-Matemática-Aportes para pensar la enseñanza

de la matemática con la utilización de teléfonos celulares1

Dirección Provincial de Educación Primaria

herramienta prevalece por sobre las otras. Es entonces necesario pensar en qué casos favorecen el aprendiza-je, de qué manera se pueden complementar, cómo acompa-ña una herramienta a la otra o cuál se muestra más adapta-da para la construcción de un conocimiento determinado.

2. Algunas propues-tas para el uso de teléfonos celulares en el aula

Debemos partir del hecho de que -debido a los avances tecnológicos y de desarrollo de programas- es posible encontrar e instalar en algu-nos teléfonos celulares versiones más ó menos potentes de una gran variedad de herramientas informáticas. De todas ellas, en el presente documento nos ocuparemos de GeoGebra en su versión para Android (llamada GeoGe-bra Calculadora Gráfica), de la calculadora común, retoman-do lo trabajado en un documen-to anterior2 y de Photomath.

2.1. GeoGebra

GeoGebra es un programa creado específicamente para enseñar, aprender y hacer Geometría -entre otras cues-tiones- que favorece la explo-ración y la investigación como medios para abordar los con-tenidos del área. Existen dos versiones de GeoGebra para

Al igual que otros dispositivos electrónicos, los teléfonos celulares están presentes prácticamente en todos los ámbitos de la sociedad. Sus herramientas y aplicaciones son aceptadas sin mayores discusiones en el mundo adulto y, en algunos casos, también en ámbitos infantiles. Sin embargo, este lugar que se han ganado en otros espa-cios no ha sido conquistado aún en la escuela. Allí sigue siendo un desafío establecer cuál es el legítimo lugar que deben ocupar, en estrecha relación con lo que pueden aportar en la mejora de los aprendizajes de los alumnos. Su incorporación al aula, como cualquier otro recurso para la enseñanza, supone un trabajo previo de reflexión por parte del docente respecto de qué lugar ocuparán en la planificación de los conteni-dos previstos, decidiendo cuáles aplicaciones conven-drá utilizar y en qué espacios, tiempos y qué condiciones se establecerán para su uso. Una idea que creemos debe guiar de manera permanente dicha reflexión es cuál será el aporte sustancial que los telé-fonos celulares pueden hacer al aprendizaje, a partir de entrar en diálogo con las herramientas habituales (lápiz, papel, regla, escuadra, cartele-ras, computadoras, etc.). Se trata de evitar caer en falsas dicotomías, donde un tipo de 1Elaborado por el Equipo de Matemática de la Dirección de Primaria del Ministerio de Educación de la Provincia de Buenos Aires, formado por Margarita Agustoni, Daniela Di Marco, Guillermo Kaplan, Ernesto López, Mauro Nicodemo, Gloria Robalo, Gloria Rodriguez, Gerardo Rossi, Gladys Tedesco y Andrea Novembre (coord.).2Estos aportes constituyen una adaptación para este tipo de dispositivos de las propuestas desarrolladas en el documen-to: Novembre, A. (coord.) (2016). Aportes para pensar la enseñanza de la matemática con TIC. Buenos Aires: DGCyE.

1. Introducción

dispositivos móviles (tabletas o teléfonos celulares inteli-gentes). En este documento haremos referencia a la versión Calculadora Gráfica, disponible para todos los telé-fonos celulares inteligentes con Android.Debe tenerse en cuenta que al momento de trabajar con Geo-Gebra en un teléfono celular se presentan algunas limitacio-nes con respecto a la experien-cia que puede obtenerse de una computadora. Estas limi-taciones son producidas tanto por la potencia que tenga el dispositivo en cuestión como por el tamaño de las pantallas de los mismos, lo cual genera que deba tenerse algún cuida-do en el tipo de actividades que se propongan. Por otro lado, gracias a su tamaño y a su portabilidad, el teléfono celu-lar ofrece una disponibilidad de uso mayor que la de la com-putadora y similar a la de una calculadora, lo cual se consti-tuye en una ventaja.Como se puede ver en las imá-genes, el entorno de trabajo de GeoGebra en el teléfono celular es similar al de la computadora. La barra de herramientas que se emplea para hacer un trabajo geomé-trico es la misma, salvo por alguna diferencia en los íconos y en el comportamien-to de algunas pocas herra-mientas, que no resultan rele-vantes. Las construcciones pueden ser compartidas de la misma manera que son com-partidos otros archivos -como fotos o videos- en los teléfonos celulares: utilizan-

do programas de mensajería (Whatsapp, Telegram, etc.), el correo electrónico, etc. A su vez, las construcciones tam-bién pueden ser guardadas en una cuenta de GeoGebra en Internet, a la cual se puede acceder con la propia cuenta personal de correo electrónico.Es entonces posible llevar a cabo el mismo tipo de trabajo

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Pantalla de GeoGebra en computadoras

Pantalla de Geogebra en celulares enposición vertical

3La mayor parte de los teléfonos celulares, al sostenerse de manera horizontal agregan herramientas a las básicas. 4Estas actividades fueron extraídas del documento: Broitman, C.; Itzcovich, H. (2001). Aportes didácticos para el trabajo con la calculadora en los tres ciclos de la EGB. Buenos Aires: DGCyE. Disponible en:http://servicios.abc.gob.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areas_curriculares/matematica/eltrabajoconlacalculadoraenlostresciclosdelaegb.pdf

que el realizado con una com-putadora, permitiendo desa-rrollar una propuesta de geo-metría dinámica con el teléfo-no celular. Resulta así posible desplazar las construcciones y observar si las propiedades de la figura construida se con-servan o no, lo cual puede constituirse en un mecanismo de control respecto de la vali-dez de un procedimiento de construcción. Una cuestión importante a tener en cuenta al trabajar con el teléfono celular es que probablemente deba realizar-se, en un momento u otro, un pasaje o bien al trabajo con computadora, o bien al trabajo con lápiz y papel. El desplaza-miento de las construcciones en la pantalla permitirán la elaboración de conjeturas, pero la validación deberá hacerse por fuera del dispositivo.

2.2 La calculadora

La calculadora es una herra-mienta que ha ido ganando espacio en las aulas. La misma se encuentra incluida como parte del sistema base en todos los teléfonos celula-res. No todas las versiones son iguales y suelen diferir en algunas características de aquellas calculadoras de uso habitual. Por ejemplo, las calculadoras “de mano” suelen tener el siguiente comportamiento: al realizar una operación como “3 + 3 =”, la calculadora con-tinuará sumando 3 al resulta-do si se sigue presionando la tecla “=”. Es muy posible que

esto no suceda con la calcula-dora del teléfono celular, de la misma manera que tampoco ocurre con las calculadoras científicas.Otra cuestión a tener en cuenta es que algunas de las calculadoras que vienen instaladas en los teléfonos celulares inteligentes poseen la capacidad de trabajar como científicas, o por lo menos disponen de algunas funcio-nes usualmente asociadas a las calculadoras científicas3. Teniendo en cuenta esta diversidad de comportamien-tos, es importante tener en cuenta al planificar una activi-dad con calculadoras cuáles son las características que requiere un buen desarrollo de la misma. El uso que se propone para este recurso no reside única-mente en su posibilidad de resolver cálculos. También es posible utilizar la calculadora para trabajar en torno a otros contenidos, como el sistema de numeración y el valor posi-cional. Algunas actividades de este tipo son aquellas que exigen realizar una transfor-mación de alguna de las cifras de un número. Por ejemplo4:

Escribir en la calculadora el número 34. ¿Qué cuentas podrías hacer para que cambie el 4 por otro número pero que el 3 quede igual? Anotalas en el cuaderno y probá con la calculadora.

Escribir en la calculadora el número 34. ¿Qué cuen-tas podrías hacer para que

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5https://photomath.net/es/6En la siguiente página pueden encontrar una pequeña guía de funcionamiento:h t t p s : / / w w w . c n e t . c o m / e s / n o t i c i a s / p h o t o m a t h - r e s u e l v e - p r o b l e -mas-matematicos-con-la-camara-de-tu-telefono/

cambie el 3 por otro número pero que el 4 quede igual? Anotalas en el cuaderno y probá con la calculadora.

Escribir en la calculadora el número 534. ¿Qué cuentas podrías hacer para que cambie el 5 por otro número pero que los otros queden igual? Anotalas en el cuaderno y probá con la calculadora.

Como muestran estos ejem-plos, es necesario que la utili-zación de la calculadora esté acompañada del registro de los cálculos que se realizan con la misma, de modo de poder luego reflexionar sobre lo realizado. Esto se debe a que los cálculos y resultados van desapareciendo de la pantalla y se van perdiendo -ellos y la memoria de lo reali-zado- a medida que se hacen otros nuevos, por lo cual resultan efímeros si no se registran.La calculadora es también una herramienta que posibili-ta trabajar la anticipación. Al respecto, afirman Broitman e Itzcovich:

“Esta actividad anticipatoria es una de las principales prácti-cas matemáticas que se inten-ta enseñar en la escuela y cuya importancia reside en que la anticipación es justa-mente aquello que otorga potencia a la matemática misma. Los conocimientos matemáticos permiten cono-cer la respuesta a problemas no resueltos empíricamente, es decir a sucesos aún no

realizados o bien realizados en otro tiempo y en otro espacio. La calculadora, lejos de con-vertirse en una herramienta que impide pensar por sí mismos a los alumnos, tiene una enorme potencia para instalar prácticas anticipato-rias y de control. Lógicamente, todo depende de las decisio-nes didácticas que se adop-ten.” (DGCyE, 2001).En los documentos El trabajo con la calculadora en los tres ciclos de la EGB y Aportes para la enseñanza de la matemática con TIC de esta Dirección podrán encontrar actividades para realizar con la calculadora con un mayor desarrollo de las condiciones didácticas para su implemen-tación.

2.3 Photomath

Otra herramienta que puede descargarse de manera gratuita en los teléfonos celu-lares inteligentes es Photo-math5. Se trata de una aplica-ción que permite capturar, a partir de una imagen, una ecuación o cálculo que se haya escrito o esté impreso en una hoja de papel y luego la resuelve, dando la opción de mostrar los pasos con una breve descripción de qué se hizo en cada uno6. Tal como ya hemos señalado, no estamos pensando en que un programa reemplace la posibilidad de los alumnos de resolver cálculos, sino que nos propo-nemos utilizarlo para que potencie su posibilidad de aprender más acerca de ellos.

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Photomath no es entonces solo una calculadora, por lo que resulta interesante anali-zar su potencialidad desde el punto de vista didáctico. Algu-nas actividades que pueden plantearse son las siguientes:

- Explicar una solución dada por PhotomathUna actividad que puede ser propuesta a los alumnos con-siste en pedirles que expli-quen cómo hace el programa para llegar a la solución, con lo cual el estudiante debe movilizar lo que ha aprendido para poder explicar la respuesta que ofrece el programa. Una variante a la situación anterior puede con-sistir en pedir que intenten prever qué pasos va a dar la aplicación para resolver un cálculo. De esta forma, una motivación lúdica tracciona la necesidad de desarrollar los pasos de forma autónoma. - Corrección de un cálculo resueltoUna vez que los alumnos hayan resuelto un cálculo, es posible pedirles que lo corri-jan y comparen la resolución brindada por Photomath con la suya. Si coinciden las respuestas, entonces resulta interesante que analicen si los pasos seguidos fueron los mismos y, en caso de no serlos, que expliquen por qué ambos llegan a la misma solución. Si las respuestas son diferentes, entonces el trabajo del alumno consiste en encontrar dónde cometió un error y por qué.

De esta manera, se ubica a los alumnos en una situación donde la tarea consiste en comprender la resolución propuesta por otro -un dispo-sitivo- para darle sentido. Esto los obliga a poner en palabras las razones pensadas por otro pero que pueden ser explica-das desde los conocimientos que tiene disponibles, además de leer escrituras y símbolos matemáticos. Sabemos que no siempre es posible para los niños encontrar similitudes, diferencias o errores. Sin embargo, sostenemos que el trabajo de reflexión que reali-cen, y que luego puede ser retomado por el docente, les permite involucrarse en un debate habiendo ya reflexio-nado sobre la cuestión a discutir.Por ejemplo, si el cálculo a resolver es 6 + 4 × 8, es espe-rable que muchos niños lo resuelvan de izquierda a dere-cha, primero sumando y luego multiplicando. Una vez resuel-to en Photomath, surgen dife-rentes posibilidades de visua-lizar la información que brinda el programa. En la Imagen 1 se muestra el cálcu-lo que fue ingresado a través del teclado y el resultado dado por Photomath. En este punto ya es posible comparar las respuestas. Si se quiere acce-der a los pasos de resolución, se toca la banda roja y se accede a una nueva pantalla mostrada en la Imagen 2. A su vez, tocando cada paso, se abre una pantalla donde un texto indica qué se hizo en ese paso (Imágenes 3 y 4).

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Los textos que provee la apli-cación dan cuenta de qué se hizo pero no de por qué se hizo. Es ahí donde la palabra del docente resulta necesa-ria, por ejemplo, indicando la

jerarquía de las operaciones.

- Comparación de cálculosLa propuesta consiste en comparar cálculos usando los resultados y las resoluciones

Imagen 1 Imagen 2

Imagen 3 Imagen 4

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que ofrece Photomath. Por ejemplo:5 × 8 - 2 + 7 × 4 y 5 × (8 - 2) + 7 × 4

Es interesante destacar que la aplicación utiliza un sistema de colores para indicar qué se hizo. En cuanto al segundo

La resolución y los pasos que da para el primero de ellos son los siguientes:

paso, “Use las reglas de adición y sustracción para calcular la expresión”, la lectura del texto que explica el

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procedimiento obliga a dar sentido a las palabras que ahí aparecen. El conocimiento de las palabras adición y sustrac-ción resulta indispensable para comprender las explicaciones. Para el segundo cálculo, la aplicación da la siguiente información:

La comparación entre las resoluciones de los cálculos da pie a que se pueda propo-ner un debate colectivo. Durante el mismo, quedará a cargo del docente aportar información acerca de las convenciones establecidas respecto del orden en los cuales hay que resolver los cálculos. Algunas conclusiones que se pueden obtener a partir de la comparación de la resolución de estos cálculos son:- adición es otra forma de decir suma.- sustracción significa resta.- antes de las sumas y restas, hay que resolver las multiplicaciones.- la suma o resta de números puede hacerse en cualquier orden.- lo que está entre paréntesis tiene que ser resuelto primero.- una vez que se resuelven los paréntesis, hay que seguir por las multiplicaciones y des-pués por las sumas y restas.

3. Algunas ideas a modo de cierre

Como dijimos anteriormente, es muy posible que los teléfo-nos celulares formen parte de la cotidianeidad de la vida de los alumnos. Por lo tanto, es importante que tengamos presente que estamos pen-sando en aportarle un signifi-cado nuevo a un objeto que al alumno le es propio y que utiliza con otros fines. No se trata, como en el caso de la banda numérica o del cuadro de números, de incorporar elementos esencialmente

escolares, sino de hacer uso de un objeto que considera amigable y de uso frecuente en su vida cotidiana. Es ahí donde posiblemente radique la complejidad de la tarea docente, en lograr que los alumnos hagan un uso peda-gógico de un elemento que hasta ese momento no lo es. Resulta así indispensable que la intencionalidad del docente esté dirigida a lograr que los alumnos utilicen los dispositi-vos como herramientas para hacer matemática. El trabajo individual del alumno, mani-pulando solo su teléfono celu-lar y tomando decisiones, no debe constituirse en una acti-vidad centrada en el aprendi-zaje de la herramienta en sí misma, sino en el aprendizaje de contenidos matemáticos con la utilización del teléfono celular.Para finalizar, compartimos algunas consideraciones generales para pensar la incorporación del teléfono celular como herramienta didáctica en la enseñanza de matemática:

- Es necesario averiguar qué celulares están disponibles en el aula, al igual que sus carac-terísticas. Todos ellos cuentan con calculadoras, pero no todos tienen la posibilidad de acceder a ciertas aplicacio-nes, ni todas las calculadoras funcionan de la misma forma.

- No forzar su uso solamente porque están disponibles. Se trata de planificar su progre-siva incorporación teniendo

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en cuenta que sea una herra-mienta necesaria para la tarea.

- Planificar e implementar situaciones en las que el alumno deba tomar la deci-sión de utilizar el teléfono celular haciendo uso de sus conocimientos. La reflexión acerca de cuándo utilizar la tecnología, para qué y cómo, debe ser parte del trabajo en el aula.

- Establecer instancias escri-tas que funcionen de ayuda memoria en la utilización del celular. Por ejemplo “acá usé el GeoGebra del celular porque necesitaba mover los vértices del cuadrado y no tenía la computadora en el salón”.

Renovamos, entonces, los comentarios realizados en documentos anteriores:“Como todas las prácticas de enseñanza, las propuestas mediadas por las TIC, depen-derán de cada institución y de la historia de cada grupo en particular. Se trata de idas y vueltas, de superar resisten-cias propias y ajenas pero principalmente de asumir la iniciativa, con la certeza de que las cosas no saldrán necesa-riamente como lo esperamos pero que nos permitirán conti-nuar avanzando y mejorando nuestra práctica. No se espera que los docentes sean exper-tos en TIC para que comiencen a incorporar las tecnologías en el aula, principalmente porque esto no se logra de otra manera que no sea en la prác-

tica, en la puesta en aula y a partir de la posterior reflexión sobre lo acontecido. Será tarea de todos continuar trabajando para llegar a un uso provecho-so de las TIC en nuestras escuelas.” (Noviembre, 2016).

La comparación entre las resoluciones de los cálculos da pie a que se pueda propo-ner un debate colectivo. Durante el mismo, quedará a cargo del docente aportar información acerca de las convenciones establecidas respecto del orden en los cuales hay que resolver los cálculos. Algunas conclusiones que se pueden obtener a partir de la comparación de la resolución de estos cálculos son:- adición es otra forma de decir suma.- sustracción significa resta.- antes de las sumas y restas, hay que resolver las multiplicaciones.- la suma o resta de números puede hacerse en cualquier orden.- lo que está entre paréntesis tiene que ser resuelto primero.- una vez que se resuelven los paréntesis, hay que seguir por las multiplicaciones y des-pués por las sumas y restas.

3. Algunas ideas a modo de cierre

Como dijimos anteriormente, es muy posible que los teléfo-nos celulares formen parte de la cotidianeidad de la vida de los alumnos. Por lo tanto, es importante que tengamos presente que estamos pen-sando en aportarle un signifi-cado nuevo a un objeto que al alumno le es propio y que utiliza con otros fines. No se trata, como en el caso de la banda numérica o del cuadro de números, de incorporar elementos esencialmente

escolares, sino de hacer uso de un objeto que considera amigable y de uso frecuente en su vida cotidiana. Es ahí donde posiblemente radique la complejidad de la tarea docente, en lograr que los alumnos hagan un uso peda-gógico de un elemento que hasta ese momento no lo es. Resulta así indispensable que la intencionalidad del docente esté dirigida a lograr que los alumnos utilicen los dispositi-vos como herramientas para hacer matemática. El trabajo individual del alumno, mani-pulando solo su teléfono celu-lar y tomando decisiones, no debe constituirse en una acti-vidad centrada en el aprendi-zaje de la herramienta en sí misma, sino en el aprendizaje de contenidos matemáticos con la utilización del teléfono celular.Para finalizar, compartimos algunas consideraciones generales para pensar la incorporación del teléfono celular como herramienta didáctica en la enseñanza de matemática:

- Es necesario averiguar qué celulares están disponibles en el aula, al igual que sus carac-terísticas. Todos ellos cuentan con calculadoras, pero no todos tienen la posibilidad de acceder a ciertas aplicacio-nes, ni todas las calculadoras funcionan de la misma forma.

- No forzar su uso solamente porque están disponibles. Se trata de planificar su progre-siva incorporación teniendo

en cuenta que sea una herra-mienta necesaria para la tarea.

- Planificar e implementar situaciones en las que el alumno deba tomar la deci-sión de utilizar el teléfono celular haciendo uso de sus conocimientos. La reflexión acerca de cuándo utilizar la tecnología, para qué y cómo, debe ser parte del trabajo en el aula.

- Establecer instancias escri-tas que funcionen de ayuda memoria en la utilización del celular. Por ejemplo “acá usé el GeoGebra del celular porque necesitaba mover los vértices del cuadrado y no tenía la computadora en el salón”.

Renovamos, entonces, los comentarios realizados en documentos anteriores:“Como todas las prácticas de enseñanza, las propuestas mediadas por las TIC, depen-derán de cada institución y de la historia de cada grupo en particular. Se trata de idas y vueltas, de superar resisten-cias propias y ajenas pero principalmente de asumir la iniciativa, con la certeza de que las cosas no saldrán necesa-riamente como lo esperamos pero que nos permitirán conti-nuar avanzando y mejorando nuestra práctica. No se espera que los docentes sean exper-tos en TIC para que comiencen a incorporar las tecnologías en el aula, principalmente porque esto no se logra de otra manera que no sea en la prác-

tica, en la puesta en aula y a partir de la posterior reflexión sobre lo acontecido. Será tarea de todos continuar trabajando para llegar a un uso provecho-so de las TIC en nuestras escuelas.” (Noviembre, 2016).

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Bibliografía:- Broitman, C.; Itzcovich, H. Aportes didácticos para el trabajo con la calculadora en los tres ciclos de la EGB, DGCyE, Buenos Aires, 2001. Disponible en: (http:/servicios.abc.gov.ar/-lainstitucion/sistemaeducati-vo/educprimaria/areas_curriculares/matematica/eltraba-joconlacalculadoraenlostres-ciclosdelaegb.pdf)

- Novembre, A. (coord.), Apor-tes para pensar la enseñanza de la matemática con TIC, DGCyE, Buenos Aires, 2016. Disponible en:http://servicios.abc.gov.ar/-lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areas_cu-rriculares/matematica/aportes_para_pensar_la_matema-tica_con_tic.pdf.

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