser convexo tenemos cuatro ms. stos son conocidos como los poliedros de KeplerPoinsot o poliedros regulares estrellados. Johannes Kepler (Holanda, 1571-1630), en 1619, se dio cuenta que existan dos maneras diferentes de pegar 12 pentagramas (pentgonos estrellados) a lo largo de sus aristas para obtener un slido regular. Si 5 de ellos se unen en un slo vrtice, obtendremos el pequeo dodecaedro estrellado que tiene doce vrtices. Si son 3 pentagramas los que se encuentran en cada vrtice, obtenemos el gran dodecaedro estrellado que tiene 20 vrtices.Fascculo 3 Polgonos y poliedros

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Pequeo dodecaedro estrelladoPosteriormente, en 1809, Louis Poinsot (Francia, 1777-1859) descubri los otros dos poliedros no convexos regulares, el gran icosaedro y el pequeo dodecaedro.

Gran dodecaedro estrellado

Pequeo dodecaedro

Gran icosaedro

Universo Icosaedro 2, 1980.Material: acero inoxidable.

Icosaedro stellato, 1981.

Materiales: acero inoxidable y cemento.


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El escultor Attilio Pierelli (Italia, 1924- ) utiliz, en la dcada de los 80, figuras como el dodecaedro, el icosaedro, el hipercubo y otras para realizar sus obras.Fuente: http://www.pierelli.it

Pero, existen otros tipos de poliedros?S, entre estos se encuentran los poliedros semirregulares que son 17. Un poliedro convexo es semirregular si sus caras son polgonos regulares de dos o tres tipos. Entre estos slidos estn los arquimedianos, ya que se creen fueron descubiertos por Arqumedes, aunque no se tiene ninguna prueba documental que lo acredite. Existen 13 slidos arquimedianos. Siete de ellos se obtienen por truncamiento de los slidos platnicos, es decir, por cortes de esquinas, accin que se puede ejecutar de varias maneras. As, los denominados con el nombre del slido platnico de origen ms el trmino truncado, se obtienen al dividir cada arista en tres partes y cortar por estas divisiones. Si dividimos la arista a la mitad y truncamos, slo obtenemos dos nuevos poliedros: el cuboctaedro y el icosidodecaedro. Sus nombres se deben al hecho de que al realizar el proceso de truncamiento que acabamos de describir, en el caso de un cubo y un octaedro (respectivamente, icosaedro y dodecaedro) obtenemos el mismo poliedro. El cubo chato y el dodecaedro chato se obtienen con otro procedimiento.

Tetraedro truncado

Cuboctaedro

Cubo truncado

Octaedro truncado

Rombocuboctaedro Cuboctaedro truncado Cubo chato Dodecaedro chato

Icosidodecaedro

Dodecaedro truncado

Icosaedro truncado

Romboicosidodecaedro


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Icosidodecaedro truncado


La disposicin de los ptalos de las flores es, frecuentemente, en forma poligonal. Aqu tenemos una fotografa de la malva (Malva sylvestris) que tiene simetra pentagonal. Esta planta, cuyas flores son de color rosado o violceo, se usa para infusiones calmantes y laxantes.

La simetra, ya sea que se defina en un sentido amplio o restringido, es una idea por medio de la cual el hombre de todas las pocas ha tratado de comprender y crear belleza, el orden y la perfeccin.H. Weyl, La Simetra, p. 5.

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Los polgonos y los poliedros en las ciencias naturalesDesde la antigedad se han estudiado los polgonos y los poliedros. Se ha encontrado un dodecaedro en esteatita de civilizacin etrusca que data de unos 500 aos a.C. Asimismo, hay un par de dados icosadricos de la dinasta de los Ptolomeo que se conserva en el Museo Britnico de Londres. Diversas formas matemticas aparecen en muchos fenmenos naturales. Las formas poligonales y polidricas son frecuentes en la naturaleza. Algunos esqueletos de radiolarios tienen forma polidrica, como los aqu mostrados a la derecha; unos son un octaedro, otros un dodecaedro y los hay con forma de icosaedro regular. Los radiolarios son protozoos marinos que en su mayora tienen un esqueleto formado por agujas muy finas o varillas silceas sueltas o articuladas entre s. Miden una fraccin de milmetro de dimetro.

Estrellas de mar: tienen sobre todo formas pentagonales

Los cristalesIgualmente encontramos los poliedros convexos en una variedad de formas, como los cristales de sal en forma de cubos, los diamantes naturales en forma octadrica y otras estructuras cristalinas. A diferencia de un cristal, el vidrio es una estructura amorfa, translcida y frgil a la temperatura ambiente. Un cristal es la repeticin de un motivo bsico que est compuesto de un mnimo de tomos (la malla elemental o clula unitaria). As, el cristal est compuesto de un arreglo peridico de bloques idnticos, que son las mallas elementales que definen la estructura molecular interna del cristal. Pero no siempre es de esta forma como encontramos los cristales a escala macroscpica. Por ejemplo, los diamantes naturales se presentan como octaedros. Sin embargo, en 1913, los cristalgrafos William H. Bragg y su hijo Lawrence bombardearon los diamantes con rayos X y descubrieron que la malla elemental es un cubo en donde los 8 vrtices y los centros de las 6 caras estn ocupados por tomos de carbono y cada tomo de carbono est ligado a sus cuatro vecinos ms prximos formando una configuracin tetradrica. A partir de esta malla elemental se construye todo el cristal mediante simple yuxtaposicin a s misma y por traslacin paralela. La malla elemental tesela el espacio. La imagen de la derecha nos muestra el ordenamiento de los iones para formar la malla de un cristal de diamante.


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La forma externa refleja la estructura molecular interna de la molcula de sal que es una red cbica, constituida por iones de sodio (Na, esferas rojas) e iones de cloruro (Cl, esferas amarillas) que se alternan en diferentes direcciones. Al intersectar planos paralelos y observar la estructura bidimensional resulta la de un mosaico regular con cuadrados. La forma del cristal del mineral de hierro (pirita) al igual que la de la sal es de tipo cbica, reflejando su estructura molecular interna. Las formas cristalinas se estudiaron desde la poca de Kepler (s. XVII) y posteriormente, a inicios del s. XX, se utilizaron los rayos X para su estudio mediante diagramas de difraccin. Los mineralogistas clasificaron esas formas en 7 sistemas (cbico, tetragonal, rmbico, triclnico, hexagonal, rombodrico y monoclnico) y 32 grupos cristalogrficos o clases de cristales (2D) de acuerdo con sus simetras macroscpicas. Por ejemplo: todos los cristales poseen una simetra rotacional de orden 4 (1/4 de vuelta o giro de 90 alrededor de un eje privilegiado eje principal). El orden de la rotacin significa que si la aplicamos cuatro veces consecutivas se obtiene la transformacin identidad pues 4 90 = 360 y la figura que se rota retoma su posicin inicial. En el cubo dibujado se han marcado ejes de rotacin con 2-2, 3-3, 4-4, que indican, respectivamente, rotaciones de rdenes 2, 3 y 4 (180 , 120, 90). Cada una de esas rotaciones deja invariante el cubo (transforma el cubo en s mismo). Se dice que son simetras rotacionales del cubo. Asimismo, el plano que pasa por el centro del cubo y por los puntos medios de las aristas AB y CD es un plano de simetra del cubo (simetra especular). La simetra externa de los cristales se caracteriza mediante planos de reflexin (simetras especulares) y ejes de rotacin (simetras rotacionales), tal como los poliedros, pues las formas cristalinas son formas polidricas. Los cristales son formas muy bellas de teselacin del espacio.

Cristal de Sal

4E

F

D

C

H

G

A

B

4

Estructura molecular y cristal del cuarzo

Estructura molecular y cristal del grafito


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En las dcadas de los 80 y de los 90, se produjeron tres descubrimientos importantes en el campo de la qumica y de la fsica, uno de los cuales hizo cambiar la concepcin tradicional de lo que es un cristal. Estos tres descubrimientos, en orden cronolgico, fueron: los cuasicristales (1984), los fulerenos (1985) y los nanotubos (1991), que han encontrado gran variedad de aplicaciones en el mundo industrial y los mismos estn vinculados a los polgonos y poliedros debido a sus configuraciones geomtricas.

Los cuasicristalesEn 1984, el qumico Daniel Shechtmann y sus colaboradores Ilan Blech, John W. Cahn y Denis Gratias, descubrieron una forma de hacer una aleacin de Aluminio (Al) con Manganeso (Mn), la Al 6Mn, con el fin de lograr una aleacin bastante fuerte. Cuando examinaron este cristal con rayos X, en el diagrama de difraccin el material tena una ordenacin como la de un cristal pero no encontraron simetras rotacionales de rdenes 3, 4 6 que son propias de los cristales. En cambio encontraron una simetra rotacional pentagonal (de orden 5), lo que no es posible en los cristales, pues stos nicamente pueden tener simetras rotacionales de rdenes 2, 3, 4 6 (teorema de restriccin cristalogrfica). Cmo era posible esto? Haba algn error? Cul era la naturaleza de este cristal imposible? En el nterin, 1984, los fsicos Paul J. Steinhardt y Don Levine, mediante simulacin en computador modelaron ese cristal Al-Mn y le dieron el nombre de cuasicristal (cristal cuasiperidico) y la aleacin respectiva se conoce como Shechtmanite. Hoy hay cerca de cien de tales aleaciones. Algunas tienen simetras rotacionales de orden 8, 10 12. Se tienen aleaciones como la del V-Ni-Si (vanadio-nquel-silicio) o la del Cr-Ni-Si (cromo-nquel-silicio). La estructura molecular interna de ese tipo de cuasicristal produce una teselacin del plano (un embaldosado) que tiene simetra pentagonal. Estas teselaciones (embaldosados) del plano con simetra pentagonales haban sido descubiertas en 1973 por el matemtico britnico Roger Penrose. Son teselaciones no peridicas (son cuasiperidicas) como lo indicamos en la seccin de teselaciones. Al nivel bidimensional, tal cuasicristal luce como el embaldosado de Penrose presentado a la derecha.Patrn de difraccin para un icosaedro cuasicristal (se muestran en blanco aquellos puntos de mayor intensidad). Hemos marcado en rojo algunos pentgonos de este patrn.Fuente: Levine, D. & Steinhardt, P.J. (1984). Cuasicristales: una nueva clase de estructuras ordenadas en Physical Review Letters, Vol 53, N 26.

Imagen de microscopio de un cuasicristal donde se puede observar su forma pentagonal de ordenacin.


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Los fulerenosEl carbono C se encuentra en la naturaleza en dos formas distintas: diamante y grafito. El diamante es el material ms duro conocido, es transparente y aislante. El grafito es opaco, conductor y se rompe fcilmente o se desmenuza. Lo utilizamos con frecuencia en la minas de los lpices. Su estructura geomtrica es mediante capas o planos paralelos de tomos de carbono y en cada plano los tomos se ligan entre ellos por enlaces qumicos formando una red con hexgonos regulares (imagen superior). El diamante presenta un entretejido ms complejo que le da la dureza caracterstica de ese material (imagen inferior). En 1985, los qumicos R. F. Curl y R. E. Smalley (Universidad de Rice) y Harry Kroto (Universidad de Sussex), vaporizaron el grafito y obtuvieron una forma estable de la molcula de carbono conformada por 60 tomos de carbono localizados en los vrtices de un icosaedro truncado (poliedro arquimediano con 12 caras pentagonales y 20 caras hexagonales), el C60 (carbono sesenta). Por esta razn se le dio el nombre de buckminsterfulereno (la buckyball), en honor de Buckminster Fuller, debido a su resemblanza con los domos o cpulas geodsicas creados por Fuller. Posteriormente se ha encontrado toda una familia de molculas, con tomos exclusivamente de carbono, que los qumicos denominan los fulerenos pues su disposicin espacial es parecida a las construcciones de Fuller: un fulereno es una molcula en forma de jaula convexa con caras nicamente hexagonales y pentagonales. Se cree que el C60 puede ser un elemento comn en el polvo interestelar. La buckyball se sintetiza en forma slida y tiene usos en lubricantes y procesos catalticos, entre otros. Los investigadores han modificado la estructura arquitectnica del C60 para producir nuevas molculas ms estables y fuertes, como el C 70 y la del carbono 168 denominada la buckygim. Los fulerenos tambin han encontrado uso en la superconductividad y en la medicina. El descubrimiento del carbono sesenta recompens a los tres cientficos con el premio Nobel de qumica en 1996.Molcula de grafito

Molcula de diamante

El 13 y el 14 de octubre de 2003, en Manchester (Inglaterra), se celebr el bicentenario de la publicacin de la Teora Atmica de John Dalton. A este evento acudieron diversas celebridades entre quienes destacaron Sir Harry Kroto (Premio Nobel) y Diego Forln (equipo de ftbol Manchester United), los cuales presentaron la similitud de un baln de ftbol y una molcula de C60.


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Los nanotubosEl prefijo nano indica 10-9 y hoy en da es muy comn en las denominadas nanotecnologas. Los nanotubos fueron descubiertos en 1991 por Sumio Iijima de la NEC Corporation (Japn). Los nanotubos son gigantescos fulerenos rectilneos (la dimensin rectilnea es muy grande en comparacin con su dimetro). Los fulerenos son el ladrillo elemental de la construccin de los nanotubos. En sus paredes, el nanotubo hereda de uno de sus ancestros, el grafito, una caracterstica: el motivo hexagonal. Para el qumico, el nanotubo es un polmero compuesto nicamente de tomos de carbono que puede tener hasta un milln de tomos. Desde el punto de vista fsico, es un cristal unidireccional donde se reproduce peridicamente una misma clula de base. Es como un tubo cerrado en sus dos extremos, de dimetro nanomtrico. Los nanotubos son materiales ligeros y slidos y han encontrado utilidad en electrnica. Hoy en da estudiamos el mundo tridimensional que nos rodea y percibimos con nuestros sentidos. Adems, el macromundo, esto es el Universo: los planetas, las estrellas, las galaxias, con distancias dadas en aos luz. Y tambin tenemos el micromundo o nanomundo y en ste hablamos de nanotecnologas y conceptos con el prefijo nano: los nanotubos, las nanobacterias, los nanocircuitos, las nanomquinas, son parte de esta terminologa.Fuente: www.csc.com/features/2003/images/nanotube.jpg

Fuente: www.nanotech-now.com

En el Universo las medidas se hacen con millones de kilmetros y con aos luz. En las nanotecnologas las medidas se hacen en nanosegundos (10-9s), nanometros (10-9m), etc.


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Los poliedros en las artes, la arquitectura y la ingenieraAl igual que los polgonos, los poliedros se han utilizado en las artes y en la arquitectura desde siglos anteriores. Adems han sido objeto de interpretaciones mstico-religiosas, como lo atestigua la representacin del fuego, de la tierra, del aire, del agua y del universo, mediante los cinco slidos platnicos, smbolos de perfeccin y armona, y la representacin de estos poliedros, inscritos y circunscritos a esferas, realizada por Kepler en su bsqueda de por qu slo existan seis planetas (los nicos conocidos en su poca). Ya el eminente artista, diseador, arquitecto e ingeniero del Renacimiento italiano, Leonardo Da Vinci, utiliz los poliedros para la decoracin del libro La Divina Proporcin (1509) del fraile franciscano Luca Pacioli (1445-1514), quien fue su maestro en matemtica. Leonardo dibuj los poliedros (llenos y vacos), de los que presentamos el dodecaedro vaco. Antes de esta forma de representar los poliedros, los mismos se ilustraban como slidos opacos que ocultaban la parte trasera o con segmentos transparentes en el cual el efecto producido no necesariamente permite distinguir si una lnea es del frente o del trasero de la superficie. En la representacin de Leonardo, con los poliedros huecos o vacos, se observan las dos partes (frontal y trasera).

Fuente: Instituto y Museo de Historia de la Ciencia. Italia. http://www.imss.fi.it

Asimismo, en el primer retrato que se conoce de un matemtico, el de Luca Pacioli, podemos observar en la mesa un dodecaedro y en la parte superior izquierda un poliedro semirregular (arquimediano) transparente. Este retrato fue realizado por el pintor veneciano Jacopo de Barbari, en el que Pacioli est haciendo una demostracin geomtrica al joven Duque de Urbino. En el cuadro, el pintor coloca una serie de valores asociados al estudio de las formas geomtricas: orden, armona, pureza, rigor.


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Fuente: Instituto y Museo de Historia de la Ciencia. Italia. http://www.imss.fi.it

Igualmente, el pintor y grabador holands Maurits Escher (1898-1972), a quien se considera uno de los artistas del s. XX ms vinculados a la matemtica por el uso que hizo de sta mediante polgonos y teselaciones, espirales, geometra no euclidiana, el infinito, mundos imposibles, entre otros, tambin utiliz los poliedros en su arte. En el siguiente grabado en madera (1948) observamos una de sus obras titulada Estrellas: hay en el medio tres octaedros regulares huecos, representados por sus aristas, en donde viven dos camaleones que se fijan a las aristas mediante sus patas y cola. En el espacio podemos admirar otros poliedros, entre los que sealamos: 1) En la parte superior un cubo y emergiendo de ste un octaedro, un icosaedro, dos tetraedros que se cruzan, un rombododecaedro; 2) En la parte inferior, dos tetraedros que se cruzan, dos cubos penetrndose, tres octaedros que se cruzan y un dodecaedro.


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En el diseo de edificaciones, monumentos y pabellones encontramos los poliedros. El Complejo Cultural Teresa Carreo, en Caracas, tiene una forma tronco-piramidal resaltada por una vertiente de estructuras salientes. En el mismo, a la entrada de la Sala Ros Reyna, podemos admirar en el techo una obra de Jess Soto, artista cintico venezolano (1923-2005).

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Superficies esfricas y poliedros en arquitectura e ingenieraLas superficies esfricas han sido utilizadas por los arquitectos e ingenieros para hacer cpulas y domos esfricos, coronando los templos cristianos, las mezquitas islmicas y en los capitolios de muchas ciudades y naciones. En 1954, el ingeniero, inventor y diseador Richard Buckminster Fuller (Estados Unidos, 1895-1983), deposit una patente para sus domos o cpulas geodsicas, que son una manera de construir domos, de forma esfrica, conteniendo un mximo de volumen con un mnimo de material y bastante resistentes. Estos domos no tienen necesidad de tener soporte interior y se realizan a partir de tringulos que forman una grilla semiesfrica, distribuyendo esfuerzos de manera pareja a los distintos miembros de la estructura y logrando de esta forma un cociente alto en la razn resistencia/peso. Esos tringulos conforman una red pentagonal y hexagonal como en el baln de ftbol. Son muy slidos y luminosos. Hoy en da se cuentan unos 300 000 domos construidos en el mundo. Tres ejemplos notables de tal construccin son: el pabelln norteamericano en la American Exchange Exhibition (1959) en Mosc, la cpula geodsica del pabelln norteamericano en la Exposicin Mundial (1967) de Montreal (Fotografa superior), y la cpula en la ciudad de ciencia y tecnologa de La Villete, Pars-Francia (Fotografa intermedia).


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En Caracas, se construy el Poliedro utilizando el concepto estructural de las cpulas geodsicas de Fuller.

Durante el ao 2004, el Servicio Postal de los Estados Unidos (USPS por sus siglas en ingls) emiti una estampilla conmemorativa de los cincuenta aos en que Fuller patent su invencin.

Recientemente, el diseador y arquitecto Sanford Ponder dise unos refugios utilizados para la recreacin y el trabajo, como las carpas de los vacacionistas, denominados ICOSA por su forma icosadrica y con un dimetro de 9 a 23 pies (2,74 7,01 metros) y un peso mximo de 500 libras ( 227 kg) el mayor de ellos. Son como icosaedros cortados por la mitad y con ventanas triangulares.


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Los diseos del matemtico, como los del pintor o el poeta, han de ser bellos; las ideas, como los colores o las palabras deben relacionarse de manera armoniosa. La belleza es la primera prueba: no hay lugar permanente en el mundo para las matemticas feas.

TeselacionesLos teselados son los diseos de figuras geomtricas que por s mismas o en combinacin cubren una superficie plana sin dejar huecos ni superponerse, o sea, el cubrimiento del plano con figuras yuxtapuestas. Las civilizaciones antiguas utilizaban teselados para la ornamentacin de casas y templos, cerca del ao 4000 a.C. Por ese tiempo los sumerios realizaban decoraciones con mosaicos que formaban modelos geomtricos. El material utilizado era arcilla cocida que coloreaban y esmaltaban. Posteriormente otros grupos demostraron maestra en este tipo de trabajo, como los persas, los moros y los musulmanes. Esos diseos con motivos repetidos son muy corrientes en nuestra vida cotidiana. Podemos pensar en las baldosas que recubren los pisos en forma de rectngulos, de cuadrados, de hexgonos regulares y con otros motivos, y tambin en los papeles decorativos de las paredes y los papeles que envuelven regalos. He aqu dos de tales diseos con motivos repetidos:

G. H. Hardy (matemtico britnico, 1877-1947).

El estudio de las teselaciones o embaldosados de un plano est vinculado con las simetras de los mismos y stas, a su vez, se refieren a las simetras rotacionales (rotaciones con centro en un determinado punto), simetras axiales (reflexiones respecto de ejes) y simetras de traslacin (traslacin segn algn vector) y sus combinaciones (composicin de tales movimientos rgidos).


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90

Si tenemos un cuadrado podemos rotarlo con centro en O (centro del cuadrado) y ngulo 90. El cuadrado rotado es el mismo que el inicial y no se distingue uno del otro. Para distinguirlos tendramos que etiquetar los vrtices y observar la accin de la rotacin sobre stos. Se dice que el cuadrado es invariante por tal rotacin de centro O y ngulo 90 o que tiene una simetra rotacional de orden 4 (360/4 = 90). Tambin el cuadrado tiene simetra axial pues es invariante, por ejemplo, cuando aplicamos una reflexin respecto de la recta que une los puntos medios de dos lados AB y CD.

O

A

B

D

A

O

O

D C C B Rotacin en sentido horario con centro en O y ngulo de 90.

Determinar todas las simetras rotacionales y axiales de: a) un cuadrado, b) un tringulo equiltero, c) un rectngulo. Observa la diferencia con el caso de un cuadrado.L

Si tenemos una teselacin del plano realizada nicamente con cuadrados congruentes, observamos que ella queda invariante por rotacin de centro O y ngulo 90. Esto se comprueba fcilmente si dibujamos la misma teselacin en un papel transparente o en un acetato el cual colocamos encima haciendo coincidir el punto O y giramos 90. Asimismo, por traslacin segn el vector a y traslacin segn el vector b, y por simetra axial respecto del eje L (el diseo se repite continuamente al mover la vista verticalmente y horizontalmente). Determina otras simetras de esta teselacin. Las teselaciones de un plano (pavage en francs y tile en ingls) son de diversos tipos. Aqu destacamos los llamados grupos de simetra del plano y los denominados mosaicos de los que hay una gran variedad y por cuestiones de espacio solamente damos algunos de ellos.El Jardn Lumnico, ubicado en la autopista de Prados del Este de la ciudad de Caracas, parte de la idea del collage como matriz y del pixelado como resolucin visual de una intervencin que ser vista y percibida a diferentes velocidades. Patricia Van Dalen utiliz un fondo azul intenso, el cual est salpicado de una historia cromtica con 14 matices diferentes. A travs del pixelado logra transiciones entre un color y otro, y nos sugiere la abstraccin de un paisaje urbano.Fuente: www.patriciavandalen.com

90 O a b


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MosaicosCuando se recubre un plano con baldosas que no dejen huecos y que no se superpongan (encajan bien), se produce un mosaico. Existen diferentes tipos de mosaicos de los cuales podemos diferenciar: los regulares (solamente existen 3), los semirregulares (solamente existen 8), los de Escher y los de Penrose (imagen a la derecha).

Mosaicos regularesLos mosaicos regulares se logran a partir de la repeticin y traslacin de un mismo polgono regular. Existen nicamente tres tipos de tales mosaicos que son familiares por el embaldosado de los pisos y se forman con: tringulos equilteros, cuadrados o hexgonos regulares.

90

120 a

O60 a b a

Ob

O

60 b

Tiene una simetra rotacional de orden 6 (360/6 = 60).

Tiene una simetra rotacional de orden 4 (360/4 = 90). Es un mosaico que se observa con frecuencia en los pisos y en los papeles cuadriculados y milimetrados.

Tiene una simetra rotacional de orden 3 (360/3 = 120) y de orden 6. Es un mosaico que se observa bastante en los pisos y en los panales de abejas.


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Observa que en cada uno de ellos indicamos dos vectores independientes, a y b, con el fin de sealar que mediante traslacin del polgono en esas direcciones se obtiene el respectivo mosaico. Se dice que tales mosaicos son peridicos. Estos mosaicos son invariantes por traslaciones de vector pa + qb, siendo p y q nmeros enteros cualesquiera.

Un plano no se puede teselar con pentgonos regulares pues no encajan bien, por ello no existen mosaicos regulares pentagonales (los pisos de las viviendas no se pueden embaldosar con pentgonos regulares): 360/5 = 72

72 108

3 = 3 x 108 = 324 Con tres pentgonos regulares alrededor del punto O no se cubren 360, ya queda un hueco. Hay algunos pentgonos, no regulares, con los que se pueden teselar los planos.

En cambio con pentgonos regulares (azules) y rombos (amarillos) s se puede embaldosar un plano, lo cual era conocido por A. Durero (1471-1528).

Con cualquier tringulo o cualquier cuadriltero convexo del plano se puede, por repeticin, teselar completamente el plano. Observa la construccin, en el caso de un cuadriltero, donde es suficiente con dibujar los simtricos respecto de los puntos medios de los lados.A D C D C c B

A B

A B

D A c

C B

Observa una de las tcnicas que hay para hacer teselaciones de un plano, partiendo de un paralelogramo ABCD (un paralelogramo deformado). Paso 1: Dibuja una curva c que una A con B y su imagen mediante la traslacin de vector AD. Paso 2: Dibuja otra curva c que una A con D y su imagen mediante la traslacin de vector DC. Paso 3: Repite el motivo utilizando esas dos traslaciones.

D

C


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Mosaicos semirregularesEn stos se combinan dos o ms polgonos regulares bien acoplados y distribuidos, de tal modo que en todos los vrtices aparecen los mismos polgonos. Existen solamente ocho tipos de mosaicos semirregulares, de los que a continuacin mostramos cuatro de ellos.


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L2

A

B

L1

C

ngeles y Demonios (M. Escher). Con centro en A, B y C (puntos de encuentro de 4 alas) y mediante rotacin de 90 se obtiene la misma figura (simetra rotacional de orden 4). Las rectas (de color amarillo) L1, L2, L3,... ubicadas en los ejes de los ngeles y los demonios, son ejes de simetra axial (reflexiones). As, si doblamos el plano por uno de ellos, se obtiene la misma figura.

Ln

6

Mosaicos de EscherEscher (Holanda, 1898-1972) visit Granada el ao 1936 junto con su esposa y all estudi detenidamente la decoracin de las paredes, techos y pisos islmicos de La Alhambra (el gran palacio construido por los moros durante los s. XIII-XIV). Observ los motivos islmicos en las paredes, todos ellos de tipo geomtrico, donde por cuestiones religiosas no hay figuras humanas ni de animales. All realiz sus dibujos y descubri las diecisiete posibilidades de teselar el plano (los 17 grupos de simetra del plano). Durante una labor de cerca de treinta aos, Escher cre ms de cien teselaciones peridicas de un plano utilizando una gran variedad de motivos. Para construir tales mosaicos a partir de polgonos que teselan el plano, debe mantenerse el principio de conservacin de reas, esto es, si quitamos una parte hay que colocarla con igual rea en otra parte. Esto lo podemos observar en un motivo islmico de La Alhambra de Granada como es la pajarita donde se preserva el rea del tringulo equiltero de partida, y en el paralelogramo deformado. Observa, abajo, la creacin de la figura de un pato a partir del polgono ABCD.A A A A

D

B

D

B

D

B

D

B

C

C

C

C

Observa, abajo, la creacin de un pez volador (M.C. Escher) a partir de un tringulo equiltero.A A

C

B

C

B

Observa cmo con pequeas variaciones en las curvas aparecer la figura de un pjaro en vez de un pez volador. Recorta el modelo y tesela el plano.A A

C

B

C

B


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Mosaicos de PenroseEntre 1972 y 1973, el matemtico britnico Roger Penrose descubri un conjunto de teselas que recubren el plano en forma no peridica; es decir, no se puede obtener la teselacin a partir de un motivo y mediante dos traslaciones independientes. Posteriormente los qumicos (1984) descubrieron una aleacin de Aluminio (Al) y Manganeso (Al6Mn) que tena ciertas caractersticas de un cristal, pero al mismo tiempo no poda serlo pues tena simetras rotacionales pentagonales (ngulo de rotacin 360/5 = 72) lo que es incompatible con la estructura de un cristal. Le dieron el nombre de cuasicristal y su conformacin molecular bidimensional es como un teselado de Penrose. Algunas teselaciones de Penrose, como las del cometa y del dardo, utilizan para su construccin el nmero de oro = (1 + 5 )/2 1,618. Transformando los dardos y los cometas Penrose cre una teselacin no peridica llamadas las gallinas aperidicas de Penrose. Como las teselaciones son explotadas comercialmente y en rompecabezas, Penrose tard cierto tiempo en dar a conocer sus embaldosados hasta que los patent en los Estados Unidos, Japn y el Reino Unido.

El alicatado es un revestimiento plano conseguido colocando pequeas piezas de diferentes formas geomtricas (Alceres). El alicatado fue el primer revestimiento cermico utilizado en Al-Andaluz (espacio geocultural y poltico hispano-rabe, s. VIII-XV) para adornar los muros interiores de las edificaciones, ya que para los exteriores y los pavimentos de las casas se conoca el uso de losetas esmaltadas con estao. En Sevilla, los zcalos del alicatado ms sobresaliente pueden admirarse en los Reales Alczares, en la iglesia de San Gil y en la Casa Olea, as como pueden verse muestras de alicatado en la portada del monasterio de San Isidoro del Campo y en las ventanas y fachada lateral de la iglesia de Omnium Sanctorum.

Un alicatado de la Alhambra (s. XIV). Fuente: Canal Cultural de Barcelona, Espaa (213.27.152.28/ cron373_ceram1g.jpg).


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7032

Teselaciones en el espacioYa conociendo algo del mundo de las teselaciones de un plano, caben ahora las siguientes preguntas: Y qu hay de las teselaciones del espacio. Se podrn hacer con los poliedros regulares o con otro tipo de poliedros ? Se pueden teselar superficies en el espacio, por ejemplo, la esfera? Damos algunas respuestas parciales pues un desarrollo del tema sera bastante extenso. Con los tetraedros regulares no es posible teselar el espacio, pues el ngulo diedro entre dos caras de un tetraedro mide 70 32 que no es un submltiplo de 360 (recuerda el caso de los pentgonos regulares). En cambio con cubos si es posible teselar todo el espacio; el ngulo diedro entre dos caras mide 90 que es un submltiplo de 360. Tambin con los octaedros truncados como se ve en la figura. Cuando hablamos de teselacin sobre una esfera significa con polgonos situados sobre la misma (polgonos curvos), cuyos lados son arcos de circunferencia mxima que son las rectas sobre una esfera en la denominada geometra esfrica). Es conocido que la esfera se puede teselar con tringulos. Observa los diez tringulos ubicados en el centro A y los seis tringulos que rodean el punto B, en que los ngulos son de 60. Utilizando doce pentgonos regulares se puede teselar una esfera. Es imposible de teselar la esfera nicamente con hexgonos regulares. Pero, una combinacin de pentgonos y de hexgonos regulares da una teselacin de la esfera, tal como se aprecia en las pelotas de ftbol.90

B 60

A

El pintor y matemtico Piero Della Francesca (1416-1492), considerado actualmente como uno de los primeros artistas del Renacimiento, se fascin por los poliedros y esto le condujo a desarrollar propiedades de antiguos y nuevos poliedros. Uno de sus libros, Libellus de quinque corpibus regularibus (1480) conservado en la Biblioteca Vaticana, contiene la figura que conocemos del icosaedro truncado, cuyas sesenta caras son pentgonos y hexgonos en la misma distribucin que ahora se utiliza para construir balones de ftbol.


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Dimensiones, coordenadas y grados de libertadAnterior al Renacimiento (s. XV), la pintura que se haca en madera (trpticos), lienzo y murales era muy esttica. Las figuras en cuestin carecan de movimiento y sus proporciones a veces no eran las ms adecuadas. Todo se reflejaba en un nico plano sin lograr una sensacin de profundidad en el cuadro. Sin embargo, el mundo en que vivimos, el de nuestra experiencia cotidiana, es tridimensional (3D) y para entenderlo a cabalidad necesitamos comprender tanto lo unidimensional (1D) como lo bidimensional (2D). En el Renacimiento italiano se producir un cambio significativo en cuanto a las artes y la arquitectura. De una parte con los colores venecianos (Venecia) y por la otra con la perspectiva florentina desarrollada en la ciudad de Florencia (Italia), lo cual permiti capturar el realismo del mundo tridimensional y crear la ilusin de profundidad en la pintura, la escultura y la arquitectura, dando lugar a la representacin de la realidad tridimensional (largo, ancho y profundidad) en una superficie bidimensional (la tela de un cuadro, una pared o un papel) y creando as la imagen de profundidad.

Un mural egipcio (s. XIX a.C.). Las figuras estn pintadas en un solo plano (son bidimensionales) sin ilusin de profundidad. Este tipo de pintura es tpico de antes del Renacimento.

La alabanza de las abejas. Pintura del Medioevo. Biblioteca Apostlica Vaticana, Roma. Fuente: www.library.nd.edu

La anunciacin. Filippo Lippi, pintor renacentista (Italia c. 1406-1469). Fuente: keptar.demasz.hu


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El Renacimiento se caracteriza por el estudio y dominio de la perspectiva. Para lograrla se pueden utilizar los llamados puntos de fuga, los cuales permiten darle profundidad a un cuadro o ilustracin. En esta pgina presentamos varios ejemplos correspondientes tanto al Renacimiento como a fechas posteriores a l. El punto del horizonte donde convergen las lneas de una perspectiva se denomina punto de fuga.

Utilizacin de dos puntos de fuga centrales para la ilustracin de la plaza central de una edificacin.

En la ilustracin podemos observar como Filippo Brunelleschi (Italia, 1377-1445) utiliz varios puntos de fuga para ilustrar el Duomo en Italia, ya que la figura al no ser rectangular as lo amerita. La perspectiva puede generar distorsiones que se visualizan en la lmina renacentista de la derecha, donde las proyecciones central y lateral de una esfera hacen verla como una elipse. En el caso de la proyeccin central esta deformacin es menor. En la parte inferior estn ilustradas tres imgenes del Aristteles de Rafael (Rafaello Sanzio, Italia, 1483-1520) utilizando un mismo punto de fuga. Se puede notar que mientras ms alejado de l se encuentre el punto de fuga la imagen va rotando.


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Muchos objetos de nuestra vida cotidiana son bidimensionales, tales como las superficies de: pantallas de televisin, pantallas de computadoras, pantallas cncavas de cine; as como las pginas de los libros y de los cuadernos, los pisos y las paredes. De igual manera dan idea de lo que es unidimensional los hilos de coser, los alambres finos, una hebra, un filamento... La nocin de dimensin es fundamental para la comprensin de la realidad. Con este concepto estn aparejados los sistemas de coordenadas y los grados de libertad que utilizan los Figura tridimensional generada por computadora para ser fsicos e ingenieros en sus trabajos. visualizada en un monitor bidimensional. Una lnea representa una sola dimensin (1D). No necesariamente tiene que ser representada rectilneamente: un tren o el Metro de alguna ciudad que se mueve en una va frrea lo hace en una dimensin. Esta lnea frrea puede ser recta o curva, y subir o bajar en una colina, pero el vagn del tren tiene solamente una direccin de movimiento. Puede ir hacia adelante o hacia atrs y son la misma direccin pero sentidos opuestos. La lnea del tren est situada en nuestro mundo tridimensional, pero el movimiento del tren es unidimensional. Si fijamos una estacin del tren como origen O, su posicin en un instante de tiempo determinado queda especificada por un nico nmero, se dice por un slo parmetro: la distancia al origen medida a lo largo de la lnea (recta o curva), lo cual se expresa con que ese movimiento tiene un grado de libertad. Un barco navegando en el ocano tiene dos grados de libertad para moverse, son dos direcciones independientes: en una direccin, de popa a proa, puede ser en sentido hacia delante o en sentido hacia atrs, y en la otra direccin, la transversal, de babor a estribor, puede ser hacia la izquierda o hacia la derecha. As el barco se mueve en dos dimensiones, que en este caso no es plano sino curvo por ser la Tierra y, por lo tanto, su posicin en un instante de tiempo determinado est dado por dos parmetros como son la latitud y la longitud.

En las principales ciudades de muchos pases, los taxistas conductores tienen un equipo denominado Global Position System (GPS) que les permite localizar una direccin especfica as como las vas (dos dimensiones) que debe utilizar para llegar a su destino.


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Un avin se mueve en el espacio tridimensional y tiene tres grados de libertad para moverse, son tres direcciones independientes: en direccin de la cola a la punta lo hace hacia delante o hacia atrs (despus de girar); en direccin transversal al avin lo hace hacia la derecha o hacia la izquierda; y en la tercera direccin puede ser hacia arriba o hacia abajo. Su posicin, en un instante de tiempo, est dada por tres parmetros como son la latitud, la longitud y la altura. Anlogamente, si se trata de un submarino en lugar de un barco, se necesita la latitud, la longitud y la profundidad a la que se encuentra el submarino. Si un automvil viaja dentro de un tnel con slo dos canales de circulacin, est obligado a permanecer en el canal de la derecha (si cambia de canal comete infraccin lo que es altamente penalizado en muchos pases). As, su trayectoria es unidimensional. Al salir del tnel, puede girar hacia la izquierda, ha tomado otra direccin, y luego volver a su canal, es decir puede moverse en 2D. En esos ejemplos los grados de libertad y su respectivas dimensiones son coordenadas geomtricas. Los parmetros son entes geomtricos, a lo mximo tres. No necesariamente esto ocurre siempre. El vuelo del avin o la navegacin del submarino, en funcin del tiempo, requiere otra informacin: la velocidad con que se mueve. Luego se tienen cuatro grados de libertad que se determinan, en cada instante de tiempo, mediante cuatro parmetros: tres que son geomtricos (latitud, longitud, altura o profundidad) y otro que es dinmico (velocidad). Entonces estamos en un espacio de cuatro dimensiones o con cuatro grados de libertad.

Centro del planeta

M

Longitud y latitud de la proyeccin M de P

P

M

Latitud y longitud de la proyeccin M de P

Dos posiciones del barco

Bitcora de Cristbal Coln donde se reflejaban los datos de posicin (longitud y latitud), profundidad y tiempo de travesa.Fuente: http://history.missouristate.edu


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El sentido de la vista, an con un solo ojo, junto con las sensaciones musculares relativas a los movimientos del globo ocular, podra bastar para hacernos conocer el espacio de tres dimensiones. Las imgenes de los objetos exteriores vienen a pintarse sobre la retina, que es un cuadro de dos dimensiones: son perspectivas (...). Y bien, lo mismo que se puede hacer sobre un plano la perspectiva de una figura de tres dimensiones, se puede hacer la de una figura de cuatro dimensiones sobre un cuadro de tres (o de dos) dimensiones. Esto no es ms que un juego para el gemetra.Henri Poincar en su libro La Ciencia y la hiptesis (1902).Versin en espaol de Coleccin Austral, Espasa-Calpe, 3 edicin, 1963.

Cuarta Dimensin de la estudiante Jin Hua Dong del 4 ao en el Shepherd College y vicepresidenta del Club Math que promueve trabajos sobre matemtica y arte. Este trabajo se realiz utilizando la tcnica de fractales.

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Grados de libertad y coordenadasLos parmetros, como en el caso del avin, son independientes entre s: es posible cambiar un parmetro sin que esto altere los otros. As, podemos modificar la latitud de un avin movindolo a lo largo de un meridiano de la Tierra, y esto no modifica su longitud. Cada parmetro representa un grado de libertad y por lo tanto una dimensin.

Dos posiciones del avin

Movimiento de un tren

1 1

Una direccin, dos sentidos: adelante-atrs

0

La distancia s=s(t) al origen como funcin del tiempo Movimiento de un pndulo simple de longitud L Uno. El movimiento de la masa m El ngulo como funcin del tiemes oscilatorio y en cada instante de po t tiempo su distancia a O es fija L O L m A x P

Tambin se puede tomar como parmetro, en funcin del tiempo, la longitud s del arco PA o la distancia horizontal x (elongacin) Movimiento de un navo en un ocano

2

Dos direcciones y cada una con Latitud y longitud en funcin dos sentidos: adelante-atrs, dere- del tiempo. navo cha-izquierda

Meridiano de Greenwich

Movimiento libre de una varilla en torno a un extremo fijo (pndulo esfrico)

2

Dos: el extremo no fijo P se mueve Latitud y longitud O sobre una esfera de radio la longitud L de la varillL

P

Movimiento de un avin (posicin) Movimiento de un avin (posicin y velocidad)

3 4

Tres direcciones y cada una de Latitud, longitud y altura ellas con dos sentidos Cuatro: las tres del ejemplo anterior Latitud, longitud, altura y velocidad y la velocidad


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y

Los sistemas de coordenadas, creados durante el siglo XVII por el matemtico francs Ren Descartes (Francia, 1596-1650) en uno de los tres apndices de su obra conocida como El Discurso del Mtodo (1637), permitieron tratar los problemas geomtricos mediante el lgebra. Estos sistemas de coordenadas se denominan cartesianos o rectilneos, y se construyen utilizando rectas, usualmente perpendiculares.z

O

x

Sistema de coordenadas cartesianas en un plano.

OP=

P Eje

O y x

Sistema de coordenadas cartesianas en el espacio.

Sistema de coordenadas no cartesiano en un plano (se denominan coordenadas generalizadas). Por ejemplo, las coordenadas polares (,) del punto P.

En cada una de las situaciones siguientes determina cuntos grados de libertad tiene el sistema descrito, es decir, de cuntos parmetros depende el movimiento del sistema y cules son stos.O

a) El sistema masa-polea-resorte de la figura 1. Se trata del movimiento de la masa m. b) El pndulo doble de la figura 2, donde m1 y m2 son masas unidas por una varilla de longitud L2 y m1 est sujeta a otra varilla de longitud L1 con un extremo fijo O. c) El sistema formado por tres carros unidos con resortes de la figura 3. d) La denominada mquina de Atwood: se trata del movimiento de las masas m1 y m2 unidas a travs de una polea mediante una cuerda sin rozamiento de longitud L (figura 4). e) Una partcula de masa m que se mueve sobre una circunferencia de radio R. f) Piensa en otros sistemas mecnicos con uno, dos o tres grados de libertad.

L1

Polea1

L2

Resorte2

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Polea


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1

Figura 4

2

Anterior a Descartes la geometra era sinttica y luego, con la utilizacin de las coordenadas, se cre la geometra analtica, esto es la vinculacin de la geometra con el lgebra, etiquetando los puntos con nmeros y los entes geomtricos mediante relaciones entre variables. UNIDIMENSIONALSegmentos, curvas (en el plano o en el espacio).La hlice de un tornillo

BIDIMENSIONALRegiones del plano encerradas por curvas, como los polgonos.

TRIDIMENSIONALSlidos del espacio. La Tierra se considera como esfera slida y no solamente la superficie terrestre.

Superficies en el espacio. Por ejemplo: la superficie de la Tierra (la esfera terrestre). En una dimensin un punto se localiza mediante una sola coordenada (un nmero). Para los objetos unidimensionales se calculan longitudes. Hay sistemas fsicos que tienen un grado de libertad.Elipsoide

En tres dimensiones un punto se localiza mediante tres coordenadas (tres nmeros). Para los slidos del espacio, los que estn encerradoso limitados por superficies, se calculan volmenes.z (0,0,3)

En dos dimensiones un punto se localiza mediante dos coordenadas (dos nmeros). Para las regiones del plano encerradas o limitadas por curvas se calculan las reas.y y=x2

resorte

amortiguador masa

O

(0,1,0) y

x (3,0,0)

En el sistema masa-resorte-amortiguacin, la masa m se mueve verticalmente. Se necesita solamente una coordenada x=x(t) para definir la localizacin de la masa en un instante cualquiera t (x se mide a partir de la posicin de equilibrio esttico).

O

x x

El rea de la regin comprendida entre los dos arcos de parbolas dibujadas es igual a 1/3. Hay sistemas fsicos que tienen dos grados de libertad.

El volumen del tetraedro limitado por los planos de coordenadas y el plano dibujado es 3/2. Hay sistemas fsicos que tienen tres grados de libertad.

Al inicio de la geometra analtica los matemticos restringan el uso de las coordenadas a una y dos dimensiones. Ya Fermat, creador de la geometra analtica junto con Descartes, estuvo consciente de una geometra analtica con ms de dos dimensiones, pero no fue sino en el s. XVIII que se entendi bien que el lgebra con una o dos coordenadas poda ser extendida al espacio tridimensional y, posteriormente, a espacios con mayor nmero de dimensiones.


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En 1884 sali publicado un libro del clrigo y educador ingls Edwin Abbot Abbot titulado Flatland. A romance of many dimensions, que era un stira social y una introduccin para entender lo que es dimensin y dimensiones mayores que tres. Abbot promova la igualdad de oportunidades en la educacin de los (las) jvenes de todas las clases sociales, lo que no ocurra en la Inglaterra de la poca Victoriana en donde haba muchos prejuicios sociales. Abbot describe la vida de seres que viven en un mundo plano (Flatland; Flat=plano, land=pas o tierra) y establece una interrelacin entre mundos de distintas dimensiones. En la portada del libro, A Square (Square=cuadrado) es el nombre que utiliza para el narrador. All se observa una casa plana (en forma de pentgono regular), que nosotros podemos ver en su totalidad, pero A Square viviendo en el mundo plano solamente puede observar una parte de ella aunque puede caminar en todo su alrededor. En Flatland se visita otra tierra, unidimensional, Lineland, donde los habitantes se representan por segmentos (los hombres) y puntos (las mujeres), y el rey es un segmento ms grande. A Square intenta convencer, intilmente, al rey de Lineland (Line=lnea) de la existencia de una segunda dimensin. A su vez, Flatland es visitada por Una Esfera del espacio que intenta convencer a A Square de la existencia de una tercera dimensin y argumenta inicialmente que l puede ver toda la casa desde arriba describiendo a todos los habitantes. La Esfera atraviesa el plano, y A Square primero ve un punto, luego una parte de circunferencia que se va agrandando hasta llegar a lo mximo, para luego contraerse, reducirse a un punto y, por ltimo, desaparecer.

Finalmente A square se convence y pregunta para ver la cuarta dimensin. La Esfera le niega esa posibilidad y lo enva a Flatland, donde intenta convencer a los otros de la tercera dimensin, siendo arrestado de por vida y escribe FLATLAND (Planilandia). En el siglo XX se han escrito varios trabajos inspirados en Flatland, como el Mundo esfrico (Sphereland) de Dionis Burger (1964) y Planiverse de A.K. Downey, en 1984, conmemorando el centenario de Flatland. Asimismo, el escritor britnico H.G. Wells (1866-1946), autor de obras de ciencia ficcin como El hombre invisible (1897), La guerra de los mundos (1898) y La mquina del tiempo (1895), en la que la idea del tiempo como una dimensin est claramente explicada.Fascculo 7 Polgonos y poliedros

H.G. Wells y La guerra de los mundos. Fuente:forums.e veofthewar.com/ photos/displayi mage.php

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Cuntas dimensiones podemos considerar que tengan utilidad tanto en matemtica como en otras disciplinas ?Hemos visto que el movimiento de un avin o de un submarino depende de cuatro parmetros: tres son de posicin (latitud, longitud y altura o profundidad) y el cuarto es la velocidad. Por lo tanto necesitaramos cuatro ejes de coordenadas para representar esas variables en funcin del tiempo (cuatro dimensiones, 4D) y, si adems queremos representar el tiempo, necesitaramos un quinto eje de coordenadas (cinco dimensiones, 5D). Con nuestros ojos no es posible ver ni imaginarnos ms de tres dimensiones. Aqu tenemos que razonar y hacer analogas con lo que ocurre en 1D, 2D y 3D. An ms, hay situaciones prcticas en las que se necesitan ms dimensiones. Por ejemplo, en los procesos productivos intervienen muchos parmetros: precios de materiales que se compran, precios de lo que se vende, cantidad de personal que interviene en la produccin, cantidad de material que se utilizar (materia prima), transporte, tiempo de fabricacin, entre otros. Esto requiere trabajar con ms de tres variables independientes y algunas dependientes de las anteriores, y lo cual implica un cierto nmero de dimensiones que no es posible representar grficamente pero s calcular con las mismas. As, se hacen clculos con muchas variables utilizando computadoras, y para esto ha sido necesario crear y estudiar los espacios ndimensionales.

Simulacin de movimiento a travs de un tnel de viento, donde se puede probar la aerodinamia de un vehculo. Esta imagen proviene de una simulacin por computadora utilizado por una empresa taiwanesa. Fuente: www.syzygia.com.tw

La geometra es a las artes plsticas lo que la gramtica es al arte de escribir. Hoy los cientficos ya no se atienen a las tres dimensiones de la geometra euclidiana. Los pintores han sido llevados natural y, por as decirlo, intuitivamente, a preocuparse por las nuevas medidas posibles del espacio que se indican brevemente en su conjunto, en lenguaje figurativo de los modernos con el trmino de cuarta dimensin. La cuarta dimensin aparece generada por las tres dimensiones conocidas y representa la inmensidad del espacio que se eterniza en todas las direcciones en cualquier momento dado.Guillaume Apollinaire, francs nacido en Roma (1880-1918), poeta, escritor y crtico de arte, precursor del surrealismo. La cita es de Los pintores cubistas (1913) considerado el manifiesto de ese movimiento. Fuente de la imagen: french.chass.utoronto.ca/fcs195/apollinaire.html


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La cuarta dimensin y el hipercuboA mediados del s. XIX se crean las denominadas geometras no euclidianas y uno de los principales matemticos de este siglo, Bernhard Riemann (Alemania, 1826-1866), haba pensado en espacios con muchas dimensiones. En 1908, otro matemtico alemn, Hermann Minkowski (1864-1909), quien fue profesor de Einstein, fusion las tres dimensiones espaciales y la dimensin temporal en un continuo de 4D. La teora de la relatividad de Einstein, inicios del s. XX, utiliza ese espacio de 4D con coordenadas (x,y,z,t). Las 4D eran objeto de estudio por matemticos, fsicos y filsofos y tambin fueron objeto de variadas especulaciones en el perodo 1880-1910, en el cual Abbot public su Flatland. Las geometras no euclidianas, las dimensiones mayores que tres, y el estudio de las ilusiones pticas en las que intervinieron el astrofsico Johann Zllner (1834-1882), el fsico Hermann von Helmotz (1821-1894) y otros, crearon un ambiente cientfico (lo no euclidiano, dimensiones mayor que tres e ilusin ptica) que tuvo repercusin en las artes.El Sello Blanco (1965) de Ren Magritte (Blgica, 1898-1967), obra surrealista, es una paradoja visual que forma parte de sus pinturas imposibles. Magritte afirm: Cada cosa que nosotros vemos esconde algo ms que queremos ver.

A CSegmento cortando a rectas paralelas que no se ven como tales.

B D

Los segmentos AB y CD tienen igual longitud

Una de las primeras manifestaciones artsticas en tal sentido lo testimonia el siguiente cuadro, de inspiracin cubista, del pintor francs, nacionalizado norteamericano y precursor en Nueva York de un movimiento denominado dadasmo, Marcel Duchamp (1887-1968), titulado Desnudo bajando una escalera (1912), en el que se vincula el anlisis cubista del espacio con la representacin del movimiento, y de all las 4D. Fue una pintura futurista con insinuaciones cubistas, Una expresin del tiempo y del espacio a travs de una presentacin abstracta del movimiento, como lo escribi el mismo Duchamp. En este cuadro, las secuencias de la figura movindose hacia abajo de la escalera tiene lugar de manera simultnea y son reveladas las distintas facetas de la figura.


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De qu forma podemos representar e intentar imaginarnos la cuarta dimensin y algunas de sus figuras, anlogamente cmo se representa la tercera dimensin en un papel?Observemos primero cmo se van generando las dimensiones por analoga e iniciando con la dimensin cero. Dimensin 1: una recta Dimensin cero: un punto O Un segmento construido a partir de un punto O, teniendo a ste como un extremo o vrtice. O O A

Dimensin 2: una segunda recta perpendicular a la anterior indica la segunda dimensin. Un cuadrado construido a partir de un segmento perpendicular en O al segmento OA. C B

Matemática Maravillosa

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