Matemática dante logaritimos

5/13/2018 Matemática dante logaritimos - slidepdf.com

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ou

Logaritmo

No America Latina, a populocoo cresce a uma taxa de 3%

00 ano, aproximadamente. Em quantos anos sua populo-

coo vai dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma?

Nessas condicoes. podemos organizar 0seguinte quadro:

T e m p o Popula~ao

lnicio Po

1 ono Pj = Po' 1,03

2 onos P2 = (Po' 1,03)1,03 = Poll,03)2

3 onos P3 = Poll ,0313

X onos P , = Poll ,031'

100% + 3% = 103% = ~ g g = 1,03

Supondo que a populocco dobrar6 ap6s x enos. temos:

P x = 2 P oDai

/ o ( 1 , 03 )x = ~o ¢::} ( 1 , 03 )X = 2

Nco e possivel resolver essa equccoo usando os conhe- I

cimentos adquiridos ate aqui.

Com 0objetivo de transformar uma equocoo exponencial

como essa numa igualdade entre potencies de mesma base,

vamos desenvolver a nocoo de /ogaritmo.

H6 cerca de 400 anos, em 1614,0

escoces John Na-pier revolucionaria os rnetodos de colculo do epoco com a

invencco dos /ogaritmos. 0 logaritmo de Napier nco era

exatamente 0que usamos hoje, nem era associado 00con-

ceito de expoente, mas a essencio era a mesma.

Naquela epoco, multiplicar, dividir, calcular potencies

e extrair roizes eram trabalhos extremamente 6rduos, que

eram feitos a partir de senos.

Hoje em die, com 0 advenlo das calculadoras eletroni-

cas, multiplicar, dividir, calcular potencies e extrair rcizes nco

e mais uma dil iculdode. Nem por isso os logaritmos torna-

ram-se inuteis, pols a possibil idode de deiinir logaritmos

como expoentes [rnerito do inglesJohn Wallis em 1685) e a

ideio de base pora os logaritmos (do gales William Jones em

1742) transformaram 0 logarilmo em um imprenscindivel ins-

Irumento de resolucoo de equocoes exponenciais.

E esse Iogaritmo moderno, delinido como umexpoente,

que estudaremos nas pr6ximas p6ginas.

Definicdo de logoritrno

de urn nurnero

Considere as seguintes quest6es. A que nurnero x se deve

elevar:

a) 0 nurnero 2 para se obter 8?

b) 0nurnero 3 para se obter *?

a) 2X = 8 ¢::} 2x = 23 ¢::} X = 3

Essevalor 3 denomina-se /ogaritmo do nurnero 8 no bose

2 e e representado por IOg2 8 = 3.

Assim:

Perceba que 0lagarilmo e um expoenle.

b) 3X = _1_ ¢::} 3x = _1_ ¢::} 3' = 3-4 ¢::} X = -481 34

o valor -4 chama-se /ogaritmo do nurnero * no

base 3 e e representado por IOg3 * = -4.

Dodos os nurneros reais positives a e b, com a = 1 = 1, se

b = o", entoo 0 expoente c chama-se logaritmo de b no

base a, au se]o,

logo b = c ¢::} o" = b. com a e b positives e a = 1 = 1 .

Nessa equivolencio temos:

F orm a lo g a ritm ic a F o rm a e x p o n en c ia l

logo b = c Oc = br logmilmo t , potencic

a: bose do logaritmo a: base do potencio

b: logoritmondo c: expoente

Quando folomos Jogoritmo estamos nos referindo a umnurnero. .

Vejamos mais alguns exemplos:

• Iog3 8 1 = 4 ¢::} 34 = 8 1

(1 ) - 5

• log+ 32 = -5 ¢::} 2

• Iog.[5 5 = 2 ¢::} (J5)2 5

• logs 1 = 0 ¢::} 80 = 1

32



Unidade 1

Observocoes:

1) Veja que, de acordo com as restricoes impostas, nco sao

definidos, por exemplo: log3 (-81 L 10g1O0, logo 3,

Iog_2 8 e 10g16. Experimente aplicar a dehnicoo nesses

cosos.

2) Quando a bose do Iogaritmo for 10, podemos omiti-Ia.

Assim, log 2 e 0 logaritmo de 2 no bose 1O. Aos

logaritmos no bose 1 0 damos 0 nome de logaritmos de-

cimais ou de Briggs.

Exemplos:

1'!) Vamos determinar:

0) log2 128 b) log.[39

0) log2 128

Representando por x 0 valor procurado, temos:

del. 7

Iog2 128 = X ==> 2" = 128 => 2" = 2 => X = 7

Portanto, log2 128 = 7.

b) 10g.[3 9 = x=> (J3)" = 9 => ( 3 + T = 32=>

~=2=>x=42

Logo, Iog./3 9 = 4.

2'!) Sabe-se que logo 25 = 2. Vamos calcular a.

o nurnero a procurado deve ser positivo e diferente de 1

(a > 0 e a 1=1).

logo 25 = 2 =>02= 25 => a = ±J25 => a = ± 5

Logo, a = 5 (0 valor -5 nco deve serconsiderado, pols

a> 0).

3'!) Vamos calcular 0 nurnero real A sabendo que

1A = 10g100,001 + Iog216'

10g100,001 = x=> 10" = 0,001 => 10" = 10-3 =>

=> X = -3

log2 J t - = Y => 2Y= J t - => 2

Y= d 4 =>

=> 2Y = 2-4

=> Y =-4

1Portanto, A =og 100,001 + log2 16=

= (-3) + (-4) = -7.

4'!) Sabe-se que log3 X =-2. Vamos calcular x.

o nurnero x deve ser positivo (x > 0). Pela dehnicoo de

loqoritrno, x =3-2 => X =~

Exercicios propostos

. Usando potencio, determine 0 equivalente a coda loga-

ritmo:

a) log2 7 =x b) m=ogp r c) log 0,1 =- 1

~ Com os rres nurneros dodos, escreva uma igualdade usan-

do Iogaritmo:

o) 6, 36 e 2 No item b temos duos

b) 5, -1 e + respostos possiveis.

Algebra (I )

c) 8,8 e 1

d) 5, 2 e 32 NAo ESCREVA NO L1VRO.

•. Usando a dehnicco, calcule:

a) log3 27 d) log2 J8 g) log20,25

h) log77) log i 164" "

b) log 10000

c) log 1 322"

Determine 0 valor do base a nos seguintes igualdades:

a) logo 8 = 3 c) logo 4 = -2

b) logo 5 =1 d) logo 1 = 0

. Calcule x nos igualdades:

a) log2 x = 5 b) log (x + 1 = 2

SeA = log2 1024 + log 1 625, determine 0 valor deAs-

Se x =Iog2 212 e y = Iogo.01 10, calcule x + y.

Calcule log2 [log3 81]'

Condicoes de existencio de logaritmos

J6 sabemos que a existencio de um Iogaritmo, como por

exemplo logoN, depende das seguintes condicoes:

• N deve ser um numero positive (N > 0).

• A. bose deve ser um nurnero positive e diferente de .

(a > 0 e a 1= 1).

logoNexiste quando e somente quando

{N > 0

a>Oea1=l

Exemplos:

1'!) Vamos determinar os valores reais de x para os quois

existe Iog2 (x - 3).

Como a bose e 2 (positiva e diferente de 1L devemos irr-

por que x - 3 > 0 => x > 3.

Logo, x E IR I x > 3.

2'!) Vamos determinar 0 conjunto dos valores reais de x par~

os quais e possivel determinar log" _2 (x2- 4x - 5).

Pelas condlcoes de existencio, temos:

• x2 - 4x - 5>0

Estudodo sinal:

0=1>0

~=36> 0_

X' =5 e x" = -1

--+--<\_ Lz:--~~

x < - 1 ou x >5 C D



CapItulo 7 · ' 4 -og o_ri t moe fun c ; a ° I°gar im i c a

Exemplos:• { X - 2 > 0 => x> 2 ®x-2*1 =>x*3

Salisfazendo simullaneamente as condicoes, eslabelece-

os 0quadro de resolucoo:

-1 5

CD--~r---------------~--

2 3QD - - - - - - - - o - - - ~ ~ - - - - - - - - -

s5

ogo, a conjunlo 8 {x E IR I x> 5}.


etermine os valores reais de x para os quais 8 possivel

eterminar:

c) log 1 (-x2 + 5x - 4)"2) Iogx 10

b) Iog10 (x - 3) d Ix-1

) og2 3x+

etermine os valores de x para que exisla:

J logx - 5 lOb) log 1 _ x2 J3

etermine a conjunto dos valores reais de x para que

se]o possivel definir:

o) Iogx (x - 3 )

0) logx_ 1 (x + 4)

c] logx ( x2

- 4) _

d) Iogx+ 1 (x2

- 5x + 6)

:onsequencios do defini<;ao

_9 logoritmo

logo 1 = 0 ,pois o? = 1, qualquer que seja

a>Oea*l.

ogo a = 1 , pois a 1 = a para todo a > 0 e a * 1.

:! 090 an = n I pois an = an para todo a > 0 e

o *" 1 e para todo n.

to g N

a 0 = N ,com N > 0, a > 0 e a * 1.

_ 'ificativa: logo N = x => o" = N

- b .. d logo N Nstituin 0x: a =

= ogo X = logo y ¢:} x = Y ,com x > 0, y> 0,

:J>Oe·a*"1.

__ 5 ihconvo: se logo x = r e logo y = s, isto 8, c' = x e

:;' = y, temos:

- x = y => c' = a' => r = s => logo x = logo y

_ logo x = logo y? = s => o' = as => x = y

:;~~anto, logo x = logo y ¢:} x = y, com x > 0, y> 0,

=>Oea* 1.

I I· I d 109s 10· log2 51!?)Vamos ca cu ar 0va or e 2 .

2 10gs 10.10 925 = (210925r9S 10 = 510gs 1010

2!?)Vamos calcular 0valor de x tal que

log2 (x - 2) = log2 9.

Condlcco de exlstencio: x - 2 > 0 => x> 2log2 (x - 2) = log2 9 => (x - 2) = 9 => x = 11

Como, para x = 11, existem log2 (x - 2), pais 1 1 > 2, e

Iog2 9, a resposta 8 x = 11.


1 Calcule 0valor de:

a) 10gJ2 j2 e) log2 sJ 2

b) logo.5 1f)

21og2

c) logs 54 g) logw- 25

d) Iog3 243 h) Iog17 V7

De a valor de x nos igualdades:

0) 1 = log3 X c) log2 X = log2 5

b) 0 = 1092X d) 109 2x = log 6

Calcule a valor das expressoes:

a) 103. log0 2 c) 210926' log610

b) 21 + log2 3 d ) 310927. log32

Propriedades operotorios

dos logaritmos

1 ~ propriedode: logoritmo

de um produto

Do propriedade fundamental das potencies,

aX . aY = o" + Y , surge uma propriedade semelhante nos

loqoritrnos. Veja um exemplo:

• log2 (4 . 8) = 1092(22 . 23) = log2 22 + 3 =

=2+3=5 C D• log2 4 + log2 8 = log2 22 + log2 23 = 2 + 3 = 5 ®

De C D e ® tiramos que:

log2 (4 . 8) = log24 + log2 8

Vamos provar que esse fato acontece para qualquer base

e quaisquer dais nurneros para as quais exislam os logaritmos

envolvidos. Ou se]c. que se trata de uma propriedade:

logo (M . N) = logo M + logo N

Demonsttocoo:

Consideramos logo (M . N) = p; logo M = m e

logo N = n.



Unidade

Dessas igualdades, tiramos aP = M . N; am = M e

a" = N. Entao:

aP = M . N = am . an = am+ n

Se aP = am+n, entco p = m + n, ou se]o,

logo (M . N) = logo M + logo N.

Conclusoo:

Numa mesma base, 0 Iogaritmo do produto de dois

nurneros positivos e igual a soma dos logaritmos de coda

um desses nurneros.

Exemplos: lo g 3 . 2 n60 e• log7 (2 . 5) =og7 2 + log75 0 mesmo que

• log 300 = log (3 . 100) = lo g (3·2).

= log 3 + log 100 = log 3 + 2

• logs (4 . 5) = logs 4 + logs 5 = logs 4 + 1

Observocoo: Essa propriedade de transformar pradutos em

somas foi a motivccoo original para a introducoo dos loga-

ritmos no seculo XVII, no intuito de sirnplilicor c6lculos. Veja a

leitura no p. 133.

2~ propriedade: logaritrno

de urn quociente

Vamos observer, por exemplo, que:

• Iog2 ( 1 ; ) = log2 ( ~: ) = log2 24 - 2 =

=4-2=2 C D• log2 1 6 - log2 4 = log2 24 - log2 22 =

=4-2=2 ®De C D e® tiramos que:

log2 ( 1; ) = log2 16- Iog2 4

Esse fato acontece para qualquer base e quaisquer dois

numeros, desde que existam os logaritmos envolvidos. Temos

entco mais uma propriedade dos logaritmos:

Demonsttaciio:

Consideramos logo ~ = q; logo M = m e

logo N = n.

DOl tiramos aq = M. am = Mean = N. Entoo:N'

aq = M = ~ = am- n

N an

Se aq = am - ". entdo q = m - n, ou se]c,

logo ~ = logo M - logo N.

ConciuSDa:

Numo mesmo bose, 0 logaritmo do quociente d e daisnumeros positivos e igual a dlferencc entre os logaritmos

desses nurneros.

Algebra (II

Caso particular: logo ~ = logo 1 --logo N =

= 0 - logo N = -logo N, ou se]o,

Exemplos:

• logs ( ~ ) = logs 2 - logs 3

• log2 (+ ) = log2 1 - log2 8 = 0 - 3 =-3

• log ( {O ) = log 7 - log 10 = log 7 - 1

3~propriedade: logaritmo

de urna potencio

Observemos que:

log2 73 = log2 (7 . 7 . 7) =

log2 7 + log2 7 + Iog2 7 =_3 . Iog2 7

3 parcelas

Entao:

T emos mais uma propriedade dos logaritmos, pois trata-

se de um fato que ocorre para qualquer base e qualquer po -

tencia sempre que existam os Iogaritmos envolvidos.

Demonsttociio:

Consideramos logo MN = r e logo M = m.

DOl tiramos: or = MN e am = M. Entao:

or = MN = (am)N= aNm

Se a' = aNm, entco r = Nm, ou se]o.

logo MN = N . logo M.

Conclosoo:

Numa mesma base, 0 Iogaritmo de uma potencio de

base positiva e igual 00 produto do expoente pelo logo-

ritmo do base do potencio.

Podemos aplicar essa propriedade no logaritmo de uma

raiz (quando existir):

1

logo MN =1

- . log MN 0

E x e m p l o s :

• Iog3 84 = 4 . 1093 8

• log 1 02 = 2 . log 10 = 2 . 1 = 2

• 109753 = 3 . 109751

• 1092 3,f4 = Iog2 (4)3 = + . log2 4 =+ 2 = . 1 . .3



_ _ _ _ _ - _ - _ . J ] 'f.te'·apitulo 7 Logaritmo e fun<;:60 lagaritmica-----------------~~--------~~--

~~ propriedade: mudonco de base

Observe:

• 09464 = 3, pois 43 = 64;

• 092 64 = 6, pois 26 = 64;

• og24 = 2, pols 22 = 4.

Como 3 = ~, podemos escrever:

Iog 2 64~64 = I 4

Og2

esse coso dizemos que houve uma rnudonco de base

-=s logaritmos (bases 4 e 2).

Vamos entoo provar que a relocoo verilicodo acontece

senpre, isto e, que se tem mais uma propriedode dos

::lgaritmos:

bNlogo N

paro N > 0, b > 0, a > 0; b * 1 elogo b '

= * 1Jemonstro<;:oo:

Consideramos 10gbN = p; logo N = q e logo b = r.

Dot tiramos: bp = N; aq = N e a' = b.

Fazendo substituicoes: N = aq = bp = (a')P = c'".

Se aq = c'P, entdo q = rp e dot p = _ g _ our

logo Nogb N = logo b .

one/usoo:

Como garon-fir que r * ' O?

Para escrever 0 10gbN usando logaritmos no base a,

'ealizamos a rnudonco de base:

I N - logo Nogb - I b

ogo

bservocoes:

Nessa propriedade de rnudcnco de base, fazendo N =a,

temos um coso importante:

logo a10gba = I b

ogo

Entoo podemos escrever que, quando existirem os loga-

ritmos envolvidos:

ou

Quondo exisfirem, 10gb0 e logo b serco numeros

inversos.

Exemplos:

log25• log7 5 = - . - - - : : . . . . _ _ , , = - (na base 2)

log27

log. 5log 7 (no base 10)

• logs 25 = 2 ¢:> log2s 5 = _1_2

3 4• 10gba = - - ¢:> log b = --. 4 a 3

2) Outra cplicocoo importante dessa propriedade e 0 uso emcalculadoras eletronicos, pois elas so possuem teclas para

calcular logaritmos no base 1 0 e no base e [vejc observa-

<;:00 do poqino 125).

N AO E SC RE VA N O L 1V RO .

Exercicio proposto

Escreva:

a) logs 8 usando logaritmos na base 4;

b) 0 valor de logy x sabendo que loq, y =

Quadros-resumo

2_13

Sempre que existirem os logaritmos envolvidos, teremos:

Oef in i<;:oode logoritmo

logo b = c ¢:> aC = b

Conse qiie nc io s d o d efin i< ;:a od e l og oritm o

P) logo 1 = 0 4!!) alagob = b

2!!) logo a = 1

3!!) logo an =n5!!) 10gba = 10gbc ¢:> a = c

P ro prie do de s o pe ro t6 rio s d os lo go ritm os

1 !!) logo (M . N) = logo M + logo N

2!!) logo ~ = logo M- logo N

logo ~ = -logo N

3!!) logo MN =N . logo M

logo N,JM = ~ . logo M

logo Nlogo b

I 1 b OU 10gba . logo b = 1oq,

4!!) 10gbN =

Exemplos:

1 2 ) Vamos determinar 0desenvolvimento logarftmico do ex-

pressco log ( Off ). 0que signifi-co desenvol-vimento loqo-ritmico?

log ( off) ~ log [ a ·c~-]- ) ~

1

log (a . b2 ) - log c3 =



[ Unidode

1

= log a + log b"2 - log C3 =

= log a + _1_ . log b - 3 . log c2

Logo, log ( o f f ) = log 0 + - + . log b - 3 . log c.

29) Dodos logo m = 11 e logo n = 6, qual e 0 valor de

logo (m3n2)?

logo (m3n2)= logo m3 + logo n2 =

= 3 . logo m + 2 . logo n = 3 . 1 1 + 2 . 6 = 45

Entdo, logo (m3n2)= 45.

39) Vamos calcular 0 valor do expressdo log3 5 . IOg2581.

log381log35 . log25 81 = log3 5· log3 25 =

log3 34

__ I~~. 4 __= log35 . ~....J .

log3Y 2·~

=..1.=22

49) Vamos provar que, para a E IR~,b E IR! e b * 1, temos

10gba = 10gb" an, para todo n E IR.

Consideramos 10gba = x e dar tiramos b" =a.

b' = a ~ (bx)n= an ~ (bn)X= an ~ logbn an = X

10gba = x e 10gb" an = X ~ 10gba = 10gb " an

Examplos:

• logs 7 = log2s 49

• log94 = log 1 (4)2 = log3 29'2

• log 5 = 10g1000125

• 10g113 = 109m J3


1 Determine 0 desenvolvimento Iogarrtmico das expressoes:

a) log ( 1t~h ) c) 109. ( a:~ )

b) log3 ( ~ ) d) log J J o e

1

Determine a expressco P sabendo que:

a) log P = 2 . log a + 5 . log b1

b) loq, P = loq, a - 210gx b

Sobendo que log a = 6 . log b, 2 . log b =log c e que

log c = 45, calcule 0 valor nurnerico 'do expressco

.

~10g1J~'NAo E SC REVA NO lI VRO.

1 Escreva usando logaritmos de base 10:

a) log25 c) log2 (x - 1)

b) loq, 2 d) log[x + 11(x - 3)

-;--;-----,-, ,------ ---Algebra III

Escreva no forma de um unico log:

a) logs 6 + 1095 1 1 C I 4 . log 3

b) log7 28 - log74

2 Sendo logo 2 = 20 e logo 5 = 30, calcule 0 valor de

logo 100.

Sendo loq, 2 = 0 e 109. 3 = b, calcule loq, VT2 err

[uncoo de a e b.

Dodos log 2 = a, log 3 = b e log 10 = 1, calcule

log 60.

CologaritmoDenomina-se cologaritmo de um numero N (N>0) numa

base a (0 > 0 e a * 1) 0 oposto do Iogaritmo do numero Nno base a ou 0 logoritmo do inverso de N no base a.

ou coloq, N 1= logo Noloq, N

Como provar que -1090 N = 1090 * ?x rcicios propostos--- -----

Pelo defini<;oo de cologaritmo, calcule:

a) colog2 8 c) COIOgl~0,001

b) colog3 (*) d) colog2 2J2

2 Se logx S = 2 . log. a + colog, b, determine 0

expressco S.

2 Se 1095x = 1 0 9 5 3 + coloq, 4, qual e 0 valor de x?

C61culo d e logaritmos

lntroducoo

Em Quimica, define-se 0 pH de uma solucco como 0

logaritmo decimal (base 10) do inverso do respectiva conce

treece de H30+ (ion hidroxonio}. 0 cerebro humano center-um liquido cu]o concentrocoo de H30+ e 4,8 . 10-8 mol!

(em media). Qual sera 0 pH desse Irquido?

De acordo com a dellnlcoo e os dodos do problema, temos

pH =Iog10 ( 4 8 .\ 0-8 ) =,

= 10glo 1 - log 10 (4,8· 10-8) =

= 10g1O1 - 10glo 4,8 - 10g1010-8 =

= 0 - log 10 4,8 - (-8) = 8 - log 10 4,8

Portanto, pH = 8 - Iog10 4,8 .

Para logoritmos como esse, existem tres formos de cclculc• com 0 ouxilio do calculadora;

• por meio de alguns Iogoritmos dodos;

• com a cplicccco de tabelas de valores (tabelas de loqc-

ritmos).

---------



CoJ:.!_tulo 7 logoritmo e Iu n c o o logoritmico

Com a difusoo do uso da calculadora, a utillzccoo das

ccelos de logaritmos hoje esto praticamente cbolldc.

a'emos a seguir os outros dais processos citados.

Colculodoro

Algumas calculadoras possuem duos teclcs com as

.saguintes[uncoes:

:cIa 1 f ' f o 9 I : permite calcular 0logaritmo decimal de um

-umer~inteiro ou decimal.

-ada ~: permite calcular 0 nurnero N quando se

conhece log N = x.

Usando essas teclcs, as

:. priedades dos logaritmos e

::.: uatro operocoes fundamen-

_ , e possive l realizar os se-

;_ es colculos:

~ log 36

dlqitc-se 36 - teclo-se

log 36 = 1,556303

- log 3j4,57

log 3j4,57 = + . log 4,57

Emalgumas colcu-

ladoras, para ab-ler log N digila-se

primeiro log e de-

pois N.

digita'se 4,57 - tecla-seog -

-+- 0,659916- divide-sa par 3 - 0,219972

log V4:57 =0,219972

- og2997

log 9971092 997 = (propriedade de mudoncc de

log 2

base)-

Usando a lecla og , cclculo-se

log 997 =2,998695 e log 2 =0,301030.

log· 997 = 2,998695 = 99614492 0 301030 '

_- agIO x = 0,72342

igita-se 0,72342 - tecla-se ~ -

- 5,289566

og 5,289566 =0,72342

_ =>odemostcrnbern resolver a problema do liquido cere-

oral que vimos na pcqino anterior: usando a calculado-

'a, obtemos log 4,8 =0,681241 .

Assirn, pH = 8 - 0,681241 =7,3

servccdo: Existem calculadoras com a teclo [!E], que-~....,' e calcular as logaritmos naturais dos nurneros

ec.s oositivos. Os Iogaritmos naturais rem a base e, ou sejo.

- • = loge X (Iogaritmo natural de x]. 0 nurnero e, base dos

- ::::J" mos noturois, e caracterizado pelo fato de que seu

:;::"trno natural e igual a 1, au se]c, en e = 1. 0 nurnero

e e lrroclonol. Um valor aproximado dessa importante cons-

tante e e = 2,7182818284. Os logaritmos naturais, de

base e, sao muito importantes nas opllcocoes.

Logoritmos dodos

A partir de um ou mais Iogaritmos dodos, podemos obter

o valor aproximado de uma infinidade de logaritmos, usando

as propriedades conhecidas. Por exernplo:

Dodos log 2 =0,30 e log 3 =0,48, podemos calcular:

• log 6 = log (2 . 3) = log 2 + log 3 =

=0,30 + 0,48 = 0,78

• log 30 = log (3 . 10) = log 3 + log 10=

= 0,48 + 1 = 1,48

• log 8 = log 23 = 3 . log 2 = 3 . 0,30 = 0;90

• log J3 = - + . log 3 = - + . 0,48 = 0,24

109 3 048• log2 3 = log 2 = 0,30 = 1,60

• Iog932 = log 32 = log 2

5= 5· log 2 =

log 9 log 32 2 . log 3

= 5·0,30 = . . .. l .2 Q _ = 1 56252·0,48 0,96 r

• 10932 = ~ = 0,625 (Neste caso, usamos a foto de

que 10932 e 10923 sao inversos.)

• 1098116 = 0,625 (logS1 16 = 1093'2l = 10932 = 0,625)

Exercic·OS propostos-----

2, Com a ouxilto de uma calculodora, use as teclas das

quatro operac;:6esfundamentais, a teclo log e a l O " para

obter os valores a seguir (coso nco tenha uma colculodo-

ra a disposicco, indique a roteiro para efetuar a cclculo]:

c] log 64,3

b) log 0,00196

c) log 0,0570

d) x tal que log x = 1,35

e) log 914

f) log 0,820

g) log J T 5 3 6

h) log3 38

i) log5 J3

j) log2 10

I) x = sJ429

m ) x = V7n) x = 34,27

Em I, men calculamos log x e depois x.

o pH de uma solucco e a logaritmo decimal do inverso

do concentrocoo de H30+. Qual e a pH de uma solu-

ceo cuja concentrocoo de H30+ e 4,5 ' 10-5 mol! e ?



Uniclade 1

(PUC-SP) Uma calculadora eletronico possui as teclcs

das quatro operccoes fundamentais e as teclos lO",

log 10e loge. Como se pode obter 0valor de e usando as

func;:6esdo calculadora?

3 Dodos log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, quanto vale:

a) log 5 f) log 72

b) log 20 g) log 0,006c) log 0,0002 h) log 14,4

d) log 30000 i) log 7,5

e) log 500 j) log 250

~ Dodos log 2 = 0,30, log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70, cal-

cule, com oproxlmccco de duos casas decimais e usan-

do mudanc;:a de base, os logaritmos:

a) Iog2 12 c) logs 9

b) logs 3 d) Iogloo 5

3 (UFMG) Dodos log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477, calcule

log Va2b quando a = 2 e b = 3.

(Mack-SP) Dodos log 4 = 0,60206 e

log 6 = 077815 calcule log . 1 6 000 . 0,64" 5 , . j 216

(FEI-SP)Qual eo Iogaritmo decimal de loJ 3 200 , dado

log 2 = 0,301?

Aplicocdo dos logoritmos no resolucdo

de equocoes exponenciois

e de problemas

Exemplos:

12) Dodos log 2 = 0,30, log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70,

vornos resolver a equccoo 52x - 7 . SX+ 12 = 0.

yx - 7 . SX+ 12 = ° => ( S X ) 2 - 7(5X) + 12 = °Fazendo SX= y, temos:

y2- 7y + 12 = °~ = (_7)2 - 4( 1)(12) = 1

y' = 4 e 'I' = 3

Dol:

• 5x = 4 => log 5x = log 4 => log SX= log 22 =>

=> X . log 5 = 2 . log 2 =>

= 2· log 2 = 0,60 = ° 86=> x log 5 0,70 '

• 5' = 3 => log SX = log 3 => x . log 5 = log 3 =>

_ log 3 _ 0,48 _=> x - log 5 - 0,70 - 0,69

S = {0,69; 0,86}

22) Sabemos que 0 nurnero de bccterics numa cultura, de-

pois de um tempo t. e dado por N = No . e", em que

No e 0nurnero inicial (quando t =0) ere a taxa de cres-

cimento relativa. Em quanto tempo 0nurnero de bocterics

dobrcro se a taxa de crescimento continuo e de 5% 00

minuto?

Algebra (I )

Pelos dodos do problema, a

pergunta e: em quanto tempo

N = 2No?

Se a taxa e de

5% 00minuto, 0

tempo t e dado

em minutos.Assim, temos:

N = No . erl => 2»«0 =,)10 . eO,OSt=> 2 = eO,051=>

=> en 2 = en eO,051=> en 2 = ° 05t· en e =>, ~

1

=> en 2 = 0,05t => t = 6~~,

Calculando en 2 obtemos en 2 = 0,6931; portanto:

t = 0,6931 = 13,8 min = 13 min e 180 min =0,05

= 13 min 48 s.

onurnero de bocterics dobro ro

em 13 minutos e 48 segundos.

o tempo nco

depende do n C r

mere inicial debocterlos.

3e ) Em quantos anos 500 g de uma substonclo radioativc

que se desintegra a uma taxa de 3% 00 ano, se reduz-

roo a 100 g? Use Q = Qo . e-r, em que Q e a masse

do substcncio, rea taxa e teo tempo em anos.

Sabemos que:

Q = Qo' e-rt => 100 = 500 . e-O,031

que e equivalente a:

+ = e-O,031=>en ( + ) = en e-O,031=>

=> en 1 - en 5 = -0,03t· en e =>...___,..._., '--v---

° 1=> -en 5 = -0,03t =>

=> t = ~ = 1,6094 =53,6 anos0,03 0,03

42) Situccco-problerno do introducco do capitulo:

"No America Latina, a populocoo cresce a uma taxa ce

3% 00 ano, aproximadamente. Em quantos anos s c

populccco vai dobrar se a taxa de crescimento continue'

a mesma?"

Populocoo do ano-base = Po

Populocco opes um ana = Pol1,03) = Pl

Populccoo cpos do is anos = Poll ,03)2 = P2

Populocoo opes x anos = Pol1 ,03)X = P,

Supondo que a populocco dobroro em relccco 00a c-

base opes x enos, temos:

Px = 2Po ¢:> l o ( 1,03)X = ?fo ¢:> (1 ,03)X = 2

Aplicando loqoritrnos. temos:

log (1 ,03)X = log 2 ¢:> x . log 1,03 = log 2 ¢:>

¢:> x = log 2 = 0,30103 = 23

log 1,03 0,01284

A populocoo dobroro em 23 anos aproximadamente.

Em que ano, aproximadamente, 0 populccoo do Ame--

co Latina sera a dobra do de 1990?



Capitulo 7 Logoritmo e Func c o logoritmico

Exercicios

Dodos log 2 = 0,30, log 3 = 0,48, log 5 = 0,70 e

log e = 0,43, resolva as equccoes:

a) 2x = 5 c ) 5x = e

b) e X = 3 d) e X - 6 = °e) 3X = 10

f ) eX= 15

Calcule (cam duos casas decimciis) 0 valor de x queverihcc a equocco 3 . 2X= 10, dodos log 2 = 0,30 e

log 3 = 0,48.

Dodos log 5 =0,70 e log 3 =0,48, calcule 0 valor de

x no equocco (0,3)X = 1,5.

Se log 2 = 0,30 e log e = 0,43, resolva a equccoo

8x- 2e =0.

Dodos log 2 =0,30 e log 3 =0,48, resolva a equocco

32x - 5 . 3x + 6 = O.

Determine 0valor de x que verilico a equocco

(1, 12)X= 3, sendo dodos log 2 = 0,30, log 3 = 0,48e log 7 = 0,85.

Resolva a equccoo e2x- 3 . eX+ 2 = 0, dodos log 2 =

0,30 e log e = 0,43.

';:;-0 os exercicios 42 a 44 usea formula Q =Qo ' e-rl, no qual

representc a massa do substcncio, r representa a taxa e t

- esenta 0 tempo.

Uma substcncio radioativa se desintegra a uma taxa de

8% 00 ano. Em quantos anos 50 g dessa substcncio se

reduziroo a 5 g?

Num loborotorlo, uma pessoa veriiico que a taxa de cres-cimento relativo continuo de bocterios numa cultura e de

2,5% por minuto. Nessas condicoes, em quantos minutos

o nurnero de bocterios possoro de 4000 para 6000?

Calcule a meia-vida de uma substcncio radioativa que se

desintegra a uma toxo de 4% ao ano. (Lembre-se: meier

vida e 0 tempo que deve decorrer para que, em certo

omento, metade dos ctornos de uma substcnclo rcdioo-

vo se desintegre.)

IFuvest-SP)A intensidade I de um terremoto, medida no

escala Richter, e um nurnero que varia de I = 0 ate

= 8,9 para 0maior terremoto conhecido. I e dado pe-formula: 2 E

1= -Ioglo-3 Eo

a qual E e a energia l ibercdo no terremoto em

uilowott-horo e Eo = 7 . 10-3 kWh.

} Qual e a energia liberodo num terremoto de intensi-

dade 8 no escala Richter?

0 ) Aumentando de uma unidade a intensidade do terre-

mota, par quanta fica multiplicada a energia liberada?

expressco M = A( 1 + 1)"nos permite calcular a montante

, resultante da opllcoccc do capital A, a [orcs compos-"os, a taxa anual i, 00 completer um perlodo de n anos.

essas condlcces, se 0 capital de R$ 800000,00 for

oollcodo c juros compostos e 6 taxa anual de 12%, ap6s

c onto tempo do opllcoceo seroo obtidos [uros no valor

_9 R$ 700000,OO?

Uma pessao deposita uma quantia em caderneta de

poupcnco 6 taxa de 2% 00 meso Em quantos meses a

quantia depositada triplica?

Uma pessoa coloca R$ 1000,00 num fundo de oplico-

<;:00que rende, em media, 1,5% a.m. Em quantos meses

essa pessoa tero no minima R$ 1300,00? Use uma cal-

culadora para fazer as colculos.

Um corte a de credito cobra juros de 9% a.m. sobre 0

saldo devedor. Um usuorio desse cortoo tem um soldo

devedor de R$ 505,00. Em quanta tempo essa divide

cheqoro a R$ 600,00 se nco for paga?

(Dodos: log 2 = 0,3; log 3 = 0,48; log 1,01 = 0,004;

log 1,09 = 0,038.)

Funcdo loqcritmico

No capitulo anterior estudamos a Iuncoo exponencial.

Para todo numero real positivo a i= 1, a Iuncoo exponencial

f: IR -- IR: dada por fix) = o" e uma correspondencio biuni-

voca entre IR e IR:. Ela e

crescente se a > 1, decres-

cente se ° < a < 1 e tem a

seguinte propriedade:

f(xl + X2)= f(xd . f(x2), ou se-

Dizer que f i x ) e uma

correspondenclo biu-

nivoca e 0mesmo

que dizer que f euma Iuncoo bijeliva.

Essas considerocoes garantem que f possui uma Iuncoo

inversa.

Delinicdo d o fUn900 l o g o r i t m i c o

A inversa da fun<;:aoexponencial de base a e a fun<;:ao

logo: IR: -- IR, que associa a coda nurnero real positivo x 0

nurnero real logo x, chamado logaritmo de x na base a, com

a real positivo e a i = 1.

Observe que f: IR - IR:, dada par fix) = c", tem a pro-

priedade f(xl + X2)= f(xd . f(X2),ou se]c, aX,+ "2= aX,. 0"2.

A sua inversa g: IR: -+IR, dada por g(x) = logo x, tem a pro-

priedade logo (Xl' X2)= logo Xl + logo x2'

I R I R :

Dominio do fun<;ao logaritmica: IR:

Imagem da fun900 loqorltmlco: IR

Como a funcec logaritmica e a inversa da fun900

exponencial, temos:

log xa 0 = x e logo (aX)= x, para todo x E IR

Assim, logo x e 0 expoente ao qual 59 deve elevar a base

a para obter 0 nurnero x, ou sejc, y = logo x ~ aY =x, como

i6 vimos.



As func;:6es logarrtmicas mais usadas sao aquelas cu]o

base a e maior do que 1; portlculcrrnente. as de base 10

(Iogaritmos decirnois}, as de base 2 (Iogaritmos binorios] e as

de base e (Iogaritmos naturais).

Sao exemplos de funcoo logarrtmica as funcoes de IR~

em IR definidas por:

• f(x) = log2 x • h(x) = loge X = en x

• g(x) = IoglO X = log x • i(x) = log I X4"

Exerclcios propostos-----

As func;:6eslogarrtmicas f e 9 sao dadas por

f(x) = log3 x e g(x) = log4 x. Determine:

a) f (9) e) Im(f)

b) g(l) f) x tal que g(x) =4

c) g(4) g) f (27) + g( 1 6)

d) D ( f) h ) f-l(l )

Dados f(x) = log3 (x + 1 L g(x) = 4 + log2 x e

h(x) = log 2xI determine:

a) f (2 )

b) g (2 )

c) h(50 )

d ) g(l)

e) f (26)

f ) g(J2)

Gr6fico do func;oo logorHmico

Observe os seguintes graficos de func;:6eslogaritmicas:

f(x) = log2 x

x y = f ( x )

1-2

""4

1-1

"2

1 0

2 1

4 2

y

f (x ) = log2 X

x

Algebra ( I)

f(x) = log I X2"

x y = f I x )

12

""4

11

"2

1 0

2 -1

4 -2

x

f (x ) = log , x

"2

Os gr6fieos de y = loq, x e y = 10gb XI com a > 1 e

0< b < 1 quaisquer, tem0mesmo aspecto dos gr6fi"

cos oeimo, respeetivomente.

Como consequencio da delinicdo de Iuncco logorrtmica

e do analise dos graficos, podemos concluir que:

. • 0grafico do func;:oo Iogarrtmica passa pelo ponto ( 1 1 O L

ou sejc, f( 1) = 01 oU I olndo. logo 1 = 0;

• 0grafico nunca toca 0eixo y e nco ocupo pontos dos qua"

drantes )1 e III;

• quando a > 1 1 a [uncco logaritmica e crescente(Xl > X2 ¢:> logo Xl > logo X 2 ) ;

• quando 0 < a < 1 1 a luncoc logaritmica e decrescente

(Xl> X2 ¢:> logo x, < logo X2);

• somente nurneros positivos possuem Iogaritmo reel, pols a

funcoo x --+ o " assume somente valores positivos;

• se a > 1 1 os numeros maiores do que 1 tem logaritmo po-

sitivo e os nurneros compreendidos entre 0 e 1 lem

logaritmo negativo;

• se 0 < a < 1 1 os nurneros maiores do que 1 tem logaritmo

negativo e os nurneros cornpreendidos entre 0 e 1 tern

logaritmo positivo;

• a func;:ooIogaritmica e illmiiodc, superior e inferiormente.

No caso de a > 1 ser iii" No coso de a > 1,0que signifieo ser ilirni-

todo inferiormente?mitada superiormente sig"

nilicc que se pode dar a

logo x um valor too grande quanto se queirc, desde que

tomemos x suficientemente grande;



;;0 eontr6rio da funcoo exponeneiol f(x) = c" eom a > 1,

::_8 eresee rapidomente, a funcoo Iogarltmieo logo x eom

::> 1 eresee muito lentamente. Vejo, por exemplo, que, se

:::g ° x = 1 000, entoo x = 101000. Assim, se quisermos

::ye log 10 x seja maior do que 1000, ser6 preciso tomor um

-:..!lero x que tenha pelo menos 1001 algarismos;

c ( ncco logarftmica

einjetiva, pois nurneros positivos

crerentes tem Iogaritmos diferentes.' Ela e lornbern sobrejeti-

o, pois, dado qualquer nurnero real b. existe sempre um

:"!lico nurnero real positivo x tal que logo x = b. Portanto, ela

;,.bijetiva (h6 uma correspondencio biunivoca entre IR! e IR).


Construa os gr6ficos das func;oes logaritmicas e conhrrne

neles as conclusoes obtidas:

0) fIx) = Iog3 X

b) fIx) = log2 ( ; )

c) fIx) = log 1 X

"3

d) fIx) = log2 (x - 1)

Observando a base, identilique as seguintes func;oes

como crescentes ou decrescentes:

a) fIx) = log3 x d) f(x) = logo.5 x

b) fIx) = log2 x e) fIx) = log_l_ x4

e) fIx) = Iog1 .2 X f) f(x) = logo, 1 X

Uma relocdo importante

No capitulo 2, vimos que os gr6ficos de duos func;6es in-

.ersos soc simetricos em relccoo 6 reta y = x (bissetriz dos

ouadrantes I e 111).Observe a seguir os gr6ficos das Iuncoes

. versos fIx) = o" e g(x) = logo x:

y

f ( x ) = 2 X

Observe no gr6fico (a > 1) como a func;:60exponen-

cial cresce rapidamente, enquanto a funcoo Iogoritmi-co cresce muito lentomente.

·fa.y

bissetrlz4

,,,,,,,,

x

-2 -1 ,,' 0

-1,,

-2g(x) = IO gl X

2<a<1

Escrevo os coordenadas de alguns pontos sirnetricos emcoda um dos gr6ficos.

NAo ESCREVA NO LlVRO.

Exercicio propos 0

Construa no mesmo sistema de eixos os gr6ficos de

fIx) = 3 < e g(x) = Iog3 x.

Uma propriedade importante

Duos [uncoes logarftmicas quaisquer s60 sempre pro-

poreionais.

Detnonsttocoo:

Dodos as luncoes Iogarftmicas fIx) = logo x e

g(x) 10gb xg(x) = 10gbx, temos que -f-( -) = I = logo b. isto e ,

x ogo x

g(x) = :logo ~I • fIx) = > g(x) = k . fIx)... ~- . .!k

Logo, a constante de proporcionalidade e dada por

k = logo b.

Observocdo: Essa propriedade expllco por que, dodos a e b

positivos e diferentes de 1, os gr6ficos de 1090x e 10gbx sao

obtldos, um a partir do outro, multiplieando todas as ordena-

das por uma constante.

Vejcrnos um exemplo tomando as Iuncces f(x) = log2 x e

g(x) = log8 x.

Observe que:

• log2 x = 1 -+ x = 2 -+ log8 X = -}

• log2 X = 2 -+ x = 4 -+ log8 X = ~

• log2 X = 3 -+ x = 8 -+ 10gBX =



Unidade

Dobrando Iog2 x (de 1 para 2), dobrou tornbem logs x

(de -} para ~ ). Triplicando log2 x (de 1 para 3), triplicou

tornbern logs x (de -} para ~ = 1), e assim por diante.

Alern disso, temos 1 = 3 . -}, 2 = 3· ~,

3 = 3· ~, e assim por diorite, ou seja,

log2 x = ')~Ilogs x, ou ainda,!

k (constante de proporcionolidcde]

log2 X = : IOg2 ~I' logs x

1k (constante de proporcionalidade)

Observe que, multiplicando as ordenadas de logs x pelaconstante 3, obtemos as ordenadas de log2 x.

l o g 2X

X Y

1-1

2

1 0

2 1

4 2

l o g a x

x y

1 - 1

2 "3

1 0

21

"3

4 2"3

y

2 - - - - - - - :- - - - - - ~ --, /,, ,

1 -----~,------~----------,

8 93 -2 34567

-2

Corocterizccdo das funcoes

logaritmicas

Como saber se para resolver um determinado problema

devemos usar 0 modelo dado pelas func;:6es10garHmicas?

A resposta e : quando estivermos diante de uma funcco

f: IR~ -- IR, crescente ou decrescente tal que

f(xi . X2)= f(xd + f(X2)para quaisquer XI, X2E IR~. Pois, neste

coso, e posslvel provar que existe a > 0 tal que fIx) = logo x

para todo x E IR~.

x

Algebra III

ID Equocoes logarHmicas

Vamos agora estudar as equac;:6eslogarltmicas, ou seja,

aquelas nos quais a incognita est6 envolvido no logaritmando

ou no base do logaritmo, como estas:

• Iog3 x = 5

• log2 (x + 1) + log2 (x - 1) = 1

• loq, _ I3 = 2

• 2 . log x = log 2x - log 3

Exemplos:

12)Vamos resolver a equocco log2 [x - 3) + Iog2 X = 2.

• condicco de existencio: x - 3 > 0 ex> 0 =>

=>x>3 e x>0=>x>3

• he dois modos diferentes de resolucco:

I ) log2 [x - 3) + log2 X = 2 => log2 [[x - 3)x] = 2

Usando a delinlccc de logaritmo:

(x - 3)x = 22 => x2 - 3x - 4 = 0

~ = 9 + 16 = 25

x' = 4 e x " = -1

ou

II ) log2 ( x - 3) + Iog2 X = log2 22 =>

=> log2 [ ( x - 3)x] = Iog2 4

Usando 0 fato de que a funcdo Iogaritmica e lnle-

tiva:(x - 3 ) x = 4 => x2 - 3x - 4 = 0

~= 25

x' = 4 e x"= -1

• verlhcocoo: como a condtcco de existencio ex> 3,

entoo 4 ESe - 1 r t . S

S = {4 }

22) Vamos resolver a equccoo

logro x - 3 . 10glOX + 2 = O.

• condicco de exlstenclo: x> 0

• a equocoo pode ser escrita no

forma (log10 xj2 - 3 . 10g10X + 2 = 0

Fazendo 10glOx = y, temos:

l- 3y + 2 =0

.l=l

y' = 2 e Y ' = 1

Como 10glOx .; y, entco

log2 x noo po -

de ser con-.... 1iIIIi' fundido com

lo g x2 .

J log 10 X

1 log 10 X

2 => 102 X => X = 100

1 =>101 =x=>x= 10

• verilicocoo: 100 > 0 e 10> O. Logo, 100 ESe

10 ES.

S={lO,lOO}



Capitulo 7 Logoritmo e fun~6~ogorltmico-----

I,ll


; .e s olv a a s equc coes :

= - .09x 36 = 2

: : : log 1 (x - 2 ) = -3"2

e ) log2 ( x 2 + X + 2 ) = 3

d ) log 2 [log3 (x - 1 )] = 2

Colcule x sabe nd o que :

~ 2 1 0 9 2 1 x+1 = 3

e so lv a a s s eg uin te s equccoes:

0 ) log fo (x + 1 ) - 1 0 g IO ( x + 1 ) = 0

: : J ) log3 [7 + log9 (x - 1)] = 2

c) log~ x - 4 . log s x + 3 = 0

0) 10g10 ( x + 4) + 1 0g 10 (x - 4) = 2 . 1 0 g 1 0 3

aek -SP )Se Iog1 0 m = 2 - Io g1 0 4, d ete rm in e 0 va lo r d e

m ( Iembra r: 2 = IoglO 102 ) .

istemas de equocoes logarHmicas6 siste mas d e equocoes q ue s ao re so lv id os a plie an do -

.- as p ro prie d ad e s o pe ra t6 ria s d os lo ga rit mo s.

- emplo:

V am os re so lve r 0 siste ma d e equocoes

0910 x - log 10 y = 10g1O2

x-y = 16

• condicoes de exislencio: x> 0 e y> 0

• preporocco d o sis tem a:

oglO x - 1 0 g1 0 Y = Iog1 0 2 => 1 0 g IO ( ~ ) = Iog1 0 2 =>

=> . 2 5 . . . . = 2 => x = 2 yy

4 X- y = 16 => 4 x

- y = 42 => X - Y :;:: 2

• re solve nd o 0 sisterno;

{X = 2 y => 2 y - y = 2 => y = 2x - y = 2

x = 2 y => x = 2 (2 ) => x = 4

• verlhcocco: x = 4 > 0 e y = 2 > 0

Logo, S = {(4, 2 lJ .


Reso lv a o s s is temas d e equccces:

0 ) {loglO X - log 1 0 Y = 10g IO 3

x + 2 y :;;: 1 5

b) {lO g 10 X + log lOY = 2 NA o ESCREVANO L IVRO .

x + y = 20

Se jam x , y E IR ta l que { X I + y = 710 3 .og 10 X + ag lOY =

Calcule 0 valor de x 2 + y2 .

II Inequac;6es logarrtmicasV ejam os alg uns e xe mplos d e inequccoes lo ga rit mie as e

suas resolucoes:

a) log2 (x + 1) > Iog 2 6

b) log3 X + log3 ( x - 8) < 2

c ) log49 2 x - log49 3 ~ log7 X + log49 2

a) log2 ( x + 1) > log2 6

• condicco de exislencio: x + 1 > 0 => x> -1 C D• base a = 2 (a > 1 ) - a Iuncoo e c re sc e nt e e , p ort an -

to , rnontern-se 0 se ntid o d o d esig ua ld ad e:

log 2 (x + 1 ) > log2 6 => x + 1 > 6 => x > 5 ®• quad ro de resolucco (a s condlcoes C D e ® devem

se r sa ti sf e it as s imu lt aneamen te ) :

-1

C D - - ~ ~ - - - - - - - - - - - - - - ~

d D - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - -5 :I

S - - - - - - - - - - - - - - - 0 - - - - - - - .5

Po rt an to , S = { x E IR 1 x > 5 } .

b) log3 X + log3 ( x - 8) < 2

• condicoo de existencic: x > 0 e x - 8 > 0 =>

=>x >o e x>8=>x >8 C DComo 2 = Io g3 3 2 , a inequocoo p od e se r e sc rita a ssim :

log 3 x + Io g3 (x - 8) < Io g3 9.

• base a = 3 (0 > 1) - rnontern-se 0 sentido do desi-

gua ldade :

log 3 x + log3 (x - 8) < log3 9 =>

=> 1 09 3 [xIx - 8)] < 1 0 9 3 9 =>

=> x (x - 8) < 9 =>

=> x2 - 8x - 9 < 0 + x

A = 100

x' =9 e x" = -1

®1 <x<9

• quad ro de resolucco:

8C D - - - - - - - - ~ - - - - - - - - - - -

I

®-o--~-1 ::9

I I

S - - -- - -- - -- ~ ~~ - -- - -- .8 9

Po rt an to , S = {x E IR I 8 < x < 9},

c) Io g49 2 x - Iog49 3 ~ log7 X + log49 2

• condicco de exls tsnclo: 2x> 0 ex> 0 = > x> 0

P ara que t o do s os logaritmos tenham a mesma base ,

p od emos s ub st lt uir lo g7 x p or lo g4 9 x2• A lnequccco f ica

csslrn:

log49 2x - log49 3 ~ lo g4 9 x 2 + log49 2 = >

= > log49 2 3x

~ Io g49 ( 2 x 2) = >



I@. Unidade 1

~ 2x ;:. 2x2 ~

3

~ 6x2 - 2x ~ 0

X' = 0 e x" = _1_3

+ + x

a 1

"3

Construa 0 quodro de resolucco para confirmor a res-

posta.

• verihcocoo: x > 0 e 0 ~ x :s; _1_ ~3

Portanto, S = {x E IR 10 < x ~ + } .

1O<x~ -

3


Resolva as inequac;:6es abaixo:

a) log 1 (3 - x) - log 1 2 > log 1 X

"2 "2"2

b) log 1 (x - 1) ;;,: Iog3 4"" 3

c) log3 (log2 x) > 0

d) loq, 2 > log5 2

e) log 1 (log2 x) > 0"" 3

(Mack-SP) Quais os valores reais de x que verilicorn a

equccoo -log 1 (x2 - 8) ;;, : O?"2

Determine os valores reais de x que satisfazem:

a) 2 10910 [x - 4) > 1

b) IloglO xl < 1

c) log 1 (x2 - 2x) ;;,: - 1"" 3

Usc das inequocoes Icgaritmicas

Veiornos alguns exemplos de opllcocco das inequac;:6es

logarftmicas.

1Q ) Vamos caleular para que valores reais de x e definida a

func;:60 fIx) = 10glO [Iog+ (x2

- x + 1)J.

Para que essa funcec sejo definida, e neeess6rio que

log 1 ( x 2 - X + 1) > O. Entao, devemos resolver essa ine-T

cuccco.

Como 0 = log 1 1 , a inequccco pode ser escrita assim:T

109+ (x 2 - x + 1 ) > 109+ 1

• condlcces de exlstencic:

x 2 - x + 1 > 0

~ = -3(nco tem ze-

ros reais)

+++++++++ x

Como a> 0 e ~ < 0, a condlcco se verlllcc para todo

x real. C D

Algebra III

• base a = +desigualdade:

x2 - x + 1 < 1 ~

(0 < a < 1) --> troca-se 0 senfido do

+~+:

O<x<l ®

~ x2 - X < 0

~=1

x' = 1 e x" = 0

• quadro de resolucoo:

CD-----------

QD---~~----_o---------0: 1 :, ,

sa

Logo, S = D(f) = {x E IR I 0 < x < 1}.

2 Q ) Vamos determinar os valores de k para que a equocoo

x2 - 2x + 10g10 (k - 2) = 0 admita roizes reois dile-

rentes.Para que a equocco cdrnito raizes reais diferentes, deve-

mos ter 6. > 0, ou sejo:

(- 2)2 - 4( 1 ) . log 10 (k - 2) > 0 ~

~ 4 - 4 . log 10 (k - 2) > 0 ~

~ -4.10glO (k - 2) > -4~

~ 4 . 10g10(k - 2) <4 ~ IoglO (k - 2) < 1

Portanto, temos de resolver a inequccoo:

log 10 (k - 2 ) < 1 ou 10g10(k - 2 ) < 10glo 10

• condicco de existencio: k - 2 > 0 ~ k»2 C D• base a

=10 (a > 1 ) --> rnontern-se 0 sentido da desi-

gualdade: k - 2 < 10 ~ k < 12 ®• quadro de resolucco:

2C D ~ ' - - - _ - - - - - -

,

QD--~------------~----12:

S - - - 0 - - - - - - - - - - - - - - - 0 - - - - - -2 12

Logo 1 S = {k E IR I 2 < k < 12} .


Para que valores reais de x e dehnldo a func;:ao

f(xl = IoglO [Iog+ (x + llJ?

(Faap,SPl Determine os valores de a para que a equccoo

x2 - 2x - 10910a = 0 admita rolzes reais.

Determine os valores de k para que a equccco

x2 - 2x + 109\0 (k 2 - 3k) = 0 admita ralzes reais e

dllerentes.

Explicite 0domlnio do funceo

f(xl = 1)1098 X - 1092 5 .



Capitulo 7 I.d

Outros oplicocoesdo func;ao logarHm ica

e dos logaritmos

~::; a asexercicios

68 a 72 em equipe.nilor-Cf] 0 nurnero de bccterios numa certa culturo

cuplico a coda here. Se, num determinado inslonte, a

culture tem mil bccterios, dci o quonto tempo, aproximo-

oomente, a cultura tero um mtlhco de bocterlosf Consi-

oeror log 2 = 0,3.

) 2 horos c) 5 horos e) 100 horos

0 ) 3 horos d) 10 horas

ock-SP)0 volume de um liquido volot l l diminui 2 0% par

oro. Ap6s um tempo I,seu volume se reduz a metade. 0valor que mais se aproximo de 1e: (Use log 2 = 0,30.)

0) 2 he 30 min. c) 3 h. e) 4 h.b) 2 h. d) 3 he 24 min.

(Vunesp) Os bi61ogos dizem que ho uma o/ometrio entre

duos vorioveis, x e y, quando e possive] determinor duos

constantes, c e k, de maneira que y = ex'. Nos cosos de

olometrio, pode ser conveniente determinor c e k par meio

de dados experimentais. Consideremos uma experiencio

hipotetico no qual se obtiveram os dodos do tobela:

x y

2 16

20 40

Nota histOrica

No inicio do seculo XVII, os colculos envolvidos nos as-

- tos de Astronomia e Noveqccoo eram Iongos e trabalho-

50S. Para sirnplillcor esses cclculos, surgiram nessa epoco as

orimelros tabuas de Iogaritmos, inventadas independentemen-

ospor jest Burgi ( 1 552 -1632 ) e John Napier (1 550 -1 61 7) .

.ego depois, Henry Briggs ( 1 561 -1631 ) aperfeic;:oou essas

-6buas, apresentando os logaritmos decimais.

A principal confrlbulcco dos logaritmos para facilitar

cs c61culos foi a de transformar as operocces de multipllco-

c;:aoem adic;:ao e de divisao em subtrocoo, 00 estudar as pro-

oriedades operat6rias:

logo (x . y i = logo x + logo y

logoL= logo x - logo yy

Essas descobertas aumentaram multo a capaeidade

de cclculo nurnerlco dos que estavam envolvidos em

Astronomia e Navegac;:ao. Dlzlo-se na epoca que a inven-

ceo dos logaritmos "duplieou" a vida dos cstronomos. oluscc

00 fato de que a trabalho de e61culo diminuira tanto com a

trcduceo dos logarltmos, que as astronomos poderiam pro-

Supondo que hc]o uma relccco de alometria entre x e

ye considerando 10glO 2 = 0,301, determine 0 valor

de k.

7 . (FGV-SP)0 cnuncio de certo produto aparece dioriamente

num certo horcrio no televlsco. Ap6s t dies do lnicio da

exposicoo (I exposicoes dlorlos). 0 nurnero de pessoas

(y) que fica conhecendo 0 produto e dado pory = 3 - 3(0,95)', em que y e dado em milhoes de pes-

soas.

0) Para que valores de Ieremos pelo menos 1 ,2 rn ilh d o

de pessoas conhecendo 0 produto?

b) Fccc 0grafico de y em [uncco de I.

I .....Cesgranrio-RJ) As indicocoes R l e R 2, na escala Richter,

de do is terremotos estoo relacionadas pela f6rmula

R1 - R 2 = log 1 0 ( ~ ~ ) . em que M l e M 2 medem a ener-

gia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas que

se propagam pela crosta terrestre. Houve dois terremotos:

um correspondente a R \ = 8 e outre correspondente a

R 2 = 6 . A rozoo M J e:M2

a) 2.

b) log2 10..

c) ~3

d ) 102

e ) 10glO ( i ) .

ATE NCAO ! A s q ue st 5e s d e v es ti bu la rt or am

t ra ns cr it as li te ra lm e nt e. Embo ra em a lg umas '

a pa rs ca : " As si na ls ", " ln dlq ue ". e tc .,

n ao e scre va no livro . T od as as re spostas

d ev em s er d ad as n o c ad ern o.

duzir 0 equivalente 00 que produziriam anles, se pudessem

viver duos vidas. Posteriormente, surgiram as reguas de cal-

culo, baseadas nessas propriedades dos logoritmos. Hoje,

com 0advento das calculadoras e microcomputadores, elas

coircm em desuso.

L o ga ritm o s e fun~oes l o g ar i t m i cas

Vorlos conceitos b6sicos da Matem6tiea, eriados para

atender a certas neeessidades e resolver problemas especlil-

cos, revelaram posteriormente uma utilidade bem mais ampla

do que a inicialmente pensada e vieram, com a evolucco das

ideias e 0desenvolvimento das teorias, a adquirir uma posl-

c;:oodefinitive de grande relevancia nessa clsncto: Emalguns

casas, a utilidade original fol, com a tempo, superada por no'

vas teenieas, mas a relevanc1a te6rica se manteve. [ ... J

OS logaritmos foram inventados no lnicto do seculo

XVII a fim de stmpllhcor as trabalhosas operocoes orl tmst lccs

dos cslrcnomos para a eloborcccc de tabelos de navegac;:ao.



c_- Unidode

Com efeito, a regra log (xy) = log x + log y e suas

consequencios, tais como

log ( ~ ) = log x - log v , log (xn) = n . log x,

log r i fX = log x, permitem reduzir cada operccoo arit-n

rnetico (exceto, naturalmente, a odlcoo e a subtrocco) a uma

operocco mais simples, efetuada com os logaritmos. Essamaravilhosa utilidade protico dos logaritmos perdurou ate re-

centements, quando foi vastamente superada pelo uso das

calculadoras eletroniccs.

A funcoo logaritmica, entretanto, juntamente com sua

inverse, a [uncdo exponencial, permanece como uma das

mais importantes na Matemotica, por uma serle de rczoes

que vdo muito olern da sua utilidade como instrumento de col-

culo oritrnetico. [ . .. J

Resumindo: um rnoterncttco ou cstronomo do seculo

X V I I achava os logaritmos importantes porque eles Ihe perm i-

tiam efetuar c61culos com rapidez e eliclencio. Um matem6-tico de hoje acha que a func;:oo logaritmica e sua inverse, a

func;:ooexponencial, ocupam uma poslcco central na Anolise

Matem6tica por causa de suas propriedades funcionais, es-

pecialmente a equocco diferencial x' = c . x, que descreve

a evolucoo de grandezas que, em cada instante, sofrem uma

voriocdo proporcional ao valor naquele instante. Exemplos

de grandezas com essa propriedade sco um capital empre-

gada a juros compostos, uma populocco (de animais ou bac-

terics], a radioatividade de uma substcncic, ou um capital

que sofre desconto. [ . .. J

Exlrcldo de l iMA, Elan Loges. Me u p ro fe sso r d e M ate m6 tic a e

outras his tor ias . Rio de Janeiro, IMPA-Vilae, 1991. p. 28-30 passim.

A lei de Weber e as escalas de Fechner

A lei de Weber (ErnstHeinrich Weber, 1795-1878,

fisiologista olerndo] para resposta de seres humanos a estimu-

los fislcos declara que diferencos marcantes na resposta a

um estimulo ocarrem para voriocoes da intensidade do esti-

mulo proporcicinais ao pr6prio estimulo. Por exernplo, um ho-mem que sai de um ambiente iluminado para outre s6 perce-

be uma vorlccdo da luminosidade se esta for superior a 2%;

s6 distingue entre solucoes salinas se a voriocoo da salinida-

de for superior a 25%; etc ...

E rn st H e in ri ch We be r(1795-1878)

Jlgebra ( I )- - - - - - - - - - - - - - - - -

Fechner (Gustav Theodor Fechner, 1801-1887, Iisico

e Hlosclo olemco) propos um rnetodo de consfrucoo de esca-

las baseado na lei de Weber. Se]o i a taxa de vorlocco da

intensidade do estimulo que permite discrlrninccco da respos'

ta. Associemos ao estimulo X o 0 nivel de resposta O . Entao,

a cada vcriccoo de taxa i no nivel do estlrnulo, aumentamos

uma unidade na rnedido do nivel de resposta . Sejam y a res-

posta e x a intensidade do estimulo.a) Temos que x = X c ( 1 + i ) Y .

b) Temos que y =a . log x + b. com a = . 1 e1 log ( 1 + i)

X c = ( 1 + i ) b .

c) 0brilho de uma estrela e uma sensocco, ou se]o. e uma

resposta a um estimulo que e a energia luminosa recebido

pelo olho. Os cstrcnornos medem 0brilho por in'errnedlo

de uma escala de Fechner, m = c - 2,5 . 10glo I, em que

mea medida do brilho, chamada de magnitude aparen-

te, I e a energia luminosa recebido pelo oIho e c e umaconstante.

d) Uma escala de Fechner multo, conhecida e a escala

Richter, que mede a intensidade de terremotos. Ela e deli-

nida por R=a + log 10 I, em que Rea intensidade do ter-

remoto (em graus Richter) e I e a energia libercdo por ele.

e) Outra escala de Fechner tcmbern muito conhecida e a quemede ruidos, dellnldo por R= 12 + Iog10 I, em que R ea medida do ruldo em bels (essa desiqnocoo e em home-

nagem a Alexander Graham Bell, 1847-1922, fisico es-

coces e inventor do telefone) e I e a intensidade sonora,

rnedido em watts por metro quadrado. Na reolidode, aunidade legal no Brasil e um submultiple do bel, 0decibel.

G ustav T heod or F ech ner(1801-1887)

Exircldo de MORGADO,Augusto Cesar e ouiros. Progressoes e

Matem6 ti ca f in anc e ir a. Rio de Janeiro, SBM, 1993. p. 40-41 passim.

(Cole~-60 do Professor de Matem6tica.1

o lo ga ritm o n o e ra d a in fo rm a tic a

Quando um evento tem proboblhdcde p de ocorrer,

sua ocorrencia fornece uma quantidade de Informac;:oes I

dada por umo expressco que envolve logoritmos, que e :1

1 = log2--P

ou sejo, I bit de injorrnccco.

Matemática dante logaritimos

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