Marcas canteria y geometria

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15 de mayo de 2014 www.signoslapidarios.org

Jordi Aguadé Torrel y Rafael Fuster Ruíz

Marcas de Cantería y Geometría “Geometría Fabrorum” en el arte de la

construcción en la edad media !Durante los últimos años el análisis geométrico de las marcas de cantero se ha

convertido en una de nuestras tareas principales en el estudio de este campo. La importancia

del conocimiento de la geometría para el constructor medieval es bien conocida. Sirva como

muestra el siguiente fragmento, extraído del cuaderno de viajes de un maestro cantero inglés

que vivió durante el siglo XIV: «No te extrañes si te digo que toda ciencia vive entera de la ciencia de la

geometría. Porque no hay ni artificio ni herramienta que esté hecho por la mano del hombre sino que [todos]

están hechos por geometría. . . . Porque si un hombre trabaja con sus manos trabaja con algún tipo de

herramienta y no hay ningún instrumento material en este mundo que no provenga de algún tipo de tierra y a la

tierra volverá otra vez. Y no hay ningún instrumento, esto es, una herramienta para trabajar que no tenga

alguna proporción más o menos. Y la proporción es medida, [y] la herramienta o instrumento es tierra. Y la

geometría, se dice, es la medida de la tierra, por tanto puedo afirmar que todos los hombres viven por

geometría.» . Aunque los errores de lógica en el razonamiento son evidentes, podemos 1

desprender del fragmento que la geometría no era tan sólo una dimensión importante en la

vida del maestro cantero, si no mas bien el eje principal que guiaba su forma de percibir y

entender el mundo.

De entre todo el abanico de formas con las que nos encontramos cuando nos

enfrentamos a las marcas de cantero, siempre hemos preferido realizar el estudio, en cuanto a

geometría se refiere, de aquellos ejemplares con cierta complejidad en su diseño. Esto ha sido

así porque considerábamos que una marca con una estructura simple en su diseño podía

“encajar” con múltiples modelos geométricos sin que en ello hubiera ninguna intencionalidad

por parte del cantero. Así pues, hemos venido estudiando las marcas en forma de ballesta, con

resultados interesantes, las lambdas, los pentagramas asimétricos, … dejando de lado todas

!1MARCAS DE CANTERÍA Y GEOMETRÍA

“Arcos, bóvedas y cúpulas (Geometría y equilibrio en el cálculo tradicional de estructuras de fábrica)” - 1

Santiago Huerta

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aquellas marcas que no tuvieran una complejidad suficiente en su diseño que nos permitiera

extraer conclusiones.

Esta forma de trabajo nos ha reportado múltiples resultados, pero ha hecho que

dejemos de lado todo un grupo de marcas que, aunque su diseño sea muy simple, presentan

cierta asimetría implícita en su diseño, de la que debería ser posible extraer ciertas

conclusiones.

En estos últimos días nos hemos encontrado con una marca de este tipo. Dicha marca

nos la ha hecho llegar nuestro compañero “Armando Biendicho” y pertenece a la Cartuja de

Scala Dei, en la comarca del Priorato (Tarragona). Como podemos ver en la siguiente

imagen, resulta difícil encontrar una marca mas sencilla en estructura que la presente:

A primera vista se trata de una de las marcas mas sencillas con la que nos podemos

encontrar. Si una flecha suele sugerir “dirección”, una aspa acostumbra a indicar “posición”.

Por lo tanto, a priori, podríamos pensar que estamos ante una marca de posición o de

ensamblaje, utilizada por cantero para indicar alguna cuestión operativa relativa al tallado,

posición o ensambladura del sillar. Dicho sea de paso que, también a primera vista, resulta

poco probable que se trate de una marca de autoría, debido también a la extrema sencillez en

el diseño.




De todos modos, aunque se tratara de una marca con función operativa, sorprende la

poca destreza por parte del cantero a la hora de ejecutarla. En primer lugar, vemos que el

punto de corte está muy desplazado hacia los extremos de los segmentos, y por otro lado

observamos que el ángulo de corte es excesivamente abierto. ¿Por qué estos defectos en la

ejecución de la marca?

Una posible respuesta podría ser que, dado la poca trascendencia de dicha marca, el

cantero no se esmeró demasiado a la hora de labrarla, y es por eso que aparece tan “mal

hecha”. Esto podría ser así y no habría mas que hablar al respecto. Lo sorprendente resulta

con qué nos encontramos cuando medimos estas asimetrías en la marca.

Por un lado, el ángulo de corte no es cualquier ángulo, si no que se trata, con una

exactitud sorprendente, del ángulo interior de un hexágono (120º). Por otro lado, el punto de

corte tampoco parece ser debido al azar, pues la relación entre la longitud de los segmentos y

el largo del fragmento mayor resultado del corte se corresponde con la “Raíz cuadrada de 2”.

Veamos en la siguiente imagen la correspondencia geométrica entre la marca y el hexágono:

De todos modos, y aún teniendo en cuenta las correspondencias geométricas que

hemos detectado, uno podría achacar este resultado al azar. De hecho, sería lo mas razonable,

pues como hemos dicho, la simplicidad en la estructura de una marca puede posibilitar que




esta se acomode a múltiples modelos geométricos sin que en ello haya ningún tipo de

intencionalidad por parte del cantero que la labró, y por lo tanto, sin que podamos extraer

ninguna información al respecto. Ahora bien, el tema de complica si dicho modelo

geométrico no es un modelo cualquiera.

Es decir, uno puede ponerse a medir los ángulos y longitudes de segmentos de cualquier

marca y encontrar, casi con total seguridad, números y relaciones aparentemente interesantes.

Pero dichos resultados carecerán de cualquier valor si además no somos capaces de

contextualizar dichas relaciones encontradas con algún tipo de modelo geométrico conocido,

y que a su vez, tal vez nos permita contextualizar la marca en el mismo templo.

Pero en nuestro caso, tal como hemos dicho, no nos encontramos ante una relación

geométrica cualquiera, si no ante un modelo que relaciona las 2 proporciones mas estimadas

por el constructor medieval. A saber, la raíz de 2 y la proporción áurea. Para entender este

punto, fijémonos en el desarrollo geométrico siguiente:

!1. Partamos del hexágono inscrito en un círculo de radio (r=1), y dibujemos un

cuadrado en 2 lados contiguos del hexágono:

2. A continuación trazamos las diagonales de los cuadrados y las abatimos sobre los

lados del hexágono

!!




3. Donde obtenemos la siguiente figura, coincidente con la estructura geométrica de la

marca de cantero.

4. Ahora, volvamos a levantar las dos diagonales, hasta que coincidan sus extremos:




5. Lo que obtenemos es un triángulo donde se relacionan 1, raíz de 2 y Phi a través del

ángulo 60º. En otras palabras, estamos ante el método para encontrar la razón áurea a

partir del hexágono:

!Así pues, aunque sigue siendo factible achacar al azar el diseño de la marca, éste parece

coincidir con un desarrollo geométrico notable, y por lo tanto resulta lógico que aceptemos la

posibilidad que dicha marca y el modelo geométrico en cuestión estén relacionados.

Si aceptamos que dicha marca de corresponde con el modelo geométrico descrito, lo

mas lógico sería encontrar dicho modelo en marcas de otros templos. Así pues, el siguiente

paso fue buscar vestigios de esta relación geométrica en otros puntos de la geometría

española. Si éramos capaces de encontrarlos, estaríamos en condiciones de afirmar que, tal

vez, dicho modelo geométrico formara parte de los utilizados en el mundo de la construcción

de la edad media. Para ello nos servimos del trabajo de recopilación de Simón Hidalgo

Valencia . 2

El primer resultado lo encontramos en Fítero. Tal como podemos ver en la siguiente

imagen, si bien es cierto que el segmento principal no coincide con el centro del hexágono, si

que encontramos una correspondencia exacta entre la punta de la flecha y el modelo

geométrico estudiado:

!


“Canteros Románicos por los caminos de Navarra”, de Simón Hidalgo Valencia, tal vez sea el trabajo de 2

recopilación de marcas de cantero mas riguroso que se haya hecho en nuestro país. Podéis encontrar información al respecto en su blog “http://simeonhidalgo.over-blog.com/“

http://simeonhidalgo.over-blog.com/



!Pero el resultado mas concluyente lo encontramos en la siguiente marca perteneciente a

San Pedro de Olite:

Esta marca está registrada en el catálogo de Simeon Hidalgo como “ángulo” o

“escuadra”. Si superponemos la marca sobre nuestro modelo geométrico podemos observar

una correspondencia exacta:

!!




!

Si bien sigue siendo posible atribuir al azar las coincidencias entre el diseño de la marca

y el modelo geométrico, la acumulación de resultados nos hacen pensar que la hipótesis que

estemos ante una operación propia de la “geometría Fabrorum” empieza a tomar cuerpo. De

hecho, ¿Que probabilidad hay de dibujar un ángulo al azar y que el ángulo sea 82 y que la 3

relación entre longitudes entre los segmentos sea raíz de 2? La respuesta es, realmente baja”.

De todos modos, podemos ir mas allá. Imaginemos que dicha “escuadra” hubiera sido

utilizada en el trazado de San Pedro de Olite. Por un lado, dicho “artefacto geométrico” nos

ofrece la relación entre la unidad, la raíz de 2 y la razón áurea. Por lo tanto, sería de esperar

que encontráramos, de alguna u otra manera, dichas relaciones en el templo.

!!


Las dimensiones y los ángulos del triángulo correspondiente al modelo geométrico estudiado son las siguientes: 3

Lados: 1, raíz de 2 y Phi. Ángulos: 60ª, 82.2º y 37.8º



Si nos fijamos en la proyección en planta de Olite los resultados no se hacen esperar. Si

empezamos a calcular las proporciones principales del templo, observamos que la razón Phi y

raíz de 2 aparecen con bastante facilidad. Pero tal vez la mas interesante es la relación entre la

longitud del templo, incluyendo la cabecera, respecto a la longitud de la nave principal.

Haciendo este cálculo nos aparece la proporción esperada:

De todas formas, el que tal vez sea el resultado mas interesante aparece cuando nos

fijamos en las proporciones del templo en sus dos etapas constructivas. Por un lado tenemos la

nave románica cuya planta tiene una proporción de raíz de 2. Por otro lado, la reconstrucción

gótica tiene una proporción de Phi:

Templo original románico con proporción Raíz de 2 Reconstrucción gótica con proporción áurea




!¿Qué conclusión podemos extraer de este hecho?

En primer lugar debemos ser consciente del terreno resbaladizo en el que nos movemos.

La ausencia de documentación escrita de la época hace que en el mundo de las marcas de

cantería sea muy peligroso sentar cátedra. De todos modos, y a tenor de los hechos citados,

consideramos como plausible la siguientes hipótesis:

• Existe una operación geométrica que relaciona las magnitudes Raíz de 2 y Phi a

través de la unidad y la geometría implícita del hexágono.

• La existencia de marcas coherentes con este modelo nos hace pensar que tal vez dicha

operación era conocida por los constructores medievales.

• La proporción principal del templo original románico en San Pedro de Olite es raíz de

dos.

• Por otro lado, la reconstrucción gótica modificó las proporciones de la nave principal

hasta convertirá en la razón áurea.

• Por lo tanto, es plausible pensar que la “escuadra” de San Pedro de Olite puede ser

una representación de la “herramienta geométrica” que se utilizó en la reconstrucción

gótica para, respetando el ancho de la nave principal, transformar la proporción principal

de templo de raíz de 2 a la proporción áurea.

!Y finalmente, ¿Se puede inferir alguna conclusión para Scala Dei?

A falta de datos mas concretos no podemos deducir muchas consecuencias, pero de bien

seguro, con el tiempo, dispondremos de la información necesaria para analizar el templo y

redactar la segunda parte de este trabajo. Tan sólo apuntar que un estudio superficial apunta

en la buena dirección, pues en el claustro interior observamos que también aparece la

“escuadra” de San Pedro de Olite.

Misma geometría, idénticos principios.



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