PRACTICA: MATRICES Y DETERMINANTES

1. Sean las matrices cuadradas las siguientes:

Se pide calcular:

a) 2A – 3B – 3b + C

b) 2A2 – 3AB + AC

c) 2A2B – 3AB2 – ACB

2. Sean las matrices

Se pide calcular:

a) A= B+C

b) AB.

c) BA.

d) A(B+C)

e) A(2B-3C)

3. Hallar x, y, z y w si

3x = x+4 3y = 6 + x + y

3x – x = 4 3y = 6 + 2 + y

2x = 4 3y – y = 8

X= 2y = 8

X = 2 y =

Y = 4

3w = 2w + 2w + 3

3w = 4w + 3

-3 = 4w – 3w

W = - 3 3z = -1 + z + w – 1

3z – z = - 1 + -3 -1

2z = - 5

Z= - 5/2

4. Sean

5. Hallar Las matrices que conmutan con A, es decir AB = BA, donde A =

INVERSA

AB = BA Hallar determinantes

6.

7. Encontrar AAt y At A donde

8. Sea A= calcular A2 y A3. Hallar f (A) (x)=2x3 – 4x2 + x + 5

9. Dada la matriz A= encontrar un vector = no nulo tal que

Vector

X+3y=3x

3y = 3x – x

3y = 2x x .y = 0

X = 3

Y = 2 4x – 3y = 3y

4x = 3y + 3y

4x = 64

2x = 3y ó 3y = 2x

10.

11. Dadas las matrices

Calcular

a) A B

b) B A

c) B C

d) A C

12. Hallar la traza de las matrices A, B, C y B + C :

Trazar :

13. Hallar el rango de las siguientes matrices:

a)

b)

c)

d)

e)

14.

15.Dadas las matrices

Compruebe

a) C = A-1

b) D = B-1

c) C+D (A+B)-1

16.Hallar las inversas de las siguientes matrices a través de transformaciones

elementales

INVERSA

Cofactores

C” = 5 C12 = -11 C13 = -1

C21 = 3 C22 = -5 C23 = 1

C31 = -3 C32 = 7 C33 = 1

Matriz de cofactores C =

Su inversa de matriz A es

b)

C11 = 15 C12 = - 1 C13 = -6

C21 = -3 C22 = 5 C23 = 6

C 31 = -3 C 32 = -3 C33 = 6

17.

18. Calcular los siguientes determinantes de orden 2:

20. DEMOSTRAR QUE SI A, B Y C SON NÚMEROS REALES, LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN

a – x b b c - x = 0

Det = 0 (a-x) (c-x) - b² = 0

ac – ax – cx + x² - b² = 0

x² - (a+c)x + ac - b² = 0

X1 ,2 = ± (a+c)² - 4(ac-b² Si X1 ,2 es real (a+c)² - 4ac-b²) es real

(a+c)² - 4 (ac-b²) ≥ 0

a² + 2ac c² - 4ac + 4b² ≥ 0

a² - 2ac + c² + 4b² ≥ 0

(a - c)² + 4 b² ≥ 0

≥ 0 ≥ 0

21. CALCULAR LOS SIGUIENTES DETERMINANTES

1 4 32 1 0 = 1+2 x 3 x 3 + 0 - (0 + 0 + 4 x 2) = 18 - 8 = 100 3 1

1 1 1X y z = yz² +xy² + x²z – (x²y + y²z +xz² ) = yz²-y²z+xy²-x²y+x²z-xz²X² y² z² = yz (z-y)+xy (y-x)+xz (x-z)

1 a b0 1 c = 1 + 0 + 0 - (0 + 0 + 0) = 10 0 1

X1 , 2 son reales

22. CALCULAR LOS SIGUIENTES DETERMINANTES MEDIANTE SU DESARROLLO POR LA PRIMERA COLUMNA

3 2 1 6 5 2 1 2 17 6 5 = 3 2 3 + (-7) 2 3 + 6 51 2 3

= 3 (18-10) – 7 (6-2) + 10 - 6 = 3 x 8 – 7 x 4 + 4 = 24 – 28 +4 = 0

3 0 1 3 2 0 1 0 14 3 2 = 3 2 1 + (- 4) 2 1 + 1 3 21 2 1

= 3 (3 – 4) + (-4) (0-2) + (0-3) = 3 (-1) + (-4) (-2) + (-3) = -3 +8- 3 = 2

1 0 0 7 1 2 3 0 0 7 0 0 7 0 0 70 1 2 3 = 1 1 1 1 + (-0) 1 1 1 +2 1 2 3 +(-0) 1 2 32 1 1 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 1 10 3 2 1

0 0

1 2 3 0 0 7 = 1 1 1 1 + 2 1 2 3

3 2 1 3 2 1

1 1 2 3 2 3 2 3 0 7 0 7= 1x 2 1 +(-1) 2 1 +3 1 1 +2 0 2 1 + (-1) 2 1 +3 2 3

0= (1-2) + (-1) (2-6) +3 (2-3) +2 [(-1) (-14) +3 (-14)]

= -1 + (-1) (-4) + 3 (-1) + 2(14 - 42)

= -1 + 4 -3 + 2 (-28) = -56

23. Calcular los siguientes los siguientes determinantes reduciéndolos a una matriz triangular superior mediante operaciones elementales.

2 4 -2 3 5 2 = 2x5 +3x5 (-2) + 2x4x2 - (2x5 (-2) + 2x5x2 + 4x3) 2 5 1 = 10 – 30 +16 – (-20 + 20 + 12)

= -4 - (12) = -16

1 0 3 52 1 2 7 1 2 7 2 1 7 2 1 22 2 0 4 = 2 0 4 + 3 2 2 4 -5 2 2 03 2 1 2 2 1 2 3 2 2 3 2 1

= 2x7+2x2x4- 4+2x2x2)+3 [2x2x2 +2x2x7+3x4- (7x2x3+4x2x2+2x2)]

-5 [2x2 + 2x2x2 - (2x2x3 +2)]

= 14+16 - (4+8)+3 [8+28+12 - (42 +16+4)] - 5[4+8- (12+2)]

= 30 – 12 +3 [48-62] -5 [12-14] = 18+3 (-14) -5(-2) = 18 – 42 +10=28-42 = -14

27. COMPROBAR, SIN DESARROLLAR, QUE EL DETERMINANTE DE LA MATRIZ A ES MÚLTIPLE DE 9

2 6 7 A = 5 12 4

3 18 9

2 6 7F3 ÷ 3 5 12 4

1 6 3

2 2 7 2 ÷ 3 5 4 4

1 2 3

2 2 7· : Det. A = 3 X 3 Det. 5 4 4

1 2 3 9

Det. A es múltiplo de 9

31. DADA LA MATRIZ.

1 2 4A = 3 8 -2

2 0 4

Se pide:

a). hallar la matriz Adj. (A)

a11 a12 a13

Adj (A) = a21 a22 a23

a31 a32 a33

8 -2 3 -2 3 8a11 = 0 4 a12 = - 2 4 a13 = 2 8

a11 = 32 a12 = -16 a13 = -16

2 4 1 4 1 2a21 = - 0 4 = -8 a22 = 2 4 = -4 a23 = - 2 0 = 4

2 4 1 4 1 2a31 = 8 -2 a32 = 3 -2 a23 = 3 8

a31 = -4-32 = -36 a32 = 2+12 = 14 a33 = 8-6 = 2

32 -16 -16a). Adj (A) = -8 -4 4

-36 14 2

1 2 4

b). Det. A = 3 8 -2 = 32 + (-8)- (64+24) =24-64-24 = 642 0 4

1 2 4 32 -8 -36 c). A x Adj (A)t = 3 8 -2 x -16 -4 14

2 0 4 -16 4 2

-64 -16+16 -36+28+8 = +96+32-128 -24-32-8 -108+112-4

+64-64 -16+16 -72+8

-64 0 0 A x Adj (A)t = 0 -64 0

0 0 -64

32 -8 -36 1 2 4 c). Adj (A)t A x = -16 -4 14 x 3 8 -2

-16 4 2 2 0 4

32-24+72 -64-64 128+16-144 = -16-12+28 -32-32 -64+8+56

-16+12+4 -32-32 -64-8+8

-64 0 0 = 0 -64 0

0 0 -64

· : A x Adj (A)t = Adj (A)t X A

32 -16 -16 1/2 -1/4 -1/4d). A -1 = = -8 - 4 4 = -1/8 -1/16 1/16

-36 14 2 -9/16 7/32 1/32

64

33. Determinar para que valores de a son invertibles las matrices:

/ A / ≠ 0

a 1 22 a 2 = a² +4 a+2-2 a-2 a² -2 ≠ 0 1 a 1

A/A/

-a² +2 a ≠ 0 a² -2 a ≠ 0 a (a-2) ≠ 0

A tiene inversa si

/ B / ≠ 0 ≠ 0

a ≠ 0

a (4 a - 18 - 4 a) + (3 a + 16) + ( 9+4 -2 a) ≠ 0

-23 a +1 ≠ 0

23 a ≠ 1 a ≠ para que B tenga inversa.

a ≠ 0a ≠ 2

a 0 1 -1 1 2 0 2 0 -3 2 0 1 a 3 a

2 0 2 1 2 2 1 2 0-3 2 0 + 0 -3 0 + 0 -3 2 a 3 a 1 a a 1 a 3

123