MATEMATICA 200 METODOS CUANTITATIVOS II 200 on... · diferencial e introducción al cálculo...
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Sistema Universitario Ana G. Méndez School for Professional Studies
Universidad del Este, Universidad Metropolitana, Universidad del Turabo
MATEMATICA 200 METODOS CUANTITATIVOS II
Math 200
Quantitative Methods II
© Sistema Universitario Ana G. Méndez, 2003
Derechos Reservados.
© Ana G. Méndez University System, 2003. All rights reserved.
Prep. 02-24-04. Sylvia Y. Cosme Montalvo, MBA
Rev. 02-25-04. Armando J. Sánchez
Matemática 200 Métodos Cuantitativos II/Math 200 Quantitative Methods II 2
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TABLA DE CONTENIDO/TABLE OF CONTENTS
Páginas/Pages
Prontuario/Study Guide .....................................................................................3
Taller Uno/Workshop One................................................................................16
Taller Dos/Workshop Two ................................................................................20
Taller Tres/Workshop Three.............................................................................27
Taller Cuatro/Workshop Four ...........................................................................31
Taller Cinco/Workshop Five .............................................................................35
Anejo A/Appendix A .........................................................................................39
Anejo B/Appendix B .........................................................................................41
Anejo C/Appendix C.........................................................................................48
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Prontuario
Título del Curso: Métodos Cuantitativos II
Codificación: MATEMATICA 200
Duración: Cinco Semanas
Pre-requisito: MATEMATICA 121 o aprobación de prueba diagnóstica
de álgebra.
Descripción:
Curso dirigido a estudiantes de la Escuela de Administración de Empresas con
un enfoque hacia aplicaciones en los conceptos presentados y que
mayormente se utilizan en el comercio. Se estudian los procesos de
programación lineal incluyendo el método simplex, optimización, cálculo
diferencial e introducción al cálculo integral.
Objetivos Generales:
1. Al finalizar el curso el/la estudiante estará capacitado para:
2. Resolver situaciones utilizando los conceptos fundamentales del cálculo
diferencial e integral.
Aplicar las diversas técnicas del cálculo diferencial e integral en la solución
de ejercicios de aplicación en la administración de empresas.
3. Utilizar adecuadamente las técnicas de optimización.
4. Analizar resultados de las aplicaciones para tomar decisiones y poder dar
recomendaciones válidas.
Texto: Barnett, R. A., Ziegler, M. R. (1995). Essentials of College Mathematics. (3rd .ed.)
New Jersey: MacMillan.
Recursos: Arya, J. C., Lardner, R. W. (2002). Matemáticas Aplicadas a la administración y a la
economía. (4ta. ed.) México: Prentice Hall.
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Haeussler, E. F., Paul, R. S. (1997). Matemáticas para administración,
economía, ciencias sociales y de la vida. (8va ed). Prentice Hall.
Referencias y material suplementario: Barnett, R. A., Ziegler, M. R. (1994). Applied Mathematics. McGraw Hill.
El estudiante debe obtener una calculadora científica, ya que es una de las
herramientas principales para poder realizar eficientemente las tareas y actividades
provistas para cada taller.
Evaluación: 1. Trabajos para realizar de cada taller 15%
Después de cada taller, el/la estudiante deberá completar una variedad de
ejercicios y preguntas guías que le ayudarán en el proceso de comprensión de
conceptos que se desarrollan en la práctica de las actividades que se efectuaron
en el taller. Los mismos, constarán de una selección de ejercicios asignados por
el facilitador y de la búsqueda en la Internet de información básica conceptual.
El/La estudiante deberá incluir el procedimiento que utilizo para llegar a los
resultados de los ejercicios asignados. Si el procedimiento no es incluido, no se
le daré crédito complete por el ejercicio aunque el resultado sea correcto. Estas
tareas serán entregadas a partir de la segunda reunión. Cada trabajo tiene un
valor de 25 puntos para un total de 100. No entregar éstos en el tiempo
establecido conlleva un descuento de 5 puntos por cada tardanza en la entrega
ó a discreción del facilitador.
2. Cuatro (4) trabajos cooperativos 20% El/la estudiante tendrá la oportunidad de trabajar en grupo con diferentes
compañeros matriculados en el curso MATH 200. El facilitador estará a cargo de
incorporar los grupos en cada uno de los talleres. Cada grupo trabajará una
situación asignada que se resolverá y presentará a la clase. La solución del
trabajo se entregará al finalizar el tiempo provisto por el facilitador antes de la
presentación de los mismos en cada taller con el nombre de todos los
participantes por grupo en la hoja provista por el facilitador. Habrá cuatro (4)
trabajos cooperativos a partir del primer taller, cada uno de ellos con un valor de
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25 puntos para un total agregado de 100. En la quinta reunión no se realizará
esta actividad.
3. Cuatro (4) pruebas para realizar en los talleres 20% A partir de la segunda reunión y hasta el último taller, al principio de cada taller
se dará una prueba corta sobre el material discutido en el taller anterior. Luego
de haber asistido al taller anterior, haber hecho la tarea asignada y haber
participado en el trabajo cooperativo, el/la estudiante estará capacitado para
contestar esta prueba corta. La misma constará de una selección de ejercicios
prácticos que fortalecerán las destrezas y conceptos analizados y tendrá un
valor de 25 puntos cada una, para un total de 100.
4. Trabajo Final: Ejercicio Colaborativo 25% Durante el quinto taller, se llevará a cabo un ejercicio colaborativo (debate-
concurso). La evaluación considerará variables de desempeño individual y
grupal. El facilitador seleccionará aleatoreamente a los estudiantes que
integrarán los grupos, no más de cinco estudiantes por grupo. Cada uno de los
grupos tendrá la oportunidad de contestar ejercicios prácticos de los temas que
se han facilitado en los talleres. Esta actividad tiene un valor de 100 puntos. El
facilitador informará la composición de los grupos en el tercer taller. 5. Asistencia y Participación 20%
La asistencia a todos los talleres es necesaria e indispensable. En caso de
ausencia, el/la estudiante debe realizar todas las gestiones necesarias para
comunicarse con el facilitador de manera que pueda prepararse adecuadamente
para la próxima reunión. Todas las actividades realizadas en el taller ausente,
sujetas a evaluación, serán consideradas y ponderadas de acuerdo con los
parámetros específicos. Es decir, es vigente la pérdida de puntuación por cada
trabajo del cual no fue partícipe el/la estudiante por causa de la ausencia. (Ver anejo A: Parámetros Específicos para Evaluar Asistencia y Participación)
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6. Escala de evaluación: La evaluación final se calculará a base de promedios ponderados pero
considerando la escala estándar de porcientos.
Porciento 100-90 89-80 70-79 60-69 59-0
Nota A B C D F
Descripción de las normas del curso 1. La asistencia es obligatoria. El estudiante debe excusarse con el facilitador, si
tiene alguna ausencia y reponer todo trabajo. El facilitador se reserva el derecho
de aceptar la excusa y el trabajo presentado y ajustar la evaluación, según
entienda necesario.
2. Las presentaciones orales y actividades especiales no se pueden reponer, si el
estudiante presenta una excusa válida y constatable (Ej. médica o de un
tribunal), se procederá a citarlo para un examen escrito de la actividad a la cual
no asistió.
3. Este curso es de naturaleza acelerada y requiere que el estudiante se prepare
antes de cada taller, según especifica el módulo. Se requiere un promedio de 10
horas semanales para prepararse para cada taller.
4. El estudiante debe someter trabajos de su autoría, por lo tanto, no deberá
incurrir en plagio. Debe dar crédito a cualquier referencia.
5. Si el facilitador realiza algún cambio, deberá discutir los mismos con el
estudiante en el Taller Uno. Además, entregará los acuerdos por escrito a los
estudiantes y al Programa.
6. El facilitador establecerá el medio y proceso de contacto.
7. El uso de teléfonos celulares está prohibido durante los talleres.
8. No está permitido traer niños o familiares en los salones de clases.
9. El estudiante tendrá la oportunidad de aprender tanto a través del español como
del inglés. Los talleres serán facilitados en ambos idiomas en días alternos.
Esto significa que los talleres serán facilitados en un idioma diferente cada
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semana. Un estudiante puede interactuar y hacer preguntas en el idioma de su
preferencia; pero, en general, se le solicitará que utilice un solo idioma en
trabajos específicos. En cada curso se utilizará el español y el inglés de forma
equilibrada.
10. En trabajos grupales, salvo situaciones excepcionales, se considerará que el
mismo se prepara por todos los integrantes del grupo y serán evaluados por
igual.
11. Todo estudiante está sujeto a las normas de comportamiento de la institución y
las que se establezcan en el curso.
12. Los trabajos y asignaciones deberán entregarse en la fecha indicada y en su
totalidad.
Nota: Si por alguna razón no puede acceder las direcciones electrónicas ofrecidas en el módulo, no se limite a ellas. Existen otros “web sites” que podrá utilizar para la búsqueda de la información deseada. Entre ellas están:
• www.google.com
• www.Altavista.com
• www.AskJeeves.com
• www.Excite.com
• www.Pregunta.com
• www.Findarticles.com El facilitador puede realizar cambios a las direcciones electrónicas y/o añadir algunas de ser necesario.
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Filosofía y Metodología Educativa Este curso está basado en la teoría educativa del Constructivismo.
Constructivismo es una filosofía de aprendizaje fundamentada en la premisa, de
que, reflexionando a través de nuestras experiencias, podemos construir nuestro
propio conocimiento sobre el mundo en el que vivimos.
Cada uno de nosotros genera nuestras propias “reglas “y “métodos mentales”
que utilizamos para darle sentido a nuestras experiencias. Aprender, por lo tanto,
es simplemente el proceso de ajustar nuestros modelos mentales para poder
acomodar nuevas experiencias. Como facilitadores, nuestro enfoque es el
mantener una conexión entre los hechos y fomentar un nuevo entendimiento en los
estudiantes. También, intentamos adaptar nuestras estrategias de enseñanza a las
respuestas de nuestros estudiantes y motivar a los mismos a analizar, interpretar y
predecir información.
Existen varios principios para el constructivismo, entre los cuales están:
1. El aprendizaje es una búsqueda de significados. Por lo tanto, el aprendizaje
debe comenzar con situaciones en las cuales los estudiantes estén buscando
activamente construir un significado.
2. Significado requiere comprender todas las partes. Y, las partes deben
entenderse en el contexto del todo. Por lo tanto, el proceso de aprendizaje
se enfoca en los conceptos primarios, no en hechos aislados.
3. Para enseñar bien, debemos entender los modelos mentales que los
estudiantes utilizan para percibir el mundo y las presunciones que ellos
hacen para apoyar dichos modelos.
4. El propósito del aprendizaje, es para un individuo, el construir su propio
significado, no sólo memorizar las contestaciones “correctas” y repetir el
significado de otra persona. Como la educación es intrínsicamente
interdisciplinaria, la única forma válida para asegurar el aprendizaje es hacer
del avalúo parte esencial de dicho proceso, asegurando que el mismo
provea a los estudiantes con la información sobre la calidad de su
aprendizaje.
5. La evaluación debe servir como una herramienta de auto-análisis.
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6. Proveer herramientas y ambientes que ayuden a los estudiantes a interpretar
las múltiples perspectivas que existen en el mundo.
7. El aprendizaje debe ser controlado internamente y analizado por el
estudiante.
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Study Guide
Course Title: Quantitative Methods II
Code: MATH 200
Time Length: Five Weeks
Pre-requisito: MATH 121
Description: This course is for students of Business Administration with emphasis in applications
of concepts primarily used in the commercial workplace. Studies linear programming
processes including simplex method as well as optimization, differential and integral
calculus.
General Objectives:
1. After completion of the course MATH 200 the student will be able to: 2. Solve varied situations using fundamental concepts of differential and integral
calculus.
3. Apply techniques from differential and integral calculus in the solution of
mathematical applications to business administration.
Adequately use optimization techniques.
4. Analyze results of applications in the decision-making process to suggest
5. valid recommendations.
Text: Barnett, R. A., Ziegler, M. R. (1995). Essentials of College Mathematics. (3rd .ed.)
New Jersey: MacMillan.
Resources: Arya, J. C., Lardner, R. W. (2002). Matemáticas Aplicadas a la administración y a la
economía. (4ta. ed.) México: Prentice Hall.
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Haeussler, E. F., Paul, R. S. (1997). Matemáticas para administración,
economía, ciencias sociales y de la vida. (8va ed). Prentice Hall.
References and Supplementary Materials: Barnett, R. A., Ziegler, M. R. (1994). Applied Mathematics. McGraw Hill.
A scientific calculator is highly recommended, since it is an essential tool to better
and efficiently perform assignments and activities to be presented and discussed in
each workshop.
Evaluation: 1. Assignments 15%
After each meeting, the student will complete the assigned exercises that will
help him/her in the learning process to understand and apply specific concepts
that will be developed in the activities at each workshop. These exercises are a
selection of problems selected by the facilitator and basic conceptual information
searched on the Internet. The student must include the procedures utilized to
obtain the results of the assigned problems. If the procedure is not included,
there will be no full credit to the assigned problem even if the result is correct.
The student must submit assignments to the facilitator in the workshop after the
material is discussed, beginning from the first class. Each assignment totals 25
points. If the assignment is submitted after the corresponding due date, a
deduction of 5 points per each workshop in which the student does not delivers
the exercises will be registered at the discretion of the facilitator.
2. Four (4) Collaborative Exercises 20% The student will have the opportunity to work with other students registered in the
course MATH 200. The facilitator will select students to form each group. Each
group will work a situation that will be discussed and presented in workshop. The
solution to this exercise will be handed out to the facilitator at the end of the
activity with all the names of the members of the team in a piece of paper
provided. There will be four (4) collaborative activities each at 25 points,
beginning in the first workshop.
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3. Four (4) quizzes 20% From Workshop 2 to Workshop 5, at the begining of each workshop a short quiz
will be given about the material covered in the previous workshop. After attending
the previous workshop, completing the assignments and participating in the
collaborative exercise, the student will be able to answer a quiz. It will include a
selection of practical exercises to reinforce the analyzed skills and concepts. All
quizzes will have a value of 25 points.
4. Final Exercise: Collaborative Exercise 25% During workshop 5, a collaborative exercise (Debate-Contest) will be held. It will
require team work. However, assessment will consider both, individual and
group performance appraisal. The facilitator will randomly select participants
within each group, a maximum of 5 students per group. Each team will have the
opportunity to answer applications and practical exercises related to concepts
that were presented in previous workshops. The activity will have a value of 100
point. The facilitator will inform the student his/her group assignment during
Workshop 3. 5. Attendance and Participation 20%
Attendance to workshops is mandatory. If for any reason the student can not
assist, he/she must contact the facilitator to make any possible arrangements to
recover the class and prepare for the next meeting. All activities subject to
assessment will be considered and weighted against the established parameters,
i.e., the student assignment could be discounted as well as the collaborative
activity in which student will loose all the points. (See Appendix A: Specific Parameters to Assess Attendance and Participation)
6. Scale: Final grade to be calculated based on percentages.
Percentage 100-90 89-80 70-79 60-69 59-0
Grade A B C D F
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Description of course policies 1. Attendance at all class sessions is mandatory. If the Facilitator excuses an
absence, the student must make up for all presentations, papers, or other
assignments due on the date of the absence. The Facilitator will have the final
decision on approval of absences. He/she reserves the right to accept or
reject assignments past due, and to adjust the student’s grade accordingly.
2. Oral presentations and special activities cannot be remade. If the student
provides a valid and verifiable excuse (ex. medical or from a court), he/she
will be summoned for a written test on the activity in which he/she did not
attend.
3. The course is conducted in an accelerated format and requires that students
prepare in advance for each workshop according to the course module. Each
workshop requires at least ten hours of preparation.
4. It is expected that all written work will be solely that of the student and should
not be plagiarized. That is, the student must be the author of all work
submitted. All quoted or paraphrased material must be properly cited, with
credit given to its author or publisher. It should be noted that plagiarized
writings are easily detectable and students should not risk losing credit for
material that is clearly not their own.
5. If the Facilitator makes changes to the study guide, such changes should be
discussed with the students during the first workshop. Changes agreed upon
should be indicated in writing and given to the students and to the program
administrator.
6. The facilitator will establish the means and way of contact with the students.
7. The use of cellular phones is prohibited during sessions.
8. Children or family members are not allowed to the classrooms.
9. Workshops will be facilitated in English and Spanish in alternate days, in
keeping with the format established in this module. Students may interact
and ask questions in the language of their preference, but generally it is
expected that they use the language of the specific assignment. Each course
will have an equal balance of Spanish and English usage.
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10. All students are subject to the policies regarding behavior in the university
community established by the institution and in this course.
11. In-group works, except under exceptional circumstances, it will be considered
that all the members of the group perform work and thus they will be
evaluated equally.
12. The written works and assignments will be turned on that assigned date in its
totally.
Note: If for any reason you cannot access the URL’s presented in the module, do not limit your investigation. There are many search engines you can use for your search. Here are some of them:
• www.google.com
• www.Altavista.com
• www.AskJeeves.com
• www.Excite.com
• www.Pregunta.com
• www.Findarticles.com The facilitator may make changes and add additional web resources if deemed necessary.
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Teaching Philosophy and Methodology This course is grounded in the learning theory of Constructivism. Constructivism
is a philosophy of learning founded on the premise that, by reflecting on our
experiences, we construct our own understanding of the world in which we live.
Each of us generates our own “rules” and “mental models,” which we use to
make sense of our experiences. Learning, therefore, is simply the process of
adjusting our mental models to accommodate new experiences. As teachers, our
focus is on making connections between facts and fostering new understanding in
students. We will also attempt to tailor our teaching strategies to student responses
and encourage students to analyze, interpret and predict information.
There are several guiding principles of constructivism:
1. Learning is a search for meaning. Therefore, learning must start with the
issues around which students are actively trying to construct meaning.
2. Meaning requires understanding wholes as well as parts. And parts must be
understood in the context of wholes. Therefore, the learning process focuses
on primary concepts, not isolated facts.
3. In order to teach well, we must understand the mental models that students
use to perceive the world and the assumptions they make to support those
models.
4. The purpose of learning is for an individual to construct his or her own
meaning, not just memorize the "right" answers and regurgitate someone
else's meaning. Since education is inherently interdisciplinary, the only
valuable way to measure learning is to make the assessment part of the
learning process, ensuring it provides students with information on the quality
of their learning.
5. Evaluation should serve as a self-analysis tool.
6. Provide tools and environments that help learners interpret the multiple
perspectives of the world.
7. Learning should be internally controlled and mediated by the learner.
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Taller Uno
Objetivos Específicos: Al finalizar el Taller Uno, el/la estudiante podrá:
1. Resolver desigualdades lineares en dos variables
2. Hacer la gráfica de desigualdades lineares en dos variables
3. Resolver sistemas de desigualdades lineares por el método gráfico.
4. Hallar las áreas soluciones de desigualdades lineales.
5. Reconocer el teorema fundamental de la programación lineal.
6. Describir el proceso de programación lineal.
7. Utilizar la técnica de programación linear en dos dimensiones desde la
perspectiva geométrica.
8. Utilizar el método simplex para optimizar cuando se tienen más de dos
variables.
9. Resolver aplicaciones de optimización utilizando los métodos de
programación lineal y simplex, según aplique.
Direcciones Electrónicas: En estos sitios el/la estudiante podrá encontrar ejemplos y definiciones de
programación lineal y los variados métodos utilizados:
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/29/intro.html
http://valere.galeon.com/I01.htm
http://elmerq.tripod.com.pe/lp.htm
http://personal5.iddeo.es/ztt/prob/B1_Prog_Lineal.htm
http://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.html
http://www.isye.gatech.edu/~spyros/LP/LP.html
http://carbon.cudenver.edu/~hgreenbe/courseware/LPshort/intro.html
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Tareas a realizar antes del Taller Uno:
1. El/la estudiante accederá las direcciones electrónicas provistas para el primer
taller para buscar los conceptos que se cubrirán en la primera reunión.
Además, leerá el capítulo 6: “Linear Inequalities and Linear Programming”
del libro asignado. De no tener el texto, podrá utilizar alguna de las
referencias indicadas en la bibliografía. El/la estudiante entregará la tarea
requerida a continuación en un cartapacio, debidamente identificando su
nombre, curso, sección y día.
2. Tarea para entregar: Buscar información y ejemplos sobre los términos
siguientes. Si alguno de estos conceptos se define y denota con símbolos,
deberá presentarlo en la tarea:
• Desigualdad linear
• Gráfica de una desigualdad linear
• Región acotada (bounded and unbounded)
• Sistemas de desigualdades lineales en dos variables
• Programación Linear en dos dimensiones
• Teorema fundamental de la programación lineal
• Método Simplex
• Maximización
Si el/la estudiante tiene acceso a programas de computadoras tales como MS Office
o Lotus SmartSuite, podrá utilizarlos en la presentación de la tarea a realizar. No se
aceptarán impresos directos de los sitios de Internet accesados ni fotocopias.
Nota: El facilitador tiene a su discreción asignar otra selección de ejercicios que
cubran los temas del taller.
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Actividades
1. El facilitador se presentará y explicará los objetivos, metodología de facilitación,
expectativas y criterios de avalúo del curso MATH 200. Durante su exposición,
corroborará que todo estudiante esté matriculado(a) en el curso. Además, se
verificará que el/la estudiante tenga el módulo y libro de texto. Se indicarán
canales de comunicación alternos para contactar al facilitador durante la
semana. El facilitador establecerá el horario y días de contacto.
2. Luego de que todos los participantes del curso se presenten, se procederá con
la selección del representante estudiantil. También, se informarán los avisos
vigentes que circulen de las oficinas del Programa, tales como nuevos cursos,
fechas de receso académico, fecha de reunión del representante estudiantil.
3. Trabajo para realizar previo al primer taller: El/la estudiante entregará la tarea
asignada. Se presentarán y discutirán todas las preguntas asignadas y se
aclararán todas las dudas.
4. Discusión en clase: El Facilitador discutirá y explicará el material relacionado
al Taller 1. Se explicarán los conceptos y se harán ejemplos para ayudar en el
proceso de comprensión de conceptos requeridos para este taller.
5. Trabajo cooperativo: Luego de que el facilitador explique y de ejemplos de los
conceptos de programación lineal, se dividirá al grupo en subgrupos según la
cantidad de estudiantes matriculados. Los grupos no deberán exceder de 5
estudiantes. Cada grupo trabajará el siguiente ejercicio. Tendrán 30 minutos
para resolver y discutir los resultados. Los mismos se entregarán en un papel
que incluirá procedimiento y el nombre de cada uno de los participantes en el
ejercicio. Una vez sean entregados se seleccionará un grupo para que presente
los resultados.
6. Prueba: En el taller 1 no se dará una prueba ya que la prueba corta del material
de este taller se dará en el taller 2.
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TRABAJO COOPERATIVO TALLER 1
Ejercicio de Programación Linear
Una compañía hace dos productos (K & P) utilizando dos máquinas (A & B).
Cada unidad de K que es producida requiere 50 minutos para ser procesada
en la máquina A y 30 minutos para ser procesada en la máquina B. Cada
unidad de P que es producida requiere 24 minutos para ser procesada en la
máquina A y 33 minutos para ser procesada en la máquina B.
Al comenzar la semana hay 30 unidades de K y 90 unidades de P en
inventario. El tiempo disponible para procesar unidades en la máquina A se
estima que sean 40 horas y en la máquina B se estima que sean 35 horas.
La demanda para K durante esta semana es de 75 unidades y para P es de
95 unidades. La regla de la compañía es de maximizar la suma combinada
de unidades de K y unidades de P que hay en inventario para el final de la
semana.
• Formule el problema para decidir cuanto de cada producto (K & P) hay
que hacer en la semana como un programa linear.
• Resuelva este programa linear gráficamente.
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Workshop Two
Specific Objectives: At the end of this workshop, the student will be able to:
1. Define limit.
2. Define continuity.
3. Explain the geometrical notion of limits.
4. Identify and use the properties of limits.
5. Determine the average and instantaneous rates of change.
6. Apply the concept of limits to given situations.
URLs: In these websites, the student will be able to find differential calculus topics
including limits
http://www.calculus.net/ci2/?tag=
http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon01/limcon01.html
http://www.calculus.org/
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html
http://www.ies.co.jp/math/products/calc/menu.html
http://www.wtv-zone.com/Angelaruth49/Calculus.html
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/2/definition.12/index.html
http://www.coolmath.com/links_calculus.htm
http://www.karlscalculus.org/calc2.html
http://math.rice.edu/~lanius/misc/calcu.html
http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/ProblemsList.html
http://www.math.com/homeworkhelp/Calculus.html
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Assignments before Workshop II:
1. The student will search information and examples involving limits. He/she will
access websites to find the concepts to be presented in workshop 2. The
student might use other bibliographical references given. The student can
reference Chapter 9 for information on these concepts. The assignment will
be submitted to the facilitator in a folder with student’s name, course code
and name, section and day. If the student masters and/or has access to
MSOffice or Lotus SmartSuite, he/she can use them to present the
assignment. Direct print outs from Internet will not be accepted neither do
copies.
Define, explain and show examples of the following concepts and terms:
• Limit
• Continuity
• Computation of limits
2. As a review of the material and concepts learned in the previous Workshop,
the student must answer the following questions;
a. Solve the following inequality system using the graph method and identify
the bounded and unbounded regions. Also find the corner points.
0,2793
82
21
21
21
≥≤+≤+
xxxx
xx
b. What are the origins of the Linear Programming concept and process?
c. What is the importance and the application of linear programming in the
field of Business Administration?
3. The Facilitator at his/her discretion may assign other exercises from the text
book in order to apply and practice the concepts learned.
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Activities
1. Assignment: The student will submit the assignment to the facilitator. All
questions will be discussed and doubts will be addressed.
2. Quiz: At the beginning of the Workshop a short quiz will be given about the
material covered in the previous workshop. The student should be able to
answer the quiz after attending the previous workshop, participate in the
collaborative exercise and completing the assignment.
3. Class Discussions: The Facilitator will discuss and explain the material
related to the objectives of Workshop 2. The concepts will be explained and
the facilitator will provide examples to aid the students in the learning process
to understand and apply these concepts.
4. Collaborative Exercise: Once the facilitator had explain and given examples
of the concept of limit, the group will be sub-divided in groups according to
amount of registered students in the class. Groups should not exceed 5
students. Each team will work the following exercise. In the period of time
given by the Facilitator the groups will have the opportunity to solve and
discuss the results. The project will be submitted to the facilitator in sheets
provided with procedures and names of participants within each team, once
the results are submitted a group will be selected to present the results in
class. (Note: the facilitator can suggest another collaborative exercise in
which case it must be informed to the student previous to the workshop)
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Collaborative Exercise
Workshop Two
(Taken from: http://www.karlscalculus.org/calc2.html)
Around 500 BC, there was a Greek philosopher named Zeno. You've probably
heard of him, or at least of the dilemma he raised. He stated it in a number of
different ways, but I shall concentrate on just one.
The hero, Achilles, and the tortoise agree to a foot race. The tortoise complains
that Achilles has the gift of speed, but alas he, the tortoise, does not. So he
petitions Achilles for a handicap. And Achilles agrees to allow the tortoise a
1000-meter head start. Surely, Achilles thinks to himself, I can still win this race.
Now Achilles certainly does have the gift of speed and can do a steady 5 meters
per second without even breaking a sweat. So that is how fast Achilles decides to
run. But the poor tortoise redlines at just half a meter per second. And knowing
that he'll have to do his very best even to have a chance against the speedster,
Achilles, he must go just as fast has he can go.
The starting signal sounds precisely at noon. The problem is to figure out exactly
what time Achilles passes the tortoise.
Well, a little elementary algebra quickly gives us an answer. If xA is where
Achilles is, xT is where the tortoise is, and t is seconds past noon, we have the
following equations:
xT = 1000 meters +
1 meters
t
2 second
equation of the tortoise
eq. 2.0-1
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xA = 0 meters +
meters
5 t
second
equation of the Achilles
Since Achilles and the tortoise must be in exactly the same spot when one
passes the other, we solve for xA = xT. This being the case, we can subtract the
two equations above to get:
0 = 1000 meters -
1 meters
4 t
2 second
eq. 2.0-2
t = 222 2 /9 seconds
Zeno probably also had the algebraic wherewithal to solve the problem in a
similar way. But he observed that after 200 seconds, Achilles runs the 1000-
meter distance of the tortoise's head start. At that time he is where the tortoise
started. But in that amount of time, the tortoise has run 100 meters. So 20
seconds later (that is at t = 220 seconds) Achilles catches up to that spot. But in
those 20 seconds, the tortoise has run another 10 meters. It takes Achilles only 2
seconds to catch up to that spot. But by then, the tortoise has run another meter.
Zeno realized that this process goes on forever, with Achilles always catching up
to where the tortoise was, and the tortoise always running a little bit farther. So
how can Achilles ever pass the tortoise?
We actually have several examples of things that tend to a limit in this parable.
We have the sequence of times, t1, t2, t3, etc. At each tj Achilles is where the
tortoise was at tj-1. That defines all the tj's except t1, which we will say is the
moment of the starting signal. So the various tj's are:
t1 = 0 seconds eq. 2.0-3
t2 = 200 seconds
t3 = 220 seconds
t4 = 222 seconds
t5 = 222.2 seconds
t6 = 222.22 seconds
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I'm sure you can see the pattern here, but can you prove it? Yes, you can, and
you're going to do so right now.
(Think back to how you solved rate problems in algebra. Remember that x = vt
where x is distance, v is speed, and t is time. Even if you hated rate problems in
algebra, you have to get good at them now, because rates will play an enormous
role very soon. Your ability to solve rate problems will have to become second
nature.
By what factor does Achilles' speed exceed the tortoise’s? Get that by dividing
the tortoise's speed into Achilles’ speed. Call that number r for ratio. Now, if it
takes the tortoise an amount of time, ∆t, to run some distance, how long does it
take Achilles to run that same distance? Get that by dividing ∆t by r. Why? (refer
to the rate formula given above).
Don't let the ∆t (that is pronounced, "Delta-Tee") throw you. The ∆ just
means "difference." So ∆t just means the difference between to t's.
Now observe that during each interval, Achilles runs the same distance that the
tortoise ran in the previous interval. Here is the pattern of the intervals, which we
call delta_t's:
∆t1 = t2 - t1 = 200 seconds - 0 seconds = 200 seconds
∆t2 = t3 - t2 = 220 seconds - 200 seconds = 20 seconds
∆t3 = t4 - t3 = 222 seconds - 220 seconds = 2 seconds
Notice that the ∆t's go down by a factor of 10 each time. Why? That is, why the
intervals go down by a factor of 10 each time?
We already know that Achilles passes the tortoise at
2
t = 222 seconds eq. 2.0-5
9
from the algebra we did before. Can we show that the sequence of tj's has this as its limit? Well, what do we have to show? We have to
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show that if I tell you how close you want tj to be to the t we gave above,
then you can tell me how far into the sequence of tj's I have to go in order
to assure me that all the tj's that follow are at least that close.
If I say, for example, I've got to be within a thousandth of a second of t (i.e. ∆ =
0.001 seconds), you can tell me, go past t7 (i.e. n = 7) and you will find all values
of tj that are within a thousandth of a second of t. If I said I've got to be within a
millionth of a second, you could tell me what? (go ahead and extend the table of
tj's to find out).
But so far we haven't proved the assertion. To prove it, we must show that we can always find how far to go no matter how close we have to be. Let's do that now.
So what have we proved?
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Taller Tres
Objetivos Específicos: Al finalizar el Taller, el/la estudiante podrá:
1. Definir y entender el concepto de la derivada.
2. Reconocer la notación de la derivada.
3. Hallar la derivada de funciones algebraicas utilizando la definición del límite.
4. Calcular la derivada de funciones algebraicas, logarítmicas y exponenciales
mediante las reglas de diferenciación.
5. Reconocer las reglas de diferenciación para constantes, exponentes, suma,
resta, multiplicación, división y cadena.
6. Aplicar la primera y segunda derivada para desarrollar la gráfica de una
función dada.
7. Resolver aplicaciones en la administración de empresas de costo, ingreso y
ganancia marginal. Direcciones Electrónicas: http://www.calculus.net/ci2/?tag=
http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon01/limcon01.html
http://www.calculus.org/
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html
http://www.ies.co.jp/math/products/calc/menu.html
http://www.wtv-zone.com/Angelaruth49/Calculus.html
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/2/definition.12/index.html
http://www.coolmath.com/links_calculus.htm
http://calc101.com/
http://www.karlscalculus.org/calc2.html
http://math.rice.edu/~lanius/misc/calcu.html
http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/ProblemsList.html
http://www.math.com/homeworkhelp/Calculus.html
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Tareas a realizar antes del Taller Tres
1. El/la estudiante buscará información sobre la derivada. Accederá las
direcciones electrónicas para buscar los conceptos que se trabajarán en la
tercera reunión. Utilizará las referencias indicadas en la bibliografía ó el texto
sugerido. Deberá enfocar su búsqueda en el desarrollo histórico del concepto
de la derivada, definiciones y ejemplos. Si va a hacer referencia al libro,
encontrará el material en el capítulo 9: “The Derivative”.
2. El/la estudiante entregará la tarea en un cartapacio debidamente
identificando su nombre, curso, sección y día. Si el/la estudiante tiene acceso
a programas de computadoras tales como MS Office o Lotus SmartSuite,
podrá utilizarlos en la presentación de la tarea a realizar. No se aceptarán
impresos directos de los sitios de Internet accesados ni fotocopias.
3. Defina, explique y demuestre ejemplos de los siguientes términos:
o ¿Qué significa cálculo diferencial?
o Derivada
o Desglose las reglas de derivada para constantes, exponentes,
suma/resta, multiplicación, división y cadena.
o ¿Cómo se relaciona y se utiliza el análisis marginal en economía y
otras áreas de la administración de empresas con la derivada?
4. Como repaso del material y los conceptos aprendidos en el Taller anterior,
el/la estudiante contestara/resolvera los siguientes problemas:
PROBLEM 1 : Calcular
PROBLEM 2: Usar la definicion de Limite para calcular la derivada de f'(x),
para
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5. El Facilitador a su discreción podrá asignar otros ejercicios adicionales del
libro de texto para aplicar y practicar los conceptos aprendidos.
Actividades
1. Trabajo para realizar previo al Taller Tres: El/la estudiante entregará la
tarea asignada. Se discutirán todas las preguntas y se harán ejemplos
sobre el material asignado según sea necesario.
2. Prueba Corta: Al comenzar el Taller se dará una prueba corta sobre el
material discutido en el Taller anterior. El/la estudiante deberá de estar
preparado(a) para contestar esta prueba luego de haber asistido al taller
anterior, haber participado en el trabajo de grupo y haber completado la
tarea para entregar.
3. Discusión en Clase: El Facilitador discutirá y explicará el material
relacionado a los objetivos del Taller 3. Los conceptos serán explicados y
el facilitador proveerá ejemplos para ayudar a los estudiantes en el
proceso de aprendizaje y aplicación de los conceptos.
4. Trabajo cooperativo: Luego de haber explicado el material y los
conceptos relacionados a este Taller, el facilitador dividirá al grupo en
subgrupos de no más de cinco estudiantes. En el periodo de tiempo dado
por el facilitador, cada grupo trabajará y resolverá el ejercicio siguiente. Los
mismos se entregarán en un papel que incluirá procedimiento y el nombre
de cada uno de los participantes en el ejercicio. Luego de haber entregado
el trabajo se seleccionará un grupo para presentar los resultados. (Nota: el
facilitador pudiera sugerir otro ejercicio colaborativo informándoselo al
estudiante previo al taller)
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Trabajo Cooperativo Taller Tres
a. Here's a fun (but untrue) fact.
You know from calculus that the derivative of x2 is 2x. But what's wrong with
the following calculation?
x2 = x + x + ... + x (repeated x times)
So by taking the derivative of both sides we get
(x2)' = 1 + 1 + ... + 1 = x.
b. The number of cell phone subscribers in China for the period 2000-2005
was projected to follow the equation N(t) = 39t + 68 million subscribers in
year t (t = 0 represents January 2000). The average annual revenue per cell
phone user was $350 in 2000. Assuming that, due to competition, the
revenue per cell phone user decreases continuously at an annual rate of
10%, we can model the annual revenue as
R(t) = 350(39t + 68)e-0.3t million dollars.
* Based on a regression of projected figures (coefficients are rounded).
Source: Intrinsic Technology/New York Times, Nov. 24, 2000, p. C1.
a. Determine when, to the nearest 0.1year, the revenue is projected to
peak, and also the revenue, to the nearest $1 million, at that time.
b. If we were to project this model into the indefinite future, what does it
predict? Is this prediction reasonable?
The demand q (in weekly sales) for Hofstra lacrosse shorts at the HU
Bookstore depends on the price p according to the demand equation
q = 360/p1.5
If shorts cost the HU Bookstore $8 each, how much should the bookstore
charge to maximize profit?
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Workshop Four
Specific Objectives: At the end of this workshop, the student will be able to:
1. Define integration.
2. Calculate the indefinite integral of a function by using formulas and
applying integral properties.
3. Calculate definite integral of a function using the fundamental theorem of
integral calculus.
4. Evaluate and analyze applied situations requiring the use of the integral.
URLs: In these websites, the student will be able to find differential calculus topics
including the derivative
http://www.calculus.net/ci2/?tag=
http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon01/limcon01.html
http://www.calculus.org/
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/The_rise_of_calculus.html
http://www.ies.co.jp/math/products/calc/menu.html
http://www.wtv-zone.com/Angelaruth49/Calculus.html
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/2/definition.12/index.html
http://www.coolmath.com/links_calculus.htm
http://calc101.com/
http://www.karlscalculus.org/calc2.html
http://math.rice.edu/~lanius/misc/calcu.html
http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/ProblemsList.html
http://www.math.com/homeworkhelp/Calculus.html
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Prep. 02-24-04. Sylvia Y. Cosme Montalvo, MBA Rev. 02-25-04. Armando J. Sánchez
Assignments before Workshop Four:
1. The student will search information and examples involving the integral.
He/she will access websites to find the concepts to be presented in
workshop 4. The student might use other bibliographical references given.
The assignment will be submitted to the facilitator in a folder with student’s
name, course code and name, section and day. If the student masters
and/or has access to MSOffice or Lotus SmartSuite, he/she can use them
to present the assignment. Direct print outs from Internet will not be
accepted neither do copies.
2. Define, explain and show examples of the following concepts and terms,
You should show notation of concepts, when it applies:
o Antiderivatives/Integrals
o indefinite integrals
o Definite integral
o Area and the definite integral
What is the relationship between the definite integral and limits?
Contrast the derivative with the integral.
3. As a review of the material and concepts learned in the previous
Workshop, the Facilitator at his/her the discretion may assign additional
problems from the text book in order to apply and practice the concepts
learned.
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Activities
1. Assignment: The student will submit the assignment to the facilitator. All
questions will be discussed and any doubt will be addressed.
2. Quiz: At the beginning of the Workshop a short quiz will be given about the
material covered in the previous workshop. The student should be able to
answer the quiz after attending the previous workshop, participate in the
collaborative exercise and completing the assignment.
3. Class Discussion: The Facilitator will discuss and explain the material
related to the objectives of Workshop 4. The concepts will be explained and
the facilitator will provide examples to aid the students in the learning process
to understand and apply these concepts.
4. Collaborative Exercise: Once the facilitator had explain and given examples
of the concepts in this workshop, the group will be sub-divided in groups
according to amount of registered students in the class. Groups should not
exceed 5 students. Each team will work the following exercise. In the period
of time given by the Facilitator the groups will have the opportunity to solve,
and discuss the results. The project will be submitted to the facilitator in
sheets provided with procedures and names of participants within each team,
once results are submitted a group will be selected to present the results in
class. (Note: the facilitator can suggest another collaborative exercise in
which case it must be informed to the student previous to the workshop)
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Collaborative Exercise Workshop Four
a. If the marginal profit for producing x units is given by P’(x) = 5- - 0.04x,
P(0) = 0 where P(x) is the profit in dollars, find the profit function P and
the profit on 100 units of production.
b. The world demands for wood are increasing. In 1975, the demand was
12.6 billion cubic feet, and the rate of increase in demand is given
approximately by d”(t) = 0.009t where t is time in years after 1975 (data
from U.S. Department of Agriculture and Forest Service) Noting that
d(0) = 12.6, find d(t). Also, find d(25) the demands in the year 2002.
c. The marginal revenue from the sale of x digital sports watches is given
by R’(x) = 100 – ½ x R(0) = 0 where R(x) is the revenue in
dollars. Find the revenue function and the price-demand equation.
What is the price when the demand is 700 units?
d. The rate of change of the monthly sales of a new home video game
cartridge is given by S’(t) = 500t1/4 S(0) = 0 where t is the number of
months since the game was released and S(t) is the number of
cartridges sold each month. Find S(t). When will the monthly sales
reach 20,000 cartridges?
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Taller Cinco
Objetivos Específicos: Al finalizar el Taller, el/la estudiante podrá:
1. Aplicar de forma integrada, los conceptos de optimización, diferenciación e
integración presentados a través del curso MATH 200.
2. Realizar el ejercicio final colaborativo (debate-concurso) con participación
activa.
Tareas a realizar antes del Taller Cinco:
1. El/la estudiante entregará la tarea en un cartapacio debidamente identificando
su nombre, curso, sección y día. Si el/la estudiante tiene acceso a programas
de computadoras tales como MS Office o Lotus SmartSuite, podrá utilizarlos
en la presentación de la tarea a realizar. No se aceptarán impresos directos de
los sitios de Internet accedidos ni fotocopias
2. Como repaso del material y los conceptos aprendidos en el Taller anterior,
el/la estudiante contestará/resolverá el siguiente problema:
a. The Law of exponential Decay is an application of antiderivatives. Just as
something can decay, it can grow as well. Both decay and growth are
included in the theorem below.
Exponential Growth and Decay
If y is a differentiable function of t such that y > 0 and y ' = ky, for some
constant k, then y = Cekt. C is the initial value of y, and k is the
proportionality constant. Exponential growth occurs when k > 0, and
exponential decay when k < 0.
Situation
10 grams of plutonium isotope Pu-239 is released in some far off nuclear
research facility. They have exposed the 10 grams of Pu-239 to air, so it has
turned yellow from its original silver like appearance. You're job is to find out
Matemática 200 Métodos Cuantitativos II/Math 200 Quantitative Methods II 36
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how long it will take for the 10 grams of Pu-239 to decay to 1 gram of Pu-239.
The researchers give you the fact that the half life of Pu-239 is 24,360.
(Hint: Let y represent the mass in grams of the plutonium. Because the rate of
decay is proportional to y, you know that y = Cekt where t is the time in years.)
3. El Facilitador a su discreción podrá asignar otros ejercicios adicionales del
libro de texto para aplicar y practicar los conceptos aprendidos.
4. El/la estudiante se reunirá con el grupo al que fue asignado durante el Taller
Tres para estudiar y practicar los conceptos y temas que se discutieron en los
talleres anteriores. De esta forma estará preparado para participar y colaborar
con el grupo asignado en el ejercicio de final de curso (debate-concurso).
Actividades 1. Trabajo para realizar previo al Taller Cinco: El/la estudiante entregará la
tarea asignada. Se discutirán todas las preguntas y se harán ejemplos sobre
el material asignado según sea necesario.
2. Prueba Corta: Al comenzar el Taller se dará una prueba corta sobre el
material discutido en el Taller anterior. El/la estudiante deberá de estar
preparado(a) para contestar esta prueba luego de haber asistido al taller
anterior, haber participado en el trabajo de grupo y haber completado la tarea
para entregar.
3. Trabajo Final Cooperativo (Concurso-Debate): a. El facilitador desarrollará el ejercicio colaborativo a su discreción. El
mismo, se sugiere conste de no más de seis ejercicios de aplicación. Una
mitad de los ejercicios serán en español y la otra mitad serán en inglés.
b. Los ejercicios cubrirán los temas que se discutieron el los talleres previos.
Todos serán aplicaciones similares a los ejercicios colaborativos
efectuados de la primera a la cuarta reunión.
c. Los estudiantes se sentará junto a sus compañeros asignados al grupo
para discutir y resolver los ejercicios.
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d. Una vez el facilitador entregue los ejercicios a los grupos, comenzará el
debate-concurso.
e. No habrá interrupciones cuando un estudiante esté contestando algún
ejercicio. Una interrupción conlleva un descuento de 5 puntos al grupo al
que pertenece el integrante que efectuó la interrupción.
f. Cada ejercicio tendrá que solucionarse en el orden en que han sido
presentados. Toda discusión ó presentación de los resultados de los
ejercicios se harán en el idioma en que los ejercicios sean entregados.
g. El facilitador indicará el tiempo que tienen los grupos para solucionar el
ejercicio indicado (Queda a discreción del facilitador aceptar el uso de
libros o libretas). Al terminar el tiempo el facilitador tendrá la oportunidad
de hacer preguntas directas a los estudiantes para poder evaluar
individualmente el desempeño.
h. Si un grupo resuelve el ejercicio correctamente antes del tiempo indicado,
tendrá una bonificación de 5 puntos.
i. Si ninguno de los grupos puede resolver el ejercicio en el tiempo indicado,
el facilitador concederá 5 minutos adicionales. Si en este tiempo ningún
grupo puede resolver el ejercicio, no habrá puntuación adicional
adjudicada.
j. Si un grupo da la respuesta incorrecta al ejercicio, se le dará oportunidad
a otro grupo para contestar.
k. Si algún grupo muestra un resultado incorrecto pero el procedimiento fue
correcto hasta cierto paso, se le adjudicará parte de la puntuación del
ejercicio.
l. Cada grupo seleccionará un coordinador que se encargará de levantar la
mano cuando el grupo le indique que terminó el ejercicio. De esta forma el
facilitador podrá seleccionar a un estudiante de ese grupo para que
conteste la pregunta.
m. Todo estudiante tendrá la oportunidad de participar y acumular puntos
individuales de acuerdo a su desempeño. La puntuación individual
oscilará entre 5 y 10 puntos, dependiendo el ejercicio.
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n. A discreción del facilitador el grupo que más respuestas correctas
obtenga podra recibir una bonificación adicional de 10 puntos sobre la
puntuación acumulada.
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Appendix A
Specific Parameters to Assess Attendance and Participation Assessment in assistance and participation accounts 20% of grade in MATH 200.
It is mandatory assistance to five (5) workshops. If a student is absent in a
workshop, activities worked, subject to assessment will be considered and weighted
according to specified parameters. Therefore, if the student does not assist to a
workshop and hand out assignments later, his/her evaluation will have a percentage
discount previously established for each of the activities developed, as follows:
Activity Discounted Points
Assignments 5 per each workshop
Collaborative Exercise All
Quizz 5 / to be taken in the next workshop
after completing collaborative exercise
and answering the quizz for that specific
workshop.
Contest All
Assistance and Participation considers the following aspects:
Lateness: For each workshop in which a student arrives late, there will be 5 point discount.
Participation: From 1 to 5, 5 being the highest grade for each workshop, contributions, questions,
presentations or help given to the group to direct the discussion of the topics
presented to a better understanding.
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Anejo A
Parámetros Específicos para Evaluar Asistencia y Participación
La evaluación de asistencia y participación en los cinco talleres constituye el
20% de la evaluación final del curso MATH 200.
Es requisito insustituible la asistencia a todas las cinco reuniones. Las
actividades realizadas en el taller ausente, sujetas a evaluación, serán
consideradas y ponderadas de acuerdo con los parámetros específicos. Por lo
tanto, si el/la estudiante se ausenta y entrega los trabajos posteriormente, su
puntuación comenzará con descuento porcentual previamente establecido para
cada actividad realizada en la respectiva reunión; como se demuestra a
continuación:
Actividad Puntos Descontados
Trabajos a realizar previo a cada taller 5 por cada taller que entregue tarde
Trabajo cooperativo Todos / Pierde los puntos
Prueba corta 5 Debe reponer en el siguiente taller
luego de efectuar el trabajo
cooperativo y contestar la prueba corta
del taller vigente.
Debate-Concursos Todos / Pierde los puntos
La asistencia y participación considera las siguientes variables:
Tardanzas:
Por cada tardanza, se le descontarán 5 puntos de la evaluación final de
Asistencia y Participación.
Participación:Del 1 al 5, siendo 5 la puntuación mayor por cada taller,
aportaciones o preguntas que el/la estudiante haya efectuado. Aportaciones
efectivas son aquellas preguntas, presentaciones o ayudas que dirijan al grupo
hacia un mejor entendimiento de los temas discutidos.
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Appendix B
Concept Mapping Taken from:
http://chd.gse.gmu.edu/immersion/knowledgebase/strategies/cognitivism/conceptma
p.htm
Concept mapping, developed by Prof. Joseph D. Novack of Cornell University
(1983), is a technique for visually representing the structure of information - how
concepts within a domain are interrelated. It is based on Ausubel's theory of
meaningful learning which stresses that learning new knowledge is dependent on
what is already known. More specifically, new knowledge gains meaning when it can
be substantively related to a framework of existing knowledge rather than being
"processed and filed" in isolation according to more or less arbitrary criteria. Concept
mapping supports the visualization of such conceptual frameworks and "stimulates
prior knowledge by making it explicit and requiring the learner to pay attention to the
relationship between concepts" (Jonassen, 1996).
According to Novack, new concepts are acquired "either by discovery, which is
mainly the way young children acquire their first concepts and language, or by
reception learning, which is the way school children and adults acquire most of their
meanings. The problem with much of reception learning in schools is that students
learn to memorize definitions of concepts, or algorithms to solve problems, but [...]
fail to acquire the meanings of the concepts in the definitions or formulas"(1991).
Creating a concept map of a particular domain makes learning an active process
rather than a passive one.
A concept map consists of hierarchically arranged nodes or cells that contain a
concept, item or question and labeled links. The relationships between
nodes/concepts are indicated by "linking" words and an arrow symbol to describe
the direction of the relationship. An example of a concept map, developed by
Novack, showing the key concepts involved in concept mapping is shown below.
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Concept mapping has a variety of applications within a broad range of domains. It
can be used to:
• generate ideas (brainstorming,etc.)
• design a complex structure (long texts, hypermedia, large web sites, etc.)
• communicate complex ideas (can aid collaborative projects)
• aid learning by explicitly integrating new and old knowledge
• assess understanding or diagnose misunderstanding
• enhance the problem-solving phases of generating alternative solutions and
options
• facilitate knowledge elicitation and management
• analyze organizational decision making processes
• support reading comprehension
• encourage positive self-concept
(Plotnick, 1997; Gaines and Shaw,1995; Seaman, 1990; Williams,1997)
Concept maps are particularly useful for representing networks of concepts, where
links do not only connect adjacent concepts but are often linked to concepts in
different sections of the concept map. The resulting web of concepts increases the
number of relationships that connect new information to existing concepts thereby
increasing the stability of the new information. This type of structural flexibility makes
concept mapping highly suitable for hypermedia environments, since the type of
linking employed in concept maps is an excellent representation of hypermedia's
nonlinear paradigm. Concept maps can be useful as a tool for conceptual
development of hypermedia, navigational structures within hypermedia applications,
and interfaces for the indexing and retrieval of hypermedia objects. (Plotnick 1997:
Gaines and Shaw,1995)
Conversely, computer applications can provide significant support in the creation
and maintenance of concept maps. Automated tools can improve visual appearance
and consistency. They also facilitate the display and revision of large and / or
complex maps through functionalities such as zooming and automatic redraw. There
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are many such tools available; the most popular one is probably Inspiration. A fully
functional 30 day trial version is available at http://www.inspiration.com. Links to
other concept mapping tools can be found at Jan Lanzing's Concept Mapping
Homepage.
A meta-analysis on studies which used concept mapping as a learning strategy,
conducted by Horten et. al. (1993), asked the following questions to determine
1. "What is the effectiveness of concept mapping as an instructional tool for
improving students' acheivement?
2. What is the effectiveness of concept mapping as a strategy for improving
students' attitudes?
3. Is there a difference in the effectiveness of teacher-prepared versus student-
prepared concept maps in improving student achievement and/ or attitudes?"
The results indicated that concept mapping raised student achievement on the
average by 0.46 standard deviations, as well as a strong improvement in student
attitude. However, the results showed little difference between the effectiveness of
teacher-prepared versus student-prepared concept maps.
Examples of Instruction Links to Examples in Instruction:
• The Earth System
• Uses of concept maps in science education
• Concept Mapping as a Prewriting Activity
• Meaningful Learning Theory and Concept Mapping as a Bridge: How to teach
curricular material using Microsoft Access 2.0
http://www.techlearning.com/db_area/archives/WCE/archives/villar.htm
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Related Topics
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• Information Processing
• Mental Models
• Advance Organizers
• Mindtools
• Schema Theory
• Active Learning
• Semantic Networks
• Collaborative Learning
• Personal Construct Psychology
• Knowledge Management
• Generative Learning
Related Links Links to related www sites:
• The Concept Mapping Homepage
http://www.to.utwente.nl/user/ism/lanzing/cm_home.htm
• Embedded Interactive Concept Maps in Web Documents
http://www.cpsc.ucalgary.ca/~kremer/webnet96/webnet_kremer.html
• Concept Mapping
http:// trochim.human.cornell.edu/edu/kb/conmap.htm
• Concept Mapping FAQs
http://www.uwp.edu/academic/biology/100/concept.mapping.faq.html
• Concept Mapping: A learning theory-based instructional tool
http://www.spjc.cc.fl.us/0/spns/lancraft/mapping/howtocmapping.html
• The Use of Concept Maps in the Teaching-Learning Process
http://www.edu.cuhk.edu.hk/~johnson/cmap/cmapguid.html
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• Combining Concept Mapping and Adaptive Advice to Teach Reading
Comprehension
http://www.iicm.edu/jucs_1_3/combining_concept_mapping_and/html/paper.h
tml
• An Introduction to Concept Mapping for Planning and Evaluation
http://trochim.human.cornell.edu/research/epp1/Epp1.htm
• Graphic Organizers: Concept Map
http://www.graphic.org/concept.html
• WebMap: Concept Mapping on the Web
http://ksi.cpsc.ucalgary.ca/articles/WWW/WWW4WM/
• Mind Tools- Information Skills- Concept Maps
http://www.mindtools.com/mindmaps.html
• Mind Mapping FAQs
http://world.std.com/~emagic/mindmap.html
References
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Paper presented at the annual meeting of the American Educational
Research Association, Boston, MA, April 16-20.
• Horton,P.B., McConney, A.A., Gallo,M,., Woods, A.L., Senn, G.J., & Hamelin,
D. (1993). An investigation of the effectiveness of concept mapping as an
instructional tool. Science Education. 77(1), 95-111.
• Gains, B. and Shaw, M. (1995). Concept maps as hypermedia components.
(http://ksi.cpsc.ucalgary.ca/articles/ConceptMaps/)
• Jonassen, D.H., & Yacci, M.A. (1993). Structural knowledge: Techniques for
conveying, assessing, and acquiring structural knowledge. Hillsdale, NJ:
Lawrence Erlbaum Associates.
• Jonassen, D.H. (1992). Concept mapping and other formalisms as mindtools
for representing knowledge.
(http://www.icbl.hw.ac.uk/~granum/class/altdocs/dav_alt.htm)
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• Lanzing, J. (1997). The concept mapping homepage.
http://www.to.utwente.nl/user/ism/lanzing/cm_home.htm
• Novak, J.D. (1991). Clarify with concept maps: Atool for students and
teachers alike. The Science Teacher, 58 (7), 45-49.
• Seaman, T. (1990). On the high road to achievement: cooperative concept
mapping. ERIC Digest ED335140
• Plotnic, Eric. (1997). Concept Mapping: a graphical system for understanding
the relationship between concepts. ERIC Digest ED407938
• Williams, Douglas. (1997). Concept Mapping: foundations, research, and
implicatins for hypermedia/ multimedia design. Paper presented at ED-MEDIA
97--World Conference on Educational Multimedia and Hypermedia, Calgary,
Canada, 1997.
(http:// ccwf.cc.utexas.edu/edu/~dcw/research/concept.html)
Additional Concept Mapping References
• The Concept Mapping Bibliography
http://www.to.utwente.nl/user/ism/lanzing/cm_bibli.htm
Matemática 200 Métodos Cuantitativos II/Math 200 Quantitative Methods II 48
Universidad del Este, Universidad Metropolitana, Universidad del Turabo
Prep. 02-24-04. Sylvia Y. Cosme Montalvo, MBA Rev. 02-25-04. Armando J. Sánchez
Anejo C
Ejercicios Sugeridos Taller 3
Texto: Barnett, Raymond A., Ziegler, Michael R. (1995). Essentials of College
Mathematics. (3rd .ed.) New Jersey: MacMillan.
Capítulo 9: páginas 580-584 2, 6, 8, 15, 68, 69
APPENDIX C
Suggested exercises workshop 3
Texbook: Barnett, Raymond A., Ziegler, Michael R. (1995). Essentials of College
Mathematics. (3rd .ed.) New Jersey: MacMillan.
Chapter 9: pages 580-584 2, 6, 8, 15, 68, 69