l.wa

\oüo- q,, h {rV 4 I,ri L1',,r A'c I

^{ ,:Uyfr" . W cL^ / §á fu,,.

(,tr16)

2.Marco histórico

del álgebra

2.1. INTRODUCCION

La historia de la matemática ha sido utilizada por la didáctica de lamatemática bajo distintos puntos de vista: desde informaciones históricasque sirven para motivar un tema nuevo, hasta la construcción de secuenciasdidácticas inspiradas en la progresión histórica seguida en el desarrollo dealgunas teorías. En cualquier caso, la historia nos ofrece diferentes ideas parala actividad didáctica e incluso puede ser utilizada por el profesor comoreferencia para anticipar dificultades o errores posibles en el aprendizaje delos alumnos.

Expondremos en este capítulo los conceptos básicos del álgebra dentrode su marco histórico, partiendo del «contexto» que sirvió de base en laantigüedad para elaborarlos. con el ñn de que puedan ser utilizados tambiénhoy como «contexto» para construirlos en clase.

Esto nos permite satisfacer diversas necesidades, tales como:

-- Representar las matemáticas como parte de la cultura humana qucevoluciona con ella, preparando así el terreno para llegar a la organi-zación que los conceptos matemáticos tienen actualmente.

- Reconocer la importancia del lenguaje simbólico y de las técnicas, ylas insuficiencias y ambigüedades de cada formalismo.

-- Construir o profundizar los conceptos matemáticos que se han elegidopor medio de la diversidad con la cual cada época los presenta.

Se pueden crear secuencias didácticas, por ejemplo, reflexionando sobreel simbolismo de cada época, viendo las posibilidades y los lirnites de cadauno en particular, insistiendo en los niños en la idea de que las matemáticasevolucionan y que no es una ciencia hecha y lija.

it,V

3',1

- No,obstante, este planteamiento presenta algunos problemas para llevar-lo a cabo. Entre ellos destacamos Ia imposibiiidad de presentar a los niñoslos temas con una exactitud histórica, ya que determinados formalismos odemostraciones exceden su nivel de conocimiento. En estos casos es precisohacer una adaptación a las diferentes edades, sin, por ello, deformar larealidad histórica.

2.2. INICIOS DEL ALGEBRA Y CLASIFICACION (J

El álgebra se caracteriza por sus métodos, que conllevan el uso de letras yexpresiones literales sobre las que se realizan operaciones. Está presente entoda la matemática, pues cuarquier probrema termina convirtiéniose en uncálculo más o menos algebraico.

En las últimas décadas, el árgebra ha cobrado gran importancia. susaplicaciones se han multiplicado debido a problemas ticnotogicos, al análisisy también a la fisica, que ha podido e*piesa. cuestiones fundamentares demec'ánica cuántica por medio de expresi,ones algebraicas.

Para dar una idea de los inicios áel álgebra es imprescindible remontarseal concepto de número. ros número.

"ran percibidos por ros

"oligro, "o*ouna propiedad inseparable de una colección de objetos, propiedaá que ellosno podían distinguir claramente. Más adelant",

"par".en1as operaciones con

nümeros -como

reflejo de ras relaciones entre los objetos .áncr.tor, y roshombres fueron descubriendo y asimilando las relacioies entre los números.Finalmente, a medida que la vida social se hizo más intensa y complicada,fueron apareciendo problemas más complejos que impulsaron á perfeccionarlos nombres y «símbolos»> de los númeios.

. La primera etapa hacia ros signos matemáticos y las fórmuras en generar,la constituye la aparición de los símboros numéricás, qu" upur.niemente seprodujo al mismo tiempo que ra escritura y que jugó

"n pap.t run¿amentat

en el desarrollo de la aritmética. Todavía Ánirt" tÉmpo,'cualquer ley o taresolución de un probrema matemático se expresaba

"on putaüras, pues rautilización de signos para las operaciones aritméticas y r" ¿"rigouáón literalpara Ia íncógnita tuvo lugar mucho mas tarde.

La palabra «ALGEBRAT» proviene del título de un libro Ar-jabr (algunosusan Al-gebr) w'al'muqabarah-, escito en Bagdad, alrededor ¿"i"no g25 porel malemático y astrónomo Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi (Moham-med hijo de Musa nativo de Khwarizm), que muestra en sus trabajos raprimera fórmula general para ra resolución de ecuacion"s- ae primero ysegundo grados.

F'I iítulo Al-jabr w'al-muqabalaá significa <<ciencia de ra restauración yoposición» o «transposición y eliminación>) o, como expresa carl Boyer, la

38

IlT-U*j.

l

ta

transferencia de términos al otro miembro de la ecuaciOn 1al...iuhr¡ y tacancelación de términos iguales en ambos miernbros de la $cu¿rsión (al-muqabalah),

Así, dada la ecuación

x2+3x*7:7-2x+4xl

al-jabr da

x2+5x*'l:7*4x3

y al-muqabalah da

x2+5x:4x

Esta obra fue traducida al latin en los primeros años del siglo xlt porJuan de Sevilla y Gerardo de Cremonar y con el tiempo se le llamó simple-mente Algebra.

El origen del vocablo responde satisfactoriamente al contenido real de laciencia misma. El álgebra comienza en realidad cuando los matemáticosempiezan a interesarse por las «operaciones» qu€ se pueden hacer concualquier número, más que por los mismos números; es, en esencia, ladoctrina de las operaciones matemáticas considerada formalmente desde unpunto de vista general con abstracción de los nú¡neros concretos.

Para estudiar la historia del álgebra dividiremos su desarr«:llo en tresfases:

La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. deC., se caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución deecuaciones. Dentro de esta fase encontramos un álgebra desarrollada por losgriegos (300 a. de C.), llamada álgebra geométrica, rica en métodos geométri-cos para resolver ecuaciones algebraicas.

La introducción de la notación simbólica asociada a Viéte (1540-1603),marca el inicio de una nueva etapa en la cuai Descartes (1596-1650) contri-buye de forma importante al desarrollo de dicha notación. En este momento,el álgebra se convierte en la ciencia de los cálculos simbólicos y de lasecuaciones. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como Ia teoría de los«cálculos con cantidades de distintas clases>> (cálculos con números raciona-les enteros, fracciones ordinarias, raices cuadradas y cúbicas, progresiones ytodo tipo de ecuaciones).

Cabe señalar en este período los trabajos del ya mencionado en elcapitulo 1, George Peacock (1791-1858), tendentes a fundamentar y justificar

'!

:¡ lr.¡tl

39

las .,rperaci<)nes con ex¡:rcsíones llterales. A éi se debe el irp*incipio crcpermancncia» que decia:

«Todos ros resurtados der árgebra arirmética que se deducen por apricaciónde sus reglas, y que son generales en ,su.forma, oinq* p,orii*uiníus un ,u ,olor,son iguarmente resultados der árgebra ii*toujro, airaí lrr"l"nerares tanto ensu ualor como en su forma»

distinguiendo entre álgebra aritmética, donde ras retras representan númerosnaturales y los signos + y - tienen el significado "rit*¿ii"o o.tirario, y elálgebra simbólica, donrle siguen actuandlo las leyes del árgebra aritmética,pero se elimina la restricción a los naturales.

EI principio de permanencia afirmaba qu.e todas las reglas que se verili-can con los naturales,-por ejemplo, conmutativa y asociativá de ü suma y dela multiplicación, y aistriuut¡va á. tu *uttiplicación respecto de la suma,seguían verificándose para rodos ros demás ,ü,,".or; ;;j;,* ,"presentadospor las letras. Así, ra importancia der significado d" I", ;il;;ros quedó:l=,0, a un segundo término anre I; primacía de los ,i*iolo, por símlsmos y sus leyes de combinación; por ejemplo, lo ,,li"ián'significarácualquier proceso que se ajuste a deteráinadas leyes.

Hasta este momento, rrnales del sigl0 xvrrl y primera mitad der xrx, elálgebra era la ciencia {1 ias-

""uu.ián"r'y su problema fundamental radicabaen la teoría de resolución de ecuacioneí algebraicas.En la segunda mitad del sigro xrx, et aitJbra presentó un notable impurso

*qiq" a grandes matemáticás, .ntr. ioí "uul", destacamos las ideas deGalois. (1801-1832) sobre ra teoiía dc.*"ion., algebraicas. Teorías tarescomo la de grupos, determinantes y matrices, por citar algunas, arcanzaronun profundo desarrollo.

Todo esto favoreció el nacimiento der áJgebra abstracta contemporánea(3." fase), Ilamada argunas veces álgebra moderna. En este período se prescin_de de los números, de ahí el norib¡e ¿" uurtrr"t", y los objetos utirizadospueden ser cualcsquiera (matricer, ,aa*oaar, ,ensores, etc.) sobre los cuares sedefinen ciertas operaciones que verifican unas determinadas pr.piedades,construyéndose er álgebra a partir de axiomas previamente definidos.E¡ la actuaridad, ra revolución de los ordenadores está creando nuevosproblemas sobre ra mecanización de ros cálculos argebraicos, Io que lógica_mente conducirá a un desarrollo aún mayor del álfebra. -' -- r

I-a.notación algebraica presenta tumúiér, tres períodos claramente dife-renciados:

' El periodo retórico o verbar, en er cuar ras operaciones se describíancon parabras. Esre período se exriende ¿erae rás uabit'Jo, lizoo ".

a"C) hasra Diophante (250 d. de C.).' El periodo sincopado o abreviado, cuando empiezan a utilizarse aigu-

40

nas abreviaciones para simplificar la resolución de los problemas. H,steperíodo comienza con l)iophante y dura hasta comienzos del siglo xvr.

La ecuación 2x3 +- 8¡ .'- (5r' + 4) : 44 se escribía en notación deDiophante asi:

K'É s4 /r A-e Mó éoú( ¡tá

x32 x8 - x25 1.4 : 44

. El período simbólico aparece en el siglo xvr y utiliza ya diferentessimbolos y signos matemáticos. Esta notación que fue más o menosestable en tiempos de Isaac Newton (1642-1727), se mantiene actual-mente sin uniformidad total. Este período coincide con la 2." faseanteriormente indicada que, como hemos señalado, está asociada alnombre de Vidte, el cual comenzó a denotar por letras no sólo lasincógnitas, sino números dados previamente.

Asi, la ecuación

x5 - 15x4 * 85x3 - 225x2 -l 274x: 120

la escribía como

IQC - 15QQ + 85C - 225Q + 274N aequatur 120

Nuestra notación moderna es debida a Descartes (1596-i650), conligeras modificaciones posteriores

x3-6xx*13x-10oc0

El desarrollo histórico que hacemos a continuación no será lineal, sinoque nos vamos a lijar en tres aspectos que nos parecen fundamentales: elálgebra geométrica de los griegos, que nos permite descubrir estrechas rela-ciones con Ia geometría, la resolución de ecuaciones a través de los tiempos,por su incidencia directa en la enseñanza y el álgebra moderna, por loscambios introducidos en ella.

2.3. EL ALGEBRA GE0METRTCA (1,

Los griegos, aunque se cree que conocían los métodos de los babilonios(métodos puramente algebraicos) para la resolución de ecuaciones, desarro-llaron métodos geométricos para resolverlas y comprobar diversas propieda-des.

41

En el libro II de los Elementos,de Euclides (300 a. de c.) (ei más corto de

todos ellos), hay 14 proposiciones que permiten resolver problemas algebrai-

cos. Actualmente, nuestla álgebra simbólica los resolveria rápidamente, pero

el valor didáctico del álgebra geométrica es importante.Citaremos a continuación la forma de probar la propiedad distributiva y

resolver ecuaciones.La proposición I dice:

«Si tenemos dos líneas rectas y cortamos una de ellas en un número

cualquiera de segmentos, entonces el rectángulo contenido por las dos líneas

reclas es igual a los rectángulos contenidos por la línea recta que no fuecortada y cada uno de los segmentos anteriores.»

Esto es:

AD'AC: AD'AB + AD'BCb(a+c):b'a*b'c

como podemos ver, es la propiedad distributiva del producto respecto de lasuma. De forma análoga se demuestran las propiedades asociativa y conmu-tativa del producto.

La proposición 4 nos permite verificar la expresión

(x*Y)':x2*Y2+2xY«Si una línea recta se corta de una manera arbitraria, entonces el cuadrado

construido sobre el total es igual a los cuadrados sobre los dos segmentos y dos

oeces el rectángulo contenido por ambos segmentos» (Fig. 2.1).

(x+y)':jr2+y2+ZxY

x2 x'y

x'y v'

42

Irigura 2"1

43

Con la misma habilidad eran capaces de resolver ecuaciones cuadráticasde los tipos ax - x7 - b'y ax + x2 : b2.

La representación geornétrica de estas situaciones viene dada por laconstrucción sobre un segmento a, de un rectángulo cuya altura desconocidax debe ser tal que el área del rectángulo considerado exceda del área dada enel cuadrado de lado x, en el primer caso

ax-x?:b2

con los segmentos a y b verifrcando la relación a > 2b.

+X+

y en el segundo ax + xz : á2, que se quede corto respecto del área l.

A

-X-De esta forma, Ios griegos consiguieron r€solver las ecuacioncs cuadráti-

cas por medio de los procedimientos conocidos como de «aplicación deáreas». He aquí cómo lo hacian en el primer caso. Se basaban en la proposi-ción 5, que dice:

«Si corlamos una línea recla en segmentos iguales y desiguales entonces elreclángulo contenido por los segmentos desiguales del total, junto con el cua-drado construido sobre la línea recla enlre los puntos de corte es igual alcuadrado sobre la mítad.»

En nuestra notación, para resolver la ecuación de segundo gradoax - x2 - b2, la aplicación de la proposición anterior equivale a losiguiente: sobre la linea recta l.B, determinamos un segmento AB : a !construimos un rectángulo ABMKde área a 'x. Fijando en éste un cuadradode lado x, DBMH, obtenemos un nuevo rectángulo ADHK de área ax - x2,que es igual al área de un cuadrado de lado á.

A

D*-x.-_*..'..üf

Completando ahora la figura con otro cuadrado de lado af2, CBFE, se

deduce, del uso de la proposición 5 que el cuadrado CBFE de área (alT)zexcededel rectángulo ADHK de área ax - x2 : b2,enel cuadrado LHGEde lado al2 - x; es decir,

_bz

que permite solucionar la ecuación dada ax - x2 : bz,con

NOTA: Los segmentos a y ó verifican la relación a > 2b.

En el segundo caso se basaban en la proposición 6, que dice:

«Si se carta en dos partes iguales una linea recta y se le añade (siempre enlínea recta) otra línea recta, enfonces el rectángulo contenido por el total (conla línea recta añadida) y la línea recta añadida,junto con el cuadrado construi-do sobre la mitad, es igual al cuadrado construido sobre la linea rectaformadapor la mitad y la línea recta añadida.»

En nuestra notación, para resolver la ecuación de segundo gradoax + )c2 * b2, la aplicación de la proposición anterior equivale a losiguiente: sobre la línea recta AB, delerminamos un segmento AB = a yconstruimos, por una parte, un rectángulo ABHK de área a.x, ! de otra,por prolongación del segmento AB elrectángulo ADMK de área ax ¡ x2,que exceda al rectángulo anterior en un cuadrado de área x2, y que es igualal área de un cuadrado de lado á, es decir, ax * xz *, b2.

Completando ahora la figura con otro cuadrado de lado all, LHGE y

44

tal2+x

+

(;- .)' : (1)'

,: r-

C B D

a/2

I

L H

F

-alZ

* x-'>

con un rectángulo de lados x y afl, HMFG, tenemos de la proposición I que

el área del cuadrado CDFE es igual a

x2+ax

donde la distancia CD : j. * . es igual a

fil ..es decir,

que permite solucionar la ecuación ax + x2 - b2.

2.4, RESOLUCION DE ECUACIONES

. Ecuaciones lineales (fl)

Una ecuación lineal es una expresión de la forma ax * b : c, donde x es

la incógnita y a, b y c son números conocidos. Para obtener la soluciónprocedemos asi: sumamos el opuesto de b en los dos miembros:

ax+b+(-á):c*(*á)ax=c-h

iI

(?)' .

45

multiplicamos por el inverso de a:

i1;or:-(c-h)

y obtenemos la solución de x:

c-b

Pero para llegar al proceso actual de resolución han pasado más de tresmil años.

Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhind

-1650 a. de C.-_ y el de Moscú

-1850 a. de C.-) multitud de problemas

matemáticos resueltos. La mayoría de ellos son de tipo aritmético y respon-dian a situaciones concretas de la vida diaria; sin embargo, encontramosalgunos que podemos clasilicar como algebraicos, pues no se refieren aningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían unasolución realizando operaciones con los datos de forma análoga a como hoyresolvemos dichas ecuaciones.

Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:

x+ax:bx+ax*áx:0

donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denomina-ban «aha»> o «montón».

Una ecuación lineal que aparece en el papiro de Rhind responde alproblema siguiente:

«Un montón y un séptimo del mismo es igual a 24»

en notación moderna, la ecuación sería:

x*lllx:24

La solución la obtenían por un método que hoy conocemos con el

r... nombre de «método de la falsa posición» o «regula falsi»». Consiste en tornar

§ un valor concreto para la incógnita, probamos con é1 y si se verifica la-' igualdad ya tenemos la solución, si no, mediante cálculos obtendremos lasolución exacta.

Supongamos que fuera 7 la solución, al sustituir en la x nos daria

46

#F

i 7 + ll7' 7 : 8, y oomo flue$tra solución es 24, es decir, I. 3" 1.1 sulircií¡n es

2l : 3 '7, ya que 3(7 + ll7'7) : 24.Generalmente, el cálculo de la solución correcta no era tan fácil como en

este caso e implicaba numerosas operaciones con fracciones unitarias (frac-ciones con numerador la unidad), cuyo uso dominaban los egipcios. Encuanto al simbolismo, solamente en algunas ocasiones utilizaban el dibujo deun par de piernas andando en dirección de la escritura o invertidas, pararepresentar la suma y resta, respectivamente.

- Los babilonios (el mayor número de documentos corresponde al período600 a. de C. a 300 d. de C.) casi no le prestaron atención a las ecuacioneslineales, quizá por considerarlas demasiado elementales, y trabajaron más lossistemas de ecuaciones lineales y las ecuaciones de segundo grado.

Entre las pocas que aparecen, tenemos la ecuación 5x : 8. En las tablasen base sexagesimal hallaban el recíproco de 5 que era L2160 y en la tabla de

multiplicar por 8, encontramos t # :, #Las matemáticas babilónicas abarcaban generalmente soluciones aproxi-

madas de las ecuaciones determinadas y utilizaban fórmulas tales como:

(a+b)2=a21-Zab+b2(a + b)(a * á): az - b2

Los matemáticos griegos no tuvieron problemas con las ecuaciones linea-

^ les y, exceptuando a Diophante (250 d. de C.), no se dedicaron mucho al

§ álgebra, pues su preocupación er4 como hemos visto, mayor por la geome-

-\ tría. Sobre la vida de Diophante aparece en los siglos v ó vt un epigramaalgebraico que constituye una ecuación lineal y dice:

«Transeúnte, ésta es la tumba de Diophante: es él quien con esta sorpren-dente distribución te dice el número de años que uiuíó. Su juuentud ocupó lasexta parte, después durante la docearsa parte su mejilla se cubrió con el primeruello, Pasó atin una sépfima parte de su aida antes de fomar esposa y, cincoaños después, tut)o un precioso niño gue,unaaez alcanzada la mitad de la edadde su padre, pereció de una muerÍe desgraciada. Su padre tuao que sobretsiuirle,llorándole, durante cuatra años. De todo esfo, deduce su edad.»

Los primeros documentos matemáticos indios que existen (datan del siglour d. de C.) son los Sulvasütras, donde se recogen todos los conocimientosnecesarios para construir los templos. En éstos aparece el siguiente proble-ma:

«Hallar el lado de un rectángulo, conociendo el otro lado y sabiendo que su

área es igual al área de un cuadrado dado.»

47

..t

Esto es:

es decir,

ax: bz

Lo resolvían utilizando el método de la falsa posición, como los egipcios.Posteriormente, Brahmagupta (siglo vu) expresa, ya de forma sincopada,

cómo resolver ecuaciones lineales. La incógnita la representaba por la abre-viatura «ya», y las operaciones por la primera sílaba de las palabras.

Dada la ecuación ax * b : cx * d, la solución vendrá dada dividiendola diferencia de los términos conocidos entre la diferencia de los coeficientesde los desconocidos; esto es,

Estos métodos pasaron a los árabes que lo extendieron por Europa. Alalgebrista Abu-Kamil (siglos Ix y x) se le atribuye una obra donde trata lasolución de ecuaciones lineales por simple y doble falsa posición.

El método de la «doble falsa posición» es el siguiente:Sea la ecuaciín ax + b : 0 y supongamos dos valores para la r:

x:m) am*b:n'!i , entonces 'i tl]x:n) an +b:Q.l

restando,

a(m-n):P-q

Por otra parte, eliminando a en []

y dividiendo ambos resultados,

o también

pn-qmp-q

siendo esto último el valor de x.Veamos un ejemplo. Sea la ecuación 5x -

valor de x: x : 3 y x : 4, y sustituyendo,

-.! : -P*:- -!b pn- qm

b

a

10 : 0, si tomam«:s como

5.4 - 10 : pl5'3 - 10: lJ

se tiene que

10' 3 - s.4Y:------:,' r0-5

30-20 10-2

amn*bn:pn1amn*bm:qmJ

Este principio fue posteriormente presentado en una forma ligeramentemodificada por el «método de las escalas». El nombre proviene de undiagrama que permitia escribir la solución rápidamente:

Las dos lineas de la izquierda representan p y S y las de la derecha m y re

y la cruz del centro indica que hay que multiplicar.El método puede ser sintetizado como sigue:

1. Consideran dos valores cualesquiera de la incógnita m, n.

2. Calculan los errores correspondientes a ellos p, q.

3. Hallan el valor de la incógnita en función de los valores dados y sus

errores.

En nuestro ejemplo,

que restando,

,s,

b,

.s

a

48

b(n*m)*pn*qnt

t2)

10 --=-_-r /---- 4\.,'

--3

49

con lo cual,

10.3 - 5.410-5

l\. Ecuaciones cuadráticas: G,

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una expresión de laf.orma axl *. bx * c : 0, donde x es la incógnita y a, b y c son númerosconocidoscona*0.

Resolver esta ecuación consiste en hallar los valores de x que la sa-tisfagan.

En los documentos egipcios casi no aparecen estas ecuaciones y en lospoquisimos casos que se encuentran, no parece que conocieran un tratamien-to sistemático para su resolución. Sin embargo, los babilonios sí que lasresolvian con soltura.

Las tablas de raíces cuadradas que poseían les permitieron resolverinmediatamenteecuacionesdelaforma xz + px: q;xz : bx * cyx2 + c: bx. A menudo llamaban a la incógnita «longitud>r y a su cuadrado,«área».

Entre los problemas resueltos, tenemos el siguiente:

«Hallar el lada de un cuadrado si su área menos el lado es igual a 870.»

Expresamos su solución en notación retórica (columna de la izquierda) yen la notación actual (columna de la derecha):

Toma la mitad de 1 que es 0,50 y multiplica0,50 por 0,50, que es 0,25. Suma este númeroa 870, lo que da 870,25. En las tablas com-probamos que éste es el cuadrado de 29,50.Suma 0,5 a 29,5 y el resultado es 30, el ladodel cuadrado.

xz * x: 870

P:l ; plT:0,54

bl2)2 : 0'25

4 :870q+@12)':87A,25

«pl*+q*pfZ:x29,5+0,5:30

que es laraíz de la ecuación:

50

Sin embargo, la segunda solución no la obtienen.

x2-px:q

51

Hacemos notar qu$ en los textos originales trabajan en base suxagesirnal.

Posteriormente, los griegos del período alejnndrincr abandr:naron los

métodos del álgebra geométrica y se acercaron a los métodos de los babilo-

nios.Herón (100 d. de C.) resuelve la ecuación x2 + 4x : 896, buscando un

cuadrado Perfecto:

x2 + 4x * 4:900(x+2)2:900

x*2:30; x:28

Diophante, el mayor de los algebristas griegos, distingue tres clases de

ecuaciones cuadráticas:

axz+bx:cax2:bx*caxz+c*bx

para cada una de las cuales tiene un método especifico de solución.Los híndúes (rv d. de c.) en los tratados sobre la construcción de altares

resuelven ya ecuaciones cuadráticas del tipo axz + bx : c. Trabajos poste-

riores ofrecen con detalle métodos de resolución Aryabhata (500 d. de C') da

la regla para resolver la ecuación 6x2 + 100x - 1600 : 0, mediante el

álgebra retórica, que expresada en nuestra notación:

1@-loo¡z6

podemos expresarla con la fórmula actualmente utilizada

-1oot@12

Como vemos, las dos son exactamente lo mismo, con la excepción de que

Arybhata elimina la raiz negativa.Brahmagupta da dos reglas que podemos expresar simbólicamente:

-b-JF-4ac2a

Multiplicamos el término independiente porel coeficiente de la x2, añadimos el cuadradode la mitad del coeficiente del término en xy a su raiz cuadrada le restamos la mitad deltérmino independiente, que dividido por elcoeficiente del término en x2 nos da el valorde la incógnita.

1/Zabx

a2 x2

52

bl2 xz-rbx:c

53

Como a.r2 't úx : c, sustituimos azxl * abx por c'i::

Trabajos posteriores, tales como ros de srídhara (siglo x) y Bháskara(siglo xr) descrihen que la ecuación cuadrática tiene áos ,ái."*, que unnúmero negativo no tiene raiz, y que un número negativo puede ser raiz d,eun número positivo.

El método utilizado en el álgebra hindú es esencialmente el «método decompletar cuadrados», usando nuestra notación desarrollaríamos así:

Sea la ecuación ax2 + bx = c

Q'C

/ b\2,., + \l) trl

Por otra parte, el área del cuadrado total es (ax * á/2)2, siendo la

longitud del iado

(ax + blT)

De [I] deducimos que la iongitud del lado será:

ilrl

e igualando con [II] resulta

y despejando la incógnita:

Los conocimientos algebraicos de los indios p¿saron a China y al Oeste a

través de los árabes. Sin embargo, éstos también recogieron los trabajos de

los griegos y por ello su álgebra incluye pruebas geométricas para resolverecuaciones.

Al-Khwarizmi distinguía tres tipos de ecuaciones cuadráticas:

x2+bx:cx2*bx*cx2+c:bx

Como vemos, no incluían términos negativos y las soluciones negativas

tampoco eran aceptadas.Las demostraciones de sus métodos fueron geométricas. Por ejemplo,

para resolver

a'c

+g'

t/2abx (azxz + 'u,, o

G)'

bax + i:

,\tr;-,l/ñ¡-*- b

,:.1\r-Y:¿a

Desde el punto de vista didáctico se tiene una interpretación geométricasugerente:

El métod, consiste en sumar el área rayada de la ligura al resto:

b

1

bl2

utilizaban el equivalente a la aplicación de la fórmula

XE

Tal mótodo era justificado de la siguiente forma:El área del cuadrado de la figura siguiente puede ser expresada como

l. *,(i)]' o xz + ^ff). -(f)

Simplificando e igualando estas expresiones,

(,*)':*

y volviendo a la ecuación original tenemos

_b2lbx*:4

bz:"*T(,.)'

y hallando la ra:u" cuadrada,

b, + r:esto es, la solución buscada será

(,)' . ,-,

5455

Michael Stifel (1487-1567) fue el primero que usó términos negmtivos en

,*r;;;;;"es- consideró trás clasei de ecuaciones cuadráticas:

y da como soluciones

*:ffi'*LIJn avance importante surgió con Frangois Viéte' No solamente introdu-

io una notación "rg"ü"ililoo qu" también reemplazó los. métodos basa-

'u""Je; ptr.ú", e.;-¿tricas por otros estrictamente algebraicos'

Por ejemPlo, resolvamos

x2+bx:c

Se supone que x puede expresarse como la suma de dos números u y z'

SustituYendo en la ecuación,

x2:c-bxx2:bx-cx2=bx*c

(u+z)2+b(u*z)-cu1 +(22+b)u+22+bz:c

btomamos z = -l

luego

^bzu'-r:,

u:

y a partir de r.r, obtendtemos por sustitución el valor de x'

viéte estudió también las ielaciones entrB los coeficientes y las raíces de

la ecuación cuadrática e introdujo un método de aproximación'

La resolución de una ""uuáóo

de segundo grado también se puede

reallzar grálicamente. Damos valores arbitrarios ala x y con ios valores quetc¡ma la expresión axt + bx * c trazarnos ei gráficr:, que resulta ser unaparábola. Los valores en que la gráhca corta al eje ol', son las soluciones dela ecuación.

Por ejemplo, sea x2 * x - 6 : !, cuya representación es la siguienteparábola:

luego las soluciones son:

x=2 y x.--3Si tenemos una parábola que no corta al eje OX, como en el caso x2 + c,

con c > 0, las raíces de la ecuación vendrían dadas por los númerosc<rmplejos x : +ir[i.

Los griegos conocieron bien la parábola y sus propiedades y las otrassecciones cónicas. sin embargo, sus proposiciones iban encaminadas a anali-zar las relaciones entre las secciones cónicas y las expresiones relativas a dosvariables x e !, y nn a la solución grálica de ecuaciones.

A Descartes debemos en gran parte la aproximación moderna de laclasifrcación de las ecuaciones por grado y la relación de la geometría y elálgebra, que hacen posible la combinación de los métodos algebraicos ygeométricos.

. Ecuaciones dc grado mayor que dos 'i,

Comencemos por estudiar las ecuaciones de grado 3, que como es sabidoresponden a la ecuación general

ax1+bx2+cx*d:Odonde e, b, <:,4 son números reales y a * 0.

56

fl' Los bahilonios nos han <iejado varios ejemplos de resolución cie §cuacio-

1,., fi ;;;; ;;. ñ4:, lll,*.,i l";':: iL ;,: ::,"'::llllTl Íl'fiffi :i:nes cuorua)'. ^ "^. "''"'^.f . ban con soltura, y, cuando laI", ,rt tablas de raíces cúbicas que maneJa

"oluciónnoeraexacta,realizabanunainterpolaciónlinealparabuscarunailffiffi;-De forma simiiar hailaban las soluciones de

x3+x2:a

buscando en las tablas el Producto

xz(x+l):a

En casos más general€s como

x2(l2x + l) :114

realizaban las siguientes operaciones: se multiplicaban por 122'

(l2x)2(l2x*l):252

realizando el cambic¡ I : llx, se tiene

Y2(Y * l) :252

v una vez hallado el valor de y, se reducia el problema a la solución de la

ácuación lineal citada 1Y : lZx)'

Lo que no ,ub.*ol'es si resllvían la ecuación cúbica de tip<l general

axl+bxz+cx*d:0

Hipóuates de Quios (430 a' d: 9) ftl el primero que observó que el

famoso problema gti;;;'de la «duplicación del cubo» era equivalente a

buscar <los medias prolor"ional., .n proporción continua entre dos rectas

dadas:

a

xxyy2a

x2y:*'a

de donde,

f2 : Zax

57

y §ustituyendo:

2ax

ecuación que resolvíanEn los trabajos de

resolver la ecuación

, entonces xt : 2a3xu

a2

mediante el método de regla y compás.Diophante, encontramos un problema equivalente a

x3+x:4x2+4sin embargo, solamente,expone que una solución es 4, pero sin expricarcómo llegó a-ella. Hoy se sabe que se puede obtene*i.práá.ri" áivi¿ienaoambos miembros por xz + 1.Posteriormente, Bháskara (sigro xn) descubrió ra posibilidad en argunoscasos de reducir ra ecuación cúbica a úna cuadrática o rin""i poi"*edio desustituciones adecuadas.Así, para resolver la ecuacíón:

x3-6x2*l2x:35restaSaambosmiembros

x3-6x2-ll2x-g:27

es decir,

(x*2)3:27

de donde obtenemos x : 5.

, se encuentran ejempros de ecuaciones caárticas y hasta de sexto grado enlas matemáticas babilónicas, pero son de uou "las,

esp""ial y fáarían redu-cirse a cuadráticas.Si en la ecuación x2 + bx : c reemplazamos x por x2, obtenemos laecuación cuártica x4 + bxz : c, eue pu"de ser resuelta como una cuadráticacon x2 eu lugar de ¡ como lncognita. Las ecuaciones cuárticas de esta clasepueden ser resueltas por referencia a tabras, exactamente por er mismocamino que las cuadráticas. Habiendo obteniáo er valor á" rJirr"ágn ita x2,por referencia a Ia tabra de raíces cuadradas, inmedi^ru*.rá r. !roau""

"tvalor de x.Las ecuaciones cuárticas con sus soluciones aparecen en Ios trabajos deBháskara y Mahávira, aunque una vez más, sólo son considerados casos

58

específicos y no hay intento para discutir una teoría general. Um ejempio

iipi"o tn sus trabajos es el problema:

«¿Qué número multiplicado por 200 y sumado a su cuadrado, luego mulli'plicado por dos y resfado de su cuarta potencia, puede ser 14.000 menos una

unidad?»t

o dicho de otra forma, resolver

xa-2x2-400x:9.999

La solución descrita es ingeniosa.

Sumando 4x2 + 400x * 1 a los dos miembros,

xa - 2x2 - 400x * 4xx * 400x * 1 : 4x2 + 400x * 1 + 9.999

agrupando convenientemente,

(x2+l)2:(2x*100)2

de donde, simplificando se resuelve la ecuación cuadrática

x2-2x-99:o

cuya solucióo es x : 11.

El árabe Omar Khayyam (1050-1123) escribió un libro de álgebra que

incluía hasta ecuaciones cúbicas. Consideraba que éstas só|o podían ser

resueltas por métodos geométricos. Su idea consistía en utilizar, como ya

habían hecho los griegos, intersecciones de cónicas. Por ejemplo, para resol-

ver la ecuación cúbica xr + axz + bzx + c3 : 0, el proceso a seguir seria el

siguiente: se sustituye x2 por Zpy (que es la ecuación de una parábola) y

queda:

x'2PY * a'2PY * bzx * c3:0

dando la ecuación de una hipérbola, con lo que basta representar en unsistema de ejes ambas curvas para obtener las soluciones. Pero aún no dabantodas las soluciones y se tenían que considerar muchos casos según los

valores de a, b y c.

En 1494, Luca Pacioli en el libro Summa estableció la imposibilidad de

resolver las ecuaciones cúbicas por métodos algebraicos. En su libro se

aprecia ya un paso hacia el álgebra. Utiliza las letras p y m par^ representar

la suma y la resta, co, ce y ae pafz la «cosa> (incógnita), censo para el

cuadrado de la incógnita y aequah,s para el signo igual.

59

cardano (150I-1576) describe en su lrs h{agna, métodos r;ne solución deecuaciones cúbicas, alinque, tal como él mismo dice, no fr.re el <Iescubridor dela solución.

Dejando a un lado detalles sobre esta historia, pues los datos son contra-dictorios, veamos algunos ejemplos de solución:

sea la ecuación x3 + 6x ¿ 20. La resolución de esta ecuación en laforma retórica que utilizaba cardano ocupa varias páginas. con la notaciónactual, al sustituir x por u - ü y u. t) : 2, tendríamos

(r-u)'+6(u-u):20de donde

u3 - 3u2u * 3uuz - u3 + 6u - 6u :20u3-6u*6u*6u*6u-u3:20

obteniendo entonces,

u3 - u3 :20

Si eliminamos u : ?, se tieneu

'1\ 3

u' - ( '' | : 20, es decir, u6 - 21 : 2ou3\")Si, por último, hacemos u3 : t, tenemos f _ 2Ot _ g _ 0, de donde

t:2a t Jaoo - n : t0 + rÁ08

asi: ¿¿3 = 10 * /tos, u, : /mg- - 10, obteniendo flrnalmente,

,: j@E + 10 - {l7Tm_ ro

Entonces, para el caso general, Cardano exponeecuación x3 + px : q, vendrá dada por la fórmula:

x*ffiq¡2-WEstudió también otros casos y cuando se le plantearon problemas con las

raíces negativas, las llamó «sofisticas», argumJntando que estos rssultadoseran ((tan sutiles como inútiles».

60

que la solución de la

Viéte" en el siglo Xv11 muestra que una ecuaci$n cuadrí¡tica ¡rum,iie redu-

cirse a una ecuación cúbica. Un siglo después ya se conocü'qu.rl tr;ls scuacio-

nes cuadráticas, cúbicas o cuárticas tienen, respectivamente, 2, 3 o 4 raíces y

se comienza a preguntar si este resultado se puede extender a ecuaciones de

grado superior. La respuesta a esta cuestión nos la da el Teorema Fundamen-

rul del Algebra, que afitrma:

«Toda ecuación algebraica de grado n, anf * a,-rf,- 1 + "' + aé +* ao : 0 con coeficientes reales o complejos tiene al menos una raíz real o

compleja.»

La primera demostración se debe a Gauss (1777-1855) que la expone en

su tesis doctorai. Sin embargo, en ésta quedan algunos aspectos no del todo

claros, por lo que Gauss da hasta cuatro nuevas demostraciones.

Este problema fue también estudiado ampliamente, entre otros, por

D'Alembert (1717-l'183), Euler (1707-1783) y Lagrange (1736-1813). En laactualidad se han obtenido varias demostraciones rigurosas de este teo-

rema.

. Sistemas de ecuaciones lineales ,'O-

El sistema formado por las siguientes ecuaciones,

ax*bY:¿) ¡

ax + eY : fl ' con a' b' c' d' e'f números reales

recibe el nombre de sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

Resolver el sistema consistirá en hallar las soluciones de x e y, que 1o

satisfagan. También aquí puede ocurrir que haya una única solución, que no

haya ninguna o que sean infinitas.Como hemos ya señalado, fueron resueltos por los babilonic¡s, los cuales

llamaban a ias incógnitas con palabras tales como «longitud>>, «anchura»,

«área>>, o <<volumen», sin que tuvieran relación con problemas de medida.

un ejemplo tomado de una tablilla babilónica piantea la resolución de

un sistema de ecuaciones en los siguientes términos:

1/4 anchura + longitud : 7 manos

longitud * anchura : 10 manos

Para resolverlo comienzan asignando el valor 5 a una mano y observa-

ban que Ia solución poclía ser: anchura : 20, longitud : 30. Para compro-

61

b¿rro utilizaban un método parecido al cre eriminación. En nue$tra notación,

)-f 4x:2glY+ x:10,

:t;:'o" la segunda de la primera, se obtiene 3x : 1g, es decir, x : 6 e jp =También ¡esolvi.uud.á;;;;l^i;;j:,fü.:stemas de esu¿s¡.res, donde arguna de erras ára

x!:10 I9(x * y), : ,rl

sustituyendo y por l)/x en Ia segunda ecuación, se tiene:

9x2 * 18x.101x * g(10/x)2: ¡zquedando definitivamente

8xa * lgox2 + 9oo: g

llegando a Ia anterior ecuación bicuadrática. que sí sabían resorver. ot¡as*"AlH::l.ffi,"J eran der'¡poll) + t,; y =, - t,.

:iid:.;i?;'ffi:1J::11ffi',:::::'ffi Tl:"¿;uíi;.'¿ffi :,:jl;,l,T,Tffir:'" para resolver un ¿ét"..ninl¿J-r¡r,.* a d,e necuaciones con z

La expresión

(kt*kz+...*k,_,)*sx:n-2

permite obtener las soluciones del sistema

¡*xr+x2+x*xrx l*,

...J- ¡ a¿_l : J

-r-*Á1

-r-*K2

I-l an_l : K¡_I62

Diophante resuelve también problemas en los clue aparecian sistemas he

ecuaciones, pero transformándolos en una ecuacii:n iineal. Por ejernplo, para

halar dos números x e y, cvya suma sea 20 y la suma de sus cuadrados 208,

realizaba los siguientes cálculos:

DioPhante

¡*10*xyxl0-x(10+x)2+(10-x)2:208100 * 20x * x2 -- 100 * 20x -

- x2 :2AB200 + 2xz :208Zxz : 8; x2 : 4; de donde x : 2

Mediante sistemas

xt,Y:)Qx2+y2:208sustituyendo x : 20 * y en la se-gunda ecuación,

(20*y)'*y2:208nos aparece una ecuación de segun-do grado.

Los números buscados son 8 y 12. Diophante sólo aceptaba las solucio-nes positivas, pues lo que buscaba era resolver problemas y no ecuaciones.Utilizó ya un álgebra sincopada, como hemos señalado anteriormente. Sinembargo, una de las dificultades que encontramos en la resolución de ecua-ciones por Diophante es que carece de un método general y utiliza en cadaproblema métodos a veces excesivamente ingeniosos.

Los sistemas de ecuaciones aparecen también en los documentos indios.No obstante, no llegan a obtener métodos generales de resolución, sino queresuelven tipos especiales de ecuaciones.

El libro El arte matemático, de autor chino desconocido (siglo ru a. de C.),contiene algunos problemas donde se resuelven ecuaciones. En ellos encon-tramos un esbozo del método de las matrices para resolver sistemas deecuaciones lineales. Uno de dichos problemas equivale a resolver un sistemade tres ecuaciones lineales por dicho método matricial.

Sea el sistema

3x+2y+ z:2x+3y+ z:x+2y*32:

escribian la matriz de la siguiente forma:

39

34

26

I t 2 3\ xI , 3 2l yl¡ 1 ll z

\ru 34 3s I63

(2." col. x 3) (2." col. x 3.' col.) (2." col. * 3." col.)

I 1 6 3\ I t 3 33\ I 1 0 3\

l, e ,\ lz i z\ lz s 2\[r 3 rl [r z tl [r 1 1l\ru 102 3sl \ru 63 3sl \ro 24 3sl

y así sucesivamente hasta

(* ,i,i)

y har:ierrdo operaciones entre las columnas de la rnatriz obtenian un sistemamás sencillo cuya solución era inmediata:

de donde esta última rnatriz nos proporciona las ecuaciones

362:99)5y + z:zal

3x * 2y * z:39|

Tengamos en cuenta que la resolución de sistemas lineales de ecuacionesusando matrices y determinantes aparecen en Europa con los trabajos de

Maclaurin (1698-1746) y Cramer (1704-1752), aunque la idea de colocarecuaciones en forma de filas y columnas fue mencionado por Leibniz (1646-1716) en una carta al marqués de L'H6pital (1661-1704). Inicialmente sólousaban determinantes, pues las teorías sobre matrices debidas a Sylvester sonposteriores (1850).

. Ecuaciones diofánticas 1§

Si se tiene una ecuación con más de una incógnita, las soluciones de lamisma son indeterminadas. Así, si consideramos la ecuación

5x+7:39

a cada valor que se atribuya a x se le asocia el correspondiente valor de y enla fórmula

64

.y:30-5x65

Al expresar algebraicamente la condición o condiciones impuesf an por unproblema que trata de cleterminar ciertc¡s números, pueden resull.ar *cuacio-nes o sistemas indeterminadr:s. La cuestión puede presentar dos aspectos

diferentes:

1. las soluciones de Ia ecuación o sistema planteados convienen alproblema, y

2. el enunciado del problema impone ciertas condiciones en virtud de

las cuales se determinan o, al menos, se seleccionan las soluciones.

Un tipo de ecuaciones relacionadas con el segundo aspecto señalado son

las «ecuaciones diofánticas>>, llamadas así en honor del matemático griego

Diophante, y que son ecuaciones lineales con distintas variables de coelicien-tes racionales y con la condición suplementaria de que sólo admiten comosolución números naturales y pueden hacerse extensivas a soluciones enteras.(Si se trata, por ejemplo, de número de ciudadanos, no podemos admitirsoluciones fraccionarias).

Para que una ecuación lineai con dos o más incógnitas y de coeficientesenteros admita soluciones enteras, es condición necesaria que el m.c.d. de loscoeficientes de las incógnitas divida al término independiente.

En efecto, sea la ecuación lineal

Ax t' By+ .'' + Eu: F, A,B,...,E,F:Z

si ,D es el m.c.d. (A, B, ..., E) y designamos por a, b, ..., e los coeficiéntesobtenidos al dividir aquéllos por el m.c.d., es decir:

A:Da, B*Db, E:De

la ecuación anterior puede escribirse

D(ax*by*"'*eu):P tllSi esta ecuación se satisface para valores enteros de x, !,..., u resuitará quepara estos valores, el primer miembro de [l] es múltiplo de D, Iuego,necesariamente, si existen soluciones enteras, son tales que F es múltiplode D.

Por tanto, la ecuación diofántica ax * by : c, donde a, á y c sonnúmeros enteros positivos, es resoluble precisamente si el m.c.d. de a y ó es

un divisor de c. Además, si (xo, yo) es una solución, el conjunto de solucionesestá formado por todos los pares

(x¡ * tb, lo - ta), con t e Z

IJna parte considerable de la «aritmética» de Diophante está dedicada aproblemas indeterminados en los que las soluciones que se requieren son

números enteros positivos o como máximo cantidades racionares positivas.Diophante no presenra.,ur^T::g" g.r"rui-pr* resolver tales problemas. Sinembargo, algunos de sus caminos A" ,"rolu.,.¿*r,'"il:;;:::I^,:-.apticaütes";;;;i";;rsimilares.N"-a"r"ii'"i1.'r?:..X?::h,J::ii:1?;lobrener una de sus sorucion.t, yu qu. práuuul"*.n't; ,;il;;nte de queiJ",,tXT"r

casos, ha,ada una-soluci¿n, tus otras se pueden calcular conDiophante no trata los problemas cuadráticos; er probrema de este tipomás antiguo es er presenr¡d'o.po, pliag"l"r k, ;;í^:;H reraciónsurge, como es sabido, de ra búsqueaa d-e todas rrr'roígitra.r';;i;, rados de

§1Xillt,T"j§c't"' v su solución m¿s erementar "rr;#;a por los

Varias fórmulas furrecordando;p;;r;,ffi ;_:::i!J:il#áÍ*::Uil;:llXi:T"*J,,:nJ,Hsus posibles soluciones, ináicando q"; ,i;

". i*p1i;;;H,q;.

es decir, todo número cuadrado es la suma de dos números triangularessucesivos (véase el cap. 5).Problemas que implican triples pitagóricos así como problemas linealesfueron resuertos en Ináia y china.-ür

"lJ,,pro, en ros trabajos de Aryabha-ta' Bháskara' Brahmagupta y otros, se ericuentran problemas de este tipo, asícomo problemas cuadráticos con .uutro i*¿gnrt"i "r*-"", t¿rros poseen

fl:o"r mayores de dificurtad que ros r;;;io. por Diophanre en su Arirméti-

Fermat (160r-1665), uno de los grandes matemáticos de todos ros tiem-ir"LÍ:H:,.ó

que no existen "ú*.r;;;;;;ros positivos x, y, z qtlesatisfagan

x3¡y3-rty aunque se dice que-demostró también que la ecuación x, * l, : z, notrene solución para , u.3, no se ha

"r.onirrao :;;;;;;;; ,[o{rr^hoy noha sido posibre hacer tal ¿.*ort.u"ion. lo un,".ior es conocido como «úrti_mo teorema de Fermat»> y ha sido fuenre de irrpiru.iOnffi-ñüno, urrrr-ces del álgebra moderna.

2.5. EL ALGEBRA ABSTRACTA i1i,

con todo er material a-cumulado en los últimos años se fueron gestando alo largo del siglo xrx ras tur.r a.r}g.L"ru?roa".ru. En este sigro aparecen

66

n2.(n2 n2+1)':(

-l)'

conceptos fundamentales, tales como vectores, cuaterniones y matricss, poroitar algunos, y se desarrollan las teorías sobre estructuras: grupos, anillos ycuerpos'

Entre los precursores del álgebra moderna, podemos señalar al ya citadoPeacock, que junto a Gregory (1813-1844) y a De Morgan (1806-1871)

intentaron hacer del álgebra una ciencia independiente de las propiedades de

los números reales y complejos.El problema fundamental del álgebra siguió ocupando a un número

iinportante de matemáticos dando origen a la «teoría de grupos». Un paso

decisivo fue la demostración de que la ecuación de quinto grado (o superior)no es posible resolverla mediante radicales, conseguida primero por Rullinien 1799 y de forma rigurosa por Abel en L826. Tanto Ruffini como Cauchy(1789-1857) esbozan el concepto de grupo, pero es Galois (1811-1832) aquien debemos la idea de aplicar la teoría de grupos a Ia resolución deecuaciones. Estas teorías, que tardaron en divulgarse, poseen gran irnpotan-cia en el desarrollo de teorías posteriores, Klein, en su clásico programa deErlangen (1872)la utilizó para sistematizar las geometrías y Lie (1842-1899)las aplica a ecuaciones en diferencias con derivadas parciales.

Los números complejos fueron estudiados simultáneamente por variosautores, entre los que se encontraba Gauss (1777-1855), el cual aportó larepresentación geométrica de dichos números, pero no le fue posible exten-der esta idea al espacio de tres dimensiones. Hamilton (1805-1865), paralela-mente y partiendo de parejas algebraicas, creó los cuaterniones, como núme-ros que satisfacen la siguiente expresión;

w : do + dti + a¡j * ark, d,o,üb dr, do € lR

Estas cuadruplas pueden ser combinadas mediante las operaciones sumay resta. Ahora bien. para la multiplicación tuvo que añadir las siguientescondiciones:

ij : k; ji: -k; jk: i;kj : -i;ki: j)¡k: -j;i' : j2 : k2 : -lSin embargo, encontró que el producto no era conmutativo (w'w' g w' 'w).Parece que en el momento actual está prácticamente abandonada la

aplicación a la fisica que Hamilton quiso dar a los cuaterniones, sin embar-go, éstos dieron origen a un tipo de álgebra no conmutativa, abriendo así uncamino para la creación de álgebras que no cumplan las leyes fundamentales.

Otro desarrollo importante es la teoría de matrices. Recordemos queéstas tienen un precedente en los métodos chinos de resolución de sistemasde ecuaciones lineales. Posteriormente Kowa (1683) sistematizó este métodoy Leibniz creó los determinantes en los que trabajó Cramer (1704-1752) parapublicar su regla sobre la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

67

Aunque la idea de matriz está implicita en los cuaterniones de llamiltony cn la extensión a n-uplas de Gra-ssmann (1809-1877), se atritruye a Cayley( 1 tt21- I 895) su creación.

La teoria de matrices de Caylcy tuvo su origen en el estudio de lastransformaciones lineales. Simultáneamente, Sylvester (1814-1897) amplía lateoría de los detcrminantes y publica, entre otros, un método para eliminar xde dcrs ecuaciones polinómicas de grados n y m.

Posteriormente, Dodgson (1823-1898), más conocido por L,ewis Carroll,enriquecerá la teoría sobre determinantes, y otros, como Frohenius y Jr:rdan,trabajarán sobre matrices.

Las nociones de detcrminante y matriz, csnsideradas como innovacionesen el lenguaje matemático, se revelarcln altamente útiles, no sólo cn eldesarrnllcl mismo de las mutemáticas, sirro comr: instrumento de eálculo queforma parte de las técnieas del matemátieo moderno.

A Ceorge Boole (1815-1864) debemos otro tipo de álgebra, el álgcbra deBoolc, qu€ se aplica al álgebra de conjuntos o a la lógica, y, más reciente-mente, en el diseño de computadoras.

Después de 1870, con la obra de Benjamín Peirce (1809-1880), se da unpaso haeia una concepción más atrstracta con el coneepto de álgebras linea-les asociativas, las cuales incluyen como casos particulares el álgcbra ordina-ria, los vectores y los cuaterniones.

Proponemos a continuación unas actividades tipo para alumnos de lacscuela obligatoria, utilizando el recurso didáctico que supone el conoci-miento del desarrollo histórico del álgebra:

Objetiuo: Resolver ecuaciones de segundo grado.

Niue/: l3-15 años.

Aetit¡idad: Existen diferentes métodos para cncontrar soluciones de ciertas ecuacionesdc segundo grado, uno de ellos cs el métoclo geométrico utilizado, entr€ otros, por Al-Khwarizmi, matemático áratre del siglo rx, asociado a un problema de medida deáreas.

Así, por ejemplo, para encontrár una solución de la ecuación xr + 12.t * 64, se

procedc de la manera siguicnte:

*-"Alrededor de un rjuadrado de lado x (cuyo valor sc dosconoce) §e construyencuatro reotángulos de lados x y 3 (obsérvese que 3 cs la euarta parte de 12,

coefrciente dc x) (Fig. 1).

-*Cada rectángulo rayado de la frgura tiene un área de 3'¡.--El área del cuadrado pequeño que está en el eentro (eon cuadriculas) es igual a

x2.

-=Iit área total de la zona rayada vale x2 4 l}x.-.x es la solución de la ecuación si, y solamente sin esta área es iguai a 64. Por

otra parte, para obtener el área del cuadrado grande hay que añadir a las

zonas rayadas , 4 ' 3 '3 = 36 (los cuatro cuadrados esquinas de lado 3).

68

*3.+I+3,+

Fig. l.

-El área total del cuadrado grande será:

64+36*lffi

y, por tanto, su lado será 10'

con ayuda de x también podemos expresar el lado dcl euadrado grande

como 6 ¡ x, de e{onde u¡ra solucién de la ecuación dada ¡ierr[ 4'.*. Utilizar el procedimienLo de Al-Khwarizmi para enco¡tr&r r¡na solución elc las

ecuaciones:

+ 10x : 39.

+8x:65.

Ohjetivct : Resolver ecuaoiones diofántieas'

Niue/; 14-16 años.

Actioidad: t]no de los métodos para resolver ecuaciones diofánticas se basa en el

procedimiento ideado por [uler que vamo§ a aplicar a la resolución del siguiente

problema:«Si se compran fasciculos de 680 y 760 ptas' eada uno, y se ha pagado un total de

I 1.7ó0 ptas., ¿cuántos fascículos hemos adquirido de cada precio?»

Si llamamss x al númcro de fasciculos cte una clase e y al número de fascículos de

la segunda classn se tiene la ecuación:

680¡*760y=11.760

Para resolverla se busca primeramente una lolución p¡rrtioulaf clc*pejando lu

incégnita de coeficiente más pcqueño:

a) x7

b) x2

5'-Zvx:17_y+-17-

69

Además, roüto -x! I son nirmeros enteros, llamaremos , al valor qu{l tomÍrrá{-1,,- "t , es decir.

17

5-2v,:*17:

que despejando la y, se tienc

| -¡!*'-Bt+2+:z

! E 7-, t E Z, entonces | = *1, luego, sustituyendo este valor en la expresión dadade x, §e tendrá que x * 5

x É 5 fascículos de una clase

I = I I fasciculos de la otra clasc

Si se tiene en cucnta que la solución general es

x:5+19kY:11-l7k

y que r; > 0; -y > 0, no existen más soluciones qu€ para el valor , = 0,

* Utiliza este procedimientei para:

a) Hallar todas las soluciones enteras de la ecuación 15x * l30y : 35.

b) En una escuela de Magisterio, la especialidad de ciencias tienc un número dealumnos comprendido entre 250 y 300, distribuidos en tres grupeis: en elprimero hay los 19/35 del total, en el segundo hay lll4 dcl total y cn eltercero está el resto de los alumnos. ¿cuántos alumnos tiene la especialidad ycada uno de los tres grupos?

HJERCIflOS

Empleando cl método de Yiéte, resolver las ecuaciones:

a) xz--l4x *40:0b) x1 *.14x - 32 * A

c) x2 .+- 7x - 60.750 * 0

70

?. Utilizando los métodos dcl álgebra-geomótrica de los griegos res*tr'uun" sn lassituacioncs que see posible, las ecuacic¡r¡os

a) xl+L2x*64*0b) xz*lzx*64:0c) x2*8x+64:0d) x2*6x*10:0

3. Demostrar la propiedad asociativa elel produeto por los métodos de los griegos.

4, Resr:lver la ecuacién x * ll2x * 16 por el méteido delaregulafalsi.

5. Hállesc la cdad de Diophantc, tomando los datos del epigrama.

6. Resslver las eeuaciones siguientos utilizae{as por los egipcios por el método de la«falsa posición»» o regula falsi.

Ia) x * 6x: 5

b) x*2x=8Ic) *-i=rO11d) ,Y{-Ir+r-x:10

e) x*3¡*5x:30-110 ¡ + 1x

* 1x: a

7, Fórmcse la ecuación cúbica cuyas raíces ron 1 t .,Á y *3 y aplíquese el

método de Cardano.

8, De Morgan propuso el siguiente acertijo: «En el año ra tenia ¡ años.» Resolver-1o.

9, Resolver las eeuaeiones siguientes utilizando el «método de la doble falsa posi-ción» o «método de las escalas».

a) 2x*5-0v

b) 7+3=0x:3c) z *t:O

2x+3d) __j___2:4

7t

1I.

12.

10. §X*X,

ecuaciones de segundo grado siguientes por el método de completar

a) x2-7Ox:-9

Expresar en lenguaje habitual los pasos der atgoritmo que utilizaban ros babilo-nios para resolver ecuaciones de segundo g.uáo a" la forma x2 + px : q.

obtener por el método d,e factorización las soluciones de ras ecuaciones cuadrá-ticas siguientes:

a) r'+7r-60:0

Los babilonios conocian Ia existencia de valores x, y, z talesque x2 + y2 : zz,

X,.#ff.Í:b" a la escuela pitagórica la solución parricular de esta ácuación

x:1/2(n2-t) , J:n, z:t/2(n2+t)con n impar, solución que probablemente dedujeron de la propiedad «todonúmero impar es difereniia áe dos cuadraáorr. i.o¡u. ambas afirmaciones.

13.

72

73

3.El álgebra y los estadios

del desarrollo

3.1. INTRODUCCION

La posibilidad de reconocer los estadios generales del desarrollo intelec-tual, representado cada uno de ellos por un modo característico de razona-miento y por unas tareas específicas de matemáticas que los alumnos soncapaces de hacer, constituye una información valiosa para los profesores a lahora de diseñar el material de enseñanza y permite conocer el nivel de

realizaciones y respuestas a cuestiones esperadas de los alumnos.Dentro del marco de la psicología cognitiva, los trabajos de Piaget, Collis

y del Chelsea C.S.M.S. Project (Concepts in Secondary Mathematics andScience), señalan pautas de este desarrollo general del conocimiento de losalumnos relacionado con sus actuaciones en matemáticas, en general, y delálgebra, en particular. A ellos nos referiremos básicamente a lo largo de estecapítulo.

3.2. LOS ESTADIOS DEL DESARROLLO EN PIAGET

La psicologia evolutiva se centra en el desarrollo o evolución de losniños, enfatizatdo los aspectos relacionados con el aprendizaje y los proce-sos de cognición. Este desarrollo que comienza desde el nacimiento del niño,va conformando un proceso de evolución y maduración. Los estadios de esteproceso son universales, aunque cada niño posee características propias.

La personalidad más importante de esta corriente es J. Piaget. Piagetseñala que el desarrollo de la inteligencia de los niños es una adaptación delindividuo al ambiente o al mundo que lo circunda. Aborda el problema deldesarrollo de la inteligencia a través del proceso de maduración biológica.

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