Mate Creativas2010 Secun

7/24/2019 Mate Creativas2010 Secun

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ESCUELA SIEMPRE ABIERTAVerano 2010

Taller: Matemticascreativas

Secundaria


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ESCUELA SIEMPRE ABIERTA

VERANO 2010

La Escuela Siempre Abierta en su fase de verano, ofrece a las alumnas y a los alumnos

que cursan la educacin primaria y secundaria en el Distrito Federal, opciones atractivas e

innovadoras de aprendizaje, recreacin, socializacin y ejercitacin.

La propuesta ldico-formativa se ha articulado en siete ejes rectores: Habilidades

matemticas, Habilidades lingsticas, Ciencias, Formacin cvica y tica, Artes,

Educacin Fsica y Habilidades para el uso de tecnologas de la informacin y la

comunicacin. Cada uno de estos ejes incorpora talleres especficos, diseados por

especialistas de distintas instituciones y organismos tanto pbicos como privados, as

como por los equipos tcnicos de la Administracin Federal de Servicios Educativos en el

Distrito Federal.

Para apoyar a los docentes que coordinarn cada uno de los talleres de la Escuela

Siempre Abierta se ha preparado esta carpeta de trabajo, en la que se presenta el detalle

de las actividades a realizar en cada uno de los talleres y ciclos, as como el material que

se utilizar en cada una de ellas. La carpeta incluye:

Un Cuadro concentrado con el nombre, el propsito y los materiales que se

utilizarn en las sesiones de trabajo contempladas en cada taller.

Una seccin denominada Aprendizajes esperados; en ella se explica los

aprendizajes que debe lograr el alumno con la actividad en trminos de

conocimientos, habilidades, actitudes y/ o valores.

Un apartado denominado Organizacin del grupo; en ste se describe lamecnica de trabajo de cada una de las actividades.

La seccin Desarrollo de la sesinindica tres momentos claramente delimitados:

el desarrollo de las actividades, la puesta en comn de los productos generados y

el cierre de la sesin:


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o Desarrollo de las actividades. Aqu se describen las actividades o pasosque deben desarrollar los alumnos.

o Puesta en comn de los productos. Se presentan indicaciones para que los

alumnos socialicen las actividades realizadas, compartan sus productos y

comenten sus apreciaciones sobre lo que sus compaeros hicieron.

o Cierre de la sesin. En este apartado se sealan las preguntas o consignas

que pueden ayudar a los alumnos a identificar lo que aprendieron en la

sesin. Estas preguntas o consignas deben permitir al monitor darse

cuenta que los aprendizajes esperados se han alcanzado o bien, lo que

tendra que reforzar en la siguiente sesin para que los alumnos lo logren.

En la seccin Orientaciones especficas para el monitor, se ofrecen

sugerencias para el monitor en trminos de aquellos aspectos que se consideran

importantes de atender por l mientras los alumnos realizan las actividades o

mientras utilizan un material.

Es muy importante sealar que las actividades que integran la carpeta son flexibles y

constituyen la gua para el trabajo de los monitores de la Escuela Siempre Abierta.


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NDICE

TALLER:

MATEMTICAS CREATIVASPginas

PROGRAMACIN GENERAL DE SESIONES 2

1. Cubopol 5

2. Las tablas del Rey Salomn 11

3. El geoplano 20

4. El calculista26

5. Carrera de caballos 31

6. El cubo loco 36

7. Vasos y corcholatas 41

8. Pintando cubos 44

9. Dibujando cubos 48

10. Cudrate con los tringulos 56

11. El mosaiquero 61

12. Cuadrados, cuadritos y magia. 67

13. Figuras que crecen 72

14. El tangrama 76

15. Laberinto de decimales 82

HORARIO PARA EL MAESTRO


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PROGRAMACIN GENERAL DE LAS SESIONES

EJE RECTOR: MATEMTICAS

NOMBRE DEL TALLER: MATEMTICAS CREATIVAS

NIVEL: SECUNDARIA

Actividad Propsitos Tiempo Material

1.-Cubopol

Explorar, analizar, deducir yconceptualizar laspropiedades del algunospolgonos regulares eirregulares (cuadrilteros,tringulo y hexgono) y dealgunos poliedros (cubo,pirmide triangular, pirmidecuadrangular).

60 minutosPopotesListn cola de rataHoja de trabajo

2.- Las tablas delRey Salomn

Que el alumno desarrolleprofundice en los principiosdel sistema de numeracindecimal y de bases distintasde 10.

60 minutosHojas de trabajoTablas del Rey SalomnTablas de conversiones

3.-El geoplano

Resolver problemas queimpliquen identificar lascaractersticas generales depolgonos de tres y cuatrolados.

60 minutosGeoplanoLigasHojas de trabajo

4.-El calculistaUtilizar la calculadora parageneralizar y estimarresultados al resolverproblemas.

60 minutosCalculadora aritmticaHojas de trabajo

5.- Carrera decaballos

Comparar eventosprobabilsticos a fin dedistinguir que una actividadaleatoria se rige por reglasque son posibles de conocer. 60 minutos

TablerosDados cbicosFichasHojas de trabajo


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Actividad Propsitos Tiempo Material

6.-El cubo loco

Mediante un arreglomanipulable de cubosdemostrar que una mismarea puede contener

volmenes distintos.

60 minutosCartulinaTijerasCinta mgica o Diurex

7.- Vasos ycorcholatas

Distinguir diversassituaciones de azar eneventos que son mutuamenteexcluyentes. Determinar laforma en que se puedecalcular la probabilidad deocurrencia.

60 minutos

20 Corcholatas igualesCartulinaUn vaso desechable dediferente tamao paracada equipo.Una bolsa de igualtamao para cadaequipo.

8.- Pintando cubos

Que el alumno desarrollehabilidades matemticas quele ayuden a enfrentar conxito, distintos temas degeometra, especialmenteaquellos en los que debeimaginar elementos novisibles de los cuerposgeomtricos.

60 minutosHoja de trabajoHoja perspectivaColores

9.- Dibujandocubos

Que el alumno desarrolle

habilidades matemticas quele ayuden a enfrentar conxito, distintos temas degeometra, especialmenteaquellos en los que debeimaginar elementos novisibles de los cuerposgeomtricos.

60 minutosHoja de trabajoHoja perspectivaColores

10.- Cudrate conlos tringulos

Comprobar geomtricamentela validez del Teorema de

Pitgoras por equivalenciaentre reas de figuras planas,en el caso particular deltringulo rectngulo isscelesutilizando el tangrama.

60 minutos TangramaHojas de trabajo


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11.- El mosaiquero

Conocer las caractersticasde los polgonos que

permiten cubrir el plano yrealizar recubrimientos del

plano. 60 minutos

Mosaicos de papel (almenos 2 copiasfotostticas del anexo 2)Teselado de Escher(anexo1)TijerasColores

CartulinaSuperficie planaPegamento

12.- Cuadrados,cuadritos y magia.

Construir el conjunto deCantor a fin generar patronesy determinar la expresingeneral para el ensimotrmino de una sucesinnumrica y figurativa.

60 minutos

Hojas blancas ocuadriculadasColoresCalculadora

13.-Figuras quecrecen

Determinar una expresingeneral para definir elensimo trmino ensucesiones numricas yfigurativas.

60 minutos

Geoplano (papelpunteado)Lpices de colores

14.- El tangrama

Resolver problemas de sumay resta que impliquen el uso

de nmeros fraccionariosmediante el uso de materialconcreto.

60 minutosTangramaHojas de trabajo

15.- Laberinto dedecimales

Identificar las propiedades dedensidad, escritura y valor

posicional de los nmeroscon punto decimal.

60 minutosCalculadoraHoja de trabajo


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1. CUBOPOL

APRENDIZAJES ESPERADOS

Que los alumnos trabajen en equipos en un ambiente cooperativo para construir el

cubopol. Se pretende adems que al manipular el cubopol puedan visualizar, identificary reconocer caractersticas generales de polgonos y poliedros.

La intencin didctica es utilizar el cubopol para explorar, analizar, deducir yconceptualizar las propiedades del algunos polgonos regulares e irregulares(cuadrilteros, tringulo y hexgono) y de algunos poliedros (cubo, pirmide triangular,pirmide cuadrangular).

ORGANIZACIN DEL GRUPO

Para la realizacin de esta actividad se sugiere organizar a los alumnos en equipos de 2 o 4elementos, esto depender de la disponibilidad de material y de la cantidad de alumnos para

realizar la actividad.DESARROLLO DE LA SESIN

Consideraciones previas

Al inicio de la clase se debe favorecer una lluvia de ideas, para ello podrn hacerse preguntascomo las siguientes: (5 min)

Qu es un polgono? Qu tipo de polgonos conocen? Qu diferencia existe entre un polgono regular e irregular? Cules son los elementos de un polgono (lados, ngulos, vrtices)?

Cul es la diferencia entre un polgono y un poliedro? Qu tipo de poliedros conocen? Cuntas caras tiene un cubo, una pirmide cuadrangular? cuntos vrtices? cuntas

aristas?

A travs de la lluvia de ideas generada por los alumnos se definir a los polgonos y a lospoliedros a partir de sus caractersticas y propiedades ms generales.

Secuencia de actividades


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1. Construyamos nuestro cubopol! En equipos de 4 personas los alumnos procedern a armarel cubopol (cubo hecho de popotes), para hacerlo se requieren 12 popotes y un trozo delistn cuya longitud sea igual a 17 popotes por alumno. El procedimiento para armar elcubopol se describe a continuacin: (Tiempo 20 min)

a. Debe hacerse pasar el listn dentro de lospopotes y formar la siguiente figura. Al

final debe anudarse para evitar que sedesarme.

b. Posteriormente deben hacerse pasar por ellistn tres popotes ms y formar la

siguiente figura. Al final tambin debeanudarse y debe regresarse el listn atravs del ltimo popote.

c. Deben introducirse dos popotes ms y formar lasiguiente figura, despus deber hacerse un nudo

en los puntos indicados con el nmero 1.

d. Despus del paso anterior, laconstruccin debe verse como

sigue. Observa la ubicacin delnudo y del listn. Procura ocultarlos nudos dentro de los popotes.

e. Nuevamente deben introducirse dos popotes ydespus deber hacerse un nudo ms en los

puntos indicados con el nmero 1.

f. Despus del paso anterior, laconstruccin debe verse como sigue.

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g. Finalmente se introduce el ltimo popote, ydespus debe hacerse el ltimo nudo. Laconstruccin debe verse como sigue. Observa

que al final se corta el excedente de listn.

Una vez construido, los alumnos

tendrn que explorar el cubopol,primero para encontrar las figurasplanas que pueden formarse y parareconocer sus caractersticas yposteriormente, para formar laestructura de algunos cuerpos eidentificar sus caractersticasgenerales.


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2. Pedir a los alumnos que con el cubopol construyan distintos polgonos y que los dibujen enlos siguientes espacios a partir de los siguientes criterios: (Tiempo 10 min)

Al terminar de dibujar todos los distintos polgonos que hayan encontrado debern comparar losresultados con sus compaeros a fin de ver si les faltan algunos y validar si los han dibujado enlos mismos espacios. Posterior a ello debern responder las siguientes preguntas:

Escribe el nombre de las figuras que dibujaste en el recuadro de la izquierda:

_________________________________________________________________

Son estas figuras polgonos regulares? ____________

Justifica tu respuesta: ____________________________________________________

______________________________________________________________________

3. Pedir a los alumnos que construyan distintos poliedros y que los dibujen escribiendo elnombre de cada uno de ellos: (10 min)

Figuras cuyos lados o ngulos interioressean distintos

Figuras cuyos lados y ngulos interioresmiden lo mismo

POLIEDROSDespus de haber realizado la actividad anterior responde losiguiente:

Nmero de aristas que tiene:

Cubo ____

Pirmide cuadrangular____

Pirmide triangular _______

Nmero de vrtices que tiene:

Cubo ____

Pirmide cuadrangular____


Nmero de caras que tiene:

Cubo ____ Pirmide cuadrangular____



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CUBOPOL (Tiempo estimado 15 min)

Nombre:______________________________________________

1. Considera los polgonos que formaste y completa la siguiente tabla:

2. Dibuja las siguientes imgenes en la tabla segn corresponda:

Nombre Representacin N de lados N de vrtices Regular (si no)

Cuadrilteros regulares Cuadrilteros irregulares


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Puesta en comn de los productos

Al finalizar los alumnos en equipos debern enunciar las caractersticas de los polgonosregulares e irregulares

Completa la tabla:

Nombre Imagen No. De caras No. De vrtices No. De Aristas


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Cierre de la sesin

Un dodecaedro es un poliedro con caras pentagonales. Observa la siguiente figura ydetermina el nmero de caras, vrtices y aristas que tiene.

Al final compara tus resultados con otro compaero.

ORIENTACIONES ESPECFICAS PARA EL MONITOR

Al armar el cubopol considere la construccin dirigida,es decir el profesor podr mostrarla forma en que puede manipularse el cubopol, o bien que otros alumnos muestren laforma en que lo manipulan a quienes tengan dificultad para formar las figuras y poliedrosque son posibles de armar.

Es primordial que los alumnos vean en la figura la caracterstica que se pretendeobservar. Por ejemplo, los lados de los polgonos, la descomposicin del hexgono en

tringulos equilteros, la congruencia de los lados y ngulos, etctera.Es muy importante que los alumnos anoten como conclusin las propiedades generalesde los polgonos y que puedan desarrollar la imaginacin espacial a fin de poderdeterminar e imaginar las caractersticas geomtricas de otros poliedros.

Por otro lado es importante que el profesor en todo momento:

Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas.

Favorezca la cooperacin y el respeto mutuo.

Genere la confianza del alumno y promueva la participacin de todos los

integrantes del grupo.

Acepte los errores de los participantes como un elemento inherente al proceso deaprendizaje.

Genere oportunidades para que los alumnos elijan y resuelvan problemas por smismos.

Valore los esfuerzos y logros alcanzados.

DODECAEDRO

No. De caras ________

No. De vrtices ________

No. De aristas ________


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2. LAS TABLAS DEL REY SALOMN


Que los alumnos analicen y comprendan los principios del sistema de numeracinposicional a travs de una actividad integradora.

Que los alumnos profundicen en los principios del sistema de numeracin decimaly de bases distintas de 10.


Se recomienda iniciar la actividad de manera grupal, para ello deben utilizarse LasTablas del Rey Salomn, puede crearse una historia ficticia en la que se diga al

estudiante que se encontraron una tablas mgicas que pertenecieron al Rey Salomn,ltimo Rey del pueblo de Israel y considerado el hombre ms sabio que ha existido en latierra. Las tablas encontradas son mgicas y permiten adivinar el nmero que estpensando una persona.

DESARROLLO DE LA SESIN


Debe iniciarse con el truco de las Tablas del Rey Salomn, debe pedirse a los alumnosque elijan un nmero del 1 al 31, que se fijen bien en qu tablas se encuentran y elprofesor deber adivinar cul es ese nmero: (10 min)

Las tablas del Rey Salomn se encuentran en el anexo 1.


1. Una vez que todos hayan descubierto el truco de las tablas el profesor pedir a losalumnos que resuelvan las siguientes operaciones. (los nmeros estn en base 2)

2. La actividad anterior servir slo para introducir a los alumnos a la conversin denmeros de base 10 a base 2 y viceversa. Completa los espacios en blanco de talforma que las equivalencias entre los nmeros en base 2 y base 10 sean correctas:


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3. La siguiente plantilla servir para convertir cualquier nmero de base 2 a base 10 oviceversa. (10 min): Ejemplo, si se quiere formar el nmero 12, debern elegirse losnmeros necesarios para formarlo, en este caso tendra que ser desde el 8 haciaabajo, de tal forma que ponemos un 1 en la fila del 8 y otro en la del 4 y en los demsse escribe un 0 y ya est. Intenta hacerlo con otros nmeros.

4. Ahora intenta hacerlo al revs, primero escribe el nmero en base 10 y despus suequivalente en base 2.

5. Ahora intenta hacerlo para otra base que no sea 2, por ejemplo base 4. Slo debesrecordar que ahora puedes elegir hasta 3 veces un nmero, por ejemplo, el nmero23, significa que utiliz 2 veces el 4 y tres veces el 1

Nmero enbase 2

Equivalenteen base 10

0110

3100

5

6

Nmero enbase 2

Equivalenteen base 10

11189

101011

1213


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6. Para saber cmo se construyen las tablas del Rey Salomn debes utilizar una tabla de

conversiones de base 2 a base 10, debes iniciar en 1 y terminar en 31. Observa lasregularidades en la tabla. Utiliza 5 rectngulo, anota en uno de ellos los nmeros enbase 10 donde aparece el nmero 1, en otro rectngulo anota los nmero en base 10donde aparece el nmero 1 correspondientes a la 2 columna y as sucesivamente. Alfinal compralas con las que se utilizaron al principio.


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Cierre de la sesin

7. Contesta la siguientes preguntas:a. Por qu crees que el sistema de numeracin que utilizamos se dice que es

decimal?______________________________________________________

b. Cuntas cifras utiliza el sistema de numeracin de base 2? _____________

c. Cuntas cifras utiliza el sistema de numeracin de base 8? _____________

d. Comenta con tus compaeros lo siguiente: Si el sistema de numeracin base 2

utiliza menos smbolos que el de base 10, por qu utilizamos el de base 10?


Es comn ver que algunos estudiantes tengan dificultades para imaginar los arreglos concubos, en tal caso y como en la ficha anterior se recomienda que el profesor considere laposibilidad de mostrar algunos arreglos sencillos con material concreto para favorecer eldesarrollo de esta habilidad.




Genere la confianza del alumno y promueva la participacin de todos los integrantesdel grupo.


Genere oportunidades para que los nios elijan y resuelvan problemas por smismos.



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ANEXO 1

1 3 5 7

9 11 13 15

17 19 21 23

25 27 29 31


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16

2 3 6 7

10 11 14 15

18 19 22 23

26 27 30 31


21/91

17

4 5 6 7

12 13 14 15

20 21 22 23

28 29 30 31


22/91

18

8 9 10 11

12 13 14 15

24 25 26 27

28 29 30 31


23/91

19

16 17 18 19

20 21 22 23

24 25 26 27

28 29 30 31


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3. EL GEOPLANO


Que los alumnos utilicen el geoplano para representar, identificar y modelartringulos y cuadrilteros para reconocer, identificar y comunicar suscaractersticas generales.

Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen identificar lascaractersticas generales de polgonos de tres y cuatro lados.


Para la realizacin de esta actividad se sugiere que el profesor inicie contandobrevemente la historia del Geoplano, debe precisarse que se trabajar con el geoplanocuadrangular y se recomienda que las actividades se resuelvan por equipos de 2personas.



EL GEOPLANO

El geoplano fue inventado por el matemtico y pedagogo egipcio Galeb Gattegno(1911-1988) con el propsito de ensear geometra a nios pequeos. Consiste enuna superficie plana en la que se dispone, de manera regular, una serie de puntos.Dependiendo de cmo estn colocados estos puntos se distinguen varios tipos degeoplanos, aunque los que ms se utilizan son el geoplano triangular, el cuadrado ocuadrangular y el circular.

Geoplano triangular Geoplano cuadrado Geoplano circular


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1. Traza con ligas en el geoplano todas las rectas que pasan por un punto. (5 min)

Recorridos sobre un geoplano

2. La figura muestra un geoplano de tamao 5 x 5 con un camino que va de esquina aesquina desde A hasta B y que visita una y slo una vez cada nudo de la cuadrcula (nose permiten caminos en diagonal) (10 min).

3. Cuntos tringulos diferentes puedes formar sobre un geoplano? _________

Forma en el geoplano todos los tringulos distintos posibles y dibjalos acontinuacin (10 min):

a) Estudia qu otros recorridos de mismo tipopuedes encontrar.

b) Hay algn camino simtrico al anterior?

__________________________________

c) Cmo son entre s las longitudes de estoscaminos? _______________________


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Podrs formar un tringulo equiltero en el geoplano? ________________

Utiliza el geoplano para justificar tu respuesta.

4. Construir al menos 3 tringulos rectngulos diferentes al dado y obtener su rea (5min):

5. Une cuatro puntos con una liga y forma en el geoplano todos los cuadrilteros que sepuedan construir en l (15 min):


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Escribe el nombre de cada cuadriltero que formaste y clasifcalos a partir delparalelismo entre sus lados:

7. Ahora forma todos los cuadrados posibles que puedan formarse en el geoplano.Cuntos cuadrados distintos encontraste? ___________


8. Compara tus respuestas con tus compaeros

9. Construir en el geoplano las siguientes figuras, escribe su nombre y obtn su rea.

10. Traza dos figuras que no sean comunes y pdele a un compaero que obtenga el reade ellas (10 min):

CUADRILTEROS CON LADOSPARALELOS

CUADRILTEROS SIN LADOSPARALELOS


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Cierre de la sesin

Construir una figura cualquiera y obtener su rea. Registrar en hoja lo de puntos. Porejemplo:


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El uso del geoplano dentro del saln de clases es una herramienta poderosa que permitetratar de manera concreta distintos temas de la geometra, se recomienda al profesor queal iniciar la actividad se estimule a los estudiantes a formar con las ligas, distintas figurasen el geoplano, despus poco a poco lo llevar hacia la realizacin de la actividad

propuesta en esta ficha de trabajo.









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4. EL CALCULISTA


Que los alumnos realicen un uso adecuado e inteligente de la calculadoraaritmtica. Deben adems estimar, calcular, generalizar y predecir resultados apartir de la observacin de patrones numricos que pueden obtenerse con lacalculadora.

Que os alumnos utilicen la calculadora para generalizar y estimar resultados alresolver problemas.


Para la realizacin de esta actividad se sugiere que inicien el trabajo de manera individual,a fin de poder buscar estrategias diversas para resolver las primeras actividades yconfrontar despus las estrategias utilizadas. Posteriormente los alumnos debernorganizarse en equipos de 2 elementos a fin de confrontar sus resultados.



Puede iniciarse esta actividad haciendo una introduccin al uso del teclado de lacalculadora para encontrar algunas regularidades: (5 min)

Resta a cada nmero el que se encuentra debajo de l,tambin puedes hacerlo por parejas o tercias. Observael resultado:

Intenta hacerlo pero ahora en forma vertical.

Descubre otras

regularidades ycomprtelas contus compaeros.


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1. Teclea en la calculadora las siguientes secuencias y escribe a un lado el resultado.

(10 min)

__________________

Qu resultado aparecer en la calculadora despus de oprimir 11 veces la tecla

igual?____ Cuntas veces debes oprimir la tecla igual para que aparezca el nmero 124?__

Con referencia a la actividad anterior, completa la siguiente tabla.

N de veces queoprime la tecla =

6 45 7.5

2

5 30 37.5

7 315

12

15

2. Teclea en tu calculadora la secuencia siguiente y escribe el resultado a la derecha (5min).

_________________

__________________

Al oprimir la tecla = Qu operacin ests realizando en la calculadora? _______

3. Con base en la actividad anterior, realiza las siguientes operaciones: (5 min)

41=___________

42=___________

43=___________

44 =

4

4 =

+

=+

4 = =+ =

=

3 X =

3 ==X

3 = = =X


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21=___________

22=___________

23=___________

24=___________

25=___________

4. Con el uso de tu calculadora resuelve las operaciones siguientes y observa con

atencin los resultados obtenidos. (5 min)

a) 22 - 12 = ________

b) 32 - 22 = ________

c) 42 - 32 = ________

d) 52 - 42 = ________

e) 62 - 52 = ________

Explica brevemente cmo hacer para obtener el resultado sin utilizar lacalculadora: ________________________________________________________Cul es el resultado de 502 492= ______________

5. Calcula mentalmente las siguientes operaciones.

72 - 62 = __________

512 - 502 = __________

1002 - 992 = __________

Qu observas en stas operaciones? Explica: ________________________

______________________________________________________________

6. Empleando la calculadora realiza los siguientes clculos, observa con atencin el

resultado. Qu sucede con la cifra que corresponde a las unidades? __________ Y

con las decenas? ___________

51 =____ 52=____ 53=_____ 54=______ 55=_______ 56=_______ 57=________

Puedes predecir la cifra correspondiente a las unidades de 5100_______________

Puedes predecir la cifra correspondiente a las decenas de 5100________________

Puedes predecir la cifra correspondiente a las centenas de 5100_______________

71 =____72=____73=_____74=______ 75=_______ 76=_______ 77=________


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Puedes predecir la cifra correspondiente a las unidades de 7100_______________

Puedes predecir la cifra correspondiente a las decenas de 7100________________

Explica brevemente como hiciste para encontrar las respuestas de los

ejercicios anteriores. ______________________________________________

__________________________________________________________________

7. Observa lo que sucede al realizar las siguientes multiplicaciones, podrs resolver

toda la actividad haciendo los clculos mentalmente, utilizando la calculadora slo

para las tres primeras operaciones? _______

11 x 11 = _____________________________

11 x 111= _____________________________

11 x 1111= _____________________________11 x 11111= _____________________________

11 x 111111= _____________________________

11x 1111111= _____________________________

11 x 11111111= _____________________________

11 x 111111111= _____________________________


8. Con la calculadora al revs!Con tus compaeros, resuelve las siguientes operaciones y encuentra el mensaje al

voltear la calculadora:

En 1492 Cristbal Coln descubri Amrica, l viajaba con (1) contramaestre, alsalir del puerto de Palos en Espaa, la Reina Isabel le regal (x 2) botellas de vino,de las cuales les saldran (x 17) copas, pero en medio del mar, qu fue lo que lesfaltaba? ________________

Cierre de la sesin

9. Inventa ahora t, un mensaje y comprtelo con un compaero. Para ello puedes usar

las palabras OSOS, GLOBOS, BESOS, BEISBOL, OLEE, GOOL.


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Es importante que el profesor considere la dificultad que tienen algunos alumnos paraidentificar regularidades y patrones numricos, es por ello que se recomienda pedir a losestudiantes que verbalicen la forma en que resuelven los ejercicios. En los casos en losque los estudiantes no logren generalizar, se recomienda que el profesor formule

preguntas que ayuden a descubrir el patrn. Las preguntas pueden ser, del tipo: Quobservas en la cifra de las unidades?, Qu pasara si cambiamos este nmero por otro?Podras resolver un ejercicio similar sin utilizar calculadora?, etctera.









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5. CARRERA DE CABALLOS

APRENDIZAJES ESPERADOS Que los alumnos convivan en un ambiente de competencia en situaciones en las

que interviene el azar, se pretende adems que reflexionen y comparen dos o mseventos probalsticos.

Que los alumnos comparen eventos probabilisticos a fin de distinguir que unaactividad aleatoria se rige por reglas que son posibles de conocer.


Comente al grupo que imaginen que van a las carreras de caballos y se convertirn enapostadores. Debern reunirse en equipos de 6 integrantes, incluso podran ser 12integrantes, cada uno elige su caballo favorito al cual le seguirn la pista en un tablero.



Inicie la actividad proporcionando a cada equipo un tablero (anexo 1) y un dado. Comenteque deben imaginar que estn en una carrera de caballos en donde todos los caballostienen la oportunidad de avanzar una posicin cuando se lance el dado.

Pregunte: Qu caballo creen que llegar primero a la meta? ______________________

Por qu? _______________________________________________________________

Induzca a los alumnos a identificar un evento en el que interviene el azar y un eventoseguro. (5 min)


1. Arrancan! Los alumnos van a jugar una carrera de caballos. Primero elegirn libremente uno

y le asignarn un nombre. Posteriormente iniciarn la carrera, para ello, por turnos debern lanzar un dado y

avanzar una casilla el caballo que tenga el nmero de puntos que corresponda al

dado.

Gana el primero que llegue a la meta. (15 min)


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CARRERA DE CABALLOS

Despus de que un jugador gane plantee las siguientes preguntas: Qu caballo gan la carrera?____________________________________________

Qu caballo(s) qued (aron) en segundo lugar?_____________________________

Existe la posibilidad de que gan la carrera el caballo con el nmero 10?_________Y el caballo 1? Por qu?_____________________

Crees qu algn caballo tiene mayor posibilidad de ganar la carrera? ____________

Por qu?____________________________________________________________

2. La siguiente actividad es similar a la anterior pero ahora se necesitan 12 personas,

mismas que debern utilizar el tablero que se encuentra en el anexo 1.

Explique a los alumnos que ahora lanzarn dos dados. La suma de los resultados indicar

el nmero de caballo que debe avanzar una posicin. Gana el primero que llegue a la

meta. (15 min)

Al final analicen los resultados y respondan a las siguientes preguntas:

Cul caballo no conviene elegir?

Por qu?_________________________________________________________

Nombredel

caballo

NMERO DE TIRADA

META

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2345

678910


37/91

33

Qu caballo(s) tiene(n) mayor posibilidad de ganar la carrera? _______________

Por qu?_________________________________________________________

Existe la posibilidad de que el caballo con el nmero 12 gane la carrera?_______

Por qu?_________________________________________________________ Cuntas veces lanzaron los dados?_______________________


3. Posteriormente, por turno los equipos lanzarn dos dados. Pida que sumen los puntosde los dados y completen la siguiente tabla: (20 min)

Despus delanzar los dos dados responda las siguientes preguntas:

Cul suma es ms probable que caiga?_______________

Cul suma es menos probable que caiga? _______________

Cules nmero (s) nunca caer (n)?_________________

Cierre de la sesin

Primer dado

Segundo

dado

+ 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6


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34

4. Para concluir pida que realicen piensen en el lanzamiento de dos dados y contestenlas siguientes preguntas:

a) Qu es ms probable que en los dos dados caigan en nmero par o impar?b) Qu es ms probable que la suma de sus caras sea 10 o que en ambas caras

aparezca el mismo nmero? Expliquen su respuesta. (5 min).


Debe prever el tiempo suficiente para analizar todas las respuestas y detenerse en las quehaya diferencias. Hay que centrar la atencin sobre todo en los dos ltimos incisos,analizando algunas respuestas para ver si los alumnos logran distinguir lo que son eventoscompuestos.Respecto a las reglas del juego, si juegan tres o cuatro jugadores en la versin de la suma,se encontrarn que muchas veces sale un valor de la suma correspondiente a un caballo queno ha elegido nadie, por lo que bastantes tiradas no servirn para que avance ninguno de loscaballos seleccionados. Una forma de solucionar lo anterior es que en ese caso cada jugadorelija dos caballos distintos, con lo cual al participar seis u ocho caballos la partida es msdinmica.El orden en que se recomienda plantear este juego en clase es:

Primero utilizar la suma; cuando ya han jugado varias veces entonces se podr plantearel caso que se resuelve con una resta. Una vez acabado los dos lo ms importante eshacer el estudio matemtico de por qu un caballo u otro avanza ms rpido. Esteanlisis es fcil de hacer por los alumnos pues slo tienen que construir dos tablas devalores con los posibles resultados, tanto para la suma como para la resta.

Al hacer el estudio anterior se puede observar que el 7 tiene ventaja (se puedeaprovechar para hacer ver la razn por la que en las pelculas de casinos, quieneslanzan los dados siempre quieren un 7) en el caso de la suma. Sin embargo losresultados previstos tericamente se pueden ver alterados por el azar. Por ellocuando se lanzan los dados, en algunos grupos puede ser que gane el caballo condorsal 6 u 8 o incluso ms alejados del 7. Lo mismo ocurre con el 1 en la diferencia,aunque en este caso al haber dos puntos de diferencia entre ese valor y el siguiente(que es el 2), es ms raro que no gane el caballo 1.

Invite a los alumnos a predecir que caballo ganara la carrera si al lanzar el dadoavanza una posicin el caballo que tenga dicho nmero. Proponga que jueguenalgunas partidas y comprueben si es acertada o creen que deben modificarla, sugiera

un registro de los lugares que ocupo cada caballo y las casillas en donde quedaron.


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Anexo 1Tablero para la carrera de caballos


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6. EL CUBO LOCO


Que los alumnos calculen el volumen de cuerpos geomtricos y ademsvisualicen, comprendan y deduzcan que una misma rea puede contener distintosvolmenes.

Que los alumnos demuestran mediante un arreglo manipulable de cubos que unamisma rea puede contener volmenes distintos.


Se recomienda construir el material en equipos de dos personas para que los alumnos

trabajen de manera colaborativa a fin de que puedan pegar y armar eficientemente unarreglo de cubos, el cual servir como material para el desarrollo de la actividad.



Puede iniciarse esta actividad haciendo un breve reconocimiento de las caractersticasgeomtricas de un cubo, para ello pueden hacerse la siguiente actividad: (5 min)

Recuerda cules son los elementos de un cuerpo geomtrico:

Escriba el nmero de elementos que tienen los siguientes cuerpos geomtricos:


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Manos a la obra

1. Para hacer el cubo loco necesitamos 8 cubos del mismo tamao, deben ser rgidos yde preferencia que tengan una arista igual o mayor que 10cm. Si no tenemos loscubos, construymoslos en la cartulina, para hacerlo puedes utilizar la siguienteplantilla:

Es importante que nuestro cubo tenga al final una pestaa en una arista

Caras ______________

Vrtices ____________

Aristas _____________

Caras ______________

Vrtices ____________

Aristas _____________

Caras ______________

Vrtices ____________

Aristas _____________

Pestaa


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2. Para construir nuestro cubo loco debemos seguir los siguientes pasos:

A. Debemos tener 8 cubos, los cuales pegaremos de 2 en 2 como se muestra en laimagen, observa que deben la pestaa servir para que tengan movilidad como sifuera una bisagra:

B. Posteriormente debemos pegarlos de tal forma que queda dos tiras de 4 cubos,

cada una como se muestra en la figura (Observa cmo se unen a partir de laspestaas):

C. Finalmente deben unirse los dos bloques de 4 cubos de la forma siguiente(Recuerde que en todos los casos las pestaas deben permitir la movilidad entrelos cubos)

Esta parte es movible


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3. Por fin tenemos nuestro cubo loco, maniplalo y observa los cuerpos geomtricos que

puedes formar. Podrs observar que al menos se forman 3 distintos. Comparte tus

resultados con tus compaeros.Obtn el volumen y el rea total de cada uno y

dibjalos a continuacin.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

rea total _____________

Volumen _____________

rea total _____________

Volumen _____________

rea total _____________

Volumen _____________


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Cierre de la sesin

4. Despus de manipular el cubo loco y de obtener el rea total y volumen de los

cuerpos geomtricos que se pueden formar a partir de l, responde las siguientespreguntas:

Cmo son entre si el volumen de los cuerpos geomtricos que formaste en la

actividad anterior? __________________________

Cmo es entre s el rea total de los 3 c uerpos? ____________________

A partir de lo anterior escribe una conclusin a la que puedas llegar: ______

___________________________________________________________

___________________________________________________________


El trabajo con material concreto en temas de geometra favorece el desarrollo dehabilidades tales como la imaginacin espacial. El cubo loco puede convertirse en unaherramienta poderosa para lograr que el alumno pueda darse cuenta que una misma reapuede contener distintos volmenes.

Para la realizacin del cubo loco, se recomienda que el docente lo haga paso a paso,debe cuidarse que los alumnos peguen correctamente las piezas, se recomienda ademshacer el trabajo por equipos de 2 personas para que los alumnos construyan el cubo locoen dos ocasiones y puedan as interiorizar la construccin del mismo.






Genere oportunidades para que los nios elijan y resuelvan problemas por s mismos.



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7. VASOS Y CORCHOLATAS


Que los alumnos reflexionen y distingan diversas situaciones de azar en eventosque son independientes.

Que los alumnos distingan diversas situaciones de azar en eventos que sonmutuamente excluyentes. Determinar la forma en que se puede calcular laprobabilidad de ocurrencia.


Para la realizacin de esta actividad se sugiere trabajar en grupo para explorar los

conocimientos de los alumnos respecto a la organizacin de informacin, especficamenteel uso de tablas, graficas, espacio muestral, punto muestral y azar. Despus organice alos alumnos en equipos de 2 o 3 elementos, dependiendo de la disponibilidad de materialy de la cantidad de alumnos para realizar la actividad.



Individualmente determinen todas las posibilidades que resultan al lanzar una moneda,dibjenlas, al terminar contesten las siguientes preguntas: (10 min)

c) Qu es ms probable que caiga sol o guila?________________________

d) Por qu?____________________________

Indique que van a realizar el experimento para comprobar su prediccin, para ello soliciteque un alumno lleve el registro en el pizarrn de la frecuencia con la que cae sol o guila,y otro alumno lance 10 veces la moneda.

Qu cay ms veces sol o guila?___________________-

Gue a los alumnos a deducir que al lanzar la moneda sol y guila tienen la mismaposibilidad de salir, porque se trata de un evento equiprobable.

Todos los posibles eventos queresultan de un experimento aleatorioreciben el nombre de espacio


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4. Proporcione una bolsa de igual tamao a cada equipo, pida que coloquen la cartulinaen una superficie rgida y en la bolsa las 20 corcholatas. Plantee la siguiente situacin:

Imaginen que dejo caer las corcholatas Cmo creen que caeran las corcholatas: bocaarriba, de lado o boca abajo?

Pida que en cada equipo realicen el experimento; que dejen caer las corcholatascontenidas en la bosa sobre la cartulina y elaboren una tabla de registro como la quese muestra:

Apoyndose de los resultados de la tabla anterior, invite a cada equipo a predecir lo quepasara si slo usaran 10 corcholatas. Pida que comenten en su equipo y despus que unrepresentante pase a realizar el experimento de colocar 10 corcholatas en el vaso ydejarlas caer para verificar. (15 min)

5. A cada equipo entregue un vaso de diferente tamao. Pida que lo lancen al aire 20veces y registren en una tabla las posiciones en que cae. (5 min)

Puesta en comn de los productos6. Despus elaboren una grfica de barras para representar la informacin de la tabla.

Cuando terminen, comparen las grficas de cada equipo, los vasos que usaron yanalicen los resultados con base a las siguientes preguntas:

A qu equipo le cay ms veces el vaso parado?________________

A cul le cay ms veces de cabeza? _______________________

A cul le cay ms veces boca arriba? ______________________

Qu es ms probable que caiga; el vaso de lado, de cabeza o boca arriba?_______________________ Justifica tu respuesta (10 min)

Posicin Nmero detachuelas

BocaarribaBocaabajoDe ladoTotal

Posicin Vaso

ParadoDe cabezaDe ladoTotal


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Cierre de la sesin

7. Escribe 5 ejemplos de experimentos en donde intervenga el azar y explica tusrespuestas. (5 min)


Es conveniente que durante el desarrollo de esta actividad ayude a los alumnos aentender las reglas del juego, anticipar resultados, pues se pretende introducir a losalumnos en la reflexin de situaciones en las que se sabe lo que va a pasar y otras en lascuales no e posible saberlo. Esto sin precisar que en algunos casos el saber puededeberse a la falta de informacin, mientras que en otros no es posible obtener lainformacin porque se est, precisamente, en situaciones de azar, para ello se sugiererealizar otros experimentos azarosos como: lanzar monedas, dados, las carrera decaballos, etc.

Asimismo, conviene que el profesor en todo momento: Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas.


Genere la confianza del alumno.

Promueva la participacin de todos los integrantes del grupo.



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Cuntos cubos faltan para

completar tres pisos? ______

Cuntas caras son visibles? ______________

Cuntas caras no pueden ser vistas desde esta

perspectiva? _____________________

Cuntos vrtices no pueden ser vistos desde esta

perspectiva? _____________________

8. PINTANDO CUBOS


Que los alumnos desarrollen las habilidades matemticas de imaginacin yvisualizacin espacial para determinar las caractersticas geomtricas de cuerposgeomtricos para los elementos no visibles.

Que los alumnos desarrollen habilidades matemticas que les ayuden a enfrentarcon xito distintos temas de geometra, especialmente aquellos en los que debenimaginar elementos no visibles de los cuerpos geomtricos.


Se recomienda iniciar la actividad de manera individual, posteriormente la segunda parte(Generalizacin) es recomendable hacerla en equipos de dos personas.

La parte final de la actividad es de suma importancia hacer la confrontacin de resultadosy la socializacin de manera grupal.



Puede iniciarse esta actividad haciendo un breve reconocimiento de las habilidades quetienen los alumnos respecto a la imaginacin espacial, para ello se recomienda realizar lasiguiente actividad: (15 min)

El siguiente arreglo fue hecho con tres cubos, a partir de esta vista determina:

Observa el siguiente arreglo de cubos:


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Cuntos cubos faltan para

completar tres pisos? ______


A continuacin se presentan algunos arreglos con cubos, obsrvalos con atencin yresponde las preguntas que se presentan (20 min):

Figura 1

DIBUJA LAS CARAS VISTAS DE MANERA

FRONTAL LATERAL DERECHA SUPERIOR

DIBUJA LAS CARAS VISTAS DE MANERA

FRONTAL LATERAL DERECHA SUPERIOR

Con cuntos cubos se form

sta en la fi ura?

Al pintar los cubos sin ser separados

Cuntos cubos quedarn pintados de?

a) Una cara ________

b) Dos caras ________

c) Tres caras ________

d) Sin pintar ________


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Cierre de la sesin

Llena la tabla con base en la informacin anterior si consideramos que las siguientes

figuras conservan el mismo patrn. (10 min)

Nmero defigura

Cubos con 1cara pintada

Cubos con 2caras

pintadas

Cubos con 3caras

pintadas

Cubos sinpintar

Total decubos

1

2

3

5

10

. . .n

Con cuntos cubos se form

sta en la figura? ________

Al pintar los cubos sin ser separados

Cuntos cubos quedarn pintados de?

i) Una cara ________

j) Dos caras ________

k) Tres caras ________

l) Sin pintar ________

Figura 3


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Es comn ver que algunos estudiantes tengan dificultades para imaginar los arreglos concubos, en tal caso se recomienda que el profesor considere la posibilidad de mostraralgunos arreglos sencillos con material concreto para favorecer el desarrollo de estahabilidad.

Al final es recomendable llegar a la generalizacin para ello debe retomarse la frmula delproducto notable de un binomio al cubo.






Genere oportunidades para que los nios elijan y resuelvan problemas por s mismos.



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9. DIBUJANDO CUBOS


Que los alumnos desarrollen las habilidades matemticas de imaginacin yvisualizacin espacial para determinar las caractersticas geomtricas de cuerposgeomtricos para los elementos no visibles.

Que los alumnos desarrollen habilidades matemticas que les ayuden a enfrentarcon xito, distintos temas de geometra, especialmente aquellos en los que debenimaginar elementos no visibles de los cuerpos geomtricos.


Se recomienda iniciar la actividad de manera individual, posteriormente la segunda parte

es recomendable hacerla en equipos de dos personas.

Dependiendo el nmero de alumnos y del material disponible se recomienda dar 10 cubospor equipo, mismos que pueden estar formados por 2, 3 o 4 integrantes.



Puede iniciarse esta actividad haciendo recordatorio de la actividad anterior, para ello serecomienda realizar la siguiente actividad: (15 min)

1. El siguiente arreglo fue hecho con cubos, a partir de esta vista determina:

Cuntos cubos tiene? ______

Cuntos cubos tienen una cara pintada? ______

Cuntos tienen dos caras pintadas? ______

Cuntos tienen tres caras pintadas? _____


2. En equipos utilicen los cubos y las siguientes perspectivas para formar lasconstrucciones correspondientes. Antes de hacerlas traten de predecir cuntoscubos sern necesarios para la construccin. Al final dibjenlas en la retcula paraperspectiva, pueden utilizar la que se incluye en el anexo 1: (20 min)


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Cierre de la sesin3. A continuacin se muestra una retcula con perspectiva y algunas construcciones,

imagina que las construcciones se acuestan en la direccin que indica la flecha.Dibuja como queda al final la construccin como se muestra en el caso a) (15 min):


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Es comn ver que algunos estudiantes tengan dificultades para imaginar los arreglos concubos, en tal caso y como en la ficha anterior, se recomienda que el profesor considere la


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posibilidad de mostrar algunos arreglos sencillos con material concreto para favorecer eldesarrollo de esta habilidad.









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ANEXO 1


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10. CUDRATE CON LOS TRINGULOS


Que los alumnos comprueben geomtricamente la validez del Teorema dePitgoras por equivalencia entre reas de figuras planas, en el caso particular deltringulo rectngulo issceles utilizando el tangrama.


Para la realizacin de esta actividad se sugiere que cada alumno tenga un tangrama y eldocente retome la actividad de la sesin 3 (el tangrama).

Despus los alumnos debern organizarse en equipos de 3 o 4 personas para iniciar la

actividad.



Para iniciar, retome los conocimientos referentes al rea de cada pieza del tangramautilizado en la sesin 3. Despus explore la nocin de semejanza y congruencia detringulos mediante una lluvia de ideas, puede usar las siguientes preguntas: (10 min)

Gue a los alumnos a deducir la diferencia entre semejanza y congruencia, as como loselementos y caractersticas del tringulo rectngulo issceles (catetos, hipotenusa, ngulorecto).

a. Cunto miden los lados del tringulo 1?b. Cunto miden los lados del tringulo 2?

c. Cmo son entres s las medidas de los lados deltringulo 1 y 2?d. Menciona otra caracterstica que tengan en comn

los tringulos 1 y 2e. Qu tienen en comn el tringulo 5 y 7?f. Qu tienen en comn los tringulos 1 y 5?g. Qu tienen en comn los tringulos 1, 3 y 5?h. Qu diferencias encuentras entre los tringulos 1, 3

y 5?


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1. Pedir a los alumnos que clasifiquen los distintos tringulos y que los dibujen en lossiguientes espacios a partir de los siguientes criterios: (Tiempo 10) min)

Cuando dos tringulos tienen la misma medida en sus lados correspondientes, susngulos y rea, se dice que son congruentes.

Cuando dos tringulos son semejantes entre s, tienen la misma medida en sus ngulosinteriores correspondientes y la medida de sus lados son proporcionales entre s pero susreas son distintas.

Al terminar de dibujar las parejas de tringulos congruentes y semejantes deberncomparar sus resultados con sus compaeros a fin de validar sus respuestas. Posterior aello debern completar las siguientes definiciones:

Dos tringulos son congruentes entre s cuando:

__________________________________________________________________

Dos tringulos son semejantes entre s cuando:

__________________________________________________________________

Los tringulos rectngulos issceles se caracterizan por:

__________________________________________________________________

2. Pida a los alumnos que trabajen en equipos de cuatro integrantes, junten sustangramas y realicen lo siguiente: (15 min)

Como actividades previas se sugiere adems realizar las siguientes:

Tringulos que tengan diferente rea ydiferente medida en sus lados, pero la

misma medida en sus ngulos

Tringulos que tengan la misma rea y lamisma medida en sus lados y ngulos.

Pedir a los alumnos queidentifiquen por su nombre a loslados de un tringulo rectnguloissceles, de tal forma que:

Respecto al rea total deltangrama determina la fraccinque representan los tringulos:


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HIPOTEN

USA

CATETO

CATETO

Tomen el tringulo que tiene un rea de colquenlo sobre una superficie firme y

seleccionen dos tringulos con los que se pueda construir un cuadrado sobre el lado

hipotenusa:

116

______ del rea total




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Con las piezas sobrantes arma un cuadrado sobre cada uno de los lados iguales deltringulo (catetos).

18

18

116

Coloca aqulas piezas

que formeneste

cuadrado

Coloca aqulas piezas

que formeneste

cuadrado

Contesta las siguientes preguntas:a) Qu piezas del tangrama utilizaste en la actividad anterior?

_____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

b) Cul es el rea de cada pieza?___________________________________________

_____________________________________________________________________

c) Cul es el rea total de las figuras utilizadas para formar uno de los catetos ?______

d) Suma el rea de los cuadrado construidos sobre los catetos Qu resultado

obtuviste?_______________________________________

e) Cmo son entres s las reas de la suma de los cuadrados formados en los catetos,

respecto al cuadrado formado en la hipotenusa? _____________________________

Pon aqu las piezasque formen este

cuadrado

Pon aqu laspiezas

que formeneste cuadrado

8

1

Ponaq

ulas

piez

as

queform

en

estecua

drad

o

A

B

C


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3. Solicite a los alumnos que ahora coloquen como base el tringulo de rea ,

proponga que sobre los catetos e hipotenusa construyan un cuadrado, de tal formaque al sumar las reas de los cuadrados pequeos (catetos) obtengan el rea delcuadrado mayor (hipotenusa). (15 min)

a) Cul es el rea del cuadrado que se forma en la hipotenusa?__________b) Cul es el rea del cuadrado que se forma en uno de los catetos?__________

c) Al sumar el rea de los cuadrados que se forman en los catetos, qu resultadoobtienes?______

d) Justifica tu respuesta.


En grupo, propicie un momento de argumentacin fundamentado en las equivalencias

entre las reas de las diferentes piezas. Para ello, el docente debe permitir que el alumnocompruebe sus resultados de forma aritmtica y geomtrica, es decir, mediante lasoperaciones con fracciones o empalmando las piezas sobre el cuadrado mayor. Tambinpuede pedir que realicen la actividad anterior para el tringulo faltante.

Cierre de la sesin

Propicie que el alumno genere una conclusin respecto a las reas de los cuadradosconstruidos sobre los catetos del tringulo y l para de la hipotenusa.


Es probable que los alumnos tengan dificultades con el manejo y acomodo de las piezas,por lo que se les puede orientar al respecto. Durante la actividad se precisarn lostrminos: tringulo rectngulo, cateto, hipotenusa, cuadrado, rea. Con la manipulacinde los diferentes tringulos como base se pretende que relacionen las reas de loscuadrados que se construyen sobre los lados de un tringulo rectngulo, para queconcluyan que en todo tringulo rectngulo el rea de los dos cuadrados construidossobre los catetos es igual al rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

Incluso puede llegarse, si el profesor lo considera pertinente, a que construyan laexpresin algebraica que representa esta relacin.

Por otro lado, es importante que el profesor en todo momento:

Anime a los participantes a expresar sus opiniones y dudas.Favorezca la cooperacin y el respeto mutuo.Genere la confianza del alumno y promueva la participacin de todos los integrantes

del grupo.Acepte los errores de los participantes como un elemento inherente al proceso de

aprendizaje.Genere oportunidades para que los nios elijan y resuelvan problemas por s

mismos.Valore los esfuerzos y logros alcanzados.


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11. EL MOSAIQUERO


Que los alumnos analicen y exploren las caractersticas de los polgonos regularescon los que se puede cubrir un plano.


Es importante que organice a los alumnos desde una sesin anterior, para que lleven -demanera individual- iluminados y recortados los polgonos que contienen las fotostticas.

Para la sesin debe organizar al grupo en equipos de cinco integrantes.



Inicie la sesin planteando la pregunta: Alguien ha odo hablar de M. C. Escher?despus de escuchar las respuestas de los alumnos narr la historia de Escher:

Maurits Cornelius Escher naci en 1898 en Leeuwarden (Pases Bajos) y fue un famosoartista a quien le gustaba cambiar la percepcin de la realidad. Fue el pionero enincorporar figuras como reptiles, aves, peces y otros, en las configuraciones de mosaicos,no era matemtico pero destaco por la composicin geomtrica de sus mosaicos, y queuna manera de lograr cubrir el plano consiste en usar diversos polgonos regulares que

dan una composicin llamada teselacin.

Indiqu a los alumnos qu hablarn de las configuraciones de mosaicos y crearn unmosaico con su propio diseo usando algunos polgonos. Para ello, retome los elementosvistos en la sesin el cubopol respecto a la clasificacin de polgonos y suscaractersticas (lados, ngulos, vrtices). (10 min)


1. Muestre uno de los teselados de Escher (anexo1 )Organizados en equipos, expliqueque van a cubrir ese mosaico y cuestione (20 min):

a. Cules de los polgonos regulares que taren pueden usar para cubrir el plano,sin que se traslapen las figuras, que no queden huecos y tengan en comn slolados o vrtices?_________________

b. Utilicen un mismo polgono para cubrir cada uno de los siguientes planos:


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Con cules de las figuras pudieron cubrir el plano? Qu caracterstica tienen los polgonos que permiten cubrir el plano? Cuntas figuras coinciden en los vrtices dentro del plano? Cules son los polgonos regulares con los que no se puede cubrir el plano y a

qu creen que se deba?

2. Proponga que tracen un tringulo equiltero, y sealen uno de sus ngulos:

60

A

Qu medida tiene cada ngulo del tringulo?____________________ Construye tringulos que coincidan con el vrtice A

a. Cuntos tringulos coinciden con el vrtice A? ________________b. Cunto suman los ngulos que coinciden en ese vrtice? _______________c. Existe alguna relacin entre la medida de los ngulos y cubrir el plano? por

qu?Es importante que despus de la actividad todos los alumnos lleguen a la conclusin deque solamente se puede cubrir el plano con los cuadrados, hexgonos regulares ytringulos equilteros, debido a que la medida de sus ngulos interiores es divisor de 360.(10 min)


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3. Sugiera que por equipos intenten empalmar cuadrados y tringulos de tal manera quecubran la superficie de la cartulina completamente, sin dejar huecos y sin encimarlos y

cuestione:a) Puedes crear un diseo que se repita?________________b) Intenta cubrir la superficie con tringulos y hexgonos. Existe ms de una

posibilidad?______________________

Cierre de la sesin

4. Para finalizar, solicite que lo expongan ante el grupo. (10 min).


Se sugiere pedir a los alumnos que investiguen acerca de los teselados elaborados porEscher, o bien, que el profesor presente algunos de sus trabajos (al final se presentanimgenes de algunos teselados elaborados por Escher).

Tambin se les puede pedir que busquen, en revistas o libros, imgenes de mosaicos condiversas figuras geomtricas para mostrar a sus compaeros al inicio de la sesin.

Adems se harn comentarios acerca de lugares donde hayan observado recubrimientosde diversas superficies, como en plazas, iglesias, tiendas, zcalos, etc. Para la primeraactividad se pueden utilizar adems polgonos regulares de siete, ocho, nueve lados, etc.

Puede proponer al alumno que realice la actividad 2, pero con el cuadrado, pentgono yhexgono.



Genere la confianza del alumno y promueva la participacin de todos losintegrantes del grupo.


Valore los esfuerzos y logros alcanzados cuando los alumnos muestren sus

mosaicos.


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Anexo1

Teselados de Escher


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Anexo 2


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12. CUADRADOS, CUADRITOS Y MAGIA


Que los alumnos encuentren patrones aritmticos y expresiones algebraicas apartir de construcciones geomtricas.

Que los alumnos construyan el conjunto de Cantor a fin generar patrones ydeterminar la expresin general para el ensimo trmino de una sucesinnumrica y figurativa.


Para la realizacin de esta actividad cada alumno debe tener una hoja blanca, en laprimera fase de la sesin los alumnos debern trabajar de forma individual y en lasegunda fase organizarse en equipos de 3 o 4 personas. (5 min)



Pida a los alumnos que con la hoja obtengan un cuadrado de la mayor rea posible eindique que ese cuadrado tiene de rea una unidad. Presente una breve narracin de laversin del conjunto de Cantor mostrando cada una de sus etapas de evolucin enfaticeen que cada vez que se realice una transformacin se hablar de una etapa. (5 min)


1. Considera que el siguiente cuadrado tiene rea igual a una unidad (A = 1) y coloca losdatos que se te piden (5 min)

Etapa 0No de cuadrados _________

rea _______

2. Divide el cuadrado en cuatro cuadrantes iguales, despus ilumina el cuadrado

superior derecho:

El cuadrado inicial tena de rea una unidady no haba ninguna divisin. En cuntaspartes se ha dividido el cuadrado en estaprimera etapa?____________

Cuntas de esas partes no estniluminadas?___________

Qu parte del cuadrado qued siniluminar?______________


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Puede sugerir a los alumnos el uso de la regla para realizar las divisiones o bien eldoblado e papel. Durante la obtencin de la parte que queda sin iluminar explore las

respuestas de los alumnos y cercirese que estn convencidos que el rea es (10

min).

3. Para realizar la segunda etapa, debers dividir los cuadros restantes en cuatrocuadrados iguales, despus debes iluminar los cuadrantes equivalentes al primeroque coloreaste:

.

Se sugiere que el docente enfatice en que cada etapa se refiere a una iteracin; asmismo proponga que realicen una nueva etapa (tercera), gue al alumno al uso de lasfracciones para representar la regin sin iluminar.

Para la tercera etapa

a. Para la tercera etapa(iteracin) debes repetir los pasos anteriores; divide loscuadrados restantes en cuatro partes. Ilumina los cuadrantes equivalentes alprimero que coloreaste (10 min):

En esta segunda etapa cuntas de partes delcuadrado no estn iluminadas?___________

Qu parte del cuadrado qued sin

iluminar?______________

Explica brevemente tu respuesta.

_______________________________________

_______________________________________

Etapa 3

No de cuadrados en total_________

Nmero de cuadros sin iluminar_________

rea de la regin sin iluminar_______


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Puesta en comn de los productos4. Reunidos en equipo completen la siguiente tabla con base en la informacin obtenida

en las etapas anteriores:

Etapa reaFracciones Decimales

1 1.0

2

3

4

5

6

7

10

n


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70

Cierre de la sesin

Debe promover la validacin de estrategias de solucin enfatizando que al realizar todocorrectamente se obtiene la siguiente sucesin de reas (10 min):

256

814

64

27

3

16

92

4

31

1

10

=

=

=

=

=

E

E

E

E

E

En la sptima iteracin cul ser la fraccin que representa el rea sin iluminar? ____

_____________________________________________________________________

Explica brevemente cmo hacer para obtener el rea que representa la etapa diez.

Qu observas en esta sucesin , , , ?

Promueva que expresen como potencias el rea de las regiones sin iluminar (10 min):

Existe alguna operacin con la que puedas expresar , , , ? ________

Escrbela_________________

La sucesin anterior puede ser representada mediante potencias; observa lainformacin, resuelve las potencias y escribe los resultados

_________4

3E

0

0

0 ==


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71

_________4

3E

1

1

1 ==

_________

4

3E

2

2

2 ==

_________4

3E

3

3

3 ==

_________4

3A

4

4

4 ==

Expresa como potencias:

=

=

=

100

25

10

A

AA

Escribe una expresin para encontrar el rea de la regin sin iluminar para cualquieretapa. Qu le pasa el rea de la regin sin iluminar despus de la iteracin 1000?


Es probable que los alumnos tengan dificultades con las divisiones de los cuadrados.

Guelos de tal manera que siempre iluminen el mismo cuadrante que al inicio.

Tambin es importante propiciar un momento justificacin de procedimientos as como elmanejo de la expresin general. Para ello, el docente debe permitir que el alumnocompruebe sus resultados de forma aritmtica y geomtrica, es decir, mediante lasiteraciones en el cuadrado y las operaciones por conteo o potencias. Asimismo, cuestionea los alumnos a cerca de las reas conforme se realizan las iteraciones.

Adems, no olvide que en todo momento debe:

Animar a los participantes a expresar sus opiniones y dudas.

Favorecer la cooperacin y el respeto mutuo.

Generar la confianza del alumno y promueva la participacin de todos losintegrantes del grupo.

Valorar los esfuerzos y logros alcanzados


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13. FIGURAS QUE CRECEN


Que los alumnos encuentren una expresin general que represente el ensimotrmino de una sucesin figurativa usando procedimientos personales.

Que los alumnos determinen una expresin general para definir el ensimotrmino en sucesiones numricas y figurativas.


Para la realizacin de esta actividad organice equipos de 3 alumnos y proporcione ungeoplano a cada equipo.



4. Comente a los alumnos que construirn varios polgonos, retome los conocimientoscorrespondientes a permetro y rea. Indique que llamarn puntos en la frontera a losque forman el permetro. Proponga que en el geoplano formen los siguientesrectngulos y contesten lo que se pide:

a. Cuntos puntos tiene la primera figura en la frontera?______________

b. Cuntos puntos tiene la segunda figura? ________________


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c. Cuntos puntos hay en la tercera figura?_______________

d. Si continuamos trazando las figuras en el geoplano; cuntos puntos tendr lafigura 5? __________________Explica tu respuesta.

e. Cuntos puntos tendr en su frontera la figura 20? __________

5. Explore y confronte las estrategia que usaron los alumnos para recocer la regularidady obtener los resultados, prueben la validez del procedimiento a induzca a laobtencin de una regla general. (10 min)

3. Indique a los alumnos que ahora van a trabajar con tringulos como los que semuestran a continuacin:

a) Contesta lo que se pide:

Cuntos puntos tiene en la frontera la primera figura?______________

Cuntos puntos tiene la segunda figura? ________________

Cuntos puntos hay en la tercera figura?_______________

Si continuamos trazando las figuras cuntos puntos tendr la figura 7? ______Explica turespuesta.


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Completa la siguiente tabla:

No de Figura Clavos en la frontera Clavos en el interior

1 6 0

2 9

3 12

4

5 10

6 21

7 24

10

30

110000

NN

Explica cmo obtuviste tus resultados:

Observa que en la segunda columna obtienes una sucesin determinada por 6, 9, 12, 15,18, Cunto va saltando cada vez los nmeros de la lista?_____________

Escribe una expresin general para cualquier figura. Comprueba tu respuesta. (25 min)


4. Verifique que todos los alumnos completaron la tabla, confronte las estrategias delos alumnos y sugiera algunas opciones para identificar el patrn y generalizar entrminos de n, (diferencias finitas). (10 min)


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Cierre de la sesin

5. Para concluir sugiera a los alumnos que encuentren una expresin general para lasucesin generada en la tercera columna y comprueben la validez de la expresin generalpara las primeras cinco figuras. (5 min)

a. Utiliza la lista de resultados obtenidos en la tercera columna y escribe losprimeros cinco trminos de la sucesin:

______, ________, _______, ________, ______

b. Existe una expresin general para esta sucesin? Comprubalo.


En el primer inciso se espera que los alumnos no tengan dificultad en encontrar lostrminos de la sucesin que se pide. Sin embargo, en de los tringulos, especficamenteen la tercera columna tal vez sea necesario ayudarlos. Por ejemplo, se les puede sugerirque encuentren la relacin que existe entre el nmero de la posicin de la figura y elnmero de puntos, el crecimiento de los lados del tringulo.

Asimismo, es necesario que:

Promueva el uso del lenguaje coloquial para las expresiones y gue, de tal maneraque los alumnos relacionen con el lenguaje matemtico.

Durante en trabajo con los alumnos anime a los alumnos a expresar sus opinionesy dudas.

Favorezca la cooperacin y respeto.

Utilice los errores de los participantes como un elemento inherente al proceso deaprendizaje.


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14. EL TANGRAMA


Que los alumnos utilicen material concreto para representar, identificar, operar ymodelar repartos y operaciones con nmeros fraccionarios.

Que los alumnos desarrollen la habilidad de estimar resultados al resolverproblemas que impliquen sumar o restar fracciones con distinto denominador.

Que los alumnos resuelvan problemas de suma y resta que impliquen el uso denmeros fraccionarios mediante el uso de material concreto.


Para la realizacin de esta actividad se sugiere que inicien el trabajo de manera individual,a fin de poder buscar estrategias diversas para resolver las primeras actividades y poderconfrontar despus las estrategias utilizadas.

Posteriormente los alumnos debern organizarse en equipos de 2, 3 o 4 personas, lo cualdepender de la disponibilidad de material y de la cantidad de alumnos para realizar laactividad.


Consideraciones previasEl problema que los estudiantes tienen con la comprensin de las fracciones se debe,entre otras cosas, a la pobreza de significados a los que son enfrentados durante elestudio de este tema durante la educacin bsica.

A manera de exploracin iniciaremos con un sencillo cuestionario, esto es con la intencinde ver las concepciones que tienen respecto al tema de las fracciones antes de trabajarcon esta ficha de trabajo. (Tiempo 10 min)

LAS FRACCIONES

Nombre: ____________________________________________________________

1. Escribe brevemente, qu entiendes por fraccin? ____________________________

________________________________________________________________________


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2. Representa de cuatro formas distintas la fraccin un cuarto.

3. De la palabra MXICO. Qu fraccin representan las vocales?

_________________________________________________________________

4. De tu nombre, Qu fraccin son vocales? ______________________________

5. Divide cada figura segn se indica

En cuartos En octavos En sptimos

6. Dado el conjunto


1. El tangrama es un juguete chino inventado hace muchos siglos, consta de 7 piezas lascuales guardan proporciones entre sus lados, es un material de fcil acceso, sinembargo se recomienda construir uno utilizando para ello una hoja blanca tamaocarta.

En qu proporcin se encuentran las bolitas

negras?__________________


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A continuacin se muestra paso a paso, la forma en que debe cortarse la hoja para formarel tangrama. (10 min)

2. Por fin tenemos nuestro tangrama, utilicmoslo para hacer la siguiente actividad. (10min)

Utilizando dos piezas del tangrama forma un cuadrado.

Forma otro cuadrado con tres piezas.

Ahora forma otro cuadrado pero con cuatro piezas


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Podrs hacer un cuadrado utilizando cinco piezas? T puedes intntalo!

Utilizando las 7 piezas forma las siguientes figuras


3. En equipo, utilicen el tangrama para contestar las siguientes preguntas: (5 min)

Qu fraccin del entero representa el tringulo 1?_______________

Qu fraccin del entero representan juntos los tringulos 1 y 2? _____________

Qu fraccin del entero representa el tringulo 3?______________

Qu fraccin del entero representa el tringulo 5?______________

Qu fraccin del entero representa el cuadrado? ____________________

Qu fraccin del entero representan juntos el paralelogramo y el cuadrado?_____


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LAS FRACCIONES

Los siguientes cuadrados, se han dividido en cuatro partes, de tal forma que sus reas

son equivalentes entre s.

Cierre de la sesin

Divide los doce cuadrados que aparecen abajo en cuatro partes iguales, de tal modo quesean diferentes a los anteriores y que sus reas sean equivalentes. (15 min)


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El contenido referente a las fracciones por tradicin ha presentado dificultades para losalumnos, principalmente en la educacin bsica.

Resulta importante que el profesor considere las dificultades que tienen algunos alumnospara la comprensin de las fracciones y que muestren una actitud de apoyo y estmulopara la realizacin de actividades.

En la realizacin del tangrama se sugiere la utilizacin de trminos formales de lamatemtica para ir familiarizando a los estudiantes con este lenguaje, esto debido a laoportunidad que se tiene para mostrar paso a paso y mediante material concreto algunoselementos de las figuras geomtricas, por ejemplo, ejes de simetra, mediatriz, bisectriz,punto medio, figuras semejantes, figuras congruentes, etctera.

Al trabajar con la divisin del entero en cuatro partes iguales, es importante dar un tiempopara la realizacin y exploracin de la actividad, posteriormente podrn darse algunoselementos que ayuden a los estudiantes a profundizar en algunas ideas, por ejemplo:

Asimismo, es importante que el profesor en todo momento:







Un primer momento puede ser al introducirla combinacin de figuras ya establecidas:

Posteriormente puede inducirse a la idea dedividir el cuadrado en 16 partes iguales yhacer combinaciones con los cuadros


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15. LABERINTOS DE DECIMALES


Que los alumnos reflexionen y distingan algunas propiedades de los nmeros quese escriben con punto decimal.

Que los alumnos identifiquen las propiedades de densidad, escritura y valorposicional de los nmeros con punto decimal.


Para la realizacin de esta actividad se sugiere trabajar la primera parte en formaindividual, es importante comentarles que pueden utilizar la calculadora para apoyarse enla realizacin de las actividades propuestas.

Despus de la primera actividad se recomienda que organice a los alumnos en equiposde 2 elementos y permitir la libre exploracin de tareas.



Antes de iniciar con las actividades se recomienda que reflexionen a partir de las

siguientes preguntas:a) Cul nmero es el antecesor de 1.75?

b) Cul nmero es mayor 5.18 o 5.6?

c) Escribe un nmero que vaya entre 0.25 y 0.26

d) Inventa un problema que se resuelva con la siguiente operacin: 4 x 2.5 =


1. A continuacin se iniciar la actividad del laberinto. De manera individual cadapersona empieza el juego con 100 puntos. Se trata de que remarque aquel caminoque considere lleva a la meta consiguiendo el mayor puntaje. Las condiciones son: nopasar dos veces por el mismo segmento ni por el mismo punto. Usa una calculadorapara hacer las operaciones indicadas.


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2. Ahora, utilizando la calculadora, resuelve cada uno de los siguientes problemas:

a) Encuentre un nmero que multiplicado por 0.4 de un resultado mayor que 4.3, peromenor que 4.31

b) Encuentre un nmero que al dividirlo entre 0.25 de un resultado mayor que 3.24,pero menor que 3.25

c) Entre cuanto hay que dividir el nmero 8.375 para que el resultado sea menor que41.9, pero mayor que 41.8

3. El siguiente juego podr jugarlo utilizando la calculadora y se pretende explorar lapropiedad de densidad y el valor posicional de los nmeros decimales. Juego conrecta numrica y calculadora:

a. Utiliza el siguiente segmento de recta para empezar con el juego:


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b. Se organiza el grupo en parejas, uno ser el jugador A y el otro ser el B.

c. El jugador A hace aparecer en la pantalla de la calculadora un nmero mayor de100 pero menor que 200.

d. El jugador B debe hacer aparecer en la pantalla de su calculadora otro nmero quesea mayor que 900, pero menor que 1000.

e. Cada uno de los jugadores sita su nmero en el lugar ms aproximado sobre larecta numrica.

f. El equipo A puede utilizar slo la tecla (+) y cualquier nmero; el equipo B slo

utilizar la tecla (-) y cualquier nmero.

g. Cada jugador realizar una operacin de forma alternativa comenzando por eljugador A. El primer jugador que llegue al nmero del otro jugador o que lo rebase,ser el perdedor.

Esta situacin permite poner en juego la densidad de los nmeros decimales: siempre esposible que los nmeros de ambos jugadores se sigan acercando sin coincidir y sinrebasarse, si se recurre a dcimos, centsimos, milsimos Aunque la calculadora tienesus lmites.

Puesta en comn de los productos4. Exploracin del valor posicional en los nmeros decimales.

Actividad 2.1 Se presionan al azar las teclas de 9 cifras y entre ellas la de puntodecimal haciendo aparecer un nmero en la pantalla, por ejemplo: 523.8917El juego consiste en llegar a cero haciendo cada vez una operacin que convierta encero una sola cifra. Las cifras deben hacerse desaparecer en orden ascendente (1, 2,3,9). No debe alterarse el resto de las cifras.Se puede jugar en equipos de dos o en dos grandes equipos formados por todo elgrupo. Las operaciones sucesivas deben quedar en el pizarrn si juega todo el grupoo en los cuadernos si se juega entre parejas.

Por ejemplo, en este caso los pasos sucesivos pueden ser:64 23.8917

- 0.001 = 64 523.8907-20 = 64 503.8907-3 = 64 500.8907-4000 = 60 500.8907- 500 = 60 000.8907


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-0.09 = 0El juego invita a reflexionar sobre el valor posicional de las cifras, un error comn en elcaso anterior es que para convertir el 9 en cero, resten 9. Hacer esto implicara restar9 unidades en lugar de 0.09, afectando a los dems nmeros y sin lograr convertir el 0en 9.

Cierre de la sesin5. Una variante del juego anterior se puede aplicar al imponer la condicin de que slo

se pueda sustraer un nmero cuando ocupa el lugar de las unidades, lo que oblig

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