MATEMATICA I A 1er cuatrimestre 2012

TRABAJO PRACTICO N 6 PROF. EVA LOPEZ

SUCESIONES Y SERIES

1. Encontrar los cuatro primeros terminos de las siguientes sucesiones:

a) an =3n

n+ 1, b) an =

(1)nn

, c) an =(1)nnn+ 1

.

Representar graficamente

i) en un solo eje(

a3 a4 a1 a2

),

ii) en un sistema de ejes coordenados los puntos (n, an).

2. Dado el nesimo termino de una sucesion infinita, encontrar los cuatro primeros terminos ycalcular el lim

n an , en caso que exista.

a) an =n

3n+ 2, b) an =

6n 55n+ 1

, c) an =4

8 7n.

d) an =2n+ 9

, e) an =n+ 1

n.

3. Calcular el lmite de la sucesion en caso de que este exista.

a){6(56

)n}, b)

{n2

ln (n+ 1)

}, c) {(1)n n3 3n} .

4. Calcular, si existe, limn an para las siguientes sucesiones utilizando, si es necesario, que

limn

(1 +

1

n

)n= e.

a) an = 8(7

8

)n, b) an =

(1 +

1

n

)3n, c) an =

(n+ 2

n

)2n.

5. Se depositan $ 3.500 en una cuenta que abona una tasa de interes anual del 12 por 100. Calcularel balance al final de 2 anos si el interes se compone

a) mensualmente,

b) de forma continua.

6. Consideremos la sucesion {An} cuyo termino general es

An = P(1 +

r

12

)n,

donde P es el capital inicial, An la cantidad acumulada tras n meses y r la tasa de interescompuesto de forma continua.

a) Es convergente esa sucesion?

b) Calcular los diez primeros terminos de la sucesion si P = $ 9.000 y r = 0, 115.

1

7. a) Determinar el valor de a tal que limn(1 +

a

3n

)2n+1= 5,

b) Encontrar los cuatro primeros terminos de la siguiente sucesion y representar en un sistemade ejes coordenados los puntos (n, an). Determinar si converge o no.

8. a) Explicar la diferencia entre

i)k

n=1

an yk

j=1

aj. ii)k

n=1

an yk

j=1

an.

b) Calcular las cuatro primeras sumas parciales de las siguientes series:

i) 12+ 1

3+ 1

4+ 1

5+ , ii) 1 1

2+ 1

4 1

8+ 1

16 ,

iii)n=1

(2

3

)n, d)

n=1

n

3n.

9. Determinar si las siguientes series son convergentes. En caso afirmativo calcular su suma.

a)n=1

1

13n, b)

n=0

23n+4

32n+5, c)

n=3

(13

)n,

d)n=1

2n + 3n

6n, e)

n=5

2n+1

3n2, f)

n=1

[(1

2

)n+(1

3

)2n+(1

4

)3n+1].

10. Una empresa estima las ventas de un nuevo producto en 8.000 unidades anuales. Supon-gamosque cada ano quedan fuera de servicio el 10 % de las unidades (independientemente de su edad).Cuantas unidades estaran en uso despues de n anos?

11. a) Cuando un empleado recibe su paga al final de cada mes deposita P dolares en un plande jubilacion. Esos depositos se efectuan durante de t anos a una tasa anual de interesr. Si el interes se compone mensualmente, la cantidad A en ese plan de jubilacion sera alcabo de t anos

i)A = P + P(1 +

r

12

)+ + P

(1 +

r

12

)12t1.

Si el interes se compone de forma continua, entonces

ii)A = P + P er/12 + P e2r/12 + + P e(12t1)r/12.Usar la formula para las sumas parciales de una serie geometrica para verificar que

en i) A = P(12r

) [ (1 + r

12

)12t 1] y en ii) A = P (ert1)er/121 .

b) Si consideramos un deposito mensual de $ 50 en una cuenta que abona una tasa anual deinteres del 7 %, hallar, usando los resultados del inciso a), el balance A tras 20 anos si elinteres se compone

a) mensualmente,

b) de forma continua.

12. Cuando se gasta dinero en bienes y servicios, quienes lo reciben tambien gastan una parte.Quienes reciben algo del dinero ya gastado dos veces, gastaran tambien parte y as sucesi-vamente. Los economistas llaman a esta reaccion en cadena efecto multiplicador. En unacomunidad hipoteticamente aislada, el gobierno local inicia el proceso de gastar D dolares.Suponga que cada uno de los receptores de dinero gasta 100 c%, y ahorra 100 s% del dineroque recibe. Los valores de c y s se llaman propension marginal por consumir, y propensionmarginal por ahorrar (naturalmente c+ s = 1).

2

a) Sea Sn el gasto total generado despues de n transacciones, S1 = D, S2 = D + Dc, S3 =D +Dc+Dc2, . Determinar que

Sn = D(1 cn)/(1 c),b) Verificar que limn Sn = k D, donde k = 1/(1 c). El numero k se llama multiplicador.Determinar el multiplicador si la propension marginal por consumir es 80 %.

13. a) Analizar el siguiente problema: Un lago contiene una poblacion de x0 peces. Se sabe que talpoblacion crece a un ritmo de 1/3 de la poblacion al ano, y que se permite capturar 400000 pecesal ano. El numero de peces se puede calcular si normalizamos las unidades 1 = 1000000 pecesla formula que da el numero de pobladores en n anos es

xn = (4

3)nx0 (2

5)[(4

3)n1 + . . .+ (

4

3)2 + (

4

3) + 1

].

Luego xn = (43)nx0 (25)

[( 43)n1

( 43)1

]= [x0 (65)](43)n + 65 .

Como limx+xn =

si x0 < 6/56/5 si x0 = 6/5+ si x0 > 6/5

y 6/5 se corresponde en nuestras unidades a

1200000 peces, segun el ultimo calculo es el numero deseable para que no haya extincion nisobrepoblacion. Luego:

i) Si la poblacion inicial x0 supera los 1200000 peces, la poblacion ................... desmesurada-mente a medida que el tiempo transcurre.

ii) Si la poblacion inicial x0 es inferior a 1200000 peces, la poblacion se................... con losanos.

iii) Si la poblacion inicial x0 es de 1200000 peces, la poblacion se mantendra ............. al pasodel tiempo.

b) Plantear e interpretar el mismo problema en terminos economicos (dinero por peces).

14. Hallar dos series divergentesn=1

an yn=1

bn tales quen=1

(an + bn) sea convergente.

15. a) Enunciar la condicion necesaria para la convergencia de series y la condicion suficientepara la divergencia, que esta implica.

b) En caso de ser posible, usar a) para determinar cual de las siguientes series diverge.

i)n=1

nn+ 1

, ii)n=1

6

7 + 7n,

iii)n=1

n+ 1n+ 8

, iv)n=1

3

5 + 5n.

c) Dar un ejemplo de una serie cuyo termino general tienda a cero, pero no sea convergente.

an =

(1 2n+ 5

1 + 3n2

),

16. a) Dada

n=1

(13k

)n. Determinar los valores de k para que la serie sea convergente. Encontrar

el valor de k para que la suma de la serie sea 3.

b) Determinar an el termino general de la sucesion asociada a la serie

n=1n

n+1. Determinar

las primeras tres sumas parciales y si la serie es convergente.

U.N.S., Primer Cuatrimestre 2012

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