MATEMATICA 6° LIBRO ESTUDIANTE_2 (NXPowerLite)

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓNPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN • AÑO 2012

TEXTO DEL ESTUDIANTE

Natacha AstromujoffEleamar Barrios

Marcelo Casis Paula Olivares

Natacha AstromujoffEleamar Barrios

Marcelo CasisPaula Olivares

TEXTO DEL ESTUDIANTE

Autores:Natacha Astromujoff

Licenciada en Ciencias con mención en Matemática, Universidad de Chile

Eleamar Barrios DuránProfesor de Estado en Educación Matemática y Computación, Universidad de Santiago de Chile

Licenciado en Educación Matemática y Computación, Universidad de Santiago de Chile

Marcelo Casis RaposoProfesor de Educación General Básica, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

Magister (c) en Educación, Universidad de Santiago de Chile

Paula Olivares MuñozProfesora de Educación General Básica, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

Licenciada en Educación, Universidad Metropolitana de Ciencias de la Educación

La presentación y disposición de la obra, son propiedad del editor. Reservados todos los derechos para todos los países. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, almacenada o transmitida de ninguna forma, ni por ningún medio, sea este electrónico, fotocopia o cualquier otro, sin la previa autorización escrita por parte de los titulares de los derechos.

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Teléfono: 233 5101Fax: 234 4869

E-mail: [email protected]

Dirección editorial: Gloria Páez Herrera Edición: Daniel Catalán Navarrete Asistencia editorial: Deysma Coll Herrera Diseño: Equipo editorial Diagramación: Marcela Ojeda Ampuero, Williams Gálvez Baettig y Francisca Urzúa Provoste Ilustración: Margarita Valdés Ruiz Corrección de estilo: Norma Guerra González Archivos gráficos: MN Editorial Ltda.

Nº de registro: 198.288ISBN: 978-956-294-291-1

Impreso en Chile por

Se terminó de imprimir esta xª Edición de xxxxxx ejemplares en el mes de xxxxx de 20xx.

Matemática 6º BásicoTexto del Estudiante

AutoresNatacha Astromujoff

Eleamar Barrios DuránMarcelo Casis RaposoPaula Olivares Muñoz

El mundo actual te enfrenta diariamente a si-tuaciones de diversa índole en las que, muchas veces,

debes resolver problemas numéricos. Repartir equitativa-mente un paquete de galletas con tus hermanos y hermanas,

revisar el vuelto tras una compra, calcular tus promedios de notas, en fin, desafíos que normalmente enfrentas echando mano a tu intuición

y a los conocimientos matemáticos elementales que ya se han instalado en tu ra-zonamiento. Sin embargo, estas herramientas no siempre serán suficientes; por el contrario, puede ocurrir que frente a problemas más complejos, en vez de ayudar, la intuición te lleve por un camino enredado y, finalmente, erróneo.

A medida que creces, tu realidad se amplía y te pone frente a situaciones cada vez más complejas que, a su vez, debes resolver con creciente autonomía. El texto que ahora empiezas a descubrir es un instrumento útil en ese camino, pues te proporcionará nuevas y valiosas herramientas para conocer, analizar e interpretar el mundo del que formas parte.

Te invitamos a trabajar con él, aprovechando todos los recursos que te ofrece para ampliar tu conocimiento matemático y usarlo para afrontar los muchos desafíos que se te presentarán en los tiempos por los que transitas.

Bienvenida

3Bienvenida

4 Estructura didáctica

Estructura didáctica

Cuadro de definición de los contenidos fundamentales.

Ejercicios individuales para que apliques lo que acabas de aprender en forma individual.

Ejercicios grupales de análisis y reflexión o de carácter lúdico para que resuelvas con uno o más compañeros y compañeras.

Problemas que plantean situaciones matemáticas contextualizadas en diferentes temas y que puedes resolver en forma individual o grupal.

Ejemplo explicativo que contiene una situación

problemática, que es resuelta paso a paso a modo

de ejemplificación.

El Texto del Estudiante de 6° Básico de Matemática contiene 6 unidades didácticas. El cuerpo de cada unidad está conformado por páginas binarias de contenido que se articulan en torno a un tema que contextualiza los objetivos de aprendizaje de cada una de ellas. Al inicio de cada unidad existen páginas que contienen actividades introductorias y como cierre se plantea el uso de recursos tecnológicos, un resumen de la unidad y una evaluación sumativa final. Además, se incorpora cuando corresponde, el ícono que enlaza los conte-nidos del texto con las actividades multimediales del Hipertexto. La estructura detallada de cada unidad de este texto es la siguiente:

Páginas de contenido

Aprendizajes que se espera adquieras tras la revisión de la unidad.

Red conceptual con los contenidos de la unidad.

Imagen alusiva al tema transversal de la unidad.

Actividad motivadora para iniciar el estudio de la unidad.

Entrada de unidad

Historieta que te propone una situación que debes observar

y analizar con detención.

Actividades que podrán ser utilizadas como evaluación diagnóstica de materias vistas en cursos anteriores y que servirán para la revisión de los temas de la unidad.

Actividad inicial

5

Además, en las páginas del texto se incluyen cuatro tipos de apartados y el ícono de Hipertexto:

Ícono que relaciona el Texto del Estudiante con las actividades del Hipertexto.

Actividades lúdicas que requieren del ingenio matemático para su realización.

Desafíoal ingenioIndicación práctica o

nota recordatoria para una mejor comprensión del tema tratado.

Estructura didáctica

MatemáticaHIPERTEXTO

Problema modelo que te propone un método de

cinco pasos para que lo apliques en la resolución de

problemas de diversa índole.

Problemas propuestos que debes resolver aplicando el método.

Resolución de problemas

Tecnología activaEjemplificación del uso de herramientas tecnológicas

para resolver actividades relacionadas con los temas

vistos en la unidad. Actividades propuestas para que apliques la herramienta tecnológica descrita.

Síntesis de la unidad Evaluación

Cuadros con las definiciones que resumen los contenidos

tratados en la unidad.

Tres páginas en las que se evalúan los temas vistos en la unidad. Dos de ellas te proponen ejercicios de desarrollo y una ejercicios con alternativas.

Breve vinculación del tema tratado en la pági-na con otras ramas del conocimiento.

Enlace con…Definiciones y conceptos directamente ligados con los temas de la página.

Archívalo

6 Índice de contenidos

Índice de contenidos

Números decimales1Unidad

Entrada de unidad ........................................... 8 y 9Actividad inicial ............................................10 y 11

Expresión fraccionaria de un número •decimal finito ..............................................12 y 13Expresión fraccionaria de números •decimales periódicos y semiperiódicos .....14 y 15Multiplicación de números decimales• ........16 y 17División de números decimales• .................18 y 19Análisis de factores y productos• ............... 20 y 21

Números decimales: •unidades de longitud ................................. 22 y 23

Números decimales: •unidades de masa ..................................... 24 y 25

Resolución de problemas .......................... 26 y 27

Tecnología activa ........................................ 28 y 29

Síntesis de la unidad .......................................... 30

Evaluación .................................................... 31 a 33

Números fraccionarios, razones y porcentajes2

Unidad

Entrada de unidad ....................................... 34 y 35Actividad inicial ........................................... 36 y 37

Multiplicación de fracciones• ...................... 38 y 39División de fracciones• ................................40 y 41Razones y equivalencias• .......................... 42 y 43Las proporciones y su propiedad •fundamental............................................... 44 y 45Porcentajes• ............................................... 46 y 47

Formas de expresar un porcentaje• ........... 48 y 49

Operaciones con porcentajes• ....................50 y 51

Interpretación de información porcentual• .. 52 y 53




Evaluación .................................................... 59 a 61

Potencias3Unidad

Entrada de unidad ....................................... 62 y 63Actividad inicial ........................................... 64 y 65

Definición de potencia• ............................... 66 y 67Potencias de 10• ......................................... 68 y 69Multiplicación de potencias de 10• ..............70 y 71Multiplicación de un número natural •por una potencia de 10 .............................. 72 y 73Multiplicación de un número decimal •por una potencia de 10 ...............................74 y 75Descomposición canónica •de un número natural ................................ 76 y 77

División de potencias de 10• ...................... 78 y 79División de un número natural •por una potencia de 10 .............................. 80 y 81División de un número decimal •por una potencia de 10 .............................. 82 y 83




Evaluación .................................................... 89 a 91

Índice de contenidos 7

Ecuaciones de primer grado4

Unidad

Entrada de unidad ....................................... 92 y 93Actividad inicial ........................................... 94 y 95• Términos semejantes ................................ 96 y 97• Reducción de términos

semejantes ................................................ 98 y 99• Definición de ecuación

de primer grado ......................................100 y 101• Resolución de ecuaciones

de primer grado ......................................102 y 103

• Aplicaciones de las ecuaciones de primer grado ......................................104 y 105

• Validación de la solución de una ecuación de primer grado ..........106 y 107

Resolución de problemas .......................108 y 109

Tecnología activa ......................................110 y 111

Síntesis de la unidad .........................................112

Evaluación ................................................. 113 a 115

Información y azar6Unidad

Entrada de unidad ....................................142 y 143Actividad inicial ........................................144 y 145• Media aritmética .....................................146 y 147• Mediana ..................................................148 y 149• Moda ......................................................150 y 151• Lectura de gráficos circulares ................152 y 153• Construcción de gráficos circulares .......154 y 155• Experimentos aleatorios .........................156 y 157

• Resultados de un experimento aleatorio ..................................................158 y 159

• Estimación de la probabilidad de ocurrencia de un suceso ........................160 y 161

Resolución de problemas .......................162 y 163Tecnología activa .....................................164 y 165Síntesis de la unidad ........................................ 166Evaluación ................................................ 167 a 169

Ángulos5Unidad

Entrada de unidad .................................... 116 y 117Actividad inicial ........................................ 118 y 119• Ángulos ..................................................120 y 121• Medición de ángulos ..............................122 y 123• Clasificación de ángulos ........................124 y 125• Ángulos opuestos por el vértice .............126 y 127• Ángulos entre paralelas .........................128 y 129

• Ángulos en un triángulo .........................130 y 131

• Ángulos en un cuadrilátero ....................132 y 133

Resolución de problemas .......................134 y 135

Tecnología activa .....................................136 y 137

Síntesis de la unidad ........................................ 138

Evaluación .................................................139 a 141

Solucionario .......................................................................................................................................170 a 173

Índice temático ............................................................................................................................................174

Bibliografía y páginas web .........................................................................................................................175

Evaluación modelo ......................................................................................................................................176

1Unidad

8

Números decimales

Red conceptual

Números decimales

Procedimientos numéricos

Métodos similares a los usados para multiplicar y dividir en ℕ

determinadas usando

Unidades de medida: longitud, masa, etc.

relacionadas con

Multiplicaciones

Equivalencias con las fracciones

Divisiones

Contextualizaciones

resueltas usando

resueltas usando

Entrada de unidad

9

¿Qué debemos comer para alimentarnos sanamente?

Para llevar una dieta equilibrada y sana debemos consumir alimentos de los cinco grupos que conforman la pirámide nutricional. Estos grupos son:Nivel 1: grupo de pan, cereales, arroz y pastas.Nivel 2: grupo de verduras y frutas.Nivel 3: grupo de lácteos y grupo de carnes rojas, aves, pescados, frutos secos, huevos y nueces.Nivel 4: grupo de grasas, aceites y dulces.Cada grupo ocupa un compartimento que por su ubicación y tamaño sugiere la proporción en

que deben ser ingeridos los alimentos que contiene. En particular, el segundo nivel corresponde al de frutas y verduras, valiosas por su contenido de fibra y por su aporte en vitaminas y antioxi-dantes. La Organización Mundial de la Salud (OMS) recomienda consumir diariamente 0,4 kg de vegetales para prevenir la aparición de una serie de enfermedades crónicas que deterioran la calidad de vida de las personas.

¿Consumes frutas y verduras diariamente? ¿Qué proporción de tu alimentación diaria corresponde a ellas?

¿Qué verduras son parte de tu dieta diaria?

¿Puedes resolver?Un hombre ha decidido comenzar a controlar su alimentación. Las

cantidades diarias de alimentos que ha seleccionado son: 0,8 kg de verduras, 0,5 kg de frutas, 0,25 kg de pan, 0,2 kg de carnes y 0,22 kg de pastas; además de 5 L de agua y 0,5 L de leche. Los alimentos sólidos los distribuye en partes iguales en dos comidas diarias, una a medio día y la otra al caer la noche.

¿Cuántos kilogramos de alimentos sólidos consume el hombre en cada una de sus comidas diarias?

Tras 7 días de mantener esta dieta, ¿cuáles son las cantidades de alimentos sólidos consumidos por el hombre?

Si aumentara al doble las cantidades de alimento que consume diariamente, ¿cuánta carne y cuánta pasta consumiría en 5 días?

En esta unidad aprenderás a:

Multiplicar y dividir números decimales.

Interpretar y expresar información con números decimales.

Convertir números decimales finitos y no finitos a fracciones.

Resolver problemas cotidianos en las que aparecen números decimales.

MotivaciónHIPERTEXTOMotivaciónHIPERTEXTO

Unidad 110

Actividad inicialNo siempre después del 2 viene el 3, pues hay muchas cosas que no pueden me-

dirse solo con los números naturales. Si hay dos personas y llega otra, pasamos de un salto del 2 al 3, pero… ¿qué pasa si le preparas un café a tu mamá y ella te dice que le pongas una cucharada y un poquito más, pero no dos cucharadas?, ¿a qué número se refiere?

Para estudiar los números decimales, te invitamos a realizar las siguientes actividades.

Formen grupos de tres personas, lean la historieta y respondan las preguntas de 1.la página siguiente:

Números decimales 11

Unidad

¿Qué volcán es más alto, el Lonquimay o el Villarrica? ¿Cómo lo saben?a)

¿Qué diferencia hay entre los números 6 y 7 y el número 6,9?b)

¿Saben cuáles son las partes que componen un número decimal? Indíquenlas c) a continuación:

En la recta numérica se ha ubicado la parte entera de 6,9. Ubiquen en el lugar d) asignado, el número entero que viene a continuación:

Ordenen las ciudades de la tabla de menor a mayor pluviosidad, considerando a) los datos de un año normal.

Calculen la diferencia de pluviosidad que se produjo en cada una de las b) ciudades entre un año normal y el 2004.

¿En qué otras situaciones de la vida cotidiana encuentran números decimales? 3.Mencionen al menos tres.

CiudadPrecipitación anual (en mm) ¿Llovió más o

menos?Año normal Año 2004

Arica 1,1 0,0

Isla de Pascua 1 222,9 1 132,4

La Serena 104,1 99,3

Juan Fernández 912,6 852,4

Curicó 718,9 546,3

Chillán 1 022,5 958,0

Puerto Montt 1 844,7 1 557,5

Balmaceda 723,2 555,7

6

Entre el 6 y el 7 existen infinitos números. Por ejemplo, justo entre el 6 y e) el 7 está el 6,5, que es un número decimal. Ubíquenlo en la recta numérica anterior. ¿Podrían ubicar también el 6,9?

A continuación, se presenta una tabla con las cifras de precipitación en distintas 2.ciudades de Chile, indicando cuántos milímetros de agua caen en un año normal y cuántos cayeron el año 2004. Identifiquen si en cada una de ellas ese año llovió más o menos que en un año normal.

6 , 9

DiagnósticoHIPERTEXTO

Unidad 112

Expresión fraccionaria de un número decimal finito

Una fracción se puede convertir en un número decimal y un número decimal se puede convertir en una fracción. Por ejemplo, si calcula-mos el cociente entre el numerador y el denominador de las siguientes fracciones obtendremos:

2310

= 2,3 o 45= 0,8 o

43340

= 10,825

2310

= 2,3 o 45= 0,8 o

43340

= 10,825

2310

= 2,3 o 45= 0,8 o

43340

= 10,825

Como ves, en los tres casos anteriores los resultados son números que tienen una cantidad de cifras decimales finitas. A estos números se les llama decimales exactos o finitos.

Las fracciones se caracterizan por tener un desarrollo decimal. Cuando dividimos el numerador de una fracción por el denominador obtenemos un número decimal, pero, ¿cómo expresamos fracciona-riamente un número decimal finito?

¿Cuál es la expresión fraccionaria de 52,262? f

Como puedes ver, 52,262 es un decimal finito. Para transformarlo en fracción anotamos el número sin la coma en el numerador y en el denominador, un 1 seguido de tantos ceros como cifras decimales tiene el número decimal.

En este caso:

52,262 = 52 2621 000

Como el número decimal posee tres dígitos decimales, el denomi-nador de la fracción corresponde a un 1 seguido de tres ceros.

Una vez obtenida la fracción podemos simplificarla a su mínima expre-

sión. En este caso, podemos simplificarla por 2, obteniendo

522621000

26131500

.

Para transformar una fracción en un número decimal simplemen-te debes dividir su numerador por su denominador.Es posible transformar un número decimal finito en una fracción ab

tal que:

a: número decimal sin la coma.b: un 1 seguido de tantos 0 como dígitos decimales tiene el núme-ro decimal.

Cuando debas expresar un número decimal en forma fraccionaria es importante que elimines de la parte decimal todos los 0 que haya a la derecha. Por ejemplo, si el número decimal a transformar es el 2,603200; debes previamente, convertirlo en 2,6032.

Las fracciones se clasifican en propias e impropias:

Fracción propia: 25

Su valor es < 1.El numerador es menor que el denominador.

Fracción impropia: 72

Su valor es > 1.El numerador es mayor que el denominador.Se pueden expresar como número mixto, en este caso:

72= 3 1

2

Archívalo


Unidad

Ejercicios individualesTransforma las siguientes fracciones en números decimales e indica cuáles de ellos son finitos a.y cuáles infinitos:

Fracción Expresión decimal ¿Finito o infinito?

23

310

174

249

812

19100

189

28

14

624

18

110

23

310

174

249

812

19100

189

28

14

624

18

110

23

310

174

249

812

19100

189

28

14

624

18

110

23

310

174

249

812

19100

189

28

14

624

18

110

23

310

174

249

812

19100

189

28

14

624

18

110

23

310

174

249

812

19100

189

28

14

624

18

110

Expresa los siguientes números decimales mediante fracciones. No olvides simplificar cada b.fracción hasta su expresión mínima:

Expresión decimal Fracción

1,25

0,503

0,077

13,652

9,3710

148,0875

Ejercicios grupalesEn grupos de tres personas consideren las siguientes situaciones: a.

Un pan de pascua se dividió entre cuatro niños. El primero tocó a) 23

310

174

249

812

19100

189

28

14

624

18

110

, el segundo 23

310

174

249

812

19100

189

28

14

624

18

110

, el tercero

0,25 y el cuarto 23

310

174

249

812

19100

189

28

14

624

18

110

del total. ¿Cuál de ellos recibió el trozo mayor? ¿Y el menor?

Los niños acompañan el pan de pascua con una bebida. Si el primero toma b) 23

310

174

249

812

19100

189

28

14

624

18

110

, el segundo 23

310

174

249

812

19100

189

28

14

624

18

110

, el tercero 0,15 y el cuarto 0,32 del total de la bebida; ¿qué número decimal representa la

cantidad de bebida que queda en la botella respecto al total que había al principio?

Unidad 114

Expresión fraccionaria de números decimales periódicos y semiperiódicos

Muchas veces debes haber escuchado expresiones como: "un tercio de la torta es para tus tíos" o "para preparar el jugo tienes que poner un tercio de agua". En ambas situaciones un tercio representa la tercera parte de algo. En el caso de la torta, la dividiríamos en tres partes co-rrespondiendo una de ellas a los tíos y en el caso del jugo, dividiríamos el recipiente en tres partes y una de ellas sería de agua.

Los números decimales periódicos son aquellos en los que en su parte decimal se repite una cifra o un grupo de cifras infinita-mente. Los números decimales periódicos tienen una parte ente-ra y una parte decimal como cualquier número decimal, pero en su parte decimal, se designa como período a la cifra o conjunto de cifras que se repite indefinidamente. A veces, antes del perío-do puede haber otra cifra o conjunto de cifras que no se repite y que se denomina anteperíodo. En este caso, hablamos de núme-ros decimales semiperiódicos.

7 : 4 2 = 0 , 1 6 6 6 6 6 6… = 0,16

7 0 ⇓

2 8 0

2 8 0 …

6444447444448parte entera coma anteperíodo período

742

=

La coma se pone una vez que el resto de la división es menor que el divisor. Para seguir dividiendo, multiplicamos el resto por 10.

¿Qué número decimal representa la tercera parte de algo? f

Basta dividir 1 por 3. Observa:

13= 0,333333333… o

53= 1,666666666 o

19= 0,111111111

¿Qué sucede con el valor de esta fracción? Podríamos seguir divi-diendo indefinidamente, ya que el número decimal que se obtiene es infinito.

¿Cuál es la expresión de-

cimal de la fracción 723

?

Desafíoal ingenio

Otro tipo de decimal es aquel que tiene una cantidad infinita de cifras después de la coma, pero en el que estas cifras no siguen un patrón de repetición. A estos números decimales se les llama infinitos no periódicos.

Archívalo

Tíos


Unidad

¿Cómo transformar un decimal periódico en fracción? f

En el numerador de la fracción debes colocar la resta entre el nú-mero formado por la parte entera seguida del período sin la coma, y el número de la parte entera. Para obtener el denominador debes escribir tantos nueves como dígitos componen el período.

Ejemplos:

1,98 1,98 =

198 −199

=19799

o 5,3 =53− 5

9=

489

5,3 1,98 =

198 −199

=19799

o 5,3 =53− 5

9=

489

¿Cómo transformar un decimal semiperiódico en fracción? f

En el numerador de la fracción debes colocar la resta entre el número formado por la parte entera seguida del anteperíodo y del período sin la coma, y el número formado por la parte entera y el anteperíodo sin la coma. Para obtener el denominador debes escribir un número con tantos nueves como cifras tenga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

Ejemplo:

24,65235 24,65235 =

2465 235− 2465299000

=2440583

99000

Los números decimales periódicos se escriben con una línea recta sobre el período. En algunos libros lo hacen también con una línea curva, como un pa-réntesis hacia abajo.

Ejercicios individualesTransforma en fracciones los siguientes números decimales describiendo explícitamente el pro-a.cedimiento utilizado, como se muestra en el ejemplo:

Número decimal

Operatoria Fracción

1,431

1431− 14

990

1417

990

1431− 14

990

1417

990

52,2

3,23

0,01

2,314

71,32

Número decimal

Operatoria Fracción

5,57

12,2

6,392

0,42

9,9935

23,451

Unidad 116

Multiplicación de números decimales

Don Pedro necesita comprar lentes ópticos para su hijo. Su Isapre le cu-bre 5,5 UF. El valor de la UF el día de la compra es de $ 18 532,04.

¿Qué debe hacer don Pedro para saber exactamente cuánto es lo fmáximo que la Isapre le cubre?

Para averiguar la cobertura de su Isapre don Pedro debe multiplicar 18 532,04 por 5,5.

A continuación mostraremos dos métodos para resolver esta operación:

Método 1

1º Convertimos los factores en números enteros, multiplicándolos por un número compuesto por un 1 seguido de tantos ceros como ci-fras decimales tiene cada uno de ellos. Si uno de los factores es un número entero no se amplifica. En el caso del ejercicio que estamos resolviendo, las multiplicaciones son:

18 532,04 · 100 = 1 853 204 y 5,5 · 10 = 55

2º Multiplicamos los números naturales:

1 8 5 3 2 0 4 · 5 5 9 2 6 6 0 2 0 + 9 2 6 6 0 2 0 1 0 1 9 2 6 2 2 0

3º En el producto, corremos la coma de derecha a izquierda tantos lugares como dígitos decimales tengan los factores en conjunto. En el ejemplo: 18 532,04 tiene 2 decimales y 5,5 tiene 1 decimal, por lo tanto, contamos 3 posiciones de derecha a izquierda en el resultado y allí colocamos la coma: 101 926,220.

Por lo tanto, la Isapre cubre un máximo de $ 101 926,22 para la compra de los lentes ópticos.

Método 2

Una forma de resolución equivalente a la anterior consiste en trans-formar la multiplicación de números decimales a una multiplicación de fracciones decimales. Observa:

d

18 532,04 ⋅100100

⋅5,5 ⋅1010

= 1853 204

100⋅5510

= 1853 204 ⋅55

100 ⋅10 =

101926 2201 000

= 101926,22

n · d

18 532,04 ⋅100100

⋅5,5 ⋅1010

= 1853 204

100⋅5510

= 1853 204 ⋅55

100 ⋅10 =

101926 2201 000

= 101926,22

n =

18 532,04 ⋅100100

⋅5,5 ⋅1010

= 1853 204

100⋅5510

= 1853 204 ⋅55

100 ⋅10 =

101926 2201 000

= 101926,22

Recuerda que los términos de una multiplicación se llaman factores y el resultado, producto.

4 · 3

Factores

= 12

Producto

El resultado de multiplicar dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y cuyo de-nominador es el producto de los denominadores.

Cuando un adulto contrata un plan de salud es muy importante que pida la información detallada de lo que este incluye. Las Isapres cuentan con un informativo específico para cada plan donde figuran los distintos servicios ambulatorios y hospitalarios. Muchas veces en los planes el tope se expresa en UF.

La SaludEnlace con…


Unidad

Ejercicios individualesResuelve las siguientes operaciones multiplicando por medio de los dos métodos. Comprueba a.con una calculadora:

a) 348,69 · 6,7

b) 7 298,42 · 92,72

c) 1 628,33 · 55,55

d) 72,4 · 0,6

18 532,04 ⋅100100

⋅5,5 ⋅1010

= 1853 204

100⋅5510

= 1853 204 ⋅55

100 ⋅10 =

101926 2201 000

= 101926,22

En la unidad siguiente verás detalladamente la multiplicación de fracciones.

DesarrolloHIPERTEXTO

Unidad 118

División de números decimales

Según la Academia Nacional de Ciencias de EE.UU., un niño o niña de 9 a 13 años debería consumir diariamente como mínimo 1,7 L de agua potable, distribuidos en un promedio de 7,5 vasos espaciados equitativamente a lo largo del día.

¿Cuál es la cantidad de agua que debe contener cada vaso? f

Para saber la cantidad de agua que debe contener cada vaso, dividi-mos 1,7 L en 7,5 vasos y para esto utilizaremos el siguiente método:

1. Identificamos cuál de los dos términos de la división tiene más cifras en la parte decimal. En este caso, ambos números son decimales y los dos tienen la misma cantidad de dígitos en la parte decimal.

2. Amplificamos el dividendo y el divisor por un número compuesto por un 1 seguido de tantos ceros como dígitos decimales tenga el número que identificamos en el paso anterior.

1,7 · 10 = 17 7,5 · 10 = 75

3. Dividimos estos números naturales:

1 7 : 7 5 = 0 , 2 2 6 1 7 0 2 0 0 5 0 0 5 0 0 5 0 …

Hay casos en que el dividendo y el divisor no tienen la misma cantidad de dígitos en la parte decimal. En estos casos multiplicamos ambos términos de la división por un 1 seguido de tantos ceros como dígitos después de la coma tenga el número con más cifras decimales. Así habrás convertido tanto dividendo como divisor en números enteros y podrás resolverla sin problemas. Observa el ejemplo:

8,4 : 2,25

En este caso el dividendo tiene 1 dígito decimal y el divisor 2, por lo tanto multiplicaremos ambos por 100. Al hacerlo transformamos la división de números decimales en una división de dos números naturales:

840 : 225

Esta división puedes resolverla como ya sabes.

Recuerda que los términos de una división se llaman dividendo y divisor y el resultado, cociente.

Divisor

8 : 2

Dividendo

= 4

Cociente

Para multiplicar y dividir números decimales en una calculadora científica debes ocupar la tecla / para la división y * para la multiplicación. La coma decimal la encuentras generalmente como un punto, en la tecla ..

Si 6 gatos cazan 6 ratones en 3 minutos, ¿cuánto tardan 100 gatos en cazar 100 ratones?

Desafíoal ingenio


Unidad

Ejercicios individualesResuelve las siguientes divisiones:a.

1 255 : 2,5 = a)

4 587 : 5,4 = b)

2 840 : 2,4 = c)

78,9 : 3 = d)

49,49 : 7 = e)

761,25 : 9 = f)

25,69 : 2,3 = g)

345,82 : 46,3 = h)

105,3 : 3,9 = i)

248,33 : 2,5 = j)

Descubre la relación que existe entre los números de cada pirámide y completa los casilleros b.vacíos:

a) c)

0,1 0,2 0,8 0,16

2 0,2

1,1 7 3

7,7 2,8 1,2

21,56

4,95 3,3 11

1,5 0,3

0,26

1,3

4 8

3 0,5 4

48b) d)

Unidad 120

Análisis de factores y productos

Los alimentos que consumes a diario contienen en mayor o menor cantidad determinados compuestos químicos que el organismo necesita. La carne es una fuente habitual de proteínas, grasas y sales minerales en la dieta humana. Entre los minerales que aporta al organismo se encuentran algunos como el hierro, el potasio y el fósforo.

En la siguiente tabla presentamos la cantidad de miligramos (mg) de fósforo presentes en un gramo (g) de algunos tipos de carnes de consumo habitual:

CarnesFósforo (mg por g de

parte comestible)

Seso de vacuno 2,11

Chuleta de cerdo 0,87

Lomo vetado 0,95

Posta negra 1,05

Si una persona come 150 g de cada una de las carnes mencionadas fen la tabla, ¿qué cantidad de fósforo está ingiriendo con cada una de ellas?, ¿y si comiera solo 0,7 g de cada una?

Carnesmg de fósforo por g de carne

mg de fósforo en 150 g de carne

mg de fósforo en 0,7 g de carne

Seso de vacuno 2,11 2,11 · 150 = 316,5 2,11 · 0,7 = 1,477

Chuleta de cerdo 0,87 0,87 · 150 = 130,5 0,87 · 0,7 = 0,609

Lomo vetado 0,95 0,95 · 150 = 142,5 0,95 · 0,7 = 0,665

Posta negra 1,05 1,05 · 150 = 157,5 1,05 · 0,7 = 0,735

Después de obtener el resultado solicitado en el problema anterior pongamos atención en los números y analicemos los datos obtenidos en la tabla:

En verde tenemos la multiplicación de dos números mayores que 1; en azul la multiplicación de un número mayor que 1 y otro menor que 1 y en rojo se multiplican dos números menores que 1. ¿Qué ocurre con los productos?

2,11 · 150 = 316,5 1,05 · 0,7 = 0,735 0,95 · 0,7 = 0,665

Elije un número decimal. Réstale 0,3 y el resultado multiplícalo por 4. Suma 5,2 y el resultado multiplí-calo por 0,25. Finalmente resta 1. ¿Qué número ob-tienes? Prueba con otros números decimales.

Desafíoal ingenio

Muchas personas se abs-tienen de comer carne y pescado, basando su alimentación en el consumo de cereales, legumbres, frutas y vegetales. Esta dieta es conocida como vegetariana.



Unidad

En la multiplicación de números decimales se obtienen productos que dependen de la naturaleza de los factores:

Cuando los factores son mayores que 1 –tanto si se trata de nú-•meros naturales como decimales– el producto siempre es mayor que cualquiera de los factores.Cuando uno de los factores es mayor que 1 –tanto si se trata de •un número natural o decimal– y el otro es menor que 1, el pro-ducto es mayor que el factor menor que 1 y menor que el factor mayor que 1.Cuando los factores son menores que 1, el producto siempre es •menor que cualquiera de sus factores.

Ejercicios individualesCompleta las siguientes tablas usando calculadora y responde las preguntas:a.

¿Por qué crees que el valor de los productos en todas las columnas va disminuyendo?a) Pinta de un color los casilleros en los que ambos factores son mayores que 1; de un segundo b) color, los casilleros en los que un factor es mayor que 1 y el otro es menor; y de un tercer co-lor, los casilleros en los que ambos factores son menores que 1. ¿Se cumplen las tres reglas expuestas en el cuadro de definición que está más arriba?

2.Responde las preguntas ocupando la información de la siguiente tabla:

Alimento Queso AlmendraYema de

huevoBrócoli Nuez

Calcio (mg por g de alimento)

7,3 2,5 1,3 0,6 0,9

¿Cuántos miligramos de calcio hay en 0,8 g de queso?a)

¿Cuántos miligramos de calcio hay en 0,5 g de almendras?b)

¿Cuántos miligramos de calcio hay en 4,1 g de yema de huevo?c)

¿Cuántos miligramos de calcio hay en 0,4 g de brócoli?d)

¿Cuántos miligramos de calcio hay en 70 g de nueces?e)

¿Cuántos miligramos de calcio hay en una ración de 0,9 g de queso y 10 g de nueces?f)

Factores Producto

18 · 2

18 · 1,5

18 · 1

18 · 0,5

18 · 0,25

Factores Producto

1,7 · 100

1,7 · 10

1,7 · 1

1,7 · 0,1

1,7 · 0,01

Factores Producto

0,3 · 12

0,3 · 4

0,3 · 1

0,3 · 0,4

0,3 · 0,1

Unidad 122

Hoy, excepto en unos pocos países, la unidad de longitud que se utiliza es el metro. Algunas de sus equivalencias son:

Números decimales: unidades de longitud

¿Qué significa la afirmación “Carla caminó 1,8 metros”? f¿Es lo mismo que decir: “Carla caminó 1,8 centímetros”? f

De forma gráfica

1 metro equivale a 100 centímetros. Dividimos 1 metro en 100 partes iguales y cada una de esas partes corresponde a 1 centímetro. Considerando lo anterior, 1,8 metros se podría representar así:

En conclusión, 1,8 metros equivalen a 180 centímetros.

De forma aritmética

También se puede determinar la equivalencia de la siguiente forma:

Unidades de longitud y sus equivalenciasKilómetro Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro

1 kilómetro (km) 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 0001 hectómetro (hm) 0,1 1 10 100 1 000 10 000 100 0001 decámetro (dam) 0,01 0,1 1 10 100 1 000 10 0001 metro (m) 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 0001 decímetro (dm) 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 1001 centímetro (cm) 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10

1 milímetro (mm) 0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1

8 décimas de 1 metro

8 décimas de 1 metro son 80 cm

8 décimas de 100 cm porque 1 m = 100 cm

810

⋅1 m = 8

10⋅100 cm =

80010

cm = 80 cm

Por lo tanto; 1,8 m es lo mismo que 1 m +

810

⋅1 m = 8

10⋅100 cm =

80010

cm = 80 cm m = 100 cm + 80 cm = 180 cm.

Antiguamente se utilizaban diversas unidades de lon-gitud. Incluso en algunos países siguen utilizándose algunas de ellas:

Sistema francés

antiguo y anglosajón

Sistema métrico decimal actual

Braza 1,8228 mCable 185,19 mLegua francesa 4,44 kmLegua de posta 4 kmLegua marina 5,5555 kmLínea 2,1167 mmMilla marina (inglesa) 1,8532 km

Milla terrestre (EE.UU.) 1,8522 km

Milla terrestre 1,6903 kmPie 32,48 cmPie francés 32,40 cmPulgada 2,5401 cmToesa 1,949 m

Yarda 0,9144 m

Archívalo


Unidad

Ejercicios individualesEl hombre más alto que se conoce fue Robert Pershing Wadlow, un estadounidense que nació en a.1918 y murió en 1940. Medía 2,72 m de altura. Poseía las manos más grandes, con una longitud de 32,3 cm desde la muñeca hasta la punta del dedo medio, y los pies más grandes, que cubría con zapatos de 47 cm de longitud.

¿Cuántos centímetros medía Robert Pershing?a)

¿Cuántos metros medían los zapatos de Robert Pershing?b)

¿Cuántos milímetros medía la mano de Robert Pershing?c)

En Santiago, las cuadras antiguas medían 120 m. Actualmente las b.cuadras son de 100 m cada una. Además, salvo algunas excepciones, la numeración de las casas avanza 100 unidades por cuadra.

¿Cuántos kilómetros representan 120 m? a)

¿Cuántos kilómetros tiene una calle actual cuya numeración va del b) 0 al 8 400?

Marca >, < o = según corresponda. Fíjate en la unidad de medida:c.

ProblemasLa directiva del centro deportivo de una municipalidad ha decidido 1. embellecer la piscina municipal colocando por la orilla de los cua-tro lados una franja de listeles con motivos mexicanos. La piscina tiene forma rectangular de 51 m de largo por 21 m de ancho. Si los listeles miden 30 centímetros de largo, ¿cuántos listeles se necesitan para cubrir toda la piscina?

La misma municipalidad cuenta con un terreno vacío de 100 m de 2. frente por 45 m de fondo y el alcalde ha decidido construir allí un gimnasio para la comunidad. Piensen en posibles distribuciones y finalmente escojan una de ellas, teniendo en cuenta que en el gimnasio quieren construir una piscina de 35 m por 15 m, una multicancha techada de 40 m por 40 m y una zona de juegos y parque en el resto del terreno.

Dibujen el plano en sus cuadernos utilizando la escala 1:1 000, esto quiere decir que 1 cm del dibujo representa 1 000 cm reales (10 metros), por lo que cada metro de gimnasio está representado por 0,1 cm en el papel.

8,24 m a) 5,43 mm

13,6 km b) 13,6 cm

c) 0,5 m 0,8 mm

d) 24,15 dm 30,9 cm

e) 3,1 km 3 300 m

f) 23,2 cm 0,0232 dm

Unidad 124

Números decimales: unidades de masa

Supón que van a preparar un asado en tu casa. Tu mamá te pide que vayas a comprar el carbón y te dice que compres una bolsa de 2 500 gramos. Al llegar al supermercado, encuentras dos tipos de bolsas: unas de 2,5 kilogramos y otras de 4,2 kilogramos.

¿De cuál de las bolsas tienes que comprar? f

De forma gráfica:

Un kilogramo equivale a 1 000 gramos. Para saber, por ejemplo, a cuánto equivalen 0,5 kilogramos, dividimos 1 kilogramo en 10 par-

tes. Cada una de esas partes tiene una masa de 100 gramos.

510

de

kilogramo, entonces, son 500 gramos. Observa el siguiente dibujo que muestra gráficamente la equivalencia en gramos de cada bolsa:

Como ves, 2,5 kilogramos equivalen a 2 500 gramos, mientras que 4,2 kilogramos equivalen a 4 200 gramos. Tendrías que comprar la bolsa de 2,5 kilogramos, ya que 2,5 kg = 2 500 g.

De forma aritmética:

También podemos determinar lo que significa la parte decimal de cada número. Por ejemplo, para el 2,5:

5 décimas de 1 kg

5 décimas de 1 kg son 500 g

5 décimas de 1 000 gporque 1 kg = 1 000 g

510

⋅1 kg = 5

10⋅1000 g =

500010

g = 500 g

Por lo tanto, 2,5 kg son 2,0 kg + 0,5 kg = 2 000 g + 500 g = 2 500 g.

La masa es una propiedad que indica la cantidad de materia que posee un cuer-po. Es independiente del lugar que ocupa el cuerpo en el espacio.El peso es la fuerza con que la Tierra –o cualquier otro cuerpo celeste– atrae a los cuerpos que están en sus cercanías. El peso de un objeto material es diferente dependiendo del cuerpo celeste en el que se encuentra, así por ejemplo, el peso de un objeto es mayor en la Tierra que en la Luna.

Archívalo

La combustión del carbón produce benzopireno, un producto cancerígeno. En un kilogramo de carne a la parrilla hay tanto ben-zopireno proveniente del carbón como el que se encuentra en el humo de 600 cigarrillos.


200 g

2 500 g

200 g200 g200 g200 g200 g200 g200 g200 g200 g200 g200 g200 g200 g200 g200 g200 g200 g200 g200 g200 g

4 200 g


Unidad

La unidad de masa básica establecida en el Sistema Internacional de Unidades es el kilogramo y algunas de sus equivalencias son:

Unidades de masa y sus equivalenciasKilogramo Hectogramo Decagramo Gramo Decigramo Centigramo Miligramo

1 kilogramo (kg) 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 0001 hectogramo (hg) 0,1 1 10 100 1 000 10 000 100 0001 decagramo (dag) 0,01 0,1 1 10 100 1 000 10 0001 gramo (g) 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1 0001 decigramo (dg) 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10 1001 centigramo (cg) 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1 10

1 miligramo (mg) 0,000001 0,00001 0,0001 0,001 0,01 0,1 1

Ejercicios individualesCompleta con >, < o = según corresponda:a.

1,2 kg a) 0,12 hg

360 g b) 0,36 kg

250 g c) 0,25 kg

78,9 cg d) 7,89 dg

45 dag e) 4,5 kg

3,4 dg f) 34 g

ProblemasEn un supermercado es posible 1. encontrar los siguientes precios por kilogramo de cada producto:

Si Anastasia compra 3,6 kg de a) manzanas, 500 g de tomates, 250 g de jamón pierna y 1 kg de du-raznos, ¿cuánto dinero le costará la compra?

Si Ana compra 2 kg de manzanas, b) 1,5 kg de zanahorias, 1,3 kg de papas, 300 g de queso, 1,8 kg de tomates y 150 g de jamón, ¿cuánto gastará en su compra?

¿Cuántos kg de queso y cuántos c) de pan puede comprar Natalia con $ 1 800 si quiere comprar la misma cantidad de cada uno?

Duraznos$ 640

Zanahorias$ 230

Manzanas $ 450

Tomates$ 730

Queso$ 3 900

Jamón pierna$ 3 500

Papas$ 300

Pan$ 600

Unidad 126

Resolución de problemasProblema modeloUna pequeña industria del sector químico dedicado al rubro de fertilizantes agrícolas fabrica diariamente 5 420,3 kg de amoniaco y 4 653,7 kg de urea. El precio de venta por tonelada de producto en mercados internacionales es US$ 250,5 para el amoniaco y US$ 225,2 para la urea.

¿A cuánto asciende el dinero recaudado por las ventas de la produc-a) ción diaria de amoniaco?¿Cuánto es lo recaudado por las ventas diarias de urea?b) ¿A cuánto asciende el dinero recaudado por las ventas de la produc-c) ción semanal de ambos productos?

a) Entiende: ¿Qué sabes del problema?

Se conoce la cantidad de amoniaco y de urea producidos diariamente.•Se conocen los precios del amoniaco y de la urea expresados en dólares.•

b) Planifica tu estrategia: ¿Cómo puedes resolver el problema?

El producto de la producción diaria de amoniaco y su precio nos permitirá conocer los •ingresos de dinero por ventas de amoniaco.El producto de la producción diaria de urea y su precio nos permitirá conocer los ingresos •de dinero por ventas de urea.El producto entre la producción semanal (7 días) de amoniaco y su precio, sumado con el •producto entre la producción semanal (7 días) de urea y su precio, nos permitirá conocer los ingresos semanales.

d) Responde: Contesta las preguntas del problema

Las ventas de la producción diaria de amoniaco corresponden a US$ 1 357,78515.•Las ventas de la producción diaria de urea corresponden a US$ 1 048,01324.•Las ventas de la producción semanal de ambos productos corresponden a •US$ 16 840,58873.

e) Comprueba: Aplica otra estrategia para comprobar el resultado

Para comprobar que los resultados fueron calculados correctamente es recomendable uti-•lizar una calculadora.

c) Resuelve: Desarrolla el problema para llegar a una respuesta

Como los precios están expresados por tonelada de productos, debemos dividirlos por mil: •250,5 : 1 000 = 0,2505 US$ por kg 225,2 : 1 000 = 0,2252 US$ por kg5 420,3 · 0,2505 = US$ 1 357,78515 4 653,7 · 0,2252 = US$ 1 048,01324•(5 420,3 · 7) · 0,2505 + (4 653,7 · 7) · 0,2252 = US$ 16 840,58873•

Unidad


Problema 1A Miguel le gustan mucho las frutas. En la feria compró 0,5 kg de moras; 0,75 kg de frutillas y 1,2 kg de frambuesas. Si las moras y las frutillas las compartió en cantidades iguales con su hermana, y las frambuesas las compartió con su hermana y su madre en partes iguales, responde:

¿Qué cantidad de frutillas le corresponden a Miguel?a) ¿Qué cantidad de moras le corresponden a Miguel?b) ¿Qué cantidad de frambuesas le corresponden a Miguel?c)

Problema 2Una carretera se ha ido entregando en tramos iguales de 18,275 km. Si se entregaron un total de 7 tramos, responde:

¿Cuál era el largo de la carretera tras la entrega del cuarto tramo?a) ¿Cuál es el largo de la carretera construida completa?b)

Problema 3En la Plaza de Armas de un pueblo hay muchos árboles. Uno de ellos crece 20,75 cm al año.

¿Cuántos metros medirá al cabo de 8 años si inicialmente media a) 2,6 m?¿A cuánto corresponde esta altura si la aproximas a la centésima? b) ¿Y a la décima?

Problema 4Un vehículo de transporte de turistas tiene una tara (masa sin carga) de 1 030,25 kg. La masa máxima autorizada para este tipo de vehículo es de 1 695 kg. Una mañana suben a él cinco pasajeros. La masa corporal de dos de ellos es de 71,3 kg y la de los otros tres de 78,5 kg. La masa corporal del chofer es de 67,5 kg.

Una vez que los pasajeros están sobre el vehículo, ¿cuál es la masa a) máxima que puede cargar como equipaje?Si la masa del equipaje del grupo de turistas es de 309,5 kg, ¿cuántos b) kilogramos no podrán ser cargados en el vehículo?


Unidad 128

Tecnología activaTransformando unidades

Construiremos una tabla en Excel que permitirá expresar automáticamente las unidades me-tro (longitud), litro (volumen) y gramo (masa) en algunos de sus diferentes múltiplos (unidades mayores que la unidad básica) y submúltiplos (unidades menores que la unidad básica).

Creación de la hoja de cálculo.1. Crea un nuevo libro o proyecto en Excel. Llámalo “Tabla de transformación de unidades”.››

Copia los títulos: “Longitud” en la celda B1, “Volumen” en la C1 y “Masa” en la D1.››

Copia las unidades de referencia: “Metro” en la celda B2, “Litro” en la C2 y “Gramo” ››

en la D2.

En las celdas B3, C3 y D3 anota “1”.››

En la columna A escribe los múltiplos y submúltiplos: Kilo, Hecto, Deca, Deci, Centi y ››

Mili en las celdas A4, A5, A6, A7, A8 y A9.

A continuación escribiremos las equivalencias ››

correspondientes para cada una de las unidades de referencia:

A continuación selecciona con el ›› mouse las celdas desde la B4 hasta la B9.

Dirige el cursor al extremo inferior derecho de ››

las celdas seleccionadas y cuando aparezca una cruz negra “+” arrástralo hasta la celda D9.

Tu hoja de cálculo debe verse como se muestra a continuación:››

En la celda… Escribe…

B4 =B3/1000

B5 =B3/100

B6 =B3/10

B7 =B3*10

B8 =B3*100

B9 =B3*1000


Unidad

Ejemplificaremos el uso de la planilla que acabas de construir completando la siguiente ››

tabla de equivalencias:

Valor Kilo Hecto Deca Deci Centi Mili

3,5 m

0,3 L

1,2 g

Incorporando los valores 3,5; 0,3 y 1,2 a la planilla en las celdas B3, C3 y D3 obtendre-››

mos lo siguiente:

Aplicando lo aprendido.2. Incorpora los valores de la planilla a la tabla de arriba y responde las siguientes pre-a) guntas:

¿A cuántos centímetros equivalen 3,5 metros?››

¿A cuántos hectolitros equivalen 30 centilitros?››

¿A cuántos kilogramos equivalen 1 200 miligramos?››

Utiliza la planilla recién creada para obtener los múltiplos y submúltiplos de los si-b) guientes valores:

- 0,1 m; 9,6 L y 1 245,75 g

- 128,758 m; 0,045 L y 65 g

Responde:

¿A cuántos decímetros equivalen 12 875,8 centímetros?››

¿A cuántos mililitros equivalen 0,045 litros?››

¿A cuántos decagramos equivalen 12 457,5 decigramos?››

Unidad 130

Ficha 1

Un número decimal finito se puede expresar

mediante la siguiente fracción:

ab

cd

ef

Donde:a: número decimal sin la coma.b: un 1 seguido de tantos ceros como dígitos decimales posee el número decimal.

Ficha 2

Un número decimal infinito periódico se puede

expresar mediante la siguiente fracción:

ab

cd

ef

Donde:c: resultado de la sustracción entre el número formado por la parte entera seguida del período sin la coma, y el número de la parte entera.d: número constituido por tantos 9 como dígitos tiene el período.

Ficha 3

Un número decimal infinito semiperiódico se

puede expresar mediante la siguiente fracción:

ab

cd

ef

Donde:e: resultado de la sustracción entre el número for-mado por la parte entera seguida del anteperíodo y del período sin la coma, y el número formado por la parte entera y el anteperíodo sin la coma.f: número constituido por tantos 9 como cifras ten-ga el período seguido de tantos ceros como cifras tenga el anteperíodo.

Ficha 4

Para multiplicar números decimales se deben multiplicar los números sin sus comas y al resultado incorporar la coma de forma que determine tantos dígitos decimales en él como dígitos decimales tenían en su conjunto los factores.

Ficha 5

Para dividir dos números decimales se debe iden-tificar cuál de ellos posee más dígitos decimales y luego multiplicar ambos –dividendo y divisor– por un múltiplo de 10 con tantos ceros como dígitos decimales posee el número identificado. Finalmente, se realiza la división de los dos números naturales obtenidos tras la multiplicación.

Ficha 6

Los números decimales se utilizan para realizar la conversión de unidades. Así permiten obtener múltiplos y sub-múltiplos de las unidades de longitud y masa, entre otras.

Síntesis de la unidad

SíntesisHIPERTEXTO


Unidad

EvaluaciónExpresa los números decimales como fracciones. Comprueba usando calculadora:a.

I Ejercicios de desarrollo

0,a) 5 =

0,0b) 5 =

0,65c) =

0,12d) 3 =

3,e) 45 =

8,3f) 54 =

12,4435g) =

121,09h) 87 =

3,2 · 0,9a) =

0,09 · 0,1b) =

0,34 · 54,3c) =

2,34 · 7,86d) =

0,876 · 32,4673e) =

1,46 · 9,354f) =

13,68 · 0,7g) =

0,0006 · 0,00054 =h)

3,6578 + 7,9985a) =

0,0546 + 2,59932b) =

7,5347 + 18,6509c) =

99,6547 + 0,7178d) =

23,0811 – 18,6188e) =

14,654 – 13,775f) =

0,8765 – 0,65399g) =

101,765 – 37,8064 = h)

Resuelve las siguientes multiplicaciones de números decimales:c.

Desarrolla las siguientes adiciones y sustracciones de números decimales:b.

Unidad 132

Resuelve las siguientes divisiones de números decimales:d.

Anota el producto de los siguientes pares de números redondeándolos previamente a la posición e.indicada:

Une mediante una línea las expresiones de la columna izquierda con sus equivalentes de la f.columna derecha:

4,9 : 0,5 =a)

10,5 : 0,1 =b)

3,25 : 4,3 =c)

0,34 : 0,81 =d)

0,6 : 3,2 =e)

6,4 : 0,2 =f)

23,09 : 0,2 =g)

0,008 : 0,4 =h)

Factores Producto previo redondeo de los factores a la…

Número 1 Número 2 Milésima Centésima Décima

0,3546 2,465348

3,6657 2,9982

1,2511 9,8467

0,25563 13,8552

3,2 kg 0,2 h

2 005 ml 1 050 m

12 min 2,005 L

0,75 km 0,145 dag

75 hg 120 000 ml

1 200 dl 8 280 s

10,5 hm 320 000 cg

1 450 mg 750 m

2,3 h 75 000 dg

Juan compró 13 bolsas y media de harina. Si cada bolsa contiene 0,75 kilogramos; ¿cuánta g.harina compró?

Loreto ha dado 8 vueltas a una plaza trotando. Cuando llevaba la cuarta parte de la novena h.vuelta se detuvo a tomar agua. Si en cada vuelta recorrió 123,25 metros; ¿qué distancia llevaba trotando cuando se detuvo?


a A un supermercado llegan cajas de conser-vas con 24 latas cada caja. Si la masa de una caja es de 12,734 kg, ¿cuál es la masa aproximado de cada lata?

a) 0,53 g

b) 5 530 g

c) 0,56 kg

d) 0,53 kg

e De una bolsa de arroz de 2,5 kg sacamos 1,06 kg. Calcula cuánto queda en la bolsa. Si lo que queda en la bolsa lo repartimos en tres bolsas, ¿qué masa tendrá cada una?

a) Quedan 0,9 kg y cada bolsa ten-drá 0,3 kg.

b) Quedan 1,44 kg y cada bolsa ten-drá 0,48 kg.

c) Quedan 0,9 kg y cada bolsa ten-drá 0,03 kg.

d) Quedan 1,44 kg y cada bolsa tendrá 0,048 kg.

b ¿Cuántas botellas de leche de 0,75 L se pueden llenar con un bidón de 24,75 L?

a) 24

b) 33

c) 36

d) 28

f Si se aproxima por redondeo a la milésima el número 0,56365 queda:

a) 0,56

b) 0,563

c) 0,564

d) 0,5637

c Para realizar la instalación eléctrica de una casa se necesitan 98,7 m de cable. Si cada rollo de cuatro metros y medio cuesta $ 360 y no se venden trozos de menor longitud, ¿cuál será el costo de la compra de cable para la instalación?

a) $ 7 560

b) $ 7 920

c) $ 8 280

d) $ 7 200

g El automóvil de Marcos consume 6,7 L de bencina cada día laboral, mientras que en todo el fin de semana consume 17,4 L. Si el litro de bencina cuesta $ 685,5, ¿cuánto dinero aproximadamente gasta Marcos en gasolina en una semana?

a) $ 34 892

b) $ 32 654

c) $ 39 051

d) $ 33 980

d Un edificio de 8 pisos tiene una altura de 29,52 m. Calcula la altura aproximada del cuarto piso si el primero tiene 3,96 m de altura y los otros 7 tienen cada uno la misma altura.

a) 3,45 m

b) 3,85 m

c) 3,65 m

d) 3,75 m

h Un recipiente contiene 0,75 L de jugo de naranja. Si el jugo se reparte en forma equitativa a tres niños, ¿cuántos mililitros corresponden a cada uno?

a) 0,25 ml

b) 2,5 ml

c) 25 ml

d) 250 ml

II Ejercicios con alternativas Marca las alternativas correctas en la hoja de respuestas que te dará el docente y completa la

tabla que allí aparece.

Unidad

EvaluaciónHIPERTEXTO

34

Red conceptual

Números fraccionarios,

razones y porcentajes

2Unidad

Fracciones, razones y

porcentajes

Multiplicaciones

Divisiones

Proporciones

Propiedad fundamental

Gráficamente

Como fracciones o decimales

Como razones

para resolver

usadas en

expresadas

Razones

Porcentajes

Fracciones

Entrada de unidad

35

¿Qué es el IPC?

Durante la primera semana de cada mes el Instituto Nacional de Estadísticas (INE) llama a la prensa para dar a conocer el valor que ha alcanzado el IPC (Índice de Precios al Consu-midor). Esta se encarga de difundirlo a la población, ya que es un número que a todos les interesa conocer. De su valor dependen cosas tan importantes como el aumento que tenga la UF (en la que se expresan, por ejemplo, las deudas de vivienda) o los aumentos que tengan los sueldos que hayan sido pactados teniendo en cuenta este valor.El IPC representa el valor del costo de la vida, ya que es un índice que recoge la variación

que han tenido cada mes los precios de los bienes y servicios consumidos por los hogares chilenos.De esta forma, si un conjunto de productos o servicios aumenta de precio, la misma cantidad

de dinero no alcanzará para comprarlos. A través del IPC se refleja el cambio –normalmente la disminución– en el poder adquisitivo del dinero.

¿Has escuchado hablar del IPC?

¿Cuánto varió el IPC este mes?

¿Cómo se expresa la variación del IPC?

¿Puedes resolver?Entre los meses de enero y febrero los precios de algunos productos

aumentaron como se muestra en la tabla:

Producto [1 kg]

Precio en enero [$]

Precio en febrero [$]

Azúcar 570 580

Porotos 990 1 090

Pan 660 700

Tomates 640 690

¿En qué porcentaje aumentó aproximadamente cada uno de los precios de los productos de la tabla entre enero y febrero?

Si el aumento porcentual fuera el mismo en el período febrero-marzo, ¿cual sería aproximadamente el precio de cada producto en el mes de marzo?


Resolver multiplicaciones y divisiones de fracciones.

Interpretar una razón como la comparación entre dos magnitudes utilizando su cociente.

Utilizar la propiedad fundamental de las proporciones para resolver diversos problemas.

Expresar un porcentaje mediante una fracción o un número decimal.

Emplear porcentajes para comunicar información.

MotivaciónHIPERTEXTO

Unidad 236

Actividad inicialEn muchas oportunidades es necesario que dividamos o fraccionemos cantidades,

ya sea para repartirlas entre varias personas, para distribuir nuestro tiempo conve-nientemente entre todas las labores que deseamos realizar, etc. Por ejemplo, si hace-mos una tarea dada en un determinado tiempo, podemos estimar que realizaremos la mitad de la tarea en la mitad del tiempo, la cuarta parte de la tarea en la cuarta parte del tiempo y que seremos capaces de realizar dos tareas similares en el doble del tiempo que demoramos en cada una.

Lean la historieta y respondan las preguntas de la página siguiente:1.

Fernanda, Camila, Gustavo y Felipe decidieron ayudar a mamá preparando galletas para su negocio.

37Números fraccionarios, razones y porcentajes

Unidad

¿Cuál de los cuatro niños y niñas hizo más docenas de galletas por hora?a)

Calculen los minutos promedio que cada uno empleó en hacer una docena b) de galletas. Guíense por el ejemplo:

¿Cuáles de estas fracciones son equivalentes? ¿Cuál de las cuatro es mayor?3.

¿Qué otras fracciones son equivalentes a 4.

13

y a

14

?

¿En qué relojes pintaron las mismas porciones? ¿Qué pueden concluir?5.

Identifiquen los minutos correspondientes a las siguientes fracciones de hora:2.

16

de hora =

13

de hora =

14

de hora =

18

de hora =

¿Cuántos tercios de hora se demoraron por docena Fernanda y Gustavo?a)

¿Cuántos sextos de hora se demoraron Fernanda y Gustavo?b)

¿Cuántos cuartos de hora se demoró Camila?c)

¿Cuántos octavos de hora se demoró Felipe?d)

Grafiquen sus respuestas, achurando las fracciones correspondientes:

Fernanda Gustavo Camila Felipe

Escribe cuántas docenas de galletas hizo:

3

Transforma en minutos las horas empleadas:

1 · 60 = 60

Divide la cantidad de minutos por el número de docenas:

60 : 3 = 20

El tiempo promedio utilizado en hacer una docena de galletas es:

20 minutos

Fernanda y Gustavo Camila Felipe

39

1

2

4

57

8

10

1112

6

39

1

57

1112

6

2

48

10

1

2

4

57

8

10

1112

3

6

9

1

2

4

57

8

10

1112

3

6

9

Tercios de hora por docena

Sextos de hora por docena

Cuartos de hora por docena

Octavos de hora por docena


Unidad 238

Multiplicación de fracciones

La señora María tiene en su casa una microempresa de preparación

de dulces. Cada semana, de los 30

34

23

1234

⋅23=

123 ⋅24 ⋅3

=24612

24612

: 6

: 6=

412

=12

18⋅2 =

18⋅21=

28=

14

30 ⋅4 + 34

kg de azúcar que compra, destina

34

23

1234

⋅23=

123 ⋅24 ⋅3

=24612

24612

: 6

: 6=

412

=12

18⋅2 =

18⋅21=

28=

14

30 ⋅4 + 34

a la confección de tortas, reservando el resto para los berlines.

¿Qué cantidad de azúcar utiliza cada semana la señora María en la fpreparación de tortas?

Antes que nada transformemos el número mixto a fracción:

30

34

23

1234

⋅23=

123 ⋅24 ⋅3

=24612

24612

: 6

: 6=

412

=12

18⋅2 =

18⋅21=

28=

14

30 ⋅4 + 34

=

34

23

1234

⋅23=

123 ⋅24 ⋅3

=24612

24612

: 6

: 6=

412

=12

18⋅2 =

18⋅21=

28=

14

30 ⋅4 + 34

=

34

23

1234

⋅23=

123 ⋅24 ⋅3

=24612

24612

: 6

: 6=

412

=12

18⋅2 =

18⋅21=

28=

14

30 ⋅4 + 34

Para averiguar cuál es la cantidad de azúcar destinada a las tortas debemos realizar una multiplicación de fracciones, observa:

34

23

1234

⋅23=

123 ⋅24 ⋅3

=24612

24612

: 6

: 6=

412

=12

18⋅2 =

18⋅21=

28=

14

30 ⋅4 + 34

El resultado de la multiplicación de dos fracciones es una nueva fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de los factores y el denominador es el producto de sus denominadores:

ab⋅cd=

a ⋅ cb ⋅d

La señora María emplea

34

23

1234

⋅23=

123 ⋅24 ⋅3

=24612

24612

: 6

: 6=

412

=12

18⋅2 =

18⋅21=

28=

14

30 ⋅4 + 34

kg de azúcar en las tortas. Transfor-

mando esta fracción impropia a número mixto podremos hacernos una idea más concreta de la cantidad de kilogramos que esto representa.

Primero simplificamos la fracción por 6 y luego convertimos en número mixto:

34

23

1234

⋅23=

123 ⋅24 ⋅3

=24612

24612

: 6

: 6=

412

=12

18⋅2 =

18⋅21=

28=

14

30 ⋅4 + 34

: 6

: 6

34

23

1234

⋅23=

123 ⋅24 ⋅3

=24612

24612

: 6

: 6=

412

=12

18⋅2 =

18⋅21=

28=

14

30 ⋅4 + 34

20

34

23

1234

⋅23=

123 ⋅24 ⋅3

=24612

24612

: 6

: 6=

412

=12

18⋅2 =

18⋅21=

28=

14

30 ⋅4 + 34

La señora María emplea 20

34

23

1234

⋅23=

123 ⋅24 ⋅3

=24612

24612

: 6

: 6=

412

=12

18⋅2 =

18⋅21=

28=

14

30 ⋅4 + 34

kg, es decir, 20 kilogramos y medio

de azúcar a la semana en la preparación de tortas.

Otra microempresaria del rubro es la señora Raquel, a quien le encargaron una docena de pasteles para una casa particular. Para 6

pasteles la señora Raquel emplea

34

23

1234

⋅23=

123 ⋅24 ⋅3

=24612

24612

: 6

: 6=

412

=12

18⋅2 =

18⋅21=

28=

14

30 ⋅4 + 34

kg de mantequilla.

Para calcular la fracción de una cantidad debe-mos realizar el producto de esa cantidad por la fracción.

Para escribir fracciones y números mixtos en una calculadora debes ocupar la tecla [. Por ejemplo,

para escribir 23

debes es-

cribir 2, presionar la tecla [ y luego escribir 3; y

para escribir 4 35

debes

escribir 4, presionar [, escribir 3, presionar nue-vamente [ y, finalmente, escribir 5.

El arte y oficio de elaborar pasteles y dulces recibe el nombre de repostería.

Archívalo


Unidad

¿Qué cantidad de mantequilla necesitará para preparar una docena fde pasteles?

Para responder, primero debemos determinar en cuánto aumentó la receta. Si la receta inicial era para 6 pasteles y ahora es para 12 pasteles, entonces, aumentó al doble y debemos multiplicar los ingredientes por 2. Para la mantequilla tenemos:

34

23

1234

⋅23=

123 ⋅24 ⋅3

=24612

24612

: 6

: 6=

412

=12

18⋅2 =

18⋅21=

28=

14

30 ⋅4 + 34

Para preparar 12 pasteles la señora Raquel necesitará

34

23

1234

⋅23=

123 ⋅24 ⋅3

=24612

24612

: 6

: 6=

412

=12

18⋅2 =

18⋅21=

28=

14

30 ⋅4 + 34

kg de mantequilla.

Para multiplicar una fracción por un número natural debes con-vertir el número natural en fracción. Esta fracción queda consti-tuida por el número natural como numerador y un 1 como deno-minador. Luego se multiplican ambas fracciones.

Ejercicios individualesEncuentra los productos y exprésalos como fracción irreductible:a.

a) 45

· 37

= e) 59

· 12

=

b) 23

· 45

= f) 34

· 710

=

c) 34

· 47

= g) 19

· 713

=

d) 65

· 152

= h) 103

· 610

=

Resuelve las siguientes multiplicaciones. Simplifica en forma cruzada antes de resolver:b.

a) 38

· 521

= c) 1518

· 45

= e) 58

· 210

=

b) 49

· 316

= d) 34

· 23

= f) 25

· 52

=

Calcula el producto, luego exprésalo como fracción irreductible:c.

a) 5 · 520

= c) 5 · 610

= e) 944

· 4 =

b) 4 · 520

= d) 4 · 74

= f) 342

· 6 =

Recuerda que la simpli-ficación se hace siempre entre un numerador y un denominador, entonces puedes simplificar en forma cruzada:

1

35

· 712

=1· 75 · 4

= 720

4


Unidad 240

División de fracciones

El estanque principal de una empresa de bebidas debe distribuir su contenido en

botellas de 2

1

2

3

4

380 ⋅4 + 3

4

1523

4

2 ⋅2 +1

2

5

21523

4:

5

2=

1532

4⋅2

5=

1523

4⋅

2

5=

1523 ⋅12 ⋅5

=1523

10

3

10

L. El nivel del estanque

indica que quedan 380

1

2

3

4

380 ⋅4 + 3

4

1523

4

2 ⋅2 +1

2

5

21523

4:

5

2=

1532

4⋅2

5=

1523

4⋅

2

5=

1523 ⋅12 ⋅5

=1523

10

3

10

L.

¿Cuántas botellas es posible llenar? f

La cantidad de botellas que se pueden llenar se calcula dividiendo la cantidad de litros de bebida que contiene el estanque por la capacidad de cada botella:

380

1

2

3

4

380 ⋅4 + 3

4

1523

4

2 ⋅2 +1

2

5

21523

4:

5

2=

1532

4⋅2

5=

1523

4⋅

2

5=

1523 ⋅12 ⋅5

=1523

10

3

10

: 2

1

2

3

4

380 ⋅4 + 3

4

1523

4

2 ⋅2 +1

2

5

21523

4:

5

2=

1532

4⋅2

5=

1523

4⋅

2

5=

1523 ⋅12 ⋅5

=1523

10

3

10Para resolver esta división primero transformamos los números

mixtos en fracciones:

380

1

2

3

4

380 ⋅4 + 3

4

1523

4

2 ⋅2 +1

2

5

21523

4:

5

2=

1532

4⋅2

5=

1523

4⋅

2

5=

1523 ⋅12 ⋅5

=1523

10

3

10

=

1

2

3

4

380 ⋅4 + 3

4

1523

4

2 ⋅2 +1

2

5

21523

4:

5

2=

1532

4⋅2

5=

1523

4⋅

2

5=

1523 ⋅12 ⋅5

=1523

10

3

10

=

1

2

3

4

380 ⋅4 + 3

4

1523

4

2 ⋅2 +1

2

5

21523

4:

5

2=

1532

4⋅2

5=

1523

4⋅

2

5=

1523 ⋅12 ⋅5

=1523

10

3

102

1

2

3

4

380 ⋅4 + 3

4

1523

4

2 ⋅2 +1

2

5

21523

4:

5

2=

1532

4⋅2

5=

1523

4⋅

2

5=

1523 ⋅12 ⋅5

=1523

10

3

10

=

1

2

3

4

380 ⋅4 + 3

4

1523

4

2 ⋅2 +1

2

5

21523

4:

5

2=

1532

4⋅2

5=

1523

4⋅

2

5=

1523 ⋅12 ⋅5

=1523

10

3

10

=

1

2

3

4

380 ⋅4 + 3

4

1523

4

2 ⋅2 +1

2

5

21523

4:

5

2=

1532

4⋅2

5=

1523

4⋅

2

5=

1523 ⋅12 ⋅5

=1523

10

3

10Por lo tanto la división queda:

1

1

2

3

4

380 ⋅4 + 3

4

1523

4

2 ⋅2 +1

2

5

21523

4:

5

2=

1532

4⋅2

5=

1523

4⋅

2

5=

1523 ⋅12 ⋅5

=1523

10

3

10 2

Esta fracción expresada como número mixto es 152

1

2

3

4

380 ⋅4 + 3

4

1523

4

2 ⋅2 +1

2

5

21523

4:

5

2=

1532

4⋅2

5=

1523

4⋅

2

5=

1523 ⋅12 ⋅5

=1523

10

3

10, es decir,

es posible llenar 152 botellas de 2

1

2

3

4

380 ⋅4 + 3

4

1523

4

2 ⋅2 +1

2

5

21523

4:

5

2=

1532

4⋅2

5=

1523

4⋅

2

5=

1523 ⋅12 ⋅5

=1523

10

3

10

L y sobran

1

2

3

4

380 ⋅4 + 3

4

1523

4

2 ⋅2 +1

2

5

21523

4:

5

2=

1532

4⋅2

5=

1523

4⋅

2

5=

1523 ⋅12 ⋅5

=1523

10

3

10 de litro.

Una forma práctica de dividir dos fracciones consiste en multipli-car la primera fracción (dividendo) por la segunda fracción (divi-sor) invertida:

ab

:cd=

ab⋅dc=

a ⋅db ⋅ c

El método ocupado para dividir fracciones se basa en la relación inversa existente entre las opera-ciones de multiplicación y división.

Para multiplicar y dividir fracciones y números mixtos en una calculadora científica debes ocupar la tecla / para la división y * para la multiplicación. La línea de fracción está en la tecla [

Se dice que la fracción ab

ba

711

117

es recíproca de la frac-

ción ab

ba

711

117

.

Por ejemplo, la fracción

recíproca de ab

ba

711

117

es ab

ba

711

117

. El

producto de una fracción y su recíproca es siempre 1.

Archívalo


Unidad


ProblemasDoña Ester riega sus plantas vertiendo sobre ellas 1.

72

:23

56

:12

42

:14

125

:33

83

:56

93

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:1719

2 35

:135

12 78

: 3 25

1

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2

2

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2

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89

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9

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7

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87 1

525

L de

agua al día. Si cada riego consiste en un recipiente de

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10 0001312

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2 35

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L

lleno, ¿cuántas veces al día riega sus plantas doña Ester?

Javier corta una vara de 2.

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2 35

:135

12 78

: 3 25

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2

2

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2

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5

89

4

9

102

7

812 3

42 1

87 1

525

m de largo en trozos iguales de

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10 0001312

:1719

2 35

:135

12 78

: 3 25

1

2

3

4

2

2

3

2

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5

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4

9

102

7

812 3

42 1

87 1

525

m. ¿Cuántos trozos obtiene tras los cortes?

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2 35

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a) =

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2 35

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4

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9

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b) =

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c) =

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2 35

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1

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7

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d) =

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2 35

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12 78

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1

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e) =

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:1719

2 35

:135

12 78

: 3 25

1

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2

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7

812 3

42 1

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525

f) =

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10 0001312

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2 35

:135

12 78

: 3 25

1

2

3

4

2

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7

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42 1

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g) =

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2 35

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12 78

: 3 25

1

2

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4

2

2

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5

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4

9

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7

812 3

42 1

87 1

525

h) =

72

:23

56

:12

42

:14

125

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83

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:90

1201000100

:100

10 0001312

:1719

2 35

:135

12 78

: 3 25

1

2

3

4

2

2

3

2

4

5

89

4

9

102

7

812 3

42 1

87 1

525

i) =

72

:23

56

:12

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1201000100

:100

10 0001312

:1719

2 35

:135

12 78

: 3 25

1

2

3

4

2

2

3

2

4

5

89

4

9

102

7

812 3

42 1

87 1

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j) =

72

:23

56

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:33

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1821

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1201000100

:100

10 0001312

:1719

2 35

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12 78

: 3 25

1

2

3

4

2

2

3

2

4

5

89

4

9

102

7

812 3

42 1

87 1

525

k) =

72

:23

56

:12

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:14

125

:33

83

:56

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1201000100

:100

10 0001312

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2 35

:135

12 78

: 3 25

1

2

3

4

2

2

3

2

4

5

89

4

9

102

7

812 3

42 1

87 1

525

l) =

Indica si la fracción de la primera columna aumenta, mantiene igual o disminuye su valor tras la b.realización de cada una de las divisiones señaladas:

Dividendo

Divisor Divisor Divisor Divisor

72

:23

56

:12

42

:14

125

:33

83

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93

:13

1821

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45010

:90

1201000100

:100

10 0001312

:1719

2 35

:135

12 78

: 3 25

1

2

3

4

2

2

3

2

4

5

89

4

9

102

7

812 3

42 1

87 1

525

72

:23

56

:12

42

:14

125

:33

83

:56

93

:13

1821

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45010

:90

1201000100

:100

10 0001312

:1719

2 35

:135

12 78

: 3 25

1

2

3

4

2

2

3

2

4

5

89

4

9

102

7

812 3

42 1

87 1

525

72

:23

56

:12

42

:14

125

:33

83

:56

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:13

1821

:67

45010

:90

1201000100

:100

10 0001312

:1719

2 35

:135

12 78

: 3 25

1

2

3

4

2

2

3

2

4

5

89

4

9

102

7

812 3

42 1

87 1

525

72

:23

56

:12

42

:14

125

:33

83

:56

93

:13

1821

:67

45010

:90

1201000100

:100

10 0001312

:1719

2 35

:135

12 78

: 3 25

1

2

3

4

2

2

3

2

4

5

89

4

9

102

7

812 3

42 1

87 1

525

72

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1201000100

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2 35

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12 78

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1

2

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4

2

2

3

2

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9

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7

812 3

42 1

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525

72

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56

:12

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:14

125

:33

83

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93

:13

1821

:67

45010

:90

1201000100

:100

10 0001312

:1719

2 35

:135

12 78

: 3 25

1

2

3

4

2

2

3

2

4

5

89

4

9

102

7

812 3

42 1

87 1

525

237

Unidad 242

A partir del enunciado podemos efectuar diversas comparaciones entre las cantidades que allí se mencionan. Algunas de ellas son:

De un total de 12 huevos, 3 llegaron rotos.•De un total de 12 huevos, 9 llegaron enteros.•Por cada 1 huevo que llegó roto, 3 llegaron enteros.•El cociente entre la cantidad de huevos rotos y enteros es 0,• 3.

Razones y equivalencias

Camila compró una docena de huevos para preparar una tortilla de acelgas. Cuando llegó a casa 3 de los huevos estaban rotos.

¿Cómo se puede describir matemáticamente esta situación ocupando fcomparaciones entre los números involucrados?

Una razón es una comparación entre dos o más cantidades. Puede expresarse mediante una fracción. Si las cantidades a comparar

son a y b, la razón entre ellas se escribe como a : b, a/b ó

ab

y se lee “a es a b”.El término a es el antecedente de la razón y el b, el consecuente.El resultado de la división o cociente entre el antecedente y el consecuente se denomina valor de la razón.

En el caso de Camila, la razón entre huevos rotos y huevos totales es:

3

12=

1

4

Simplificando esta fracción:

3

12=

1

4

: 3

: 3 =

3

12=

1

4Esto quiere decir que de cada 4 huevos comprados 1 llegó roto.

¿Cuál es el valor de esta razón? f

Simplemente dividimos el numerador y el denominador:

1 : 4 = 0,25

El valor de la razón

3

12=

1

4 es 0,25.

Una razón puede contener más de dos términos. Por ejemplo, podemos decir que la razón entre las alturas de cuatro ár-boles es:

2 : 3 : 5 : 8


Unidad

Dos o más razones son equivalentes cuando tienen igual valor.

Ejercicios individualesEscribe cómo se leen las siguientes razones e idea una situación que se pueda representar a.matemáticamente por cada una de ellas:

Razón Se lee… Situación

1

2

3

7

5

6

2

5

3

2

1

2

3

7

5

6

2

5

3

2

1

2

3

7

5

6

2

5

3

2

1

2

3

7

5

6

2

5

3

2

1

2

3

7

5

6

2

5

3

2

Escribe una razón que se pueda extraer de cada una se las siguientes situaciones:b.

Situación Razón

En la sala de clases hay 15 mujeres y 20 hombres.

Cada 2 litros de agua tienes que poner 3 cucharadas de sal.

El automóvil recorrió 200 km en 2 horas.

Una semana después, Camila compra dos docenas de huevos, al llegar a casa encontró que nuevamente había quebrado algunos en el camino. Los huevos rotos eran 6 esta vez.

¿Cuál es la razón de la cantidad de huevos que llegaron rotos respecto fal total de huevos comprados?La razón es 6 : 24, o sea,“6 es a 24”.

¿Qué relación podemos establecer entre las razones f

3

12=

1

4 y

6

24

6

24=

2

8

2

8=

1

4?

Simplifiquemos la fracción que representa a la segunda razón:

6

24

6

24=

2

8

2

8=

1

4

: 6

: 6 =

3

12=

1

4Como hemos comprobado, ambas razones son iguales o equivalentes,

ya que las fracciones que las representan tienen el mismo valor.

Los huevos de ave son parte habitual de la alimentación humana y animal debido a su importante contenido en proteínas y lípidos. Los de gallinas son los más con-sumidos, aunque también son comestibles los de pato, codorniz y avestruz.


Unidad 244

Las proporciones y su propiedad fundamental

En su botillería recién inaugurada don Mauricio vende paquetes de 6 botellas de bebidas a $ 9 600 cada uno.

¿Cuál es el precio de 2 de estas botellas de bebida? f

Una forma de encontrar la solución a este problema es plantear las razones correspondientes y establecer un vínculo entre ellas:

6 botellas

9600 pesos=

2 botellas

x pesos

Esta igualdad nos indica que el valor de la razón existente entre el número de botellas vendidas y su costo es siempre la misma. La relación se lee: “6 botellas son a $ 9 600 como 2 botellas son a $ x” y corresponde a una proporción. En ella, la x representa el costo de 2 botellas y es el valor desconocido que debemos encontrar.

Una proporción es una igualdad entre dos razones. Si las razones a : b y c : d forman una proporción, entonces esta se escribe como sigue:

a : b = c : d (“a es a b como c es a d”)Si expresamos esta proporción en forma fraccionaria queda:

ab=

cd

a =b ⋅ cd

b =a ⋅d

cc =

a ⋅db

d =b ⋅ ca

A a y d se les llama extremos y a b y c, medios.Dos razones forman una proporción, solamente si el producto de sus extremos es igual al producto de sus medios:

ab=

cd

a =b ⋅ cd

b =a ⋅d

cc =

a ⋅db

d =b ⋅ ca

si y solo si a · d = b · c (con b y d diferentes de 0)

La igualdad anterior puede ser expresada de cuatro formas aná-logas:

ab=

cd

a =b ⋅ cd

b =a ⋅d

cc =

a ⋅db

d =b ⋅ ca

Esta relación matemática es conocida como la propiedad funda-mental de las proporciones.

Para encontrar el valor de x, aplicamos la propiedad fundamental:

Razón 1 Razón 2Botellas 6 2

$9 600 (costo de

6 botellas) x (no sabemos el

costo de 2 botellas)

Las razones y proporcio-nes tienen aplicaciones en diversas disciplinas; por ejemplo, en ingeniería se emplean en las escalas para realizar planos; en el área contable, para realizar movimientos financieros; y en la vida diaria, para efectuar operaciones arit-méticas.

Archívalo


Unidad

En amarillo se indican los extremos de la proporción y en celeste sus medios. Como el término desconocido (incógnita) está en la posición de la d del cuadro de definición, aplicamos la cuarta forma de expresar la propiedad fundamental:

x =

9600 ⋅26

= 19200

6 = 3200

6

9600=

2

3200=

En consecuencia 2 bebidas cuestan $ 3 200.

Para comprobar que nuestro ejercicio está correcto, podemos sustituir el valor de x por 3 200 y calcular el valor de cada una de las razones que forman la proporción. Estos valores deben ser iguales.

x =

9600 ⋅26

= 19200

6 = 3200

6

9600=

2

3200= 0,000625

Ejercicios individualesAplica la propiedad fundamental para encontrar el valor de a. x en las siguientes proporciones:

ProblemasUn pintor ha sido contratado para pintar una pandereta de 3 m1. 2. Ha comprado 2 galones de pintura y le ha alcanzado justo. Al ver su trabajo, los vecinos de ambos lados le han pedido que trabaje para ellos. El vecino de la izquierda le ha encargado un muro de 9 m2 y el vecino de la derecha le ha pedido que pinte la entrada de la casa, que tiene una superficie de 4 m2, y el muro del patio, que mide 8 m2:

¿Cuántos galones de pintura debe comprar para realizar el a) trabajo que le encargó el vecino de la izquierda?

¿Cuántos galones necesita para hacer el trabajo al vecino b) de la derecha?

¿Para cuál de los dos trabajos necesita más galones de c) pintura?

x10

=770

5x=

2510

25000

=5x

204

=x20

a)

x10

=770

5x=

2510

25000

=5x

204

=x20

b)

x10

=770

5x=

2510

25000

=5x

204

=x20

c)

x10

=770

5x=

2510

25000

=5x

204

=x20

d)

Unidad 246

Porcentajes

Al final del semestre, el Departamento de Matemática de un colegio pone en su diario mural la siguiente información:

¿Qué información entrega el valor 80%? f

La expresión 80% quiere decir que 80 de cada 100 estudiantes ob-tuvo nota sobre 5 en la prueba.

80 de cada 100

80100 80%

El 80% de los estudiantes de 6º año básico obtuvo nota sobre 5 en la última prueba de nivel.

Un porcentaje es una fracción decimal que expresa el número de partes que se consideran de un total de 100. Al expresarse como porcentaje es posible comparar diferentes cantidades en relación a un todo, que es 100.

¿Cuál es el porcentaje si 60 de cada 100 estudiantes obtuvieron fnota sobre 6?

60 de cada 100

60100 60%

Si una cantidad se divide en 100 partes, es fácil describirla mediante porcentajes. Observa:

Un porcentaje puede ser un número mayor que 100, es decir, 150%, 200% o más.Este tipo de porcentaje se presenta principalmente cuando se quiere des-cribir el incremento de algo. Por ejemplo, si una semana un museo recibió 80 visitas y a la semana siguiente recibió 160 vi-sitas, puede decirse que recibió el 200% de visitas en relación a la semana anterior. Si se quiere describir solo el aumento, se indica la diferencia, es decir: “esta semana las visitas al museo se incre-mentaron en un 100%”. ¡Claro! Porque 80 es el 100% de 80 y las visitas aumentaron justamente en 80 personas.

110

=

10100

14

=

25100

12

=

50100

34

=

75100

10% 25% 50% 75%


Unidad

23 de cada 100 personas prefiere los helados de a) frutilla que de otros sabores.

50 de cada 100 personas encuestadas considera b) el inglés como un idioma muy importante.

84 de cada 100 niños prefiere el fútbol sobre c) otros deportes.

3 de cada 100 personas encuestadas conoce d) Europa.

Ejercicios individualesSeñala el porcentaje que representa la zona sombreada de cada figura:a.

a) b) c) d)

Encierra cada fracción decimal que sea mayor que 50%:b.

56100

23100

5100

80100

45100

98100

Escribe el porcentaje y el número decimal que representa cada afirmación:c.

ProblemasDos teatros que quedan en la misma cuadra estrenaron una obra 1. esta semana. Al de la esquina norte asistieron 30 personas y al de la esquina sur asistieron 112 personas. Ambos se llenaron en un 50%. ¿Cuál es la capacidad de cada teatro?

Dos amigas que estudian en distintos colegios compararon los 2. resultados obtenidos en una prueba. Juana tenía una prueba de 60 puntos y Dominga, una prueba de 40 puntos. En ambas pruebas, las niñas obtuvieron un 100% de rendimiento. ¿Qué puntaje obtuvo cada una?

Unidad 248

Formas de expresar un porcentaje

Martín en su trabajo gana $ 450 000 al mes. El 30% lo destina al pago del arriendo de su vivienda.

¿Cuánto paga de arriendo? f

Existen varias maneras de resolver este problema ya que un porcentaje puede interpretarse de muchas formas. Veamos algunas de ellas:

Forma gráfica:

En esta representación, de las 100 partes en que está dividida la figura sombreamos 30. Si cada una de estas partes vale $ 4 500 (resultado de dividir $ 450 000 en 100 partes iguales) y 30 de ellas están sombreadas, entonces el 30% equivale a 30 · 4 500 = $ 135 000.

Como fracción o decimal:

El porcentaje se puede expresar como una fracción y como un de-cimal. Si analizamos que el 30% se puede interpretar como 30 partes de 100, entonces podemos decir que:

30%

30

100

x

100

30

100=

x

450 000x =

30 ⋅450 000

100=

13500 000

100= 135000

Si calculamos el valor de la fracción decimal tendremos una forma decimal de expresar el porcentaje.

30% 0,3

Ocupando cualquiera de estas formas podemos calcular mediante una multiplicación que el 30% de 450 000 es:

30

100

x

100

30

100=

x

450 000x =

30 ⋅450 000

100=

13500 000

100= 135000 · 450 000 = 0,3 · 450 000 = 135 000

Como razón:

Anteriormente estudiamos que una razón es la comparación entre dos cantidades y si pensamos que el porcentaje representa una deter-minada cantidad de partes de un total que es 100, entonces vemos que el porcentaje se puede representar como la razón: “x es a 100”, es

decir, x : 100 ó

30

100

x

100

30

100=

x

450 000x =

30 ⋅450 000

100=

13500 000

100= 135000.

Para calcular el porcen-taje de un número debes multiplicar el porcentaje –expresado en forma decimal o fraccionaria– por el número.

Arrendar consiste en ceder o adquirir el uso o apro-vechamiento temporal de cosas, obras o servicios, a cambio de un monto de dinero y de su devolución en perfecto estado tras la extinción del contrato de arrendamiento.

Archívalo


Unidad

Una proporción es la igualdad entre dos razones, por lo que un pro-blema de porcentajes puede siempre resolverse ocupando la propiedad fundamental de las proporciones. En este caso la proporción es “30 es a 100 como x es a 450 000” o, matemáticamente:

30

100

x

100

30

100=

x

450 000x =

30 ⋅450 000

100=

13500 000

100= 135000

Resolviendo:

30

100

x

100

30

100=

x

450 000x =

30 ⋅450 000

100=

13500 000

100= 135000

Martín paga de arriendo $ 135 000.

El porcentaje se puede expresar de diferentes formas:Forma gráfica:• como una determinada parte de un conjunto de 100 elementos.Fracción:• como una fracción cuyo denominador es 100.Número decimal:• como el valor de la fracción que representa al porcentaje.Razón:• como una razón utilizando siempre 100 como consecuente.

Ejercicios individualesExpresa los siguientes porcentajes en las tres formas indicadas. Básate en el ejemplo:a.

Porcentaje 15% 20% 38% 42% 67% 100% 110%

Fracción15

100=

3

20

Decimal 0,15

Razón 15 : 100

Representa gráficamente los porcentajes que se señalan:b.

a) b) c)

4%25%33,3%

Unidad 250

Operaciones con porcentajes

Álvaro y sus papás fueron de compras. Como era época de liquida-ción encontraron ofertas con diferentes porcentajes de descuento.

Álvaro compró unos guantes de arquero que costaban $ 9 000, ahora con un 8% de descuento.

El papá compró una raqueta de tenis que costaba $ 18 000, ahora con un 25% de descuento.

La mamá pagó $ 12 000 por un buzo que costaba $ 15 000 antes del descuento.

¿A cuánto dinero corresponden los descuentos aplicados a los pro- fductos de Álvaro y su papá?

¿Cuál es el porcentaje de descuento aplicado al buzo? f

Para responder la primera pregunta tenemos que calcular la cantidad de dinero que representa, en cada caso, el porcentaje de descuento.

En el caso de los guantes, el 8% de 9 000 es:

8%

8

100

25

100

1

4

x

100

3000

15000

100 ⋅3000

15000

300 000

15000 = 0,08

8% de 9 000 = 0,08 · 9 000 = 720

Al precio de los guantes se deben descontar $ 720.

En el caso de la raqueta de tenis, el 25% de 18 000 es:

25%

8

100

25

100

1

4

x

100

3000

15000

100 ⋅3000

15000

300 000

15000 =

8

100

25

100

1

4

x

100

3000

15000

100 ⋅3000

15000

300 000

15000 = 0,25

25% de 18 000 0,25 · 18 000 = 4 500

Al precio de la raqueta de tenis se deben descontar $ 4 500.

En el caso del buzo, el x% de 15 000 debe equivaler a 3 000, ya que es el monto descontado (15 000 – 12 000 = 3 000).

x%

8

100

25

100

1

4

x

100

3000

15000

100 ⋅3000

15000

300 000

15000

Resolveremos utilizando una proporción:

8

100

25

100

1

4

x

100

3000

15000

100 ⋅3000

15000

300 000

15000 =

8

100

25

100

1

4

x

100

3000

15000

100 ⋅3000

15000

300 000

15000Aplicando la propiedad fundamental:

x =

8

100

25

100

1

4

x

100

3000

15000

100 ⋅3000

15000

300 000

15000 =

8

100

25

100

1

4

x

100

3000

15000

100 ⋅3000

15000

300 000

15000 = 20

Al precio del buzo se le aplicó un 20% de descuento.

Un producto de impor-tación pasa por cinco intermediarios, cada uno de ellos lo vende añadiendo un 10% al precio que paga por él. ¿En qué porcentaje se verá incrementado el precio final cuando llegue al consumidor?

Desafíoal ingenio


Unidad

ProblemasEn una ciudad de 98 000 habitantes, el 27% anda en bicicleta. 1.

¿Que fracción representa a los habitantes que usan bicicleta?a) ¿Cuántos habitantes no andan en bicicleta? b)

Una familia tiene un presupuesto de $ 200 000 mensuales 2. para el supermercado. El 10% lo destina a golosinas, el 27% a artículos de aseo y el 52% a alimentos.

¿Cuánto dinero destina la familia para artículos de aseo? a) ¿Cuánto dinero destina la familia para golosinas y alimentos?b)

¿Cuánto pagaron por los tres productos? f

Para saber cuánto pagaron por los tres productos, solo habría que restar al precio de los guantes y de la raqueta de tenis los descuentos y al resultado sumarle los $ 12 000 que costó el buzo. Observa la siguiente tabla en la que se han destacado con rojo las cantidades calculadas:

Producto Precio [$] % descuento Cantidad pagada [$]

Guantes 9 000 8 9 000 – 720 = 9 280

Raqueta de tenis 18 000 25 18 000 – 4 500 = 13 500

Buzo 15 000 20 15 000 – 3 000 = 12 000

TOTAL A PAGAR 34 780

Ejercicios individualesCalcula el valor de los siguientes porcentajes:a.

a) 10% de 5 000 = d) 15% de 10 000 =

b) 50% de 40 000 = e) 20% de 57 860 =

c) 25% de 98 260 = f) 63% de 150 000 =

Ejercicios grupalesFormen un grupo de 4 personas y pónganse en esta situación: se les asigna un presupuesto a.de $ 100 000 para ir de compras. Seleccionen dentro de los siguientes productos lo que van a comprar, considerando el descuento aplicado a cada uno y el presupuesto del que disponen (pueden comprar varias unidades de un mismo producto). Armen su canasta de compras y preséntenla al curso:

- MP3: $ 38 500 (–50%) - Pelotas de tenis: $ 5 000 (–18%)

- DVD El hombre araña 3: $ 12 000 (–30%) - Zapatillas: $ 25 000 (–15%)

Un porcentaje de des-cuento se puede indicar anteponiéndole un signo negativo. Por ejemplo, un 18% de descuento lo pode-mos representar por -18%. Análogamente, un interés lo podemos representar anteponiendo un signo positivo al porcentaje.


Unidad 252

Interpretación de información porcentual

Una cadena de tiendas realiza rebajas en algunas de sus áreas de productos: en perfumería un 20% de descuento, en juguetería un 30% y en electrónica un 15%.

¿Qué significa para nosotros esta información? f

Cuando hablamos de porcentaje de descuento o porcentaje de au-mento, debemos tener en cuenta que este porcentaje se calcula respecto al precio del producto. Por ejemplo, el aplicar un 30% de descuento a juguetería no significa que del precio de cada uno se descuente la misma cantidad de dinero. Esta cantidad es variable y depende del precio de cada juguete.

Si un juego de azar cuesta $ 10 000 y un autito cuesta $ 5 000, ¿cuánto fdebemos pagar por estos productos?

Calculamos el 30% del precio de cada uno de ellos y esta cantidad de dinero es la que debemos descontar del precio original de cada producto. Observa:

Juguete Precio 30% del precio Lo que pagaremos

Juego de azar $ 10 000 0,3 · 10 000 = 3 000 10 000 – 3 000 = 7 000

Autito $ 5 000 0,3 · 5 000 = 1 500 5 000 – 1 500 = 3 500

A menudo encontramos en diarios o revistas informaciones en términos porcentuales y es importante saber interpretarlas de manera correcta. En un diario encontramos una noticia que dice:

Sernatur celebró el rumbo que ha mostrado el turismo en el 2008Las proyecciones sobre el número de turistas que llegarían al país indica-

ban aproximadamente 700 000 visitantes para los dos primeros meses del 2008. Sin embargo se registró el ingreso de más de 750 000 personas, lo que significa un 13,6% más de visitas que en el 2007.

Se informó también que Santiago y sus alrededores fue el lugar más visitado con un 46,8% del total de turistas.

Aproximadamente, ¿cuántos turistas vinieron al país los dos pri- fmeros meses del 2007?

¿Cómo interpretas el porcentaje de visitantes que tuvo Santiago? f

Identifiquemos los datos contenidos en la información:

Debes comprar una cal-culadora científica que cuesta $ 18 000. La tienda que la ofrece le aplica un descuento del 15%. Sin embargo, también debe incorporarle el IVA que incrementa su valor en un 5%. ¿Qué opción es preferible para adquirirla a un valor menor, que se le aplique el IVA antes del descuento o después de él?

Desafíoal ingenio

El Servicio Nacional de Turismo SERNATUR es un organismo público encarga-do de promover y difundir el desarrollo de la actividad turística de Chile. La Direc-ción Nacional está ubicada en la ciudad de Santiago y tiene representación en todas las regiones del país a través de las Direcciones Regionales de Turismo.

Archívalo


Unidad

x es la cantidad de personas que vino el 2007 100%

750 000 son las personas que vinieron el 2008 113,6% (100% + 13,6%)

Estos datos los podemos escribir como una proporción:

113,6

100=

750 000

x

100 ⋅750 000

113,6

Aplicando la propiedad fundamental de las proporciones:

x =

113,6

100=

750 000

x

100 ⋅750 000

113,6 = 660 211,2676

Es decir, aproximadamente 660 211 turistas visitaron Chile durante los primeros dos meses del 2007.

La información también nos indica que el 46,8% de los turistas prefirió Santiago como destino. En otras palabras podemos afirmar que casi la mitad de los visitantes eligió como destino turístico nuestra capital:

0,468 · 750 000 = 351 000

De los 750 000 turistas que visitaron Chile durante los dos prime-ros meses del 2008, 351 000 eligieron como destino Santiago y sus alrededores.

Ejercicios individualesOcupando el porcentaje de descuento a artículos de perfumería mencionado en la página anterior a.completa la siguiente tabla:

Artículo Precio [$] Descuento [%] Precio con descuento [$]

Perfume de naranja 8 000 20

Colonia inglesa 3 500 20

Talco 2 800 20

Gel 2 100 20

Crema para manos 2 400 20

Jabón 880 20

Imagina que un supermercado ha realizado un aumento del 5% en los precios de las bebidas. b.Luego, completa la siguiente tabla:

Bebida Precio [$] Aumento [%] Precio con el aumento [$]

Medio litro 420 5

Un litro 560 5

Un litro y medio 840 5

Dos litros 1 100 5

Dos litros y medio 1 440 5

Tres litros 1 680 5


Unidad 254

Resolución de problemasProblema modeloEl precio normal de una chaqueta es de $ 15 000. En época de rebajas la misma chaqueta cuesta $ 12 000.

¿Cuál es la rebaja porcentual de la chaqueta?a) Si la rebaja fuera del 30%, ¿cuál sería el nuevo precio?b) Si al valor calculado en la parte anterior se le aplica un IVA del 8%, c) ¿cuánto costará la chaqueta?


El precio antes y después de la rebaja.•El porcentaje de rebaja para la segunda situación.•El aumento porcentual del precio debido a la aplicación del IVA.•


Calcular el porcentaje que representa 12 000 de 15 000 y por sustracción con el 100% el •porcentaje de descuento.Calcular el 30% de 15 000 y restar este valor a 15 000 para responder a la parte b).•Calcular el 8% de la cantidad calculada en b) y sumarla a ella.•


La rebaja porcentual de la chaqueta corresponde al 20%.•Tras la rebaja del 30% el precio de $ 15 000 se reduce a $ 10 500.•El valor de la chaqueta tras aplicarle una rebaja del 30% y luego un incremento en el precio •por la aplicación de un IVA del 8%, se transforma en $ 11 340.


Para comprobar la parte a) se puede restar 12 000 de 15 000 y calcular qué porcentaje •representa este número de 15 000.En la parte b) se puede confirmar que 10 500 es el 70% de 15 000.•En la parte c) se puede calcular el 108% de 10 500 para confirmar que es 11 340.•


12 000

x =

15 000

100

12 000 ⋅100

15 000• x =

12 000

x =

15 000

100

12 000 ⋅100

15 000 = 80 100% – 80% = 20%

0,3 · 15 000 = 4 500 • 15 000 – 4 500 = 10 5000,08 · 10 500 = 840 • 10 500 + 840 = 11 340

Unidad


Problema 1Un día muy frío de junio Samuel se dirige a un almacén a comprar combustible para su estufa. Allí encuentra que el precio de 1 L de pa-rafina es de $ 850. Samuel dispone de dos bidones, uno pequeño de

capacidad 52

L y uno grande de capacidad 4 34

L.

¿Cuánto dinero gastará en llenar el bidón pequeño?a) ¿Cuánto dinero gastará en llenar el bidón grande hasta un 80% de b) su capacidad?¿Cuánto dinero gastará si pide que le llenen ambos bidones?c)

Problema 2Al cabo de 2 años de constantes sequías el precio del arroz se multi-plica por 2,35.

¿Cuál ha sido el aumento expresado porcentualmente?a) Si el precio inicial del kilogramo de arroz era de $ 320, ¿cuál será su b) precio dos años después?

Problema 3La masa de 28 sacos de harina es de 994 kg.

¿Cuál es la masa de 12 sacos?a) Si un panadero carga 1 171,5 kg de harina en su camioneta, ¿cuántos b) sacos ha comprado?¿Cuál es la masa de medio saco de harina?c)

Problema 4Camila quiere comprarse un MP3 que cuesta $ 35 400. Su amiga Ve-rónica ofrece prestarle los $ 35 400 con la condición que le devuelva el préstamo con un 12% de recarga. Josefina, otra amiga de Camila, ofrece prestarle $ 20 000 con un 5% de recarga y otros $ 15 400 con un 7% de recarga.

¿Cuánto debería devolver a Verónica si acepta su préstamo?a) ¿Cuánto debería devolver a Josefina si acepta su oferta?b) ¿A quién debe pedir el préstamo si desea pagar el mínimo de c) interés?

Unidad 256

Tecnología activaTrabajando con porcentajes

A continuación podrás elaborar una planilla en Excel que te permitirá calcular los precios finales de diferentes productos, tras aplicar un descuento porcentual al precio normal.

El dueño de una tostaduría aplica un descuento del 10% a sus productos para celebrar con sus clientes el primer aniversario del negocio. Algunos de los productos que ofrece y sus precios por kilogramo se indican en la siguiente tabla. A partir de ellos encuentra los precios finales una vez aplicado el descuento.

Producto Avena Alpiste Harina Maravilla Mijo Trigo

Precio por kg [$] 1 100 1 200 900 850 1 150 1 250

Creación de la hoja de cálculo.1. Crea un proyecto: “Cálculo de porcentajes”.››

En B1 escribe "Precio por kg [$]".››

Traspasa los datos de la tabla. En la columna A, a partir de la celda A2, anota los nombres ››

de los productos. En la columna B, a partir de la celda B2 anota los precios normales por kilogramo de producto.

Tu planilla debe verse como se indica a continuación:››

En la celda C2 anota el porcentaje de descuento. En este caso anota 10.››

En la celda C3 escribe “=C2”. Luego, dirige el cursor al extremo inferior derecho de la ››

celda C3 y cuando aparezca una cruz negra + arrastra el mouse hasta la celda C7. Tendrás en las celdas de la C2 a la C7 el número 10.

Unidad


En la celda D2 anota “=B2-(C2/100)*B2”. Haz ›› enter y te aparecerá el precio de la avena tras aplicar un descuento del 10%.

Acerca el cursor al extremo inferior derecho de la celda D2 y cuando aparezca la cruz negra ››

arrastra el mouse hasta la celda D7. Te aparecerán cada uno de los precios con descuento de los productos. Tu hoja de cálculo debe verse como se indica a continuación.

› Si deseas variar el porcentaje de descuento basta que en la celda C2 escribas el nuevo por-centaje y hagas enter. Automáticamente aparecerán los nuevos precios.

Aplicando lo aprendido.2.

Completa las tablas considerando los descuentos aplicados en cada caso. Utiliza la planilla que acabas de confeccionar:

Descuento de un 12%a)


Precio final [$]

Descuento de un 15%b)


Precio final [$]

Descuento de un 20%c)


Precio final [$]

Descuento de un 25%d)


Precio final [$]

Unidad 258

Ficha 1

Una fracción es una expresión matemática que indica una parte de un total. Se expresa mediante la

división de dos números a y b: ab

ab⋅cd=

a ⋅cb ⋅d

ab

: cd=

ab⋅dc=

a ⋅db ⋅c

ab=

cd

.

Ficha 2

El resultado de la multiplicación de dos frac-ciones corresponde a una nueva fracción cuyo numerador es el producto de sus numerado-res y cuyo denominador es el producto de sus denominadores:

ab

ab⋅cd=

a ⋅cb ⋅d

ab

: cd=

ab⋅dc=

a ⋅db ⋅c

ab=

cd

Ficha 3

La división de dos fracciones puede desarrollarse multiplicando la primera fracción (dividendo) por la fracción recíproca de la segunda (divisor):

ab

ab⋅cd=

a ⋅cb ⋅d

ab

: cd=

ab⋅dc=

a ⋅db ⋅c

ab=

cd

Ficha 4

Una razón es una expresión matemática que permite comparar dos o más cantidades mediante su cocien-te. Si los términos a comparar son a y b la razón se

escribe a : b o ab

ab⋅cd=

a ⋅cb ⋅d

ab

: cd=

ab⋅dc=

a ⋅db ⋅c

ab=

cd

. En ellas a es el antecedente de la

razón y b el consecuente.

Dos razones equivalentes son aquellas que tienen el

mismo valor. A la igualdad entre dos razones ab

ab⋅cd=

a ⋅cb ⋅d

ab

: cd=

ab⋅dc=

a ⋅db ⋅c

ab=

cd

y ab

ab⋅cd=

a ⋅cb ⋅d

ab

: cd=

ab⋅dc=

a ⋅db ⋅c

ab=

cd

se le llama proporción y se anota:

ab

ab⋅cd=

a ⋅cb ⋅d

ab

: cd=

ab⋅dc=

a ⋅db ⋅c

ab=

cd

La propiedad fundamental de las proporciones aplicada a la anterior proporción indica la siguiente igualdad:

a · d = b · c

Ficha 5

Un porcentaje es una fracción deci-mal que indica la cantidad de partes que se consideran de un total de 100 partes en que se divide un total. Si se consideran x partes de 100, entonces se habla del x%.

Para calcular el porcentaje de un número se multiplica el porcentaje expresado como fracción o decimal por el número.


SíntesisHIPERTEXTO


Unidad

EvaluaciónDesarrolla las siguientes multiplicaciones:a.


23⋅14

1211

⋅37

7 13⋅25

63⋅36

20030

⋅154

9 49⋅12

5149

: 37

45

: 308

12 34

: 2 413

34

: 68

76

: 67

6 211

: 3 417

45=

12x

312

=x4

7x=

4970

16=

x3

1111

=108x

x6=

32

a) =

23⋅14

1211

⋅37

7 13⋅25

63⋅36

20030

⋅154

9 49⋅12

5149

: 37

45

: 308

12 34

: 2 413

34

: 68

76

: 67

6 211

: 3 417

45=

12x

312

=x4

7x=

4970

16=

x3

1111

=108x

x6=

32

b) =

23⋅14

1211

⋅37

7 13⋅25

63⋅36

20030

⋅154

9 49⋅12

5149

: 37

45

: 308

12 34

: 2 413

34

: 68

76

: 67

6 211

: 3 417

45=

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7 13⋅25

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20030

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6 211

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f) =

Desarrolla las siguientes divisiones:b.

Señala la razón que representa cada situación planteada:c.

José tiene 14 años, 3 más que su hermana Josefina.a)

Razón de las edades de los niños.

Hoy Miguel corrió 12 km, el triple que ayer.b)

Razón entre lo que corrió Miguel ayer y hoy.

El litro de gasolina ayer costaba $ 640. Hoy compré 3 L en $ 1 770.c)

Razón del precio del litro de gasolina hoy y ayer.

Unidad 260

23⋅14

1211

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7 13⋅25

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20030

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6 211

: 3 417

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20030

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: 3 417

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23⋅14

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20030

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: 67

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45=

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23⋅14

1211

⋅37

7 13⋅25

63⋅36

20030

⋅154

9 49⋅12

5149

: 37

45

: 308

12 34

: 2 413

34

: 68

76

: 67

6 211

: 3 417

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4970

16=

x3

1111

=108x

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32f) x =

Calcula el término desconocido aplicando la propiedad fundamental de las proporciones:f.

Completa la siguiente tabla con precios de artículos a los que se les aplican porcentajes de g.descuento (signo –) o de recarga (signo +):

Precio inicial [$] Descuento o recarga Precio final [$]

750 + 20%

440 374

+ 30% 49 140

180 600 - 7%

Completa con los números que corresponda:h.Tras la aplicación de un 15% de impuesto el kilogramo de trigo me costó $ 759. El precio a) antes del impuesto era de $ _____.

El precio de una acción quedó en $ 571,33 tras caer sucesivamente en un _____% y en un b) 5%. El precio inicial de la acción era de $ 620.

En una tienda de telas solo queda un rollo de tela cuadriculada verde. Cada rollo consiste en i.125,3 m de tela.

Si llegan 4 compradoras y se reparten en partes iguales el rollo de tela verde, ¿cuánto le a) corresponde a cada una?

Si llegan 5 compradoras y una de ellas compra 22 m del rollo de tela verde y las restantes 4 b) se reparten de manera equitativa el resto, ¿cuántos metros adquirirá cada una?

Calcula el valor de las siguientes razones:d.

a) 2 : 5 = c) 12 : 24 =

b) 13 : 4 = d) 50 : 54 =

Enlaza las razones de la columna izquierda con sus equivalentes a la derecha:e.

2 : 3 3 : 5

40 : 50 7 : 7

3 : 36 4 : 6

3 : 3 8 : 10

6 : 10 1 :12


a Un comerciante compró una guitarra clásica en $ 28 440 y la vendió a $ 41 238. ¿Cuál fue su porcentaje de ganancia?

a) 35%

b) 40%

c) 45%

d) 50%

e El 15% de los asistentes a un congreso de Filosofía son extranjeros. De estos, el 25% proceden de Europa. Si el congreso consi-guió reunir 640 participantes, ¿cuántos de los extranjeros no proceden de Europa?

a) 72

b) 65

c) 60

d) 56

b Cuatro pasteles de lúcuma contienen 200 g de azúcar en total. ¿Cuántos gramos de azúcar contienen 12 pasteles semejantes a los anteriores?

a) 500 g

b) 600 g

c) 700 g

d) 800 g

f Patricia comió la misma cantidad de dos tortas del mismo tamaño que preparó su

madre. De la de merengue se comió 34

46

36

412

312

35

412

13

.

Si la torta de piña se dividió en 15 partes iguales, ¿cuántas de ellas se comió?

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

c Laura repartió 34

46

36

412

312

35

412

13

de sus dulces en partes

iguales entre sus 3 hermanos. ¿Qué fracción de los dulces tocó cada uno?

a) 34

46

36

412

312

35

412

13

b) 34

46

36

412

312

35

412

13

c) 34

46

36

412

312

35

412

13

d) 34

46

36

412

312

35

412

13

g Un padre repartió $ 12 000 entre sus tres

hijos. Las 34

46

36

412

312

35

412

13

partes las dio al mayor, las 34

46

36

412

312

35

412

13

al del medio y el resto al menor. ¿Cuánto dinero recibió este último?

a) $ 800

b) $ 900

c) $ 1 200

d) $ 4 000

d El equipo de fútbol femenino de nuestro país jugó 24 partidos el año anterior, consiguiendo 8 triunfos y 10 derrotas. ¿Qué porcentaje de los partidos empató?

a) 15%

b) 25%

c) 30%

d) 35%

h El número de habitantes de una comuna era de 128 562 y en 30 años aumentó a 321 405. ¿Cuál fue el porcentaje de aumento?

a) 250%

b) 220%

c) 180%

d) 150%



Unidad


62

Red conceptual

Potencias3Unidad

Potencias

Base

Potencia de 10 y número natural

identificando

Descomposición canónicatales comoAplicaciones

Potencia de 10 y potencia de 10

Potencia de 10 y número decimal

Exponente

entre

Definición

Multiplicación

División

Entrada de unidad

63


Interpretar una potencia como la multiplicación reiterada de un mismo número.

Multiplicar y dividir una potencia de 10 por otra potencia de 10.

Multiplicar y dividir un número natural o decimal por una potencia de 10.

Emplear potencias de 10 en la descomposición canónica de un número natural.

Aplicar potencias para resolver diversos problemas.

¿Qué es internet?

Los constantes avances que se producen cada año en todas las ramas del conocimiento, principalmente en lo referente al desarrollo de nuevas tecnologías de información, nos obligan a permanecer actualizados y atentos para no quedar ajenos a estos cambios.

Internet –con sus virtudes y defectos– es una herramienta fundamental que permite a la pobla-ción comunicarse, intercambiar ideas, compartir opiniones y difundir información. Estas y otras actividades pueden ser realizadas entre personas de una misma ciudad, de un mismo país e incluso entre personas que se encuentran en lugares del planeta muy alejados entre sí.

Además de la comunicación a distancia, otra ventaja de internet es la velocidad a la que permite esta interacción. Es así que se habla de instantaneidad en la comunicación, ya que la informa-ción no demora más que unos pocos segundos en ser recepcionada por nuestro interlocutor o interlocutores.

¿Tienes correo electrónico?

¿Utilizas internet para comunicarte con personas de otros países?

¿Qué sitios de la red visitas habitualmente?

¿Puedes resolver?Una niña Noruega desea denunciar la matanza de focas y otros ani-

males árticos que ha ocurrido y sigue ocurriendo en algunos lugares del mundo. Para conseguir esto ha enviado un e-mail con imágenes e información a dos amigos que viven en otros continentes y le ha pedido a cada uno que lo reenvíe a otros dos amigos de diferentes partes del mundo, incluyendo la misma petición. Ella calcula que leer el e-mail toma 9 minutos y reenviarlo, 1 minuto.

Si cada receptor cumple con la petición de reenvío, ¿cuántos minutos después de que la niña envía el mensaje a sus dos amigos lo recibirán al mismo tiempo 16 personas?

Si la cantidad de personas que han recibido el e-mail en una etapa es n, ¿cuántas per-sonas lo recibirán en la siguiente etapa?


Unidad 364

Actividad inicialDiferentes situaciones tales como el daño medioambiental que provoca el acele-

rado desarrollo industrial o las tensiones que existen entre algunos gobiernos que amenazan la pacífica convivencia de los pueblos, son motivo de preocupación para todos los ciudadanos de nuestro planeta. Es por esto que organismos internacionales realizan permanentemente jornadas de recolección de firmas en favor de campañas por la vida y el cuidado de la naturaleza en países de todos los continentes.

Reúnanse en grupos de tres personas y realicen las actividades que a continuación se presentan.

Lean la historieta y respondan las preguntas que están en la página siguiente:1.

Potencias 65

Unidad

¿A cuántas personas avisa del encuentro la niña en la segunda viñeta de la a) historieta?

¿Cuántas personas reciben la invitación telefónica en la tercera viñeta? ¿Cómo b) se relaciona la cantidad obtenida en a) y la que acabas de calcular o contar?

¿Cuántas personas serán avisadas si las que recibieron la invitación en la c) tercera viñeta llaman a su vez a tres amigos o amigas?

¿Cuál es la regularidad que notan en cada uno de los cálculos anteriores?d)

Consideren como 12. er llamado el que realiza en la segunda viñeta, como

2do el que realizan independientemente , y , etc.

Observen el siguiente esquema de árbol que permite calcular el número de per-sonas que recibirán las llamadas de invitación:

¿Creen que esta representación ayuda a calcular la cantidad de personas que a) reciben las llamadas de invitación? ¿Por qué?

Si conocen la cantidad de personas que reciben el 4b) to llamado, ¿qué operación matemática les permite calcular las que reciben el 5to llamado?

Si la cantidad de personas que recibió el llamado en un determinado momen-c) to se representa por x, ¿cómo expresarían el número de personas que serán avisadas por estas x personas?


Unidad 366

Definición de potencia

Un país sudamericano ha firmado un convenio comercial para ex-portar algas pardas a China. El país enviará mensualmente 4 barcos, cada uno con 4 contenedores. Si cada contenedor lleva 4 toneladas de algas, entonces:

¿Cuántas toneladas de algas serán exportadas a China el primer mes fgracias a este convenio de intercambio?

Ilustremos la situación (ton: toneladas de algas, cont.: contenedores):

Como puedes ver en los esquemas anteriores, el primer mes se enviarán 64 toneladas, número que se ha calculado multiplicando 3 veces el número 4. Esta multiplicación sucesiva de un mismo número puede expresarse utilizando la notación de potencias: 43, donde 4 es la base y 3 el exponente.

En 1 contenedor hay 4 toneladas de algas.

1 cont. = 4 ton

En 1 barco hay 4 contenedores y en 4 contenedores hay 4 · 4 = 16 toneladas de algas.

1 barco = 4 cont. = 4 · 4 ton = 16 ton

En 4 barcos hay 4 · 4 = 16 con-tenedores y en 16 contenedores hay 16 · 4 = 4 · 4 · 4 = 64 to-neladas de algas.

4 barcos = 4 · 4 cont. = 4 · 4 · 4 ton = 64 ton

Las algas pardas –vegetales muy sencillos que viven en el agua– son fuentes de alginato, macromolécula utilizada en odontología, en medicina y en las industrias papelera, textil, farmacéu-tica y de alimentos.Además, actualmente se utiliza para la alimentación del abalón, molusco co-mestible que Chile exporta principalmente a Japón.

La AlimentaciónEnlace con…

Potencias 67

Unidad

ProblemasUna empresa internacional dedicada a la generación de energía 1. limpia selecciona 3 países de Asia, 3 de América y 3 de África para construir en cada uno de ellos 3 centrales solares expe-rimentales, cada una de 3 MW de potencia. (MW: megawatt o megavatio, unidad de energía producida en 1 segundo).

¿Cuántas centrales solares construirá la empresa?a) ¿Cuántos MW producirá en cada país seleccionado?b) ¿Cuántos MW producirá con todas las centrales proyectadas c) en funcionamiento?

Potencia es una expresión matemática que permite expresar la multiplicación reiterada de un número por sí mismo.Una potencia está compuesta por:Base: número que se multiplica reiteradamente.Exponente: cantidad de veces que aparece la base en la multipli-cación reiterada. base exponente

43 = 4 · 4 · 4 = 64Esto se lee “cuatro elevado a tres es 64”.

Ejercicios individualesIndica la base, el exponente, el desarrollo y el valor de las siguientes potencias. Guíate por el a.ejemplo y usa una calculadora cuando sea necesario:

Potencia Base Exponente Desarrollo Valor

2 2 2 2 2 · 2 4

1 12

4 4

5 8

56 1

14 3

Escribe usando la notación de potencias las siguientes multiplicaciones reiteradas y calcula el b.resultado con una calculadora:

3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = a)

7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = b)

11 · 11 · 11 · 11 · 11 = c)

21 · 21 = d)

14 · 14 · 14 · 14 = e)

101 · 101 · 101 = f)

Unidad 368

Potencias de 10

El 10 tiene un rol fundamental en el sistema de numeración que ocupamos en la actualidad. En la historia de la humanidad, muchas culturas basaron su forma de contar en otros números. Así, la cultura babilónica desarrolló un sistema sexagesimal (basado en el 60) y la maya uno vigesimal (basado en el 20). Sin embargo, la numeración decimal creada en la India y llevada a Europa por los árabes es la que se impuso y aún hoy nos acompaña.

¿Cómo escribimos los números 10, 1 000 y 1 000 000 usando nota- fción de potencias?

Los tres números presentados arriba están constituidos por un 1 seguido por uno, tres y seis ceros, respectivamente. Diremos que los tres son potencias de 10 ya que pueden escribirse como una potencia cuya base es 10 y cuyo exponente corresponde al número de ceros que acompañan al 1.

Por lo tanto:

10 (1 cero) = 101

1 000 (3 ceros) = 103

1 000 000 (6 ceros) = 106

¿A qué números corresponden, entonces, las potencias 10 f 5 y 1012?

Los números representados se obtienen escribiendo un 1 seguido de tantos ceros como indica el exponente de la potencia de 10.

Por lo tanto:

105 = 100 000

1012 = 1 000 000 000 000

Una potencia de 10 es aquella cuya base es el número 10 y cuyo exponente es un número cualquiera. Fácilmente puedes recono-cer una potencia de 10, ya que se escribe como un 1 seguido de una determinada cantidad de ceros.Las primeras diez potencias de 10 con exponente natural son:

100 = 1 (uno) 105 = 100 000 (cien mil)

101 = 10 (diez) 106 = 1 000 000 (un millón)

102 = 100 (cien) 107 = 10 000 000 (diez millones)

103 = 1 000 (mil) 108 = 100 000 000 (cien millones)

104 = 10 000 (diez mil) 109 = 1 000 000 000 (mil millones)

1 000 000 000 se lee “mil millones” en la mayoría de los países europeos y to-dos los de habla hispana. Sin embargo, en Estados Unidos y otros países de habla inglesa se lee como “un billón”.

Algunos elementos del sistema sexagesimal desa-rrollado en Babilonia han perdurado hasta nuestros días. Por ejemplo, en la me-dición de ángulos se ocupa un sistema sexagesimal al igual que en la división del tiempo, donde 1 hora equivale a 60 minutos y 1 minuto a 60 segundos.

Archívalo

Potencias 69

Unidad

Ejercicios individualesIdentifica cuáles de los siguientes números son potencias de 10 marcando Sí o No junto a ellos:a.

2 000 a)

10 000 b)

10 000 001 c)

100 010 d)

1 000 000 000 000 e)

1 000 100 100 f)

10 101 010 g)

100 000 000 h)

Expresa cada uno de los siguientes números como potencia:b.

10 000 000 000 = a)

1 000 000 000 000 = b)

100 000 000 000 = c)

1 000 000 000 000 000 = d)

1 000 000 000 000 000 000 000 = e)

10 000 000 = f)

Escribe el desarrollo y el valor de las siguientes potencias de 10:c.

10a) 4 =

10b) 8 =

10c) 13 =

10d) 20 =

10e) 7 =

10f) 24 =

Ejercicios grupalesEl Sistema Internacional de Unidades dispone de una serie de prefijos que se anteponen a las a.unidades de medida y que indican numéricamente potencias de 10. Agrupados en parejas in-vestiguen a qué potencia de 10 hace referencia cada uno de los prefijos de la tabla y escriban situaciones que involucren estas unidades:

Prefijo Potencia de 10 Prefijo Potencia de 10

Deca Tera

Hecto Peta

Kilo Exa

Mega Zetta

Giga Yotta

En la tabla que se muestra a continuación se describen diferentes vistas del Sistema Solar a b.determinadas distancias. Escriban estas últimas como potencias de 10:

Distancia (km de altura) Vista Potencia de 10

10 000 Hemisferio terrestre

1 000 000 Órbita de la Luna en torno a la Tierra

10 000 000 Parte de la órbita de la Tierra

100 000 000 Órbitas de la Tierra, Venus y Marte

1 000 000 000 Órbitas de Mercurio, Tierra, Venus, Marte y Júpiter

Unidad 370

Multiplicación de potencias de 10

Por el Eurotúnel, que une Inglaterra con Francia a través del Canal de la Mancha, circulan durante una noche 10 vehículos cada 1 minuto. Considera que la masa de cada uno de los vehículos es de 1 000 kg, entonces:

¿Cuántos vehículos pasarán por el Eurotúnel en 100 minutos? f¿Cuántos kilogramos medirá en total una Central de Pesaje que se fencuentra en el interior del Eurotúnel en 100 minutos?

Como en 1 minuto circulan 10 vehículos, entonces en 100 minutos lo harán 10 · 100 vehículos y como la masa de cada vehículo es de 1 000 kg, entonces la Central de Pesaje medirá 10 · 100 · 1 000 kg. Esta multiplicación indica 1 000 000 de kilogramos.

Mostraremos a continuación dos formas sencillas de llegar al resul-tado anterior. Primero sumando los ceros que componen los factores y luego ocupando la notación de potencias.

Primera forma:

El producto corresponde a un 1 seguido de la cantidad de ceros que existen en todos los factores presentes en la multiplicación.

1• 0 · 100 = 1 000 vehículos. (Hay tres ceros, uno en el primer factor y dos en el segundo).

1• 0 · 100 · 1 000 = 1 000 000 kg. (Hay seis ceros, uno en el primer factor, dos en el segundo y tres en el tercero).

Segunda forma:

Escribimos los factores en forma de potencias con base 10 y el pro-ducto lo obtenemos escribiendo un 1 con tantos ceros como indique la suma de los exponentes de estas potencias.

10• 1 · 102 = 1 000 vehículos = 103 vehículos. (La suma de los expo-nentes es 3).

10• 1 · 102 · 103 = 1 000 000 kg = 106 kg. (La suma de los exponentes es 6).

El producto de potencias de 10 lo obtienes escribiendo un 1 se-guido de la misma cantidad de ceros que poseen los factores en conjunto. Otra forma es expresar cada uno de los factores en for-ma de potencia de 10 y luego escribir un 1 seguido de tantos ceros como te indique el resultado de la adición de los exponentes de estas potencias.

El Eurotúnel tiene una longitud de 50 km, 39 de ellos submarinos, lo que lo convierte en uno de los túneles submarinos más largos del mundo. Al 2008 solo es superado por el túnel Seikan (Japón), cuya longitud es de 53 km. El Eurotúnel fue inaugurado el 6 de mayo de 1994 y se estima que el costo de su construcción superó los 16 000 millones de euros.

La ArquitecturaEnlace con…

Potencias 71

Unidad

Ejercicios individualesResuelve las siguientes multiplicaciones y expresa el resultado final en las formas que se te a.indican:

Multiplicación Número Potencia

10 · 10 · 10

1 000 · 1 · 100

102 · 10 · 102 · 103

10 000 · 10 · 10 000 000

103 · 104 · 106

10 000 · 10 000 · 100

Expresa las siguientes potencias de 10 como una multiplicación con dos y tres factores:b.

Potencia de 10 Dos factores Tres factores

100

102

107

109

1014

1017

1020

ProblemasA una librería llegaron 10 enciclopedias de 10 tomos cada una. 1. La directora pidió con urgencia a un empleado que calculara cuántas páginas contienen estas 10 enciclopedias si cada tomo está compuesto por 1 000 páginas. ¿Cómo puede hacer este cálculo rápidamente?

Un camión transporta 100 bolsas con 1 000 bolitas de plumavit 2. de 10 g de masa cada una. Cada día parten 10 camiones car-gados. Responde:

¿Cuántas bolitas se transportan en un día? a) ¿Cuántas en 10 días?b) ¿Cuál es la carga de plumavit transportada en un día? c) Exprésala en gramos.

¿Cuál en 10 días?d)


Unidad 372

Multiplicación de un número natural por una potencia de 10

En 2007 la Gran Muralla china fue designada como una de las Siete Maravillas del Mundo Moderno y es, sin duda, un lugar turístico de visita obligatoria para los viajeros que acuden al gigante asiático. Su longitud, sin contar ramificaciones, se acerca a los 6 400 kilómetros y su altura varía entre los 7 y 10 metros.

¿Cuál es la longitud total de la Gran Muralla china expresada en fmetros?

¿Cuál es la longitud total de la gran muralla china expresada en centí- fmetros y en milímetros?

Primero debemos recordar las equivalencias entre las unidades de longitud mencionados:

1 kilómetro = 1 000 metros

1 metro = 100 centímetros

1 centímetro = 10 milímetros

Para realizar las transformaciones debemos multiplicar sucesiva-mente por las potencias de 10 anteriores.

En metros:

6 400 · 1 000 = 6 400 000 m o, en forma equivalente,

6 400 · 103 = 6 400 000 m

En centímetros:

6 400 · 1 000 · 100 = 640 000 000 cm o, en forma equivalente,

6 400 · 103 · 102 = 6 400 · 105 = 640 000 000 cm

En milímetros:

6 400 · 1 000 · 100 · 10 = 6 400 000 000 mm o, en forma equivalente,

6 400 · 103 · 102 · 101 = 6 400 · 106 = 6 400 000 000 mm

Para multiplicar un número natural por una o varias potencias de 10 debes escribir el número natural seguido de la misma cantidad de ceros que tienen los otros factores en conjunto. Si estos facto-res están escritos en forma de potencia debes escribir el número natural seguido de tantos ceros como te indique el resultado de la adición de los exponentes de estas potencias.

La principal importan-cia de las potencias de 10 radica en que son la base del sistema de nu-meración que ocupamos actualmente: el sistema decimal.

A partir del siglo VII a. de C. los diversos feudos que existían en los territorios de la actual China construye-ron murallas defensivas para protegerse de las constantes invasiones de los Hunos–belicosa tribu nómade del norte–. En el siglo III a. de C. el primer emperador chino Qin Shi Huang unificó estas mura-llas aisladas para conformar la Gran Muralla china.

La HistoriaEnlace con…

Potencias 73

Unidad

Ejercicios individualesCompleta la tabla multiplicando los números de la primera columna por las potencias de 10 que a.se indican en las columnas siguientes:

Número 100 101 102 103 104 105 106

1

2

9

27

48

1 332

14 480

Resuelve mentalmente las multiplicaciones:b.

6 · 1 000 · 10 000 = a)

13 · 10 · 1 000 · 100 = b)

200 · 100 · 100 = c)

74 320 · 10 000 · 10 = d)

1 098 702 · 100 · 1 000 = e)

832 000 · 10 · 1 · 100 = f)

La luz viaja aproximadamente 300 000 km en un segundo. c.¿Cuántos metros recorre en 1 segundo?a)

¿Cuántos centímetros recorre en 10 segundos?b)

¿Cuántos milímetros recorre en 2 segundos?c)

La torre de Pisa tiene una masa de 14 700 toneladas. d.¿Cuál es su masa expresada en kilogramos?a)

¿Cuál es su masa expresada en miligramos?b)

¿Cuál es su masa expresada en centigramos?c)

Entre las ciudades Chillán y Arauco hay una distancia aproximada de 177 km.e.¿Cuántos metros separan ambas ciudades?a)

¿Cuántos milímetros separan ambas ciudades?b)

¿Cuántos centímetros separan ambas ciudades?c)

El Titanic fue registrado con un peso bruto de 46 328 toneladas. f.¿Cuál era la masa del Titanic expresada en kilogramos?a)

¿Cuál era la masa del Titanic expresada en gramos?b)

La Carretera Panamericana, es un sistema de carreteras de 25 800 km que comunica de norte g.(Alaska) a sur (Patagonia) el continente americano.

¿Cuántos metros mide la Carretera Panamericana?a)

¿Cuántos centímetros mide la Carretera Panamericana?b)

Unidad 374

Multiplicación de un número decimal por una potencia de 10

Ximena estuvo becada estudiando en España y contó que le había salido muy caro el arriendo. Cada día una habitación en Barcelona le costaba 20,5 € y como la beca solo cubría la matrícula, el arancel y otros gastos menores, debió trabajar durante los fines de semana para financiar su estadía.

Si estuvo 100 días en Barcelona, ¿cuánto gastó en arriendo? f

Es necesario resolver la multiplicación entre un número decimal (20,5) y un número natural que es potencia de 10 (100 = 102):

20, 5 · 100 = 20,5 · 102

Evidentemente no podemos agregar ceros a continuación del número decimal pues este posee una coma. ¿Qué hacer?

Uno de los ceros de la potencia de 10 lo ocupamos para mover la coma hacia la derecha del número y el otro lo agregamos a continuación del número sin coma. Observa:

Primer 0 Segundo 0

20,5 205 2 050

Por lo tanto, Ximena gastó en arriendo durante los 100 días que estuvo estudiando en España 2 050 €.

Al multiplicar un número decimal por una potencia de 10 pode-mos diferenciar tres casos que se explican y ejemplifican a con-tinuación:

Cantidad de dígitos tras la coma es menor que cantidad de ceros en potencia •de 10: los 0 de la potencia de 10 se ocupan primero para mover la coma hacia la derecha del número decimal y los que sobran se agregan a continuación del número natural así obtenido.

71,29 · 10 000 = 712 900Cantidad de dígitos tras la coma es igual que cantidad de ceros en po-•tencia de 10: el resultado es el número natural que se obtiene al eliminar la coma del número decimal original.

14,345 · 1 000 = 14 345Cantidad de dígitos tras la coma es mayor que cantidad de ceros en potencia •de 10: el resultado es un número decimal con la coma desplazada hacia la derecha –respecto al número decimal original– en igual cantidad de posiciones como ceros hay en la potencia de 10.

47,3428 · 100 = 4 734,28

El Euro (€) fue introducido en los 11 países miembros de la Unión Europea como moneda virtual el 1 de enero de 1999 y en forma física el 1 de enero del 2002. Al 2008 son 15 los países que han adoptado el Euro como moneda oficial.La existencia de una moneda única en Europa ha permiti-do una mayor cooperación e integración económica entre los estados, facili-tando las transacciones comerciales y el traslado de las personas.

La GlobalizaciónEnlace con…

Potencias 75

Unidad

Ejercicios individualesMultiplica los siguientes números decimales por 10, 100, 1 000 y 10 000. Antes de obtener el a.producto, intenta predecir si el resultado será un número decimal o un número natural:

· 10 · 100 · 1 000 · 10 000

0,53a) 1,763b) 7,001c) 19,24d) 1 098,702e) 767,6435f) 299,923492g) 5,74648h)

Resuelve mentalmente las siguientes multiplicaciones:b.

0,95 · 10a) 3 =

3,6212 · 10b) 2 =

73, 254 · 10c) 0 · 105 =

172,5379 · 10d) 2 ·101 =

2 054,00442 · 10e) 5 · 102 =

74 923,744001 · 10f) 1 · 103 · 104 =

ProblemasEl monte Everest, ubicado en la cadena montañosa Himalaya 1. (Asia), es la montaña más alta del planeta Tierra, con 8,848 km sobre el nivel del mar. En contraste, la mayor profundidad de la corteza terrestre la constituye la fosa de Las Marianas, ubicada en el Pacífico norte y cuya profundidad es de 11,03 km.

¿Cuántos metros de altura mide el monte Everest? a) ¿Cuántos centímetros de profundidad mide la fosa de Las b) Marianas?

Ejercicios grupalesDescubran en grupos de dos o más personas el valor desconocido y escríbanlo en el recuadro a.correspondiente:

a) · 102 = 654,2

b) · 101 = 0,043

c) · 104 = 206 500

d) · 102 = 1 400,436

e) · 103 = 93 540,1

f) · 107 = 673 490 000

Unidad 376

Descomposición canónica de un número natural

El sistema de numeración ocupado en la actualidad es el sistema decimal cuya base es el número 10. Este sistema permite escribir cual-quier número ocupando diferentes potencias de 10.

¿Cómo expresamos canónicamente el número 37 ocupando poten- fcias de 10?

¿Cómo expresamos canónicamente el número 1 285 ocupando po- ftencias de 10?

Para expresar cualquier número utilizando potencias de 10 debemos realizar la respectiva descomposición canónica, indicando el valor posicional que cada dígito tiene dentro del número. En el caso del 37, estos valores son:

Decena Unidad

37Cada valor posicional lo podemos hacer corresponder con una po-

tencia de 10. Observa algunas de estas correspondencias:

Cmi Dmi Umi CM DM UM C D U

108 107 106 105 104 103 102 101 100

Una vez que identificamos el valor posicional de cada dígito escri-bimos la descomposición canónica utilizando las potencias de 10 que leemos desde la tabla.

37 = 3D + 7U = 3 · 101 + 7 · 100

Llevando a cabo el mismo procedimiento para el 1 285:

Centena Decena

Unidad de mil 1 285 Unidad

Por lo tanto la descomposición canónica del 1 285 es:

1 285 = 1UM + 2C + 8D + 5U = 1 · 103 + 2 · 102 + 8 · 101 + 5 · 100

La descomposición canónica de un número natural usando po-tencias de 10 se consigue efectuando la adición de los productos entre cada uno de los dígitos que componen el número y la poten-cia de 10 que le corresponde a su valor posicional.

En un dado común de seis caras las caras opuestas suman siempre 7.Considera un dado de seis caras con los números del 1 al 6 escritos en cada una de ellas. Este dado es especial, pues dos caras opuestas suman 9 y otras dos 8. ¿Cuánto suman las restantes caras opuestas?

Desafíoal ingenio

La notación científica utiliza potencias de 10 para expre-sar números muy grandes y números muy pequeños. Por ejemplo, la distancia media de la Tierra al Sol es de aproximadamente 150 000 000 km, que en notación científica se es-cribe 1,5 · 108 km.Una cantidad expresada en notación científica consiste en un número mayor o igual que 1 y menor que 10 multiplicado por una potencia de 10.

Archívalo

Potencias 77

Unidad

Ejercicios individualesEfectúa la descomposición canónica de los siguientes números naturales:a.

8 = a)

49 = b)

8 604 = c)

71 447 = d)

549 007 = e)

2 009 341 = f)

65 449 100 = g)

380 000 792 = h)

Encuentra el número natural que ha sido descompuesto canónicamente en cada una de las b.siguientes expresiones:

10a) 0 =

1 · 10b) 2 + 4 · 101 =

2 · 10c) 3 + 2 · 102 + 101 =

7 · 10d) 3 + 9 · 102 + 6 · 101 + 4 · 104 =

2 · 10e) 1 + 5 · 104 + 103 + 5 · 102 =

3 · 10f) 0 + 4 · 102 + 7 · 101 + 8 · 104 =

10g) 6 + 3 · 104 + 9 · 101 =

9 · 10h) 3 + 2 · 105 + 4 · 106 + 7 · 101 + 2 · 102 + 2 · 107 =

Ejercicios grupalesEncuentren, reunidos en grupos de 2 o más personas, el número natural a partir de las siguien-a.tes descomposiciones canónicas. Para ello agrupen y sumen los dígitos que acompañan a las potencias de 10 de igual exponente:

3 · 10a) 3 + 2 · 102 + 7 · 103 + 9 · 101 + 4 · 102 + 2 · 102 =

6 · 10b) 1 + 2 · 100 + 3 · 102 + 6 · 100 + 100 + 1 · 101 =

2 · 10c) 4 + 6 · 102 + 5 · 107 + 6 · 101 + 4 · 102 + 2 · 107 =

5 · 10d) 3 + 3 · 103 + 4 · 101 + 8 · 100 + 2 · 102 + 2 · 101 =

2 · 10e) 4 + 1 · 104 + 5 · 102 + 2 · 102 + 10 =

Unidad 378

División de potencias de 10

La empresa Salmonex, ubicada en la Décima Región del país en-viará una partida de 100 000 unidades de salmón congelado a Japón. Dentro de los acuerdos firmados con este país asiático, la empresa chilena se ha comprometido a enviar el pescado en contenedores de 1 000 unidades refrigerados a veinte grados Celsius bajo cero, para la conservación óptima del alimento.

¿Cuántos contenedores debe encargar la salmonera a su abastecedor fpara enviar la partida?

Este problema se resuelve dividiendo el total de unidades de salmón a exportar entre las unidades que es posible empacar en uno de los contenedores. Observa:

100 000 unidades totales

1000 unidades por contenedor

100 000

1000

105

103

Esta división la puedes resolver de dos formas.

Primera forma:

Eliminar un cero del numerador por cada cero del denominador y luego dividir. Si el numerador posee igual o mayor cantidad de ceros que el denominador –como en nuestro ejercicio– el resultado o cocien-te es mayor o igual que 1. Si el numerador posee menos ceros que el denominador, el resultado es un número ubicado entre 0 y 1.



100 000

1000

105

103 = 100 contenedores

Segunda forma:

Escribir dividendo y divisor en forma potencial y escribir el resultado como una potencia con base 10 y cuyo exponente es la resta entre los exponentes del numerador y el denominador.



100 000

1000

105

103 = 105 – 3 = 102 = 100 contenedores

Una división de potencias de 10 la resuelves eliminando la mis-ma cantidad de ceros tanto del dividendo como del divisor. Otra forma es escribir los términos de la división en forma potencial y expresar el resultado como una potencia cuya base es 10 y cuyo ex-ponente es el resultado de la resta entre los exponentes de ambas potencias.

Los primeros salmones (cohos o plateados) llega-ron Chile a partir de 1921, gracias a la labor del Insti-tuto de Fomento Pesquero (IFOP). En el año 1973, el Instituto logró implementar tecnologías pioneras para el cultivo de distintas especies acuícolas.

El ComercioEnlace con…

Potencias 79

Unidad

Ejercicios individualesResuelve mentalmente las siguientes divisiones de potencias de 10:a.

10010

100100

10000

10

1000000

100

100000000

1000000103

102

103

101

105

102

107

104

106

103

100000

10001010

105a) =

10010

100100

10000

10

1000000

100

100000000

1000000103

102

103

101

105

102

107

104

106

103

100000

10001010

105b) =

10010

100100

10000

10

1000000

100

100000000

1000000103

102

103

101

105

102

107

104

106

103

100000

10001010

105c) =

10010

100100

10000

10

1000000

100

100000000

1000000103

102

103

101

105

102

107

104

106

103

100000

10001010

105d) =

10010

100100

10000

10

1000000

100

100000000

1000000103

102

103

101

105

102

107

104

106

103

100000

10001010

105e) =

10010

100100

10000

10

1000000

100

100000000

1000000103

102

103

101

105

102

107

104

106

103

100000

10001010

105f) =

10010

100100

10000

10

1000000

100

100000000

1000000103

102

103

101

105

102

107

104

106

103

100000

10001010

105g) =

10010

100100

10000

10

1000000

100

100000000

1000000103

102

103

101

105

102

107

104

106

103

100000

10001010

105h) =

10010

100100

10000

10

1000000

100

100000000

1000000103

102

103

101

105

102

107

104

106

103

100000

10001010

105i) =

10010

100100

10000

10

1000000

100

100000000

1000000103

102

103

101

105

102

107

104

106

103

100000

10001010

105j) =

10010

100100

10000

10

1000000

100

100000000

1000000103

102

103

101

105

102

107

104

106

103

100000

10001010

105k) =

10010

100100

10000

10

1000000

100

100000000

1000000103

102

103

101

105

102

107

104

106

103

100000

10001010

105l) =

Enlaza la división de la columna de la izquierda con su resultado expresado en forma de potencia b.de la columna de la derecha:

1 00010

1 000 000 0001 000 000

1 000 000 000100

1 0001 000107

1 00010

1 000 000 0001 000 000

1 000 000 000100

1 0001 000

100

1 00010

1 000 000 0001 000 000

1 000 000 000100

1 0001 000 102

1 00010

1 000 000 0001 000 000

1 000 000 000100

1 0001 000 103

La nueva impresora láser que compró la directora de un colegio es de alta velocidad e imprime c.en color y en blanco y negro. En sus especificaciones técnicas dice que puede imprimir 10 000 páginas en 100 minutos.

¿Cuántas páginas puede imprimir en 1 minuto?a)

¿Cuántas páginas puede imprimir en 10 minutos?b)

Mi padre adquirió una deuda por $ 1 000 000 y debe cancelarla en 10 cuotas, una cada mes y d.sin intereses. ¿Cuál es el monto de la cuota que debe pagar cada mes?

Una nave espacial recorre 100 000 000 000 de metros en 1 000 días.e.¿Cuántos kilómetros recorre en 1 000 días?a)

¿Cuántos kilómetros recorre en 100 días?b)

¿Cuántos kilómetros recorre en 10 días?c)

¿Cuántos kilómetros recorre en 1 día?d)

Unidad 380

Para dividir un número natural por una potencia de 10 debes dis-tinguir tres casos:

No hay ceros en el dividendo o están en cantidad menor que la cantidad •de ceros en la potencia de 10: en el caso de un número natural sin ceros se debe mover la coma hacia la izquierda tantas posiciones como ceros tiene la potencia de 10. El resultado es un número decimal. Ejemplo:

27 432 : 10 000 = 2,7432 Si el número natural tiene ceros se elimina un cero del dividendo

por cada cero de la potencia de 10. Por cada cero que queda sin eliminar de la potencia de 10 se mueve la coma del dividendo una posición a la izquierda. El resultado es un número decimal. Ejemplo:

734 500 : 1 000 = 734,5Cantidad de ceros en el dividendo es igual a la cantidad de ceros en la •potencia de 10: el resultado corresponde al dividendo sin sus ceros. Ejemplo:

174 000 : 1 000 = 174Cantidad de ceros en el dividendo es mayor que cantidad de ceros en •la potencia de 10: se eliminan del dividendo tantos ceros como ceros tiene la potencia de 10. El resultado es siempre un número natural. Ejemplo:

18 000 : 100 = 180

División de un número natural por una potencia de 10

En 1998 comenzó el armado y puesta en marcha de la Estación Espa-cial Internacional, megaproyecto que ha permitido la presencia humana permanente en el espacio y que ha servido de laboratorio para muchos experimentos relacionados con muchas ramas del conocimiento.

Si esta estación se encuentra orbitando a 360 000 metros de la su- fperficie terrestre, ¿cuántos kilómetros la separan de la Tierra?

Como ya sabes 1 kilómetro consta de 1 000 metros, por lo que este problema de transformación de unidades se puede resolver agrupando en grupos de a 1 000 los 360 000 metros de separación. Esto, matemá-ticamente equivale a dividir 360 000 por 1 000:

360 000

1000Eliminando tres ceros del dividendo con tres ceros del divisor lle-

gamos rápidamente a la respuesta, que es: 360 kilómetros.

La concepción y construc-ción de la Estación Espacial Internacional fue posible gracias a la participación y colaboración de Rusia, Estados Unidos, Canadá, Japón y la Comunidad Eu-ropea. La Estación demora cerca de 92 minutos en dar una vuelta a la Tierra a la velocidad de 26 000 km/h y su masa es de casi 500 toneladas.

La TecnologíaEnlace con…

Potencias 81

Unidad

ProblemasUna industria exportadora de manzanas dispone de bandejas 1. cuadradas de 10 unidades por lado para transportarlas al puerto. Para este traslado posee una flotilla de camionetas, cada una de las cuales puede contener 10 bandejas. La producción de un día consistió en 13 456 manzanas.

¿Cuántas bandejas se requieren para trasladar las manza-a) nas? ¿Cuántas manzanas sobran?

¿Cuántas camionetas se necesitan para el traslado de las b) bandejas? ¿Cuántas bandejas sobran?

El dueño de una empresa de informática desea repartir un 2. porcentaje de las utilidades del año anterior entre sus 100 empleados. El reparto debe ser equitativo, ya que todos los trabajadores se esforzaron por igual. El monto a repartir as-ciende a $ 28 677 043.

¿Cuánto recibirá cada empleado? ¿Cuánto sobrará?a) Si el jefe de la empresa pide en el banco que el monto se b) lo entreguen solo en billetes de $ 1 000, ¿cuántos billetes recibirá? ¿Cuánto deberán darle en monedas?

Ejercicios individualesResuelve mentalmente las divisiones:a.

350 000 : 1 000 = a)

9 058 000 : 100 = b)

774 000 000 : 100 000 = c)

80 000 : 10d) 1 =

6 900 000 000 : 10e) 7 =

309 000 000 : 10f) 3 =

Divide:b.256 800 : 100 = a)

3 300 000 : 100 000 = b)

71 000 : 10c) 3 =

55 700 000 : 10d) 5 =

Divide:c.342 : 10 = a)

866 000 : 100 000 = b)

181 218 : 10 000 = c)

59 199 : 10d) 5 =

778 900 : 10e) 6 =

42 987 175 : 10f) 10 =

Unidad 382

Para dividir un número decimal por una potencia de 10 debes distinguir dos casos:

Cantidad de dígitos de la parte entera en dividendo es mayor que canti-•dad de ceros en potencia de 10: se mueve la coma hacia la izquierda del dividendo tantas veces como ceros tiene la potencia de 10. Ejemplo:

432,12 : 10 = 43,212Cantidad de dígitos de la parte entera en dividendo es menor o igual •que cantidad de 0 en la potencia de 10: se mueve la coma hacia la izquierda del dividendo tantas veces como ceros tiene la potencia de 10. Cuando se acaba la parte entera se deben agregar todos los 0 que sean necesarios a la izquierda de ella para poder mover la coma la cantidad de posiciones señaladas. Ejemplo:

72,43 : 10 000 = 0,007243

Un número natural se puede interpretar como aquel número cuya parte decimal es nula, es decir, podemos escribir: 7 = 7,0000…184 = 184,0000…

División de un número decimal por una potencia de 10

Marta se acaba de cambiar a un departamento y aún no tiene acceso a internet, por ello para comunicarse con sus amigos y amigas debe ir a la casa de sus padres que, según un mapa de la ciudad, viven a 35 523,65 m.

¿Cuántos kilómetros separan el departamento de Marta de la casa fde sus padres?

Para resolver este problema, lo primero que debemos hacer es convertir los metros que separan el departamento de Marta de la casa de sus padres a kilómetros y, para ello, debemos recordar que 1 km = 1 000 m = 103 m.

Para dividir un número decimal por una potencia de 10 podemos primeramente multiplicar el dividendo y el divisor por una potencia de 10 que permita convertir el decimal en un entero, en este caso mul-tiplicamos por 100 y luego dividimos:

(35 523,65 · 100) : (1 000 · 100) = 3 552 365 : 100 000

Utiliza el método de división aprendido en clases anteriores y re-suelve la división; luego comprueba con tu calculadora para no incurrir en errores.

3 552 365 : 100 000 = 35 523,65 : 1 000 = 35, 52365

La distancia que separa el departamento de Marta de la casa de sus padres es de 35,52365 km.

El sistema de numeración decimal que ocupamos en la actualidad –basado en las potencias de 10– tuvo su origen en la India y fue transmitido por los matemáticos árabes hacia Occidente durante la ex-pansión de la civilización islámica a Europa, que se inicia a partir del siglo VII d. de C.


Potencias 83

Unidad


5 463,42 : 10 = a)

934,53 : 10 000 = b)

73,425 : 1 000 = c)

0,231 : 100 = d)

99,34 : 1 000 = e)

9934,2 : 10 = f)

8,34 : 100 = g)

0,21 : 1 000 = h)

Ejercicios grupalesReúnete con dos compañeros o compañeras y comprueba los resultados de las divisiones que a.se plantean en los Ejercicios individuales. Analicen los resultados y resuman en el cuadro que se muestra a continuación las regularidades que se observan en las multiplicaciones y divisiones de números decimales por potencias de 10.

Operaciones

Multiplicación por potencias de 10.

División por potencias de 10.

ProblemasFernando tiene un terreno de 526,5 m1. 2 dividido en 100 partes iguales para sembrar en cada una de las partes 5 árboles de palta. ¿Cuántos metros cuadrados tiene cada parte? ¿Cuántos paltos sembrará?

Unidad 384

Resolución de problemasProblema modeloUna empresa del sur del país dedicada a la exportación de madera obtuvo durante los 10 primeros meses del año 2005 ganancias del orden de los $ 1 000 000 000.

¿Cómo expresarías utilizando potencias de 10 las ganancias de la a) empresa?¿Cuánto dinero obtuvo cada uno de los 10 meses considerados si b) las ganancias se distribuyeron en partes iguales cada mes?¿A cuántos billetes de $ 10 000 corresponden las ganancias de la c) empresa?


Las ganancias totales de la empresa expresadas en pesos.•El período de tiempo en el que se obtuvo esta ganancia.•


Expresamos las ganancias en notación científica.•Para calcular las ganancias de un mes dividimos las ganancias totales por 10.•Para calcular el número de billetes de $ 10 000 equivalente a las ganancias totales de la •empresa dividimos 1 000 000 000 por 10 000.


1 000 000 000 escrito como potencia de 10 es 10• 9.En un mes la empresa forestal ganó $ 100 000 000.•La ganancia total equivale a 100 000 billetes de $ 10 000.•


Los resultados de las preguntas b) y c) se pueden comprobar rehaciendo los cálculos pero con los números expresados como potencia y restando los exponentes de dividendo y divisor:

10• 9 : 101 = 109-1 = 108 = 100 000 00010• 9 : 104 = 109-4 = 105 = 100 000


El número 1 000 000 000 tiene 9 ceros, por lo tanto, se puede expresar en notación científica •como un 1 multiplicado por una potencia de 10 cuyo exponente es 9, es decir, 1 · 109.

1 000 000 00010

= 100 000 0001 000 000 000

10 000= 100 000•

1 000 000 00010

= 100 000 0001 000 000 000

10 000= 100 000•

Unidad

Potencias 85

Problema 1Marte es el cuarto planeta del Sistema Solar contando desde los más cercanos al Sol hasta los más lejanos. Su masa se estima en 6,4191 · 1020 toneladas.

Si dividiéramos Marte en 10 trozos de igual masa, ¿qué masa tendría a) cada trozo?Si estallara en 1 000 pedazos de igual masa, ¿cuál sería esta b) masa?En un sistema estelar cercano se ha detectado un planeta llamado c) 341-XL, cuya masa equivale a 100 veces la de Marte, ¿cuál es la masa de 341-XL?

Problema 2Don Javier tiene en su terreno 10 bosques de 1 000 árboles cada uno. La masa de cada árbol es aproximadamente de 100 kg. Responde:

¿Cuántos árboles tiene en su terreno don Javier?a) ¿Cuál es la masa aproximada de los árboles que existen en uno de b) los bosques de don Javier?¿Cuál es la masa total de los árboles que tiene en sus bosques don c) Javier?

Problema 3Un tren de 10 vagones transporta carbón desde una mina hacia una industria que lo ocupa como combustible. Cada vagón contiene 10 compartimentos con 100 kg de mineral cada uno.

¿Cuánto carbón transporta el tren en un viaje?a) ¿Cuánto carbón diario transporta si realiza 10 viajes hacia la industria b) por jornada?A este ritmo, ¿cuánto carbón trasportaría en 10 días de trabajo?c)

Problema 4Un astrónomo aficionado ha descubierto un misterioso cuerpo movién-dose por el espacio con rapidez constante y con una trayectoria directa de colisión con la Tierra . El astrónomo ha calculado que recorre 4 166,6 kilómetros cada hora.

¿Qué distancia recorre el cuerpo en 10 días?a) ¿Qué distancia recorre el cuerpo en 100 días?b) Si se encuentra a 1 000 000 000 de kilómetros de nuestro planeta, c) ¿en cuántos días llegará a nuestro planeta?


Unidad 386

Tecnología activaConstruyendo gráfico de líneas para una potencia de base 2

Una de las características de las potencias de base natural y exponente natural es el rápido crecimiento que experimenta el valor de la potencia al ir aumentando de uno en uno el expo-nente. Ilustraremos esto graficando en Excel los valores que asume la potencia 2x, donde x toma los valores 0, 1, 2, etc. Estos valores se muestran en la siguiente tabla:

Exponente 0 1 2 3 4 5

Valor de 2x 1 2 4 8 16 32

Creación de la hoja de cálculo.1. Crea un nuevo libro. Llámalo “Gráfico de una potencia”.››

Traslada la información de la tabla a las columnas A y B: 0, 1, 2, 3, 4 y 5 a las celdas A2, ››

A3, A4, A5, A6 y A7; y 1, 2, 4, 8, 16, 32 a las celdas B2, B3, B4, B5, B6 y B7, respecti-vamente. Tu planilla, hasta el momento, debe verse así:

Selecciona el ícono ›› . En el menú que te aparece selecciona el de Líneas y luego

presiona Siguiente > . Elige Series y, a continuación, presiona Quitar dos veces hasta que te quede limpia la pantalla.

Presiona ›› Agregar. En Nombre, escribe “Gráfico de potencia”. En Valores presiona y selecciona con el mouse la columna B desde B2 hasta B7 y vuelve a presionar .

Potencias 87

Unidad

En ›› Rótulos eje de categorías (X), presiona y selecciona la columna A desde A2 hasta A7 y vuelve a presionar . Luego, presiona Siguiente > .

En ›› Título del gráfico, escribe "Gráfico de potencias". En Eje de valores (Y), escribe "Valor de la potencia".

Presiona ›› Leyenda y borra el visto.

Finalmente presiona ›› Terminar .

Haz ›› clic en el eje horizontal, selecciona Escala y borra el visto que aparece.

El gráfico se verá como sigue:››

Aplicando lo aprendido.2. Grafica en una hoja de cálculo de Excel la siguiente tabla con los valores de la potencia a) 3x cuando x asume diferentes valores:


Valor de 3x 1 3 9 27 81 243

Grafica los valores de la potencia 4b) x cuando x adquiere los valores x = 0, 1, 2, 3, 4 y 5 a partir de la siguiente tabla:


Valor de 4x 1 4 16 64 256 1 024

Compara los valores y los gráficos de las tres potencias (2c) x, 3x y 4x) e indica cuál de ellas crece más rápido.

Unidad 388


El producto de potencias de 10 corresponde a un 1 seguido de la misma cantidad de ceros que tienen los factores en su conjunto.

El cociente entre dos potencias de 10 corresponde a un 1 seguido de la diferencia entre la cantidad de ceros del dividendo y la cantidad de ceros del divisor.

La descomposición canónica de un nú-mero natural ocupando potencias de 10 permite comprender la estructura del sistema de numeración decimal que ocupamos en Matemática. Consiste en la asignación de una potencia de 10 específica a cada valor posicional existente dentro de un número. Por ejemplo, la descomposición del 63 702 es:

63 702 = 6 · 104 + 3 · 103 + 7 · 102 + 2 · 100

Una potencia de 10 es aquella cuya base es 10. Por ejemplo:

105 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100 000

El producto entre un número natural o decimal y una potencia de 10 corresponde al número natural o decimal con la coma trasladada tantas posiciones a la derecha como ceros tiene la potencia de 10.

El cociente entre un número natural o decimal y una potencia de 10 corresponde al número natural o decimal con la coma tras-ladada hacia la izquierda tantas posiciones como ceros tiene la potencia de 10.

SíntesisHIPERTEXTO

Una potencia es una expresión matemática que expresa la multiplicación reiterada de un número por sí mismo. Está compuesta por dos términos, una base B y un exponente E, tal que: E veces

BE = B · B ·…..· B

y se lee “B elevado a E”.

644474448

Ficha1

Ficha 3

Ficha 4

Ficha 2

Ficha 4

Potencias 89

Unidad

Evaluación I Ejercicios de desarrollo

3.Escribe como potencia los siguientes números naturales:

a) 1 000 =

b) 10 =

c) 1 000 000 000 000 000 =

d) 100 000 =

a.Escribe la potencia y su valor a partir de la información que se entrega:

a) Base: 6 Exponente: 3 Potencia: Valor:

b) Base: 3 Exponente: 0 Potencia: Valor:

c) Base: 1 Exponente: 12 Potencia: Valor:

d) Base: 9 Exponente: 5 Potencia: Valor:

e) Base: 11 Exponente: 1 Potencia: Valor:

f) Base: 13 Exponente: 4 Potencia: Valor:

2.Expresa como potencia las siguientes multiplicaciones y calcula su valor con una calculadora:

a) 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 Potencia: Valor:

b) 4 · 4 · 4 · 4 Potencia: Valor:

c) 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 Potencia: Valor:

d) 9 · 9 Potencia: Valor:

e) 12 · 12 · 12 Potencia: Valor:

f) 21 · 21 · 21 · 21 · 21 Potencia: Valor:

4.Multiplica las potencias de 10. Escribe el resultado como número natural y como potencia:

a) 100 · 10 · 1 000 = Número Potencia

b) 1 000 000 · 10 000 · 1 000 = Número Potencia

c) 105 · 103 · 107 · 10 = Número Potencia

d) 109 · 10 · 105 · 10 · 104 = Número Potencia

5.Escribe la siguiente información como la multiplicación de un número entre 1 y 9 y una potencia de 10:

a) Velocidad de la luz: 300 000 km/s

b) Radio terrestre: 6 370 000 metros

c) Edad de la Tierra: 4 500 000 000 años

d) Radio de la Luna: 1 700 000 metros

Unidad 390

a) 1 000 · 234 =

b) 0,36 · 100 =

c) 34,67 · 10 000 =

d) 1,02 · 105 =

e) 37 · 107 =

f) 100 000 · 0,00901 =

a) 14 =

b) 23 086 =

c) 9 003 =

d) 689 052 =

a) 23 : 10 =

b) 34,78 : 1 000 =

c) 1 000 000 : 1 000 =

d) 1012 : 107 =

e) 0,345 : 100 =

f) 3 456 : 100 =

a) b)

100 cm

10 cm

a =

10 000 km

1 000 km

a =

6.Multiplica mentalmente los siguientes números:

9.Calcula el área de las siguientes figuras y exprésala ocupando potencias de 10:

.Un nuevo edificio en el centro de una metrópolis mide 278,45 m de altura.

a) ¿Cuál es la altura del edificio expresada en milímetros?

b) Si el edificio posee 100 pisos de la misma altura, ¿cuánto mide cada piso?

8.Descompón canónicamente los números utilizando potencias de 10:

7.Divide mentalmente los siguientes números:

Potencias 91

Unidad




a Se estima que los dinosaurios –enormes reptiles que habitaron nuestro planeta– se extinguieron hace unos 65 000 000 de años. ¿Cómo se expresa este número usando notación científica?

a) 65 · 106

b) 0,65 · 106

c) 6,5 · 107

d) 65 · 107

f Una caja contiene diez atados de diez cuadernos cada uno. ¿Cuántos cuadernos podemos hallar en diez cajas como las anteriores?

a) 100

b) 1 000

c) 10 000

d) 100 000

b El resultado de 104 – 103 es:

a) 100

b) 101

c) 107

d) Ninguna de las anteriores.

g La multiplicación 1 000 · 100 000 equivale a:

a) 105 · 104

b) 108 · 108

c) 107 · 102

d) 108 · 100

c Fernanda va al banco a cobrar un cheque por $ 2 765 000. Si pide que le den solo billetes de $ 1 000, ¿cuántos billetes debieran darle?

a) 2 765

b) 27 650

c) 276,5

d) 276 500

h La edad de nuestro Universo se estima en unos 1,37 · 1010 años. ¿A qué número corresponde esta expresión?

a) 13 700 000

b) 137 000 000

c) 13 700 000 000

d) 1 370 000 000 000

d Un torneo de tenis de eliminación simple comienza su primera ronda con 16 partici-pantes. ¿Cuántos jugadores quedan en la competición tras 2 rondas? Expresa este resultado en forma de potencia.

a) 21

b) 22

c) 23

d) 24

i La multiplicación 0,0345 · 1 000 tiene por resultado:

a) Un número decimal.

b) Una potencia de 10.

c) Un número natural.

d) Ninguna de la anteriores.

e José debe dividir los 18,25 kg que quedan de harina tostada en 10 bolsas de igual contenido. ¿Cuánto debe contener cada una de las bolsas?

a) 1,825 g

b) 18,25 g

c) 182,5 g

d) 1 825 g

j 10 troncos de 2,35 m de largo se unen uno después del otro para construir un improvi-sado puente. ¿Cuál es la longitud de este puente?

a) 23,5 cm

b) 235 cm

c) 2 350 cm

d) 23 500 cm

92

Red conceptual

Ecuaciones de primer grado4

Unidad

Ecuaciones de primer

grado

Igualdades entre expresiones algebraicas

Resolución

Validación

Aplicaciones

Propiedades de números

como

aplicando

mediante

relacionadas con

Definición

Sustitución de la solución

La ciencia y la vida cotidiana

Entrada de unidad

93

¿Cuidas las playas?

Las playas suelen ser el destino predilecto para ir de vacaciones. La comunión entre el sol, el mar y los bellos paisajes, seduce a todos. Pero, ¿damos a las playas el cuidado que requieren? ¿Respetamos la naturaleza costera como deberíamos?

Muchas playas de nuestro país presentan gran cantidad de basura y desperdicios, tanto en el agua como en la arena. Buena parte de los desechos son arrojados por los visitantes, mientras que el resto es arrastrado por el viento o por los ríos que desembocan en ellas.

La presencia de basura en las playas chilenas no solo afecta la belleza de los paisajes, sino que provoca efectos medioambientalmente fatales, como el ahogo de animales marinos que confunden la basura con alimentos, la muerte de especies por heridas provocadas por vidrios u otros objetos cortantes y la proliferación de roedores, malos olores e infecciones que pueden provocar enfermedades a los seres humanos.

¿Qué playa es la que más te gusta?

¿La consideras una playa limpia? ¿Por qué crees que está así?

¿Qué consejos darías a otras personas para contribuir al cuidado y conservación de las playas en nuestro país?

¿Puedes resolver?Un grupo de voluntarios se desplegó por el país para censar la basura

en la jornada de Limpieza Internacional de Costas que se realizó en el año 2007. En total fueron analizadas 112 playas. En un solo día de recolección se recogieron 95 toneladas de basura.

Si nos dijeran que de ellas, 11 toneladas fueron de papel y cartón, 5 toneladas de vidrio, 3 toneladas de plumavit, 3 toneladas de metal y el resto de plásticos:

¿Cuántas toneladas de plásticos se recogieron?

¿Cómo puedes representar algebraicamente este problema?


Determinar el valor de una expresión algebraica.

Reducir términos semejantes.

Definir ecuación de primer grado.

Resolver ecuaciones de primer grado utilizando propiedades de las operaciones

numéricas.

Resolver problemas utilizando ecuaciones de primer grado.


Unidad 494

Actividad inicialUna manera efectiva de contribuir a la protección del medioambiente se consigue

mediante el reciclaje. Este consiste en procesar los distintos elementos que conforman la basura para volverlos a utilizar. Algunos componentes reciclables de la basura son: los metales, el vidrio, el papel, los plásticos y la materia orgánica. El reciclaje nos permite disminuir la cantidad de desperdicios que arrojamos al entorno y cuidar los recursos naturales al reutilizar las materias primas que nos proporcionan. Pero, ¿cómo podemos incentivar a la población a reciclar?

Formen grupos de tres personas y realicen las actividades que se presentan a continuación.

Lean la historieta y respondan las preguntas de la página siguiente:1.

Ecuaciones de primer grado 95

Unidad

Si en el tarro de metales de un curso hay a) x kg de aluminio y un alumno lanza una lata de 35 g, ¿cómo representas la masa que contiene ahora el tarro?

Si la masa del contenido del tarro de papeles es b) y kg y un tercio de ella co-rresponde a papel blanco, ¿cómo expresas los kilogramos de papel blanco?, ¿y los de papel de color?

La masa del tarro de materia orgánica es de c) w kg. Si la masa de este tarro y su contenido es de z kg, ¿cuál es la masa de materia orgánica que contiene?

Un miércoles, en el tarro de metales de un curso hay 2. a kg de aluminio, b kg de cobre y c kg de hierro.

¿Cuántos kilogramos de metales contiene el tarro? ¿Cuántos gramos?a)

Si al viernes la cantidad de aluminio se triplica y la de hierro se duplica, b) ¿cuántos kilogramos hay ahora en el tarro?

Por error, un curso vació todos sus basureros en el contenedor de vidrio. Tras 3.ello, este contenedor contiene 65 kg de basura que se distribuyen de la siguiente manera:

Expresen algebraicamente cómo calcular la masa de cada tipo de desperdicio a) existente en el contenedor ocupando las cantidades del resto de las basuras y la masa total de basura.

Metales:

Vidrio:

Papel:

Plásticos:

Materia orgánica:

Otros:

¿Cuánto vale A + B + C + D + E + F?b)

¿Cómo pueden expresar la masa de vidrio que se arrojó? Consideren que la masa c) de vidrio antes de la incorporación del resto de las basuras era de 32 kg.


Unidad 496

Términos semejantes

Observa detenidamente la siguiente expresión algebraica:

3x + 6y + 7z + 2x – 3y + 3z – 4x + 5y – 4z

¿Qué característica especial notas en ella? f

Es posible advertir que cada una de las letras x, y y z aparecen en tres de los términos de la expresión. Destaquémoslas con un color diferente para que las distingas con mayor facilidad:

3x + 6y + 7z + 2x – 3y + 3z – 4x + 5y – 4z

Una vez identificados, reunamos aquellos términos que están em-parentados por el mismo color:

Azul: 3x + 2x – 4xVerde: 6y – 3y + 5yFucsia: 7z + 3z – 4z

Los términos cuya parte literal es del mismo color se dice que son términos semejantes y poseen las misma características unos con otros, representando la misma magnitud. Por ejemplo si x es el número de galletas que tienes, entonces los términos 3x, 2x y 4x hacen referencia a ellas:

3x triple del número de galletas2x doble del número de galletas4x cuádruplo del número de galletas

Considera esta nueva expresión algebraica:

3ab + abc + 5bc + 2ac + ab + 7ac + 2bc + 6abc

¿Cuáles términos son semejantes entre sí? f

Aunque las letras presentes en la expresión algebraica son solo tres: a, b y c; existen cuatro tipos de términos semejantes:

Parte literal ab 3ab y ab

Parte literal ac 2ac y 7ac

Parte literal bc 5bc y 2bc

Parte literal abc abc y 6abc

Términos semejantes se les llama a aquellos términos algebraicos que tienen la misma parte literal, poseen las mismas características y son de la misma naturaleza.

Recuerda que en la mul-tiplicación de un número por una letra o de dos letras no es necesario escribir el signo corres-pondiente.Por ejemplo:

3 · x = 3xa · b = ab

Un término algebraico está formado por un nú-mero –llamado coeficiente numérico– y por una o más letras –llamada parte literal–.

7abParte literal

Coeficiente numérico


Unidad

Ejercicios individualesEncierra en círculos de diferente color los términos que son semejantes en las siguientes expre-a.siones algebraicas:

2a) y + 5x – y + z – 2x + 10y + 7z

5b) n + 3ñ + 4n + 8m + 10ñ + 3n + m

7c) xy + 4x + 6y + 5yx + 7x – 3y + 8xy + 9y

3d) a + 2b + 3a + 4c + 10b + 9c + 11a

3e) x + 7y + 9z + 8xy + 10xz + 2y + 15 xy + 8z + 7xz

7f) a + 6ab + 5bc + 8a + 12bc + 20ab + 3a + 7bc + 8ab

pg) + 2q + 7p + 10r + 4q + 5p + 3r + 8p + 9r

10h) x + 25y – 11x + 35z + 22y + 34x + 19z

Indica las expresiones literales diferentes que puedes formar ocupando las letras que están a b.continuación (sin que se repita una misma letra en cada expresión):

aa) y b

ab) , b y c

Une con una línea cada término algebraico de la izquierda con su término semejante de la c.derecha:

7abcd

12bdce

4abe

11cde

6aebc

3ba

4dcbe

32ab

9bea

2bcad

2dce

18ceab

Unidad 498

Reducción de términos semejantes

Don Remigio cosecha sandías y melones en un terreno que es de su propiedad. Todas las mañanas va a vender sus frutos al mercado del pueblo. Las sandías las vende a $ S y los melones a $ M. Un viernes vendió 14 sandías y 18 melones, el día siguiente 18 sandías y 21 melones y el domingo 16 sandías y 11 melones.

¿Qué expresión indica el dinero que recaudó en total por las ventas? f¿Qué expresión indica el dinero que recaudó en los tres días por la fventa de sandías?

¿Qué expresión indica el dinero que recaudó en los tres días por la fventa de melones?

Separemos lo que recaudó cada día:

Viernes: 14S + 18M

Sábado: 18S + 21M

Domingo: 16S + 11M

Para calcular el dinero total debemos sumar lo recaudado en los tres días:

14S + 18M + 18S + 21M + 16S + 11M

Resolvemos reuniendo los términos que representan la ganancia por venta de sandías (parte literal S) y de melones (parte literal M):

Sandías: 14S + 18S + 16S = (14 + 18 + 16) · S = 48S

Melones: 18M + 21M + 11M = (18 + 21 + 11) · M = 50M

Como ves, hemos sumado los coeficientes numéricos y mantenido la letra correspondiente.

¿Qué valor adquieren las expresiones anteriores si don Remigio fvende las sandías a $ 1 200 y los melones a $ 400?

Sustituyendo S por 1 200 y M por 400, tenemos:

Ganancia por venta de sandías = 48S = 48 · $ 1 200 = $ 57 600

Ganancia por venta de melones = 50M = 50 · $ 400 = $ 20 000

Ganancia total = 48S + 50M = 48 · $ 1 200 + 50 · $ 400 = $ 77 600

El valor de una expresión algebraica se obtiene sus-tituyendo su parte literal por números y resolviendo las operaciones que re-lacionan estos números. Por ejemplo, el valor de 3x + 4xy para x = 2 e y = 5 es:3 · 2 + 4 · 2 · 5 = 46

La sandía es originaria de la parte norte de África. Se han encontrado vestigios que sugieren que ya se cosechaba en el antiguo Egipto. De allí pasó a los países ubicados en los alrededores del mar Me-diterráneo, siendo traída al continente americano por los conquistadores espa-ñoles y portugueses.



Unidad

Se llama reducción de términos semejantes a la acción de sumar o restar los coeficientes numéricos de las expresiones cuya parte literal es similar. Tras resolver las operaciones se agrega al resul-tado la parte literal común.Si dos términos no son semejantes no pueden ni sumarse ni res-tarse.

Ejercicios individualesEn las siguientes expresiones algebraicas agrupa los términos semejantes y redúcelos:a.

2a) x + 5y + 9z + 3x + 2y – 6z – 4x – 7y + 2z =

7b) ab + 6bc + 5ac + 5bc + 7ac + 6ab + 2bc + 3ab + 8ac =

5c) x + 2y + 3z + 6y + 7x + 7z + 3x + 2z + 5y =

11d) ax + 10cz + 9by + 3by + 4ax + 7cz + 6by + 4cz + 14ax =

7e) xb + 4yz + 15za – 5xb + 2yz – 8za – 5yz – xb – 3za =

18f) ñ + 10m + 3n + 20m – 15ñ + 18n + 3ñ – 15m – 7n =

5g) ef + 8tp + 4oq + 4ef + 9tp + 7oq – 3ef – 7tp – 2oq + tp + 2oq =

7h) abcd + 3adc + 5abc + 9abcd + 3abc + 6adc =

5i) k + 3g + 7d + 10k + 8d + 2g + 14d + 7g =

9j) f + 4ef + 2f + 7fe – 2f – 11ef + 4e – 2e – 9f – 2e =

21k) ij + 27jk – 8ij + 4jk – ij – 4jk =

Como los términos 6x y 7y no son semejantes, las siguientes operaciones no se pueden resolver sin conocer los valores de x e y:

6x + 7y6x – 7y

Si don Remigio paga diariamente por el derecho a ocupar un lugar fen el mercado lo equivalente al costo de 3 sandías, ¿cuánto ganó realmente?

Para realizar este cálculo debemos restar de la expresión 48S + 50M el dinero equivalente a 9 sandías (3 sandías por cada uno de los tres días).

48S + 50M – 9S

Nuevamente reunimos los términos semejantes y realizamos las operaciones correspondientes:

Sandías: 48S – 9S = (48 – 9) · S = 39S

Melones: 50M

Entonces la ganancia real de don Remigio fue:

39S + 50M = 39 · $ 1 200 + 50 · $ 400 = $ 66 800

Unidad 4100

Definición de ecuación de primer grado

En un centro de investigaciones biológicas se adiestra a un grupo de profesionales para monitorear una población de aves que se encuentran en peligro de extinción.

Si en total son 18 investigadores, de los cuales 12 son hombres, f¿cuántas mujeres hay en el equipo?

Para resolver algebraicamente este problema lo primero que haremos será extraer la información que nos ofrecen:

Total de investigadores: 18Cantidad de hombres: 12Cantidad de mujeres : x (valor desconocido)

A continuación, planteamos el problema mediante lenguaje algebraico:

12 + x = 18

Nos encontramos ante una igualdad en la cual hay una incógnita x, que en este caso, representa el número de mujeres.

Un ejemplo claro de igualdad es una balanza de platos, cuyos platos se equilibran cuando los pesos que contienen son iguales. Si colocamos la igualdad anterior en una balanza constataremos lo siguiente:

Para saber la cantidad de mujeres que hay en el equipo tenemos que encontrar un valor para x, de manera que al sumarlo con 12 se obtenga 18, permitiendo que la balanza continúe en equilibrio.

Se designa como incógni-ta dentro de una expresión algebraica a la parte literal desconocida de alguno de los términos. Para determinar el valor de una incógnita se utilizan las ecuaciones.En la ecuación 2x + 4 = 10, la incógnita es x. Resolver la ecuación es encontrar el valor de la x que per-mita que se cumpla la igualdad.

La ornitología es la rama de la zoología que se de-dica al estudio de las aves: clasificación, hábitos, canto y vuelo. Esta ciencia posee muchos aficionados que promueven la protección y conservación de las aves.

Archívalo


Unidad

¿Cuál es el número que sumado a 12 nos da 18? f

Evidentemente 6, ya que 12 + 6 = 18.

Por lo tanto, x = 6 y podemos decir que en el equipo de investiga-dores hay 6 mujeres y 12 hombres.

Una ecuación de primer grado es una igualdad entre dos expre-siones algebraicas que solo se verifica para un valor específico de una incógnita, generalmente llamada x.

Ejercicios individualesResuelve mentalmente las siguientes ecuaciones:a.

xa) + 2 = 4

x =

xb) + 3 = 5

x =

xc) + 2 = 6

x =

xd) + 1 = 4

x =

xe) + 4 = 4

x =

xf) + 5 = 7

x =

xg) + 5 = 9

x =

xh) + 5 = 11

x =

xi) + 2 = 14

x =

xj) + 12 = 14

x =

x + 3 = 6 k)

x =

xl) + 7 = 7

x =

xm) + 2 = 11

x =

xn) + 1 = 10

x =

ñ) x + x = 20

x =

ProblemasEl número de especies de reptiles amenazadas o en peligro 1. de extinción es alarmante. En una determinada zona protegi-da existen x especies de reptiles y en otra ubicada a 300 km hay 3 especies más que en la primera. Si entre las dos zonas protegidas suman 17 especies, ¿cuántas especies protegidas hay en la primera?

La entrada al cine cuesta 2. x pesos. Si Laura tenía $ 4 100 y tras comprar la entrada le sobraron $ 1 900, ¿cuál es el precio de la entrada?


Unidad 4102

Resolución de ecuaciones de primer grado

Aplicando lo aprendido podemos resolver una amplia variedad de ecuaciones de primer grado.

¿Cuál es el valor de la incógnita en la ecuación 10 f x + 5 – 4x = 10 + x?

1º Aplicamos propiedad conmutativa al lado izquierdo:

5 + 10x – 4x = 10 + x

2º Reducimos los términos semejantes del lado izquierdo:

5 + 6x = 10 + x

3º Restamos 5 a ambos lados de la igualdad. Esto equivale a trasladar el 5 que está sumando en el lado izquierdo, al lado derecho restando:

6x = 10 – 5 + x 6x = 5 + x

4º Restamos x a ambos lados de la igualdad. Esto equivale a trasladar la x que está sumando en el lado derecho, al lado izquierdo restando:

6x – x = 5 5x = 5

5º Dividimos ambos lados de la igualdad por 5. Esto equivale a trasladar el 5 que multiplica en el lado izquierdo, al lado derecho dividiendo:

x =

55

105

x = 1

Resolver una ecuación de primer grado consiste en encontrar el valor de la incógnita que ella contiene. Esto se consigue realizando las operaciones necesarias que permitan despejar o aislar la incóg-nita en un lado de la igualdad, obteniéndose en el otro, su valor.

¿Cuál es el valor de la incógnita en la ecuación 8 f x + 3 – x = 13 + 2x?

Aplicaremos los pasos uno por uno:

1º 3 + 8x – x = 13 + 2x2º 3 + 7x = 13 + 2x3º 7x = 10 + 2x4º 5x = 10

5º x =

55

105

x = 2

Cuando resuelves una ecuación debes preocu-parte de restar a ambos lados el menor de los nú-meros que están sumando los lados de la igualdad. Si el término a restar con-tiene la incógnita debes restar aquel que posea el menor coeficiente. Por ejemplo, a continuación se destacan los términos que deben ser restados:

7x + 4 = 19 + 2x

Ayer preguntaron a Pe-nélope por su edad y ella contestó:“Anteayer tenía 10 años y el año próximo cumpliré 13.”¿Es esto posible? ¿Cómo? ¿Qué día es hoy?

Desafíoal ingenio

Recuerda algunas equi-valencias entre lenguaje cotidiano y expresiones algebraicas:Doble de un número:

2x3 más un número:

3 + xNúmero aumentado en 1:

x + 1Diferencia entre un número y 5:

x – 5Número disminuido en 9:

x – 9Producto de dos números:

xy

Archívalo


Unidad

Ejercicios individualesEn cada uno de los siguientes ejercicios se ha planteado una ecuación, pero se desconoce su a.enunciado. Elabora un enunciado para cada ecuación y luego resuélvela:

Ecuación Enunciado Resultado

x + 7 = 13 A un número desconocido le agregamos 7 y nos da 13. x = 6

x + 11 = 19

x – 13 = 15

18 + x = 51

x – 5 = 5

2x + 5 = 7

7 + 2x = 17

3x + 8 = 11

4x – 15= 1

4x – 22 = 6

Resuelve las siguientes ecuaciones:b.

4a) x + 2 = 3x + 9

x =

7 + 7b) x = 9x – 13

x =

3c) x + 4 + 2x = 6x

x =

5d) x + 2 – 3x = 7 – 3x

x =

12 + 3e) x – 9 – x = 14x – 21

x =

xf) + 11x + 7x = 0

x =

Expresa los siguientes enunciados mediante ecuaciones de primer grado, resuélvelas e indica c.el valor del número incógnito:

El cuádruplo de un número menos ocho equivale al doble del número más seis.a)

Ecuación Valor de la incógnita

Un número más el doble del número más el triple del número equivale a treinta y seis.b)


El doble del triple de un número más el triple del doble del número equivale a ciento veinte.c)


La mitad de un número es diecisiete.d)


La tercera parte de un número es treinta.e)


Catorce más el doble de un número equivale a catorce.f)


Unidad 4104

Aplicaciones de las ecuaciones de primer grado

Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es encontrar solución a problemas, tanto de los de compleja naturaleza científica como de los de la vida cotidiana. Muchas de las metodologías que ocupamos para calcular algunas magnitudes ya estudiadas con anterioridad como el área y el perímetro, tienen su base en ecuaciones de primer grado.

El perímetro de un parque rectangular es 54 km. Si el lado mayor mide f11 km más que el menor, ¿cuánto miden los lados del parque?

Lo primero que debemos hacer para encontrar la solución de este problema es separar la información útil que nos ofrecen, en este caso nos dicen que el perímetro del parque es 54 km y que el lado mayor mide 11 km más que el menor. Partamos escribiendo la fórmula general del perímetro para un cuadrilátero:

P = a + b + c + d = 54 km

Si los lados son a, b, c y d, donde a = c y b = d y si determinamos que a y c son los lados mayores, entonces:

b = d = x

a = c = x + 11

Si dibujamos el jardín rectangular:

c = x + 11

d = x b = x

a = x + 11

a + b + c + d = P

Sustituyendo en la fórmula de perímetro:

x + 11 + x + x + 11 + x = 54

Agrupando términos semejantes:

x + x + x + x + 11 + 11 = 54

Reduciendo términos semejantes:

4x + 22 = 54

El grado de una ecuación algebraica corresponde al mayor exponente de la o las incógnitas.Por ejemplo la ecuación 3x3 + 7x2 – 4x + 7 = 12, es de tercer grado con una incógnita. También existen ecuaciones con 2 y más incógnitas, pero las estudiarás más ade-lante. Por ahora, estamos estudiando las ecuaciones de primer grado con una incógnita, es decir, del tipo:

7x – 4 = 17

Raúl guarda sus camisas en su closet. Todas sus camisas son blancas me-nos dos, todas son azules menos dos y todas son rojas menos dos.¿Cuántas camisas tiene de cada color?

Desafíoal ingenio


Unidad

Dejando el término con la x de un lado:

4x = 54 – 22

4x = 32

Despejando x:

x =

32

4 x = 8

Teniendo el valor de x podemos decir que los lados más pequeños del rectángulo que forman el parque miden cada uno 8 km y si nos dijeron al inicio que los lados mayores tienen 11 km más que los me-nores, entonces:

a = c = x + 11

a = c = 8 + 11

a = c = 19 km

Entonces, concluimos que los lados más pequeños del parque miden cada uno 8 km y los lados mayores miden 19 km cada uno.

ProblemasEn la segunda fase de un juego gané 14 fichas, por lo que en 1. total acumulé 57. ¿Cuántas fichas había ganado en la primera fase?

Andrés tiene 27 años más que su hijo. La edad de Andrés es 2. 41 años. ¿Qué edad tiene su hijo?

Necesito saber cuántas preguntas tiene la última guía de 3. matemática, y lo único que sé es que Margarita contestó 12 y le faltan 8. ¿Cuántas preguntas son en total?

Del dinero que tengo, debo pagar $ 5 600 y me quedarán 4. $ 3 400. ¿Cuánto dinero tengo?

Si un hombre gastó $ 14 250 y le quedaron $ 7 800 en el bol-5. sillo, ¿cuánto tenía antes del gasto?

Un trozo de madera medía 3,7 m. Si le cortaron un pedazo y 6. redujo su longitud a 3,25 m, ¿cuánto le cortaron?

Cuando Ximena tenga el doble de mi edad más 5 años, tendrá 7. 47. ¿Cuántos años tengo?

Ana tiene el triple de paste-les que Carlos. Diego tiene la mitad que Carlos. Ana tiene 16 pasteles más que Carlos. ¿Cuántos pasteles tiene cada uno?

Desafíoal ingenio

Unidad 4106

Validación de la solución de una ecuación de primer grado

En un colegio se toma como iniciativa realizar una campaña de reciclaje. Tomás, Ignacio y Marcos colectaron papel y cartón en sus casas para contribuir con ella. Tomás reunió 3 kg más que Marcos e Ignacio 2 kg menos que Marcos.

Si entre los tres amigos entregaron 13 kg, ¿cuántos kilogramos freunió cada uno?

Extraemos la información útil:Marcos: x Tomás: x + 3 Ignacio: x – 2Entre los tres amigos: 13 kg

Planteamos la ecuación: x + x + 3 + x – 2 = 13

Agrupamos términos semejantes: x + x + x + 3 – 2 = 13

Reducimos términos semejantes: 3x + 1 = 13

Despejamos la incógnita: 3x + 1 = 13 3x = 12 x = 4

Marcos: x = 4Tomás: x + 3 = 4 + 3 = 7 Ignacio: x – 2 = 4 – 2 = 2

Por lo tanto, Marcos reunió 4 kg, Tomás 7 kg e Ignacio 2 kg.

¿Cómo validamos la solución de esta ecuación? f

Validar o comprobar la solución de una ecuación consiste en comprobar que el valor encontrado para la incógnita es el co-rrecto, es decir, que al sustituir este valor en la ecuación inicial se verifica la igualdad.

Validemos la solución para x = 4.

La ecuación inicial es:

x + x + 3 + x – 2 = 13

Sustituimos el valor de x en la ecuación: 4 + 4 + 3 + 4 – 2 = 13

Operamos: 13 = 13

Un abuelo tiene el triple de la edad de su hijo y este, a su vez, el triple de la edad de su hijo. Si entre las tres edades suman 130 años, ¿cuál es la edad de cada uno?

Desafíoal ingenio

Con el papel reciclado se producen 200 mil tonela-das anuales de papeles de embalaje. Las principales materias primas ocupadas son cajas de cartón co-rrugado y diarios viejos. También son fabricados con papel reciclado los papeles tissue, algunas cartulinas, algunos papeles de impresión y escritura y papeles de envolver.

La IndustriaEnlace con…


Unidad

Ejercicios individualesResuelve las siguientes ecuaciones y comprueba cada uno de tus resultados:a.

xa) + 7 = 13

xb) – 18 = 1

27 + c) x = 34

xd) + 5 = 19

3 + 2e) x + 2 = 4x – 1

6f) x + 9 = 3x + 21

4g) x – 3 – x + 5 = x + 3x

12h) x + 12 = 12 + 11x

Al sustituir en la ecuación inicial el valor obtenido para x se cumple la igualdad, ya que en ambos lados se llegó al mismo número.

Cada vez que resolvemos una ecuación debemos validar la respuesta para estar seguros de que el resultado hallado es el correcto.

ProblemasUn campesino calcula la cantidad de kilogramos de alimento 1. para ave que debe comprar al mes mediante una expresión algebraica. La incógnita x representa el número de aves que hay en el momento de la compra. La expresión es:

3x + 5

¿Cuántas aves tiene un mes en que compra 41 kg de alimento?a) ¿Cuántas aves tiene un mes en que compra 50 kg de alimento?b) ¿Cuántas aves tiene un mes en que compra 65 kg de alimento?c) Si un mes compró 56 kg de alimento, ¿cuántas aves tenía d) ese mes?

Si la máxima cantidad de kilogramos que puede comprar al e) mes es 119, ¿cuántas aves puede tener como máximo?

Para cada enunciado plantea una ecuación, resuélvela y comprueba tu resultado:b.Un número desconocido más 37 unidades es igual a 92. ¿Cuál es el número?a)

Si al número 28 le sumo una cantidad desconocida obtengo 39. ¿Cuál es la cantidad desco-b) nocida?

¿A qué número debo restarle 50 para obtener 34?c)

El perímetro de un triángulo es 24 cm. Los dos lados más grandes suman 18 cm. ¿Cuánto d) mide el lado menor?

El perímetro de un cuadrilátero es 35 cm. La suma de tres de sus lados es igual a 28 cm. e) ¿Cuánto mide el cuarto lado?

Si al quíntuplo de la edad de Sofía le agregamos 16 años, obtendremos la edad del padre que f) es 31 años. ¿Cuál es la edad de Sofía?


Unidad 4108

Resolución de problemasProblema modeloUn grupo de excursionistas debe recorrer 32 km en 4 días. El segundo día recorre el doble que el primer día, el tercer día recorre 1 km más que el día anterior y el último día andan los 6 km restantes. ¿Cuánto caminaron cada día?


La información que nos permitirá resolver el problema es:•km en el día 1 km en el día 2 km en el día 3 km en el día 4 Total

x 2x 2x + 1 6 32


Sabemos la distancia que recorrieron los excursionistas en los 4 días, y nos dan las distan-•cias que recorren referidas a lo caminado el primer día.Con estos datos, podemos plantear una ecuación de primer grado:•

x + 2x + 2x + 1 + 6 = 32Despejando • x tendremos la distancia recorrida el primer día. Con este dato calculamos el valor de las expresiones que representan los kilómetros recorridos cada día.


El primer día caminaron 5 km, el segundo día 10 km y el tercer día 11 km.•


Para comprobar sustituimos el valor obtenido en la ecuación original:• x + 2x + 2x + 1 + 6 = 32 (5) + (2 · 5) + (2 · 5) + 1 + 6 = 32 5 + 10 + 10 + 1 + 6 = 32 32 = 32


• x + 2x + 2x + 1 + 6 = 32 Reducimos términos semejantes. 5x + 7 = 32 Restamos 7 de ambos lados de la igualdad. 5x = 32 – 7 Calculamos. 5x = 25 Dividimos por 5 ambos lados de la igualdad.

x =

25

5 = 5 Calculamos.

Por lo tanto, el primer día recorrieron 5 km.•Sustituyendo en las expresiones algebraicas:•

Día 2: 2x = 2 · 5 = 10 km Día 3: 2x + 1 = (2 · 5) + 1 = 10 + 1 = 11 km

Unidad


Problema 1En una plantación existen 748 flores. Las hay de tres tipos: claveles, crisantemos y lilium. Los claveles duplican a los crisantemos y estos superan a los lilium en 80 unidades.

¿Cuántos lilium hay en la plantación?a) ¿Cuántos crisantemos hay en la plantación?b) ¿Cuántos claveles hay en la plantación?c)

Problema 2Un taxista recorrió el martes 3 km más que el lunes, el miércoles 2 km más que el lunes y el jueves el doble de lo que recorrió el martes. El hombre observó que en los cuatro días su tablero de kilometraje había avanzado 136 km.

¿Cuántos kilómetros recorrió el taxista el día lunes?a) ¿Cuántos kilómetros recorrió el jueves?b)

Problema 3En un torneo de básquetbol al ganador de un partido se le asignan 2 puntos y al perdedor 1. El equipo de la Asociación Norte participó sin mucho éxito, terminando como colista. La cantidad de partidos que perdió equivalen al cuádruplo de los que ganó. Este equipo totalizó 30 puntos al finalizar la competición.

¿Cuántos partidos ganó y perdió el equipo de la Asociación Norte?a) Si el quipo que ganó el campeonato fue el de la Asociación Sur, b) consiguiendo 28 triunfos y 2 derrotas, ¿cuál fue su puntaje final?

Problema 4Una empresa que utiliza materias primas provenientes del reciclaje de papeles, vidrios y plásticos produjo M artículos el miércoles, J el jueves, V el viernes y S el sábado. Cada día elaboró el doble de unidades que el día anterior.

Expresa el valor de J, V y S ocupando el valor de M.a) Si en los cuatro días considerados se fabricaron un total de 3 195 b) artículos, ¿cuántos se fabricaron cada uno de los días?

Unidad 4110

Tecnología activaObteniendo el valor de una expresión algebraica

Para calcular el precio X del litro de un combustible se incluyen cuatro factores: A, B, C y D. Estos factores están relacionados con el proceso de extracción y refinamiento, impuestos específicos y los precios de otros combustibles u otras fuentes de energía.

La expresión algebraica que permite determinar X es la siguiente:

X = 3A – 2B – C + 4D + 120

Observa los valores que adquirieron los factores durante el primer semestre de un año:

Factor Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

A 90 86 85 87 92 108

B 12 21 25 32 19 14

C 115 123 154 145 119 116

D 100 93 96 88 98 95

Calcula el precio X del litro de combustible para los meses considerados en la tabla anterior.

Creación de la hoja de cálculo.1. Crea un Libro nuevo. Llámalo “Valor de una expresión algebraica”.››

Traslada los datos de la tabla a la planilla ocupando las columnas A, B, C, D, E, F y G. ››

Guíate por la siguiente planilla:

Unidad


Escribe en la celda A7 “X” (precio del litro de combustible). En la celda B7 anota ››

“=3*B2–2*B3–B4+4*B5+120”, que corresponde a la expresión algebraica que permite calcular X. Te aparecerá el número 651 e indica que el precio del combustible en enero fue de $ 651.

Acerca el cursor al extremo inferior derecho de la celda B7 y cuando aparezca una cruz ››

negra arrastra el mouse hasta la celda G7. Te aparecerán los valores del litro de combus-tible para los restantes meses del semestre. Estos valores los puedes ver en la planilla:

Aplicando lo aprendido.2. El segundo semestre del mismo año los factores adquirieron los siguientes valores:

Factor Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

A 110 123 127 126 131 133

B 12 17 18 11 9 10

C 115 109 106 103 105 106

D 97 96 98 98 102 108

Ocupa estos valores para los factores A, B, C y D en tu planilla y completa la siguiente a) tabla con los nuevos valores de X:

Meses Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

X [$]

¿En qué mes del año el precio del combustible adquirió su mayor valor? Indica este b) valor.

¿En qué mes del año el precio del combustible adquirió su menor valor? Indica este c) valor.

Unidad 4112


Ficha 2

Una expresión algebraica es una expresión matemática que contiene números y letras uni-dos por operaciones aritméticas. Por ejemplo: 2x + 4y + 5.

El valor de una expresión algebraica corres-ponde al resultado numérico que se obtiene tras sustituir las letras por números específicos y realizar las operaciones correspondientes.

Ficha 6

Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan una serie de propiedades y relaciones: conmutatividad y asociatividad de la adición, y la relación inversa existente entre las operaciones de adición y sustracción y de multiplicación y división.

Ficha 1

Un término algebraico está constituido por números y letras multiplicados entre sí. A la parte numérica se le llama coeficiente del término y a la conformada por letras, parte literal. Por ejemplo: 7xy. En este término, 7 es el coeficiente numérico y xy la parte literal.

Ficha 3

Términos semejantes en una expresión algebraica son aquellos términos con igual factor literal. Por ejemplo, los términos x, 4x, 7x y 12x son semejantes, ya que la parte literal de todos es x.

Los términos semejantes pueden reducirse, es decir, sumarse o restarse.

Ficha 4

Una ecuación de primer grado corres-ponde a la igualdad de dos expresiones algebraicas en las que existe una incógnita, es decir, un término literal desconocido. Por ejemplo: x + 4 = 4x – 2.

Ficha 5

Resolver una ecuación de primer grado consiste en hallar el valor de la incógnita que satisface la igualdad existente.

Para comprobar o validar el resultado obtenido se debe sustituir la incógnita por este valor en la ecuación original y verificar que la igualdad se satisface.

SíntesisHIPERTEXTO

Unidad


EvaluaciónCompleta la siguiente tabla con el valor de las expresiones algebraicas para los valores de a. x e y que se señalan:

Expresión x = 1 y = 2 x = 4 y = 3 x = 9 y = 5 x = 11 y = 7

2xy

x + y + 2

3xy – 2

88 – xy

4x – y

xy – y

Resuelve las siguientes ecuaciones y verifica tu resultado:b.


9a) x + 4 + 3x = 13x

x =

21b) y + 32 = 10y + 20y – y

y =

zc) + z + 1 + z + 2 + z + 3 = 58

z =

3d) x + 14 = 2x + 15

x =

7e) y + 7 = 7

y =

32f) z + 9 = 16z + 57

z =

6g) x – 3 – 2x = x + 9

x =

16 + 4h) y + 4 = 18 + 6y

y =

Resuelve los siguientes problemas planteando la ecuación correspondiente, resolviéndola y c.comprobando tu resultado:

En un juego de cartas Ignacio obtuvo 47 puntos en la segunda partida y 39 en la tercera. Si en a) las primeras tres partidas ha acumulado 128 puntos, ¿cuántos ganó en la primera partida?

Loreto está participando en una ultramaratón de 220 km. El primer día corrió 57 km, el se-b) gundo 45 km y desea repartir la distancia que resta en partes iguales en los 2 días que le quedan para terminar el recorrido. ¿Qué distancia deberá recorrer cada uno de los días que le quedan de competencia?

Unidad 4114

Remigio lleva trabajando 17 horas seguidas. Si su turno normal es de 9 horas, ¿en cuántas c) horas ha excedido su horario de trabajo normal?

El viaje directo a Caracas demora d) x minutos. Debido a dos escalas realizadas en Perú y Ecuador, de 35 min y 50 min respectivamente, el vuelo tardó 445 min. ¿Cuál es el valor de x? ¿Cuántas horas demora el viaje directo a Caracas?

Una empresa importa una determinada cantidad de gas dependiendo del trimestre del año que se d.realice la compra. La cantidad de litros que se encargan se calcula considerando tres factores: A, B y C. El factor A tiene que ver con los costos de traslado del gas nacional, el B da cuenta de la demanda interna y el C, del precio internacional del dólar. La siguiente tabla muestra la expresión algebraica que determina la cantidad de gas a importar cada trimestre:

Trimestre Primero Segundo Tercero Cuarto

Expresión algebraica 10B – 2A – 4C 12B – 2A – 3C 15B – A – 2C 11B – 2A – 3C

Determina la cantidad de litros de gas a comprar en el mes de julio si los valores de los pa-a) rámetros son: A = 12 000, B = 20 500 y C = 8 500.

Considera los mismos parámetros anteriores, pero aplicados al mes de febrero. ¿Cuál es la b) diferencia en la cantidad de litros de gas que será necesario importar este mes respecto al mes de julio?

Considera los siguientes valores para los parámetros: A = 8 500, B = 22 000 y C = 12 200. c) Calcula la cantidad de litros de gas a importar los meses de enero, abril, agosto y noviembre. ¿En qué mes será necesario importar la mayor cantidad de gas? ¿En qué mes la menor cantidad?

Rosario trabaja medio tiempo en una tienda de mascotas. Si ganara el triple de lo que le pagan e.mensualmente podría arrendar un departamento de $ 120 000 de alquiler mensual. Además podría gastar $ 110 000 en el supermercado y aún le quedarían $ 140 620.

¿Cuál es el salario mensual de Rosario?a) ¿Cuánto debiera ganar para que le quedaran $ 22 450 tras los gastos en arriendo y en com-b) pras en el supermercado?

Mónica fue a comprar huevos al mercado. Su madre le encargó de tres tipos: blancos pequeños, f.blancos grandes y de color. “Tráeme el doble de blancos grandes que de pequeños, y estos últimos deben superar en 4 unidades a los de color” –dijo. En total Mónica debe comprar dos docenas. Responde:

¿Cuántos huevos blancos grandes tiene que comprar?a) ¿Cuántos huevos blancos pequeños debe comprar?b) ¿Cuántos huevos de color tiene que comprar?c)

Unidad


a El precio de un producto se calcula en fun-ción del costo de sus materias primas. La expresión que permite realizar este cálculo es: 2A + 3B – C + 5. Si A = $ 80, B = $ 110 y C es la mitad de A, ¿cuál es el precio del producto?

a) $ 350

b) $ 400

c) $ 455

d) $ 500

5 Un camión lleva dos acoplados. El primer acoplado mide 2 m más que el segundo y este mide el triple que la cabina delantera. Si el camión mide en total 23 m de largo, ¿cuál es la longitud del segundo acoplado?

a) 9 m

b) 10 m

c) 11 m

d) 12 m

b ¿Por qué número se debe reemplazar z para que la ecuación 2z + 9 = 2z + 9 se satisfaga?

a) 2

b) 9

c) Cualquiera.

d) Ninguno.

6 Micaela demora y horas en llegar a la casa de sus abuelos viajando en bus. Este bus realiza 2 paradas, una de 15 minutos y otra de 25 minutos. ¿Cuántos minutos demoraría el viaje si no hubiera detenciones?

a) 30y – 40

b) 30y + 40

c) 60y – 40

d) 60y + 40

c El doble de la cantidad de galletas que tiene Ernesto equivalen al triple de los que tiene Marcela. ¿Cuántas galletas tiene Marcela si Ernesto tiene 12?

a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

7 La masa de un caballo equivale al séptuplo de la de un perro, y la de este, al quíntuplo de la de un gato. ¿Cuál es la masa corporal del caballo si la del gato es de 6 kg?

a) 180 kg

b) 190 kg

c) 200 kg

d) 210 kg

d Un CD de música de 23 minutos de duración contiene 4 canciones. La segunda dura 3 minutos más que la primera, la tercera el doble que la cuarta y esta, lo mismo que la primera. ¿Cuál es la duración de la segunda canción?

a) 4 min

b) 6 min

c) 7 min

d) 8 min

8 En un torneo de fútbol un triunfo permite obtener 3 puntos, un empate 1 punto y una derrota 0 puntos. ¿Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la cantidad de puntos obtenidos por un equipo que consiguió T triunfos, E empates y D derrotas?

a) T + E

b) 2T + E + 3D

c) 3T + 2E + D

d) 3T + E




116

Red conceptual

Ángulos5Unidad

Ángulos

Figuras formadas por dos rayosDefinición

Medición

Clasificación

como

usando

según

Relaciones en

Transportador

Medida en grados sexagesimales

Paralelas cortadas por transversal

Triángulos y cuadriláteros

Entrada de unidad

117

¿Sabes cómo surgieron las señales del tránsito?

A partir de la necesidad de dar solución a los problemas que se presentaban al querer tras-ladar objetos de manera rápida y efectiva, es que aparece en Asia, hace más de 4 000 años, la rueda. Siglos más tarde surge la idea de crear, a partir de la rueda, un instrumento con un habitáculo central que permitiera el traslado de personas. De esta manera nace el concepto de vehículo como medio de transporte para seres humanos.

A medida que se fueron masificando los medios de transporte, comenzaron a surgir problemas que en su mayor parte provenían de las preferencias de paso y de la mayor o menor habilidad de algunos conductores.

Esta fue posiblemente una de las razones por las que hace aproximadamente dos milenios, en la antigua China, se estableció que las clases más altas de la sociedad, para obtener sus títulos, debían demostrar sus habilidades en la conducción de carruajes y, con el fin de preparar a los candidatos, se crearon escuelas especializadas que podrían ser consideradas como las precursoras de las actuales escuelas de automovilismo.

Los romanos, a partir del siglo IV a. de C., comenzaron la construcción de una gigantesca red vial de miles de kilómetros de extensión –conocida como calzada– que unía los territorios con-quistados por Roma. Esta red permitía el traslado de gran parte de la población, por lo que se hizo necesario controlar y supervisar que el tráfico en dichos caminos fuera ordenado, cómodo y rápido. Para esto, el gobierno romano estableció el primer código de señales de tránsito de la historia.

¿Qué señales de tránsito conoces?

¿Qué indican las señales de tránsito que aparecen en la foto?

¿Puedes resolver?Una manzana urbana típica es un cuadrado cuyos lados corresponden

a cuadras de 100 metros. Si trazamos una diagonal, la manzana queda dividida en dos triángulos.

¿Cómo clasificarías los triángulos que se forman?

¿Cuánto miden sus ángulos interiores?


Manejar y aplicar los conceptos básicos de geometría.

Nombrar, clasificar y medir ángulos.

Relacionar los ángulos que se forman cuando una recta interseca dos rectas paralelas.

Determinar las relaciones entre la medida de los ángulos interiores y exteriores de

polígonos y aplicarlas a la resolución de problemas.


Unidad 5118

Actividad inicialRespetar las señales de tránsito te garantiza mayor seguridad al caminar por las

calles, por ejemplo, cuando te diriges todos los días al colegio o cuando regresas a tu casa. ¿Te has fijado con qué señales de tránsito te encuentras a diario?

Júntense en grupos de tres personas y realicen las actividades que se proponen.

Lean la siguiente historieta y luego respondan las preguntas:1.

Ángulos 119

Unidad

a) De acuerdo al mapa, ¿se intersecan Av. Los Poetas con Vicente Huidobro? ¿Y qué sucede con las calles Gabriela Mistral y Pablo Neruda?

b) Si tenemos dos rectas en un plano, ¿se tienen que intersecar? ¿Pueden inter-secarse en dos o más puntos?

c) En términos de las posibles intersecciones, ¿cuántas posibilidades existen si dibujas tres rectas en el plano?

d) ¿Qué ocurre con las calles Gabriela Mistral, Pablo de Rokha y Av. Los Poe-tas? ¿Se intersecan entre sí?

Dibuja un mapa del camino que debes recorrer para llegar a tu colegio. Si vives 2.muy lejos incluye solo las principales calles por donde transitas, y si vives en alguna zona rural, incluye solamente las intersecciones con los caminos más importantes. Luego describe tu recorrido.

a) ¿Cuántas rectas paralelas puedes contar?

b) ¿Cuántos puntos de intersección existen en tu mapa?

Copia la siguiente tabla y complétala en tu cuaderno. Para la columna "Calles 3.representativas" básate en el mapa que aparece en la página anterior:

Descripción Dibujo esquemático Calles representativas

Las tres son paralelas.

Vicente Huidobro, Gabriela Mistral y Av. Pablo de Rokha.

Las tres se intersecan en un único punto.

Dibuja los siguientes esquemas e indica cuántos ángulos puedes identificar en 4.cada uno de ellos:

a) c)

b) d)


Unidad 5120

Ángulos

Catalina sale a andar en bicicleta por su calle, pero cada vez que llega a la esquina tiene un problema: hay una señal de Ceda el paso y desde la esquina no se puede ver si vienen autos por la derecha.

Catalina dibuja este mapa y lo envía al municipio junto a una carta, señalando que en la esquina resulta muy difícil mirar a la derecha, pues ambas calles forman un ángulo muy cerrado.

Catalina ha asociado el concepto de ángulo con el de esquina, pues en ambos casos se trata de dos líneas que tienen un punto en común.

Un ángulo es la figura formada por la unión de dos rayos que tienen un vértice común, como el que se observa a continuación:

¿Cómo puede Catalina identificar el ángulo al que se refiere en su fcarta?

Para nombrar el ángulo Catalina debe identificar con una letra tres puntos que pertenezcan al ángulo. De las tres, la letra que va al medio corresponde al origen común de los dos rayos que forman el ángulo. Otra forma es usar una letra griega –tales como α, β y γ– que indique la abertura entre los rayos. También pueden usarse otras letras o nú-meros. Observa:

El nombre de este ángulo puede ser:

α (que se lee alfa)

]AOB (que se lee ángulo AOB)

]BOA (que se lee ángulo BOA)

Catalina

O

A

Bα

Cuando dos vehículos –automóvil, bicicleta u otro– tienen que pasar por un mismo sitio, normal-mente un cruce, rotonda o un paso habilitado para peatones o animales, se crea lo que se llama una “preferencia de paso”, pues uno de los vehículos tiene derecho a pasar y otro debe detenerse y esperar. En tales intersecciones existen señales de tránsito tales como el semáforo, el disco Pare o el Ceda el paso, que informan quién tiene la preferencia de paso. En caso de no existir alguna señal que indique prioridad de paso, esta la tendrá el vehículo que se aproxime por nuestra derecha.

La VialidadEnlace con…

Ángulos 121

Unidad

Ejercicios individualesIdentifica cada ángulo de las tres maneras posibles:a.

En las siguientes imágenes encuentra y marca con colores al menos tres ángulos presentes en b.cada una:

a) b) c)

a) c)

b) d)

O

M

N

αS R

β

T

X

P

Z

γ

Unidad 5122

Medición de ángulos

En la siguiente figura vemos un mapa del metro de Santiago de Chile del año 2008:

¿Puedes medir el ángulo definido por las estaciones de la línea 5, fBaquedano, Parque Bustamante y Ñuble?

Los ángulos se miden en grados sexagesimales. Un grado corres-ponde a la medida del ángulo que se forma cuando una circunfe-rencia se divide en 360 partes iguales.Los grados indican la separación de los lados del ángulo. Mientras más separados están los rayos que forman el ángulo, mayor es la cantidad de grados que este mide.

Midamos con un transportador el ángulo formado por las estaciones mencionadas siguiendo el siguiente procedimiento:

Algunos ejemplos de ángulos son:

]ZYX = 150°

Y

X

Z

150°

]PQR = 90°

Q

P

R

90°

]AOB = 35°

O

A

B35°

El centro del transportador se pone sobre el vértice del ángulo.

La línea que va del centro a la marca de 0°, se pone sobre uno de los lados.

El otro lado indica la medida del ángulo. En este caso es cercano a 135°.

a b c

Ángulos 123

Unidad

Ejercicios individualesCon la ayuda de un transportador mide los siguientes ángulos y anota sus medidas aproximadas:a.

a) b)

Con ayuda de un transportador dibuja ángulos de las siguientes medidas:b.

Ejercicios grupalesEn las siguientes imágenes mide con un transportador los ángulos que se señalan. Aproxima a.tus mediciones a valores enteros:

30° 60° 90°

180° 270° 360°

α: β:

a) b) c)

α

γβ

]α =

]β =

]γ =

α

γ

β

]α =

]β =

]γ =

α γ

β

]α =

]β =

]γ =

α β

Unidad 5124

Clasificación de ángulos

Enrique y Rodolfo están diseñando estuches para sus bicicletas. Estos se amarrarán al marco de la bicicleta como muestra la figura:

Enrique dice que, para calzar exactamente, el estuche debe poseer un ángulo recto, pero Rodolfo argumenta que el marco no forma un ángulo recto, sino uno agudo.

Ayuda a los amigos a resolver el dilema midiendo el ángulo que fforma el marco de la bicicleta. ¿Quién tiene la razón?

Como pudiste comprobar, el ángulo del marco es recto, pues mide 90°.

¿Cuántos grados mide el ángulo que se forma hacia arriba del marco fde la bicicleta?

Es un ángulo recto también. La suma de ambos ángulos es 180º, por lo tanto, se trata de ángulos suplementarios.

¿Qué otro tipo de relación puede existir entre dos ángulos? f

Un ángulo se clasifica según su medida, pudiendo ser:

•Agudo: 0° α 90° •Recto: α = 90°

•Obtuso: 90° α 180° •Extendido: α = 180°

•Completo: α = 360°

α α

α

α

α

Los ángulos rectos son comunes en nuestro en-torno, principalmente en la arquitectura. Observa a tu alrededor y lo com-probarás.

Todos los ángulos defi-nidos en esta página son convexos.Además de ellos, exis-ten también los ángulos cóncavos y se definen como aquellos mayores que 180° y menores que 360°.

Andar en bicicleta es sano y entretenido, pero además una manera rápida, silen-ciosa y no contaminante de desplazarse por la ciudad. Solo en Santiago, en días hábiles, se realizan como promedio más de 300 mil viajes diarios ocupando este medio de transporte.


Ángulos 125

Unidad

Ángulos complementarios son aquellos que suman 90°.Ángulos suplementarios son aquellos que suman 180°.Ángulos adyacentes son suplementarios y tienen un lado común.

Ángulos complementarios

Ángulos suplementarios

Ángulos adyacentes

αβ α β

αβ

Ejercicios individualesClasifica los siguientes ángulos según su medida:a.

a) b) c) d)

Escribe el ángulo complementario de cada uno de los siguientes ángulos:b.

20° a)

45° b)

30° c)

180° d)

154° e)

121,5° f)

0° g)

170° h)

20° a)

88° b)

0° c)

63° d)

51° e)

90° f)

105° g)

45° h)

a) 35° y 55°

b) 100° y 180°

c) 90° y 1°

d) 179° y 1°

e) 45° y 45°

f) 90° y 90°

En cada uno de los siguientes ejercicios indica el par de ángulos que son adyacentes:e.

a) b) c)

A

BOF H

G M

L

NP

O

R

Z O

Y

X

Escribe el ángulo suplementario de cada uno de los siguientes ángulos:c.

Clasifica los siguientes pares de ángulos en complementarios (C), suplementarios (S) o ninguno d.de los anteriores (N):

U W

V

OP

O

T

S

Unidad 5126

Supongamos que el ángulo 1 mide 150°.

¿Cuánto mide el ángulo 2? f

El ángulo 1 y el ángulo 2 son adyacentes, es decir la suma de sus amplitudes es 180°. Por lo tanto:

150° + ]2 = 180° ]2 = 180° – 150° ]2 = 30°

¿Cuánto mide el ángulo 4? f

El ángulo 2 y el ángulo 4 son adyacentes, por lo tanto:

30° + ]4 = 180° ]4 = 180° – 30° ]4 = 150°

De la misma forma puedes concluir que ]3 = 30°.

Si te fijas ]1 = ]4 y ]3 = ]2, es decir, los ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida. Puedes darle otras medidas al ángulo 1 y te darás cuenta de que esta relación siempre se cumplirá.

Ángulos opuestos por el vértice

Observa la siguiente figura:

Al intersecarse dos rectas en un plano puedes ver que se forman cuatro ángulos. Todos estos ángulos tienen el mismo vértice en común. Si observas detenidamente la figura te darás cuenta de que los lados del ángulo 1 son la prolongación de los lados del ángulo 4. A estos ángulos se les llama ángulos opuestos por el vértice. A su vez, para los ángulos 3 y 2 también se cumple lo mismo, es decir, los lados del ángulo 3 son la prolongación de los lados del ángulo 2.

1

4

3 2

150°

4

3 2

1

4

3 2

Dos ángulos son opuestos por el vértice si los lados de uno son la prolongación de los lados del otro. Estos ángulos tienen la misma medida.

Recuerda que dos ángulos son adyacentes si son suplementarios y tienen un lado en común.

Los griegos antiguos de-sarrollaron muchos de los principales conceptos matemáticos con los que trabajamos hoy. Uno de los problemas clásicos de la Antigüedad no resuelto por ellos fue el de trisec-tar un ángulo, es decir, dividir un ángulo en otros tres iguales usando solo regla y compás. Se han intentado muchos métodos pero ninguno ha resultado posible.


Ángulos 127

Unidad

a) b) c)

α

135°

β

d

50°β

α

d

Ejercicios individualesDetermina en cada una de las siguientes figuras el valor de los ángulos desconocidos:a.

Ejercicios grupalesJúntate con un compañero o compañera y discute la veracidad o falsedad de las afirmaciones a.basadas en la siguiente figura:

α =

β =

d =

α =

β =

d =

α =

β =

d =

α

β

d

90°

Dibuja dos rectas que se intersequen. Con un transportador mide cada uno de sus ángulos y b.comprueba que los ángulos opuestos por el vértice tienen igual medida.

]a) 3 = ]6

]b) 4 = ]2

]c) 2 + ]1 = ]4 + ]5

]d) 2 + ]3 + ]4 = 180°

]e) 1 + ]2 + ]4 = 180°

3

1

2 4

56

Unidad 5128

Ángulos entre paralelas

Un automóvil hace el siguiente recorrido:

Cuando dos paralelas son cortadas por una recta transversal es posible identificar 8 ángulos. Algunas relaciones entre ellos son:

Los ángulos • correspondientes son congruentes: ]1 b ]5, ]2 b ]6 , ]3 b ]7, ]4 b ]8

Los ángulos • alternos internos son congruentes: ]3 b ]6, ]4 b ]5

Los ángulos • alternos externos son congruentes: ]1 b ]8, ]2 b ]7

Los ángulos • opuestos por el vértice son congruentes: ]1 b ]4, ]2 b ]3, ]5 b ]8, ]6 b ]7

¿Cuántos giros realiza el auto? f¿Qué relación existe entre los dos ángulos de giro si las calles A y fB son paralelas entre sí?

Como observas en la figura, el automóvil hace dos giros.

Como A y B son paralelas y la calle C las cruza a ambas, diremos que los ángulos de giro realizados por el automóvil son alternos internos y, por lo tanto, congruentes.

Observa:

1

5

3

7

2

6

4

8

Se dice que dos ángulos son congruentes cuando tienen la misma medida. La congruencia se indica con el signo b.

A

B

C

En 1541 los conquistadores españoles planearon la construcción de la ciudad de Santiago utilizando planos fundacionales. Par-tiendo de la Plaza Mayor, también llamada de Armas, fueron marcando sobre el propio terreno manzanas y calles. El trazado se aseme-jaba a un tablero de ajedrez, reservando escaques para la capilla, el ayuntamiento y los almacenes, y repar-tiendo el resto entre los expedicionarios.


Ángulos 129

Unidad

a) b) c) d)

Ejercicios individualesEn cada uno de los ejercicios siguientes, determina el valor del ángulo desconocido. En todos a.los casos, las rectas L cortadas por la transversal son paralelas:

ProblemasDespués de clases, Adrián decidió dar unas vueltas antes de 1. regresar a casa. El recorrido que hizo está representado en el siguiente mapa:

Si la esquina donde queda la casa de Adrián forma un ángulo de 112° y las calles Los pájaros y Los cisnes son paralelas entre sí, al igual que Los patos, Las garzas y Las águilas, ¿cuántos grados mide cada giro que realizó Adrián hasta llegar a su casa?

L2

αβ145°

L1

L1

α 160°

L2

β

Los pájaros Los cisnes

Los patos

Las garzas

Las águilas

Adrián

α

135°

L1

L2

L3

β α

95°L2

L1β

α =

β =

α =

β =

α =

β =

α =

β =


Unidad 5130

Ángulos en un triángulo

Tamara tiene que hacer una tarea para el colegio. Le han pedido elegir y describir una señal de tránsito, para luego explicar su signifi-cado al curso. La señal elegida por Tamara fue:

¿Qué sabes de esta figura? ¿Existe alguna relación entre sus fángulos?

Tamara describe la señal como un triángulo equilátero. Los triángulos son polígonos de 3 lados y 3 ángulos interiores. Entre los ángulos de los triángulos existe una estrecha relación, veamos:

Los triángulos tienen dos tipos de ángulos, los ángulos interiores que se encuentran en el interior de la figura y los ángulos exteriores, producto de las prolongaciones de los lados.

En el triángulo ABC, si extendemos el lado AC hasta el punto P y el lado BC hasta el punto O y trazamos una recta FG paralela a AB, entonces:

]ACB = ]OCP (opuestos por el vértice)

]ABC = ]FCO (correspondientes)

]CAB = ]PCG (correspondientes)

]FCO + ]OCP + ]PCG = 180°

A partir de la demostración anterior podemos decir que los ángu-los interiores de un triángulo suman 180° y si además determina-mos que ]ACF = ]PCG por ser opuestos por el vértice, podemos decir que un ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes, es decir, ]CAB + ]ABC = ]ACO.

A B

CF G

O P

Los triángulos se clasi-fican según sus lados y sus ángulos.Según sus lados:Equilátero: tres lados iguales.Isósceles: dos lados iguales.Escaleno: tres lados di-ferentes.Según sus ángulos:Acutángulo: tres ángulos agudos.Rectángulo: un ángulo recto.Obtusángulo: un ángulo obtuso.

] internos] externos

La señal Ceda el paso indica que los vehículos de una vía deben permitir el paso a los vehículos que circulan por la otra vía, que interseca a la primera, bajando la velocidad o deteniéndose si es necesario. El disco Pare, en cambio, obliga a detenerse –aún cuando no venga ningún vehículo por la otra vía–, mirar y no reemprender la marcha hasta haberse asegurado completamente de que no viene vehículo alguno.


Ángulos 131

Unidad

Si hacemos la misma operación en todos los vértices del triángulo y tenemos en cuenta todos los ángulos que son correspondientes y los que son opuestos por el vértice, tenemos:

Dejemos marcados solo los colores de los ángulos que conforman cada uno de los ángu-los exteriores. Nos damos cuenta, entonces, de que la suma de los ángulos exteriores puede calcularse:

(] + ] + ]) + (] + ] + ]) = 180° + 180° = 360°

A partir de la demostración anterior, podemos decir que los ángu-los exteriores de un triángulo suman 360º.

De a cuerdo a su clasifica-ción, los triángulos deben ser descritos con dos adjetivos, por ejemplo: el triángulo rectángulo escaleno tiene sus tres lados diferentes y un ángulo recto.

Ejercicios individualesDados los siguientes triángulos determina la medida de los ángulos desconocidos:a.

b) d) f)

1 2

20°

1 2 3

50°

70°

70°150° 3

2

1

80°60°3

12

40°

] 1 = ] 2 =

] 1 =

] 2 =

] 3 =

] 1 =

] 2 =

] 3 =

] 1 =

] 2 =

] 3 =

] 1 = ] 2 = ] 1 = ] 2 =

1

2

70°

35°

60° 12

60°a) c) e)

Unidad 5132

Ángulos en un cuadrilátero

Las ciudades contienen calles que a su vez forman manzanas. Es-tas manzanas, muchas veces tienen forma de cuadrado, donde cada lado mide 100 metros, pero esto no se cumple siempre y a veces sus dimensiones son variables, de manera que forman cuadriláteros con diferentes características.

¿Qué es un cuadrilátero? f

Un cuadrilátero es un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. Los cuadriláteros pueden ser clasificados según la rela-ción entre la longitud de sus lados y si estos son o no paralelos.Dos cuadriláteros son el cuadrado, con los cuatro lados iguales y todos sus ángulos rectos; y el rectángulo, con dos pares de lados iguales y todos sus ángulos rectos.

Los cuadriláteros se clasifican en:

Paralelogramos: tienen dos pares de lados paralelos. Entre ellos están •el cuadrado, el rectángulo, el rombo y el romboide.

Trapecios: tienen un solo par de lados paralelos. Entre ellos están •los trapecios isósceles (lados no paralelos iguales), los trapecios escalenos (todos los lados diferentes) y los trapecios rectángulos (tienen un ángulo recto).

Trapezoides: no tienen lados paralelos. Entre ellos se encuentran los •trapezoides simétricos (dos pares de lados consecutivos iguales) y el asimétrico (todos los lados diferentes).

Al igual que en el caso de los triángulos, en los cuadriláteros también existe una relación numérica entre sus ángulos interiores y exteriores.

Los cuadriláteros, al igual que los triángulos, tienen ángulos interiores que se forman en el interior de la figura por la unión de dos lados, y ángulos exteriores, que se forman en el exterior producto de la prolongación de los lados.

] interiores] exteriores

Se denomina manzana o cuadra a un espacio urbano delimitado por calles por todos los lados. En muchas ocasiones hace referencia a un lado de la manzana, es decir la distancia que hay de una esquina a la siguiente. Puede estar edificada o destinada a la edificación.

Archívalo

La suma de los ángulos exteriores de un polígono de n lados es 360º.La suma de los ángulos interiores de un polígono de n lados se calcula me-diante la fórmula:

180º · (n – 2)Por ejemplo, en un pentágo-no (5 lados), la suma de los ángulos interiores es:

180º · (5 – 2) = 540º

Archívalo

Ángulos 133

Unidad

Los cuadriláteros pueden ser des-compuestos en dos triángulos y como ya sabemos que los ángulos interiores de un triángulo suman 180º, entonces la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es:

180° · 2 = 360°

A partir de la conclusión anterior podemos deducir también una relación numérica entre los ángulos exteriores.

Los ángulos A y A' , D y D' son suplementarios (suman 180°).

A' = D y D' = A porque son alter-nos internos entre paralelas.

Si realizamos el mismo análisis del otro lado del cuadrilátero te-nemos que cada uno de los ángulos exteriores es igual a uno de los interiores. Por lo tanto, la suma de los cuatro ángulos exteriores de un cuadrilátero también es 360°.

(] + ] + ]) = 180°

(] + ] + ]) = 180°

A' B'

C'D'

A B

CD

En los cuadriláteros se cumple que tanto los ángulos interiores como los exteriores suman 360°.

Ejercicios individualesDetermina en tu cuaderno la medida de los ángulos desconocidos que se señalan en los si-a.guientes cuadriláteros:

a) b) c)

El desarrollo aplicado ha ocupado un cuadrilátero con dos lados paralelos, sin embargo, las relacio-nes halladas para los án-gulos internos y externos son aplicables a cualquier cuadrilátero, tenga lados paralelos o no.

60°

80°

120°1

2

95°

60°

135°

1

280°

1

2

] 1 =

] 2 =

] 1 =

] 2 =

] 1 =

] 2 =


Unidad 5134

Plaza de Armas

Rosas70°

Los

Oliv

os Arturo PratLi

bert

ad

Nueva York

Maipú

Parque

Resolución de problemasProblema modeloLa figura muestra el mapa del centro de una ciudad de Chile. Como puedes ver, la Plaza de Armas tiene la forma de un rectángulo y todas sus calles son rectas. Se sabe que el ángulo de la esquina del parque donde se cruzan las calles Nueva York y Maipú mide 70°.

¿Cuáles calles son paralelas entre sí? ¿Cuáles perpendiculares?a) ¿Cuál es la medida de los ángulos del parque si forma un triángulo b) rectángulo?


El parque forma un triángulo rectángulo (uno de sus ángulos mide 90°).•La Plaza de Armas tiene forma rectangular.•El ángulo de la esquina del parque donde se cruzan las calles Nueva York y Maipú mide 70°.•


Como la Plaza de Armas es un rectángulo y las calles son líneas rectas podremos deter-•minar las calles que son paralelas y las que son perpendiculres.La medida del ángulo formado por las calles Maipú y Rosas en la esquina del Parque lo •calculamos recordando que la suma de ángulos interiores de un triángulo es 180°.


Como la Plaza de Armas es un rectángulo, las calles Arturo Prat y Maipú son paralelas. •Por la misma razón, las calles Los Olivos y Libertad también son paralelas.Debido a que la Plaza de Armas tiene forma rectangular, las calles Los Olivos y Maipú •son perpendiculares, al igual que Los Olivos y Arturo Prat, Libertad y Arturo Prat, y Libertad y Maipú.Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°, y sabemos que uno de los ángulos del •parque mide 70° y el otro 90°, entonces: 70° + 90° + x = 180° ⇒ x = 20°.


Utiliza una escuadra para comprobar la perpendicularidad o paralelismo de las rectas.•Para comprobar la medida de los ángulos dibuja un triángulo rectángulo donde uno de los •ángulos mida 70° y luego, utilizando un transportador, mide el ángulo restante.

d) Responde: Contesta las preguntas del problemaCalles paralelas:•A. Prat - Maipú yLos Olivos - Libertad

Calles perpendiculares:•Los Olivos - Maipú, Los Oli-vos - A. Prat, Libertad - A. Prat y Libertad - Maipú.

Los ángulos del triángulo •que forma el parque miden: 90°, 70° y 20°.

Ángulos 135

Unidad

Problema 1Enrique dibujó un esquema de la fachada de su casa. Este esquema se muestra a un costado:

Identifica con una letra mayúscula cada vértice que encuentres en a) el esquema.Señala las líneas paralelas y perpendiculares. b) Nombra los polígonos que encuentres y clasifícalos según el número c) de sus lados, la medida de sus ángulos, la medida de sus lados y si sus lados son paralelos o no.Nombra los ángulos que encuentres en la figura y clasifícalos según d) su medida.

Problema 2Todos los días don Pedro va a trotar a un parque que está cerca de su casa. Este parque tiene la forma de un rectángulo. El recorrido que hace es primero ir de A a B, luego de B a D, después de D a C y, por último, vuelve al punto de partida.

Dibuja la trayectoria que sigue don Pedro.a) ¿Qué polígonos encuentras en la trayectoria de don Pedro? Clasifí-b) calos según sus lados y sus ángulos.¿Cuánto miden los ángulos de cada giro que hace?c)

D C

A B

Problema 3El cuadrilátero de la figura es un cuadrado y el triángulo es rectángulo.

¿Cuánto mide el ángulo alfa?a) ¿Cuánto mide el ángulo beta?b) ¿Cuánto mide el ángulo gamma?c)

60°

40° αβ γ

Problema 4Doña Patricia tiene un terreno cerrado formado por cinco líneas rectas. En él siembra tomates, porotos y choclos. Al medir los cinco lados de su terreno, descubrió que cada uno de ellos mide 124 metros.

¿Cuál es el valor de la suma de todos los ángulos interiores del a) terreno de doña Patricia?¿Cuál es el valor de la suma de todos los ángulos exteriores del b) terreno de doña Patricia?¿Cuánto mide el ángulo mayor formado por la intersección de dos c) lados contiguos del terreno?

Unidad 5136

Tecnología activaCalculando la suma de ángulos interiores y exteriores de polígonos

Usando el programa Cabri II es posible verificar algunos de los teoremas de los ángulos interiores y exteriores de polígonos.

Mostraremos a continuación que los ángulos interiores de un triángulo suman 180º y los exteriores 360°.

Creación de la hoja de trabajo.1.

Abre el Cabri II haciendo doble ❯ clic sobre . Una vez abierto el programa selecciona

en la barra de herramientas el ícono de Líneas y elige en él la opción Triángulo. A

continuación haz clic en tres puntos del área de trabajo que no estén alineados. Estos puntos serán los vértices del triángulo.

Busca en la barra de herramientas el ícono ❯ de Medida y en él selecciona la opción

Medida de ángulo. Pincha con el mouse sobre un lado del triángulo, luego sobre el vértice y luego sobre un punto del lado contiguo. Te aparecerá la medida del ángulo interior. Haz lo mismo con los tres ángulos interiores. Finalmente, suma estos ángulos y comprobarás que este valor es 180°.

En nuestro ejemplo, los ángulos interiores se muestran a continuación: ❯

Ángulos 137

Unidad

69,7°

61,4°

110,3°

131,1°118,6°

48,9°

Para los ángulos exteriores necesitamos trazar rectas que pasen sobre los lados del ❯

triángulo. Para esto haz clic en el ícono y selecciona la opción Recta. Pincha los vértices de dos en dos y te aparecerán las rectas correspondientes. A continuación, mide los ángulos exteriores igual como lo hiciste para los interiores. Comprobarás que la suma de ellos es 360°.

Aplicando lo aprendido.2. Construye un cuadrilátero y comprueba que los ángulos interiores suman 360° al igual a) que los ángulos exteriores.

Haz lo mismo para un pentágono y comprueba que la suma de los ángulos interiores b) es 540° y la de los ángulos exteriores es 360°.

69,7°

61,4° 48,9°

Unidad 5138

Síntesis de la unidadFicha 1

Un ángulo es la figura geométrica formada por dos rayos que coinciden en su punto de origen.

Ficha 7

Un polígono es una figura geométrica limitada por segmentos rectos llama-dos lados.

Ficha 8

Un polígono que tiene tres lados y tres ángulos se llama triángulo. La suma de sus ángulos interiores es igual a 180° y la de sus ángulos ex-teriores 360°.

Ficha 9

Un polígono que tiene cuatro lados y cuatro ángulos se llama cuadrilátero. Los cuadriláteros se clasifican según la longitud y el paralelismo de sus lados. La suma de sus ángulos interiores es igual a 360° y la de sus ángulos exteriores también es 360°.

Ficha 2

Los ángulos se miden en una unidad llamada grado sexagesimal. Un grado sexagesimal resulta de la di-visión de una circunferencia en 360 partes iguales.

Ficha 4

Si dos rectas no se intersecan en ningún punto se dice que son rectas paralelas. Si dos rectas al intersecarse forman ángulos rectos se dice que son rectas perpendiculares.

Ficha 5

Si dos rectas se intersecan se forman cuatro ángulos. Se llaman ángulos opuestos por el vértice a aquellos cuyos lados son la prolongación de los lados del otro. La medida de esta clase de ángulos es la misma.

Ficha 6

Si dos rectas paralelas son intersecadas por una recta se forman ocho ángulos y se producen las siguientes relaciones entre ellos:

Los Ángulos correspondientes son congruentes:]1 b]5, ]2 b6, ]3 b]7, ]4 b]8.Los Ángulos alternos internos son congruentes:]3 b]6, ]4 b]5. Los Ángulos alternos externos son congruentes:]1 b]8, ]2 b]7. Los Ángulos opuestos por el vértice son congruentes:]1 b]4, ]2 b]3, ]5 b]8, ]6 b]7.

Ficha 3

Los ángulos se clasifican de acuerdo a su medida en: ángulos agudos, aquellos que miden menos de 90°; ángulos rectos, aquellos que miden 90°; ángulos obtusos, aquellos que miden más de 90° y menos de 180°; ángulos exten-didos que miden 180° y ángulos completos que miden 360°.

12

34

5

87

6

SíntesisHIPERTEXTO

Ángulos 139

Unidad

Evaluación I Ejercicios de desarrollo

Mide con un transportador los siguientes ángulos, coloca debajo de cada uno el valor obtenido a.y clasifícalos de acuerdo a este valor:

a) c) e)

b) d) f)

30° a)

70° b)

95° c)

0,32° d)

100,5° e)

58° f)

Medida:

Clasificación:

Medida:

Clasificación:

Medida:

Clasificación:

Medida:

Clasificación:

Medida:

Clasificación:

Medida:

Clasificación:

Escribe en el recuadro rojo el ángulo suplementario y en el azul el complementario de cada uno b.de los siguientes ángulos:

Dadas las siguientes rectas paralelas cortadas por una recta transversal identifica los ángulos c.que tienen la misma amplitud y justifica tu respuesta:

5

48

72

3

6

1

Unidad 5140

Dibuja dos rectas paralelas y dos perpendiculares, escribe los instrumentos que utilizaste y d.describe los pasos que seguiste:

Determina la medida del ángulo señalado:e.

a) c)

b) d)

50°98°

α

A B

CD

A B C

DE

40°

45°

d

Rectas paralelas Rectas perpendiculares

Instrumentos:

Pasos:

Instrumentos:

Pasos:

α =

A B

C

DE

45°

35°60°

51°

β

β =

d =

B D F H

A C E G

30°

γAB // CDCD // EFEF // GH

γ =

Ángulos 141

Unidad

a Un pentágono está formado por:

a) 5 lados.

b) 5 vértices.

c) 5 ángulos.

d) Todas las anteriores.

5 En la figura las rectas L1 y L2 son paralelas. ¿Cuánto mide el ángulo alfa?

a) 30°

b) 90°

c) 120°

d) 60°

b El rectángulo es una figura geométrica que se clasifica dentro de:

a) Los polígonos.

b) Los paralelogramos.

c) Los cuadriláteros.

d) Todas las anteriores.

6 Respecto de un ángulo recto podemos decir que:

a) Es un ángulo que mide más de 90°.

b) Mide exactamente 90°.

c) Se forma al cortarse dos rectas perpen-dicularmente.

d) b) y c)

c Un ángulo de 65° es suplementario con un ángulo que mida:

a) 25°

b) 65°

c) 115°

d) 180°

7 Si en la figura las rectas L1 y L2 son perpen-diculares y el ángulo alfa mide 20°. ¿Cuánto mide el ángulo beta?

a) 70°

b) 90°

c) 20°

d) Ninguna de las anteriores.

d Observa el triángulo. ¿Cuánto mide el ]ABC?

a) 40°

b) 30°

c) 50°

d) 130°

8 En la figura L1 y L2 son:

a) Dos rectas perpendiculares.

b) Dos rectas paralelas.

c) Dos rectas que forman ángulos opuestos por el vértice.

d) a) y c) son ciertas.



120°

a

L 1

L 2

L 2

L 1 L 3

a

b

L 1

L 230°

B

20°

A

C


142

Red conceptual

Información y azar6

Unidad

Mediana

Lectura

Construcción

Probabilidades

realizar

Media aritmética

Moda

como

para estimar

Información y azar

Gráficos circulares

Experimentos aleatorios

Medidas de tendencia central

Entrada de unidad

143

¿Cómo surgieron los derechos de los niños y las niñas?

La Convención sobre los Derechos del Niño y de la Niña es un documento de las Naciones Unidas que establece cuáles son los derechos que tienen todos los niños y niñas del mundo, además de las normas básicas para su bienestar en diferentes etapas de su desarrollo. Este documento entró en vigor en 1990.

¿Cuáles derechos de los niños y las niñas conoces?

¿Crees que estos derechos se respetan en Chile?

¿Puedes resolver?En el mes de junio del año 2006 el Servicio Nacional de Menores

llevó a cabo en Chile la 2ª Consulta Nacional “Mi Opinión Cuenta”, en la que 49 100 niños de 120 comunas del país entregaron su percepción acerca del nivel de respeto de sus derechos. Te invitamos a responder las preguntas de esta encuesta: indica con un signo + el derecho que crees que más respetan los adultos y con un signo –, el que menos respetan. Marca solo un derecho en cada caso.

Organiza los datos de todo el curso en una tabla de frecuencias y, a partir de ella, con-fecciona un gráfico circular con el porcentaje de estudiantes que marcó cada derecho.

¿Cuál es el derecho más respetado? ¿Y el menos respetado? ¿Qué medida de tendencia central es útil para interpretar estos datos? ¿Por qué?

Derecho a vivir con mi familia.1.

Derecho a ser bien cuidado/a por un adulto responsable.2.

Derecho a asistir a la escuela y a recibir educación.3.

Derecho a ver a mis papás, si es que no vivo con ellos.4.

Derecho a ser bien tratado/a física y sicológicamente.5.

Derecho a alimentarme, vestirme y vivir en una casa.6.

Derecho a ser escuchado en asuntos que me afectan.7.

Derecho a vivir en un medioambiente no contaminado.8.

Derecho a tener una buena atención de salud.9.

Derecho a la recreación. 10.


Identificar datos relevantes y distinguir entre datos cuantitativos y cualitativos.

Calcular medidas de tendencia central de un grupo de datos: media, mediana y moda.

Interpretar y construir gráficos circulares.

Definir y analizar fenómenos aleatorios.

Utilizar los resultados de un experimento aleatorio como medida de la probabilidad

de un suceso.


Unidad 6144

Actividad inicialEn muchas ocasiones nos enfrentamos con información estadística. Este tipo de

información la encontramos, por ejemplo, cuando en los medios de comunicación se dan a conocer los resultados de diversas encuestas de opinión, realizadas por instituciones tanto públicas como privadas. En ellas vemos los datos ordenados y tipificados en tablas y gráficos que permiten que la población receptora pueda com-prender claramente la información relevante comunicada.

En grupos de tres personas realicen las actividades que se presentan a continuación.

Lean la historieta y enseguida respondan las preguntas de la página siguiente:1.

Información y azar 145

Unidad

¿Cuál de los dos países obtuvo un mejor resultado en la prueba?a)

Escriban, al menos, cinco conclusiones que puedan extraer a partir de ambos b) gráficos.

Cada integrante del grupo calcule el promedio aritmético de todas las notas que 3.ha obtenido en Matemática hasta este momento. Luego, calculen el promedio entre todos estos promedios y comparen con los otros grupos.

¿Cuál intervalo de gastos es el más común entre los padres y madres encues-a) tados?

¿Cuál intervalo de gastos es el menos común entre los padres y madres en-b) cuestados?

¿Qué porcentaje de apoderados no paga mensualidad?c)

¿Qué porcentaje de apoderados paga $ 10 000 o menos?d)

¿Qué porcentaje de apoderados paga más de $ 50 000?e)

Aproximadamente, ¿cuántos apoderados no pagan mensualidad?f)

Aproximadamente, ¿cuántos apoderados pagan entre $ 10 001 y $ 20 000?g)

Con la información proporcionada en el gráfico circular, ¿es posible obtener h) alguna medida de tendencia central (media, mediana y moda)? ¿Cuál?

Discutan si la información proporcionada entrega una estimación acertada i) de la realidad del país o se requieren más datos para ello. En caso de ser así, ¿qué datos serían estos?

Interpreten los siguientes gráficos y comparen los resultados obtenidos por Chile 2.y Finlandia en la prueba PISA 2006, área Lectura:

Resultados Chile Resultados Finlandia

17%1%5%

29%28%

20%

El Nivel 5 es el de mejor desempeño.

18% 5%2%

32% 29%

14% Por debajo del Nivel 1

Nivel 1

Nivel 2

Nivel 3

Nivel 4

Nivel 5

Por debajo del Nivel 1

Nivel 1

Nivel 2

Nivel 3

Nivel 4

Nivel 5


Prueba PISANivel de comprensión lectora alumnos y alumnas de 15 años

Unidad 6146

Media aritmética

Los datos de las estaturas de los integrantes de dos familias se in-dican en las siguientes tablas:

¿Cómo podemos comparar las estaturas de los integrantes de ambas ffamilias?

Tras una primera revisión de los datos encontramos que las esta-turas de César Silva y su esposa Patricia son mayores a las de todos los integrantes de la familia Bustamante, mientras que la estatura de Camila Silva solo es menor a las de Adrián y Jorge Bustamante. Estas consideraciones nos indican que la estatura promedio de la familia Silva es mayor que la estatura promedio de la familia Bustamante.

Sin embargo, necesitamos una forma más rigurosa de precisar esta idea intuitiva. Si sumamos las estaturas de cada familia obtenemos:

Familia Bustamante: 7,7 m Familia Silva: 5,28 m

Estas cantidades no tienen en cuenta el número de integrantes de las familias, por lo que dividiremos cada suma por el número de personas que componen la respectiva familia:

Familia Bustamante:

7,7

5

5,28

3 = 1,54 m Familia Silva:

7,7

5

5,28

3 = 1,76 m

Estos valores confirman que, actualmente la estatura promedio de los integrantes de la familia Silva es mayor que la de los integrantes de la familia Bustamante.

Dado un grupo o colección de datos cuantitativos, la media arit-mética o promedio aritmético de ellos se representa por x y se calcula como la suma de los datos dividida por el número total de datos. Si tenemos los números a, b, c, d, e y f; su media aritmética es:

x =

a+b+ c+d+ e+ f

6

Familia Bustamante Estatura [m]

Adrián (padre) 1,72

Silvia (madre) 1,58

Jorge (hijo mayor) 1,75

Ignacio (hijo del medio) 1,45

María José (hija menor) 1,20

Familia Silva Estatura [m]

César (padre) 1,87

Patricia (madre) 1,76

Camila (hija única) 1,65

Para obtener la nota final de un ramo, los profesores y profesoras calculan la media aritmética de todas las notas obtenidas por cada estudiante en el ramo correspondiente.

Según los niños y niñas encuestados en la 2ª Con-sulta Nacional “Mi Opinión Cuenta”, el derecho que más se les respeta es el derecho a vivir en familia. Este derecho obtuvo un 31,2% de las preferencias válidamente emitidas. En segundo lugar estuvo el derecho a la educación y en tercer lugar, el derecho a ser bien cuidados por los padres u otro adulto responsable.

Las Ciencias SocialesEnlace con…


Unidad

La tabla contiene información sobre la edad y la estatura de los integrantes de un equipo de d.fútbol profesional del país.

Calcula la media aritmética de las a) edades de los jugadores.

Calcula la media aritmética de las b) estaturas de los jugadores.

Calcula las medias aritméticas c) de las edades de los integrantes de cada uno de los bloques del equipo.

d) Calcula las medias aritméticas de las estaturas de los integrantes de cada uno de los bloques del equipo.

Ejercicios grupalesDiscutan en grupos de dos o más personas las siguientes afirmaciones e indiquen si son a.verdaderas o falsas. Si una afirmación es verdadera señalen un ejemplo y si es falsa, un contraejemplo:

La media aritmética de un grupo de números naturales es siempre a) un número natural.

La media aritmética de un grupo de números fraccionarios (no b) aparentes) puede ser un número natural.

Considerando los conjuntos de números:c)

A = "2, 8, 11, 13, 17 , B = "2, 8, 11, C = "13, 17 ,

Con: xA: media aritmética de los números del conjunto A.

xB: media aritmética de los números del conjunto B. xC: media aritmética de los números del conjunto C.

Entonces, se cumple que xA =

13

,23

,33

,43

,53

,63

,73

,83

x A =xB + xC

244

= 1 62

= 3 243

= 8

Recuerda que un número fraccionario aparente es aquel que puede escribirse como número natural, dividiendo el numerador por el denominador.Por ejemplo, son frac-ciones aparentes las si-guientes:

13

,23

,33

,43

,53

,63

,73

,83

x A =xB + xC

244

= 1 62

= 3 243

= 8

Bloque Jugador Edad Estatura

Arquero Nicolás 29 años 1,83 m

Defensa Cristian 28 años 1,77 m

Juan 32 años 1,82 m

Carlos 29 años 1,80 m

Boris 22 años 1,85 m

Mediocampo Diego 29 años 1,78 m

Braulio 26 años 1,73 m

Miguel 32 años 1,74 m

Carlos 21 años 1,73 m

Delantera Franco 19 años 1,93 m

Leo 30 años 1,77 m

Ejercicios individualesCalcula el promedio de los promedios de las estaturas de las familias Bustamante y Silva.a.

Calcula la media aritmética de las estaturas de las ocho personas que integran las dos familias.b.

Calcula la media aritmética de los siguientes conjuntos de números:c.

"a) 0, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7 ,

"b) 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 17 ,

)c)

13

,23

,33

,43

,53

,63

,73

,83

x A =xB + xC

244

= 1 62

= 3 243

= 83

"d) 18,2; 11,1; 13,2; 10,0; 12,9 ,

Unidad 6148

Mediana

Un grupo de niños y niñas de diferentes edades sale de excursión a cargo de dos instructores. Estos deciden dividir al grupo en dos, de modo que en uno vayan los chicos y en el otro, los grandes. Las edades de los niños y niñas son:

Dada una colección de datos cuantitativos, se llama mediana (Me) al dato central, es decir, al dato que queda en el medio luego de haberlos ordenado en orden creciente o decreciente.Si la cantidad de datos es impar la mediana corresponde a uno de los datos de la colección.Si la cantidad de datos es par no existe un único dato central, sino dos; en este caso la mediana se define como el promedio aritmético de estos dos valores.Por ejemplo, si tenemos los datos a, b, c, d y e, ordenados de menor a mayor, entonces, la mediana es c. Si agregamos un nuevo valor f mayor que e, entonces, los números ordenados de menor a mayor

quedan a, b, c, d, e y f ; y la mediana es

c + d2

.

Nombre Ana Boris Carlos Daniel Elisa Franco Gema Hugo Inés

Edad 6 años 8 años 11 años 6 años 9 años 6 años 7 años 5 años 10 años

Ordena las edades en orden creciente, es decir, de menor a mayor. f¿Qué edad se ubica al centro de la lista ordenada? f

Las edades ordenadas de menor a mayor son:

Edades menores a 7 Edades mayores a 7

5 6 6 6 7 8 9 10 11

La edad de 7 años corresponde a la edad de Gema y queda justo en el medio de la lista de datos, es decir, hay igual cantidad de niños y niñas menores que Gema como mayores. Para que los dos grupos tengan cantidades semejantes de niños y niñas los instructores pue-den ocupar este valor como punto de división. Así, los grupos estarán conformados de la siguiente manera:

Grupo de niños y niñas pequeños: Hugo, Ana, Daniel y Franco.Grupo de niños y niñas grandes: Boris, Elisa, Inés y Carlos.Gema puede ir en uno u otro grupo.

El promedio de las eda-des de Soledad, Stefania, Ximena y Tamara es 20 años. Stefania es 8 años mayor que Soledad y 15 años mayor que Ximena. La suma de las edades de Soledad y Ximena es 31 años. ¿Cuál es la edad de Tamara?

Desafíoal ingenio

La mediana, al igual que la media, se utiliza como valor representativo de un grupo de números. Sin embargo, la mediana a veces puede conducir a error al no representar correctamente los datos. Por ejemplo, la mediana de los datos 2, 2, 2, 20 y 24 es 2, número que no considera que hay valores que son mucho mayores que 2.


Unidad

Ejercicios individualesEn el ejemplo de la excursión, calcula el promedio de las edades. Compara con la mediana. ¿Son a.iguales la mediana y el promedio? Escribe una colección de datos en la que ambos parámetros coincidan.

Considera las siguientes colecciones de datos. En cada caso, ordénalas de menor a mayor y b.obtén la mediana y la media:

12, 9, 1, 14 y 8 Me = a) x =

2,0; 6,0; 5,5; 6,5; 4,5 y 7,0 Me = b) x =

3, 1, 2, 0, 1, 0, 3, 5, 6, 0, 4, 2, 5 y 3 Me = c) x =

Agrega un dato a las siguientes colecciones, de modo que la mediana sea el valor indicado en c.cada caso. Recuerda ordenar los datos.

ProblemasEn una colecta, algunas personas donan $ 100 y otras $ 1 000.1.

Supón que hay 10 personas que aportan $ 100 y 11 que a) aportan $ 1 000. ¿Cuál es la mediana y el promedio arit-mético de los aportes?

Supón ahora que se agregan dos personas que aportan b) $ 100. ¿Cuál es ahora la mediana y el promedio aritmético de los aportes?

¿Cuál de las dos cantidades (mediana o promedio aritméti-c) co) sufrió un mayor cambio con el aporte de las dos nuevas personas?

4, 6, 10, 11, a) ; Me = 10

12, 27, 1, b) , 22, 15, 5; Me = 15

3, 7, 9, c) , 12, 25; Me = 9,5

20, 70, 30, 80, 40, d) ; Me = 50

¿En cuál o cuáles de los casos anteriores el valor desconocido es único y en cuál o cuáles ser-virían varios valores distintos?

Ejercicios grupalesFormen grupos de cinco personas. Anoten la cantidad de hermanos que posee cada integrante a.del grupo. Luego calculen la mediana y el promedio de esta colección de datos. Comparen con otros grupos.

En la fiesta del Sexto B se ha invitado también a jóvenes de otros cursos. En la fiesta hay tres b.invitados de 11 años, diez de 12, dieciséis de 13 años, cuatro de 14, cuatro de 15 y dos de 16 años. ¿Cuál es la mediana de las edades de los invitados de otros cursos?

Unidad 6150

Dada una colección de datos cualitativos o cuantitativos, la moda es el dato que más se repite. Por ejemplo, si los datos son 4, 5, 4, 5, 7, 3 y 5, la moda es 5, pues se repite tres veces. En este caso hablamos de datos unimodales. Si son dos los datos que más se repiten, como por ejemplo en la colección 3, 7, 3, 4, 7 y 6, donde los números 3 y 7 se repiten dos veces cada uno, entonces existen dos modas y hablamos de datos bimodales. Si son tres los valores que más se repiten la colección es trimodal y si hay más de tres, decimos que la colección de datos es multimodal. Si ningún dato se repite no hay moda.

Moda

Loreto ha elaborado una tabla con las ciudades de origen de las integrantes de su grupo de danza. La tabla es la siguiente:

¿Es posible calcular el promedio y la mediana de los datos conte- fnidos en la tabla?

¿Qué puede decirse acerca de la cantidad de integrantes nacidas en fTalca con respecto a la cantidad de integrantes nacidas en las otras ciudades?

Cuando tenemos datos como los de la tabla no es posible calcular ni el promedio ni la mediana, pues para ello se necesita hacer sumas o divisiones y ordenar los datos en orden creciente o decreciente. En este caso, como los datos son cualitativos, no podemos sumarlos ni tampoco decir, por ejemplo, que “Arica es mayor o menor que Osor-no”. Sin embargo, podemos notar que la mayoría de las integrantes del grupo de danza nació en Talca. El dato que más se repite en una colección se dice que es su moda.

La moda es un parámetro útil tanto para datos cualitativos como cuantitativos. Sin embargo, en ocasiones, datos cuantitativos como, por ejemplo, la masa corporal de un grupo de alumnos y alumnas, se expresan mediante números decimales que muy difícilmente se repiten. En estos casos es conveniente agrupar los datos en intervalos definidos y evaluar el número de datos que caen en cada intervalo. Al intervalo que contiene más datos se le llama intervalo modal de la colección de datos en estudio.

Nombre Paz Sofía Loreto Ignacia Rebeca Laura Mónica

Ciudad natal Talca Talca Santiago Talca Santiago Osorno Arica

Datos cuantitativos son aquellos que se expresan con números y que seña-lan una característica que puede ser cuantificada. Algunos ejemplos son la masa corporal y la cantidad de letras que conforman una palabra.Datos cualitativos son aquellos que señalan una característica no numérica. Algunos ejemplos son el color de ojos y el tipo de sangre.

Archívalo


Unidad

Ejercicios individualesDe los amigos de José; Pedro y Matías dicen que la asignatura que más les gusta del colegio a.es Educación Física. Tomás dice que prefiere Música; Alberto, Matemática. Jorge también se inclina por Educación Física, mientras que a Ramón le gusta Historia. Si a José le gusta Música, ¿cuál es la moda de los ramos preferidos por José y sus amigos?

Se midió la estatura de un grupo de niños, obteniéndose los siguientes resultados:b.

Subdivide los datos en tres intervalos: 1,50 - 1,59; 1,60 - 1,69 y 1,70 - 1,79 e indica el número de a) datos que se incluyen en cada uno.

¿Cuál es el intervalo modal?b)

Ejercicios grupales

1 Encuesten a un grupo de unas 10 o 15 personas y obtengan una colección de datos referidos a los siguientes temas:

Nombre Paulo Leo Felipe José Juan Silvio Pedro

Estatura 1,65 1,58 1,70 1,64 1,55 1,61 1,71

Edad (en años).a)

Equipo de fútbol chileno favorito.b)

Asignatura favorita.c)

Masa corporal aproximada en kilogramos.d)

Ahora, calculen cuando sea posible, el promedio, la mediana y la moda de cada una de las colecciones de datos.

ProblemasDe los alumnos y alumnas de un curso, a 12 de los niños les 1. gusta el fútbol y los 6 niños restantes prefieren el tenis. Por otro lado, 6 de las niñas declaran su predilección por el tenis, otras 6 niñas dicen preferir el fútbol, 4 prefieren el voleibol y a las 2 niñas restantes no les gusta ningún deporte.

¿Cuál es la moda de los deportes favoritos del curso?a) ¿Cuál es la moda entre los niños?b) ¿Cuál es la moda entre las niñas?c) ¿Cuál es el mínimo de alumos y alumnas que debe cambiar d) su preferencia de fútbol por tenis para que este último sea la única moda?

¿Cuál es el mínimo de alumos y alumnas que debe cambiar e) su preferencia de fútbol a voleibol para que este último sea la única moda del curso?

Unidad 6152

Lectura de gráficos circulares

Ayer se realizó la elección de presidente de curso en el Sexto A. Se presentaron cuatro candidatos, dos niños y dos niñas. La votación fue muy reñida y los resultados se muestran en el siguiente gráfico:

María

Patricia

Guillermo

Roberto

Elecciones 6º A

41%

39%

5%15%

Si el ganador se decidiera por un sistema de mayoría simple, ¿cuál de flos candidatos sería el próximo presidente o presidenta de curso?

Si la situación real es que Patricia y Roberto conforman la lista A, fmientras que María y Guillermo conforman la B, ¿cuál de las listas ha ganado la elección y quién ha obtenido más votos dentro de esta lista y será el futuro presidente o presidenta de curso?

Observando el gráfico circular vemos que los sectores rojo y ama-rillo son los de mayor tamaño, por lo que los candidatos representados por estos sectores son los que han obtenido más votos. Para dirimir el ganador o ganadora en un sistema de mayoría simple comparamos los porcentajes de cada sector. Estos indican :

Patricia (sector circular rojo) = 41% de los votos.Guillermo (sector amarillo) = 39% de los votos.

Por lo tanto, la ganadora sería Patricia.

Sin embargo, si consideramos las alianzas existentes concluimos que la lista B, ha obtenido el 54% (39% de Guillermo más el 15% de María), por lo que el presidente de curso será Guillermo.

Un gráfico circular consiste en una representación de porcentajes o fracciones sobre un círculo que permite comparar una parte de los datos con el total de datos.El tamaño de los sectores circulares nos entrega una idea acerca de la abundancia relativa de los datos de interés.

Un gráfico circular tam-bién recibe el nombre de gráfico de torta.

Cuando realizamos una encuesta o un estudio esta-dístico debemos distinguir entre población y muestra. La población es el conjunto de elementos sobre el que se desea realizar el estudio, y la muestra es un subconjunto de casos o individuos de la población de interés.

Archívalo

Si en un gráfico circular mides los ángulos que se forman en el centro del círculo, comprobarás que al sumarlos obtienes 360º.

Archívalo

abg

a + b + g = 360°


Unidad

Ejercicios individualesUna industria fabrica 5 tipos de artículos. El siguiente gráfico circular indica el porcentaje que a.representa cada artículo respecto de la producción total diaria:

Producción total

ABCDE

37%

22%

13%8%

A partir de la información entregada responde lo siguiente:

¿Cuál de los artículos se fabrica en mayor cantidad?a)

¿Cuál de los artículos se fabrica en menor cantidad?b)

Si un día la industria fabrica 1 000 artículos, ¿cuántos de ellos son del tipo C?c)

Si otro día, la producción total es un 40% superior que la señalada en la parte c), ¿cuántos d) artículos son del tipo A?

Si los artículos C y E se exportan a Asia y el resto se destina al mercado nacional, ¿qué frac-e) ción del total representa la producción que se vende en el extranjero?

A continuación se indica la cantidad de medallas de oro, plata y bronce obtenidas por una uni-b.versidad en un encuentro deportivo sudamericano:

Medallas

Bronce: 26Oro: 21

Plata: 17

¿Cuántas medallas obtuvo la universidad?a)

Calcula el porcentaje del total de medallas obtenidas que representan las medallas de oro, b) las de plata y las de bronce.

Si se repartieron 625 medallas de cada tipo, ¿qué porcentaje de medallas de oro, plata y c) bronce respecto del total entregado en el encuentro deportivo obtuvo la universidad?


Unidad 6154

Construcción de gráficos circulares

Se preguntó a un grupo de alumnos y alumnas por la carrera uni-versitaria que quieren estudiar una vez que terminen el colegio. Los resultados se indican a continuación:

Carrera profesional de interés

Derecho 10%

Ingeniería 30%

Arte 10%

Medicina 50%

¿Cómo representamos estos datos en un gráfico circular? f

Para elaborar un gráfico circular con los porcentajes obtenidos por cada una de las preferencias del alumnado, debes seguir los pasos siguientes:

Escribe los porcentajes en forma de fracciones decimales:1º

10% = 1

10

3

10

5

1010% =

1

10

3

10

5

10

30% = 1

10

3

10

5

1050% = 1

10

3

10

5

10

Con ayuda de un transportador o un com-2º pás confecciona un círculo y representa en él las fracciones recién escritas. Para ello basta dividir la circunferencia en 10 partes iguales y luego marcar la cantidad de partes que indica el numerador de cada fracción.

Pinta los sectores correspondientes a cada categoría de diferentes 3º colores y escribe el nombre de la categoría a un costado.

Un círculo contiene 360 grados sexagesimales. Si lo deseas dividir en 10 partes iguales debes dividir 360° : 10 = 36º.A continuación, con el transportador marcas 10 ángulos de 36º y tendrás las diez divisiones.

Existen muchos progra-mas computacionales que permiten construir gráficos circulares. Uno de ellos es Excel que, tras el ingreso de la información necesaria, genera gráficos circulares, y también de barras y de líneas.

Archívalo

Derecho

Ingeniería

Arte

Medicina

Ingeniería

Derecho

Art

e

Medicina


Unidad

Ejercicios individualesUn nuevo zoológico expone seis tipos de animales. Observa la siguiente tabla y elabora un gráfico a.circular que represente la información que contiene. Ocupa el círculo que está más abajo:

AnimalPorcentaje respecto al total

de animales

Mono 25%

Elefante 6%

Pingüino 20%

Oso 4%

Jirafa 10%

Vicuña 35%

Un crucero ha reunido 300 pasajeros. Sus nacionalidades se muestran en la tabla:b.

Nacionalidad Alemania Chile China Finlandia Japón Inglaterra

Nº de turistas 57 102 9 15 36 81

Confecciona un gráfico circular (A) que señale los porcentajes de pasajeros que pertenecen a) a cada una de las naciones.

Confecciona un gráfico circular (B) que señale los porcentajes que pertenecen a los continentes b) americano, asiático y europeo.

A B

Unidad 6156

Experimentos aleatorios

Un estudiante posee dos monedas y realiza los siguientes experimentos:

Experimento A: arrojar una de ellas al suelo y observar la disposición en que queda (cara o sello).Experimento B: arrojar las dos al suelo y observar la disposición en que quedan (cara o sello).

¿Puede el estudiante saber previamente la disposición de la o las fmonedas en cada una de las experiencias, es decir, conocer el re-sultado del experimento?

En los experimentos del tipo A y B no es posible predecir el resultado, ya que interviene el azar y las configuraciones finales son desconocidas antes de realizar los experimentos.

Analizando el experimento A descubrimos que es posible que ocurra uno de dos eventos: cara o sello. Sin embargo, no podemos establecer con absoluta certeza cuál de los dos se verificará.

Resultado posible: cara Resultado posible: sello

Para el experimento B existen 4 posibles resultados: ambas monedas cara, ambas sello, la primera cara y la segunda sello o la primera sello y la segunda cara.

Resultado posible: ambas cara Resultado posible: cara y sello

Resultado posible: ambas sello Resultado posible: sello y cara

El grado de conocimiento que tenemos sobre los posibles resultados de un experimento nos permite clasificarlo en:Determinista: su resultado está predeterminado y es posible de predecir antes de realizarlo.Ejemplo: poner una esfera maciza de acero en agua y observar si flota o se hunde.Aleatorio: no es posible predecir el resultado del experimento aunque sí pueden conocerse los resultados posibles.Ejemplo: elegir con los ojos cerrados una carta desde un mazo bien revuelto y observar su color.

Archívalo


Unidad

Un experimento o fenómeno aleatorio es aquel que puede dar lu-gar a varios resultados, sin que sea posible enunciar con certeza cuál de estos va a verificarse tras la realización del experimento, ya que está regido por el azar.

Ejercicios individualesDibuja en los siguientes recuadros las posibles disposiciones en que pueden caer las monedas a.tras la realización del experimento aleatorio de arrojar tres monedas y observar la marca que indican sus caras superiores (cara o sello):

Ejercicios grupalesDeterminen en grupos de 2 o más personas cuáles de los siguientes experimentos son a.deterministas y cuáles aleatorios:

Arrojar un dado de seis caras y observar el número de su cara superior.a)

Dejar caer desde 1 metro de altura una esfera de acero y una pluma de ave en el patio de tu b) casa y observar cuál llega al piso primero.

Si un número natural es par, observar si el consecutivo es par o impar.c)

Arrojar una bola en la ruleta y observar el número obtenido.d)

Dejar caer desde la misma altura una esfera de acero y una pluma de ave en un asteroide sin e) atmósfera (no existe resistencia del aire) y observar cuál llega al suelo primero.

Sacar, con los ojos cerrados, una bola desde una caja que contiene 6 bolas idénticas excepto f) por el color: 2 son rojas, 2 verdes y 2 blancas, y observar el color de la bola extraída.

Resultado 1 Resultado 3 Resultado 5 Resultado 7

Resultado 2 Resultado 4 Resultado 6 Resultado 8

Unidad 6158

Resultados de un experimento aleatorio

Un estudiante lleva tres monedas al colegio y pregunta a su profesora:

Si arrojo las tres monedas al piso y observo si cada una indica f cara o sello, ¿cuántos posibles resultados existen para este experimento?

Ya hemos visto los resultados para el experimento aleatorio de arrojar una moneda y dos monedas. Estos resultados los podemos escribir de manera más compacta definiendo el espacio muestral E o conjunto de re-sultados posibles y ocupando la siguiente notación (C: cara, S: sello):

Experimento A: lanzar 1 moneda.Resultados posibles: cara o sello.Espacio muestral E 1: "C, S,

Experimento B: lanzar 2 monedas.Resultados posibles: doble cara, doble sello, cara y sello o sello y cara.Espacio muestral E 2: "CC, SS, CS, SC,

En el experimento aleatorio de arrojar 3 monedas, el aumento de monedas provoca que la cantidad de resultados posibles se incremente en forma importante, existiendo 8 elementos en el espacio muestral.

Experimento C: lanzar 3 monedas.Espacio muestral E 3: "CCC, CCS, CSC, CSS, SCC, SCS, SSC, SSS,

Como conocemos el número de resultados posibles de los expe-rimentos anteriores y sabemos que para cada moneda existen 2 re-sultados posibles, utilizando potencias podemos advertir la siguiente regularidad:

Experimento A: 2 elementos en el espacio muestral 21

Experimento B: 4 elementos en el espacio muestral 22

Experimento C: 8 elementos en el espacio muestral 23

Resultados posibles para 1 moneda

Cantidad de monedas


Cantidad de monedas


Cantidad de monedas

La regularidad hallada se puede formalizar mediante la fórmula:

Ab

Donde:A: nº de resultados posi-bles para 1 moneda.b: nº de monedas arro-jadas.

Tradicionalmente, la aleato-riedad asume un significado operacional en la ciencia natural: un fenómeno es aparentemente aleatorio si su causa no puede ser determinada o controlada. A partir de fines del siglo XIX nuevas teorías científicas indican que, aparentemente, el comportamiento del universo es esencialmente aleatorio.

La CienciaEnlace con…


Unidad

Al conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral y se representa como E.E: "resultados posibles de un experimento aleatorio,

A cualquier subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio se le llama evento o suceso.Por ejemplo, si arrojamos un dado de seis caras, el espacio mues-tral está constituido por seis elementos: 1, 2, 3, 4, 5 y 6; es decir,E: "1, 2, 3, 4, 5, 6,.

Ejercicios individualesDetermina, cuando sea posible, el espacio muestral de los experimentos aleatorios e indica la a.cantidad de elementos que lo conforman:

Arrojar 4 monedas. N° elementos de E = a)

Arrojar 5 monedas. N° elementos de E = b)

Arrojar 6 monedas. N° elementos de E = c)

Arrojar d) n monedas. N° elementos de E =

Arrojar 1 dado de seis caras. N° elementos de E = e)

Arrojar 2 dados de seis caras. N° elementos de E = f)

Arrojar 3 dados de seis caras. N° elementos de E = g)

Arrojar h) n dados de seis caras. N° elementos de E =

Ejercicios grupalesEstablezcan en grupos de dos o más integrantes el espacio muestral de los siguientes experimen-a.tos aleatorios independientes, indicando, en cada caso, la cantidad de elementos que posee:

Extraer una bola desde una caja que contiene cuatro bolas de diferentes colores –rojo, verde, a) blanco y azul– y observar su color.

Extraer dos bolas desde la misma caja anterior y observar sus colores.b)

Extraer tres bolas desde la misma caja y observar sus colores.c)

Establezcan todos los elementos del espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios b.y determinen cuántos y cuáles de ellos cumplen la condición del evento que se señala:

Experimento aleatorio: arrojar 1 dado de seis caras y observar el número de su cara superior.a) Suceso: el número obtenido es menor o igual que 2.

Experimento aleatorio: arrojar 2 dados de seis caras y observar los números de sus caras b) superiores.

Suceso 1: la suma de los números es 7. Suceso 2: la suma de los números es mayor que 10. Suceso 3: la resta de los números es 2.

Unidad 6160

Estimación de la probabilidad de ocurrencia de un suceso

Pablo y Daniel juegan a los dados. El ganador será aquel que más veces obtenga un 5 al lanzar un dado. En la tabla están los resultados que obtuvo Pablo en los 36 lanzamientos que realizó:

4 5 1 5 4 3 1 1 6 6 2 36 4 2 6 5 2 1 1 4 2 6 15 2 5 3 5 3 3 2 6 4 3 2

¿Cómo podemos estimar la probabilidad de obtener 5 al lanzar un fdado de seis caras?

Calculemos el valor de la siguiente razón:

Razón = Cantidad de veces que salió 5 Cantidad de lanzamientos

= 636

= 16

Cuando realizamos experimentos aleatorios debemos asignar una probabilidad a los resultados posibles de él (eventos). Como no podemos realizar indefinidamente el experimento nos debemos conformar con utilizar el valor de esta razón como una estimación de la probabilidad del resultado que nos interesa.

Entonces, diremos que 16

es una estimación de la probabilidad de

obtener 5 al lanzar 36 veces un dado de seis caras.

¿Cómo estimamos la probabilidad de obtener un número par al flanzar 36 veces un dado de seis caras?

Para hacer esta estimación calculemos el valor de la razón corres-pondiente ocupando los números de la tabla que está más arriba:

Razón = Cantidad de veces que salió un número par Cantidad de lanzamientos

= 1836

= 12

Para estimar la probabilidad de ocurrencia de un evento particu-lar al realizar un experimento aleatorio podemos ocupar la razón entre la cantidad de veces que se produce el evento y la cantidad de veces que se realizó el experimento:

P (A) ≈ Razón (A) = Número de veces en que ocurre A

Número de realizaciones del experimentoEsta aproximación será mejor en la medida que realicemos más veces el experimento aleatorio.

Sabemos que al lanzar un dado las posibilidades de obtener 1, 2, 3, 4, 5 ó 6 son las mismas. Imagina que un hombre ha lanzado un dado cinco veces y en todas ha salido 6. Acto seguido el hombre afirma: “Hay menos posibilidades de que en la siguiente tirada salga 6 que las que había antes de la primera tirada, ya que ya han salido demasiados 6”.¿Es correcta esta afirma-ción o no?

Desafíoal ingenio

La probabilidad estima-da o empírica es aquella que se calcula a partir del número de veces en que se produce un evento al realizar reiteradamente un experimento aleatorio. A mayor cantidad de repeti-ciones del experimento la probabilidad estimada se acerca más y más al valor real de la probabilidad.

Archívalo


Unidad


Ejercicios individualesEstima la probabilidad de ocurrencia de los siguientes sucesos al lanzar un dado de seis caras. a.Utiliza la tabla con los resultados que obtuvo Pablo en sus 36 lanzamientos:

Obtener un 1. P a) →

Obtener un número mayor que 4. P b) →

No obtener un 6. P c) →

Obtener un múltiplo de 3. P d) →

Obtener un número menor o igual a 4. P e) →

Obtener un número entre 1 y 6. P f) →

Ejercicios grupalesReúnanse en grupos de 5 estudiantes. Cada integrante debe conseguir un dado normal y lanzarlo a.repetidamente. Anoten en la siguiente tabla los resultados de las tiradas de cada uno:

Nombre 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Calculen las probabilidades de los sucesos que se mencionan en el ejercicio individual para a) cada uno de los participantes por separado.

Comparen los resultados obtenidos por cada uno. Discutan con su profesor o profesora las b) diferencias y semejanzas que hayan encontrado.

Determinen las probabilidades calculadas tomando en cuenta ahora los resultados obtenidos c) por todos en conjunto.

Consigan 3 monedas. Primero lancen una sola moneda 12 veces y anoten los resultados (indicando b.si sale cara o sello). Después lancen dos monedas juntas y anoten también los resultados.

Lanzamiento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 moneda

2 monedas

Estimen la probabilidad de obtener a) cara al lanzar una sola moneda una vez.

Estimen la probabilidad de obtener b) cara al lanzar una moneda seis veces.

Estimen la probabilidad de obtener c) cara al lanzar una moneda doce veces.

Estimen la probabilidad de obtener dos d) sello al mismo tiempo al lanzar dos monedas doce veces.

Unidad 6162

Resolución de problemasProblema modeloUn curso va de paseo a la playa dividido en 4 grupos: el primer grupo, de 5 estudiantes y 1 adulto, llega a destino a las 12:00; el segundo grupo, de 10 estudiantes y 1 adulto, llega 15 minutos después; el tercer grupo, de 11 estudiantes y 1 adulto, llega 30 minutos después del primer grupo; y el último grupo, de 12 estudiantes y 1 adulto, llega 60 minutos después del primer grupo. ¿Cuál fue la hora promedio de llegada de los estudiantes?


Los estudiantes viajan en 4 grupos y conocemos la cantidad de estudiantes por grupo.•Conocemos la hora de llegada de cada grupo.•


Fijemos la “hora cero” a las 12:00, hora de llegada del primer grupo. Así, el primer grupo •llegó a los 0 minutos, el segundo a los 15 minutos, el tercero a los 30 minutos y el último a los 60 minutos.Si multiplicas la cantidad de estudiantes de un grupo por los minutos de llegada respecto a •la "hora cero", obtendrás el tiempo total de viaje que suman los estudiantes de ese grupo.Si sumas los cuatro cálculos anteriores, obtendrás el tiempo total de viaje de todos los •estudiantes en conjunto. Al dividir por el número de estudiantes, obtendrás el promedio buscado.


En promedio, los niños llegaron 31,579 minutos después de la "hora cero", es decir, a las •12 horas, 31 minutos y 35 segundos, aproximadamente.


Puedes resolver el problema de otro modo o cambiando algún parámetro. Por ejemplo, •puedes considerar la “hora cero” como las 11:00. Al rehacer los cálculos, debes obtener el mismo resultado anterior.


Tiempo total grupo 1 = (Número de niños grupo 1) · (tiempo grupo 1) = 5 · 0 = 0• Análogamente: TT Grupo 2 = 10 · 15 = 150; TT Grupo 3 = 11 · 30 = 330; TT Grupo 4 = 12 · 60 = 720

Promedio buscado = •0 +150 + 330 + 720

5 +10 +11+12=

1 200

38= 31,579

Unidad


Empresa A

Sueldo [$] 140 000 300 000 500 000 800 000 1 500 000

N° de empleados 3 6 7 4 2

Empresa B

Sueldo [$] 140 000 300 000 500 000 800 000 1 500 000

N° de empleados 6 4 3 6 3

Problema 1Las siguientes tablas contienen el número de personas que reciben los sueldos que se indican en dos empresas A y B:

¿En cuál de las empresas el sueldo promedio es mayor?a) ¿Cuáles son la mediana y la moda de los sueldos en cada b) empresa?¿Cuál es la amplitud en los datos de ambas empresas?c)

Problema 2El gráfico circular muestra el tipo de programa televisivo favorito de un grupo de 200 niños y niñas de entre 10 y 12 años. Léelo y contesta las siguientes preguntas:

¿Qué porcentaje prefiere los programas científicos? ¿A cuántos niños a) y niñas corresponde este porcentaje?¿Qué tipo de programa televisivo es el más visto por los encuestados?, b) ¿qué porcentaje lo prefiere y a cuántos niños y niñas corresponde este porcentaje?¿Qué tipo de programa televisivo es el menos visto por los encuesta-c) dos, qué porcentaje lo prefiere y a cuántos niños y niñas corresponde este porcentaje?

ProgramascientíficosPelículas

TeleseriesDibujos

animados

Seriesde acción

35%

15%

25%

15%10%

Problema 3Paz colecciona dados. Una mañana recibió de su padre un dado de 4 caras y por la tarde comenzó a arrojarlo sobre su escritorio y registró los datos en una tabla como la siguiente:

1 3 4 2 3 1 2 2 1 4

2 4 3 2 1 1 2 2 3 4

Considera los siguientes sucesos:S1: sale 1 S2: sale 2 S3: sale 3 S4: sale 4Calcula el valor de la razón entre el número de veces que se verifica a) cada suceso y el número de lanzamientos.Estima la probabilidad de cada suceso.b)

Unidad 6164

Obteniendo parámetros estadísticos con ExcelSi dispones de una lista extensa con valores cuantitativos y deseas obtener la media aritmé-

tica, la mediana y la moda puedes hacerlo en forma práctica ocupando el programa Excel y sus planillas de cálculo.

Considera las notas de una prueba sorpresa de matemática realizada el año pasado:

5, 2, 5, 4, 5, 6, 3, 1, 2, 7, 4, 6, 1, 3, 7, 3, 7, 1 y 5

Creación de la hoja de cálculo,1. Crea un Libro en Excel, llámalo “Cálculo de media, mediana y moda de un grupo de ››

notas”.

En las celdas A1, B1, C1, D1 y E1 escribe, respectivamente, “Datos”, “Media”, “Mediana” ››

y “Moda”.

En la columna A de Datos ingresa los números de la lista.››

Escribe en la celda B2 “=promedio(A2:A20)”, en la celda C2 “=mediana(A2:A20)” y en ››

la celda D2 “=moda(A2:A20). En cada una de estas celdas aparecerán los parámetros de interés.

La hoja de cálculo debe verse así:››

Aplicando lo aprendido.2. Ocupa lo aprendido para determinar la media, la mediana y la moda de la siguiente lista de números:

4, 14, 6, 4, 8, 2, 12, 14, 10, 6, 6, 10, 8, 6, 2, 8, 12, 2, 12 y 6

Tecnología activa

Unidad


Construyendo un gráfico circularEn un museo hay 900 piezas, de las cuales 360 son pinturas, 252 son grabados, 180 son

esculturas y 108 son tapices. Confeccionaremos un gráfico circular con los porcentajes que representan a cada tipo de pieza artística respecto del total existente en el museo.

Creación de la hoja de cálculo.1. Crea un Libro, llámalo “Distribución porcentual de piezas artísticas en Museo”.››

En las celdas A2, A3, A4, A5 y A6 escribe, respectivamente “Total”, “Pinturas”, “Gra-››

bados”, “Esculturas” y “Tapices”. En la columna B, junto a cada categoría escribe la cantidad de artículos existentes.

En la columna C calcularemos el valor de la fracción que representa cada tipo de pieza ››

del total de piezas existentes. Para ello en la celda C3 escribe “=B3/B2”, en C4 “=B4/B2”, en C5 “=B5/B2” y en C6 “=B6/B2”.

En la columna D calcularemos el porcentaje que representa a cada tipo de pieza del mu-››

seo. Para ello en la celda D3 escribe “=C3*100”. Te aparecerá 40%, que corresponde al porcentaje de pinturas del museo. A continuación, ubica el cursor en el vértice inferior izquierdo de la celda D3 y una vez que aparezca una cruz negra (+) arrástralo hasta la celda D6. Aparecerán los porcentajes 28%, 20% y 12%.

Haz ›› clic en la tecla . Selecciona en el menú que aparece la opción Gráfico Circular.

Presiona Siguiente > . Selecciona la opción Serie y presiona Agregar . Donde te pide Nombre

del gráfico escribe “% de piezas en el museo”. Donde te pide Valores, presiona la tecla , selecciona la columna D con los cuatro porcentajes y presiona nuevamente . En

Rótulo de categorías (X) presiona , selecciona la columna A con los cuatro tipos de piezas artísticas y presiona nueva-mente . Presiona Siguiente > .

Quita el visto que aparece haciendo ››

clic en Mostrar leyenda (Opcional). Haz clic en Rótulos de datos y marca la opción Mostrar rótulos y porcentajes.

Finalmente presiona ›› Terminar . La

hoja de cálculo debe verse así:

Aplicando lo aprendido.2.

Confecciona un gráfico circular con la distribución porcentual de las preferencias de los 50 estudiantes del taller de música del colegio por aprender a tocar un instrumento específico.

Instrumento Guitarra Piano Violín Flauta Arpa

Nº de niños 20 9 12 7 2

% de piezas en el museo

Esculturas20%

Grabados28%

Pinturas40%

Tapices12%

Unidad 6166

Síntesis de la unidadFicha 2

La mediana corresponde al valor que queda al centro de la lista de datos cuan-titativos ordenados de menor a mayor o viceversa. Si la cantidad de datos es par, la mediana se calcula como el promedio de los dos valores centrales.

Ficha 4

Un gráfico circular corresponde a una representación de porcentajes o fracciones sobre un círculo y que permite comparar la abundancia relativa de los datos. Como un círculo mide 360 grados sexagesimales, para construir un gráfico circular se multiplica el porcentaje de abundancia de un dato –expresado como número decimal o fracción– por 360 y con ayuda de un transportador se mide un ángulo de amplitud igual al resultado de esta multiplicación, para finalmente colorear el sector circular determinado.

Ficha 5

En un experimento aleatorio interviene el azar, por lo que no es posible saber su resultado. Normalmente se pueden predecir todos los resultados que podrían darse para una realización particular, pero se desco-noce cuál de ellos se verificará en esa oportunidad.

El espacio muestral de un experimento aleatorio es el conjunto de todos sus posibles resultados y un evento o suceso es cualquier subconjunto de él.

Ficha 6

Cuando un experimento aleatorio se realiza muchas veces tiende a mantenerse constante el valor de la razón entre el número de veces que se obtiene un resultado en particular y el número de realizaciones del ex-perimento. Este valor corresponde a la probabilidad de que se produzca el resultado estudiado.

Ficha 3

La moda es el dato que más se repite dentro de una colección de datos. A diferencia de la media y la mediana, la moda puede determinarse tanto a partir de datos cuantitativos como cualita-tivos. Puede existir más de una moda, en cuyo caso se habla de datos bimodales, trimodales o multimodales.

Ficha1

La media aritmética o promedio permite repre-sentar un grupo de datos cuantitativos. Se anota como x. Para n datos x1, x2, x3, ... , xn, la media aritmética se calcula mediante la fórmula:

x = x1 + x2 + x3 + ... + xn

n

SíntesisHIPERTEXTO

Unidad


EvaluaciónDe acuerdo a la siguiente tabla que informa sobre la cantidad de personas que viven en cada a.departamento de un condominio ubicado en el centro de la ciudad, responde lo que se te pide a continuación:


N° de personas 0 1 2 3 4 5 6 7

Departamentos 2 5 17 32 42 20 9 1

¿Cuántos departamentos hay en el condominio?a) ¿Cuántas personas viven en el condominio?b) En promedio, ¿cuántas personas viven por departamento?c) ¿Cuáles son la moda y la mediana del número de personas que vive por departamento?d)

La siguiente tabla contiene algunas notas de Química obtenidas por tres alumnos durante el b.primer trimestre:

Calcula el promedio de las notas de cada alumno.a) ¿Qué alumno tuvo el mejor promedio?b) ¿Qué alumno tuvo el peor promedio?c) ¿Qué nota tendría que obtener Tomás en su quinta prueba para que la moda de sus notas d) fuera 6,0?

Los ingresos y egresos de una empresa (en millones de pesos) durante el primer semestre del c.año se muestran en la siguiente tabla:

Nombre Prueba 1 Prueba 2 Prueba 3 Prueba 4

Rolando 5,5 6,0 6,9 4,0

Sebastián 5,7 5,7 6,2 5,6

Tomás 7,0 6,4 6,0 2,6

Mes Enero Frebrero Marzo Abril Mayo Junio

Ingresos 324,5 335,0 285,5 271,5 180,0 121,5

Egresos 173,0 178,5 155,5 148,0 98,5 71,5

Ganancias

Completa la fila inferior con las ganancias de la empresa (ingresos – egresos).a) Calcula el promedio de los ingresos durante el período considerado.b) Calcula el promedio de los egresos durante el período considerado.c) Calcula el promedio de las ganancias de la empresa durante el primer semestre.d) Si calculamos la “ganancia promedio” como la diferencia entre el promedio de los ingresos y e) el de los egresos, ¿coincide su valor con el calculado en la pregunta d)? ¿Qué condiciones deben existir para que coincidan estos dos valores?

Unidad 6168 Unidad 6168

Un joven practicante debe llevar a cabo un control de calidad de los tornillos fabricados por una d.industria metalmecánica. Para esto dispone de la siguiente tabla con los tamaños de un grupo representativo del producto terminado:

¿Cuál es el promedio del largo de los tornillos de la muestra revisada?a) ¿Cuáles son la moda y la mediana de la muestra?b) Si el tamaño admisible de los tornillos es 9 ± 1 mm, ¿qué porcentaje de los tornillos mues-c) treados es inadmisible o defectuoso? ¿Está el promedio dentro del rango de admisibilidad?

El gráfico contiene la distribución porcentual (aproximada) de títulos obtenidos por algunas se-e.lecciones de fútbol en los 19 primeros campeonatos realizados (considerados hasta el Mundial de Sudáfrica 2010).

Largo [mm] 8 9 10 11 12

N° de tornillos 18 35 28 17 2

¿Qué país ha sido más veces campeón?a) Indica cuántos títulos tiene cada país. Aproxima tus resultados al número natural más cer-b) cano.

Considera el experimento aleatorio de lanzar un dado de 12 caras. Determina el espacio muestral f.y el número de elementos de él que pertenecen a cada uno de los sucesos planteados:

Suceso A: sale 1 ó 2.a) Suceso B: sale un número mayor o igual que 8.b) Suceso C: sale un número par.c)

Indica cuál de los siguientes sucesos tiene una mayor probabilidad estimada de ocurrencia:g.

Suceso A: sacar 1 ó 2 en un dado de seis caras.›Suceso B: sacar 1, 2, ó 3 en un dado de ocho caras.›Suceso C: sacar 1, 2, 3 ó 4 en un dado de doce caras.›Suceso D: sacar 1, 2, 3, 4 ó 5 en un dado de veinte caras.›

Brasil26%

Italia21%

Francia5%

Países campeones mundiales de fútbol

Inglaterra5%

Argentina11%

Uruguay11%

España5%

Alemania16%

Información y azar 169Información y azar 169

a ¿Cuál de los siguientes datos es cuantitativo?

a) El RUT de tu carné de identidad.

b) Tu grupo de sangre.

c) Tu estatura.

d) El curso al que asistes.

e Señala cuál de las siguientes colecciones de datos es bimodal:

a) 1, 3, 5, 4, 3, 3, 2, 4, 1, 2

b) 12, 12, 13, 14, 12, 13, 12, 13, 12

c) a, b, a, d, c, b, a, d, b, c, a, c, a, a, b, b, b

d) Rojo, azul, verde, amarillo, café, negro

b Si se realiza el experimento aleatorio de arrojar dos dados de 4 caras. Indica cuántos elementos constituyen el espacio muestral y cuántos de ellos pertenecen al suceso “la suma de las caras es 4”.

a) 8 y 2

b) 16 y 2

c) 16 y 3

d) 8 y 1

f Indica el promedio y la mediana de la si-guiente colección de datos:

1, 1, 1, 7, 1, 1, 7, 7

a) 4 y 1

b) 3,5 y 1

c) 3,25 y 1

d) 3,25 y 7

c El experimento: “arrojar un dado de seis ca-ras, cinco de las cuales tienen un 1 pintado y una un 6” se puede clasificar como:

a) Determinístico, ya que casi con seguridad saldrá 1.

b) Arreglado, ya que nosotros definiremos previamente el resultado.

c) Aleatorio ya que se desconoce el número que saldrá.

d) Ninguno de los anteriores.

g Si arrojo muchas veces 4 monedas, ¿cuál es el valor de la razón entre el número de veces que salen al menos 3 sellos y el nú-mero total de lanzamientos?

a) 38

516

412

414

= 0,3750

b) 38

516

412

414

= 0,3125

c) 38

516

412

414

= 0,3333

d) 38

516

412

414

= 0,2875

d Observa el gráfico e indica cuál debe ser el valor porcentual del sector desconocido:

a) 14%

b) 17%

c) 19%

d) 21%

h El primer trimestre del año una empresa metalmecánica fabricó 14 000 jarros de alu-minio. El gráfico indica porcentualmente las cantidades producidas cada uno de los meses considerados. Con esta información indica cuántos jarros se fabricaron en marzo:

a) 4 340

b) 5 880

c) 6 250

d) 3 780



21%

43%

17% 27%enero 31%

marzo

42% febrero

Unidad


Solucionario170

Solucionario0,75 km = 750 m; 75 hg = 75 000 dg; 1 200 dl = 120 000 ml; 10,5 hm = 1 050 m; 1 450 mg = 0,145 dag; 2,3 h = 8 280 s. 7. 10,125 kg. 8. 1 016,8125 m.II. Ejercicios con alternativas. 1. d 2. b 3. b 4. c 5. b 6. c 7. a 8. d.Desafío al ingenioPágina 14: 0,304347826086956521. Página 18: 3 minutos.

Página 35 Entrada de unidadAzúcar: 1,75%. Porotos: 10,10%. Pan: 6,06%. Tomates: 7,81%•Azúcar: $ 590. Porotos: $ 1 200. Pan: $ 742. Tomates: $ 744.•

Página 37 Actividad inicial1. a) Felipe; b) Gustavo: 20 minutos, Camila: 30 minutos, Felipe: 15 minutos. 2. 1/6 de hora = 10 min, 1/3 de hora = 20 min, 1/4 de hora = 15 min, 1/8 de hora = 7,5 min. a) 1 tercio; b) 2 sextos; c) 2 cuartos; d) 2 octavos. 3. a) 1/3 = 2/6, 1/3. 4. 1/3 = 3/9; 1/4 = 2/8 5. En las dos primeras.Página 39Ejercicios individuales. 1. a) 12/35; b) 8/15; c) 3/7; d) 9; e) 5/18; f) 21/40; g) 7/117; h) 2. 2. a) 5/56; b) 1/12; c) 2/3; d) 1/2; e)1/8; f) 1. 3. a) 5/4; b) 1; c) 3; d) 7; e) 9/11; f) 3/7.Página 41Ejercicios individuales. 1. a) 21/4; b) 5/3; c) 8; d) 12/5; e) 16/5; f) 9; g) 1; h) 60; i) 1 000; j) 247/204; k) 13/8; l) 515/136. 2. 1/2 ⇒ 1; 2/3; 1/2; 1/3 – 4/5 ⇒ 8/5; 16/15; 4/5; 8/15 – 23/7 ⇒ 46/7; 92/21; 23/7; 46/21.Problemas. 1. 6 veces. 2. 18 trozos.Página 43Ejercicios individuales. 1. 1/2 ⇒ 1 es a 2; 3/7 ⇒ 3 es a 7; 5/6 ⇒ 5 es a 6; 2/5 ⇒ 2 es a 5; 3/2 ⇒ 3 es a 2.Página 45Ejercicios individuales. 1. a) x = 1; b) x = 2; c) x = 12 500; d) x = 100.Problemas. 1. a) 6 galones; b) 8 galones; c) Para el vecino de la derecha.Página 47Ejercicios individuales. 1. a) 50%; b) 100%; c) 70%; d) 72%. 2. 56/100; 80/100; 98/100. 3. a) 23%, 0,23; b) 50%, 0,5; c) 84%, 0,84; d) 3%, 0,03.Problemas. 1. Esquina norte: 60 personas. Esquina sur: 224 personas. 2. Juana: 60 puntos, Dominga: 40 puntos. Página 49Ejercicios individuales. 1. 20% → 1/5 → 0,2 → 20:100; 38% → 19/50 → 0,38 → 38:100; 42% → 21/50 → 0,42 → 42:100; 67% → 67/100 → 0,67 → 67:100; 100% → 1/1 → 1 → 1:1; 110% → 11/10 → 1,1 → 110:100.Página 51Ejercicios individuales. 1. a) 500; b) 20 000; c) 24 565; d) 1 500; e) 11 572; f) 94 500.Problemas. 1. a) 27/100; b) 71 540. 2. a) $ 54 000; b) $ 124 000.Página 53Ejercicios individuales. 1. Perfume de naranja: $ 6 400; Co-lonia inglesa: $ 2 800; Talco: $ 2 240; Gel: $ 1 680; Crema de manos: $ 1 920; Jabón: $ 704. 2. Medio litro: $ 441; Un litro: $ 588; Un litro y medio: $ 882; Dos litros: $ 1 155; Dos litros y medio: $ 1 512; Tres litros: $ 1 764.Página 55 Resolución de problemasProblema 1. a) $ 2 125; b) $ 3 230; c) $ 6 162,5. Problema 2. a) Aumenta un 135%; b) $ 752. Pro-blema 3 . a) 426 kg; b) 33 sacos; c) 17,75 kg.

Un

id

ad

1

Un

id

ad

1

Un

id

ad

2

Página 9 Entrada de unidad0,985 kg.•13,79 kg.•2 kg de carne y 2,2 kg de pasta.•

Página 11 Actividad inicial1. a) Lonquimay: 2,855 > 2,840; b) 6 y 7 son números naturales y 6,9 es un número decimal; c) Parte entera, coma decimal, parte decimal; d) 7. 2. En todas las ciudades llovió menos en el año 2004 que en un año normal; a) Puerto Montt, Isla de Pascua, Chillán, Juan Fernández, Balmaceda, Curicó, La Serena, Arica; b) 1,1; 90,5; 4,8; 60,2; 172,6; 64,5; 287,2; 167,5.Página 13Ejercicios individuales. 1. 0,666… infinito; 0,3 finito; 4,25 finito; 2,666… infinito, 0,6666… infinito, 0,19 finito. 2. 5/4, 503/1 000, 77/1 000, 3 413/250, 9 371/1 000, 11 847/80.Ejercicios grupales. 1. a) A todos les tocó la misma cantidad, 0,25; b) 0,305.Página 15Ejercicios individuales. 1. 470/9, 291/90, 1/90, 2 312/999, 7 061/99, 502/90, 110/9, 6 329/990, 38/90, 98 936/9 900, 23 428/999.Página 17Ejercicios individuales. 1. a) 2 336,223; b) 676 709,5024; c) 90 453,7315; d) 43,44.Página 19Ejercicios individuales. 1. a) 502; b) 849,4; c) 1 183,3; d) 26,3; e) 7,07; f) 84,583; g) 11,169565; h) 7,469114; i) 27; j) 99,332. 2. De arriba a abajo: a) 0,025 – 2 – 0,05 – 4; b) 5 – 1,95 – 9,6525; c) 72,4416 – 3,36 – 0,4; d) 6 – 0,125 – 12 – 2.Página 21Ejercicios individuales. 1. 36; 27; 18; 9; 4,5 / 170; 17; 1,7; 0,17; 0,017 / 3,6; 1,2; 0,3; 0,12; 0,03. 2. a) 5,84 mg; b) 1,25 mg; c) 5,33 mg; d) 0,24 mg; e) 63 mg; f) 15,57 mg.Página 23Ejercicios individuales. 1. a) 272 cm; b) 0,47 m; c) 323 mm. 2. a) 0,12 km; b) 8,4 km. 3. a) 8,24 m > 5,43 m; b) 13,6 km > 13,6 cm; c) 0,5m > 0,8 mm; d) 24,15 dm > 30,9 cm; e) 3,1 km < 3 300 m; f) 23,2 cm > 0,0232 dm.Problemas. 1. 480 listeles.Página 25Ejercicios individuales. 1. a) 1,2 kg > 0,12 hg; b) 360 g = 0,36 kg; c) 250 g = 0,25 kg; d) 78,9 cg = 7,89 dg; e) 45 dag < 4,5 kg; f) 3,4 dg < 34 g.Problemas. 1. a) $ 3 500; b) $ 4 644; c) 0,4 kg.Página 27 Resolución de problemasProblema 1. a) 0,375 kg; b) 0,25 kg; c) 0,4 kg. Problema 2. a) 73,1 km; b) 127,925 km. Problema 3. a) 4,26 m; b) 4,26 m/4,3 m. Problema 4. a) 219,15 kg; b) 90,35 kg.Página 29Tecnología activa. 2. a) 350 cm – 0,003 hl – 0,0012 kg; b) 1 287,58 dm – 45 ml – 124,575 dag.Páginas 31 a 33 EvaluaciónI. Ejercicios de desarrollo. 1. a) 5/9; b) 5/90; c) 13/20; d) 111/900; e) 114/33; f) 8 271/990; g) 24 887/2 000; h) 199 813/1 650. 2. a) 11,6563; b) 2,65392; c) 26,1856; d) 100,3725; e) 4,4623; f) 0,879; g) 0,22251; h) 63,9586. 3. a) 2,88; b) 0,009; c) 18,462; d) 18,3924; e) 28,441354…; f) 13,65684; g) 9,576; h) 0,000000324. 4. a) 9,8; b) 105; c) 0,755813…; d) 0,419753…; e) 0,1875; f) 32; g) 115,45; h) 0,02. 5. 0,875075 / 0,8645 / 1; 10,994334 / 11,01 / 11,1; 12,318597 / 12,3125 / 12,74; 3,547136 / 3,6036 / 4,17. 6. 3,2 kg = 320 000 cg; 2 005 ml = 2,005 L; 12 min = 0,2 h;

➠

Solucionario 171

Problema 4. a) $ 39 648; b) $ 37 478; c) A Josefina.Página 57Tecnología activa. 2. a) Avena: $ 968; Alpiste: $ 1 056; Ha-rina: $ 792; Maravilla: $ 748; Mijo: $ 1 012; Trigo: $ 1 100; b) Avena: $ 935; Alpiste: $ 1 020; Harina: $ 765; Maravilla: $ 722,5; Mijo: $ 977,5; Trigo: $ 1 062,5; c) Avena: $ 880; Alpiste: $ 960; Harina: $ 720; Maravilla: $ 680; Mijo: $ 920; Trigo: $ 1 000; d) Avena: $ 825; Alpiste: $ 900; Harina: $ 675; Maravilla: $ 637,5; Mijo: $ 862,5; Trigo: $ 937,5.Páginas 59 a 61 EvaluaciónI. Ejercicios de desarrollo. 1. a) 1/6; b) 36/77; c) 44/15; d) 1; e) 25; f) 119/9. 2. a) 98/27; b) 16/75; c) 221/40; d) 1; e) 49/36; f) 1 156/605. 3. a) 14 : 11; b) 4 : 12; c) 590 : 640. 4. a) 0,4; b) 3,25; c) 0,5; d) 0,925. 5. 2 : 3 = 4 : 6; 40 : 50 = 8 : 10; 3 : 36 = 1 : 12; 3 : 3 = 7 : 7; 6 : 10 = 3 : 5. 6. a) x = 15; b) x = 1; c) x = 10; d) x = 0,5; e) x = 108; f) x = 9. 7. $ 900; –15%; $ 37 800; $ 167 958. 8. a) $ 660; b) 3%. 9. a) 31,325 m; b) 25,825 m.II. Ejercicios con alternativas. 1. c 2. b 3. d 4. b 5. a 6. c 7. a 8. d.Desafío al ingenioPágina 50: 61,051%. Página 52: Ambas opciones son iguales.

Página 63 Entrada de unidad•30minutos.•2n.Página 65 Actividad inicial1. a) A tres personas; b) Nueve personas; c) Veintisiete personas. 2. a) Sí; b) Multiplicar el número de personas del cuarto llamado por 3; c) 3x.Página 67Ejercicios individuales. 1. 1/12/1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1·1/1; 4/4/4·4·4·4/256; 5/8/5·5·5·5·5·5·5·5/390 625; 56/1/56/56; 14/3/14·14·14/2 744. 2. a) 36 = 729; b) 76 = 117 649; c) 115 = 161 051. d) 212 = 441; e) 144 = 38 416; f) 1013 = 1 030 301.Problemas. 1. a) 33; b) 32 MW; c) 34 MW.Página 69Ejercicios individuales.1. Son potencias de 10 b), e) y h). 2. a) 1010; b) 1012; c) 1011; d) 1015; e) 1021; f) 107; 3. a) 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000; b) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100 000 000; c) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 000 000 000; d) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 100 000 000 000 000 000 000; e) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 000; f) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 ·10 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000.Ejercicios grupales. 1. (deca)101, (hecto) 102, (kilo) 103, (mega) 106, (giga) 109, (tera) 1012, (peta) 1015, (exa) 1018, (zetta) 1021, (yotta) 1024. 2. 104; 106; 107; 108; 109.Página 71Ejercicios individuales. 1. 1 000 / 103; 100 000 / 105; 100 000 000 / 108; 1 000 000 000 000 / 1012; 10 000 000 000 000 / 1013; 10 000 000 000 / 1010. 2. Hay una o más respuestas a los ejercicios. Una posibilidad por cada fila de la tabla es: (fila 1) 100 = 100 · 100 = 100 · 100 · 100; (fila 2) 102 = 102 · 100 = 101 · 101 · 100; (fila 3) 107 = 103 · 104 = 105 · 101 · 101; (fila 4) 109 = 104 · 105 = 103 · 103 · 103; (fila 5) 1014 = 1010 · 104 = 103 · 105 · 106; (fila 6) 1017 = 108 · 109 = 102 · 1010 · 105; (fila 7)1020 = 1010 · 1010 = 106 · 106 · 108.Problemas. 1. Elevando 10 a 5 (105). 2. a) En un día se transportan 1 000 000 de bolitas; b) En diez días se transportan 10 000 000 de bolitas; c) En un día se transportan 10 000 000 de gramos de plumavit; d) En diez días se transportan 100 000 000 de gramos de plumavit.

Página 73Ejercicios individuales. 1. 1 / 10 / 100 / 1 000 / 10 000 / 100 000 / 1 000 000; 2 / 20 / 200 / 2 000 / 20 000 / 200 000 / 2 000 000; 9 / 90 / 900 / 9 000 / 90 000 / 900 000 / 9 000 000; 27 / 270 / 2 700 / 27 000 / 270 000 / 2 700 000 / 27 000 000; 48 / 480 / 4 800 / 48 000 / 480 000 / 4 800 000 / 48 000 000; 1 332 / 13 320 / 133 200 / 1 332 000 / 13 320 000 / 133 200 000 / 1 332 000 000; 14 480 / 144 800 / 1 448 000 / 14 480 000 / 144 800 000 / 1 448 000 000 / 14 480 000 000. 2. a) 60 000 000; b) 13 000 000; c) 2 000 000; d) 7 432 000 000; e) 109 870 200 000; f) 832 000 000. 3. a) 300 000 000 m; b); 300 000 000 000 cm c) 600 000 000 000 mm. 4. a) 14 7000 000 kg; b) 14 700 000 000 mg; c) 147 000 000 000 000 cg. 5. a) 177 000 m; b) 177 000 000 mm; c) 17 700 000 cm. 6. a) 46 328 000 kg; b) 46 328 000 000 g. 7. a) 25 800 000 m; b) 2 580 000 000 cm.

Página 75Ejercicios individuales. 1. a) 5,3 / 53 / 530 / 5 300; b) 17,63 / 176,3 / 1 763 / 17 630; c) 70,01 / 700,1 / 7 001 / 70 010; d) 192,4 / 1 924 / 19 240 / 192 400; e) 10 987,02 / 109 870,2 / 1 098 702 / 10 987 020; f) 7 676,435 / 76 764,35 / 767 643,5 / 7 676 435; g) 2 999,23492 / 29 992,3492 / 299 923,492 / 2 999 234,92; h) 57,4648 / 574,648 / 5 746,48 / 57 464,8. 2. a) 950; b) 362,12; c) 7 325 400; d) 172 537,9; e) 20 540 044 200; f) 7 492 374 400 100.Ejercicios grupales. 1. a) 6,542; b) 0,0043; c) 20,65; d) 14,00436; e) 93,5401; f) 67,349.Problemas. 1. a) 8 848 metros; b) 1 103 000 centímetros.

Página 77 Ejercicios individuales. 1. a) 8 · 100; b) 4 · 101 + 9 · 100; c) 8 · 103 + 6 · 102 + 4 · 100; d) 7 · 104 + 1 · 103 + 4 · 102 + 4 · 101 + 7 · 100; e) 5 · 105 + 4 · 104 + 9 · 103 + 7 · 100; f) 2 · 106 + 9 · 103

+ 3 · 102 + 4 · 101 + 1 · 100; g) 6 · 107 + 5 · 106 + 4 · 105 + 4 · 104 + 9 · 103 + 1 · 102; h) 3 · 108 + 8 · 107 + 7 · 102 + 9 · 101 + 2 · 100. 2. a) 1; b) 140; c) 2 210; d) 47 960; e) 51 520; f) 80 473; g) 1 030 090; h) 24 209 270.Ejercicios grupales. 1. a) 10 890; b) 379; c) 70 021 060; d) 8 268; e) 30 710.

Página 79Ejercicios individuales. 1. a) 10; b) 1 c) 1 000; d) 10 000; e) 100; f) 100; g) 101; h) 102; i) 103; j) 103; k) 103; l) 105. 2. 1 000/10 = 102; 1 000 000 000/1 000 000 = 103; 1 000 000 000/100 = 107; 1 000/1 000 = 100. 3. a) 100 páginas; b) 1 000 páginas. 4. $ 100 000. 5. a) 100 000 000 km; b) 10 000 000 km; c) 1 000 000 km; d) 100 000 km.Página 81Ejercicios individuales. 1. a) 350; b) 90 580; c) 7 740; d) 8 000; e) 690; f) 309 000. 2. a) 2 568; b) 33; c) 71; d) 557. 3. a) 34,2; b) 8,66; c) 18,1218; d) 0,59199; e) 0,7789; f) 0,0042987175.Problemas. 1. a) 134 bandejas. Sobran 56 manzanas; b) Se necesitan 13 camionetas. Sobran 4 bandejas. 2. a) $ 286 770, sobrarán $ 43; b) 28 677 billetes de $ 1 000. Recibirá $ 43 en monedas.Página 83Ejercicios individuales1. a) 546,342; b) 0,093453; c) 0,073425; d) 0,00231; e) 0,09934; f) 993,42; g) 0,0834; h) 0,00021.Problema. 1. Cada parte tiene 5,265 m2, sembrará 500 paltos.Página 85 Resolución de problemasProblema 1. a) 6,4191 · 1019 t; b) 6,4191 · 1017 t; c) 6,4191 · 1022 t. Problema 2. a) 10 000 árboles; b) 100 000 kilogramos; c) 1 000 000 de kilogramos. Problema 3. a) 10 000 kilogramos;

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b) 100 000 kilogramos; c) 1 000 000 kilogramos. Problema 4. a) 1 000 000 km; b) 10 000 000 km; c) 10 000 días.Páginas 89 a 91 EvaluaciónI. Ejercicios de desarrollo. 1. a) 63 = 216; b) 30 = 1; c) 112 = 1; d) 95 = 59 049; e) 111 = 11; f) 134 = 28 561. 2. a) 27 = 128; b) 44 = 256; c) 510 = 9 765 625; d) 92 = 81; e) 123 = 1 728; f) 215 = 4 084 101. 3. a) 103; b) 101; c) 1015; d) 105. 4. a) 1 000 000 = 106; b) 10 000 000 000 000 = 1013; c) 10 000 000 000 000 000 = 1016; d) 100 000 000 000 000 000 000 = 1020. 5. a) 3 · 105 km/s; b) 6,37 · 106 metros; c) 4,5 · 109 años; d) 1,7 · 106 metros. 6. a) 234 000; b) 36; c) 346 700; d) 102 000; e) 370 000 000; f) 901. 7. a) 2,3; b) 0,03478; c) 1 000; d) 105; e) 0,00345; f) 34,56. 8. a) 1 · 101 + 4 · 100; b) 2 · 104 + 3 · 103 + 8 · 101 + 6 · 100; c) 9 · 103 + 3 · 100; d) 6 · 105 + 8 · 104 + 9 · 103 + 5 · 101 + 2 · 100. 9. a) 1 000 cm2 = 103 cm2; b) 10 000 000 km2 = 107 km2. 10. a) 278 450 milímetros; b) 2,7845 metros.II. Ejercicios con alternativas. 1. c 2. d 3. a 4. b 5. d 6. b 7. d 8. c 9. a 10. c.Desafío al ingenioPágina 76: Suman 4.

Página 93 Entrada de unidad73 toneladas de plástico.•11 + 5 + 3 + 3 + • x = 95

Página 95 Actividad inicial1. a) m = x + 0,035; b) Masa de cartón = y/3, Masa de papel = 2y/3; c) Masa de materia orgánica = z – w. 2. a) Masa en kilogramos = a + b + c y Masa en gramos = (a + b + c)·(1 000); b) Masa en kilogramos = 3a + 2c + b.3. a) A = 65 – B – C – D – E – F, B = 65 – A – C – D – E – F, C = 65 – A – B – D – E – F, D = 65 – A – B – C – E – F, E = 65 – A – B – C – D – F, F = 65 – A – B – C – D – E; b) 65 kg; c) Masa de vidrio arrojada = B – 32.Página 97Ejercicios individuales. 2. a); a, b, ab; b) a, b, c, ab, ac, bc, abc. 3. 7abcd → 2bcad; 12bdce → 4dcbe; 4abe → 9bea; 11cde → 2dce; 6aebc → 18ceab; 3ba → 32ab.Página 99Ejercicios individuales. 1. a) x + 5z; b) 16ab + 13bc + 20ac; c) 15x + 13y + 12z; d) 29ax + 21cz + 18by; e) xb + yz + 4za; f) 15 m – 10ñ + 14n; g) 6ef + 11tp + 11oq; h) 16abcd + 9adc + 8abc; i) 15k + 12g + 29d; j) 0; k) 12ij + 27jk.Página 101Ejercicios individuales. 1. a) 2; b) 2; c) 4; d) 3; e) 0; f) 2; g) 4; h) 6; i) 12; j) 2; k) 3; l) 0; m) 9; n) 9; ñ) 10.Problemas. 1. 7 especies. 2. 2 200 pesos.Página 103Ejercicios individuales. 2. a) 7; b) 10; c) 4; d) 1; e) 2; f) 0. 3. a) 4x – 8 = 2x + 6. x = 7; b) x + 2x + 3x = 36. x = 6; c) 2(3x) + 3(2x) = 120. x = 10; d) x/2 = 17. x = 34; e) x/3 = 30. x = 90; f) 14 + 2x = 14. x = 0.Página 105Problemas. 1. 43 fichas. 2. 14 años. 3. 20 preguntas. 4. 9 000 pesos. 5. 22 050 pesos. 6. 0,45 metros. 7. 21 años.Página 107Ejercicios individuales. 1. a) 6; b) 19; c) 7; d) 14; e) 3; f) 4; g) 2; h) 0. 2. a) x + 37 = 92, x = 55; b) 28 + x = 39, x = 11; c) x – 50 = 34, x = 84; d) 18 + x = 24, x = 6 cm; e) 28 + x = 35, x = 7 cm; f) 5x + 16 = 31, x = 3 años.Problemas. 1. a) 12 aves; b) 15 aves; c) 20 aves; d) 17 aves; e) 38 aves.

Página 109 Resolución de problemasProblema 1. a) 127; b) 207; c) 414. Problema 2. a) 25 kiló-metros; b) 56 kilómetros. Problema 3. a) Ganó 5 partidos y perdió 20 partidos; b) 58 puntos. Problema 4. a) J = 2M, V = 4M, S = 8M; b) M + 2M + 4M + 8M = 3 195 → M = 213, J = 426, V = 852, S = 1 704.Página 111Tecnología activa. 2. a) Julio: $ 699, Agosto: $ 730, Septiembre: $ 751, Octubre: $ 765, Noviembre: $ 798, Diciembre: $ 825; b) En diciembre ($ 825); c) En abril ($ 524).Páginas 113 a 115 EvaluaciónI. Ejercicios de desarrollo.1.

Expresión x = 1 y = 2 x = 4 y = 3 x = 9 y = 5 x = 11 y = 7

2xy 4 24 90 154

x + y + 2 5 9 16 20

3xy – 2 4 34 133 229

88 –xy 86 76 43 11

4x – y 2 13 31 37

xy – y 0 9 40 70

2. a) 4; b) 4; c) 13; d) 1; e) 0; f) 3; g) 4; h) 1. 3. a) x + 47 + 39 = 128, x = 42 puntos; b) 57 + 45 + 2x = 220, x = 59 km; c) x + 9 = 17, x = 8 horas; d) x = 445 – 35 – 50, x = 360 mi-nutos = 6 horas. 4. a) 278 500 litros; b) Febrero = 147 000 litros. Diferencia = 131 500 litros; c) Enero = 154 200 litros, Abril = 210 400 litros, Agosto = 297 100 litros, Noviembre = 188 400 litros. 5. a) 123 540 pesos; b) 252 450 pesos. 6. a) 14 huevos blancos grandes; b) 7 huevos blancos peque-ños; c) 3 huevos de color.II. Ejercicios con alternativas. 1. c 2. c 3. b 4. c 5. a 6. c 7. d 8. d.Desafío al ingenioPágina 102: Sí es posible, el día es 1 de enero. Página 104: Tiene una camisa de cada color. Página 106: Nieto → 10 años; Hijo → 30 años; Abuelo → 90 años.

Página 117 Entrada de unidadTriángulos rectángulos.•45°, 45°, 90°.•

Página 119 Actividad inicial1. a) Av. Los poetas se interseca con Vicente Huidobro, y Gabriela Mistral y Pablo Neruda son paralelas; b) No; c) Las tres paralelas y, por lo tanto, no se intersecan; dos paralelas y una no y, en ese caso, la no paralela interseca a las para-lelas; las tres rectas se intersecan en un solo punto; o que ninguna de las tres sea paralela, por lo tanto, cada una es intersecada dos veces; d) Se intersecan entre sí. Página 121 Ejercicios individuales. 1. a) ]MON, ]NOM, α; b) ]TSR, ]RST, β; c) ]XPZ, ]ZPX, γ.Página 123Ejercicios individuales. 1. a) 30°; b) 150°.Ejercicios grupales. 1. a) 128°, 90°, 53°; b) 141°, 20°, 90°; c) 40°, 135°, 160°.

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Solucionario 173

Página 125Ejercicios individuales. 1. a) Obtuso; b) Agudo; c) Recto; d) Extendido. 2. a) 70°; b) 2°; c) 90°; d) 27°; e) 39°; f) 0°, g) No existe; h) 45°. 3. a) 160°; b) 135°; c) 150°; d) 0°; e) 26°; f) 58,5°; g) 180°; h) 10°. 4. a) C; b) N; c) N; d) S; e) C; f) S. 5. a) ]POS y ]SOT; b) ]VOW y ]WOU; c) ]ZOX y ]XOY.Página 127Ejercicios individuales. 1. a) α = 45°; β = 45°; δ = 135°; b) α = 130°; β = 50°; δ = 130°; c) α = 90°; β = 90°; δ = 90°.Ejercicios grupales. 1. a) V; b) F; c) V; d) V; e) F.Página 129Ejercicios individuales. 1. a) α = 145°, β = 145°; b) α = 135°, β = 135°; c) α = 85°, β = 95°; d) α = 20°, β = 20°.Problemas. 1. 112°, 68°, 68°, 112°, 112°, 68°.Página 131Ejercicios individuales. 1. a) ]1 = 70°, ]2 = 110°; b) ]1 = 120°, ]2 = 60°, ]3 = 110°; c) ]1 = 75°, 2 = 145°; d) ]1 = 110°, 2 = 80°, ]3 = 30°; e) ]1 = 60°, ]2 = 120°; f) ]1 = 40°, ]2 = 20°, ]3 = 120°.Página 133Ejercicios individuales. 1. a) ]1 = 100°, ]2 = 80; b) ]1 = 100°, ]2 = 100°; c) ]1 = 120°, ]2 = 70°.Página 135 Resolución de problemasProblema 3. a) 20°; b) 50°; c) γ = 130°. Problema 4. a) 540°; b) 360°; c) 108°.Páginas 139 a 141 EvaluaciónI. Ejercicios de desarrollo. 1. a) 120°, obtuso; b) 360°, com-pleto; c) 90°, recto; d) 180°, extendido; e) 30°, agudo; f) 45°, agudo. 2. a) S = 150°, C = 60°; b) S = 110°, C = 20°; c) S = 85; d) S = 179,68, C = 89,68°; e) S = 79,5; f) S = 122°, C = 32°. 5. a) 42°; b) 25°; c) 30°; d) 50°.II. Ejercicios con alternativas. 1. d 2. d 3. c 4. d 5. d 6. d 7. a 8. b.

Página 145 Actividad inicial1. a) El de la opción nada; b) El de la opción más de $ 50 000; c) 35%; d) 61%; e) 8%; f) 527; g) 151. 2. a) Finlandia. Página 147Ejercicios individuales. 1. 1,65 m. 2. 1,6225 m. 3. a) 3; b) 3; c) 3/2; d) 13,08. 4. a) 27 años; b) 1,7954 m; c) Defensa: 27,75 años, Mediocampo: 27 años, Delantera: 24,5 años; d) Defensa: 1,81 m, Mediocampo: 1,745 m, Delantera: 1,85 m.Ejercicios grupales. 1. a) F; b) V; c) F.Página 149Ejercicios individuales. 1. Promedio = 7,5; mediana = 7. 2. a) Me = 9, x = 8,8; b) Me = 5,75, x = 5,25; c) Me = 2,5, x = 2,5. 3. a) Número ≥ 10; b) Número ≥ 15; c) 10; d) 60.Ejercicios grupales. 2. 13 años.Problemas. 1. a) Me = $ 1 000, x ≈ $ 571,43; b) Me = $ 100, x ≈ 530,43; c) La mediana.Página 151Ejercicios individuales. 1. Educación física. 2. a) [1,50 – 1,59] → 2 datos; [1,60 – 1,69] → 3 datos; [1,70 – 1,79] → 2 datos; b) [1,60 – 1,69].Problemas. 1. a) Fútbol; b) Fútbol; c) Fútbol y tenis; d) 4; e) 8.

Página 153 Ejercicios individuales. 1. a) C; b) D; c) 370; d) 308; e) 1/2. 2. a) 64; b) Oro: 32,81%, Plata: 26,56%, Bronce: 40,62%; c) Oro: 3,36%, Plata: 2,72%, Bronce: 4,16%.

Página 155Ejercicios individuales. 1. 2. a)

b)

Página 157Ejercicios grupales. 1. a) Aleatorio; b) Determinista; c) De-terminista; d) Aleatorio; e) Determinista; f) Aleatorio.Página 159Ejercicios individuales. 1. a) E = 24 = 16; b) E = 25 = 32; c) E = 26 = 64; d) E = 2n; e) E = 61 = 6; f) E = 62 = 36; g) E = 63 = 216; h) E = 6n.Ejercicios grupales. 1. a) E = {R, V, B, A}; b) E = {RV, RB, RA, VB, VA, BA}; c) E = {RVB, RVA, RBA, VBA}. 2. a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Suceso = {1, 2} → 2 elementos; b) E → 36 resultados posibles, Suceso 1 → 6 resultados, Suceso 2 → 3 resultados, Suceso 3 → 8 resultados.Página 161Ejercicios individuales. 1. a) 0,16; b) 0,3; c) 0,83; d) 0,3; e) 0,6; f) 1.Página 163 Resolución de problemasProblema 1. a) B; b) A: Me = $ 500 000, Mo = $ 500 000; B: Me = $ 500 000, Mo = $ 140 000 y $ 800 000; c) $ 1 360 000. Problema 2. a) 15% = 30 niños y niñas; b) Películas, 35% = 70 niños y niñas; c) Teleseries, 10% = 20 niñas y niños. Problema 3. a) S1 = 0,25; S2 = 0,35; S3 = 0,2; S4 = 0,2; b) S1 = S2 = S3 = S4 = 0,25.Página 164Tecnología activa. 2. x = 7,6; Me = 7; Mo = 6.Páginas 167 a 169 EvaluaciónI. Ejercicios de desarrollo. 1. a) 128 departamentos; b) 464 personas; c) 3,625 personas; d) Mo: 4 personas, Me: 4 per-sonas. 2. a) Rolando: 5,6 – Sebastián: 5,8 – Tomás: 5,5; b) Sebastián; c) Tomás, d) Nota igual a 6,0. 3. a) 151,5 – 156,5 – 130 – 123,5 – 81,5 – 50; b) 253; c) 137,5; d) 115,5; e)115,5 → Coinciden. 4. a) 9,5 mm; b) Mo: 9 cm, Me: 9 cm; c) 19%. Sí está dentro del promedio. 5. a) Brasil; b) Brasil: 5 – Italia: 4 – Alemania: 3 – Argentina: 2 – Uruguay: 2 – Francia: 1 – Inglaterra: 1 – España: 1. 6. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}; a) SA: 2 elementos; b) 5 elementos; c) 6 elementos. 7. Suceso B es el más probable.II. Ejercicios con alternativas. 1. c 2. c 3. c 4. c 5. c 6. c 7. b 8. a.Desafío al ingenioPágina 148: 22 años. Página 160: Es incorrecta, ya que la probabilidad de sacar 6 en cada lanzamiento es la misma.

Un

id

ad

5

Un

id

ad

6

→

América34%

Asia15%

Europa51%

Mono25%

Elefante6%

Pingüino20%

Oso4%

Jirafa10%

Vicuña35%

→

Alemania19%

Chile34%

Finlandia5% China

3%

Japón12%

Inglaterra27%

→→

Un

id

ad

6

174 Índice temático

Índice temático Pág.Ángulo ..................................................................... 120Ángulos correspondientes ...................................... 128Ángulos en un cuadrilátero ..................................... 132Ángulos en un triángulo ......................................... 130Ángulos externos .................................................... 128Ángulos internos ..................................................... 128Ángulos opuestos por el vértice .............................. 128Antecedente de una razón ....................................... 42Base de una potencia .............................................. 67Calculadora científica ........................................ 18 y 40Clasificación de ángulos ............................... 124 y 125Consecuente de una razón ...................................... 42Construcción de gráficos circulares ........................ 154Conversión de fracción en número mixto ........... 38 y 40Conversión de número mixto en fracción ............ 38 y 40Cuadriláteros ........................................................... 132Datos bimodales...................................................... 150Datos cuantitativos .................................................. 150Datos cualitativos .................................................... 150Datos multimodales ................................................. 150Datos unimodales ................................................... 150Decimales infinitos no periódicos ............................. 14Decimales semiperiódicos ........................................ 14Decimales periódicos ................................................ 14Descomposición canónica ....................................... 76División de dos fracciones ....................................... 40División de números decimales ................................ 18División de potencias de 10 ..................................... 78División de un decimal por una potencia de 10 ....... 82División de un natural por una potencia de 10 ............ 80Ecuación con dos o más incógnitas....................... 104Ecuación de primer grado ...................................... 100Equivalencias entre unidades de longitud ............... 22Equivalencias entre unidades de masa .............24 y 25Espacio muestral ..................................................... 150Evento o suceso ...................................................... 159Exponente de una potencia ..................................... 67Expresión decimal de una fracción ........................... 12Expresión fraccionaria de decimales finitos ............. 12Expresión fraccionaria de decimales periódicos .......................................................... 14 y 15Expresión fraccionaria de decimalessemiperiódicos .................................................. 14 y 15Fenómenos aleatorios ................................... 156 y 157Fenómenos deterministas ....................................... 156Formas de expresar un porcentaje ................... 48 y 49Fracción de una cantidad ......................................... 38Fracciones recíprocas .............................................. 40Fracciones y números mixtos en calculadora .............. 38Fracción impropia ...................................................... 12Fracción propia.......................................................... 12

Pág.Grado de una ecuación algebraica ........................ 104Grados sexagesimales ............................................ 122 Gráfico circular ........................................................ 152Incógnita ................................................................. 100Información porcentual ............................................. 52Masa ......................................................................... 24Media aritmética ...................................................... 146Mediana ................................................................... 148Medición de ángulos ............................................... 122Moda ....................................................................... 150Multiplicación con factores menores que uno ... 20 y 21Multiplicación con un factor mayor que uno ...... 20 y 21Multiplicación de factores mayores que uno ..... 20 y 21Multiplicación de fracciones ............................. 38 y 40Multiplicación de números decimales ....................... 16Multiplicación de potencias de 10 ............................ 70Multiplicación de un decimal por una potencia de 10 .. 74Multiplicación de un natural por una potencia de 10 .. 72Multiplicación de una fracción por un natural .......... 39Operaciones con porcentajes .................................. 50Paralelogramo ......................................................... 132Peso ......................................................................... 24Porcentajes .............................................................. 46Potencia ............................................................ 66 y 67Potencias de 10 ........................................................ 68Probabilidad de un evento o suceso ...................... 160Probabilidad empírica ............................................ 160Propiedad fundamental de las proporciones ..... 44 y 45Proporciones .................................................... 44 y 45Razón ................................................................ 42 y 44Razones equivalentes .............................................. 43Reducción de términos semejantes ................. 98 y 99Resolución de ecuaciones de primer grado .......... 102Resultados de un experimento aleatorio ...... 158 y 159Sistema decimal ....................................................... 76Términos de la división .............................................. 18Unidades de longitud ............................................... 22Unidades de masa ............................................ 24 y 25Suma de ángulos en un cuadrilátero ...................... 133Suma de ángulos en un triángulo .......................... 130Términos algebraicos ............................................... 96Términos semejantes ............................................... 96Trapecio ................................................................... 132Trapezoide ............................................................... 132Triángulo acutángulo .............................................. 130Triángulo equilátero ................................................ 130Triángulo escaleno ................................................. 130Triángulo isósceles ................................................. 130Triángulo obtusángulo ............................................. 130Triángulo rectángulo ............................................... 130Validación de la solución de una ecuación ............ 106

175Bibliografía y páginas web

Bibliografía y páginas webBibliografía

1. Real Academia de Ciencias exactas, físicas y naturales: Diccionario esencial de las ciencias. Madrid: Editorial Espasa Calpe, S.A., 2002.

2. Valiente Barderas, Santiago: Diccionario de Matemáticas. México D.F.: Editorial Alhambra mexi-cana, S.A., 1988.

3. Chapin, Suzanne: Middle Grade Math. New Jersey: Editorial Prentice Hall, 1997.

Páginas web

http://www.mineduc.cl1.

Sitio oficial del Ministerio de Educación de Chile.

http://www.minsal.cl2.

Sitio oficial del Ministerio de Salud de Chile.

http://www.conama.cl3.

Sitio de la CONAMA, Comisión Nacional del Medio Ambiente.

http://www.educarchile.cl4.

Portal de la educación chilena.

http://www.asrm.cl5.

Sitio de la Secretaría Regional Ministerial de Salud de la región Metropolitana de Chile.

http://www.ine.cl6.

Sitio del Instituto Nacional de Estadísticas de Chile.

http://www.eduteka.org7.

Sitio de tecnologías de información y comunicaciones para la enseñanza básica y media.

http://www.monumentos.cl8.

Sitio del Consejo de Monumentos Nacionales del gobierno de Chile.

http://www.icarito.cl9.

Sitio educativo chileno.

http://www.monografías.com10.

Sitio con información educativa.

http://www.mensa.es/juegosmensa11.

Sitio con colección de juegos de ingenio matemático.

176 Evaluación modelo

Cuerda

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

cm

0

I. Alternativas

II. Desarrollo

1. Encuentra el valor de x, si 12x – 10 = 6x + 32. Respuesta: (Timss 1999)

2. En el colegio de Irene, su profesora de ciencias les hace exámenes que se puntúan de 0 a 100. Irene tiene una media de 60 puntos en sus primeros cuatro exámenes de ciencias. En el quinto examen sacó 80 puntos. ¿Cuál es la media aritmética de las notas de Irene en ciencias tras los cinco exámenes? Media: (Pisa 2003)

3. 48

, 25

50, 5

10. Estas tres fracciones son equivalentes. Escribe dos fracciones que sean equiva-

lentes a ellas.

a) b)

a Una hoja de papel tiene 0,012 cm de espesor. De las siguientes opciones, ¿cuál sería la altura de un montón de 400 hojas de este papel?

a) 0,048 cm c) 4,8 cm

b) 0,48 cm d) 48 cm

5 n es un número. Si n es multiplicado por 7 y des-pués se le suma 6, el resultado es 41. ¿Cuál de las ecuaciones siguientes representa esta relación?

a) 7n + 6 = 41 c) 7n · 6 = 41

b) 7n – 6 = 41 d) 7 · (n + 6) = 41

b Para obtener una pintura de un cierto color Ana mezcla 5 litros de pintura roja, 2 litros de pintura azul y 2 litros de pintura amarilla. ¿Cuál es la pro-porción de pintura roja en el total de la mezcla?

a) 5

2 c) 5

4

b) 9

4 d) 5

9

6 Si se estira la cuerda del diagrama, ¿cuál de estas opciones es la más cercana a su longitud?

a) 5 cm c) 7 cm

b) 6 cm d) 8 cm

c Si el precio de una lata de guisantes sube de 60 a 75 pesos, ¿qué porcentaje de aumento ha habido en el precio?

a) 15% c) 25%

b) 20% d) 30%

7 Si 4 veces un número es 48, ¿cuánto es 1

3 de

ese número?

a) 4 c) 12

b) 8 d) 16

d En un cuadrilátero, dos ángulos tienen una medida de 115° cada uno. Si la medida de un tercer ángulo es 70°, ¿cuál es la medida del ángulo restante?

a) 60° c) 130°

b) 70° d) 140°

8 Un pintor tenía 25 litros de pintura. Él usó 2,5 litros de pintura cada hora. Terminó su trabajo en 5,5 horas. ¿Cuánta pintura le sobró?

a) 10,25 litros c) 12,75 litros

b) 11,25 litros d) 13,75 litros

(Timss 1999) (Timss 1999)




(NAEP 2007)

Evaluación modeloRespuestas: I. Alternativas 1. C 2. D 3. C 4. A 5. A 6. C 7. A 8. B II. Desarrollo 1. X = 7 2. X = 64.

EDICIÓN ESPECIAL PARA EL MINISTERIO DE EDUCACIÓNPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓN • AÑO 2012

ISBN 978-956-294-291-1

9 7 8 9 5 6 2 9 4 2 9 1 1

MATEMATICA 6° LIBRO ESTUDIANTE_2 (NXPowerLite)

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