MATEMÁTICAS APLICADAS

MILENA PATRICIA PINZON BELTRAN

JUAN DAVID CASTILLO CABALLERO

UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA

FACULTAD CIENCIAS ADMINISTRATIVAS ECONOMICAS Y CONTABLES

ADMINISTRACION DE EMPRESAS SEMESTRE 2

DOCENTE: HUGO ANTONIO LOPEZ

16 DE ABRIL DE 2014

FUSAGASUGA

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCION

OBJETIVOS

JUSTIFICACION

1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES1.1 método de sustitución1.2 método de igualación1.3 método de reducción1.4 sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas1.5 método de Gauss1.6 método de Cramer1.7 ejercicios de aplicación

2 función lineal2.1 pendiente2.2 ecuación general de la forma punto –pendiente2.3 rectas paralelas2.4 rectas perpendiculares

3 función cuadrática3.1 características3.2 ejemplos3.3 ejercicios de aplicación propuestos

4 función exponencial4.1 propiedades4.2 ejemplos4.3 ejercicios de aplicación propuestos

5 función logarítmica 5.1 ejemplos5.2 ejercicios de aplicación propuestos

OBJETIVOS

Reconocer un sistema de ecuaciones ya sea de dos ecuaciones con dos incógnitas o de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Conocer los distintos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Solucionar problemas de la vida real mediante el uso de métodos de solución de ecuaciones.

Encontrar la pendiente de una recta que es paralela o perpendicular a otra.

Dados un punto y una recta perpendicular o paralela a una recta desconocida , escribir la ecuación de la recta desconocida.

Solucionar problemas aplicados a la administración aplicando las funciones ( función cuadrática , función exponencial , función logarítmica)

SISTEMA DE ECUACIONES

Se llama sistema de ecuaciones todo conjunto de ecuaciones distintas que tiene una o más soluciones comunes. Resolver un sistema de ecuaciones simultáneas es hallar el conjunto de valores que satisfacen simultáneamente cada una de sus ecuaciones.Características de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.Los resultados característicos de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables son:

Existe únicamente una solución. Existe una cantidad infinita de soluciones. No existe solución.

Un sistema es consistente si tiene por lo menos una solución. Un sistema con un número infinito de soluciones es dependiente y consistente. Un sistema es inconsistente si carece de solución.

Para resolver un sistema de N ecuaciones con N incógnitas podemos utilizar uno de los siguientes métodos:

Sustitución  Igualación Reducción Gauss Cramer

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente.

EJEMPLOS:Solucionar:1 2 3

SOLUCION

1

Se despeja x en la segunda ecuación: 

x = 8 – 2y

Se sustituyen en la primera ecuación: 

3(8 – 2y) – 4y = – 6

Operando:

 24 − 6y − 4y = − 6

24 – 10y = – 6

− 10y = − 6 − 24

  − 10y = − 30

Se resuelve:

y = 3

Se sustituye este valor en la segunda:

x  + 2(3) = 8

 x + 6 = 8

x = 8 – 6 = 2

Solución del sistema:

x = 2, y = 3

2

Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. despejemos la y en la primera ecuación suponiendo como conocido el valor de x

y = 11 - 3x

Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado, es decir donde se encuentre una "y" colocaremos "(11 – 3x)".

5x - (11-3x) = 13

Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la cual resolvemos normalmente

5x – 11 + 3y = 13 5x + 3x = 13 + 11 8x = 24 x = 3

Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de "y" que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema

y = 11 - 3x y = 11 - 9 y = 2

Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será

x=3 e y=2

3

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita   por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita   en la otra

ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la  .

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado 

,

y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos  , con lo que el sistema queda ya resuelto.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Solucionar por el método de sustitución los siguientes ejercicios:

1 El precio del boleto para un concierto es de 225 pesos para público en general, y 150 pesos para estudiantes. La taquilla recaudó 77,775 pesos por la venta de 450 boletos. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?Donde:

x es el número de boletos vendidos a público en general y es el número de boletos vendidos a estudiantes

2 Una  empresa  de  Plásticos,  tiene  ingresos  anuales  por  un  valor  de $120.000.000,  sus  costos  fijos  mensuales  son  $4.000.000  y  el  costo  por  producir cada bolsa plástica es de $50. a.  ¿Cuántas  bolsas  produce  mensualmente,  si  su  gasto  total  es  de $6.500.000? 

¿A que precio esta vendiendo sus bolsas? ¿Cuanto es al utilidad? ¿ A que precio debe vender las bolsas para no disminuir la producción

y alcanzar un punto de equilibrio?

3 Un  fabricante  produce  diario  150  artículos  que  vende  al  doble  del  costo  menos  $1000  ¿Cuánto  es  el  costo  de  producir  cada  artículo,  si  sus  utilidades son de $360.000? 

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MÉTODO DE IGUALACIÓN

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

EJEMPLOS1 2 3 4

SOLUCION 1

Despejamos x en la primera ecuación:

Despejamos x en la segunda ecuación:

x = –1 – 2y

Igualamos ambas expresiones:

            

Se sustituye este valor en la primera o segunda ecuación:

 x = 3 + 2(−1)

x = 3 − 2

x = 1

6 Solución del sistema

x = 1, y = –1

2

Despejamos la incógnita x de la primera y segunda ecuación:

Igualamos ambas expresiones:

Luego, resolvemos la ecuación

Sustituimos el valor de y, en una de las dos expresiones en las que

tenemos despejada la x:

3

despejamos la incógnita   en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente

manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte

izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.

Una vez obtenido el valor de la incógnita  , se sustituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la  .

La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.

4

Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita

Igualamos ambas ecuaciones

11 - 3x = -13 + 5x 8x = 24  x = 3

Este valor de x lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de y

y = 11 - 9 y = 2

EJERCICIOS PROPUESTOS

Solucionar por el método de igualación los siguientes ejercicios:

1 Una cuerda mide doce metros y se corta en dos partes de tal manera que una es dos metros mas grande que la otra . ¿cuales son las nuevas medidas de las cuerdas?

Donde :

X es la longitud del pedazo mas grande.

Y es la longitud del pedazo mas pequeño.

2 El fabricante de cierto producto puede vender todo lo que produce al precio de  $20.000  cada  uno.  Le  cuesta  $12.500  producir  cada  articulo  por  los materiales y la mano de obra, y tiene un costo adicional de $7.000.000 al mes  con el fin de operar la planta. Encuentre el número de unidades que debe producir y vender para obtener una utilidad de $5.000.000 al mes. 

3 Sabiendo  que  la  función  de  oferta  de  lápices  automáticos  marca  "Profiti" está dada por: q = 2 p  5 y que la demanda de los mismos es lineal y tiene como regla de definición: q =  4/3 p + 20/3  donde p representa el precio

 (en $) de los lápices y q la cantidad de los mismos (en miles de unidades). 

Hallar analíticamente las coordenadas del punto de equilibrio Corroborar gráficamente lo obtenido en a

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MÉTODO DE REDUCCIÓN

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

EJEMPLOS1 2 3

SOLUCION

1

Primero se deben igualar el 6 y el 8 de la incógnita x. Para hacerlo, amplificamos la primera ecuación por 4 y amplificamos la segunda ecuación por –3. Esto porque al multiplicar 6x por 4 queda 24x; y al multiplicar 8x por –3 queda –24x, y se anulan entre sí; o sea, hemos eliminado una incógnita para trabajar solo con la otra  (la y).  Luego hacemos lo mismo con la y.

Se elimina la x: 

                

 

Se elimina la y:

 

2

No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por   para poder cancelar la incógnita  . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita   ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita  :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita   en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de   es igual a:

3

Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema, la intención es eliminar una variable por lo que si no se puede eliminar ninguna así no más se multiplicaran las ecuaciones por números que igualen alguno de los términos, para que se elimine uno:

Para este ejemplo eliminamos "y"

y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos

y = 2

Este método sirve para cualquier cantidad de ecuaciones con la única condición que el numero de variables desconocidas no sea mayor a la cantidad de ecuaciones.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Solucionar los siguientes ejercicios por el método de reducción:

1 Un  comerciante  de  ganado  compró  1000  reses  a    $150.000  cada  una, vendió  400  de  ellas  obteniendo  una  ganancia  del  25%.  ¿  A  qué  precio deberá  vender  las  restantes  600  reses,  si  la  utilidad  promedio  del  lote completo ha de ser el 30%? 

2 Una  empresa  que  tiene  costos  fijos  mensuales  de  $4.800.000,por  arrendamiento y salario de los ejecutivos, que se deben pagar sin importar  el nivel de producción, el cual tiene un costo variable mensual de $800, si su producción semanal es de 125 unidades. 

a.  ¿Cuántos son sus gastos mensuales? 

b.  ¿Cuánto  debe  ser  el  precio  de  venta  para  alcanzar  un  punto  de  equilibrio? 

c.  ¿Cuánto  debe  producir  para  tener  una  utilidad  semanal  de  $500.000?.

3 Un comerciante de autos usados compra dos automóviles en $29.000.000. Vende  uno  con  una  ganancia  del  10%  y  el  otro  perdiendo  el  5%    y  aún obtuvo  una  ganancia  de  $1.850.000.  por  la  transacción  completa.  Encuentre el costo de cada automóvil.

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SISTEMAS DE ECUACIONES DE 3 X 3

METODO DE GAUSS

Este método consiste en utilizar el método de reducción de manera que en cada ecuación tengamos una incógnita menos que en la ecuación precedente.

1. ponemos como primera ecuación la que tenga el cómo coeficiente de x : 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z , cambiando el orden de las incógnitas.

2. hacemos la reducción con la 1ª y 2ª ecuación, para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operación:

3. hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación , para eliminar el termino en x.

4. tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en y.

5. obtenemos el sistema equivalente escalonado.6. Encontrar las soluciones

EJEMPLOS

1 Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños. También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones.

Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños:

Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños:

También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños

Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema

Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos siguientes:

En este caso en la tercera ecuación se ha eliminado la y, por lo que no es necesario hacer más operaciones. Por lo tanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuación:

Sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos que y = 10:

Sustituyendo z é y en la primera ecuación obtenemos x = 10.

Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:

2

1. ponemos como primera ecuación la que tenga el como coeficiente de x: 1 ó -1, en caso de que no fuera posible lo haremos con y o z, cambiando el orden de las incognitas

2. Hacemos reducción con la 1ª y 2ª ecuación , para eliminar el término en x de la 2ª ecuación. Después ponemos como segunda ecuación el resultado de la operaciónE'2 = E2 −3E1

3. Hacemos lo mismo con la ecuación 1ª y 3ª ecuación, para eliminar el término en x.

4. E'3 = E3 – 5E1

Tomamos las ecuaciones 2ª y 3ª, trasformadas, para hacer reducción y eliminar el término en yE''3 = E'3 − 2E'2

5. Obtenemos el sistema equivalente escalonado.

6. Encontrar las solucionesZ: 1-y + 4 ·1 = −2  y : 6x + 6 −1 = 1 x: -4

3

EJERCICIOS PROPUESTOS

Solucionar los siguientes ejercicios por el método de Gauss:

1 En un supermercado un cliente compra 5 paquetes de un producto A , 4 de B y 3 de C , pagando en t otal 53 euros . otro cliente compra dos paquetes de A , 7 de B y 4 de C , gastando 46 euros . un tercer cliente compra 8 de A , 13 de B y 5 de C , pagando lo que los otros dos juntos .

¿ cuanto vale cada producto?

2 En un supermercado se ofrece dos lotes formados por distintas cantidades de los mismos productos .El primer lote esta formado por una botella de cerveza , tres bolsas de cacahuates y siete vasos y su precio es de 5 euros. El segundo lote esta compuesto por una botella de cerveza , cuatro bolsas de cacahuates y diez vasos y su precio es de seis euros.

Con estos datos , ¿ se podría averiguar cuanto debería valer un lote formado por una botella de cerveza , una bolsa de cacahuates y un vaso?. Justificar la respuesta.

3 Juan compro 4 butacas de patio y 6 de palco y pago 4698 , salvador abono 2820 ptas. Por 5 butacas de patio y 2 de palco y manuel 5124 ptas. Por 2 butacas de patio y 8 de palco. ¿ cuanto valen 10 butacas de patio y 10 de palco?

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REGLA DE CRAMER

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices

y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.

SISTEMA DE 2 ECUACIONES CON 2 INCÓGNITAS Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de

la forma. Dado el sistema de ecuaciones:

Lo representamos en forma de matrices:

Entonces,   e   pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguiente manera:

Sistema de tres ecuaciones con tres incognitas La regla para un sistema de 3x3, con una división de determinantes:

Que representadas en forma de matriz es:

,  ,   pueden ser encontradas como sigue:

EJEMPLOS

1 2 3

SOLUCION

1 resolución de un sistema simple de 2x2:

que matricialmente es:

x e y pueden ser resueltos usando la regla de Cramer

2 Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incógnitas:

  Encontrar el valor de x e y mediante la regla de Cramer.

Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliada A  b asociada al sistema de ecuaciones lineales:

 

El segundo paso es calcular el determinante de A. Así pues: 

Y el tercero y último paso consiste en calcular las incógnitas:

 

  

3 Dado el sistema de ecuaciones lineales:

Expresado en forma gramatical:

Los valores de   serían:

EJERCICIOS PROPUESTOS

Solucionar los siguientes ejercicios por el método de cramer:

1 Seis Kg. de piñones y cinco Kg. de nueces costaron 2,270 pesos y cinco Kg. de piñones y cuatro de nueces costaron 1,880 pesos. Hallar el precio de un kilogramo de piñones y uno de nueces.

Donde: x es el precio en pesos de un Kg. de piñones y es el precio en pesos de un Kg. de nueces

2 Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 638,400 ptas. El original costaba 1200 ptas, perotambien ha vendido copias , presuntamente defectuosas , con descuentos del 30 % y del 40 % . sabiendo que el numero de copias vendidas fue la mitad del de originales , calcular a cuantas de las copias se les aplico el descuento del 30 %.

3 Si una persona invierte el 40% de sus ahorros en acciones del tipo A y el resto en acciones del tipo B , el interés medio resultante es del 5% , mientras que si realiza la inversion al revés ( es decir coloca el 40% en B y el resto en A), el interés medio resultante es del 6%

¿ que interés proporcionan las acciones del tipo A y cual las del B? ¿ cual seria el interés medio resultante si se invirtiera la misma cantidad en los dos tipos de acciones?

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Un distribuidor de licores compra whisky a $2 la botella y la vende a p dólares por botella. El volumen de ventas x, en cientos de miles de botellas a la semana está dado por x =24 – 2p cuando el precio es p. ¿Qué valor de p dará un ingreso total de $7 millones semanales?¿Qué valores de p dan una utilidad al distribuidor de licores de al menos $4.8 millones por semana?

2. Un fabricante puede ofrecer 2,000 pares de zapatos al mes a un precio de $30 por par de zapatos, mientras la demanda es de 2,800 pares. A un precio de $35 el par, puede ofrecer 400 pares más. No obstante, con este aumento de precio la demanda se reduce en 100 pares. Suponiendo que las relaciones sean lineales,

determine las relaciones de demanda y oferta. Encuentre el precio y la cantidad en equilibrio.

3. Un ganador de la Loto desea invertir su premio de $2,500,000 en dos inversiones al 6% y al 8%. ¿Cuánto debería invertir en cada una de las inversiones si proyecta devengar ingresos anuales de $10,000?

4. La tienda el Sol, vende cacahuates a $0.70 dólares la libra y almendras a $1,60  dólares la  libra. Al  final  de  un  mes el propietario se entera que los cacahuates no se venden bien y decide mezclar cacahuates con almendras para producir una mezcla de 45 libras, que venderá a $1.0 dólar la libra.¿Cuántas  libras  de  cacahuates  y  de  almendras  deberá  mezclar para mantener los mismos ingresos?. 

5. El  costo  de  fabricar  10  maquinas  al  día  es  de  $3.500.000,  mientras  que cuesta $6.000.000. producir 20 maquinas del mismo tipo al día, suponiendo  un  modelo  de  costo  lineal,  determine  la  relación  entre  el  costo  total  de  producir x máquinas al día y dibuje su grafica. 

6. Para un fabricante de relojes, el costo de mano de obra y de los materiales por  reloj  es  de  $15.000  y  los  costos  fijos  son  de  $2.000.000  al  mes.  Si vende cada reloj a $20.000 

¿Cuántos relojes deberá producir y vender cada mes con objeto de garantizar que el negocio se  mantenga en el punto de  equilibrio?, interprete gráficamente el punto de equilibrio. 

7. Supóngase  que  el  costo  total  diario (en  dólares)  de  producir  x  sillas  está  dado por  Y = 2.5X + 300 

a. Si cada silla se vende a $4 dólares ¿Cuál es el punto de equilibrio?. b. Si el precio de venta se incrementa a $5 dólares por silla, ¿Cuál es el 

nuevo punto de equilibrio?.c. Si  se  sabe  que  al menos  150  sillas  pueden  venderse  al  díad. ¿qué precio  debería  fijarse  con  el  objeto  de  garantizar  que  no 

haya perdida?. 

8. La  demanda  mensual  x,  de  cierto  artículo  al  precio P  dólares  por  unidad esta dado por la relacionx = 1350 - 45 p . El costo de la mano de obra y  del material con que se fabrica este producto es de $5 dólares por unidad y los costos fijos de $2000 dólares al mes. ¿Qué precio por unidad P deberá fijarse al consumidor con objeto de obtener una utilidad máxima mensual?. 

9. El señor Carlos Alberto es propietario de un hotel con 60 habitaciones. Él  puede alquilarlas todas   si  fija  un  alquiler  mensual  de  $200.000  pesos  por habitación. Con alquiler mas alto , algunas habitaciones quedarán vacías.  En promedio ,por  cada  incremento  de  alquiler  de  $5.000    pesos  una habitación quedará vacía sin posibilidad de alquilarse. Determine la relación funcionalal  entre el ingreso mensual total  y  el  número  de  habitaciones  vacías. ¿Qué  alquiler  mensual  maximizaría  el  ingreso  total?.¿Cuál  es  este  ingreso  máximo?. 

10.Una compañía tiene costos fijos de $2.500 dólares y los costos totales por producir 200 unidades  son $3.300 dólares. 

a. Suponiendo linealidad, escriba la ecuación costoproducción. b. Si  cada  artículo  producido  se  vende  a  $5.25  dólares. Encuentre 

el punto de equilibrio. c. ¿Cuántas  unidades  deberá  producir  y  vender  de  modo  que resulte

una utilidad de $200 dólares?. 

FUNCIÓN LINEAL

PENDIENTE

Angulo de inclinación con respecto al eje x.

Pendiente dados dos puntos

Las ecuaciones lineales pueden tomar varias formas, como la fórmula punto-pendiente, la fórmula pendiente-intersección, y la forma estándar de una ecuación lineal. Éstas formas permiten a los matemáticos describir la misma recta de distintas maneras..  

FORMA PUNTO-PENDIENTE

 Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como

.  En ésta ecuación, m es la pendiente y (x1, y1) son las coordenadas del punto. Veamos de dónde es que viene ésta fórmula de punto-pendiente. Aquí está la gráfica de una recta genérica con dos puntos trazados en ella. 

 La pendiente de la recta "aumenta conforme va". Ése es el cambio vertical entre dos puntos (la diferencia entre las coordenadas en y) dividida entre el cambio horizontal sobre el mismo segmento (la diferencia entre las corneadas en x). Esto

puede escribirse como  . Ésta ecuación es la fórmula de la pendiente.

 Ahora digamos que uno de esos puntos es un punto genérico (x, y), lo cual significa que puede ser cualquier punto en la recta, y el otro punto es un punto

específico,  . Si sustituimos éstas coordenadas en la fórmula,

obtenemos  . Ahora podemos manipular un poco la ecuación al

multiplicar ambos lados de la fórmula por  . Que se simplifica

a  . 

 

 

 

 

 es el punto-pendiente de la fórmula. Hemos convertido la fórmula de la pendiente en la fórmula punto-pendiente. No lo hicimos sólo por diversión, sino porque la fórmula punto-pendiente es a veces más útil que la fórmula de la pendiente, por ejemplo cuando necesitamos encontrar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente.

EJEMPLOS

 1 Considera la recta que pasa por el punto (1, 3) y tiene una pendiente de  .

SOLUCION

 

Sustituyendo éstos valores en la fórmula punto-pendiente,

obtenemos  . Que es la ecuación de la recta.

2 Una recta pasa por el punto A(-1, 3) y tiene un vector director    = (2,5). Escribir su ecuación punto pendiente.

3 Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

4 Hallar la ecuación de la recta que pasan por A(-2, -3) y tenga una inclinación de 45°.

RECTAS PARALELAS

1Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, es decir, si éstos son linealmente dependientes.

2 Dos rectas son paralelas si tienen sus vectores directores iguales.

3 Dos rectas son paralelas si tienen sus pendientes iguales.

4 Dos rectas son paralelas si los coeficientes de x e y respectivos son proporcionales.

5 Dos rectas son paralelas si forman un ángulo de 0º.

EJEMPLOS:

1 Calcular una recta paralela a r ≡ x + 2 y + 3 = 0, que pasen por el punto A(3,5).

2 Calcula k para que las rectas r ≡ x + 2y - 3 = 0 y s ≡ x - ky + 4 = 0, sean paralelas.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Dada la recta 6x – 5y + 10 = 0 encontrar la recta paralela a ella que pasa por el punto (-8 , -15).

Sea la recta 4x + 7y – 20 = 0 encuentre la ecuación de la recta paralela que pasa por el punto ( -9 , 16)

Dada la recta 10x – 6y +7 = 0 encontrar una recta paralela a ella.

RECTAS PERPENDICULARES

Rectas perpendiculares son las que al cortarse forman cuatro ángulos iguales.Las rectas m y n son perpendiculares porque al cortarse forman 4 ángulos de 90º.Dos rectas son perpendiculares si tienen sus pendientes inversas y cambiadas de signo.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Dada la recta 4x – 7y + 5 = 0 .Hallar la ecuación de la recta perpendicular que pasa por el origen.

Dada la recta 12x + 7y – 100 = 0 encontrar la recta perpendicular que pasa por el punto ( 9 , 17 ).

Dada la recta 9x – 15y + 25 = 0 hallar la recta perpendicular que pasa por el punto (-15 , 12).

FUCION CUADRATICA

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero.

En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.

Así,

ax2 es el término cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Cuando estudiamos la ecuación de segundo grado o cuadrática vimos que si la ecuación tiene todos los términos se dice que es una ecuación completa, si a la ecuación le falta el término lineal o el independiente se dice que la ecuación es incompleta.

PUNTOS DE CORTE EN EL EJE DE LAS ABSCISAS (RAÍCES O SOLUCIONES) (EJE DE LAS X)

Otra característica o elemento fundamental para graficar una función cuadrática la da el valor o los valores que adquiera x, los cuales deben calcularse.

Ahora, para calcular las raíces (soluciones) de cualquier función cuadrática calculamos

f (x) = 0.

Esto significa que las raíces (soluciones) de una función cuadrática son aquellos valores  de x  para los cuales la expresión vale 0; es decir, los valores de x tales que y = 0; que es lo mismo que f(x) = 0.

Entonces hacemos

ax² + bx +c = 0Como la ecuación ax² + bx +c = 0 posee un término de segundo grado, otro de primer grado y un término constante, no podemos aplicar las propiedades de las ecuaciones, entonces, para resolverla usamos la fórmula:

Entonces, las raíces o soluciones de la ecuación cuadrática nos indican los puntos de intersección de la parábola con el eje de las X (abscisas).Respecto a esta intersección, se pueden dar tres casos:

Que corte al eje X en dos puntos distintos

Que corte al eje X en un solo punto (es tangente al eje x)

Que no corte al eje X

PUNTO DE CORTE EN EL EJE DE LAS ORDENADAS (EJE DE LAS Y)

En el eje de ordenadas (Y) la primera coordenada es cero, por lo que el punto de corte en el eje de las ordenadas lo marca el valor de c (0, c).EJE DE SIMETRÍA O SIMETRÍA

Otra característica o elemento de la parábola es su eje de simetría.

El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide simétricamente a la curva; es decir, intuitivamente la separa en dos partes congruentes. Se puede imaginar como un espejo que refleja la mitad de la parábola.

Su ecuación está dada por:

Donde  x1  y  x2  son las raíces de la ecuación de segundo grado en x, asociada a la parábola.

De aquí podemos establecer la ecuación del eje de simetría de la parábola:

VÉRTICE

Como podemos ver en gráfico precedente, el vértice de la parábola es el punto de corte (o punto de intersección) del eje de simetría con la parábola y tiene como coordenadas

La abscisa de este punto corresponde al valor del eje de simetría  y la

ordenada corresponde al valor máximo o mínimo de la función, según sea la orientación de la parábola (recuerde el discriminante)

EJEMPLOS

1. Representa gráficamente la función cuadrática:

y = -x² + 4x – 3

Vértice

x  v  = − 4/ −2 = 2     y  v  = −2² + 4· 2 − 3 = 1        V(2, 1)

Puntos de corte con el eje OX

x² − 4x + 3 = 0

       (3, 0)      (1, 0)

Punto de corte con el eje OY.

(0, −3)

2. Representa gráficamente la función cuadrática: y = x² +x + 1

Vértice.

xv = −1/ 2     yv = (−1/ 2)² + (−1/ 2) + 1= 3/4

V(−1/ 2, 3/ 4)

 Puntos de corte con el eje OX.

x² + x + 1= 0

1² − 4 < 0       No hay puntos de corte con OX.

Punto de corte con el eje OY. (0, 1)

3. Representa gráficamente la función cuadrática:y = x² + 2x + 1

Vértice

x  v  = − 2/ 2 = −1     y  v  = (−1)² + 2· (−1) + 1= 0        V(− 1, 0)

Puntos de corte con el eje OX.

x² + 2x + 1= 0

 Coincide con el vértice: (−1, 0)

 Punto de corte con el eje OY. (0, 1)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PROPUESTOS

1) si la ganancia de la venta de x unidades de un producto es P: 90x-200-x2 determine:

El número de unidades que maximizará la ganancia (eje de simetría).

El valor optimo (¿máximo o mínimo?) Grafique la función.

2) Si en un mercado de monopólico, la función de demanda de un producto es P: 175 – 0.50x y la función ingreso es R=px, donde p es el precio y x es el número de unidades vendidas. Determine. La función ingreso y el precio que maximizará el ingreso.

3) La ganancia diaria de la venta de x unidades de un producto es P: 80x-0.4x2

-200 dólares. ¿Qué nivel de producción maximiza la ganancia? ¿Cuál es la máxima ganancia posible?

FUNCIONES EXPONENCIALES

Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = bx , donde b  y  x son números reales tal que b > 0  y  b es diferente de uno

Crecimiento exponencialLa función exponencial se presenta en multitud de fenómenos de crecimiento animal, vegetal, económico, etc. En todos ellos la variable es eltiempo.En el crecimiento exponencial, cada valor de y se obtiene multiplicando el valor anterior por una cantidad constante a. Donde k es el valor inicial (para t=0), t es el tiempo transcurrido y a es el factor por el que se multiplica en cada unidad de tiempo.

Si 0<a<1 se trata de un decrecimiento exponencial.

Ejemplos

1.

X -3 -2 -1 0 1 2 3Y: 2x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8

X -3 -2 -1 0 1Y:(1/2)x 8 4 2 1 1/2

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PROPUESTOS

1. Un profesionista invierte 50,000 pesos en un banco que paga el 8% de interés anual. Si se reinvierten los dividendos cuatrimestralmente, ¿cuánto capital tendrá en 12 años

2. Una persona debe 6,000 pesos en su tarjeta de crédito que cobra una tasa de interés anual de 36% .si no realiza ningún pago y el banco capitaliza los intereses trimestralmente, cuánto deberá en 2 años?

3. En qué se convierte al cabo de 15 años un capital de 23000€ al 5,5% anual?

FUNCION LOGARITMICA

Los logaritmos

Dados dos números reales positivos, a y b (a≠1), llamamos logaritmo en base a de b al número al que hay que elevar a para obtener b. La definición anterior indica que: loga b=c equivale a ac =b

De la definición de logaritmo podemos deducir:

No existe el logaritmo de un número con base negativa.

No existe el logaritmo de un número negativo.

No existe el logaritmo de cero.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo en base a de a es uno.

El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base.

4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el índice de la raíz.

5. Cambio de base:

EJEMPLOS

Representa y estudia las funciones

a) f(x)=2·log3x

Dominio=(0,+∞)

Recorrido= IR

Asíntota: x=0

Corte OX: (1,0)

Creciente

b) f(x)=log3x+1

Dominio=(0,+∞) Recorrido= IR Asíntota: x=0 Corte OX: (1/3,0) Creciente

c) f(x)= log 2 x

X 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8F(x) -3 -2 -1 0 1 2 3

-El dominio son los reales

positivos y el recorrido son todos los reales. -Es continua. -Si a>1 la función es creciente y si 0<a<1 es decreciente. -Corta al eje OX en (1,0). -El eje OY es asíntota. -La función es inyectiva, esto es si am=an entonces

m=n.

4. Una curiosidad de aplicaciones de logaritmos en la vida real es la siguiente, en el testamento de Benjamín Franklin, famoso científico, éste donaba 1.000 libras a los habitantes de Boston, a condición de que se prestasen al 5% a artesanos jóvenes. Según Franklin, al cabo de 100 años, se habrían convertido en 131.000 libras. Comprobemos si esto es cierto:

El capital final al cabo de esos 100 años será x = 1.000 · 1,05100. Para calcular esa enorme potencia usaremos los logaritmos:

x = 1.000 · 1,05100; log x = log 1.000 + 100 · log 1,05

log x = 3 + 100 · 0,0212 = 5,12; x = 105,12 = 131.825,67 libras

EJERCICIOS DE APLICACIÓN PROPUESTOS

1. Suponga que la oferta de x unidades de un producto a un precio p de dólares esta dado por P = 10 + 50 ln (3x + 1).

Encuentre el precio de oferta cuando el número de unidades es 33. ¿Cuántas unidades se ofrecen a un precio de 300 dólares

2. La función demanda de un producto está dada por P= 4000

¿(x+10) donde p es

el precio unitario en dólares cuando se demandan x unidades. Encuentre el precio con respecto al número de unidades vendidas cuando se venden 40 y 90 unidades ¿qué encuentra?

3. Digamos que la función demanda para un producto está dada por :

P:100

¿ (q+1 ) ¿Cuál será el precio si se demandan 19 unidades? ¿Cuántas unidades serán demandadas si el precio es de 29. 4?

2. Calcula x en cada caso aplicando la definición de logaritmo:

a) log6 (1/6)=x b) log4 2=x d) log5125=x f) log1/81=x c) log381=x g) log1/525=x d) log3(1/9)=x h) log1/2(1/16)=x