Operaciones básicas

Común divisor

Cuando realizamos una división, a veces varias cantidades son divisibles entre la misma cantidad y su

resultado es otra cantidad entera (un número sin decimales).

*Por ejemplo:

20 entre 5 = 4, 30 entre 5 = 6, 100 entre 5 = 20

Observe que varias cantidades (en este caso 20, 30 y 100) son divisibles entre la misma cantidad (en este caso 5) y su

resultado es un número entero.

Entonces podemos saber que el número 5 es común divisor de las cantidades 20, 30 y 100.

Cuando se tienen varias cantidades y éstas tienen varios comunes divisores, al menor se le llama mínimo común

divisor y al mayor, máximo común divisor.

División

Operación aritmética que indica el reparto en varios grupos de cierto número de elementos.

Para señalar la división se utilizan los dos puntos para notación horizontal “:” y “ ” para realizar divisiones más

largas.

Ejemplo 80: 10 = 8, se lee como “ochenta entre diez es igual a ocho”

se lee como “ochenta entre diez es igual a ocho y sobra cero”.

-El número que se divide se llama dividendo, en este caso es el ochenta.

-El número por el que se divide se llama divisor, en este caso es el 10.

-El 8 es el resultado de la división.

-El sobrante o residuo se anota abajo, en este caso es cero.

División de fracciones

Operación mediante la cual se encuentra cuántas veces cabe una fracción en otra. Esto se representa con una

división de fracciones. Por ejemplo:

esta operación quiere decir que en un medio, un cuarto cabe dos veces.

Un ejemplo de un problema en el que usamos, sin saberlo, la división de fracciones es si queremos saber cuántos

trozos de 1/4 salen de 1/2 kilo de queso. El resultado es 2.

Es importante considerar esta interpretación cuando realizamos operaciones con fracciones, ya que aquí no sucede

como con los números enteros, que al dividir da un número menor.

Al dividir fracciones propias se obtienen cantidades mayores como resultado.

- Procedimiento.

Para dividir dos fracciones el procedimiento es muy sencillo: se multiplica el numerador de la primera fracción por el

denominador de la segunda y se anota en el resultado en el lugar correspondiente al numerador.

Después se multiplica el denominador de la primera por el numerador de la segunda y se anotan en el resultado en

el lugar del denominador.

Ejemplo:

Mínimo común múltiplo

Es el número menor que pueda ser dividido entre varios números que se tienen.

Por ejemplo, para los números 8, 12 y 24, el mínimo común múltiplo es el 24, porque es el número menor en que

pueden dividirse el 8, el 12 y el 24, obteniendo un resultado entero:

24 entre 8 da 3, 24 entre 12 da 2, 24 entre 24 da 1.

Este procedimiento es muy utilizado en operaciones con fracciones comunes, para obtener el mínimo común

denominador.

Multiplicación

Operación aritmética en que se indica el número de veces que se toma una cantidad.

Para señalar la multiplicación se utiliza el signo X que se lee “por”. También significa “veces”.

Ejemplo. 3 x 4 = 12 se lee “tres por cuatro es igual a doce”. Esto quiere decir que el tres se toma cuatro veces, dando

como resultado 12.

La multiplicación también se utiliza para calcular combinaciones. Por ejemplo, si usted tiene 3 blusas y 4 pantalones

puede hacer 12 combinaciones diferentes de blusa y pantalón.

Multiplicación de fracciones comunes

Operación mediante la cual se encuentra qué parte es una fracción de otra fracción. Por ejemplo, para saber cuánto

es la mitad de se realiza una multiplicación de fracciones.

Quiere decir “un medio, media vez es un cuarto“.

Un ejemplo de un problema en el que usamos, sin saberlo, la multiplicación de fracciones es cuando pedimos en una

tienda “medio cuarto de queso”. Esto se anotaría como 1/4x1/2=1/8 que podemos traducir como que la mitad de un

cuarto es un octavo.

Es importante aclarar que la multiplicación de fracciones no es una suma abreviada, ni se espera obtener un

resultado mayor que los multiplicadores al realizarla, como con los números enteros.

Al multiplicar fracciones propias se obtienen cantidades menores como resultado.

- Procedimiento.

Para multiplicar dos fracciones el procedimiento es muy sencillo: se multiplica el numerador de la primera fracción

por el numerador de la segunda y se anota en el resultado en el lugar correspondiente al numerador.

Se multiplican los denominadores y se anotan en el resultado en el lugar del denominador.

Ejemplo:

Operaciones con números positivos y negativos

Las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación, división) con enteros y con fracciones se pueden realizar con

números positivos, con números negativos y con ambos.

Ejemplo de suma con números positivos y negativos:

Mario tiene 300 pesos y piensa gastar 800 pesos en la compra de uniformes y útiles escolares. ¿Cuál es su situación?

El dinero que tiene es un valor positivo (300 pesos) y los 800 pesos son los que gastará, es un valor negativo (-800).

La operación para resolverlo se anota así: (+300) + (-800) = X

Se puede resolver, utilizando la recta numérica o resolviendo la ecuación.

Ecuación:

Se realiza la operación indicada 300-800. Para ello, se toma el número mayor y se le resta el menor. El signo que se

coloca es el de la cantidad mayor, en este caso sería 800-300 =500 y se le coloca el signo -, es decir 500.

Esto se traduce como que a Mario le faltan 500 pesos para poder hacer su compra.

Si sumamos números positivos, el resultado será positivo.

Si sumamos números negativos, el resultado es negativo.

Ejemplo de resta con números positivos y negativos:

¿Cuánto le falta a (+3) para ser igual a (+2)?

Esto se representa así:

(+2) (+3)

Para encontrar la resta de dos números con signo, podemos pensarla como una suma: ¿Cuánto le falta al sustraendo

para obtener el minuendo?

(+2) - (+5) = -3, quiere decir que a +5 para llegar a +2 le falta 3 ( es decir, regresar tres lugares en la recta numérica).

Regla de tres

La regla de tres es un procedimiento por el cual, cuando tenemos dos relaciones, podemos encontrar uno de los

datos a partir de los otros tres.

Por ejemplo, si tenemos la siguiente relación:

Dos kilos de tortillas cuestan 12 pesos

Seis kilos de tortillas cuestan ….

El dato que falta, que es el costo de los seis kilos lo podemos calcular a partir de los datos que sí tenemos.

2 - 12

6 - X

(esto significa que dos es a doce como seis es a una cantidad que debemos calcular)

La operación se realiza multiplicando 12 X 6 y dividiendo el resultado entre 2.

Imagine los datos de forma cruzada. Los lados de la cruz que tienen los datos completos se multiplican y se dividen

entre el que está incompleto.

El resultado es 36. Entonces sabemos que seis kilos de tortillas cuestan 36 pesos.

Otra forma de resolver la misma regla de tres es dividir 12/2 y multiplicar por 6.

El resultado es igual.

Resta

Operación aritmética que indica que a una cantidad se le quita o resta otra.

También sirve para calcular la diferencia entre dos números.

Para indicar resta se utiliza el signo “-“ que se lee “menos”.

Ejemplo: 12 5 = 7. Se lee “doce menos cinco es igual a 7” y quiere decir que si a doce elementos se les quitan cinco,

quedan siete.

También puede indicar que la diferencia que hay entre doce elementos y cinco elementos es de siete.

Las partes de la resta se llaman:

Minuendo 35

Sustraendo -4

Resta o diferencia 31

Resta de fracciones comunes

Operación mediante la cual se quita una fracción de otra obteniendo como resultado una sola fracción, o bien, se

encuentra la diferencia entre dos fracciones.

Se pueden realizar restas de fracciones comunes que tienen el mismo denominador y también otras con diferente

denominador.

a. Con igual denominador.

Se restan los numeradores y se anota el mismo denominador.

b. Con diferente denominador.

(los cuartos se anotan en una fracción equivalente en octavos y se realiza la resta)

Muchas veces no es fácil buscar fracciones equivalentes de memoria. Entonces se utiliza el siguiente procedimiento.

2- Se busca un denominador común: puede ser un número divisible entre los otros. Si no es el mayor es el resultado

de multiplicar dos o más denominadores.

(Por ejemplo, para - como el 7 no es divisble entre 3, se multiplica 7X3 y da 21. El 21 se utiliza como denominador).

2. Este denominador se divide entre el denominador de la primera fracción y se multiplica por su numerador. Se

anota el resultado como numerador. Con la segunda fracción se realiza el mismo procedimiento y se suman los

numeradores.

Vea el siguiente ejemplo.

Suma

Operación aritmética que indica que dos o mas cantidades se juntan.

Para indicar la suma se utiliza el signo “+” que se lee “más”.

Por ejemplo: 6 + 8 = 14 se lee “seis más ocho es igual a 14” y quiere decir que al juntar seis elementos con ocho

elementos se obtienen catorce elementos.

Las cantidades que se suman se llaman “sumandos” y el resultado se llama “suma”.

Cuando las cantidades de la suma tienen más de un dígito se suman primero las unidades, luego las decenas, luego

las centenas y así hasta terminar.

Suma de fracciones comunes

Agregar o juntar varias fracciones obteniendo como resultado una sola fracción.

Se pueden realizar sumas de fracciones comunes que tienen el mismo denominador y también otras con diferente

denominador.

a. Con igual denominador.

Se suman los numeradores y se anota el mismo denominador.

b. Con diferente denominador.

1/8 + 2/4 =

(los cuartos se anotan en una fracción equivalente en octavos y se realiza la suma)

1/8 + 4/8 = 5/8

Muchas veces no es fácil buscar fracciones equivalentes de memoria. Entonces se utiliza el siguiente procedimiento.

1- Se busca un denominador común: puede ser un número divisible entre los otros. Si no es el mayor es el resultado

de multiplicar dos o más denominadores.

(por ejemplo, para + como el 7 no es divisble entre 3, se multiplica 7X3 y da 21. El 21 se utiliza como denominador).

2. Este denominador se divide entre el denominador de la primera fracción y se multiplica por su numerador. Se

anota el resultado como numerador. Con la segunda fracción se realiza el mismo procedimiento y se suman los

numeradores.

Vea el siguiente ejemplo.

Ecuación.

Definición

En matemáticas, una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las

que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones

matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya

magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por

letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

la variable representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. La

igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen ambos

miembros; se puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores

de las variables la hacen cierta.

Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga. Para el caso

dado, la solución es:

Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los

cuales la igualdad se cumple. Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones; sin

embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que

haga cierta una igualdad dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y se dice que la

ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o varios, o incluso infinitos valores, siendo cada

uno de ellos una solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la igualdad (esto

es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la expresión se llama identidad.

Propiedades de las ecuaciones

Resolver una ecuación es calcular el o los valores de la o las incógnitas para que la igualdad sea verdadera.. Para esto se

deben tener presente las siguientes propiedades de la igualdad.

Propiedad 1: Cuando se suma o resta un número a ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.

Propiedad 2: Cuando se multiplica o divide por un mismo número, distinto de cero, en ambos lados de la igualdad, la igualdad

se mantiene.

Propiedad 3: Cuando se eleva a una potencia distinta de cero ambos miembros de la igualdad, la igualdad se mantiene.

Propiedad 4: Cuando se extrae la misma raíz, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.

Estas Propiedades de Igualdad son las que se aplican en la resolución de las ecuaciones, independientemente del tipo de

coeficientes numéricos que tenga, en otras palabras, siempre se resuelven las ecuaciones usando los mismos métodos, lo

único diferente es la forma en que se realizan las operaciones matemáticas con los números que pertenecen a distintos

conjuntos.