La Gaceta de la RSME, Vol. 22 (2019), Núm. 3, Págs. 621–634 621

La Olimpiada MatemáticaSección a cargo de

María Gaspar

60.a Olimpiada Internacional de Matemáticas

por

María Gaspar y Óscar Rivero

Logo de la IMO 2019.

El pasado verano, entre los días 11 y 19de julio, se celebró en Bath (Reino Unido)la edición número 60 de la Olimpiada Inter-nacional de Matemáticas. Fue precisamenteel Reino Unido uno de los países que sugirióla conveniencia de que la responsabilidad dela organización de la IMO fuera recurrente,con periodo de unos 20 años. Así que, pre-dicando con el ejemplo, han dejado transcu-rrir tan solo 17 desde la que fue su segun-da Olimpiada Internacional, en Glasgow. Suprimera experiencia como organizadores fueen Londres, en 1979, claro que entonces consolamente 23 países, muy lejos de los 112 quehan estado presentes en Bath. Uno más queen 2017, en Río. Así que de nuevo, aunquepor la mínima, ¡récord de participación! Yclaro, récord también en el número de estu-diantes: 621, de los cuales 65 eran mujeres.

Como es costumbre, el Jurado Internacional, formado por los jefes de delegaciónde los países participantes, llegó anticipadamente. Alojados en la otra orilla delrío Severn, ya en Gales, comenzó el día 12 de julio su principal labor, que es laelaboración de las pruebas. Durante tres intensos días, se trabaja sobre la cuidadosapreselección que realizan los organizadores locales entre todas las propuestas, más de150 problemas, que reciben para su consideración. Viene luego la redacción definitivade los enunciados, las traducciones a los idiomas maternos de los concursantes y loslarguísimos debates con los equipos de coordinación para acordar la asignación de

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puntos, de modo que todo esté preparado, discutido y aprobado antes de la llegadade los estudiantes.

Nuestro equipo fue de los últimos en llegar a la sede, el campus de la Universi-dad de Bath. Leonardo Costa, Pablo Soto, Albert López, Oriol Baeza, Pau Cantosy Juan Brieva, los seis ganadores del oro en Orense, venían muy bien atendidos porÓscar Rivero en su calidad de jefe adjunto de la delegación. En Bath se encontra-ron no solo con jóvenes colegas, sino también con olímpicos españoles de anterioresediciones de la OME y de la IMO que en la actualidad estudian en Cambridge y enOxford, que se habían ofrecido como voluntarios y actuaban como guías de algunosequipos iberoamericanos. Y también teníamos otros brillantes exolímpicos españoles—ya matemáticos a punto de comenzar sus estudios de tercer ciclo en el Trinity oen el Imperial College— en los equipos de coordinación, aunque por supuesto que-daron, o más bien quedamos nosotros, el equipo español, excluidos de las mesas decoordinación en las que ellos actuaron.

Las pruebas se celebraron en la Universidad y el jurado contestó las preguntas delos estudiantes desde Gales. Con tantos candidatos, formados en sistemas educativostan diferentes, con la pequeña Torre de Babel que es la IMO, estas sesiones derespuestas a las preguntas eran no solamente larguísimas, sino también bastantecaóticas y poco eficaces. Pero el nuevo protocolo estrenado en Río, con seis mesas,una por problema como en nuestra olimpiada, pero teniendo cuidado de que hayasiempre alguien que hable los idiomas oficiales, ha simplificado en gran medida todo.

Y estos han sido los problemas de la 60.a Olimpiada Internacional de Matemáti-cas:

Primer día: Martes, 16 de julio de 2019

Problema 1. (Propuesto por Sudáfrica)Sea Z el conjunto de los números enteros. Determinar todas las funciones f : Z→

Z tales que, para todos los enteros a y b,

f(2a) + 2f(b) = f(f(a+ b)).

Problema 2. (Propuesto por Ucrania)En el triángulo ABC, el punto A1 está en el lado BC y el punto B1 está en el

lado AC. Sean P y Q puntos en los segmentos AA1 y BB1, respectivamente, talesque PQ es paralelo a AB. Sea P1 un punto en la recta PB1 distinto de B1, con B1entre P y P1, y ∠PP1C = ∠BAC. Análogamente, sea Q1 un punto en la recta QA1distinto de A1, con A1 entre Q y Q1, y ∠CQ1Q = ∠CBA.

Demostrar que los puntos P , Q, P1, y Q1 son cocíclicos.

Problema 3. (Propuesto por Croacia)Una red social tiene 2019 usuarios, algunos de los cuales son amigos. Siempre que

el usuario A es amigo del usuario B, el usuario B también es amigo del usuario A.Eventos del siguiente tipo pueden ocurrir repetidamente, uno a la vez:

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Tres usuarios A, B y C tales que A es amigo de B y de C, pero B y Cno son amigos, cambian su estado de amistad de modo que B y C ahorason amigos, pero A ya no es amigo ni de B ni de C. Las otras relacionesde amistad no cambian.

Inicialmente, hay 1010 usuarios que tienen 1009 amigos cada uno, y hay 1009 usuariosque tienen 1010 amigos cada uno. Demostrar que hay una sucesión de este tipo deeventos después de la cual cada usuario es amigo como máximo de uno de los otrosusuarios.

Segundo día: Miércoles, 17 de julio de 2019

Problema 4. (Propuesto por El Salvador)Encontrar todos los pares (k, n) de enteros positivos tales que

k! = (2n − 1)(2n − 2)(2n − 4) · · · (2n − 2n−1).

Problema 5. (Propuesto por Estados Unidos)El Banco de Bath emite monedas con una H en una cara y una T en la otra.

Harry tiene n monedas de este tipo alineadas de izquierda a derecha. Él realizarepetidamente la siguiente operación: si hay exactamente k > 0 monedas con la Hhacia arriba, Harry voltea la k-ésima moneda contando desde la izquierda; en casocontrario, todas las monedas tienen la T hacia arriba y él se detiene. Por ejemplo, sin = 3 y la configuración inicial es THT , el proceso sería THT → HHT → HTT →TTT , que se detiene después de tres operaciones.(a) Demostrar que para cualquier configuración inicial que tenga Harry, el proceso

se detiene después de un número finito de operaciones.(b) Para cada configuración inicial C, sea L(C) el número de operaciones que se

realizan hasta que Harry se detiene. Por ejemplo, L(THT ) = 3 y L(TTT ) = 0.Determinar el valor promedio de L(C) sobre todas las 2n posibles configura-ciones iniciales de C.

Problema 6. (Propuesto por India)Sea I el incentro del triángulo acutángulo ABC con AB 6= AC. La circunferencia

inscrita ω de ABC es tangente a los lados BC, CA y AB en D, E y F , respecti-vamente. La recta que pasa por D y es perpendicular a EF corta a ω nuevamenteen R. La recta AR corta a ω nuevamente en P . Las circunferencias circunscritas delos triángulos PCE y PBF se cortan nuevamente en Q.

Demostrar que las rectas DI y PQ se cortan en la recta que pasa por A y esperpendicular a AI.

La tabla que sigue, en la que X denota la media de todos los participantes,σ la desviación estándar y XE la media de nuestro equipo, recoge la frecuenciade puntuaciones por problema. Como es sabido, se califica sobre siete puntos y,como también se sabe, el jurado intenta proponer los problemas de cada día en

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El equipo. De izquierda a derecha, nuestra guía Jiani Li, Pau, Albert, Pablo, Juan,Oriol, Óscar y Leo.

orden creciente de dificultad. Y sí, los 382 y 257 sietes en los problemas 1 y 4, losconsiderados fáciles de cada una de las sesiones, parecen atestiguar que, en eso, eljurado ha acertado. Pero es una tabla distinta de la habitual, con muy poca diferenciaentre las medias de los problemas 4 y 5; este último sirve habitualmente para definirlas medallas de plata. . . , pero seguramente por tener dos apartados, los criteriosde calificación han permitido sumar 2 puntos a los 168 estudiantes que hicieron elprimero.

P1 P2 P3 P4 P5 P60 73 251 520 211 156 5581 65 135 46 63 20 252 6 30 3 4 168 73 24 6 6 7 12 04 14 6 5 13 5 15 5 3 9 19 7 06 52 92 4 47 3 37 382 98 28 257 250 27X 5.179 2.399 0.572 3.736 3.567 0.403σ 2.718 2.843 1.669 3.221 2.979 1.501XE 6 2.166 0 4.833 5.333 0

Terminadas sin incidencias las sesiones de coordinación, llegó el momento dedecidir los llamados cortes de medalla, que es como se denomina en la jerga olímpica

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Tras la entrega de premios, con un tiempo insólito en el Reino Unido, los españolesde Bath. De izquierda a derecha, delante: Leo, Juan, María y Albert; detrás: Pau,Oriol, Óscar, Alex Epelde, Ismael Sierra, Santiago Vázquez, Izar Alonso y JaimeMendizábal.

a los puntos necesarios para obtener medalla de bronce, de plata y de oro. En estareunión, la última del jurado, también ha habido a veces muy fuertes discusiones,entre los sectores «generosos» del jurado y los más duros, que no quieren desvirtuarlas medallas de bronce pero que en general no tienen problema en mostrarse muycomprensivos para rebajar los umbrales del oro. Pero estas discusiones ya no sonposibles: el reglamento permanente de la IMO establece muy claramente que nopodrán recibir medalla más de la mitad de los concursantes, y que para saltar estacota, el jurado, que a fin de cuentas es díscolo y soberano, necesitará una mayoríade dos tercios, que es difícil de alcanzar. Así que, en esta ocasión, los cortes de17, 24 y 31 puntos necesarios para recibir bronce, plata y oro, respectivamente,han permitido que solamente 302 estudiantes —menos de la mitad, una vez más—recibieran premio.

En cabeza de la clasificación, seis estudiantes (dos de Estados Unidos, dos deChina, un coreano y un polaco) con la puntuación máxima, 42 puntos. Y a conti-nuación, la serbia Jelena Ivancic, con 41 puntos, que suma este oro a la plata y elbronce conseguidos en las dos ediciones anteriores de la IMO, y a sus tres oros de laEGMO, dos de ellos, por cierto, con puntuación perfecta.

En el caso de España, Pau (22 puntos), Leonardo (21 puntos), Albert (19 pun-tos), Pablo y Oriol (17 puntos) han recibido medalla de bronce, mientras que Juan,con 14 puntos, ha obtenido una muy merecida mención de honor. En total, 110puntos, primera vez que superamos la barrera de los 100, que nos han colocado en

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la posición 42 de esa —nunca nos cansaremos de repetirlo, porque la IMO es unacompetición individual— extraoficial clasificación por países, en la que ha sido se-guramente nuestra mejor participación. Pero, además, el equipo ha resultado muyuniforme; de hecho, somos uno de los pocos que sin tener plata ha superado los 100puntos. Y medio equipo —Leonardo, Pau y Juan— tiene aún una participación pordelante, dos adicionales en el caso de Leonardo, y seguro que tienen todavía mássatisfacciones que ofrecernos y motivos para hacer que nos podamos sentir de nuevomuy orgullosos de ellos.

En esta última reunión del jurado es también costumbre tratar del futuro de laIMO. Las sedes ya aprobadas para los próximos años son San Petersburgo, Rusia(2020); Washington, EE. UU. (2021); Oslo, Noruega (2022); Chioba, Japón (2023);y Melbourne, Australia (2025). Está sin cubrir de momento 2024.

No podemos terminar esta breve crónica sin agradecer a cuantos con su traba-jo, apoyo y esfuerzo hacen posible la presencia anual de un equipo español en laOlimpiada Internacional de Matemáticas. Al Ministerio de Educación y FormaciónProfesional, que este año se ha hecho cargo de los gastos de desplazamiento. A todoslos participantes en nuestra olimpiada, estudiantes y profesores; a los delegados dela OME en todos los rincones de nuestra geografía; a la UPC, que cada año acogey mima al equipo en Barcelona; a nuestros exolímpicos, que con tanta generosidady entusiasmo participan activamente en las sesiones de preparación; y, por supues-to, a nuestros seis concursantes de 2019, que nos han hecho disfrutar tanto de estaexperiencia de Bath. ¡Felicidades, chicos!

Presentamos a continuación la relación de países participantes con sus resultadosen orden decreciente de puntuación:

País O P B MH PuntosEE. UU. 6 0 0 0 227China 6 0 0 0 227Rep. de Corea 6 0 0 0 226Rep. Popular de Corea 3 3 0 0 187Tailandia 3 3 0 0 185Rusia 2 4 0 0 179Vietnam 2 4 0 0 177Singapur 2 4 0 0 174Serbia 3 1 2 0 171Polonia 1 3 2 0 168Hungría 1 3 2 0 165Ucrania 1 4 1 0 165Japón 2 2 2 0 162Indonesia 1 4 1 0 160India 1 4 0 1 156Israel 1 3 2 0 156Rumanía 1 2 3 0 155Australia 2 1 3 0 154Bulgaria 0 5 1 0 152

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País O P B MH PuntosReino Unido 1 2 3 0 149Taiwán 1 2 3 0 148Kazajistán 0 2 4 0 146Irán 1 2 3 0 145Canadá 1 1 4 0 144Francia 0 2 4 0 142Mongolia 1 1 3 1 141Italia 0 2 4 0 140Perú 0 3 1 1 137Brasil 0 2 4 0 135Turquía 1 1 3 1 135Filipinas 0 1 5 0 129Alemania 1 0 3 2 126Arabia Saudita 0 1 4 0 124Noruega 0 1 3 2 122Bielorrusia 0 2 2 2 119Estonia 0 1 4 0 118Hong Kong 0 1 3 1 117Países Bajos 0 1 4 1 117Eslovaquia 0 1 3 2 114Grecia 0 1 2 3 112México 0 1 3 2 111Croacia 0 0 3 3 110España 0 0 5 1 110Eslovenia 0 2 1 3 109Georgia 0 1 4 1 108República Checa 0 0 4 2 106Sudáfrica 0 0 4 2 106Dinamarca 0 1 2 3 105Armenia 0 2 1 2 104Moldavia 0 1 1 3 100Azerbaiyán 0 0 3 2 98Lituania 0 0 3 3 96Argentina 0 0 3 1 95Portugal 0 1 1 4 93Macao 0 0 3 3 92Siria 0 1 1 3 92Suecia 1 0 1 3 92Nueva Zelanda 0 0 2 2 89Suiza 0 0 3 1 89Austria 0 0 4 1 84Bosnia-Herzegovina 0 0 0 5 84Tayikistán 0 1 1 2 82Uzbekistán 0 0 1 3 82

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País O P B MH PuntosMarruecos 0 0 1 4 81Finlandia 0 1 1 2 78Colombia 0 0 2 2 77Bangladés 0 0 1 4 76Bélgica 0 1 1 3 75Sri Lanka 0 0 1 5 73Malasia 0 0 2 2 71Irlanda 0 1 0 2 61Letonia 0 0 0 4 56Turkmenistán 0 0 0 3 53Túnez 0 0 0 4 48Chipre 0 0 0 3 47Macedonia 0 0 0 2 47Argelia 0 0 1 3 46El Salvador 0 0 2 0 45Kosovo 0 0 0 3 43Albania 0 0 0 2 37Islandia 0 0 0 2 37Panamá 0 0 1 1 37Costa Rica 0 0 0 2 34Pakistán 0 0 1 1 34Trinidad y Tobago 0 0 0 2 34Montenegro 0 0 0 1 33Ecuador 0 0 0 3 32Uruguay 0 0 0 2 29Cuba 0 0 0 2 23Chile 0 0 0 2 20Kirguistán 0 0 0 0 19Paraguay 0 0 0 0 18Irak 0 0 0 1 17Nepal 0 0 0 1 17Nicaragua 0 0 0 2 17Egipto 0 0 0 0 12Birmania 0 0 0 0 11Ghana 0 0 0 1 11Camboya 0 0 0 1 10Bolivia 0 0 0 0 9Luxemburgo 0 0 0 0 9República Dominicana 0 0 0 0 5Uganda 0 0 0 0 5Guatemala 0 0 0 0 4Honduras 0 0 0 0 3Puerto Rico 0 0 0 1 3Tanzania 0 0 0 0 3

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País O P B MH PuntosVenezuela 0 0 0 0 3Botsuana 0 0 0 0 2Angola 0 0 0 0 0Emiratos Árabes 0 0 0 0 0Kenia 0 0 0 0 0

María Gaspar, Universidad Complutense de MadridCorreo electrónico: mgaspar@ucm.es

Óscar Rivero, Universitat Politècnica de CatalunyaCorreo electrónico: oscar.rivero@upc.edu

Sexto Campeonato Matemático Mediterráneo para jóvenes

por

Lucía Rotger García

Logo de la MYMC 2019.

Del 17 al 20 de julio se cele-bró en la Universidad de Nápoles«Federico II» la sexta edición de laMediterranean Youth MathematicalChampionship (MYMC), en la queparticipan equipos mixtos (dos chi-cas y dos chicos), en los tres últimosaños de enseñanza preuniversitariade los países mediterráneos.

La prueba está organizada porprestigiosas instituciones italianas ypretende desarrollar el interés por las matemáticas, disciplina que ha sido de granimportancia en el desarrollo cultural de la comunidad mediterránea, así como fomen-tar la participación de las mujeres en la vida académica y científica y promover lasrelaciones entre los jóvenes de la zona, con diferentes idiomas, culturas y religiones.

En esta ocasión estaban inscritos diecisiete equipos: Albania, Argelia, Bosnia-Herzegovina, Chipre, Croacia, Egipto, Eslovenia, España, Francia, Grecia, Italia,Líbano, Marruecos, Malta, Palestina, Túnez y Turquía.

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El equipo español estaba formado por Álvaro Acitores Montero (1.o de Bachi-llerato, Palencia), Inés Borchers Arias (2.o de Bachillerato, Bilbao), Sergi CodinaBroto (2.o de Bachillerato, Barcelona) y Miriam Lorenzo Laguno (2.o de Bachillera-to, Barcelona), todos ellos medallistas de plata de la pasada Olimpiada MatemáticaEspañola celebrada en Ourense en marzo. Les acompañaba la firmante de esta re-seña, Lucía Rotger García (Universidad de La Rioja), denominada chaperon delequipo, como los demás profesores acompañantes. Como voluntaria del comité localnos acompañó Serena Fugaro (Universidad de Nápoles «Federico II»), siendo nuestraguardian angel particular.

El equipo español antes de realizar la prueba.

La prueba, que se llevó a cabo íntegramente el jueves 18 de julio, tenía tres fases,todas ellas consistentes en resolver problemas de opción múltiple o de respuestanumérica. En la primera, los equipos recibieron quince problemas que resolvieron en80 minutos. La dificultad creciente de los problemas permitía a los equipos resolveral menos un problema. Mientras los equipos se enfrentaban a los problemas, losprofesores acompañantes pudimos compartir experiencias en la sesión de póstersparalela. En esta ocasión, trató sobre el uso de técnicas de aprendizaje activo en laenseñanza secundaria de los diferentes países asistentes.

Como en ocasiones anteriores, se propuso un problema clásico del libro LiberAbaci (1202) de Leonardo de Pisa (Fibonacci):

Problema WE2. Un comerciante tiene una balanza de dos platos y cuatro pesas.Con estas puede pesar cualquier objeto cuyo peso sea un número entero entre 1 y40 libras. ¿Cuál es el peso de cada una de las cuatro pesas?

Después de esta primera fase se ordenaron los equipos según la puntuación obte-nida, con el fin de poder emparejarlos ordenadamente para enfrentarse en la primera

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ronda de la segunda fase. En la segunda ronda, en cambio, se emparejaron aleatoria-mente. Este año volvía a haber un número impar de equipos, por lo que se escogierondos al azar para que no participaran en la primera y segunda ronda, respectivamen-te, para así enfrentarse en una ronda intermedia solo entre ellos. De esta manera,todos los equipos participaban dos veces en esta segunda fase.

El equipo español y el italiano después de realizar la prueba.

Al inicio de estas rondas de la segunda fase, se entrega a cada pareja de equipostres problemas, de los cuales tienen que elegir dos y descartar uno (que se le entregaráal equipo contrario) en cuatro minutos. Finalmente, disponen de otra media horapara resolver los tres problemas.

Estos son algunos de los problemas planteados por la tarde:

Problema GE1B. Un hombre tiene que llevar botellas de agua a una ciudad alotro lado del desierto, a 15 km de distancia. Solo puede llevar 15 botellas a la vez y,para sobrevivir al desierto, tiene que beberse una botella por kilómetro. Las botellas(tanto llenas como vacías) se pueden dejar y recoger cuando el hombre vuelva a pasarpor ese punto del camino. No es obligatorio minimizar la distancia total recorridapor el hombre. Si el hombre empieza con 45 botellas, ¿cuál es el número máximoque puede entregar a la ciudad?

Problema GE2A. Sea P una pirámide de base cuadrada. Se consideran los puntosmedios de las ocho aristas de la pirámide. Para cada cara de P , unimos los puntosmedios de dos lados cualesquiera de la misma cara si comparten un vértice. De estamanera, se dibujan todas las aristas de un nuevo poliedro Q.

Contar cuántas caras de Q son triágulos, cuadriláteros o polígonos con más de 4lados.

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Nuestro equipo obtuvo 28 puntos en la primera ronda, situándose los tercerosdel ránking, por detrás de Turquía e Italia. En las rondas por parejas de equipos seenfrentaron primero a Croacia y después a Marruecos. En la primera ronda, ambosresolvieron correctamente los tres problemas propuestos, obteniendo tres puntos ca-da uno. En la segunda ronda, el equipo español contestó correctamente todos losproblemas por lo que obtuvieron tres puntos y un punto extra por resolver másproblemas que el equipo contrario, que resolvió solo un problema. Antes de la rondafinal, el equipo español compartía primera posición con Turquía empatados a 35puntos, y los siguientes puestos los ocupaban Italia con 34.5 puntos, Francia con 33puntos y Grecia con 31 puntos.

De izquierda a derecha: Rossella Paliotto (presidenta de la Fundación del Banco deNápoles), Serena Fugaro (Universidad de Nápoles «Federico II»), Miriam Lorenzo,Inés Borchers, Sergi Codina, Álvaro Acitores y Lucía Rotger.

La ronda final consistió en resolver un único problema en un máximo de 10 mi-nutos. El primer equipo que obtuviera la respuesta correcta obtendría 3.5 puntos yel resto de respuestas correctas sumarían un punto. Este momento fue muy emocio-nante ya que había muchos equipos, incluido el equipo español, que podían obtenermedalla de oro o plata si eran los primeros en resolver correctamente el problema.

Después de un último problema muy interesante, tan solo el equipo de Italiaconsiguió dar la respuesta correcta, declarándose ganadores de la competición con38 puntos. El empate por el segundo puesto entre Turquía y España se resolviómediante la extracción de una bola al azar, que proclamó al equipo español comovencedor de la medalla de plata.

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El problema final fue el siguiente:

Problema final. Se dan tres puntos no colineales en el plano: A1, A2 y A3. Sepueden dibujar fácilmente tres puntos A4, A5 y A6, de manera que los puntos A1,A2 y A3 formen un paralelogramo no degenerado con uno de estos nuevos puntos,tal y como se muestra en la figura.

A4

A2A3

A6

A5A1

Dibujar todos los puntos P de manera que junto a tres de los seis Ai formen losvértices de un paralelogramo no degenerado. ¿Cuántos puntos hay ahora dibujadosen el plano, incluyendo los seis puntos Ai?

Nota: Si el mismo punto P se obtiene de diferentes maneras (i.e., como vérticede dos paralelogramos diferentes) se cuenta solo una vez.

El equipo español junto con otros participantes en la plaza del plebiscito de Nápoles.

La ceremonia de entrega de premios tuvo lugar el viernes 19 de julio en el aulamagna histórica de la Universidad de Nápoles «Federico II», donde las diferentes

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autoridades agradecieron y dieron la enhorabuena a los participantes. En esta com-petición, aparte de las medallas de oro y plata para el primer y segundo equipo, seentrega una medalla de bronce al resto de equipos, haciendo gala una vez más delespíritu de confraternización de este campeonato.

También tuvimos tiempo de disfrutar de la ciudad de Nápoles. Después de lacompetición fuimos a la sede de la Fundación del Banco de Nápoles, situado en unantiguo palacio en el centro, donde pudimos visitar su museo y cenar compartiendobuenos momentos con el resto de participantes. El viernes después de comer tuvimosla oportunidad de visitar los museos de mineralogía y de zoología de la Universidadde Nápoles y de pasear por el centro de la ciudad.

Queremos agradecer a los organizadores y colaboradores por su gran labor rea-lizada antes y durante la competición, siempre atentos a que todo saliera bien.

Todos los problemas de la competición, así como más imágenes e informaciónde esta edición, se pueden consultar en la página web oficial http://www.mymc.it/2019/mymc-2019.html.

Lucía Rotger García, Universidad de La RiojaCorreo electrónico: lucia.rotger@unirioja.es