Trabajo Metados Cuantitativos

7/23/2019 Trabajo Metados Cuantitativos

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Trabajo métodos cuantitativos para

la gestión empresarial



1-Formulación de un problema de optimización

Una empresa dedicada a la fabricación de pintura. Realiza pinturas de trescolores, rojo, verde y azul. Según el color ue desean obtener deben demezclar unas cantidades diferentes de dió!ido de titanio, de "#o y deantiespumante. $n la siguiente tabla se adjuntan la cantidad de losmateriales primas utilizadas para cada pintura, la disponibilidad total de lasmaterias primas y el precio unitario de cada pintura.

%ateria prima Rojo &erde 'zul (isponibilidad

(ió!ido titanio ),) * +, #-

#/ 0# - 1 *1'ntiespumante #, ),1 0+ *

2recio + +)

'"ora "ay ue determinar cu3l ser3 el número m3!imo de pintura de cadacolor "abr3 ue producir para ue el bene4cio sea m3!imo.

2-Contrucción del modelo matemático que lo representa

#.0(e4nición de las variables de decisión

X15 Producción de pintura roja diaria.

X25 Producción de pintura verde diaria.

X35 Producción de pintura azul diaria.

%a!. 67!8 7!0,!# ,!85 +!09 +)!# 9 !

Sujeto a ),)!09 *!# 9 +,! : #-

0#!0 9 -!# 9 1! : *1

#,!0 9 ),1!#9 0+! : *

;0, !#, ! < =

2.2º Resolución del modelo primal



Insertamos los datos en el programa WinQSB, el cual nos irá haciendo las distintas

iteraciones para así poder llegar a la solución óptima. A continuación, se muestra paso a

paso, cada una de las iteraciones ue el programa hace.

!a"la inicial

0> S6?

#> S6?

> S6?



Resumen de @inAS?

#a $% iteración nos da &a la solución óptima &a ue, 'emos ue la (ila de costos

reducidos son todo n)meros negati'os o iguales a *. #a solución es )nica.

#a empresa de"erá producir $,2*+-g de pintura 'erde & ,2/0-g de pintura a1ul para

o"tener un "ene(icio máimo de 3+,/3+ euros. 4e pintura ro5a no producirá nada.

B $scribir e interpretar su problema dual

.0 Resolver el modelo dual aplicando el simple! dual.

67in (89: 23; </;2 < $;$

0,0; < 2;2 < 2,$;$ = $>

Su5eto a ; < 3;2 < 0,/;$ = >0

>,$; </;2 <>;$ = $$

;? ;2? ;$ = *

0> S6?

c C0 C# C "0 "# " S6?

"0 D), ) D0# D#, 0 = = D+

"# D* D- D),1 = 0 = D+)

" D+, D1 D0+ = = 0 D

costos #- *1 * = = =



#> S6?

C0 C# C "0 "# " S6?

"0 o D),*0+E #,)1 0 D=.*-E = 0,)*

C0 0 0,0+#- =,-+#1 = D=,0+# = E,+#-E

" = D+,=-)1 D0=.*) = D=,E0+ 0 D),)*

costos = +*,==0E 0,1- = +,==0# =

> S6?

C0 C# C "0 "# " S6?

"0 o DE,E+) o 0 D=,1#+ =,##) =,0)0#

C0 0 =,-0=1 = = D=,01 =,=-0 ),11+

C = =,1- 0 = =,=)1 D=,=1E =,)0E

costos = +0,*#+ = = ,#=E* 0,#10)

Fa > iteración nos da ya la solución óptima ya ue vemos ue el número de= es igual al número de positivos en la 4la de los costos. (e esta tablavemos ueG

; : 0,//$> si tengo un gramo más de dioido de titanio, el "ene(icio aumentará 0,//$>

;2 : * si tengo un gramo más de @2*? el "ene(icio no se 'erá modi(icado.;$ : *.0+$ si tengo un gramo más de antiespumante, el "ene(icio aumentará *.0+$ euros.

Si comparamos los resultados o"tenidos de resol'er el pro"lema primal, & el pro"lema dual, se

puede apreciar ue las soluciones del modelo primal, coinciden con los costos reducidos del

modelo dual. curre lo mismo con las soluciones del pro"lema dual 8SB9 con los costos del

pro"lema primal. #os costos del pro"lema primal, son iguales a las soluciones del pro"lema

dual, pero multiplicado por 869.

4. !"#$S$S %&S'&%'$(# )! *)C'&+ b , )! c

• Hambios en el vector b



• 2ara "acer el an3lisis vamos a suponer ue la disponibilidad delantiespumante "a aumentado en 0.

Fa solución inicial eraG

'"ora la cantidad de antiespumante ue disponemos ser3n )= . Indicamosla nueva cantidad, para obtener el vector de disponibilidad tras este cambio.

=,01#- = D=,=)1# #-#,+-+

D=,-00 0 D=,1- ! *1 5E,E=#

D=,=-0# = =,=1E+ )=#,)+E+

'sJ obtenemos un nuevo vector de disponibilidad y vemos ue la solucióninicial sigue siendo factible ya ue las soluciones factibles son todaspositivas. Fa solución seguir3 siendo la misma ue la solución inicial ya ue"emos aumentado dentro del rango del antiespumante. Se seguir3nproduciendo las mismas cantidades ue en la resolución inicial, y elbene4cio ser3 el mismo. 'sJ ue ;05=, !#5 ,#=E* !5 0,#10) y el bene4cioser3 0-E,10-E.

Hambios en el vector c

• (ebido a ue pintura roja es la m3s demanda, su precio baja a =euros.

• Fa tabla inicial era

Kuestra función objetivo primera era f 7!8 5 +9 +) !# 9 !, a"oranuestra función objetivo es f 7!8 =9 +) !# 9 !.

Resolvemos el nuevo problema en @inAS?



Tabla inicial

2rimera solución factible b3sicaG primera iteración

Segunda solución factible b3sicaG segunda iteración

Tercera solución factible b3sicaG tercera iteración

'l disminuir el precio de c0 en +, la solución obtenida es la misma ue la del

problema inicial, es decir la solución óptima sigue siendo la misma, ya ue



nos "emos movido dentro del rango. $sto también lo podemos ver en elresumen de @inAS? como el seguir3 siendo el misma.

Hambiar3 la función objetivo, a"ora ser3 %3!. f 7!8 5 =9 +) !# 9 !, perola solución inicial seguir3 siendo la misma. $n este caso el bene4cio no se

ver3 modi4cado.

+.# &'RI'K(/ F' S/FUHILK /?T$KI('

• Hambios en el vector b

2ara "acer el an3lisis vamos a suponer ue la disponibilidad de levadura"a aumentado en 0# .

• Fa solución inicial era

'"ora la disponibilidad del dió!ido de titanio es +).

Un cambio en las disponibilidades va a afectar a la factibilidad de la

solución.

=,01#- = D=,=)1# +)*,=0-+

D=,-00= 0 D=,1- ! *1 5#*,1++

D=,=-0# = =,=1E+ #- *D=,=-*#

(e esta manera obtenemos en nuevo vector de disponibilidad y vemos uela solución inicial "a dejado de ser factible, ya ue uno de los números delvector de disponibilidad es negativo. ay ue re"acerla, partimos de latabla óptima, la tabla óptima eraG

1 2 x 3 1 2 3 SF/



2 =,1#+= 0 = =,01#- = D=,)1# +)2 E,E+= = = D=,-00 0 D=,1- *1 x 3 D=,##)0 = 0 D=,=-0# = =,=1E+ * Costos D=,0)0# = = D),11+ = D=,)0E 0-E,10-E

'"ora ponemos el nuevo vector de disponibilidad, y vemos ue la solucióninicial "a dejado de ser factible, ya ue los números del vector dedisponibilidad son negativos. 2or lo tanto "abr3 ue resolver una nuevatabla y para ello utilizaremos el algoritmo del Simple! (ual.

1 2 x 3 1 2 3 SF/ 2 =,1#+= 0 = =,01#- = D=,)1# E,+-)E

2 E,E+= = = D=,-00 0 D=,1-

#*,1++

x 3 D=,##)0 = 0 D=,=-0# = =,=1E+ D=,=-*

Costos D=,0)0# = = D),11+ = D=,)0E 0-E,10-E

Fa solución es óptima, pero no es factible.

1 2 x 3 1 2 3 SF/

2 =,-1) 0 #,*++ = = D=,E0 +,)++#

2 -,--#= = 1,1-* = 0 D0,)E)

#-,-=)#

1 #,**# = D0#,0) 0 = D0,0-*0 0,=*- Costos 0E,+E) = *,-0=) = = D*,E0= 01,)+

4e esta (orma o"tenemos una solución óptima & (acti"le. 4a lugar aC

D : * Producción de pintura roja diaria.

D2 : >,0$ Producción de pintura verde diaria

D$ :* Producción de pintura azul diaria.

El "ene(icio se 'erá modi(icado. El nue'o "ene(icio será /$,$0>$ euros.

• Hambios en el vector c

Supongamos a"ora ue el precio de la barra de la pintura verde subea"ora a )) euros. 2artimos de la solución óptima inicial ue eraG

1 2 x 3 1 2 3 SF/ 2 =,1#+= 0 = =,01#- = D=,)1# +)2 E,E+= = = D=,-00 0 D=,1- *- x 3 D=,##)0 = 0 D=,=-0# = =,=1E+ * Costos D=,0)0# = = D),11+ = D=,)0E 0-E,10-E



$l precio de la pintura verde deberJa oscilar entre ++,-E+ y ),*#=1para ue la solución inicial siga siendo óptima, al ser el nuevo precio ))M, yano lo ser3.

$ste cambio en la función objetivo afectar3 a la optimabilidad.

(ebemos recalcular la 4la de los costos para la nueva función objetivo.

7))8 D (34 0 33) N

( 0,1928 0 −0,592

−0,811 1

−0,3938

−0,0812 0 0,0964 )N

(12

98 )

50E0,=0+

0. !"#$S$S %+('+$C& )! )# *)C'&+ b

'n3lisis paramétrico en b G vector de disponibilidad de recursos

Supongamos ue debido a un fallo en una de las m3uinas, cada dJa sepuede fabricar menos pintura. 2or tanto, la cantidad de pintura ue sefabrica a"ora depende de las semanas ue pasen "asta ue se arregle el"orno, por ello tendremos ue modi4car el vector de disponibilidad. Fafunción objetivo seguir3 siendo la misma ue en el problema inicial.

Fa función objetivo esG

%3!. f 7!8 5 + !0 9 0+) !# 9 !

Fas restricciones sonG

),)!0 9 *!# 9+, ! : #- D 0)O

0#!0 9 -!# 9 1! : *1 D =O

Sujeto a #, !0 9 ),1!# 90 +! : * D #)O

;0, !#, ! < =

+esolemos el problema paramtrico con la auda de 5in6S/



)scribimos las nueas restriccionesG

#a solución del problema paramtrico es7



Resumiendo y ordenando la S./. del problema, según los distintos valoresde O, esP

∀ µ ∈ ( −F , − 1,4800 ) el problema es inconsistente

∀ µ ∈ ( − 1,4800 , −1,3505 ) f desde = "asta +*,-E+0 E1,)E)#O

∀ µ ∈ ( −1,3505 , −1,0844 ) f desde +*,-E+0 "asta *),+) 0=,E=-) O

∀ µ ∈ ( D0,=-++, =) f desde *),+) "asta 3+,/3+ 0=#,-=--O

∀ µ ∈ ( =, F) f desde 3+,/3+ "asta F 879 0=#,-=--O

6 7 µ5=85 0=#,-=--O , ue es el valor de la función objetivo delproblema primal. $ntonces a esta empresa de pintura le interesara

"acer paramétrica para un valor de µ ue "aga ue la función

objetivo sea mayor ue 0=#,-=--O. $sto se da cuando µ es mayor ue

=. 2or lo tanto siempre ue µ sea mayor ue = me interesar3 "acerparamétrica

Representación gr34ca del problema



D0,+- D0,)=) D0,=-++ Q=

#=

+=

E=

-=

0==

0#=

0+=

0E=

0-=

#==

*. Se a8ade la condición de inte9ridad para todas las ariablesdel modelo :ormulado en el apartado 1 se resuele; paso apaso; el modelo entero.



&amos a aplicar sobre nuestro problema inicial, programación enteralineal.Una o varias variables deben tomar valores enteros. $n este caso senos pide ue lo apliuemos a todas las variables.

%a!. 67!8 7!0,!# ,!85 +!09 +)!# 9 !

Sujeto a ),)!09 *!# 9 +,! : #-

0#!0 9 -!# 9 1! : *1

#,!0 9 ),1!#9 0+! : *

;0, !#, ! < =1< $teración

2< $teración

3< $teración

4< $teración



0< $teración

=< $teración

>< $teración

?< $teración

@< $teración



1A< $teración

11< $teración

12< $teración

2@< $teración



Iteración 0

;05 7 =, .#=E*,0.#10)8

R5 0-E.10-E

Iteración

;#57=.##*, ,0.+0-8

R50-E.--+-

Iteración +

;05 7 0 , #.#-#*,0.)0E8

R5 0-E.*E*+

Iteración -

;#5 70.# ,#0.)-)8

R5 0-E.*#0#

Iteración 1

;#57#,0.), 0.*+8

R5 0-E.E0E

Iteración 0=

;57#,#, =.E1**8

z5 0-0.=#

Iteración 0#

;57#.)+, #,=8

R50*E.)+))

Iteración 00

Infactible

Iteración )

;#570, , =,+--8

R5 0-=.)0EE

Iteración *

;570.#*, , =8

R5 0*-.#*#*

Iteración E

Infactible

Iteración #

;#57=, +, =8



%e salJan #1 iteraciones, por lo ue optado por "acer el cuadro solocon las 0# primeras.

?. Formular; resoler analizar un problema de transporte enrelación a una de las ariables del enunciado del problema delapartado anterior.

Kuestra empresa, cuenta con dos f3bricas en $spaa, una situada en2amplona y la otra en ' Horua. $n la primera se producen en total ##g depintura verde mientras ue en la segunda #=g.

$stas dos f3bricas distribuyen a tres centros situados en Toledo, Sevilla yirona. Fa demanda de pintura verde en la diferentes ciudades es de 0=g

en Toledo, de 0*g en Sevilla y de 0)g en irona.$n la siguiente tabla se muestra los costes de la distribución del producto.Fa empresa uiero minimizar estos costes.

Toledo Sevilla irona &:erta

2amplona E 00 1 ##

' corua * - 0= #=

Bemanda 0= 0* 0) +#

2ara resolver el problema de transporte utilizaremos el KetVor %odeling de@inAS?



$sta tabla nos da la solución para minimizar los costes. Source 0 es2amplona y source # ' Horua. Respecto a los destinos, (estination 0 es

Toledo, (estination # es Sevilla y (estination es irona.

2or tanto para minimizar costes la empresa deber3 realizar lo siguiente

D(e 2amplona llevaran a Toledo 0=g de pintura verde, con un coste deeuros el ilo, lo ue "ace un total de E= euros.

D(e 2amplona llevaran a irona 0#g de pintura verde, con un coste 1 eurosel ilo, lo ue "ace un total de 0=- euros.

D(e ' Horua llevaran a Sevilla 0*g de pintura verde, con un coste de -

euros el ilo, lo ue "ace un total de 0E euros.



D(e ' Horua llevaran a irona g de pintura verde, con un coste de 0=euros el ilo, lo ue "ace un total de = euros.

$n resumen, llevar toda la pintura verde desde 2amplona y ' Horua "asta Toledo, Sevilla y irona supondr3 un coste total de + euros.

-. Se aaden nuevas funciones objetivos 72ara ma!imizar yminimizar8

$n primer lugar aadiremos dos nuevas funciones, una para ma!imizar lasatisfacción de los clientes y la otra para minimizar

Fa nueva función para ma!imizar la satisfacción de los clientes ser3G -!0 90#!# 9 0=!

Fa nueva función para minimizar ser3G !0 9 *!# 9 +!

2or lo tanto a"ora contamos con funciones objetivo ue ser3nG

%a!. 05 +!0 9 +)!# 9 ! 76unción objetivo inicial8

%a!. #5 -!0 9 0#!# 9 0=! 7Kueva función objetivoG para ma!imizar lasatisfacción de los clientes8

%in. 5 !0 9 *!# 90=! 7Kueva función objetivoG para minimizar 8

Sujeto a ),)!09 *!# 9 +,! : #-

0#!0 9 -!# 9 1! : *1

#,!0 9 ),1!#9 0+! : *

;0, !#, ! < =

2ara ponderar asignamos valoresG 05, #5 0 y 5 E

También cambiamos la función para ma!imizazarla y usar el método delas ponderaciones. '"ora uedara asJG D!0 D *!# D 0=!

D2onderación 'G 7, 0, E85 7+!0 9 +)!# 9 !8 9 07-!0 9 0#!# 9 0=!89 E7D!0 D *!# D 0=!8

%a!5 1#!0 9 0=)!# 9 -)!

Resolvemos a través de @inAS?, con las restricciones iniciales



Fos valores ue nos da la solución para cada variable sonG ;05 ,+*=+,;#5= , ;5 #,=*#*

Una vez "allados, sustituimos en las tres funciones objetivo para tener laprimera solución óptima de cada una.

%a! 050-E,1#*

%a! #5+-,+1=#

%in 50-,*=#

D2onderación ?G 7E, , 085 E7+!0 9 +)!# 9 !8 9 7-!0 9 0#!# 9 0=!89 07D!0 D *!# D 0=!8

%a!5 ##)!0 9 #11!# 9 ##+!

Fos resultados son ;05=, ;#5,#=E*, ;5 0,#10)

2or lo ue sustituyendo en las funciones objetivo nos da la segunda soluciónóptima de cada unaG

%a! 050-E,1#0

%a! #5)0,1)+%in 5#*,E0#1



D2onderación H50 7+!0 9 +)!# 9 !8 9E 7-!0 9 0#!# 9 0=!8 9 7D!0D *!# D 0=!8

%a!5 *!0 9 1E!# 9 -0!

Fos resultados son ;05 ,*+=+ ;#5= y ;5#,=*#*

2or lo ue sustituyendo en las funciones objetivo nos da la tercera soluciónóptima de cada unaG

%a! 050-E,1#*

%a! #5+-,+1=#

%in 50-,*=#

;0 ;# ; 0 # 2onderación' ,+*=+ = ,+*=+ 0-E,1#* +-,+1=#

0-,*=#

2onderación? = ,#=E* = 0-E,1#0 )0,1)+ #*,E0#12onderaciónH #,=*#* 0,#10) #,=*#*

0-E,1#*+-,+1=# 0-,*=#

2ara la primera función, ue es ma!imizar el bene4cio, el punto idealser3 punto ? ya ue su valor 0-E,1#0 es el m3!imo de los . 2ara lasegunda, ma!imizar la satisfacción de los clientes, los puntos óptimos ser3ntanto el ' como el H +-,+1=# ya ue ambos coinciden en resultado. 2orúltimo, la tercera función, la de minimizar la contaminación, su punto idealser3 tanto el ' como el H 70-,*=#8 ya ue es el valor m3s peueo de lostres.



0 # =

#=+=E=-=0==

0#=0+=0E=0-=#==

-.# Se aaden metas a los objetivos

Fa programación por metas consiste en establecer para cada uno de losobjetivos del problema una meta. Se considera solución óptima a auellaue minimiza la desviación a estas metas. Fas metas de la panaderJa sonG

Aue es bene4cio sea igual a E.Aue el tiempo sea igual a #0.Aue la satisfacción de los clientes sea igual a +0.

%a!. 05 +!0 9 +)!# 9 ! 76unción objetivo inicial8

%in. #5 !0 9 *!# 90=! 7Kueva función objetivoG para minimizarla contaminación 8

%a!. 5 -!0 9 0#!# 9 0=! 7Kueva función objetivoG parama!imizar la satisfacción de los clientes8



Sujeto a +!0 9 +)!# 9 ! 5 #0

!0 9 *!# 90=! 5 0E

-!0 9 0#!# 9 0=!

),)!09 *!# 9 +,! : #-

0#!0 9 -!# 9 1! : *1

#,!0 9 ),1!#9 0+! : *

, 2, $, d6, d <, d26, d2<, d$6, d$< =*

: * -g ro5a de pintura a producir semanalmente

2: * -g de pintura 'erde a producir semanalmente



$: *,+$+> -g de pintura a1ul a producir semanalmente

d<: *

d6:*

d2<:*,>0>0 euros por los ue no se alcan1a la meta G2

d26:*

d$<:*

d$6:/,+$+> euros por los ue no se alcan1a la meta G$

Humplimos por tanto los o"5eti'os G de ue el "ene(icio sea igual a 2. En el caso de G2

8minimi1ar la contaminación9 la empresa no llega a los $ puntos & se ueda en tan solo

en 2,0>00. En el caso de G$ no se cumple el o"5eti'o de maimi1ar la satis(acción de losclientes por /,+$+> euros.

3.$ Aadir penali1aciones & resol'er

' partir de las metas propuestas en el apartado anterior, penalizaremosauellas desviaciones ue no convengan a nuestro objetivo principal encada función.

D$n 0, como nuestra meta era de obtener un bene4cio mayor o igualde #=, penalizaremos cada unidad de desviación por encima de esta metacon EM.

D$n # como ueremos ue los puntos en la encuesta realizada anuestros clientes sea de 0 puntos, penalizaremos con *M las desviacionespor encima y con - euros las ue estén por debajo por debajo de esta meta.

D2or último, en , las desviaciones por encima de nuestra metaestablecida en 0E puntos de contaminación con + euros de penalizacióncada unidad.



: * -g ro5a de

pintura a producir semanalmente

2: * -g de pintura 'erde a producir semanalmente

$: *,>++ -g de pintura a1ul a producir semanalmente

d<: *

d6:*

d2<:/,$$$ euros por los ue no se alcan1a la meta G2

d26:*

d$<:*

d$6:*,>** euros por los ue no se alcan1a la meta G$

Humplimos por tanto los o"5eti'os G de ue el "ene(icio sea igual a 2. En el caso de G2

8minimi1ar la contaminación9 la empresa no llega a los & se ueda en tan solo en $,2+.

En el caso de G$ no se cumple el o"5eti'o de maimi1ar la satis(acción de los clientes por *,>** euros.

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