MATEMTICAMATERIAL PARA docEnTEs quInTo gRAdo EducAcIn PRIMARIA

MATEMTICAMATERIAL PARA DOCENTEs quINTO gRADO EDuCACIN PRIMARIA

Estos materiales han sido producidos por los especialistas del rea de Matemtica del IIPE-UNESCO Buenos Aires: Equipo del rea de Matemtica Autores Silvana Seoane | Betina Seoane Referentes Mara Mnica Becerril |Andrea Novembre | Beatriz Moreno | Mnica Urquiza | Alejandro Rossetti |Hctor Ponce | Ins Sancha | Horacio Itzcovich Agradecemos el aporte de Ana La Crippa. Equipo de desarrollo editorial Coordinacin general y edicin Ruth Schaposchnik | Nora Legorburu Correccin Pilar Flaster | Gladys Berisso Diseo grfico y diagramacin Evelyn Muoz y Matas Moauro - Imagodg

Seoane, Silvana Matemtica material para docentes quinto grado educacin primaria / Silvana Seoane y Betina Seoane. - 1a ed. - Ciudad Autnoma de Buenos Aires: Instituto Internacional de Planeamiento de la educacin IIPE-Unesco, 2011. 90 p. ; 30x21 cm. ISBN 978-987-1836-25-3 1. Gua para Docentes. 2. Matemtica. I. Seoane, Betina II. Ttulo CDD 371.1 Fecha de catalogacin: 06/09/2011

IIPE - UNESCO Buenos Aires Agero 2071 (C1425EHS), Buenos Aires, Argentina Hecho el depsito que establece la Ley 11.723 Libro de edicin argentina. 2011 Permitida la transcripcin parcial de los textos incluidos en esta obra, hasta 1.000 palabras, segn Ley 11.723, artculo 10, colocando el apartado consultado entre comillas y citando la fuente; si ste excediera la extensin mencionada deber solicitarse autorizacin al Editor.Material de distribucin gratuita. Prohibida su venta

NDICE

NDICE

Introduccin general Marco general de la propuesta de Matemtica Matemtica en el Segundo Ciclo Ejemplo de mapa curricular de Segundo Ciclo

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Quinto grado Ejemplo de distribucin anual de contenidos I Ejemplo de distribucin anual de contenidos II Ejemplo de planificacin mensual Ejemplo de planificacin semanal Ejemplo de evaluacin de un contenido Ejemplo de problemas para evaluacin de fin de ao

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Bibliografa y links recomendados

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Cuadernillo de actividades

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La produccin de este material ha sido posible gracias a los intercambios desarrollados entre los referentes locales, los capacitadores y los docentes, a lo largo de toda esta experiencia. Esperamos resulte un aporte a la compleja tarea de ensear y aprender matemtica que permita ofrecer mayor cantidad de oportunidades a los nios para aventurarse en el desafo intelectual que se propicia. Equipo de Matemtica Tucumn: Cecilia Catuara, Nora Fagre, Mara Irene Flores, Marta Lopez de Arancibia, Alicia Viviana Moreno, Luciana Neme, Patricio Smitsaart santa Cruz: Gabriela Rodrguez, Viviana Mata, Marta Sanduay, La Vazquez, Valentina Gonzlez, Norma Gmez, Alfredo Salvatierra, Sandra Manzanal Corrientes: Mnica Mio, Zunilda Del Valle, Ana Benchoff Chaco: Laura Ochoa, Irma Bastiani, Viviana Benegas, Patricia Dellamea Virasoro: Elena Ayala, Andrea Paula Drews, Jos Pereyra, Irma Neves Bentez, Mnica Magdalena Rodrguez Carlos Casares: Daniela Zermoglio, Mario Martin, Anala Cortona, Nilda Martin, Laura Delgado, Daniela Pere Campana-Pilar-san Nicols: Teresita Chelle, Ana Barone, Gloria Robalo Ana Felisa Espil, Miriam Cabral, Mirta Ricagno, Mnica Rinke, Graciela Borda Crdoba: Felisa Aguirre, Laura Sbolci, Ana Garca Ensenada: Cecilia Wall, Vernica Grimaldi, Mnica Escobar.

MATEMTICA

INTroDuCCIN gENErAl

Este material ha sido pensado con la intencin de colaborar con la prctica cotidiana delos docentes. Es reconocida la complejidad que adquiere dicha prctica al momento de pensar la enseanza: armado de planificaciones, carpetas didcticas, seleccin de libros de texto, elaboracin de actividades, diseo de evaluaciones, etctera. Y estos desafos generalmente son poco considerados a la hora de valorar la labor de los docentes. Por este motivo, y buscando acompaar las decisiones que toman los docentes, este material ofrece diferentes tipos de recursos para que estn disponibles y puedan ser un insumo que colabore en la planificacin, desarrollo y evaluacin de la enseanza. Los distintos tipos de recursos que constituyen este material se sustentan en un proyecto de enseanza que considera la Matemtica desde una perspectiva determinada. Es decir, se parte de la idea de que los alumnos tengan la oportunidad de reconstruir los conceptos matemticos a partir de diferentes actividades intelectuales que se ponen en juego frente a un problema para cuya resolucin resultan insuficientes los conocimientos de los que se dispone hasta el momento Hay dos cuestiones centrales que tambin hacen al enfoque adoptado. En primer lugar, ayudar a los alumnos a concebir la Matemtica como una disciplina que permite conocer el resultado de algunas experiencias sin necesidad de realizarlas efectivamente. Y por otro lado, para que la actividad matemtica sea realmente anticipatoria de la experiencia, es necesario estar seguro de que esa anticipacin fue realizada correctamente, en otras palabras, es necesario validar la anticipacin. Es decir, se trata de generar condiciones que permitan a los alumnos producir recursos que les permitan obtener resultados frente a una amplia variedad de problemas, sin necesidad de recurrir a la experiencia emprica y producir argumentos que les permitan responsabilizarse matemticamente por la validez de esos resultados. Estos lineamientos generales son los que fundamentan las selecciones desarrolladas en los materiales, los recortes establecidos, los ejemplos elaborados, los problemas seleccionados. Este material contiene entonces diferentes recursos que se detallan a continuacin, organizados por grado, desde 1. hasta 6.. Para cada grado, se podr encontrar:

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1. MApAs CurrICulArEs orIENTATIvos Estos mapas curriculares son ejemplos que explicitan los contenidos de enseanza a lo largo de toda la escolaridad. Se construyeron considerando los aspectos comunes que se esbozan en los Diseos Curriculares de cada Jurisdiccin y los Ncleos de Aprendizajes Prioritarios. Por lo tanto, requieren ser completados con aquellas sugerencias esbozadas en las orientaciones curriculares jurisdiccionales. Para facilitar su identificacin, los mapas curriculares se presentan en formato de planillas, desplegados para cada grado y organizados por ciclos, de tal manera que cada escuela pueda analizar y establecer los contenidos en relacin con el ao de escolaridad y en correlacin con aos anteriores y posteriores, es decir que tenga presente la horizontalidad del trabajo. Asimismo, podr orientar la labor de directivos para preservar la coherencia en la distribucin de contenidos en los grados y en los ciclos. 2. EjEMplos DE plANIfICACIoNEs ANuAlEs Se trata de propuestas de distribucin de los contenidos de enseanza a lo largo del ao. Son ejemplos y, como tales, se podrn transformar en herramientas para que cada docente pueda pensar su propio recorrido anual, con el grado asignado y en funcin de sus alumnos. 3. EjEMplos DE plANIfICACIoNEs MENsuAlEs Se trata de una primera lupa sobre la planificacin de un mes determinado. Se ofrece en este caso una mirada ampliada al interior de uno de los meses y se detalla el asunto que ser prioritario en ese mes, ejemplos de problemas, adecuaciones semanales, que podrn orientar la perspectiva adoptada. 4. EjEMplos DE plANIfICACIoNEs sEMANAlEs Se trata de un ejemplo del desarrollo del trabajo a lo largo de una semana de clases. En este ejemplo, se explicitan las actividades propuestas para cada clase, las discusiones que se propiciarn con los alumnos, la organizacin del trabajo en el aula, los tiempos que demandarn, las conclusiones a las que se pretende arribar y los aprendizajes esperables.

5. EjEMplos DE EvAluACIoNEs ANuAlEs, bIMEsTrAlEs o por CoNTENIDos DE TrAbAjo Se trata en este caso de ofrecer a los docentes insumos para pensar las evaluaciones. Al ser ejemplos, brindan la posibilidad de tomar decisiones: alterar el orden de las actividades, modificar algunos datos de los problemas, considerar diferentes criterios para su correccin, incorporar otros problemas, quitar alguno, etctera. Lo que se busca con estos ejemplos es preservar el espritu del trabajo elaborado en las planificaciones y en los cuadernillos de manera de forjar el mayor grado de coherencia entre lo que se planifica, lo que se ensea y lo que se evala, asumiendo que estos recursos no son los nicos modos de identificar los avances de los alumnos y repensar la enseanza.

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6. EjEMplos DE CrITErIos DE CorrECCIN Se proponen tambin, a la luz de los ejemplos de evaluaciones y a raz de un problema, diferentes maneras de pensar la correccin de las pruebas o problemas que se les presentan a los alumnos. Se parte de la idea de que la correccin debe ser un aporte a la enseanza y al aprendizaje. Por eso, es insuficiente entregar los resultados de las pruebas y que all termine la tarea: Qu se les dice a los alumnos? Cmo se recuperan los resultados de las evaluaciones para que los alumnos sepan qu les pas y por qu les pas lo que les pas? Cmo se reorienta la enseanza para que los alumnos avancen? Qu aspectos o qu resultados se consideran para la promocin? Estas cuestiones se plantean en un modo general, pero demandan debates particulares para cada alumno y para cada etapa del ao. 7. bIblIogrAfA y lINks rECoMENDADos Se presenta tambin una bibliografa que aborda diferentes aspectos relacionados con la enseanza y el aprendizaje de la Matemtica, organizados segn los temas. Se recomiendan estas herramientas a los docentes para que puedan profundizar sus conocimientos sobre la enseanza y el aprendizaje de la Matemtica. A su vez, para cada material recomendado, se indica el link del cual puede ser bajado para su estudio, ser impreso o disponer de l de la manera en que a cada docente y a cada escuela le resulte ms conveniente. En dichos links, hay otros materiales que tambin podrn resultar de inters, aunque no aparezcan en la lista confeccionada. 8. CuADErNIllos DE ACTIvIDADEs pArA los AluMNos En funcin de la planificacin anual, se presentan cuadernillos con problemas para trabajar con los alumnos, que recorren y acompaan esa planificacin. Al tratarse de cuadernillos o carpetas independientes, el orden de uso ser determinado por el docente, aunque cabe aclarar que ciertos contenidos son necesarios para abordar otros y que algunos cuadernillos recuperan conocimientos tratados en otros. En este sentido, el docente deber cuidar que la propuesta conserve las relaciones entre los conocimientos y el avance en la profundidad del estudio. Los cuadernillos estn pensados para ser entregados a los alumnos para el estudio y trabajo en torno a cada tipo de problema. Son actividades y no presentan aspectos tericos que quedan en manos del docente. La intencin es que, a medida que los alumnos resuelvan los problemas, el docente pueda gestionar debates sobre los procedimientos de resolucin, buscar explicaciones que permitan interpretar errores, decidir si algo es correcto, analizar si un recurso puede ser vuelto a utilizar en otro problema, establecer generalidades, etctera. Es nuestro deseo que este material se transforme en un insumo de consulta y uso que permita a los docentes sentirse acompaados. Todo lo publicado es susceptible de ser fotocopiado e impreso, solo basta citar la fuente. Equipo de Matemtica7

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MATEMTICA

MArCo gENErAl DE lA propuEsTA DE MATEMTICA

Los conocimientos matemticos que pueblan las aulas responden habitualmente a ttulos reconocidos por los docentes: los nmeros naturales y sus operaciones, los nmeros racionales y sus operaciones, el estudio de las figuras y de los cuerpos geomtricos, de sus propiedades; y aquellos aspectos relacionados con las magnitudes, las medidas y las proporciones. Ahora bien, con estos mismos ttulos, podran desarrollarse en cada escuela proyectos de enseanza con caractersticas muy diferentes y, por ende, el aprendizaje de los alumnos tambin sera distintos. Por qu afirmamos esto? Desde la perspectiva que adoptamos, hay muchas maneras de conocer un concepto matemtico. Estas dependen de cunto una persona (en este caso, cada uno de sus alumnos) haya tenido la oportunidad de realizar con relacin a ese concepto. O sea, el conjunto de prcticas que despliega un alumno a propsito de un concepto matemtico constituir el sentido de ese concepto para ese alumno. Y si los proyectos de enseanza propician prcticas diferentes, las aproximaciones a los conocimientos matemticos que tendrn los alumnos sern muy diferentes. Cmo se determinan estas prcticas? Algunos de los elementos que configuran estas prcticas son: Las elecciones que se realicen respecto de los tipos de problemas, su secuenciacin, los modos de presentacin que se propongan a los alumnos. Las interacciones que se promuevan entre los alumnos y las situaciones que se les propongan. Las modalidades de intervencin docente a lo largo del proceso de enseanza. De all que en este Proyecto, los contenidos de enseanza esbozados para cada grado estn formados tanto por esos ttulos fcilmente reconocibles (los nmeros, las operaciones, etc.), como por las formas en que son producidos y las prcticas por medio de las cuales se elaboran. La intencin es acercar a los alumnos a una porcin de la cultura matemtica identificada no solo por las relaciones establecidas (propiedades, definiciones, formas de representacin, etc.), sino tambin por las caractersticas del trabajo matemtico. Por eso, las prcticas tambin forman parte de los contenidos a ensear y se encuentran estrechamente ligadas al sentido que estos contenidos adquieren al ser aprendidos. Cules son algunas de las marcas que se pueden identificar como parte de las prcticas matemticas?

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El avance de la Matemtica est marcado por problemas externos e internos a esta disciplina que han demandado la construccin de nuevos conocimientos. Una caracterstica central entonces del trabajo matemtico es la resolucin de diferentes tipos de problemas. Para que los alumnos tambin puedan involucrarse en la produccin de conocimientos matemticos, ser necesario aunque no suficiente enfrentarlos a diversos tipos de problemas. Un problema es tal en tanto y en cuanto permite a los alumnos introducirse en el desafo de resolverlo a partir de los conocimientos disponibles y les demanda la produccin de ciertas relaciones en la direccin de una solucin posible, aunque esta, en un principio, resulte incompleta o incorrecta. Otra caracterstica de la actividad matemtica es el despliegue de un trabajo de tipo exploratorio: probar, ensayar, abandonar, representar para imaginar o entender, tomar decisiones, conjeturar, etctera. Algunas exploraciones han demandado aos de trabajo a los matemticos e, incluso, muchas de las preguntas y de los problemas elaborados hace mucho tiempo siguen en esta etapa de exploracin porque an no han sido resueltos. Por lo tanto, en la escuela se deber ofrecer a los alumnos frente a la resolucin de problemas un espacio y un tiempo que posibilite el ensayo y error, habilite aproximaciones a la resolucin que muchas veces sern correctas y otras tantas incorrectas, propicie la bsqueda de ejemplos que ayuden a seguir ensayando, les permita probar con otros recursos, etctera. Explorar, probar, ensayar, abandonar lo hecho y comenzar nuevamente la bsqueda es parte del trabajo matemtico que este Proyecto propone desplegar en el aula. Otro aspecto del trabajo matemtico posible de identificar es la produccin de un modo de representacin pertinente para la situacin que se pretende resolver. A lo largo de la historia, las maneras de representar tambin han sido una preocupacin para los matemticos. Los diferentes modos de representacin matemtica forman parte del conocimiento en cuestin. Ser necesario entonces favorecer en la escuela tanto la produccin de representaciones propias por parte de los alumnos durante la exploracin de ciertos problemas, como el anlisis, el estudio y el uso de diversas formas de representacin de la Matemtica. El establecimiento de puentes entre las representaciones producidas por los alumnos y las que son reconocidas en la Matemtica ser tambin objeto de estudio. Muchos problemas o preguntas que han surgido a lo largo de la historia de la Matemtica han admitido respuestas que no podan ser probadas inmediatamente, y otras an no tienen demostracin. Estas respuestas, hasta que adquieren carcter de verdad, son reconocidas con el nombre de conjeturas. En las interacciones que se propicien en el aula, a raz de la resolucin y anlisis de diferentes problemas, se promover que los alumnos expliciten las ideas que van elaborando (las respuestas que encuentren, las relaciones que establezcan, etc.), aun cuando no sea claro para ellos, desde el principio, si son del todo ciertas. Estas ideas y las respuestas provisorias que producen los nios son conjeturas o hiptesis que demandarn ms conocimientos para que dejen de serlo.

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El quehacer matemtico involucra tambin determinar la validez de los resultados obtenidos y de las conjeturas producidas, es decir, recurrir a los conocimientos matemticos para decidir si una afirmacin, una relacin o un resultado son vlidos o no y bajo qu condiciones. Es necesario entonces que los alumnos puedan progresivamente hacerse cargo y, usando diferentes tipos de conocimientos matemticos, dar cuenta de la verdad o falsedad de los resultados que se encuentran y de las relaciones que se establecen. Determinar bajo qu condiciones una conjetura es cierta o no implica analizar si aquello que se estableci como vlido para algn caso particular funciona para cualquier otro caso o no. A veces, la validez de una conjetura podr aplicarse a todos los casos y podr elaborarse entonces una generalizacin. Otras veces la conjetura ser vlida solo para un conjunto de casos. Generalizar o determinar el dominio de validez es tambin parte del trabajo matemtico. Una ltima caracterstica a destacar del trabajo matemtico es la reorganizacin y el establecimiento de relaciones entre diferentes conceptos ya reconocidos. Reordenar y sistematizar genera nuevas relaciones, nuevos problemas y permite producir otros modelos matemticos. Se comunican los modos de produccin o las prcticas matemticas asociados a los ttulos a los que se haca referencia inicialmente con la intencin de promover prcticas de enseanza que favorezcan que los conocimientos de los alumnos se carguen de un cierto sentido. No se trata de ensear en la escuela primaria algunos rudimentos y tcnicas para que luego, ms adelante, solo algunos alumnos accedan a las maneras de pensar y producir en Matemtica; sino de intentar que desde los primeros contactos con esta disciplina, el estudio de la Matemtica sea una forma de acercarse a sus distintas maneras de producir. En este Proyecto, se adopta la idea de que ensear Matemtica es tambin introducir a los alumnos en las prcticas y en el quehacer propio de esta disciplina. Una cuestin que ha dado lugar a muchas discusiones en distintos momentos de la enseanza de la Matemtica se refiere al lugar que ocupa sobre todo en los primeros grados la utilizacin de material concreto para producir resultados o para comprobarlos. Hay distintas maneras de recurrir al uso de este tipo de materiales. Supongamos por ejemplo que, en primer grado, se les propone a los alumnos la siguiente situacin: un nio pasa al frente y pone, a la vista de todos, 7 chapitas en una caja; despus pasa otro nio y pone, tambin a la vista de todos, 8 chapitas. Se les pide a los nios que encuentren una manera de saber cuntas chapitas hay en la caja. Utilizando diversas estrategias, los nios arribarn a un resultado. Si para constatarlo los nios cuentan las chapitas de la caja, estarn haciendo una comprobacin emprica. Si, en cambio, se excluye la posibilidad de accin efectiva sobre los objetos y se les pide a los chicos que muestren mediante argumentos que su resultado es correcto, sin corroborarlo empricamente, estarn haciendo una validacin de tipo argumentativo. Es necesario sealar que, cuando las comprobaciones son de tipo emprico, es imprescindible proponer la anticipacin de los resultados que luego se leern en la comprobacin (en la situacin de la caja los nios primero anticipan y luego corroboran). De esta manera, en este juego de anticipacin-validacin argumentativa-corroboracin emprica, los

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nios irn descubriendo que los resultados que obtienen son una consecuencia necesaria de haber puesto en funcionamiento ciertas herramientas del aparato matemtico. Sin esta anticipacin, los nios manipulan material, y los resultados que obtienen son producto de una contingencia (se obtuvieron estos, pero podran haberse obtenido otros). En otras palabras, si no hay articulacin entre anticipacin y comprobacin emprica, esta ltima se plantea solo con relacin a ella misma, y sus resultados no se integran a ninguna organizacin de conocimiento especfica. Es necesario sealar que, cuando la comprobacin es emprica, esa relacin de necesariedad entre las acciones realizadas para anticipar, y los resultados ledos en la corroboracin, no puede independizarse del contexto particular en el que se desarroll. Resulta esta afirmacin un argumento para descartar las comprobaciones empricas? De ninguna manera hacemos esa aseveracin. Las comprobaciones de tipo experimental hacen posible una interaccin entre los modelos matemticos que los nios van elaborando y los aspectos de la realidad que son modelizables a travs de las herramientas matemticas. Sin esta interaccin, ellos no tendran posibilidad de hacer funcionar esos modelos, de ponerlos a prueba. Concluimos entonces que, cuando las constataciones empricas se plantean como una verificacin de aquello que se ha anticipado, se empieza a hacer observable la potencia de la Matemtica como herramienta que permite anticipar los resultados de experiencias no realizadas. Circula en algunos medios una concepcin instrumentalista de la enseanza de la Matemtica que sostiene dos principios fundamentales: 1) Su enseanza se justifica por la utilidad que tienen los saberes matemticos para resolver problemas cotidianos y 2) los problemas cotidianos son la nica va para que los nios encuentren el sentido de la Matemtica. Esta concepcin es, desde nuestra perspectiva, objeto de varios cuestionamientos. Nos interesa que el nio comprenda que la Matemtica es una disciplina que ofrece herramientas para resolver ciertos problemas de la realidad. Pero centrarse exclusivamente en la utilidad hace perder de vista a la Matemtica como producto cultural, como prctica, como forma de pensamiento, como modo de argumentacin. Pensamos con Bkouche que:Hay una motivacin tanto o ms fundamental que la utilidad: el desafo que plantea al alumno un problema en tanto tal. Lo que es importante para el alumno no es conocer la solucin, es ser capaz de encontrarla l mismo y de construirse as, a travs de su actividad matemtica, una imagen de s positiva, valorizante, frente a la Matemtica. La recompensa del problema resuelto no es la solucin del problema, es el xito de aquel que lo ha resuelto por sus propios medios, es la imagen que puede tener de s mismo como alguien capaz de resolver problemas, de hacer matemtica, de aprender. (...).

Por otra parte, pensar en las aplicaciones como nica fuente de sentido es renunciar a que el nio comprenda que el conocimiento matemtico tambin se produce para dar respuestas a problemas que surgen del interior de la disciplina y esta renuncia minimiza las posibilidades de comprender la lgica interna de la Matemtica.

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Hay una tercera cuestin que es necesario sealar: el hecho de que el problema se plantee en un contexto extra matemtico no siempre aporta a la comprensin o a la resolucin del problema. Tomamos la opcin de privilegiar los contextos de aplicacin extra matemtica cuando estos ofrecen al alumno elementos para pensar, abordar, resolver o validar los problemas que estn enfrentando. Volvemos a citar a Bkouche:Ahora bien, lo que da profundamente sentido en la actividad matemtica, no es que es curiosa, til, entretenida, sino que se enraza en la historia personal y social del sujeto. Toda situacin de aprendizaje, ms all de aspectos especficamente didcticos, plantea dos preguntas ineludibles. Cul es el sentido de esta situacin para aquel que aprende? Cul es la imagen de s mismo, de sus capacidades, de sus oportunidades de xito en esta situacin? En trminos ms triviales: qu hago ac?, soy capaz?, vale la pena? Esta relacin con el saber pone en juego los deseos, el inconsciente, las normas sociales, los modelos de referencia, las identificaciones, las expectativas, los pareceres sobre el porvenir, los desafos personales. (...) Es muy reductor invocar simplemente aqu palabras tan vagas como curiosidad o incluso motivacin. El problema no es suscitar la curiosidad, sino proponer a los jvenes las actividades, las prcticas, los itinerarios de formacin que toman sentido en una red compleja de deseos, de expectativas, de normas interiorizadas y que contribuyen a reestructurar esa red.

Los aspectos destacados en estos prrafos estn considerados implcita o explcitamente en la organizacin y distribucin de contenidos que ofrecemos como ejemplo. En dicha seleccin, se han considerado, de alguna manera, no solo los ttulos que constituyen los objetos de enseanza, sino las marcas de las prcticas matemticas que asociadas a ellos, se propicia desplegar en las aulas.

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sEguNDo CIClo

MATEMTICA EN El sEguNDo CIClo

El recorrido de los alumnos a lo largo del Segundo Ciclo de la escolaridad involucra algunas cuestiones fundamentales. Por un lado, es el tiempo de afianzar y profundizar los conocimientos elaborados en el Primer Ciclo. En este sentido, aparecern desafos ms complejos con relacin al tamao y comportamiento de los nmeros naturales. El docente podr propiciar la resolucin de problemas que inviten a elaborar nuevos sentidos de las cuatro operaciones bsicas, as como se podr avanzar en el estudio de las figuras. Es decir, los objetos matemticos seguirn siendo herramientas para enfrentar variadas clases de problemas y a la vez sern visitados tambin para estudiar, con ms profundidad, su funcionamiento interno.Por el otro, este Segundo Ciclo es un tiempo propicio para acompaar a los alumnos en un reconocimiento ms fecundo de los modos de hacer y de producir que tiene la Matemtica. En este sentido, profundizar en las propiedades de las cuatro operaciones y enfrentarse a los desafos que ofrece el terreno de la divisibilidad abren un nuevo universo: poder saber un resultado sin hacer la cuenta, poder anticipar si ser cierto o no una igualdad sin usar algoritmos son nuevas marcas de la actividad matemtica. Es un momento en el cual se puede avanzar en el trabajo en torno a la posibilidad de decidir autnomamente la verdad o falsedad de una afirmacin, la validez o no de un resultado, de una propiedad a partir de la elaboracin de argumentos y relaciones basados en los conocimientos matemticos. La entrada en un tipo de racionalidad propia de esta disciplina es central en este ciclo. Y se jugar en cada uno de los grandes ejes de contenidos. Pero el ingreso de los alumnos en el Segundo Ciclo les depara tambin algunas rupturas con lo aprendido en el Primer Ciclo. Ser parte de la tarea docente enfrentar a los alumnos a un nuevo campo de nmeros: los nmeros racionales, tanto en su expresin fraccionaria como en su expresin decimal. Por un lado, debern explorar diversos tipos de problemas para los cuales las fracciones son un medio de solucin; por ejemplo, problemas de reparto y particin, problemas de medida, etctera. Pero tambin del mismo modo que para los nmeros naturales debern enfrentarse a desentraar algunas cuestiones de su funcionamiento, tales como la comparacin, el orden, el clculo, las diferentes maneras de representar una misma cantidad, etctera. Respecto de las expresiones decimales, tambin se propondr una entrada a travs de su uso social el dinero y la medida para luego adentrarse en cuestiones internas ligadas al valor posicional, al orden, al clculo, a la bsqueda de un nmero entre dos dados, a la equivalencia con infinitas expresiones fraccionarias, etctera.

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Y el estudio de este nuevo campo de nmeros provocar en los alumnos ciertas contradicciones en relacin con el trabajo en el campo de los nmeros naturales. Por ejemplo, algunas relaciones que eran vlidas para los nmeros naturales (un nmero, si es ms largo que otro, seguro es mayor, entre 2 y 3 no hay ningn nmero, si se multiplica, el nmero se agranda) dejan de ser ciertas cuando aparecen los nmeros racionales (ya que un nmero puede ser ms largo que otro y ser menor 1,9999 y 2, entre 2 y 3 habr infinitos nmeros y si se multiplica por 0,5 el nmero se achicar). Acompaar a los alumnos en identificar estos cortes los ayudar a posicionarse de mejor manera a la hora de ofrecerles una propuesta de trabajo que ponga en escena estas rupturas.

los EjEs CENTrAlEs DEl TrAbAjo MATEMTICo EN El sEguNDo CIClo Respecto de los nmeros naturales, los alumnos han estudiado en el Primer Ciclo cmo leer, escribir, ordenar nmeros hasta aproximadamente 10.000 o 15.000. En el Segundo Ciclo, la comprensin de las reglas que subyacen a nuestro sistema de numeracin y la informacin sobre nmeros redondos permitir que los alumnos puedan leer o escribir cualquier nmero natural. Del mismo modo, el incipiente anlisis del valor posicional que han abordado en el Primer Ciclo, descomponiendo y componiendo con 10, 100 y 1.000 les permitir, en este ciclo, comprender la naturaleza ms profunda de nuestro sistema: el agrupamiento en base 10 y la posicionalidad de tal manera de aprender a ver en la escritura del nmero la informacin que porta y la potencia para clculos de suma, resta, multiplicacin y divisin por la unidad seguida de ceros. Paralelamente, el estudio de diversos sistemas de numeracin antiguos tiene el propsito de favorecer la comparacin entre sistemas para enriquecer y complejizar la mirada respecto del que se usa actualmente. En el terreno de las operaciones con nmeros naturales, al mismo tiempo que se propone recuperar la diversidad de clculos y problemas abordados en el Primer Ciclo, el docente podr ofrecer diferentes actividades que permitan a los alumnos construir nuevos sentidos, especialmente para la multiplicacin y la divisin. Harn su aparicin nuevos problemas de divisin, tales como los que involucran la relacin entre dividendo, divisor, cociente y resto, o los problemas en los que se repite una cantidad y es necesario determinar cuntas veces. Adems de una ampliacin de la clase de problemas, el estudio de estas operaciones podr abarcar tambin aspectos ms internos a su funcionamiento, como por ejemplo, la exploracin y formulacin de las propiedades. Un nuevo aspecto que podr aparecer en las aulas (asociado a la multiplicacin y a la divisin), sern las ideas de mltiplos, divisores y divisibilidad. Estas cuestiones se podrn tratar a partir de una diversidad de problemas: algunos con enunciados verbales y otros estrictamente numricos que permitirn avanzar sobre ciertas prcticas de argumentacin y demostracin. El trabajo geomtrico en el Segundo Ciclo podr permitir a los alumnos profundizar en el estudio de las figuras y de los cuerpos geomtricos. A travs de problemas de construccin y de determinacin de medidas sin medir y usando las propiedades estudiadas, es posible favorecer la idea de que los conocimientos son un medio para poder establecer afirmaciones sobre los objetos con los que tratan sin necesidad de apelar a la constatacin emprica. En el Primer Ciclo, los nios validan sus producciones recurriendo a ejemplos, a constataciones empricas y a argumentos muy ligados al contexto en que produjeron sus resultados. En el Segundo Ciclo,

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resulta fundamental ofrecer oportunidades para que los alumnos comiencen a elaborar argumentos que validen sus afirmaciones, apoyados en propiedades de las figuras. La validacin emprica ser entonces insuficiente, por ejemplo, no es posible demostrar que la suma de los ngulos interiores del tringulo mide 180 por medir y sumar sus ngulos, ya que si se miden, no dar justo 180. Ser necesario elaborar otras formas de justificacin. Aparecen tambin nuevos objetos que, si bien ya han sido visitados de manera ms intuitiva, en el Segundo Ciclo se estudiarn en forma ms sistemtica. Un ejemplo de ello es la proporcionalidad. El punto de partida para su estudio nuevamente ser el uso que los nios ya conocen de esta relacin: resolver problemas en los que se requiere multiplicar o dividir en torno a series proporcionales y poner en juego las ideas de dobles, mitades, triples, etctera. Pero en este ciclo, su estudio implicar un anlisis ms profundo de las propiedades de la proporcionalidad, de la constante, del porcentaje y tambin de los lmites de esta nocin para resolver problemas. Este contenido articula cuestiones ligadas a los nmeros naturales y racionales, sus operaciones y conocimientos ligados al campo de la medida. Del mismo modo que para otros objetos, el estudio de la medida se podr iniciar a partir del uso social, de la exploracin de algunas unidades de medida y de instrumentos usados fuera de la escuela que han circulado en el Primer Ciclo. En este ciclo, se podr avanzar hacia un anlisis ms riguroso de los mltiplos y submltiplos de las unidades de medida de longitud, capacidad y peso. Por otro lado, el estudio del permetro y el rea puede abordarse desde dos perspectivas. Una de ellas dirigida a la diferenciacin de ambas nociones y a sus aspectos ms cualitativos, y la otra a fines del Segundo Ciclo asociada a la determinacin y al clculo de reas y permetros y al establecimiento de las unidades convencionales. El tratamiento del sistema de medidas ser analizado a la luz de sus vinculaciones con el sistema de numeracin decimal, la multiplicacin y la divisin por la unidad seguida de ceros, y las relaciones de proporcionalidad. Una cuestin central en el Segundo Ciclo es la necesidad de involucrar a los alumnos en el proceso de estudio de esta disciplina. Se espera poder generar ms espacios que permitan a los alumnos reorganizar su trabajo, volver sobre lo realizado, clasificar y reordenar los problemas, establecer relaciones entre lo viejo y lo nuevo, entre diferentes conocimientos puestos en juego. Los alumnos tambin tienen que aprender, en la escuela, a estudiar autnomamente. Esto implicar que resuelvan problemas similares a los realizados en el aula, que tengan guas de estudio, problemas para resolver y entregar en un tiempo determinado, que puedan registrar avances y dudas, que puedan identificar los problemas que ms les han costado y aquellos en los que ms han avanzado. El estudio requiere de un trabajo comprometido y sistemtico de los alumnos que deber ser enseado, sostenido y propiciado por parte de los docentes. Ensear a estudiar Matemtica es parte de la responsabilidad de la escuela. Qu sE EspErA logrAr CoN lA ENsEANzA EN EsTos Aos? Si la escuela ha generado ciertas condiciones para la produccin, difusin y reorganizacin de los conocimientos matemticos, los alumnos al finalizar el Segundo Ciclo deberan poder: Hacerse responsables de sus producciones y de su proceso de estudio. Elaborar estrategias personales para resolver problemas y modos de comunicar procedimientos y resultados.

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Asumir progresivamente la responsabilidad de validar sus producciones e ideas. Valorar el intercambio de ideas, el debate y la confrontacin de posiciones respecto de una supuesta verdad. Leer, escribir y comparar nmeros naturales sin lmite. Resolver problemas que exigen descomponer aditiva y multiplicativamente los nmeros a partir de considerar el valor posicional. Comparar caractersticas de diversos sistemas de numeracin. Resolver problemas que involucran distintos sentidos de las operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin utilizando, comunicando y comparando diversas estrategias y clculos posibles. Seleccionar y usar variadas estrategias de clculo (mental, algortmico, aproximado y con calculadora) para sumar, restar, multiplicar y dividir de acuerdo con la situacin y con los nmeros involucrados verificando con una estrategia los resultados obtenidos por medio de otra. Recurrir a las ideas de mltiplos, divisores y a los criterios de divisibilidad para resolver diferentes clases de problemas, analizar relaciones entre clculos y anticipar resultados. Resolver problemas que involucran distintos sentidos de las fracciones utilizando, comunicando y comparando estrategias posibles. Resolver problemas que involucran considerar caractersticas del funcionamiento de las fracciones y de las expresiones decimales y las relaciones entre ambas. Construir variados recursos de clculo mental exacto y aproximado que permitan sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones decimales entre s y con nmeros naturales y sumar, restar y multiplicar expresiones fraccionarias entre s y con nmeros naturales. Resolver problemas que involucran relaciones de proporcionalidad con nmeros naturales y racionales. Comparar y calcular porcentajes apelando a las relaciones con los nmeros racionales y las proporciones. Resolver problemas que exigen poner en juego propiedades del crculo y la circunferencia, de los tringulos y de los cuadrilteros para copiarlos, construirlos, describirlos o anticipar medidas, elaborar conjeturas y debatir acerca de la validez o no de diferentes tipos de enunciados. Resolver problemas que exigen poner en juego propiedades de cubos, prismas y pirmides y permitan elaborar conjeturas y debatir acerca de la validez o no de diferentes tipos de enunciados. Resolver problemas que involucran el uso del Sistema Mtrico Legal (SIMELA) para longitud, capacidad y peso estableciendo relaciones entre fracciones, expresiones decimales, unidades de medida y nociones de proporcionalidad. Resolver problemas que implican estimar medidas y determinar la unidad de medida ms conveniente. Resolver problemas que involucran el anlisis de las variaciones en permetros y reas y el estudio de algunas unidades y frmulas convencionales para medir reas de tringulos y cuadrilteros.

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EjEMplo DE MApA CurrICulAr DE sEguNDo CIClo5. grado 6. gradosEguNDo CIClo MATEMTICA

Bloques

4. grado

Nmeros naturales y operaciones

Resolucin de problemas que impliquen usar, leer, escribir y comparar nmeros hasta el orden de los millones. Resolucin de problemas que exijan descomponer aditiva y multiplicativamente los nmeros y analizar el valor posicional de las cifras. Exploracin de las caractersticas del sistema de numeracin romano y la comparacin con el sistema de numeracin posicional decimal. Resolucin de problemas que involucren distintos sentidos de las operaciones de suma y resta, utilizando, comunicando y comparando diversas estrategias y clculos posibles. Resolucin de problemas que involucren diversos sentidos de la multiplicacin y la divisin utilizando, comunicando y comparando diversas estrategias y clculos posibles. Construccin, seleccin y uso de variadas estrategias de clculo para multiplicar y dividir (mental, algortmico, aproximado y con calculadora) de acuerdo con la situacin y con los nmeros involucrados verificando con una estrategia los resultados obtenidos por medio de otra.

Resolucin de problemas que impliquen usar, leer, escribir y comparar nmeros sin lmite. Resolucin de problemas que exijan descomponer aditiva y multiplicativamente los nmeros y analizar el valor posicional. Exploracin de diversos sistemas de numeracin posicionales, no posicionales, aditivos, multiplicativos, decimales. Anlisis de su evolucin histrica y comparacin con el sistema decimal posicional. Resolucin de problemas que involucren diversos sentidos de la multiplicacin y la divisin utilizando, comunicando y comparando diversas estrategias, escribiendo los clculos que representan la operacin realizada. Construccin, seleccin y uso de variadas estrategias de clculo para multiplicar y dividir (mental, algortmico, aproximado y con calculadora) de acuerdo con la situacin y con los nmeros involucrados verificando con una estrategia los resultados obtenidos por medio de otra. Resolucin de problemas que involucren las nociones de mltiplo y divisor. Anlisis de las relaciones entre clculos a partir de la idea de mltiplo: descomposiciones para usar resultados conocidos en la bsqueda de productos o divisiones desconocidas.

- Resolucin de problemas que impliquen usar, leer, escribir y comparar nmeros sin lmite. Resolucin de problemas que exijan descomponer aditiva y multiplicativamente los nmeros y analizar el valor posicional. Anticipacin del resultado de clculos a partir de la informacin que brinda la escritura de los nmeros. Resolucin de problemas que involucren diversos sentidos de la multiplicacin y la divisin utilizando, comunicando y comparando diversas estrategias, escribiendo los clculos que representan la operacin realizada. Construccin, seleccin y uso de variadas estrategias de clculo para multiplicar y dividir (mental, algortmico, aproximado y con calculadora) de acuerdo con la situacin y con los nmeros involucrados verificando con una estrategia los resultados obtenidos por medio de otra. Uso de las nociones de mltiplos, divisores y de los criterios de divisibilidad para resolver diferentes clases de problemas, analizar relaciones entre clculos y anticipar resultados de multiplicaciones y divisiones.

Nmeros racionales

Resolucin de problemas que involucran distintos sentidos de las fracciones (repartos, relaciones entre enteros y partes y entre las partes, relaciones de proporcionalidad directa donde la constante es una fraccin de uso social) utilizando, comunicando y comparando estrategias posibles. Resolucin de problemas que demanden recurrir a las relaciones entre el entero y las partes, as como entre las partes entre s. Anlisis del funcionamiento de las fracciones (comparacin, clculo mental, fraccin de un natural) a partir de los problemas que resuelven. Exploracin del uso social de los nmeros decimales en los contextos del dinero y la medida.

Resolucin de problemas que involucran distintos sentidos de las fracciones (repartos, relaciones entre partes y entero y viceversa, relaciones de proporcionalidad directa en los que la constante es un nmero fraccionario) utilizando, comunicando y comparando estrategias posibles. Relaciones entre los nmeros que intervienen en una divisin entera con la fraccin que expresa el resultado de un reparto. Resolucin de problemas que demanden recurrir a las relaciones entre el entero y las partes, as como entre las partes entre s. Anlisis del funcionamiento de las fracciones (comparar expresiones fraccionarias, representar fracciones en una recta numrica y construir recursos de clculo mental y algortmico para sumar, restar y multiplicar una fraccin por un entero). Uso de expresiones decimales en los contextos del dinero y la medida. Anlisis de las relaciones entre fracciones decimales y expresiones decimales en el contexto del dinero y la medida. Estudio del funcionamiento de las expresiones decimales en trminos de dcimos, centsimos y milsimos en contextos de medida.

Resolucin de problemas que involucran distintos sentidos de las fracciones utilizando, comunicando y comparando estrategias posibles. Relaciones entre los nmeros que intervienen en una divisin entera con la fraccin que expresa el resultado de un reparto. Resolucin de problemas que demanden recurrir a las relaciones entre el entero y las partes, as como entre las partes entre s. Resolucin de problemas que demanden recurrir a las fracciones para representar proporciones. Orden de expresiones fraccionarias y representacin en una recta numrica. Bsqueda de fracciones entre dos fracciones dadas. Construccin de recursos de clculo mental que permitan sumar y restar fracciones entre s y fracciones con nmeros naturales. Multiplicacin de fracciones en el contexto de la proporcionalidad y la superficie. Construccin de recursos de clculo mental que permitan multiplicar fracciones entre s y fracciones con nmeros naturales. Anlisis de las relaciones entre fracciones decimales y expresiones decimales para favorecer la comprensin del valor posicional en las escrituras decimales. Exploracin de las equivalencias entre expresiones fraccionarias y decimales considerando la posibilidad de buscar fracciones a partir de cualquier expresin decimal y los problemas que surgen al buscar expresiones decimales para algunas fracciones. Anlisis de la multiplicacin y divisin de nmeros decimales por la unidad seguida de ceros y establececimiento de relaciones con el valor posicional de las cifras decimales. Construccin de variados recursos de clculo mental, exacto y aproximado que permitan sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones decimales entre s y con nmeros naturales.

Bloques Resolucin de problemas que involucren relaciones de proporcionalidad directa con nmeros naturales y racionales. Anlisis de la pertinencia de usar las relaciones de proporcionalidad directa para resolver situaciones que aunque no son de proporcionalidad pueden ser resueltas parcialmente usando dichas relaciones.

4. grado

5. grado

6. grado

Proporcionalidad

Resolucin de problemas que involucren relaciones de proporcionalidad directa con nmeros naturales utilizando, comunicando y comparando diversas estrategias posibles. Identificacin de la pertinencia de usar o no las propiedades de la proporcionalidad para resolver diferentes tipos de situaciones.

Resolucin de problemas que involucren relaciones de proporcionalidad directa con nmeros naturales utilizando, comunicando y comparando diversas estrategias posibles. Identificacin de la pertinencia de usar o no las propiedades de la proporcionalidad para resolver diferentes tipos de situaciones. Resolucin de problemas que involucran relaciones de proporcionalidad directa con fracciones y decimales de uso social. Resolucin de problemas que exijan poner en juego propiedades de cuadrados, tringulos, rectngulos, rombos y circunferencias. Resolucin de problemas que involucren propiedades de paralelogramos y otros cuadrilteros Resolucin de problemas que exijan poner en juego propiedades de cubos, prismas, pirmides, cilindros, conos y esferas. Uso de las propiedades de las figuras y de los cuerpos para elaborar conjeturas y debatir acerca de la validez o no de diferentes tipos de enunciados.

Geometra

Resolucin de problemas que exijan poner en juego propiedades de circunferencias y crculos, como por ejemplo, reproducir figuras, comunicar datos de dibujos, etctera. Resolucin de problemas que exijan poner en juego propiedades de tringulos explorando y utilizando las relaciones entre sus lados. Resolucin de problemas que exijan poner en juego la nocin y la medida de ngulos. Uso de instrumentos no convencionales y transportador para reproducir y comparar dibujos que incluyen ngulos. Resolucin de problemas que exijan poner en juego propiedades de cuadrados y rectngulos (construccin y reproduccin de figuras utilizando regla, comps, transportador y escuadra). Resolucin de problemas que exijan poner en juego propiedades de diferentes cuerpos geomtricos identificando y formulando algunas caractersticas y elementos de los cuerpos geomtricos.

Resolucin de problemas que exijan poner en juego propiedades del crculo y la circunferencia. Uso de las relaciones entre los lados de un tringulo y estudio de la propiedad de la suma de los ngulos interiores para identificarlos, para reproducirlos y para decidir acerca de la posibilidad de construccin, en funcin de los datos disponibles. Propiedades de rectngulos, cuadrados y rombos en problemas que demanden construcciones, copiados y comunicacin de informacin. Uso de regla, comps, escuadra y transportador. Establecimiento de relaciones entre los elementos de las figuras para decidir acerca de la posibilidad o no de construccin. Exploracin y uso de la propiedad de la suma de los ngulos interiores de los cuadrilteros. Resolucin de problemas que exijan poner en juego propiedades de cubos, prismas y pirmides.

Medida

Resolucin de problemas que involucren medidas de longitud, capacidad y peso con unidades de uso social. Resolucin de problemas que impliquen establecer relaciones entre fracciones usuales y unidades de medida. Resolucin de problemas que impliquen estimar medidas y determinar la conveniencia de unas u otras unidades.

Resolucin de problemas que involucren el estudio del Sistema Mtrico (SIMELA) para longitud, capacidad y peso. Establecimiento de relaciones entre mltiplos y submltiplos del metro, el litro y el gramo recurriendo a relaciones de proporcionalidad directa, a las caractersticas del sistema de numeracin y al uso de fracciones decimales y expresiones decimales. Resolucin de problemas que impliquen establecer relaciones entre fracciones, expresiones decimales y unidades de medida. Resolucin de problemas que impliquen estimar medidas y determinar la unidad de medida ms conveniente.

Resolucin de problemas que involucren el uso del Sistema Mtrico (SIMELA) para longitud, capacidad y peso estableciendo relaciones entre fracciones, expresiones decimales y unidades de medida. Establecimiento de relaciones entre mltiplos y submltiplos del metro, gramo y litro recurriendo a relaciones de proporcionalidad directa, a las caractersticas del sistema de numeracin y al uso de fracciones y expresiones decimales. Resolucin de problemas que involucren el anlisis de las variaciones en permetros y reas. Exploracin de la independencia entre la variacin del permetro y la variacin del rea. Comparacin de permetros y reas sin necesidad de recurrir al clculo. Resolucin de problemas que involucren medir reas de rectngulos con estrategias diversas. Resolucin de problemas que involucren el clculo de medidas de reas de diversas figuras utilizando unidades de medida convencionales.

5. grADo MATEMTICA

EjEMplo DIsTrIbuCIN ANuAl DE CoNTENIDos IMes ContenidoNuMERACIN Resolucin de problemas que implican usar, leer, escribir y comparar nmeros naturales. Resolucin de problemas que exigen componer y descomponer nmeros en forma aditiva y multiplicativa. Exploracin de distintos sistemas de numeracin: el egipcio y el chino. OPERACIONEs CON NMEROs NATuRALEs (PRIMERA PARTE) Resolucin de problemas que involucran significados ms complejos de la suma y la resta, identificando los clculos que los resuelven. Resolucin de clculos mentales y estimativos de suma y resta utilizando descomposiciones de los nmeros y clculos conocidos. Uso de diferentes recursos y propiedades para anticipar resultados de otros clculos sin resolverlos. Resolucin de problemas sencillos que involucran multiplicaciones y divisiones: series proporcionales, organizaciones rectangulares, repartos y particiones. Resolucin de problemas que implican determinar la cantidad que resulta de combinar y permutar elementos por medio de diversas estrategias y clculos. Resolucin de problemas que implican analizar el resto de una divisin. Resolucin de problemas que implican reconocer y usar el cociente y el resto de la divisin en situaciones de iteracin. NguLOs Y TRINguLOs. CRCuLO Y CIRCuNFERENCIA Construccin de figuras a partir de instrucciones. Copiado de figuras. Resolucin de problemas que implican identificar la circunferencia como el conjunto de puntos que equidistan de un centro, y al crculo como el conjunto de puntos que estn a igual o menor distancia de un centro. Resolucin de problemas que permiten comparar, medir y clasificar ngulos. Construccin de tringulos a partir de las medidas de sus lados y/o de sus ngulos para identificar sus propiedades. Suma de los ngulos interiores de los tringulos. MEDIDA Resolucin de problemas que demandan clculos aproximados de longitudes, capacidades y pesos. Resolucin de situaciones problemticas que exigen la equivalencia entre diferentes unidades de medida. Resolucin de situaciones que ponen en juego la independencia de la medida del rea de la forma. Exploracin de la independencia de las variaciones del rea y del permetro de una figura. OPERACIONEs (sEguNDA PARTE) Resolucin de problemas que implican analizar las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto. Resolucin de problemas de varios pasos con las cuatro operaciones y diferentes modos de presentar la informacin. Resolucin de problemas que involucran el uso de la calculadora para verificar y controlar los clculos realizados por otros procedimientos. Resolucin de problemas que implican el uso de mltiplos y divisores, y de mltiplos y divisores comunes entre varios nmeros. EXPREsIONEs FRACCIONARIAs Resolucin de problemas de divisin en los que tiene sentido repartir el resto y se ponen en juego relaciones entre las fracciones y la divisin. Resolucin de problemas de medida en los cuales las relaciones entre partes, o entre partes y el todo pueden expresarse usando fracciones. Resolucin de problemas que demandan buscar una fraccin de una cantidad entera. Comparacin de fracciones y determinacin de equivalencias. Ubicacin de fracciones en la recta numrica a partir de diferentes informaciones. Resolucin de problemas de suma y resta entre fracciones y con naturales. Resolucin de problemas que demandan multiplicar o dividir una fraccin por un nmero natural. EXPREsIONEs DECIMALEs Resolucin de problemas que demandan usar expresiones decimales para comparar, sumar, restar y multiplicar precios y medidas. Resolucin de problemas que demandan analizar las relaciones entre fracciones decimales y expresiones decimales en el contexto del dinero y la medida. Resolucin de problemas que permiten analizar las relaciones entre fracciones decimales y expresiones decimales para favorecer la comprensin del significado de dcimos, centsimos y milsimos. Resolucin de problemas que demandan leer, escribir y ordenar expresiones decimales usando la recta numrica. Utilizacin de recursos de clculo mental exacto y aproximado para sumar y restar expresiones decimales entre s, y multiplicar una expresin decimal por un nmero natural, as como clculos algortmicos de suma y resta de expresiones decimales. PARALELIsMO Y PERPENDICuLARIDAD. CuADRILTEROs Trazado de rectas perpendiculares y paralelas utilizando distintos instrumentos. Copiado y dictado de figuras con segmentos perpendiculares y paralelos. Resolucin de problemas que permitan la identificacin de las caractersticas de cada clase de cuadrilteros. Construccin de cuadrados, rectngulos y rombos como medio para profundizar el estudio de algunas de sus propiedades. Construccin de distintos cuadrilteros a partir de sus diagonales. Suma de los ngulos interiores de los cuadrilteros.

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Setiembre

Octubre

PROPORCIONALIDAD Noviembre Resolucin de problemas de proporcionalidad directa que involucran nmeros naturales. Diciembre Anlisis de la pertinencia del modelo proporcional para resolver problemas. Resolucin de problemas en los que una de las magnitudes es una expresin fraccionaria o decimal.

5. grADo MATEMTICA

EjEMplo DE DIsTrIbuCIN ANuAl DE CoNTENIDos IIMes Contenido Estudio del sistema de numeracin. Composiciones y descomposiciones en sumas y multiplicaciones utilizando 1, 10, 100 y 1.000. Resolucin de problemas de suma, resta y multiplicacin que involucren diferentes significados y diferentes procedimientos de resolucin. Resolucin de problemas de divisin que involucren diferentes significados y diferentes procedimientos de resolucin. Mltiplos y divisores. Representacin en la recta numrica de nmeros naturales, mltiplos, etc. Las fracciones en problemas de reparto. Resolucin de diferentes situaciones de reparto utilizando fracciones usuales: Equivalencia entre fracciones. Representacin en la recta numrica de fracciones usuales.1 2

Marzo

Abril

Mayo Junio Julio Agosto

;

1 4

;

3 4

;

1 8

;

5 2

;

5 4

;

3 8

; etc.

Copiado de figuras que incluyan circunferencias y tringulos. Estudio de propiedades de cuadrilteros: rectngulos, cuadrados y rombos en situaciones que demanden construcciones. Nueva vuelta de resolucin de problemas que involucren sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Uso de la calculadora. Repaso de decimales con el dinero. Relacin entre fracciones decimales y nmeros decimales para 0,1 = Los decimales y la medida. Descomposicin en dcimos, centsimos y milsimos. Uso de la calculadora. Recta numrica.1 10 1 y 0,01 = 100 .

Setiembre

Octubre

Nueva vuelta de resolucin de problemas de reparto y medida con medios, cuartos y octavos, incluyendo esta vez tambin tercios, sextos, quintos y dcimos. Resolucin de problemas de suma y resta con fracciones y multiplicacin de una fraccin por un nmero natural.

Independencia entre permetro y rea de figuras. Noviembre Repaso de todos los temas. Diciembre

5. grADo

QuINTo grADo

EjEMplo DE plANIfICACIN MENsuAl Mes de abril: operacionesfuNDAMENTACIN En el segundo ciclo, se deben proponer a los alumnos mltiples situaciones que les permitan construir nuevos sentidos de las operaciones bsicas, no solo en cuanto a la amplitud y la diversidad del campo de problemas que son capaces de resolver, sino tambin en cuanto al abordaje de las operaciones en otros campos numricos, la exploracin y la formulacin de las propiedades, la posibilidad de utilizar la escritura matemtica para expresar relaciones, organizar el propio pensamiento y para precisar el curso de accin que se lleva ante situaciones ms complejas. (Diseo Curricular para la Escuela Primaria Gobierno de la Ciudad Autnoma de Buenos Aires).

CoNTENIDos Resolucin de problemas que involucran significados ms complejos de la suma y la resta identificando los clculos que los resuelven. (Primera semana) Resolucin de clculos mentales y estimativos de suma y resta utilizando descomposiciones de los nmeros y clculos conocidos. Uso de diferentes recursos y propiedades para anticipar resultados de otros clculos, sin resolverlos. (Segunda semana) Resolucin de problemas sencillos que involucran multiplicaciones y divisiones: series proporcionales, organizaciones rectangulares, repartos y particiones. (Tercera semana) Resolucin de problemas que implican determinar la cantidad que resulta de combinar y permutar elementos mediante diversas estrategias y clculos. (Tercera semana) Resolucin de problemas que implican analizar el resto de una divisin. (Cuarta semana) Resolucin de problemas que implican reconocer y usar el cociente y el resto de la divisin en situaciones de iteracin. (Cuarta semana)

INDICADorEs DE AvANCEs Se espera que, en este perodo, se generen las condiciones para que al finalizar el mes los alumnos puedan: Resolver problemas que involucren distintos sentidos de las operaciones de suma, resta, multiplicacin y divisin utilizando, comunicando y comparando diversas estrategias y clculos posibles.

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Seleccionar y usar variadas estrategias de clculo para sumar, restar, multiplicar y dividir de acuerdo con la situacin y con los nmeros involucrados. Elaborar estrategias personales para la resolucin de problemas y modos de comunicar procedimientos y resultados. Asumir progresivamente la responsabilidad de validar sus producciones e ideas. Valorar el intercambio de ideas, el debate y la confrontacin de posiciones respecto de una supuesta verdad.

EsTrATEgIAs DoCENTEs Identificar los saberes previos. Considerar el error como una marca visible del estado de los conocimientos de los chicos a partir del cual se debe trabajar. Proponer la resolucin de distintas situaciones que involucren problemas internos y externos del rea. Proponer problemas en los que los nios precisen enfrentarse a situaciones que les presentan un cierto grado de dificultad para que puedan poner en juego un trabajo matemtico. Promover la explicitacin de las ideas que los chicos van elaborando en sus actividades.

EvAluACIN Oral, de proceso. Correccin de los trabajos realizados en clase. Escrita, en distintos momentos del desarrollo de esta propuesta.

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5. grADo MATEMTICA

EjEMplo DE plANIfICACIN sEMANAl primera semana de abril: suma y restaCoNTENIDos Resolucin de problemas que involucran significados ms complejos de la suma y la resta identificando los clculos que los resuelven.

ClAsE 1 La idea es presentar el tema mediante el trabajo con problemas que se resuelvan apelando a la suma o a la resta. La propuesta puede plantearse de manera individual con una primera puesta en comn en grupos de a 4 alumnos para intercambiar sus primeros resultados, y para comparar las estrategias utilizadas, hasta elegir la que les parezca ms adecuada para explicarla al resto de la clase. Despus de esa primera puesta en comn, cada grupo elegir un representante que pasar a socializar con el resto de la clase la forma de resolucin elegida en cada caso, para realizar una puesta en comn general. problema Lisandro tiene un camin y hace entregas de bebidas por todo el norte y el oeste del pas. El lunes tiene que llevar diferentes cargas desde Buenos Aires hasta Mendoza, Tucumn, Salta y Jujuy. Para ahorrar combustible, debe decidir entre los siguientes recorridos: Buenos Aires-Jujuy-Salta-Tucumn-Mendoza-Buenos Aires o Buenos Aires-Tucumn-Salta-Jujuy-Mendoza-Buenos Aires En este cuadro, se muestran las distancias en kilmetros entre las ciudades:Buenos Aires Buenos Aires Tucumn Mendoza 1.171 1.095 1.423 1.627 980 252 275 1.232 1.255 113

Tucumn 1.171

Mendoza 1.095980

Salta 1.423252 1.232

Jujuy 1.627275 1.255 113

Salta Jujuy

Cul ser el recorrido ms corto entre los dos que pens, y cuntos kilmetros se ahorra? puesta en comn En la instancia de la puesta en comn, es esperable que aparezcan distintas formas de pensar estas situaciones. Se apunta a que se hagan explcitas las relaciones entre los nmeros que determinan los clculos pertinentes.

24

ClAsE 2 La propuesta para la segunda clase apunta a que se hagan explcitos los motivos por los cuales los alumnos seleccionan una u otra operacin para resolver el problema. Se trabajar en forma individual, con una posterior puesta en comn general. problema 1 Yamila le prest a Pablo $275, y Pablo le prest a Yamila $456. Marc con una cruz el clculo que permite conocer quin le debe a quin y cunto le debe para saldar las deudas. Despus resolvelo. 275 + 456 275 456 456 275 456 275

problema 2 Complet los datos que faltan en esta tabla de puntajes de un juego. JugadorFernando Andrea Adrin Primera ronda 15.469 14.101 8.470

Segunda ronda7.250

Tercera ronda6.999 9.265 9.500

Total29.601 28.142

puesta en comn Se trata de volver sobre las conclusiones de la clase anterior para ponerlas a prueba o bien para establecer nuevas relaciones entre datos que habilitan a seleccionar la operacin ms pertinente. ClAsE 3 Las situaciones planteadas para esta clase apuntan a reinvertir lo trabajado en las clases anteriores. problema 1 Julin jug dos partidos de figuritas. En el primer partido, perdi 16 figuritas. En el segundo, no recuerda qu ocurri, pero sabe que al terminar ambas partidas, en total haba ganado 10 figuritas. Qu pas en la segunda vuelta? Gan o perdi? Cuntas figuritas? problema 2 Complet la tabla de goles de los ltimos tres torneos de Papi Futbol. La diferencia de gol es la distancia entre los goles a favor y los goles en contra. EquipoAzul Verde Rojo Goles a favor 79 68 84

Goles en contra52

Diferencia de gol15 23

puesta en comn La resolucin de estas situaciones favorecer la revisin de las conclusiones elaboradas en las clases anteriores mediante su utilizacin en nuevos contextos.25

5. grADo 2. Ao/grADo

EjEMplo DE EvAluACIN DE uN CoNTENIDoNMEros DECIMAlEs Esta evaluacin est diseada para identificar los conocimientos que los alumnos aprendieron mediante el trabajo realizado en torno a la relacin entre expresiones fraccionarias y expresiones decimales, as como a las relaciones de orden entre expresiones decimales. problema 1 a) Cuntas monedas de $0,10 se necesitan para juntar $3,20? b) Cuntas de $0,01 se necesitan para formar $3,20? Criterio de correccin Pregunta a) Se considerar correcta la respuesta si el alumno responde 32 monedas o escribe 10 monedas, 10 monedas, 10 monedas y 2 monedas o cualquier otra distribucin equivalente. Se considerar parcialmente correcta la respuesta si el alumno responde 31 o 33, producto de haber dibujado las monedas (32) y contarlas mal. Se considerar incorrecta la respuesta si escribe cualquier otro nmero. Pregunta b) Se considerar correcta si el alumno responde 320 monedas o escribe 100 monedas, 100 monedas, 100 monedas y 20 monedas o cualquier otra distribucin equivalente. Se considerar parcialmente correcta si el alumno responde 310 o 330, como producto de haber acarreado el error de la pregunta a). Se considerar incorrecta si escribe cualquier otro nmero.

problema 2 Cul o cules de estas expresiones indica una longitud de 4 metros con 17 centmetros? a) 4 + b) 4 +17 100 17 10

c) 4 ,17 d) 4 +1 7 + 10 100

Criterio de correccin Se considerar correcta la respuesta si el alumno seala las opciones a), c) y d). Se considerar parcialmente correcta si el alumno seala al menos dos de esas opciones, y no seala la opcin b). Se considerar incorrecta si seala solo una de las opciones correctas.26

problema 3 Una modista tiene restos de cintas que le sobraron de sus trabajos y decide ordenarlos segn su medida. Cinta negra: 0,6 m Cinta gris: 0,14 m Cinta blanca: 0,63 m Cinta rayada: 0,8 m Cul es la cinta ms larga? Cul es la ms corta? Criterio de correccin Se considerar correcta la respuesta si el alumno responde que la cinta ms larga es la rayada y la ms corta la gris. Se considerar parcialmente correcta si responde correctamente a una de las dos preguntas y omite la otra respuesta. Se considerar incorrecta si responde incorrectamente una o las dos preguntas planteadas.

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5. grADo

EjEMplo DE problEMAs pArA EvAluACIN DE fIN DE AoA continuacin, se propone una seleccin de problemas que podran servir como ejemplos para la elaboracin de una prueba de fin de 5. ao. Puede ser utilizada total o parcialmente, o implementada en ms de un da, dada su extensin. 1. Le esta informacin.

La superficie de la parte continental de la Argentina es de 2.780.400 kilmetros cuadrados; la superficie de la Antrtida Argentina y las Islas del Atlntico Sur, que nuestro pas reclama como propias, es de 980.874 kilmetros cuadrados.

a) Escrib esas cantidades en letras. b) La superficie total de nuestro pas, incluyendo la parte continental, el sector antrtico y las islas reclamadas es de tres millones setecientos sesenta y un mil doscientos setenta y cuatro kilmetros cuadrados. Escrib esta cantidad con nmeros. c) Gustavo dice que el sector de la Antrtida y de las islas es mayor porque su superficie empieza con 9, mientras que la superficie de la parte continental empieza con 2. Te parece que tiene razn? Por qu? 2. En un juego, hay cartas de 10.000, de 1.000, de 100, de 10 y de 1. Se trata de sumar puntos, segn la cantidad de cartas de cada valor que se ganan. Complet el siguiente cuadro de una partida que jugaron unos amigos. La anotacin de Ezequas va como ayuda. JugadorEzequas Ernesto Gonzalo 10.000

1.000 5 9

100 17 ......... 3 .........

10 60 .........

1 22 ......... 3 .........

Total 35.162......... 3.476 .........

36 ......... 6 .........

......... 7 .........

Cristian Mateo

1

11.408.........

Realiz una lista con los nombres de los chicos de acuerdo con el puntaje que obtuvieron. 3. La familia de Taty se fue de vacaciones a Tucumn, a 1.240 km de Buenos Aires. Decidieron parar en la ciudad de Crdoba, a 706 km, y en Fras (Santiago del Estero), 341 km despus de Crdoba. Cuando estn en Fras, cuntos kilmetros les faltan para llegar a Tucumn?

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5. grADo

4. Despus de repartir una cantidad de alfajores en partes iguales, en 15 cajas, quedaron 20 en cada caja y sobraron 5. Cuntos alfajores haba? 5. Se organiza una excursin para 324 alumnos de una escuela. Los micros tienen 24 asientos. Cuntos micros hay que contratar? Cuntos asientos vacos quedan? 6. El siguiente dibujo representa un patio rectangular cubierto con 24 baldosas cuadradas.

Dibuj al menos otros tres patios rectangulares, distintos del anterior, que utilicen exactamente 24 baldosas. 7. Con las letras A, B, C y D, se quieren formar todas las combinaciones posibles, sin repetirlas. Cuntas formas de combinarlas hay? 8. Irina quiere repartir 11 alfajores entre 5 amigos de manera que todos reciban la misma cantidad y no quede nada sin ser repartido. Busc una manera de hacer ese reparto y de escribir, usando nmeros, la cantidad que le toca a cada uno de los chicos. 9. Pint1 de estos cuadrados de tres formas distintas. 4

10. Esta tira representa

1 de la unidad. Dibuj la unidad. 3

11. De las 24 pizzetas que hizo Silvana, son con jamn y con cebolla. Cuntas pizzetas 4 8 de cada clase prepar Silvana? 12. Matas comi1 1 de pizza. Sol comi de pizza. Quin comi ms? 4 3

1

1

13. En una casa de instrumentos musicales, ofrecen una guitarra elctrica a un precio de contado de $1.400 o en seis cuotas de $250,40 cada una. Cunto ms caro es comprarla en cuotas que al contado? 14. Cul de estos dos nmeros est ms cerca de 7,4: 7,36 o 7,5?

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15. Silvina orden correctamente unos nmeros de menor a mayor, pero al copiarlos en su carpeta se olvid de colocarles las comas. Colocalas donde corresponda, teniendo en cuenta que los nmeros estaban bien ordenados. 317 38 412 52 7 16. a) Cunto le falta a 3,87 para llegar a 4,1? Y para llegar a 4,105? b) Cunto hay que restarle a 15,208 para obtener como resultado 8,9? 17. Calcul mentalmente los siguientes productos y verific tus resultados con la calculadora. a) 60 x 0,5 = b) 84 x 0,5 = c) 60 x 1,5 = d) 84 x 1,5 =

18. Constru un tringulo que tenga un ngulo de 50 y otro de 70. Hay ms de uno? Justific tu respuesta. Pods hacer todos los dibujos o esquemas que consideres necesarios para explicar cmo lo pensaste. 19. Escrib en los renglones de la derecha las instrucciones para que un compaero, que no puede ver el dibujo de la izquierda, pueda reproducirlo.

20. Complet, utilizando regla y escuadra, la siguiente figura de modo que el segmento propuesto sea el lado de un rectngulo.

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bIblIogrAfA

bIblIogrAfA y lINks rECoMENDADos

A continuacin, presentamos una coleccin de materiales editados en libros o accesible en pginas de Internet que podran resultar interesantes para docentes y directivos . I. AspECTos gENErAlEs sobrE lA ENsEANzA DE lA MATEMTICA Brousseau, G. (1994). Los diferentes roles de los maestros. En Parra, C. y Saiz, I. (comps.) Didctica de matemticas. Aportes y reflexiones. Buenos Aires: Paids. Chevallard, Y; Boch, M.; Gascn, J. (1997). Estudiar Matemtica-El eslabn pedido entre la enseanza y el aprendizaje. Barcelona. Editorial Horsori. Chemello, G. (1997). La Matemtica y su didctica. Nuevos y antiguos debates. En Iaies, G. Didcticas especiales. Estado del debate. Buenos Aires: Aique. Napp, C.; Novembre, A.; Sadovsky, P.; Sessa C. (2000). La formacin de los alumnos como estudiantes. Estudiar Matemtica - Serie Apoyo a los alumnos de primer ao en los inicios del Ministerio de Educacin. Direccin de Currcula. G. C. B. A. [en lnea] http://www.buenosaires.gov.ar/ areas/educacion/curricula/media.php?menu_id=20709#matematica. Panizza, M. (2002). Reflexiones generales acerca de la enseanza de la Matemtica. En Panizza (comp.) Ensear matemtica en el Nivel Inicial y primer ciclo de EGB: Anlisis y Propuestas. Buenos Aires: Paids. Quaranta, M. E. ; Wolman, S. (2002). Discusiones en las clases de matemticas: qu se discute?, para qu? y cmo?. En Panizza (comp.) Ensear matemtica en el Nivel Inicial y primer ciclo de EGB: Anlisis y Propuestas. Buenos Aires: Paids. Sadovsky, P. (2005). Ensear Matemtica hoy. Buenos Aires: Libros del Zorzal. II. pArA El TrATAMIENTo DE los NMEros NATurAlEs y sus opErACIoNEs Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Ministerio de Educacin. Direccin de Currcula (1992). Los nios, los maestros y los nmeros. Desarrollo curricular. Matemtica para 1.o y 2.o grado [en lnea] http://estatico.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/docum/areas/matemat/ lnlmyln.pdf. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Secretara de Educacin. Direccin de Currcula (1997). Documento de actualizacin curricular N. 4. Matemtica. Direccin de Currcula. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires [en lnea] http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/ docum/matematica.php. Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Ministerio de Educacin. Direccin de Currcula (2006). Clculo mental con nmeros naturales. Apuntes para la enseanza [en lnea] http://www.buenosaires.gov.ar/areas/educacion/curricula/pluri_mate.php?menu_id=20709.31

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CuADErNIllo DE

ACTIvIDADEs5. grADo

5 grADo ACTIvIDADEs

NMEros NATurAlEslECTurA y EsCrITurA DE NMEros 1. La siguiente tabla contiene la cantidad de habitantes de las provincias argentinas y de la CABA, segn los censos de 1991 y de 2001. Total Ciudad Autnoma de Buenos Aires Buenos Aires Catamarca Chaco Chubut Crdoba Corrientes Entre Ros Formosa Jujuy La Pampa La Rioja Mendoza Misiones Neuqun Ro Negro Salta San Juan San Luis Santa Cruz Santa Fe Santiago del Estero Tucumn Tierra del Fuego, Ant. e I. del A. Sur Ao 1991 32.615.528 2.965.403 12.594.974 264.234 839.677 357.189 2.766.683 795.594 398.413 512.329 259.996 220.729 1.412.481 788.915 388.833 866.153 528.715 286.458 159.839 2.798.422 671.988 1.142.105 Ao 2001 36.260.130 2.776.138 334.568 984.446 413.237 3.066.801 930.991 1.158.147 486.559 611.888 289.983 1.579.651 965.522 474.155 552.822 1.079.051 367.933 196.958 804.457 1.338.523 101.079

a) Algunos nmeros de la tabla se han borrado, pero estn escritos en letras a continuacin. Buenos Aires, 2001: trece millones ochocientos veintisiete mil doscientos tres. Entre Ros, 1991: un milln veinte mil doscientos cincuenta y siete. La Pampa, 2001: doscientos noventa y nueve mil doscientos noventa y cuatro. Ro Negro, 1991: quinientos seis mil setecientos setenta y dos. san Juan, 2001: seiscientos veinte mil veintitrs. santa Fe, 2001: tres millones setecientos uno. Tierra del Fuego, 1991: sesenta y nueve mil trescientos sesenta y nueve. Con esa informacin, complet los nmeros que faltan en la tabla.

Actividades - Pgina 1

NMEros NATurAlEs

b) Segn el censo del 2001, cul es el distrito argentino con mayor poblacin? Y el de menor poblacin? c) Hay algn distrito que haya disminuido su poblacin entre el censo de 1991 y el del 2001? Si es as, cul? d) Guindote por el censo del 2001, orden las cinco provincias menos pobladas, comenzando por la menos poblada. e) Escrib la poblacin de esas cinco provincias, en letras. f) Ahora, escrib el nombre de las cinco provincias ms pobladas, tambin comenzando por la menos poblada. g) Escrib la poblacin de estas provincias, en letras. 2. A continuacin, hay una lista de nmeros de 6 cifras. Cada uno de ellos est incompleto. a) Ser posible que al completarlos alguno sea el ciento veinte mil ocho? Intent responder sin completar los nmeros. Luego, s completalos. 12 __ __ 80 1 __ 208 __ 120 __ __ 8 128 __ __ __ 121 __ __ 8 __ __ 1 __ 08

b) Completando alguno de los nmeros anteriores, se podr obtener el ciento veinte mil ochenta? 3. Cul de los siguientes nmeros es el tres millones cuatrocientos veinte mil ciento ochenta? Sealalo. 3.042.108 3.420.108 3.421.800 3.420.180 420.000.180 34.020.180

4. Escrib con nmeros las siguientes cantidades: Tres millones ocho: ___________________________________________________________________. Tres millones ochenta: _________________________________________________________________. Tres millones ochocientos: _____________________________________________________________. Tres millones ocho mil: ________________________________________________________________. Tres millones ochenta mil: _____________________________________________________________. Tres millones ochocientos mil: __________________________________________________________. 5. En el siguiente cuadro, se presentan algunos nmeros, sus anteriores o sus siguientes. Completalo. anterior 199.999 349.999 567.899 999.999 4.567.999 nmero 100.000 200.000 siguiente 100.001 350.001 567.901 1.000.000 2.001.000 2.001.001 4.568.001

Actividades - Pgina 2

NMEros NATurAlEs

6. Complet esta tabla. Un milln menos Cien mil menos Nmero 2.678.987 1.234.567 9.876.543 1.000.000 Diez mil ms Un milln ms

CoMposICIN DE NMEros 7. Ernesto, Juan y Sol juegan a un juego en el que se pagan y se cobran puntos usando billetes de 1, de 10, de 100, de 1.000, de 10.000, de 100.000 y de 1.000.000. Hay varios billetes de cada cantidad. a) Sol tiene un billete de 100.000 y lo quiere cambiar por otros billetes de valores menores, que sumen la misma cantidad de puntos. Escrib tres maneras diferentes en que puede hacer este cambio. b) Ernesto tiene que pagar 253.000 puntos. Cuntos billetes de cada valor debe entregar? c) Juan tiene que pagar 45.672 puntos. Cuntos billetes de cada valor debe entregar? 8. Indic cmo se puede obtener cada una de las siguientes cantidades usando los billetes del juego. Pods usar varios de cada uno. El primero va de ejemplo. 21.308 = 2 de 10.000; 1 de 1.000; 3 de 100; 8 de 1. 56.750 = ___________________________________________________________________________ 678.543 = __________________________________________________________________________ 2.567.982 = _________________________________________________________________________ 9. En la siguiente tabla, indic la cantidad de billetes de cada valor que se necesitan para formar cada monto de dinero