Libro Matematica 4 p Dist

8/2/2019 Libro Matematica 4 p Dist

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MATEMTICA

MATERIAL PARA docEnTEs

cuARTo gRAdo

EducAcIn PRIMARIA


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MATEMTICA

MATERIAL PARA DOCENTEsCuARTO gRADO

EDuCACIN PRIMARIA


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Estos materiales han sido producidos por los especialistas del rea de Matemtica delIIPE-UNESCO Buenos Aires:

Eqipo del rea de Matemtica

AtoreSilvana Seoane | Betina SeoaneReerenteMara Mnica Becerril |Andrea Novembre | Beatriz Moreno | Mnica Urquiza |Alejandro Rossetti |Hctor Ponce | Ins Sancha | Horacio Itzcovich

Agradecemos el aporte de Ana La Crippa.

Eqipo de dearrollo editorial

Coordinacin eneral y edicinRuth Schaposchnik | Nora Legorburu

CorreccinPilar Flaster | Gladys Berisso

Dieo rfco y diaramacinEvelyn Muoz y Matas Moauro - Imagodg

Material de distribucin gratuita. Prohibida su venta

IIPE - UNESCO Buenos AiresAgero 2071 (C1425EHS), Buenos Aires, ArgentinaHecho el depsito que establece la Ley 11.723Libro de edicin argentina. 2011

Permitida la transcripcin parcial de los textos incluidos en esta obra, hasta 1.000 palabras,segn Ley 11.723, artculo 10, colocando el apartado consultado entre comillas y citando la uente;si ste excediera la extensin mencionada deber solicitarse autorizacin al Editor.

Seoane, SilvanaMatemtica material para docentes cuarto grado educacin primaria / Silvana Seoane y Betina Seoane. - 1a ed. - Ciudad Au-tnoma de Buenos Aires: Instituto Internacional de Planeamiento de la educacin IIPE-Unesco, 2011.76 p. ; 30x21 cm.

ISBN 978-987-1836-24-6

1. Gua para Docentes. 2. Matemtica. I. Seoane, Betina II. Ttulo

CDD 371.1

Fecha de catalogacin: 06/09/2011


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NDICE

NDICE

Introduccin general

Marco general de la propuesta de Matemtica

Matemtica en el Segundo Ciclo

Ejemplo de mapa curricular de Segundo Ciclo

Cuarto grado

Ejemplo de distribucin anual de contenidos I

Ejemplo de distribucin anual de contenidos II

Ejemplo de planifcacin mensual

Ejemplo de planifcacin semanal

Ejemplo de evaluacin al fnalizar una unidad

Ejemplo de problemas para evaluacin de fn de ao

Bibliograa y links recomendados

Cuadernillo de actividades

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NDICE


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La produccin de este material ha sido posible gracias a los intercambios desarrollados entre losreerentes locales, los capacitadores y los docentes, a lo largo de toda esta experiencia. Esperamosresulte un aporte a la compleja tarea de ensear y aprender matemtica que permita orecer mayorcantidad de oportunidades a los nios para aventurarse en el desao intelectual que se propicia.

Equipo de Matemtica

Tcmn: Cecilia Catuara, Nora Fagre, Mara Irene Flores, Marta Lopez de Arancibia, Alicia VivianaMoreno, Luciana Neme, Patricio Smitsaartsanta Crz: Gabriela Rodrguez, Viviana Mata, Marta Sanduay, La Vazquez, Valentina Gonzlez,Norma Gmez, Alredo Salvatierra, Sandra ManzanalCorriente: Mnica Mio, Zunilda Del Valle, Ana Bencho

Chaco: Laura Ochoa, Irma Bastiani, Viviana Benegas, Patricia DellameaViraoro: Elena Ayala, Andrea Paula Drews, Jos Pereyra, Irma Neves Bentez,Mnica Magdalena RodrguezCarlo Caare: Daniela Zermoglio, Mario Martin, Anala Cortona, Nilda Martin, Laura Delgado,Daniela Pere

Campana-Pilar-san Nicol:Teresita Chelle, Ana Barone, Gloria RobaloAna Felisa Espil, Miriam Cabral, Mirta Ricagno, Mnica Rinke, Graciela Borda

Crdoba: Felisa Aguirre, Laura Sbolci, Ana GarcaEnenada: Cecilia Wall, Vernica Grimaldi, Mnica Escobar.


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MATEMTICA

Este material ha sido pensado con la intencin de colaborar con la prctica cotidiana delos docentes.

Es reconocida la complejidad que adquiere dicha prctica al momento de pensar la

enseanza: armado de planicaciones, carpetas didcticas, seleccin de libros de texto,elaboracin de actividades, diseo de evaluaciones, etctera. Y estos desaos generalmen-te son poco considerados a la hora de valorar la labor de los docentes.

Por este motivo, y buscando acompaar las decisiones que toman los docentes, estematerial orece dierentes tipos de recursos para que estn disponibles y puedan ser uninsumo que colabore en la planicacin, desarrollo y evaluacin de la enseanza.

Los distintos tipos de recursos que constituyen este material se sustentan en un pro-yecto de enseanza que considera la Matemtica desde una perspectiva determinada. Es

decir, se parte de la idea de que los alumnos tengan la oportunidad de reconstruir losconceptos matemticos a partir de dierentes actividades intelectuales que se ponen enjuego rente a un problema para cuya resolucin resultan insucientes los conocimientosde los que se dispone hasta el momento Hay dos cuestiones centrales que tambin ha-cen al enoque adoptado. En primer lugar, ayudar a los alumnos a concebir la Matemticacomo una disciplina que permite conocer el resultado de algunas experiencias sin necesi-dad de realizarlas eectivamente. Y por otro lado, para que la actividad matemtica searealmente anticipatoria de la experiencia, es necesario estar seguro de que esa anticipacinue realizada correctamente, en otras palabras, es necesario validar la anticipacin. Es de-cir, se trata de generar condiciones que permitan a los alumnos producir recursos que lespermitan obtener resultados rente a una amplia variedad de problemas, sin necesidad de

recurrir a la experiencia emprica y producir argumentos que les permitan responsabilizar-se matemticamente por la validez de esos resultados.

Estos lineamientos generales son los que undamentan las selecciones desarrolladasen los materiales, los recortes establecidos, los ejemplos elaborados, los problemas selec-cionados.

Este material contiene entonces dierentes recursos que se detallan a continuacin,organizados por grado, desde 1. hasta 6.. Para cada grado, se podr encontrar:

INTroDuCCIN gENErAl


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1. MApAs CurrICulArEs orIENTATIvos

Estos mapas curriculares son ejemplos que explicitan los contenidos de enseanza a lolargo de toda la escolaridad. Se construyeron considerando los aspectos comunes que se

esbozan en los Diseos Curriculares de cada Jurisdiccin y los Ncleos de AprendizajesPrioritarios. Por lo tanto, requieren ser completados con aquellas sugerencias esbozadasen las orientaciones curriculares jurisdiccionales.

Para acilitar su identicacin, los mapas curriculares se presentan en ormato de pla-nillas, desplegados para cada grado y organizados por ciclos, de tal manera que cadaescuela pueda analizar y establecer los contenidos en relacin con el ao de escolaridad yen correlacin con aos anteriores y posteriores, es decir que tenga presente la horizon-talidad del trabajo.

Asimismo, podr orientar la labor de directivos para preservar la coherencia en la dis-

tribucin de contenidos en los grados y en los ciclos.

2. EjEMplos DE plANIfICACIoNEs ANuAlEs

Se trata de propuestas de distribucin de los contenidos de enseanza a lo largo del ao.Son ejemplos y, como tales, se podrn transormar en herramientas para que cada do-cente pueda pensar su propio recorrido anual, con el grado asignado y en uncin de susalumnos.

3. EjEMplos DE plANIfICACIoNEs MENsuAlEs

Se trata de una primera lupa sobre la planicacin de un mes determinado. Se orece en

este caso una mirada ampliada al interior de uno de los meses y se detalla el asunto queser prioritario en ese mes, ejemplos de problemas, adecuaciones semanales, que podrnorientar la perspectiva adoptada.

4. EjEMplos DE plANIfICACIoNEs sEMANAlEs

Se trata de un ejemplo del desarrollo del trabajo a lo largo de una semana de clases. Eneste ejemplo, se explicitan las actividades propuestas para cada clase, las discusiones que sepropiciarn con los alumnos, la organizacin del trabajo en el aula, los tiempos que deman-darn, las conclusiones a las que se pretende arribar y los aprendizajes esperables.

5. EjEMplos DE EvAluACIoNEs ANuAlEs, bIMEsTrAlEs o porCoNTENIDos DE TrAbAjo

Se trata en este caso de orecer a los docentes insumos para pensar las evaluaciones. Al serejemplos, brindan la posibilidad de tomar decisiones: alterar el orden de las actividades,modicar algunos datos de los problemas, considerar dierentes criterios para su correc-cin, incorporar otros problemas, quitar alguno, etctera.

Lo que se busca con estos ejemplos es preservar el espritu del trabajo elaborado en lasplanicaciones y en los cuadernillos de manera de orjar el mayor grado de coherencia entrelo que se planica, lo que se ensea y lo que se evala, asumiendo que estos recursos no sonlos nicos modos de identicar los avances de los alumnos y repensar la enseanza.


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6. EjEMplos DE CrITErIos DE CorrECCIN

Se proponen tambin, a la luz de los ejemplos de evaluaciones y a raz de un problema, di-erentes maneras de pensar la correccin de las pruebas o problemas que se les presentan

a los alumnos. Se parte de la idea de que la correccin debe ser un aporte a la enseanzay al aprendizaje. Por eso, es insuciente entregar los resultados de las pruebas y que alltermine la tarea: Qu se les dice a los alumnos? Cmo se recuperan los resultados de lasevaluaciones para que los alumnos sepan qu les pas y por qu les pas lo que les pas?

Cmo se reorienta la enseanza para que los alumnos avancen? Qu aspectos o quresultados se consideran para la promocin?

Estas cuestiones se plantean en un modo general, pero demandan debates particularespara cada alumno y para cada etapa del ao.

7. bIblIogrAfA y lINks rECoMENDADosSe presenta tambin una bibliograa que aborda dierentes aspectos relacionados con laenseanza y el aprendizaje de la Matemtica, organizados segn los temas.

Se recomiendan estas herramientas a los docentes para que puedan proundizar susconocimientos sobre la enseanza y el aprendizaje de la Matemtica.

A su vez, para cada material recomendado, se indica el link del cual puede ser ba-jado para su estudio, ser impreso o disponer de l de la manera en que a cada docentey a cada escuela le resulte ms conveniente. En dichos links, hay otros materiales que

tambin podrn resultar de inters, aunque no aparezcan en la lista coneccionada.

8. CuADErNIllos DE ACTIvIDADEs pArA los AluMNos

En uncin de la planicacin anual, se presentan cuadernillos con problemas para trabajar conlos alumnos, que recorren y acompaan esa planicacin. Al tratarse de cuadernillos o carpe-tas independientes, el orden de uso ser determinado por el docente, aunque cabe aclarar queciertos contenidos son necesarios para abordar otros y que algunos cuadernillos recuperanconocimientos tratados en otros. En este sentido, el docente deber cuidar que la propuestaconserve las relaciones entre los conocimientos y el avance en la proundidad del estudio.

Los cuadernillos estn pensados para ser entregados a los alumnos para el estudioy trabajo en torno a cada tipo de problema. Son actividades y no presentan aspectostericos que quedan en manos del docente. La intencin es que, a medida que los alumnosresuelvan los problemas, el docente pueda gestionar debates sobre los procedimientosde resolucin, buscar explicaciones que permitan interpretar errores, decidir si algo escorrecto, analizar si un recurso puede ser vuelto a utilizar en otro problema, establecergeneralidades, etctera.

Es nuestro deseo que este material se transorme en un insumo de consulta y uso quepermita a los docentes sentirse acompaados. Todo lo publicado es susceptible de serotocopiado e impreso, solo basta citar la uente.

Eqipo de Matemtica


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Los conocimientos matemticos que pueblan las aulas responden habitualmente a t-tulos reconocidos por los docentes: los nmeros naturales y sus operaciones, los nmerosracionales y sus operaciones, el estudio de las guras y de los cuerpos geomtricos, desus propiedades; y aquellos aspectos relacionados con las magnitudes, las medidas y las

proporciones.

Ahora bien, con estos mismos ttulos, podran desarrollarse en cada escuela pro-yectos de enseanza con caractersticas muy dierentes y, por ende, el aprendizaje de losalumnos tambin sera distintos.

Por qu armamos esto?

Desde la perspectiva que adoptamos, hay muchas maneras de conocer un concep-to matemtico. Estas dependen de cunto una persona (en este caso, cada uno de susalumnos) haya tenido la oportunidad de realizar con relacin a ese concepto. O sea, elconjunto de prcticas que despliega un alumno a propsito de un concepto matemtico

constituir el sentido de ese concepto para ese alumno. Y si los proyectos de enseanzapropician prcticas dierentes, las aproximaciones a los conocimientos matemticos quetendrn los alumnos sern muy dierentes.

Cmo se determinan estas prcticas?Algunos de los elementos que conguran estas prcticas son:

Las elecciones que se realicen respecto de los tipos de problemas, su secuenciacin,los modos de presentacin que se propongan a los alumnos.Las interacciones que se promuevan entre los alumnos y las situaciones que se les pro-pongan.Las modalidades de intervencin docente a lo largo del proceso de enseanza.

De all que en este Proyecto, los contenidos de enseanza esbozados para cada gradoestn ormados tanto por esos ttulos cilmente reconocibles (los nmeros, las opera-ciones, etc.), como por las ormas en que son producidos y las prcticas por medio de lascuales se elaboran. La intencin es acercar a los alumnos a una porcin de la cultura mate-mtica identicada no solo por las relaciones establecidas (propiedades, deniciones, or-mas de representacin, etc.), sino tambin por las caractersticas del trabajo matemtico.Por eso, las prcticas tambin orman parte de los contenidos a ensear y se encuentranestrechamente ligadas al sentido que estos contenidos adquieren al ser aprendidos.

Cules son algunas de las marcas que se pueden identicar como parte de las prc-ticas matemticas?

MATEMTICA

MArCo gENErAlDE lA propuEsTA DE MATEMTICA


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El avance de la Matemtica est marcado por problemas externos e internos a estadisciplina que han demandado la construccin de nuevos conocimientos. Una caracte-rstica central entonces del trabajo matemtico es la resolucin de dierentes tipos deproblemas.

Para que los alumnos tambin puedan involucrarse en la produccin de conocimientosmatemticos, ser necesario aunque no suciente enrentarlos a diversos tipos de proble-mas. Un problema es tal en tanto y en cuanto permite a los alumnos introducirse en el de-sao de resolverlo a partir de los conocimientos disponibles y les demanda la produccinde ciertas relaciones en la direccin de una solucin posible, aunque esta, en un principio,resulte incompleta o incorrecta.

Otra caracterstica de la actividad matemtica es el despliegue de un trabajo de tipoexploratorio: probar, ensayar, abandonar, representar para imaginar o entender, tomar

decisiones, conjeturar, etctera. Algunas exploraciones han demandado aos de trabajo alos matemticos e, incluso, muchas de las preguntas y de los problemas elaborados hacemucho tiempo siguen en esta etapa de exploracin porque an no han sido resueltos.

Por lo tanto, en la escuela se deber orecer a los alumnos rente a la resolucin deproblemas un espacio y un tiempo que posibilite el ensayo y error, habilite aproximacionesa la resolucin que muchas veces sern correctas y otras tantas incorrectas, propicie la bs-queda de ejemplos que ayuden a seguir ensayando, les permita probar con otros recursos,etctera. Explorar, probar, ensayar, abandonar lo hecho y comenzar nuevamente la bsque-da es parte del trabajo matemtico que este Proyecto propone desplegar en el aula.

Otro aspecto del trabajo matemtico posible de identicar es la produccin de unmodo de representacin pertinente para la situacin que se pretende resolver. A lo largode la historia, las maneras de representar tambin han sido una preocupacin para losmatemticos. Los dierentes modos de representacin matemtica orman parte del co-nocimiento en cuestin.

Ser necesario entonces avorecer en la escuela tanto la produccin de representacio-nes propias por parte de los alumnos durante la exploracin de ciertos problemas, comoel anlisis, el estudio y el uso de diversas ormas de representacin de la Matemtica. Elestablecimiento de puentes entre las representaciones producidas por los alumnos y lasque son reconocidas en la Matemtica ser tambin objeto de estudio.

Muchos problemas o preguntas que han surgido a lo largo de la historia de la Mate-mtica han admitido respuestas que no podan ser probadas inmediatamente, y otras anno tienen demostracin. Estas respuestas, hasta que adquieren carcter de verdad, sonreconocidas con el nombre de conjeturas.

En las interacciones que se propicien en el aula, a raz de la resolucin y anlisis dedierentes problemas, se promover que los alumnos expliciten las ideas que van elabo-rando (las respuestas que encuentren, las relaciones que establezcan, etc.), aun cuandono sea claro para ellos, desde el principio, si son del todo ciertas. Estas ideas y las respues-

tas provisorias que producen los nios son conjeturas o hiptesis que demandarn msconocimientos para que dejen de serlo.


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El quehacer matemtico involucra tambin determinar la validez de los resultados ob-tenidos y de las conjeturas producidas, es decir, recurrir a los conocimientos matemticospara decidir si una armacin, una relacin o un resultado son vlidos o no y bajo qucondiciones.

Es necesario entonces que los alumnos puedan progresivamente hacerse cargo y,usando dierentes tipos de conocimientos matemticos, dar cuenta de la verdad o alse-dad de los resultados que se encuentran y de las relaciones que se establecen.

Determinar bajo qu condiciones una conjetura es cierta o no implica analizar si aque-llo que se estableci como vlido para algn caso particular unciona para cualquier otrocaso o no. A veces, la validez de una conjetura podr aplicarse a todos los casos y podrelaborarse entonces una generalizacin. Otras veces la conjetura ser vlida solo para unconjunto de casos. Generalizar o determinar el dominio de validez es tambin parte deltrabajo matemtico.

Una ltima caracterstica a destacar del trabajo matemtico es la reorganizacin y elestablecimiento de relaciones entre dierentes conceptos ya reconocidos. Reordenar y sis-tematizar genera nuevas relaciones, nuevos problemas y permite producir otros modelosmatemticos.

Se comunican los modos de produccin o las prcticas matemticas asociados a losttulos a los que se haca reerencia inicialmente con la intencin de promover prcticasde enseanza que avorezcan que los conocimientos de los alumnos se carguen de un cier-to sentido. No se trata de ensear en la escuela primaria algunos rudimentos y tcnicaspara que luego, ms adelante, solo algunos alumnos accedan a las maneras de pensar y

producir en Matemtica; sino de intentar que desde los primeros contactos con esta dis-ciplina, el estudio de la Matemtica sea una orma de acercarse a sus distintas manerasde producir. En este Proyecto, se adopta la idea de que ensear Matemtica es tambinintroducir a los alumnos en las prcticas y en el quehacer propio de esta disciplina.

Una cuestin que ha dado lugar a muchas discusiones en distintos momentos de laenseanza de la Matemtica se reere al lugar que ocupa sobre todo en los primeros gra-dos la utilizacin de material concreto para producir resultados o para comprobarlos.Hay distintas maneras de recurrir al uso de este tipo de materiales. Supongamos por ejem-plo que, en primer grado, se les propone a los alumnos la siguiente situacin: un nio pasaal rente y pone, a la vista de todos, 7 chapitas en una caja; despus pasa otro nio y pone,tambin a la vista de todos, 8 chapitas. Se les pide a los nios que encuentren una manerade saber cuntas chapitas hay en la caja. Utilizando diversas estrategias, los nios arriba-rn a un resultado. Si para constatarlo los nios cuentan las chapitas de la caja, estarnhaciendo una comprobacin emprica. Si, en cambio, se excluye la posibilidad de accineectiva sobre los objetos y se les pide a los chicos que muestren mediante argumentos quesu resultado es correcto, sin corroborarlo empricamente, estarn haciendo una validacinde tipo argumentativo.

Es necesario sealar que, cuando las comprobaciones son de tipo emprico, es impres-cindible proponer la anticipacin de los resultados que luego se leern en la comprobacin

(en la situacin de la caja los nios primero anticipan y luego corroboran). De esta mane-ra, en este juego de anticipacin-validacin argumentativa-corroboracin emprica, los


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nios irn descubriendo que los resultados que obtienen son una consecuencia nece-saria de haber puesto en uncionamiento ciertas herramientas del aparato matemtico.Sin esta anticipacin, los nios manipulan material, y los resultados que obtienen son pro-ducto de una contingencia (se obtuvieron estos, pero podran haberse obtenido otros).En otras palabras, si no hay articulacin entre anticipacin y comprobacin emprica, estaltima se plantea solo con relacin a ella misma, y sus resultados no se integran a ningunaorganizacin de conocimiento especca.

Es necesario sealar que, cuando la comprobacin es emprica, esa relacin de nece-sariedad entre las acciones realizadas para anticipar, y los resultados ledos en la corrobo-racin, no puede independizarse del contexto particular en el que se desarroll. Resultaesta armacin un argumento para descartar las comprobaciones empricas? De ningunamanera hacemos esa aseveracin. Las comprobaciones de tipo experimental hacen posibleuna interaccin entre los modelos matemticos que los nios van elaborando y los aspec-

tos de la realidad que son modelizables a travs de las herramientas matemticas. Sin estainteraccin, ellos no tendran posibilidad de hacer uncionar esos modelos, de ponerlos aprueba. Concluimos entonces que, cuando las constataciones empricas se plantean comouna vericacin de aquello que se ha anticipado, se empieza a hacer observable la potenciade la Matemtica como herramienta que permite anticipar los resultados de experienciasno realizadas.

Circula en algunos medios una concepcin instrumentalista de la enseanza de laMatemtica que sostiene dos principios undamentales: 1) Su enseanza se justicapor la utilidad que tienen los saberes matemticos para resolver problemas cotidianosy 2) los problemas cotidianos son la nica va para que los nios encuentren el senti-

do de la Matemtica. Esta concepcin es, desde nuestra perspectiva, objeto de varioscuestionamientos.

Nos interesa que el nio comprenda que la Matemtica es una disciplina que oreceherramientas para resolver ciertos problemas de la realidad. Pero centrarse exclusiva-mente en la utilidad hace perder de vista a la Matemtica como producto cultural, comoprctica, como orma de pensamiento, como modo de argumentacin. Pensamos conBkouche que:

Hay una motivacin tanto o ms undamental que la utilidad: el desaoque plantea al alumno un problema en tanto tal. Lo que es importante parael alumno no es conocer la solucin, es ser capaz de encontrarla l mis-mo y de construirse as, a travs de su actividad matemtica, una imagende s positiva, valorizante, rente a la Matemtica. La recompensa del pro-blema resuelto no es la solucin del problema, es el xito de aquel que loha resuelto por sus propios medios, es la imagen que puede tener de smismo como alguien capaz de resolver problemas, de hacer matemtica,de aprender. (...).

Por otra parte, pensar en las aplicaciones como nica uente de sentido es renunciara que el nio comprenda que el conocimiento matemtico tambin se produce para dar

respuestas a problemas que surgen del interior de la disciplina y esta renuncia minimiza lasposibilidades de comprender la lgica interna de la Matemtica.


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Hay una tercera cuestin que es necesario sealar: el hecho de que el problema seplantee en un contexto extra matemtico no siempre aporta a la comprensin o a la reso-lucin del problema. Tomamos la opcin de privilegiar los contextos de aplicacin extramatemtica cuando estos orecen al alumno elementos para pensar, abordar, resolver o

validar los problemas que estn enrentando. Volvemos a citar a Bkouche:

Ahora bien, lo que da proundamente sentido en la actividad matemtica, noes que es curiosa, til, entretenida, sino que se enraza en la historia personaly social del sujeto. Toda situacin de aprendizaje, ms all de aspectos espe-ccamente didcticos, plantea dos preguntas ineludibles. Cul es el sentidode esta situacin para aquel que aprende? Cul es la imagen de s mismo, desus capacidades, de sus oportunidades de xito en esta situacin? En trmi-nos ms triviales: qu hago ac?, soy capaz?, vale la pena? Esta relacincon el saber pone en juego los deseos, el inconsciente, las normas sociales,

los modelos de reerencia, las identicaciones, las expectativas, los pareceressobre el porvenir, los desaos personales. (...) Es muy reductor invocar sim-plemente aqu palabras tan vagas como curiosidad o incluso motivacin.El problema no es suscitar la curiosidad, sino proponer a los jvenes las ac-tividades, las prcticas, los itinerarios de ormacin que toman sentido enuna red compleja de deseos, de expectativas, de normas interiorizadas y quecontribuyen a reestructurar esa red.

Los aspectos destacados en estos prraos estn considerados implcita o explci-tamente en la organizacin y distribucin de contenidos que orecemos como ejemplo. Endicha seleccin, se han considerado, de alguna manera, no solo los ttulos que constituyen

los objetos de enseanza, sino las marcas de las prcticas matemticas que asociadas aellos, se propicia desplegar en las aulas.


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sEguNDo CIClo

El recorrido de los alumnos a lo largo del Segundo Ciclo de la escolaridad involucra al-gunas cuestiones undamentales. Por un lado, es el tiempo de aanzar y proundizar losconocimientos elaborados en el Primer Ciclo. En este sentido, aparecern desaos mscomplejos con relacin al tamao y comportamiento de los nmeros naturales. El docente

podr propiciar la resolucin de problemas que inviten a elaborar nuevos sentidos de lascuatro operaciones bsicas, as como se podr avanzar en el estudio de las guras. Es de-cir, los objetos matemticos seguirn siendo herramientas para enrentar variadas clasesde problemas y a la vez sern visitados tambin para estudiar, con ms proundidad, suuncionamiento interno.

Por el otro, este Segundo Ciclo es un tiempo propicio para acompaar a los alum-nos en un reconocimiento ms ecundo de los modos de hacer y de producir que tienela Matemtica. En este sentido, proundizar en las propiedades de las cuatro operacio-nes y enrentarse a los desaos que orece el terreno de la divisibilidad abren un nuevouniverso: poder saber un resultado sin hacer la cuenta, poder anticipar si ser ciertoo no una igualdad sin usar algoritmos son nuevas marcas de la actividad matemtica.Es un momento en el cual se puede avanzar en el trabajo en torno a la posibilidad dedecidir autnomamente la verdad o alsedad de una armacin, la validez o no de unresultado, de una propiedad a partir de la elaboracin de argumentos y relaciones ba-sados en los conocimientos matemticos. La entrada en un tipo de racionalidad pro-pia de esta disciplina es central en este ciclo. Y se jugar en cada uno de los grandesejes de contenidos.

Pero el ingreso de los alumnos en el Segundo Ciclo les depara tambin algunas rup-turas con lo aprendido en el Primer Ciclo. Ser parte de la tarea docente enrentar a los

alumnos a un nuevo campo de nmeros: los nmeros racionales, tanto en su expresinraccionaria como en su expresin decimal. Por un lado, debern explorar diversos tipos deproblemas para los cuales las racciones son un medio de solucin; por ejemplo, problemasde reparto y particin, problemas de medida, etctera. Pero tambin del mismo modoque para los nmeros naturales debern enrentarse a desentraar algunas cuestiones desu uncionamiento, tales como la comparacin, el orden, el clculo, las dierentes mane-ras de representar una misma cantidad, etctera. Respecto de las expresiones decimales,tambin se propondr una entrada a travs de su uso social el dinero y la medida paraluego adentrarse en cuestiones internas ligadas al valor posicional, al orden, al clculo,a la bsqueda de un nmero entre dos dados, a la equivalencia con innitas expresionesraccionarias, etctera.

MATEMTICA EN El sEguNDo CIClo


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Y el estudio de este nuevo campo de nmeros provocar en los alumnos ciertas con-tradicciones en relacin con el trabajo en el campo de los nmeros naturales. Por ejemplo,algunas relaciones que eran vlidas para los nmeros naturales (un nmero, si es mslargo que otro, seguro es mayor, entre 2 y 3 no hay ningn nmero, si se multiplica,el nmero se agranda) dejan de ser ciertas cuando aparecen los nmeros racionales (yaque un nmero puede ser ms largo que otro y ser menor 1,9999 y 2, entre 2 y 3 habrinnitos nmeros y si se multiplica por 0,5 el nmero se achicar). Acompaar a losalumnos en identicar estos cortes los ayudar a posicionarse de mejor manera a lahora de orecerles una propuesta de trabajo que ponga en escena estas rupturas.

los EjEs CENTrAlEs DEl TrAbAjo MATEMTICo EN El sEguNDo CIClo

Respecto de los nmeros naturales, los alumnos han estudiado en el Primer Ciclo cmo

leer, escribir, ordenar nmeros hasta aproximadamente 10.000 o 15.000. En el SegundoCiclo, la comprensin de las reglas que subyacen a nuestro itema de nmeracin y lainormacin sobre nmeros redondos permitir que los alumnos puedan leer o escri-bir cualquier nmero natural. Del mismo modo, el incipiente anlisis delvalor poicionalque han abordado en el Primer Ciclo, descomponiendo y componiendo con 10, 100 y1.000 les permitir, en este ciclo, comprender la naturaleza ms prounda de nuestrosistema: el agrupamiento en base 10 y la posicionalidad de tal manera de aprender aver en la escritura del nmero la inormacin que porta y la potencia para clculos desuma, resta, multiplicacin y divisin por la unidad seguida de ceros. Paralelamente, elestudio de diversos sistemas de numeracin antiguos tiene el propsito de avorecer lacomparacin entre sistemas para enriquecer y complejizar la mirada respecto del que se

usa actualmente.

En el terreno de las operacione con nmero natrale, al mismo tiempo que se propo-ne recuperar la diversidad de clculos y problemas abordados en el Primer Ciclo, el docentepodr orecer dierentes actividades que permitan a los alumnos construir nuevos sentidos,especialmente para la multiplicacin y la divisin. Harn su aparicin nuevos problemasde divisin, tales como los que involucran la relacin entre dividendo, divisor, cociente yresto, o los problemas en los que se repite una cantidad y es necesario determinar cuntas

veces. Adems de una ampliacin de la clase de problemas, el estudio de estas operacionespodr abarcar tambin aspectos ms internos a su uncionamiento, como por ejemplo,la exploracin y ormulacin de las propiedades. Un nuevo aspecto que podr aparecer enlas aulas (asociado a la multiplicacin y a la divisin), sern las ideas de mltiplo, diviorey diviibilidad. Estas cuestiones se podrn tratar a partir de una diversidad de problemas:algunos con enunciados verbales y otros estrictamente numricos que permitirn avanzarsobre ciertas prcticas de argumentacin y demostracin.

El trabajo geomtrico en el Segundo Ciclo podr permitir a los alumnos prondizar en eletdio de la fra y de lo cerpo eomtrico. A travs de problemas de construccin yde determinacin de medidas sin medir y usando las propiedades estudiadas, es posible avo-recer la idea de que los conocimientos son un medio para poder establecer armaciones sobrelos objetos con los que tratan sin necesidad de apelar a la constatacin emprica. En el Primer

Ciclo, los nios validan sus producciones recurriendo a ejemplos, a constataciones empricas y aargumentos muy ligados al contexto en que produjeron sus resultados. En el Segundo Ciclo,


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resulta undamental orecer oportunidades para que los alumnos comiencen a elaborar ar-gumentos que validen sus armaciones, apoyados en propiedades de las guras. La validacinemprica ser entonces insuciente, por ejemplo, no es posible demostrar que la suma de losngulos interiores del tringulo mide 180 por medir y sumar sus ngulos, ya que si se miden,no dar justo 180. Ser necesario elaborar otras ormas de justicacin.

Aparecen tambin nuevos objetos que, si bien ya han sido visitados de manera ms in-tuitiva, en el Segundo Ciclo se estudiarn en orma ms sistemtica. Un ejemplo de ello es la proporcionalidad. El punto de partida para su estudio nuevamente ser el uso que los nios yaconocen de esta relacin: resolver problemas en los que se requiere multiplicar o dividir en tor-no a series proporcionales y poner en juego las ideas de dobles, mitades, triples, etctera. Peroen este ciclo, su estudio implicar un anlisis ms proundo de las propiedades de la propor-cionalidad, de la constante, del porcentaje y tambin de los lmites de esta nocin para resolverproblemas. Este contenido articula cuestiones ligadas a los nmeros naturales y racionales, sus

operaciones y conocimientos ligados al campo de la medida.

Del mismo modo que para otros objetos, el etdio de la medida se podr iniciar apartir del uso social, de la exploracin de algunas unidades de medida y de instrumentosusados uera de la escuela que han circulado en el Primer Ciclo. En este ciclo, se podravanzar hacia un anlisis ms riguroso de los mltiplos y submltiplos de las unidades demedida de longitud, capacidad y peso. Por otro lado, el estudio del permetro y el rea pue-de abordarse desde dos perspectivas. Una de ellas dirigida a la dierenciacin de ambasnociones y a sus aspectos ms cualitativos, y la otra a nes del Segundo Ciclo asociadaa la determinacin y al clculo de reas y permetros y al establecimiento de las unidadesconvencionales. El tratamiento del sistema de medidas ser analizado a la luz de sus vincu-

laciones con el sistema de numeracin decimal, la multiplicacin y la divisin por la unidadseguida de ceros, y las relaciones de proporcionalidad.

Una cuestin central en el Segundo Ciclo es la necesidad de involucrar a los alumnos en elproceso de estudio de esta disciplina. Se espera poder generar ms espacios que permitan a losalumnos reorganizar su trabajo, volver sobre lo realizado, clasicar y reordenar los problemas,establecer relaciones entre lo viejo y lo nuevo, entre dierentes conocimientos puestos en juego.Los alumnos tambin tienen que aprender, en la escuela, a estudiar autnomamente. Estoimplicar que resuelvan problemas similares a los realizados en el aula, que tengan guas deestudio, problemas para resolver y entregar en un tiempo determinado, que puedan registraravances y dudas, que puedan identicar los problemas que ms les han costado y aquellos enlos que ms han avanzado. El estudio requiere de un trabajo comprometido y sistemtico delos alumnos que deber ser enseado, sostenido y propiciado por parte de los docentes. Ense-ar a estudiar Matemtica es parte de la responsabilidad de la escuela.

Qu sE EspErA logrAr CoN lA ENsEANzA EN EsTos Aos?

Si la escuela ha generado ciertas condiciones para la produccin, diusin y reorganizacin delos conocimientos matemticos, los alumnos al nalizar el Segundo Ciclo deberan poder:

Hacerse responsables de sus producciones y de su proceso de estudio.

Elaborar estrategias personales para resolver problemas y modos de comunicar pro-cedimientos y resultados.


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Asumir progresivamente la responsabilidad de validar sus producciones e ideas.Valorar el intercambio de ideas, el debate y la conrontacin de posiciones respectode una supuesta verdad.Leer, escribir y comparar nmeros naturales sin lmite.Resolver problemas que exigen descomponer aditiva y multiplicativamente los nme-ros a partir de considerar el valor posicional.Comparar caractersticas de diversos sistemas de numeracin.Resolver problemas que involucran distintos sentidos de las operaciones de suma,resta, multiplicacin y divisin utilizando, comunicando y comparando diversas estra-tegias y clculos posibles.Seleccionar y usar variadas estrategias de clculo (mental, algortmico, aproximadoy con calculadora) para sumar, restar, multiplicar y dividir de acuerdo con la situaciny con los nmeros involucrados vericando con una estrategia los resultados obtenidospor medio de otra.

Recurrir a las ideas de mltiplos, divisores y a los criterios de divisibilidad para resolverdierentes clases de problemas, analizar relaciones entre clculos y anticipar resultados.Resolver problemas que involucran distintos sentidos de las racciones utilizando,comunicando y comparando estrategias posibles.Resolver problemas que involucran considerar caractersticas del uncionamiento delas racciones y de las expresiones decimales y las relaciones entre ambas.Construir variados recursos de clculo mental exacto y aproximado que permitansumar, restar, multiplicar y dividir expresiones decimales entre s y con nmerosnaturales y sumar, restar y multiplicar expresiones raccionarias entre s y con nme-ros naturales.Resolver problemas que involucran relaciones de proporcionalidad con nmeros na-

turales y racionales.Comparar y calcular porcentajes apelando a las relaciones con los nmeros racionalesy las proporciones.Resolver problemas que exigen poner en juego propiedades del crculo y la circune-rencia, de los tringulos y de los cuadrilteros para copiarlos, construirlos, describir-los o anticipar medidas, elaborar conjeturas y debatir acerca de la validez o no dedierentes tipos de enunciados.Resolver problemas que exigen poner en juego propiedades de cubos, prismas y pi-rmides y permitan elaborar conjeturas y debatir acerca de la validez o no de dieren-tes tipos de enunciados.Resolver problemas que involucran el uso del Sistema Mtrico Legal (SIMELA) paralongitud, capacidad y peso estableciendo relaciones entre racciones, expresiones de-cimales, unidades de medida y nociones de proporcionalidad.Resolver problemas que implican estimar medidas y determinar la unidad de medidams conveniente.Resolver problemas que involucran el anlisis de las variaciones en permetros y reasy el estudio de algunas unidades y rmulas convencionales para medir reas de trin-gulos y cuadrilteros.


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Mes Contenido

Marzo

Nmeracin y operacione Situaciones problemticas que remiten al repaso de las cuatro operaciones elementales apelando a diferentes recursosde clculo (mental, estimativo, algortmico).

Situaciones problemticas relacionadas con las caractersticas del sistema de numeracin, en el contexto del uso deldinero.

Abril

Fraccione Situaciones problemticas de reparto en partes iguales. Situaciones problemticas de medicin en las que la unidad no entra una cantidad entera de veces en el objeto a medir yaparece la necesidad de raccionar la unidad. Situaciones de reparto que permiten denir , , y , tal como, la cantidad de veces que entra en el entero. Aproximacin a la nocin de equivalencia en situaciones de reparto y de medicin. Determinacin de diferentes medidas en relacin con la unidad.

Mayo

Circnerencia y crclo Reproduccin de guras con regla y comps. Construccin de guras que contienen circunferencias. Identicacin de elementos de la circunferencia (radio, dimetro,

centro, etc.).

Operacione con nmero natrale Situaciones problemticas que demandan el uso de las operaciones identicando diferentes sentidos y explicitando losrecursos de clculo utilizados (mental, estimativo, algortmico).

Junio

Operacione con raccione Reconstruccin de la unidad partiendo de , y . Comparacin de fracciones. Ubicacin de fracciones en la recta numrica. Clculo mental: Cunto le falta a para llegar al entero? Cunto le falta a para llegar a 2 enteros? Clculo de dobles, triples y cudruplos de fracciones (por medio de sumas de fracciones del mismo denominador).

Julio

geometra

Reproduccin de guras con regla, escuadra y comps. Construccin de cuadrados y rectngulos en hoja lisa usando comps y escuadra no graduada. Idea de ngulo recto a partirdel trazado con escuadra.

Agosto

Nmero racionale y expreione decimale Equivalencia entre monedas y billetes. Escritura de precios o medidas usando la coma decimal. Reconstruccin de una cantidad de dinero usando monedas de una determinada clase.

Setiembre

nlo Reproduccin de poligonales abiertas con modelo a la vista y sin l. Reproduccin de polgonos. Necesidad de medir para transmitir informacin. Uso del transportador. Medicin y construccin de ngulos usando el transportador. Medicin y construccin de ngulos usando el comps. Clasicacin de ngulos en rectos, agudos y obtusos.

Octubre

Operacione con nmero natrale Problemas de divisin y multiplicacin que pongan en relacin ambas operaciones. Problemas de divisin e introduccin al anlisis de la relacin entre dividendo, divisor, cociente y resto. Nocin de mltiplo ydivisor.

Propiedad trianlar Condiciones que permiten construir un tringulo a partir de tres lados. Construccin de tringulos a partir de dos lados dados. Construccin de tringulos a partir de los ngulos.

NoviembreDiciembre

Medida Resolucin de situaciones problemticas que implican la medicin de longitudes usando metros y centmetros. Medicin de las propias alturas y su expresin equivalente en cm y m.

Resolucin de problemas que implican determinar pesos y capacidades. Resolucin de problemas que implican comparar pesos y capacidades. Resolucin de situaciones en las cuales deben poner en juego las equivalencias entre m y cm, l y ml, g y kg usando la relacinde proporcionalidad en la multiplicacin y divisin por la unidad seguida de ceros.

EjEMplo DE DIsTrIbuCIN ANuAl DE CoNTENIDos I

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4. grADoMATEMTICA


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Mes Contenidos

Numeracin y operaciones Nmeros racionales Geometra y medida

Abril

Resolucin de problemas que exi-jan el anlisis del valor posicional enlos nmeros naturales a partir de la

explicitacin de las relaciones aditi-vas y multiplicativas que subyacen aun nmero en dierentes contextoshasta llegar a situaciones descontex-tualizadas. Ampliacin del dominio de la escri-tura, la lectura y el orden de nmerossin lmite.

Mayo

Resolucin de problemas de su-mas, restas, multiplicaciones y di-visiones que implican dierentessentidos de estas operaciones y queinvolucran varias operaciones y die-rentes modos de presentacin de lainormacin. Investigacin de las relaciones nu-

mricas y propiedades en la tablapitagrica. Memorizacin posteriorde resultados.

Junio

Resolucin de clculos mentalesde sumas, restas, multiplicacionesy divisiones con nmeros redondosanalizando diversas composicionesy descomposiciones posibles de losnmeros para operar con ellos. Algoritmo de la divisin y de lamultiplicacin por una y dos ciras apartir de algoritmos diversos con es-crituras de operaciones intermediasy apelando a las relaciones estableci-das en la tabla pitagrica.

Julio

Utilizacin de la calculadora para

resolver situaciones problemticas,controlar clculos realizados porotros procedimientos, vericar rela-ciones anticipadas entre nmeros yoperaciones.

Reproduccin de guras que contienen circunfe-

rencias o arcos de circunerencias con regla y com-ps. Resolucin de situaciones que implican concebirla circunerencia como conjunto de puntos queequidistan de un centro. Resolucin de situaciones que implican concebir el cr-culo como conjunto de puntos que estn a una distan-cia del centro menor o igual que una distancia dada.

Agosto

Se

tiembre

Resolucin de problemas que apelan al funcionamiento delas racciones para la medida. A partir de las situaciones de reparto y de medicin, deni-cin de las cantidades , , , como la parte tal que 2, 3, 4partes iguales a esa equivalen a la unidad. Resolucin de problemas que permitan establecer primerasequivalencias entre entero, medios, cuartos y octavos. Delmismo modo, establecer equivalencias entre entero, tercios y

sextos. Y entre entero, quintos y dcimos. Comparacin de fracciones en casos sencillos y apelando adierentes argumentos. Resolucin de problemas que exijan sumar y restar fracciones(enteros, medios, cuartos y octavos) utilizando dierentes pro-cedimientos y descomposiciones (sin algoritmo convencional).

Resolucin de problemas que involucran medidasde longitud, capacidad y peso usando unidades re-cuentes (Peso: kg, g, mg; Capacidad: l, ml; Longi-tud: km, m, dm, cm, mm). Resolucin de problemas que exijan establecer pormedio de clculos mentales algunas sencillas equi-valencias usadas socialmente. Estimacin de medidas y determinacin de la uni-

dad de medida ms conveniente. Resolucin de clculos mentales utilizando fraccio-nes en relacin con unidades de medida.

Octubre

Elaboracin de recursos de clculo mental para encontrarla raccin de un entero (mitad, cuarto y octavo de nmerosredondos). Resolucin de problemas que permitan determinar mitades,cuartos y dobles de racciones sencillas. Resolucin de situaciones de reparto en partes iguales en lasque tiene sentido repartir el resto entero.

Resolucin de problemas que involucran el conceptoy la medida de ngulos. Construccin de tringulos usando regla, comps,transportador y escuadra con el modelo presente oa partir de datos dados.

Noviembre

Diciembre

Equivalencias entre billetes y monedas de uso comn. Escri-tura de precios o medidas de objetos de uso diario utilizando

la coma decimal. Reconstruccin de una cantidad de dinero usando monedasde determinada clase. Equivalencias entre fracciones ( , y ) y expresiones deci-males (0,50 ; 0,25 y 0,75). Resolucin de situaciones de adicin y sustraccin y de mul-tiplicacin por un nmero natural que hagan reerencia a pre-cios expresados en pesos.

EjEMplo DE DIsTrIbuCIN ANuAl DE CoNTENIDos II

4. grADoMATEMTICA

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CuArTo grADo

EjEMplo DE plANIfICACIN MENsuAlMe de ma: oeacine

fuNDAMENTACIN

Se trata desde el inicio de proponer situaciones que permitan a los alumnos recuperar losconocimientos que ueron objeto de trabajo en aos anteriores, vinculados a los dierentessentidos de las cuatro operaciones, as como, propiciar el uso de dierentes recursos declculo: mental, algortmico, con calculadora, etctera.

A su vez, los procedimientos de resolucin que elaboren los alumnos servirn comodiagnstico y permitirn ajustar la planicacin.

CoNTENIDos

Situaciones problemticas que remitan al repaso de las cuatro operaciones elementa-les, con el uso del algoritmo correspondiente y sin l (primera y segunda semana).Situaciones problemticas relacionadas a las caractersticas del sistema de numera-cin en el contexto del uso del dinero (tercera y cuarta semana).

INDICADorEs DE AvANCEs

Se espera que, en este perodo, se generen las condiciones para que al nalizar el mes losalumnos hayan recuperado o proundizado sus capacidades para:

Resolver problemas que involucren distintos sentidos de las operaciones de suma,resta, multiplicacin y divisin utilizando, comunicando y comparando diversas es-trategias y clculos posibles.Interpretar la inormacin que porta cada problema.Establecer relaciones entre los datos en uncin de lo que se propone resolver.Seleccionar y usar variadas estrategias de clculo para sumar, restar, multiplicar ydividir de acuerdo con la situacin y con los nmeros involucrados.Elaborar estrategias personales para la resolucin de problemas y modos de comuni-car procedimientos y resultados.Asumir progresivamente la responsabilidad de validar sus producciones e ideas.Valorar el intercambio de ideas, el debate y la conrontacin de posiciones respectode una supuesta verdad.

4. grADo


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EsTrATEgIAs DoCENTEs

Identicar los saberes previos y su relacin con los problemas a resolver por parte delos alumnos.Proponer la resolucin de distintas situaciones relacionadas con estos contenidosque exijan a los nios enrentarse a un cierto grado de dicultad para que puedanponer en juego un trabajo matemtico.Promover la explicitacin de las ideas que los chicos van elaborando en sus actividades.

EvAluACIN

Oral, de proceso.Correccin de las actividades realizadas en el aula.Escrita, en distintos momentos del desarrollo de esta propuesta.


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EjEMplo DE plANIfICACIN sEMANAlsenda emana de ma: Cicneencia cc

4. grADoMATEMTICA

CoNTENIDosConstruccin de guras que contienen circunerencias. Identicacin de elementos de lacircunerencia (radio, dimetro, centro, etc.).

En la primera semana, se trabajaron problemas que involucraban el copiado de dibu-jos apelando a propiedades de guras que permitieron a los alumnos ganar conanza enel uso del comps y la regla.

En esta segunda semana, se les propondrn a los alumnos problemas que vuelven ademandar copiar y construir guras, pero en este caso, las guras seleccionadas incluyen

circunerencias. Estos problemas permitirn que los alumnos comiencen a identicar al-gunas caractersticas de estas guras: dnde se pincha el comps, cunto hay que abrirlo,es decir, nociones asociadas a las ideas de centro y radio. Asimismo, se avanzar sobre elreconocimiento del dimetro.

Se trata de concluir que una circunerencia es un conjunto de puntos que se encuen-tran todos a la misma distancia de un punto llamado centro.

ClAsE 1 (md de 80 mint)Se propone un problema para ser trabajado de manera individual.

pemaCopi las siguientes guras en una hoja lisa usando los instrumentos que necesites.

1. gura 2. gura

peta en cmnLuego de que los alumnos terminaron de trabajar, el docente podr propiciar un deba-

te en torno a preguntas como las siguientes: Cmo hicieron para copiar la gura? Dndepincharon el comps para copiar cada circunerencia? Usaron la regla? Para qu?

Luego del debate, se podr anotar en el pizarrn qu hay que tener en cuenta paracopiar alguna gura. Es esperable que aparezca:

Dnde pinchar.Cunto abrir el comps.Necesidad o no de usar la regla.

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ClAsE 2 (md de 80 mint)En este caso, se propone una actividad en ormato de juego.

pemaSe divide la clase en una cantidad par de grupos. Algunos sern los grupos A y otroslos grupos B. Cada grupo A juega con un grupo B.

Los grupos A reciben la siguiente gura, sin que la puedan ver los del grupo B:

Los grupos B reciben la siguiente gura, sin que la puedan ver los del grupo A:

Cada grupo debe escribir un mensaje, sin dibujos, de manera que el equipo con el quejuega, cuando reciba el mensaje, pueda reproducir el dibujo. Puede usar todos los instru-mentos que necesite.

Cada equipo entrega su mensaje al grupo con el que juega y el receptor deber cons-truir la gura que dice el mensaje. Un equipo A entrega su mensaje a un equipo B, y eseequipo B entrega su mensaje al equipo A. Si hay algo que no entienden, podrn hacercomo mucho dos preguntas al equipo que les dio el mensaje.

Terminada la construccin, se compara original y copia.

peta en cmnPosteriormente, se podr discutir con los alumnos cuestiones relacionadas con:

Los errores en los mensajes o en la interpretacin. Cmo mejorar los mensajes paraque se entiendan?La denicin de circunerencia, radio y dimetro.

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ClAsE 3 4 (n md de 80 mint t md de 40 mint)Se proponen nuevos problemas para intentar dierenciar el crculo de la circunerencia.

Trabajo individual.

pema 1Un monumento histrico est rodeado por una cerca circular que, en este esquema

visto desde arriba, est a 4 cm.

Marc en el esquema la zona donde puede estar cada uno de los siguientes personajes:a)Julin, apoyado en la cerca.b) Fito, su perro, a 1 cm del monumento.c) Laura, sacando una oto a 5 cm del monumento.d) Martina, entre Laura y la cerca.

peta en cmnSe busca, en este caso, que los alumnos puedan:

Identicar errores y sus motivos.Analizar la idea de regin subyacente al tem d.

Interpretar la denicin de crculo y la dierencia con la circunerencia.

pema 2Este segmento representa el dimetro de una circunerencia. Dibujala y escrib en tu

carpeta cmo hiciste y qu instrumentos usaste.


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pema 3Este segmento representa el radio de una circunerencia. Dibujala y escrib en tu carpe-

ta cmo hiciste y qu instrumentos usaste.

pema 4

En esta gura, las circunerencias tienen 4 cm de dimetro.

a) Continu la secuencia sobre el segmento y explic dnde se pincha cada vez ycunto hay que abrir el comps.b) Indic un punto C que se encuentre a la misma distancia de A y de B.c) Indic un punto D que se encuentre a 1 cm de A y a menos de 1 cm de B y luego,compar con tus compaeros. Todos hicieron lo mismo?

peta en cmnSe omentar la elaboracin de una sntesis colectiva de todo lo realizado.

A B


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4. grADo

EjEMplo DE EvAluACINAl fINAlIzAr uNA uNIDAD

Inici de taa cn accineLa siguiente coleccin de situaciones es un ejemplo de una evaluacin posible de ser propuesta a losalumnos, luego de un trabajo desarrollado en relacin con el inicio del trabajo con racciones.

Se incluyen, luego de cada problema, orientaciones a modo de criterios de correccinen uncin de lo que propicia cada problema y la expectativa de trabajo de los alumnos.

pema 1Seis amigos quieren repartirse 15 alajores de manera que todos coman lo mismo y nosobre nada. Cunto le tocar a cada uno?

Citei de ceccin

Se considerar correcta cualquier respuesta que indique que cada amigo comer 2alajores enteros y una mitad:

2 y 2 y medio 2 y 2,5

Se considerar parcialmentecorrecta si el alumno intenta realizar una divisin, parti-cin de 15 entre 6 o algn tipo de reparto e incurre en error de clculo. O bien si in-terpreta que le corresponden 2 alajores a cada amigo, reconoce que sobran alajores,pero no puede dar cuenta del reparto de los que sobran.

Se considerar incorrecta si el alumno realiza cualquier tipo equivocado de reparto,por ejemplo, 6 entre 15 o sostiene que a cada amigo le tocarn 2 alajores, pero nomenciona que sobran alajores.

pema 2Marcela reparti chocolates, en partes iguales, entre algunos chicos y no le qued nada. Cadauno recibi 3 chocolates y . Cuntos chocolates tena y entre cuntos chicos los reparti?

Citei de ceccin

Se considerar correcto cualquier procedimiento que indique que haba 25 chocolatespara repartir entre 8 amigos o algn reparto equivalente, por ejemplo, 50 entre 16.

Se considerar parcialmentecorrecto cualquier procedimiento que despliegue el alumnoque evidencie el reconocimiento del reparto entre 8, aunque no responda correctamentela cantidad de chocolates. Por ejemplo, si dibuja 8 chicos y reconoce 3 alajores paracada chico y responde 24, y se olvida de que 1 se reparte tambin entre 8.

Se considerar incorrecto el procedimiento si el alumno intenta repartir 3 entre 8 u 8entre 3 o sostiene que es imposible saberlo.

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pema 3Este segmento es de un entero. Dibuj el entero.

Citei de ceccin

Se considerar como respuesta correcta cualquier dibujo en el que se evidencie que elalumno replic cuatro veces ms el segmento original, aunque el dibujo no preserveuna lnea recta. Por ejemplo:

O bien:

Se considerar comorespuesta incorrectacualquier dibujo en el que no se repliquecuatro veces ms la longitud del segmento original.

pema 4Qu raccin del entero representa la parte sombreada?

Citei de ceccin

Se considerar como respuesta correcta cualquier procedimiento que le permita alalumno identicar que se trata de un cuarto.

Se considerar parcialmentecorrecto cualquier procedimiento que indique el recono-cimiento de que la parte sombreada es la mitad de la mitad, pero que no explicita

que se trata de un cuarto.

Ser considerada incorrecta cualquier otra respuesta.

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A continuacin se proponen una seleccin de problemas que podran servir como ejemplos para laelaboracin de una prueba de n de 4. grado. Puede ser utilizada total o parcialmente, o imple-mentada en ms de un da, dada su extensin.

sIsTEMA DE NuMErACIN

1. Decid cul de estos pueblos tiene ms habitantes.

2. Esta es una grilla que va de 100 en 100 desde el 60.000 hasta el 70.000.

a) Hay un nmero mal ubicado, cul es?b) Escrib los nmeros que van en los casilleros sombreados.c) Cmo se llaman los nmeros de los casilleros que completaste debajo de 63.000?d) Ubic los siguientes nmeros:

Sesenta y cinco mil doscientos.Sesenta y nueve mil ochocientos.

3. En un pas, existen solamente billetes de $10.000, de $1.000, de $100, de $10 y monedas de $1.Decid cuntos billetes de cada uno se deben usar para pagar $13.478.

EjEMplo DE problEMAs pArAEvAluACIN DE fIN DE Ao

Pueblo A 9.090 habitantes

Pueblo B 9.099 habitantes

Pueblo C 9.909 habitantes

Pueblo D 9.900 habitantes

60.000 60.900

61.000 61.900

62.900

63.000 63.40064.400

65.400

69.900

70.000

4. grADo

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4. En la siguiente recta, se representan nmeros del 0 al 10.000, de 1.000 en 1.000.

a) Escrib los nombres de los nmeros sealados con una fecha.b) Ubic dnde iran, aproximadamente, los nmeros 1.500, 2.500 y 6.500.c) Ubic dnde iran, aproximadamente, los nmeros 5.999 y 9.001.

ClCulos y opErACIoNEs

1. Leonardo quiere llegar a la cumbre del Aconcagua, que mide 6.962 metros de altura. Parti delPuente del Inca que se encuentra a 2.700 metros de altura y en dos das lleg a la Plaza de Mulasque est a 4.200 m.a) Cuntos metros subi en esos dos das?b) Cuntos metros le altan subir para llegar a la cumbre de la montaa?

2. En una uente para horno, caben 9 las de 8 empanadas cada una. Cuntas empanadas salensi se colocan 4 uentes como esa, llenas?

3. Un kiosco vende tarjetas para telono de $ 10, $ 20 y de $ 50. En la tabla dice cuntas vendieste mes. Calcul cunto dinero recaud con cada tipo de tarjeta.

4. En cada espacio vaco, coloc la operacin que debe realizarse para obtener desde el nmeroinicial, el siguiente.

5. Resolv mentalmente los siguientes clculos apoyndote en otros que sepas de memoria.

a) 60 x 60 = ____________ c) 8.000 x 2 = ____________

b) 1.000 : 200 = ____________ d) 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = ____________

NMEros rACIoNAlEs

1. Pablo, Juan, Martn y Ale quieren repartirse en partes iguales 7 alajores sin que sobre nada.Cunto le tocar a cada uno?

2. Para hacer el mate cocido en una escuela, se necesitan 4 y kg de yerba. Cuntos paquetesde kg harn alta para llegar a esa cantidad?

Valor de la tarjeta Vendidas en el mes Total recaudado

$ 10 56

$ 20 25

$ 50 12

121

2

0

cero mil tres mil seis mil

1.000 2.000 4.000 5.000 8.000 10.000

32 320 160 16 4

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3. En cada uno de estos cuadrados, pint , pero de maneras dierentes.

4. Qu raccin de este rectngulo est sombreada?

5. En el kiosco de Mario, cada chicle relleno cuesta 25 centavos. Cuntos se pueden comprar con $2?

6. Lisandro quiere comprar 6 paquetes de guritas. Si cada uno cuesta $1,75, cunto dinero vaa gastar?

7. Silvina va todos los das a su trabajo. Gasta en cada viaje $ 0,75. Si le quedan $3,25, para cun-tos viajes le alcanza? Sobra dinero que no alcance para otro viaje?

gEoMETrA

1. Escrib un mensaje que permita a un compaero hacer un dibujo igual al que se presenta acontinuacin, sin mirarlo. Pods pedirle que use todos los instrumentos de geometra que creasnecesarios.

2. Decid si los siguientes ngulos son iguales o no.

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3. A partir del punto P dibujado ms abajo:a) Pint con rojo todos los puntos que se encuentren a 2 cm de P.b) Pint con verde todos los puntos que se encuentren a 3 cm de P.c) Pint con azul los puntos que se encuentren a ms de 2 cm de P y a menos de 3.

. P

4. Laura dice que si la suma de dos ngulos de un tringulo es igual a 90, ese tringulo es rectn-gulo. Ests de acuerdo? Por qu?

5. Redact las instrucciones para construir un rectngulo y usalas para construirlo.

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bIblIogrAfA y lINks rECoMENDADos

A continuacin, presentamos una coleccin de materiales editados en libros o accesible en pginasde Internet que podran resultar interesantes para docentes y directivos .

I. AspECTos gENErAlEs sobrE lA ENsEANzA DE lA MATEMTICABrousseau, G. (1994). Los dierentes roles de los maestros. En Parra, C. y Saiz, I. (comps.) Di-dctica de matemticas. Aportes y refexiones. Buenos Aires: Paids.

Chevallard, Y; Boch, M.; Gascn, J. (1997). Estudiar Matemtica-El eslabn pedido entre la enseanza yel aprendizaje. Barcelona. Editorial Horsori.

Chemello, G. (1997). La Matemtica y su didctica. Nuevos y antiguos debates. En Iaies, G.Didcticas especiales. Estado del debate. Buenos Aires: Aique.

Napp, C.; Novembre, A.; Sadovsky, P.; Sessa C. (2000). La ormacin de los alumnos como estu-diantes. Estudiar Matemtica - Serie Apoyo a los alumnos de primer ao en los inicios del Minis-terio de Educacin. Direccin de Currcula. G. C. B. A. [en lnea] http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/media.php?menu_id=20709#matematica.

Panizza, M. (2002). Refexiones generales acerca de la enseanza de la Matemtica. En Panizza(comp.) Ensear matemtica en el Nivel Inicial y primer ciclo de EGB: Anlisis y Propuestas. Buenos Aires:Paids.

Quaranta, M. E. ; Wolman, S. (2002). Discusiones en las clases de matemticas: qu se discute?,para qu? y cmo?. En Panizza (comp.) Ensear matemtica en el Nivel Inicial y primer ciclo deEGB: Anlisis y Propuestas. Buenos Aires: Paids.

Sadovsky, P. (2005). Ensear Matemtica hoy. Buenos Aires: Libros del Zorzal.

II. pArA El TrATAMIENTo DE los NMEros NATurAlEs y sus opErACIoNEs

Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Ministerio de Educacin. Direccin de Currcula (1992).Los nios, los maestros y los nmeros. Desarrollo curricular. Matemtica para 1.o y 2.o grado[en lnea] http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/areas/matemat/lnlmyln.pd.

Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Secretara de Educacin. Direccin de Currcula (1997).Documento de actualizacin curricular N. 4. Matemtica. Direccin de Currcula. Gobierno dela Ciudad de Buenos Aires [en lnea] http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/matematica.php.

Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Ministerio de Educacin. Direccin de Currcula (2006).Clculo mental con nmeros naturales. Apuntes para la enseanza [en lnea] http://www.bue-nosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/pluri_mate.php?menu_id=20709.

bIblIogrAfA

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CuADErNIllo DE

4. grADoACTIvIDADEs


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Actividades - Pgina 1

opErACIoNEs1.En Fabricaja se producen 356 cajas por semana. Es cierto que se abrican ms de 1.000 ca-

jas por mes?

2. En este mes, se vendieron 1.580 cajas pequeas y 3.076 cajas grandes. Si el mes pasado se ven-dieron entre los dos ormatos 4.721 cajas, se vendieron ms o menos que el mes pasado? Cun-tas ms o menos?3. La mitad de las 4.276 cajas medianas que hay en depsito son de color; y el resto, marro-nes. Cuntas cajas medianas marrones hay en el depsito?

4. Durante 2009, se abricaron 32.167 cajas y en 2008, justo el doble. Cuntas cajas se abrica-ron en 2008? Marc con una cruz el resultado correcto.

62.167 64.334 32.334

5. Para guardarlas desarmadas, las cajas chicas deben ser empaquetadas en grupos de 8. Si hay 2.048 ca-jas chicas, cuntos paquetes se podrn armar?6.Las cajas medianas, en cambio, se guardan de a 6 por paquete. Si al nal del da se arma-ron 167 paquetes y no sobr ninguna caja, cuntas haba que empaquetar?

7. Las cajas grandes se empaquetan de a 3. Si hay 14.358 cajas para empaquetar, cuntos pa-quetes quedarn?8.El fete le cobra a Fabricaja $100 por viaje dentro del conurbano y $200 por viaje si es a otras lo-calidades de la provincia. Este mes, se hicieron 37 viajes al conurbano y 40 a otras localidades de la pro-vincia. Cunto se gast en fetes?9. A Paula le encargaron que prepare para un cliente 6 paquetes de cajas chicas, 12 de media-nas y 20 paquetes de cajas grandes. Cuntas cajas de cada tamao debe traer Paula del depsito?10. Un cliente encarg 6.500 cajas chicas. Cuntos paquetes se debern armar? Cuntas ca-

jas quedarn sueltas?11.En cada caja mediana, se pueden guardar 3 cajas chicas. Si hay 16 paquetes de cajas media-nas, cuntas cajas chicas se pueden guardar?12.Para resolver el problema 11, Clarita hizo 16 x 3. Explic por qu se equivoc y corregilo.

rEpAso DE opErACIoNEs y NMEros

4. grADoACTIvIDADEs


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opErACIoNEs

yNMEros

sIsTEMA DE NuMErACIN

13. Arm con cada grupo de dgitos, sin repetirlos, el nmero ms grande posible.

a) 3, 5, 2, 9 ______________ c)4, 2, 5, 9, 3 ______________

b) 1, 9, 0,4 ______________ d) 6, 7, 0, 8 ________________

14.Con los mismos dgitos anteriores, arm el menor de los nmeros posibles para cada caso.

15.Marc la opcin correcta.Para pasar del 36.560 al 36.160 hay que:

a)restarle 500. c) sumarle 40. e) sumarle 400.

b) restarle 5. d) restarle 400. ) restarle 4.

16.Carla cobr su sueldo. En el sobre, haba 24 billetes de $100 y 18 billetes de $10. Cunto dinero cobr?

17.En un pas, hay solo billetes de $1.000, $100, $10 y monedas de $1. Complet el cuadro desueldos indicando cuntos billetes de cada tipo hay que entregarle a cada empleado.

18.Completen cada clculo para transormarlo en una igualdad.El primero va de ejemplo: 742 = 7 100 + 4 10 + 2

1.234 = 1.000 + 2 ______________ + ______________ + 4

12.349 = 10.000 + ______________ 1.000 + 3 100 + ______________ + 989.785 = 8 ______________ + ______________ + 700 + ______________ + ______________

56.871 = ______________ + ______________ 1.000 + ______________+ 70 + 1

19.Para pagar la cuota de la heladera, Milena necesita $ 604. Si solo tiene billetes de $10, cun-tos va a necesitar? ______________

20.Marta tiene una caja con 1.270 caramelos y quiere armar paquetes de 10 para venderlos en sukiosco. Podr armar 127 paquetes? Por qu?

21.Un estadio de tbol tiene capacidad para 42.700 espectadores. Si en cada talonario vienen1.000 entradas, cuntos talonarios se necesitan para entregar una entrada a cada espectadorcuando se llena el estadio? ______________

Sueldos 1.000 100 10 1

7.238 7 2 3 8

4.561

3493.049

3.409

12.395

1.187


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22. Santiago tiene un cuaderno de 48 hojas donde va a pegar sus guritas repetidas. Si quiere pegar10 en cada hoja, le alcanzar para pegar sus 458 guritas? Sobrarn hojas o quedarn guritas sinpegar? Cuntas?

23. Complet la secuencia de operaciones necesarias para obtener cada resultado.El primero va de ejemplo:

3.345 200 3.145 __________ 3.745 __________ 13.748__________8.748 __________ 1.748

opErACIoNEs

yNMEros


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frACCIoNEs I

14

15

18

175

+ + +14

14

32

34

14

+14

14

14

+12

14

4. grADoACTIvIDADEs

1. Las botellas de gaseosa vienen en paquetes de 6. Cuntos paquetes iguales se pueden armarcon 84 botellas? ______________

2. La librera don 72 libros para la biblioteca de la escuela. Si llegaron en 3 cajas, todas con lamisma cantidad de libros, cuntos libros hay en cada una? ______________

3. Cuatro amigos quieren repartirse 9 alajores de manera que todos coman lo mismo y no sobre nada.Maca dice que le pueden dar 2 alajores a cada uno y partir el que queda en 4 partes iguales, y diceque a cada amigo le tocarn dos y un cuarto. Lola dice que puede partir todos los alajores en 4partes iguales y repartir los pedacitos, as tampoco sobra nada y todos comen lo mismo.

Escrib, usando nmeros, la cantidad de alajor que le toca a cada amigo segn esos repartos.

4. Se repartieron, en partes iguales, 3 chocolates entre 4 chicos y no sobr nada. Cul o cules delas siguientes expresiones indican cunto le toc a cada uno de los chicos? Por qu?

5. Se repartieron 21 alajores en partes iguales entre 4 chicos, de manera tal que no sobr nada.a) Qu cantidad le correspondi a cada uno?b) Marcos dijo:

21 dividido 4 es 5 y el resto es 1.Le doy 5 a cada uno y del alajor que queda.

Explic todo lo que pens Marcos.

6. Andrea va a repartir 17 chocolates entre 5 personas. Para que no sobre nada y a todos les toquelo mismo, pens as:

3 chocolates a cada uno y los dos que quedan los tendra que partir en 5 partesiguales y, entonces, a cada uno le tocara

Complet el razonamiento de Andrea.

En cambio, Ariel dice:

Se puede cortar cada chocolate es 5 partes iguales y a cada persona le tocarde cada chocolate. Como son 17 chocolates, a cada una le va a tocar 17 pedacitosde chocolate, o sea, .

Es correcto lo que dice Ariel?

7. Marina reparti chocolates, en partes iguales, entre algunos chicos. Cada uno recibi 5 choco-lates y . Cuntos chocolates tena y entre cuntos chicos los reparti? Hay una sola posibilidad?


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8. En una caja, haba 14 alajores que se repartieron a un grupo de chicos. A todos les toc lamisma cantidad, , y no sobr ningn alajor. Entre cuntos chicos se hizo el reparto? Con uncrculo encerr la respuesta correcta.

19 9 14 60 5 3 28

9. Para repartir en partes iguales, Mara hizo esta cuenta de dividir:

Sabiendo que todo ue repartido, decid entre cuntas personas se reparti y cunto le toc a cada una.

10. Para repartir 26 empanadas entre 8 amigos, en partes iguales y sin que sobre nada, Sebastinus una cuenta de dividir. Escrib la cuenta que hizo y explic cunto recibi cada amigo.

lAs pArTEs y los ENTEros

11. Divid, de tres maneras dierentes, cada rectngulo en 4 partes iguales.

12. Observ el siguiente rectngulo y decid: Puede ser que lo pintado sea del rectngulo?

13. Es cierto que la parte coloreada corresponde a de la tira?

14. Es cierto que la parte coloreada corresponde a de la tira?

15. Este cuadrado es de un entero. Dibuj el entero y luego compar tu dibujo con el de tuscompaeros. Todos lo hicieron igual?

frACCIoNEsI

145

1

4

14

13

1

10

37 572


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16. Luca dice que la parte pintada de esta gura es del entero. Ests de acuerdo? Qu partede la tira qued sin pintar?

DEl ENTEro A lAs pArTEs y DE lAs pArTEs Al ENTEro

17. Damin necesita comprar 3 y kg de dulce de leche, pero en el mercadito solo tienen estos potes:

1 pote de 1 kg 3 potes de kg 9 potes de kg

a) Escrib 3 ormas dierentes de juntar la cantidad que necesita Damin.

b) Escrib de qu orma puede armar 3 y kg si quiere llevar la menor cantidad posible de potes.

c) Escrib de qu orma puede armar 3 y kg si quiere llevar la mayor cantidad posible de potes.

18. Coloc V o F. Arregl las opciones alsas para que sean verdaderas.

a) Con 4 potes de se orma 1 kg.

b) Con 6 potes de se orman 2 kg.

c) Con 3 potes de se orman 2 kg.

19. Esta tira representa de un entero. Dibuj el entero.

20. Este rectngulo es de un entero. Dibuj el entero.

21. Indic con una cruz en cules de los siguientes rectngulos se pint . Explic en tu carpeta

cmo pensaste cada uno.

34

12

14

35

1

3

frACCIoNEsI

13

d) Con 1 pote de 1 kg y 4 de se orman 2 kg.

e) Con 8 potes de se orman 2 kg.

14

12

12

14

34

34

12

25


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frACCIN DE uNA CANTIDAD

22. Pato compr una caja de 12 alajores y le regal a Martina. Cuntos alajores recibi Martina?______________

23. De 30 bolitas, son azules. Cuntas bolitas son de otros colores? ______________

24. Si 2.400 es de las entradas vendidas, cuntas se vendieron? ______________

25. 8 pancitos son de los que compr Clara esta maana. Cuntos compr? ______________

26. Mauro tena ahorrados $48. Compr un regalo con del dinero de sus ahorros. Cunto dinerole queda? ______________

27. En un cajn, quedan 16 manzanas que son del total. Cuntas manzanas haba cuando el cajnestaba lleno? ______________

23

14

15

14

frACCIoNEsI

14

13


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1.Reunite con dos o tres compaeros para resolver esta actividad. Tomando el comps con cui-dado, pinchen en una hoja de su cuaderno o carpeta y dibujen lo que quieran. Luego comparen losdibujos. Todos dibujaron lo mismo? En qu se parecen todos los dibujos?

2. Traz una circunerencia ms grande y otra ms chica que la que aparece a continuacin, usan-do el comps.

3. a) Copi las siguientes guras en los recuadros en blanco,usando olamente regla no graduada y comps.

CIrCuNfErENCIA y CrCulo

Una regla no graduada es la regla, pero sinusar los nmeros para medir. Pueden usar laregla del lado que no tiene nmeros, una ta-blita de madera recta, la tapa del cuadernoo de la carpeta. Se trata de no usarla paramedir.

Figura 1

Figura 2

4. grADoACTIvIDADEs


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C

IrCuNfErENCIA

yCrCulo


b)Explic todos los pasos que seguiste para lograrlas guras 3 y 4 (qu pensaste, qu mediste, etc.)

4. Observen la siguiente gura y, en pequeos grupos,

pnganse de acuerdo y expliquen por escrito en unahoja cules seran los pasos a seguir para poder copiar-la. No se olviden de anotar qu midieron, qu pensa-ron, cunto hay que abrir el comps y dnde pinchar, y todo lo que crean necesario.

5.Un monumento histrico est rodeado poruna cerca circular que, en este esquema vistodesde arriba, est a 4 cm.

Marc en el esquema la zona donde puedeestar cada uno de los siguientes personajes.a) Julin, apoyado en la cerca.b) Fito, su perro, a 1 cm del monumento.c) Laura,

Libro Matematica 4 p Dist

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