MAT-032: Probabilidad y Estadística Comercial
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MAT-032: Probabilidad y Estad´ ıstica Comercial Felipe Osorio http://fosorios.mat.utfsm.cl Departamento de Matem´ atica, UTFSM 1 / 52
Transcript of MAT-032: Probabilidad y Estadística Comercial
MAT-032: Probabilidad y EstadısticaComercial
Felipe Osoriohttp://fosorios.mat.utfsm.cl
Departamento de Matematica, UTFSM
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Informacion
Horario:
Clases: Lunes, bloque 16-20 (19:05-22:20 hrs.) via Zoom
Taller: Martes, bloque 16-20 (19:05-22:20 hrs.) a cargo de prof. Enzo Hernandez.
Ayudante: Fabian Ramırez
Contacto:
E-mail: [email protected].
Web: http://fosorios.mat.utfsm.cl/teaching.html y AULA
Evaluacion:
Se realizara 3 Certamenes, Controles y Tareas.
Ponderaciones:
Sea C, Q y T el promedio de certamenes, controles, y tareas, respectivamente. Deeste modo, la nota de presentacion (NP ) es dada por:
NP = 0.8C + 0.1Q+ 0.1T .
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Criterio de aprobacion
Criterio de aprobacion:
Aquellos estudiantes que obtengan NP mayor o igual a 55 y todos los certamenessobre 40, aprobaran la asignatura con nota final, NF = NP .
Criterio para rendir global:
En caso contrario, y siempre que NP � 45, los estudiantes podran rendir el certamenglobal (CG), en cuyo caso la nota final es calculada como sigue:
NF = 0.6 ·NP + 0.4 · CG.
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Reglas adicionales
I Se llevara un control de asistencia.
I Se puede realizar preguntas sobre la materia en cualquier momento.
I Los alumnos deben apagar/silenciar sus telefonos celulares durante clases.
I Conversaciones sobre asuntos ajenos a la clase no seran tolerados. Otrosestudiantes tiene derecho a asistir clases en silencio.
I Al enviar algun e-mail al profesor, identificar el codigo de la asignatura en elasunto (MAT206).
I E-mail sera el canal de comunicacion oficial entre el profesor y los estudiantes.
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Reglas: sobre las pruebas
I Es derecho del estudiante conocer la pauta de correccion la que sera publicadaen la pagina web del curso.
I El uso de lapiz grafito es aceptado. Sin embargo, inhabilita al estudiante depedir recorreccion.
I Pedidos de recorreccion deben ser argumentados por escrito.
I En modalidad online, Certamenes, Controles y Tareas deben ser enviados enformato PDF.1
I Cualquier tipo de fraude en prueba (copia, WhatsApp, suplantacion, etc.)implicara la reprobacion de los involucrados.2
1En un unico archivo, orientado en una direccion legible.2Puede implicar la apertura de un proceso disciplinario.
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Orientaciones de estudio
I Mantener la frecuencia de estudio de inicio a final del semestre. El ideal esestudiar el contenido luego de cada clase.
I Estudiar primeramente el contenido dado en clases, buscando apoyo en lasreferencias bibliograficas.
I Las referencias son fuentes de ejemplos y ejercicios. Resuelva una buenacantidad de ejercicios. No deje esto para la vıspera de la prueba.
I Buscar las referencias bibliograficas al inicio del semestre, dando preferencia a lasprincipales y complementarias.
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Programa del curso
I Introduccion y conceptos basicos.
I Estadıstica descriptiva.
I Calculo de probabilidades.
I Variables aleatorias.
I Inferencia estadıstica.
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Bibliografıa
Canavos, G. (1990).
Probabilidad y Estadıstica, Aplicaciones y Metodos.
McGraw-Hill Latinoamericana.
Meyer, P.L. (1976)
Probabilidad y Aplicaciones Estadısticas.
Fondo Educativo Interamericano.
Newbold, O., Carlson, W.L., Thorne, B. (2008).
Estadıstica para Administracion y Economıa (6ta Ed.).
Prentice Hall, Madrid.
Wackerly, D., Mendenhall, W., Schea↵er, R. (2008).
Estadıstica Matematica con Aplicaciones.
Cengage Learning.
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Motivacion mediante ejemplos
I ¿Existe competencia en el mercado de AFPs chileno?
I Modelando rentabilidades de acciones en el mercado chileno usando el CAPM3.
I Ideas sobre el proceso de modelacion.
I Algunos conceptos preliminares.
3CAPM: Capital asset pricing model9 / 52
Ideas subyacentes
“Todos los modelos son errados, pero algunos son utiles.”– George Box.
“Aunque puede parecer una paradoja, toda la ciencia exacta esta dom-inada por la idea de aproximacion.”
– Bertrand Russell.
Principio KISS: “Keep It Simple, Stupid.”– Clarence “Kelly” Johnson.
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Ideas subyacentes
“Todos los modelos son errados, pero algunos son utiles.”– George Box.
“Aunque puede parecer una paradoja, toda la ciencia exacta esta dom-inada por la idea de aproximacion.”
– Bertrand Russell.
Principio KISS: “Keep It Short and Simple.”– Clarence “Kelly” Johnson.
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El exito de Google: Aplicar el principio KISS4
Evolucion de Yahoo vs. Google: Cuota de mercado de los motores de busqueda:
Google (86%)
Yahoo (6%)
Baidu (5%)
Bing (3%)
4En estadıstica este se conoce como Principio de Parsimonia.12 / 52
Esto NO es una crıtica al sistema de AFP...
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Administradoras de Fondos de Pensiones (AFP) de Chile
Aplicacion:
El sistema de AFP (o de capitalizacionindividual) chileno esta en vigor desde1980.
Ahorros de los contribuyentes son admi-nistrados en un sistema de multifondos.
Existe 5 tipos de fondos (A, B, C, D y E)divididos por la proporcion del portfolio quees invertido en tıtulos de renta variable.
El fondo A tiene la mayor proporcion deinversion en renta variable, la que dismi-nuye progresivamente para los fondos B,C, D y E.
Conjunto de datos:
Rentabilidadesmensuales deAFPs: Cuprum,Habitat, PlanVital y ProVida en el periodode agosto/2005 a diciembre/2013.
Datos fueron obtenidos desde el sitio webde la superintendencia de pensiones (www.
spensiones.cl)
Conjunto de datos con 101 observaciones y4 variables (solamente datos del Fondo D).
Obs. 28, 30, 35, 38, 39, 42, 66, 73 y 75 sonidentificadas como outliers.
QQ-plot de distancias transformadasrevelan la presencia de colas pesadas.
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Identificando observaciones atıpicas
En mercados emergentes como el chilenosuele ocurrir periodos con alta volatilidad.
Existe una bateria de procedimientos paradetectar observaciones que presentan uncomportamiento es aberrante/atıpico.
Este tipo de observaciones puede tener unefecto nefasto sobre la inferencia estadıs-tica.
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0 20 40 60 80 1000
1020
3040
Index
Mah
alan
obis
dis
tanc
es
2830
35
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73
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Evaluando los supuestos distribucionales
El supuesto de normalidad es habitual eneste tipo de problemas.
Es decir, suponga x1, . . . ,xn una muestraaleatoria desde Np(µ,⌃).
Usando test de hipotesis y tecnicas graficasse concluye que el supuesto de normalidadno es soportado por los datos.
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−2 −1 0 1 2−2
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Transformed distances Q−Q plot
Theoretical Quantiles
Sam
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Qua
ntile
s
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Analisis multivariado usando la distribucion t de Student
Caracterısticas del problema:
I AFPs invierten esencialmente en la misma cartera de inversiones.
I Mercados emergentes suelen presentar alta volatilidad.
I Los datos son bien modelados usando la distribucion t multivariada.
Conclusiones:
I Aparentemente, no existe competencia en el mercado de AFP.
I Calculo optimo de los porcentajes de inversion en los distintos fondos.
I Test para evaluar la igualdad entre razones de Sharpe.5
5Trabajo en desarrollo junto al prof. Manuel Galea (PUC)17 / 52
Datos de Concha y Toro (Osorio y Galea, 2006)6
Rentabilidades mensuales de Concha y Toro vs. IPSA, ajustados por bonos de interesdel Banco Central entre marzo/1990 a abril/1999.
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1.0
IPSA
Con
cha
y To
ro
6Statistical Papers 47, 31-3818 / 52
Datos de Concha y Toro
Modelo CAPM (Valoracion de Activos de Capital), Sharpe (1964)7
E(r) = rf + �(E(rm)� rf ),
usando datos observados, podemos escribir
Rt = ↵+ � ⇥ IPSAt + ✏, t = 1, . . . , T.
Caracterısticas del problema:
I Relacion lineal entre las variables.
I Posibles periodos de alta volatilidad.
Hipotesis de interes:
I H0 : � > 1 (Amante del riesgo).
I H0 : � = 1 (Neutral al riesgo).
I H0 : � < 1 (Averso al riesgo).
7Journal of Finance 19, 425-44219 / 52
Datos de Concha y Toro
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1.0
IPSA
Con
cha
y To
ro
Ajuste usando errores normales (—) y Cauchy (– –). (b� = 0.89 y b� = 0.35, respectivamente).
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El problema del modelado
Considere la funcionY = sen{2⇡(1� x)2},
cuyo grafico es dado por:
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
−2−1
01
2
x
y
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El problema del modelado
Suponga que “generamos” datos, usando
Yi = sen{2⇡(1� xi)2}+ �✏i, i = 1, . . . , 100,
donde xi ⇠ U(0, 1), ✏i ⇠ N (0, 1) y � = 1/2,
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0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
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2
x
y
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El problema del modelado
Lamentablemente, en la practica solo disponemos de los datos observados:
(x1, Y1), (x2, Y2), . . . , (x100, Y100),
el primer paso es hacer un analisis exploratorio:
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El problema del modelado
El analista propone el modelo:
Yi = g(xi) + ✏i, i = 1, . . . , 100,
y su objetivo es “estimar” la funcion g(·) desde los datos, obteniendo
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El problema del modelado
En Estadıstica se estudia teoricamente, la “bondad del modelo” comparando
bY = bg(x), v.s. Y = sen{2⇡(1� x)2},
esto es, el modelo ajustado v.s. el modelo subyacente (verdadero).
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Esquema de Modelacion EstadısticaEsquema de Modelacion
DATOS MODELO
AJUSTE
DIAGNOSTICO
CONCLUSION
NONO
SI
5 / 5
Recoleccion de datos: Muestreo.
Analisis exploratorio de datos.
Analisis Multivariado.
Tecnicas de Regresion.
Series de Tiempo, entre (muchas) otras.
Inferencia Estadıstica.
Bondad de ajuste, tecnicas graficas.
Analisis de Sensibilidad.
Comunique sus resultados!
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Investigacion Estadıstica
Metodo Cientıfico:
Observacion sistematica, medicion y experimentacion, y la formulacion, analisis ymodificacion de las hipotesis.
I Etapas de una Investigacion Estadıstica.
– Formulacion del problema.
– Diseno del experimento.
– Experimentacion y recoleccion de datos.
– Tabulacion y descripcion de los resultados.
– Inferencia estadıstica.
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Conceptos basicos
I Poblacion: Conjunto de entidades (indivıduos, elementos) desde los que se deseaextraer informacion, i.e. hacer inferencias.
I Muestra: Es un subconjunto de la poblacion, seleccionada de acuerdo a unaregla o plan.
I Variable: Caracterısticas o atributos de los elementos que conforman la
poblacion.
• Categoricas: Particion en dos o mas clases (variables discretas o factores).
– Binarias: solo dos categorıas (masc/fem, fumador/no fumador).
– Nominal: no existe orden entre categorıas (paıs de origen).
– Ordinal: categorıas tienen un orden natural (leve/moderado/grave).
• Cuantitativas: Pueden adoptar infinitos valores sobre un conjunto (R).
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Tipos de muestreo
Ejemplo: Datos del SIMCE.
I Regiones geograficas.
I Niveles educacionales: 2o, 4o, 8o basico; 2o medio.
I Dependencia: Municipal, Subvencionado, Particular.
I Area: Urbano, Rural.
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Tipos de muestreo
I Muestreo Aleatorio Simple (m.a.s.)
Todas las muestras posibles de tamano n desde una poblacion de tamano N
tienen la misma probabilidad de ser escogida.
I Muestreo Estratificado
Se emplea cuando la poblacion esta agrupada en varios grupos homogeneos oestratos. Luego, se obtiene una m.a.s. desde cada estrato.
I Muestreo Sistematico
En este caso las unidades de la poblacion estan ordenadas y se selecciona lamuestra aprovechando este ordenamiento.
Suponga que se desea una muestra de tamano n desde una poblacion de tamanoN y considere K el entero mas cercano a N/n. Se escoge un numero al azarentre 1 y K, luego se selecciona una observacion cada K observaciones hastaobtener una muestra de tamano n.
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Tipos de muestreo
I Muestreo por Conglomerado
Se emplea cuando la poblacion esta dividida en grupos pequenos. Consiste enuna m.a.s. de conglomerados y luego se censa cada uno de estos.
I Muestreo en dos Etapas
Primero se selecciona una muestra de unidades primarias y luego se realiza unmuestreo desde cada muestra escogida.
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Grafico Circular
Grafico circular: se usa para representar magnitudes en frecuencias o porcentajes. Ellargo de arco (i.e. area) de cada sector es proporcional a la cantidad que representa.
Ejemplo: Distribucion de colores en bolsitas de M&M (chocolate de leche)
Azul (24%)
Café (13%)
Verde (16%)
Naranja (20%)
Rojo (13%)
Amarillo (14%)
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Grafico Circular
Ejemplo: Proporcion de poblacion anglofona en el mundo
58.5%
15.8%
4.7%
4.0%
17.0%
USAUKCanadaAustraliaOtro
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Grafico Circular
Limitacion: Grafico circular de un arcoiris.
12
3
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6
7
8
9
1011
121314
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21
2223
24
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Grafico Circular
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Grafico de Barras
Grafico de barras (bloques): la magnitud de la variable es representada por la alturade un rectangulo. Permite una mejor comparacion que juzgando areas relativas.
Ejemplo: Promedio prueba SIMCE Lenguaje en 631 establecimientos de Valparaıso.
Municipal Particular Subvencionado
Puntaje en la prueba SIMCE − Región Valparaíso, 2do básico, 2012
punt
aje
050
100
150
200
250
300
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Grafico de Barras
Municipal Particular Subvencionado
Puntaje en la prueba SIMCE, Lenguaje − Región Valparaíso
punt
aje
050
100
150
200
250
300
2do4to8vo
Municipal Particular Subvencionado
Puntaje en la prueba SIMCE, Lenguaje − Región Valparaíso
punt
aje
020
040
060
080
0 2do4to8vo
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Grafico de Barras
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Histograma
Histograma: usa rectangulos para visualizarfrecuencias y proporciones. Se debe:
I dividir el rango de los datos en “bins”
I contar el numero de observaciones encada clase
I dibujar rectangulos representando lasfrecuencias o porcentajes
Ejemplo: Diametro (mm) de pernos produ-cidos por una maquina en un dıa.
72 61 76 76 67 67 7777 72 69 62 71 67 6371 81 64 72 73 72 7873 76 65 84
diámetro
frecu
enci
a60 65 70 75 80 85
02
46
8
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Histograma
Reglas para escoger el numero de bins:
I Raız cuadrada:k =
pn,
I Regla de Sturges:k = 1 + 3.3 log10(n),
I Regla de Rice:k =
⌃2n1/3⌥
,
I En general es posible considerar
k =lmax{x}�min{x}
h
m,
donde h es el “ancho de ventana”.
I Otros tipos de reglas: Doane, Scott, Freedman-Diaconis.
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Histograma
x
Den
sida
d
0 2 4 6 8 10 12 14
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
x
Den
sida
d0 2 4 6 8 10 12
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
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Funcion de distribucion acumulada empırica (ojiva)
Fn(x), cdf empırica, atribuye a cada valorde x, la fraccion de datos menos o igual ax, i.e,
Fn(x) =1
n# elementos x
=1
n
nX
i=1
I{xix}.
Funcion de sobrevivencia:
Sn(x) = 1� Fn(x).
65 70 75 800.
00.
20.
40.
60.
81.
0
Diámetro de pernos producidos por una máquina
x
Frac
ción
acu
mul
ada
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Funcion de distribucion acumulada empırica
x
Den
sida
d
0 2 4 6 8 10 12 14
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0 2 4 6 8 10 120.
00.
20.
40.
60.
81.
0x
Frac
ción
acu
mul
ada
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Diagrama de dispersion (scatterplot)
Se utilizan cuando tenemos pares deobservaciones
(x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn),
que pueden ser descritos por algunafuncion
Y = f(x).
Permiten identificar:
I relaciones funcionales
I agrupaciones
I direcciones de asociacion
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−0.3 −0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2
−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
IPSA
Con
cha
y To
ro
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Diagrama de dispersion (scatterplot)
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0 2 4 6 8 10 12
05
1015
Observaciones ordenadas
Qua
ntile
s di
strib
ució
n ch
i−cu
adra
do
Concentration (ppm)Ve
loci
ty ((
coun
ts/m
in)/m
in)
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
5010
015
020
0
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Series de tiempo
Algunos conjuntos de datos tienen un ordenamiento natural, por ejemplo el tiempo.
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Años
Cau
dal r
ío N
ilo
1880 1900 1920 1940 1960
600
800
1000
1200
1400
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Series de tiempo
Time
Fem
ale
deat
hs
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980
400
600
800
1000
Time
Mal
e de
aths
1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980
1000
1500
2000
2500
Muertes por bronquitis, enfisema y asma en UK, 1974-1979.
47 / 52
Series de tiempo
Analisis de puntos de cambio (Chen y Gupta, 2011).
48 / 52
Otros tipos de graficos
Coordenadas de las muestras de suelo
X
Y
1000 2000 3000 4000 5000
1000
2000
3000
4000
5000
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Concentracion de Plomo
x
1000
2000
3000
4000
y
1000
2000
3000
4000
5000
Pb
5000
10000
15000
20000
49 / 52
Otros tipos de graficos
Flamabilidad de nanotubos Estudio reproductivo con roedores
Weight of rat pup (g)
Litte
r98742
101356
2122242726252317111413151620191812
4 5 6 7 8
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● ● ●Control Low High
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Otros tipos de graficos
Comparacion del patron de crecimiento de dos genotipos de plantas de soya (Davidiany Giltinan, 1995). Variedad comercial (F), Variedad experimental (P).
Time since planting (days)
Leaf
wei
ght/p
lant
(g)
0
5
10
15
20
25
30
20 40 60 80
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F
20 40 60 80
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P
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Referencias adicionales sobre graficos en Estadıstica
Chambers, J.M., Cleveland, W.S., Kleiner, B., and Tukey, P.A. (1983).Graphical Methods for Data Analysis.Wadsworth & Brooks/Cole.
Cleveland, W.S. (1993).Visualizing Data.Hobart Press, Summit.
Murrell, P. (2005).R Graphics.Chapman & Hall/CRC Press.
Sarkar, D. (2008).Lattice: Multivariate Data Visualization with R.Springer. URL: http://lmdvr.r-forge.r-project.org
Wilkinson, L. (2005).The Grammar of Graphics, 2nd edition.Springer.
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