Manual  de  Geometría  y  Trigonometría  para  alumnos  del  CETis  63  Ameca      

Manual  de  Geometria  

 

I n g .   G e r a r d o   S a r m i e n t o   D í a z   d e   L e ó n  

Antecedentes  Históricos  Geometría  

La   geometría   (del   griego   geo,   tierra   y   metrein,  medir),  es   la   rama  de   las  matemáticas  que  se  ocupa  de  las  propiedades  del  espacio.  El  origen  del  término  geometría   es   una  descripción  precisa   del   trabajo   de  los   primeros   geómetras,   que   se   interesaban   por  problemas  como  la  medida  del  tamaño  de  las  tierras  o   del   trazado   de   edificaciones.   Para   llegar   a   la  geometría   fractal   hay   que   hacer   un   recorrido   de  miles  de  años  pasando  por  el  Antiguo  Egipto,  Sumeria  y   Babilonia,   Grecia,   Europa   y   los   Estados   Unidos   de  Norteamérica.    Para   comenzar,   podríamos   establecer   una   primera  clasificación   determinando   dos   tipos   principales   de  geometría:   euclidiana   y   no-­‐euclidiana.   En   el   primer  grupo  se  encuentran  la  geometría  plana,  la  geometría  sólida,   la   trigonometría,   la   geometría   descriptiva,   la  geometría  de  proyección,   la   geometría   analítica   y   la  geometría   diferencial;   en   el   segundo,   la   geometría  hiperbólica,   la   geometría   elíptica   y   la   geometría  fractal.    Planos  diédricos  de  proyección  y  esfera  cuyo  eje  es  la  línea  de  tierra.    Psudoesfera.    La  geometría  euclidiana  se  basa  en  las  definiciones  y  axiomas  descritos  por  Euclides  (c.325  -­‐  c.265  a.C.)  en  su  tratado  Elementos,  que  es  un  compendio  de  todo  el   conocimiento   sobre   geometría   de   su   tiempo.  Principalmente   comprende   puntos,   líneas,   círculos,  polígonos,   poliedros   y   secciones   cónicas,   que   en  secundaria   se   estudian   en   Matemáticas   y   en  Educación  Plástica  y  Visual.  Inspirados  por  la  armonía  de   la   presentación   de   Euclides,   en   el   siglo   II   se  formuló  la  teoría  ptolemaica  del  universo.    Dentro  de  las  geometrías  euclidianas  se  encuadran:    ◊ La   geometría   sólida   que   fue   desarrollada   por  

Arquímedes   (287   -­‐   212   a.C.)   y   que   comprende,  principalmente,   esferas,   cilindros   y   conos.   Las  secciones  cónicas   fueron  el   tema  de   los  estudios  de  Apolonio  en  la  misma  época  (c.260  -­‐  200  a.C.).  viñeta    

◊ La   trigonometría   que   es   la   geometría   de   los  triángulos.  Fue  desarrollada  por  Hiparco  de  Nicea  (c.   190   -­‐   120   a.C.).   Puede   dividirse   en  trigonometría  plana,  para  triángulos  en  un  plano,  y   trigonometría   esférica,   para   triángulos   en   la  superficie  una  esfera.      

◊ La   geometría   proyectiva   que   tiene   su   origen   en  los   pintores   del   Renacimiento,   aunque   la   base  matemática  inicial  la  elaboro  el  arquitecto  Filippo  Brunelleschi   (1377–1446).   Piero   della   Francesca,  Leone   Battista   Alberti   y   Alberto   Durero  reflexionaron  sobre   las  nociones  de  proyección  y  sección  en  su  afán  de  entender  el  problema  de  la  representación   plana   de   un   objeto   real  tridimensional,  pero  fue  el  arquitecto  e  ingeniero  militar  Gérard  Desargues   (1591–1661),   el   primer  matemático  que  expuso  estas  ideas  al  publicar  en  Paris   en   el   año   1639   Paris   el   libro:   “Brouillon  project   d’une   atteinte   aux   ëvénements   des  rencontres   d’un   cone   avec   un   plan”   (“Primer  borrador   sobre   los   resultados   de   intersecar   un  cono   con   un   plano”).   Los   métodos   proyectivos  permiten   a   Desargues   un   tratamiento   general   y  unificado   de   las   cónicas,   en   contraposición   con  los  métodos  clásicos  de  Apolonio.  viñeta    

◊ La   geometría   analítica   que   fue   inventada   por  René  Descartes  (1596  -­‐  1650),  trabaja  problemas  geométricos   a   base   de   un   sistema   de  coordenadas   y   su   transformación   a   problemas  algebraicos.   Se   subdivide   en   geometría   analítica  plana,   para   ecuaciones   con   dos   variables,   y  geometría   analítica   sólida,   para   ecuaciones   con  tres  variables.  viñeta    

◊ La  geometría  diferencial  que  tiene  su  origen  siglo  XVIII,   cuando   los   matemáticos   siguiendo   los  descubrimientos  de  Descartes,  añadieron  cálculo  diferencial  e   integral  a  curvas,  superficies  y  otras  entidades  geométricas.  viñeta    

 El   análisis   vectorial   que   estudia   las   cantidades   que  poseen   magnitud   y   dirección.   Conocida   desde   los  tiempos  de  Aristóteles,   y  más   aún  por   Simon   Stevin  en   las   últimas   décadas   del   siglo   XVI,   la   teoría  moderna  data  de  principios  del  siglo  XIX.    Las   geometrías   no   euclidianas   dentro   de   las   que   se  encuadra   la  geometría   fractal   surgen  en  el   siglo  XIX,  cuando   algunos   matemáticos   comenzaron   a  desarrollar  otros  tipos  de  geometría,  para  los  cuales,  al   menos   uno   de   los   axiomas   de   Euclides   no   se  sostiene.   Sin   embargo   el   origen   de   la   geometría  fractal   y   de   los   fractales,   habría   que   establecerlo  hacia  1875–1925,  cuando  se  produce  una  crisis  en  la  definición  de  dimensión.  Algunos  de  los  “hitos”  en  la  

historia   de   las   matemáticas   no   lineales   y   de   la  geometría   fractal   se   presentan   en   este   cuadro  resumen.      Punto,  Línea,  Plano    El   punto   sólo   tiene   posición.   No   posee   ni   longitud,   ni  anchura   ni   espesor.   No   obstante,   es   necesario   tener  presente   que   el   punto   gráfico   representa   el   punto  geométrico  pero  no  es  el  punto  geométrico,  en   la  misma  forma   que   en   un   mapa   un   .   puede   representar   una  localidad  sin  ser  la  localidad  misma.  A  diferencia  del  punto  geométrico,  el  punto  gráfico  tiene  tamaño.    La   línea   posee   longitud,   pero   carece   de   anchura   y   de  espesor.   Se   puede   representar   por   medio   del   trazo   que  deja   la  tiza  en  el  tablero  o  mediante  una  cinta  de  caucho  estirada.    Un   plano   es   una   superficie   tal   que   si   una   recta   tiene  común   con   ella   dos   de   sus   puntos,   los   tiene   comunes  todos,  es  decir,  la  recta  descansará  completamente  sobre  el  plano.  Un  plano  se  puede  representar  por  medio  de   la  superficie   de   un   espejo   llano   o   una   pared   lisa,   o   por   la  tapa  de  un  pupitre.    Proposiciones  verdaderas  Proposición  Es  un  enunciado  o  juicio  el  cual  solo  puede  originar  uno  y  solo  uno  de  los  términos  verdadero  o  falso.  Las   proposiciones   más   comunes   que   se   utilizan   son:  axiomas,  postulados,  teoremas  y  corolarios.    Axiomas  Es   una   verdad   que   no   requiere   demostración   y   se   la  cumple  en  todas  las  ciencias  del  conocimiento.  Postulados  Es  una  proposición  aceptada  como  verdadera.  A  diferencia  de   los   axiomas,   estos   se   los   emplea   generalmente   en  geometría,   los  mismos  que  no  se  han  constituido  al  azar,  sino   que   han   sido   escogidos   cuidadosamente   para  desarrollar  la  geometría  Teorema  Es   la   proposición   cuya   verdad   necesita   ser   demostrada:  una  vez  que  el  teorema  se  ha  probado  se  lo  puede  utilizar  para   la   demostración   de   otros   teoremas,   junto   con  axiomas  y  postulados.  Un  teorema  consta  de:  hipótesis  y  tesis:  Hipótesis:  son  las  condiciones  o  datos  del  problema  Tesis:  es  la  propiedad  a  demostrarse.  Corolario  Es  la  consecuencia  de  un  teorema  demostrado.  Razonamiento  Lógico  

Cuando  una  persona  se  empeña  en  una  "reflexión  clara"  o  en  una  reflexión  rigurosa,  está  empleando  la  disciplina  del  razonamiento  lógico.  Demostraciones  Es   un   conjunto   de   razonamientos   que   demuestra   la  verdad  de  la  proposición  junto  con  axiomas  y  postulados.  Una  demostración  bien  elaborada   solo  puede  basarse  en  proposiciones   antes   demostradas,   la   demostración  también  es  necesaria  para  fundamentar  la  generalidad  de  la  proposición  que  se  demuestra.  Por  medio  de  las  proposiciones,  las  verdades  geométricas  se   reducen   a   un   sistema   armonioso   de   conocimientos  científicos.    Nomenclatura  y  Notación  de  la  Recta    Recta    Desde  un  punto  de  vista  geométrico,  el  concepto  de  recta  es  sumamente  difícil  de  construir.  Puede  decirse  que  una  recta  es  el  elemento  geométrico  unidimensional  (su  única  dimensión  es  la  longitud),  el  cual  esta  formado  por  varios  segmentos.      Un  segmento  de   recta  es   la   línea  más  corta  que  une  dos  puntos  y  el  lugar  geométrico  de  los  puntos  del  plano  (o  el  espacio)   en   una   misma   dirección.   Es   uno   de   los   entes  geométricos  fundamentales,  junto  al  punto  y  el  plano.  Son  considerados  conceptos  primitivos  ya  que  no  es  posible  su  definición   a   partir   de   otros   elementos   conocidos.   Sin  embargo,   es   posible   elaborar   definiciones   basándose   en  los   Postulados   característicos   que   determinan   relaciones  entre  los  entes  fundamentales.  Algunas  de  las  definiciones  de  la  recta  son  las  siguientes:      La  recta  es  la  línea  más  corta  entre  dos  puntos.      La  recta  es  un  conjunto  de  puntos  en  el  cual  un  punto  que  se  encuentra  entre  otros  dos   tiene   la  mínima  distancia   a  estos;   se   prolonga   al   infinito   en   ambas   direcciones,   en  contraposición  con  el  segmento  y  la  semirrecta.      La  recta  es  el  lugar  geométrico  de  un  punto  que  se  mueve  de  tal  manera  que  tomados  dos  puntos  cualquiera  de  ella,  la   pendiente   m   calculada   mediante   la   fórmula   ,   resulta  siempre  constante.      La  recta  es  un  conjunto  de  puntos  situados  a  lo  largo  de  la  intersección  de  dos  planos.              

Unidades  de  Medida    MEDIDAS  de  VOLUMEN      El   volumen   de   un   cuerpo   es   el   espacio   que   éste   ocupa.  Para  medirlo,   se   debe   ver   cuantas   veces   entra   en   él   una  unidad  de  volumen  utilizada  como  unidad  de  medida.  Esta  unidad  se  llama  metro  cúbico,  y  corresponde  a  un  cubo  de  un  metro  de  lado.    MEDIDAS  de  SUPERFICIE      Para  medir  una  superficie,  lo  que  hacemos  es  ver  cuantas  veces   entra   en   ella   una   unidad   de   medida.   La   unidad  principal   de   superficie   se   llama   metro   cuadrado,   y  corresponde  a  un  cuadrado  de  un  metro  de  lado.    MEDIDAS  de  LONGITUD      Cuando   medimos   la   longitud   de   un   objeto,   estamos  viendo   cuantas   veces   entra   una   unidad   de  medida   en   el  largo   del   objeto.   Para   que   todos   obtengamos   el   mismo  resultado  debemos  usar  la  misma  unidad  de  medida.  Para  ello   se   creó   una   unidad   principal   de   longitud   llamada  metro   que   es   fija,   universal   el   sistema   de   unidades   de  medida   que   incluye   al   metro   junto   a   sus   múltiplos   y  submúltiplos  se  llama  Sistema  Métrico  Decimal.    Divisiones  de  la  línea  recta  (semirrecta,  segmento)      Semirecta    Un  punto   sobre  una  línea  recta,  la  separa  en  dos  líneas  continuas  llamadas  semirrectas,  el  punto   es  el  extremo  de  ambas  semirrectas  y  no  pertenece  a  ninguna.  Si  B  está  en   una   de   las   semirrectas   entonces,   ésta   se   denota   por  

     

     Segmento   de   recta   a   la   porción   de   una   recta   que   está  limitada   por   dos   puntos.   A   estos   puntos   se   le   llama  extremos.      

Posiciones  de  dos  rectas  en  el  plano.  Llamaremos   plano   al   espacio   geométrico   que   queda  delimitado   por   tres   puntos   no   alineados.   Posee   dos  dimensiones  y  contiene  infinitos  puntos  y  rectas.    Lo   representamos  como   un  paralelogramo   o  con   una   figura   de  bordes   irregulares.      Una   recta   y   un  punto   no  perteneciente   a   ella  también  determinan  un  plano.    Debemos  destacar  que:    

• un  punto  no  tiene  dimensión.    • una  recta  tiene  una  sola  dimensión.    • un  plano  tiene  dos  dimensiones.  

           1.9.     Posiciones  de  la  recta  en  el  plano.  1.10.   Definición,  notación  y  clasificación  de  ángulos  1.11.   Unidades  de  medidas  de  ángulos  1.12.   Conversiones  1.13.   Medición  de  ángulos  1.14.   Teoremas    Puntos,  rectas  y  axiomas  de  la  geometría  euclidiana    Los   puntos   contenidos   en   un   mismo   plano   se   llaman  coplanares  y  los  que  se  encuentran  sobre  una  misma  línea  recta,  colineales                  Punto  Colineales                

 Puntos  Coplanares    AXIOMA  2.  Por  cada  punto  de  un  plano  pasa  una  infinidad  

de  rectas  contenidas  en  ese  plano.

Si  al  punto A   le  corresponden  varias  rectas,  decimos  que estas   rectas se cortan   (se   intersecan   o   concurren)   en   el  punto A,  o bien  que las rectas  tienen  el  punto común A         A X I O M A 3 .   Dos   puntos   distintos A /B   determinan   una   y  sólo  una  recta  que  pasa  por  ellos.    Otra   forma   equivalente   de   expresar   el   Axioma 3   es   la  siguiente:   Por   dos   puntos   distintos AjB   pasa   una   y   sólo  una  recta.    La   recta   que   pasa   por   los   puntos AyB (véase   la   figura  1.14)   se   llama   "recta AB"   y   su   notación   es AB, o   sea,  señalamos  los  dos  puntos  que  la  determinan  y  colocamos  el   símbolo   <—>   sobre   las   literales   que   indican   los   dos  puntos.                    Es   importante   entender   que   una   línea   recta   no   termina  donde   su   figura   lo   hace,   sino   que   se   extiende  indefinidamente   en   ambas   direcciones.   De   la   misma  manera,   un   plano   se   extiende   indefinidamente   en   todas  las  direcciones.  En  consecuencia,  una  hoja  de  papel  no  es  un   plano,   forma   parte   de   un   plano,   y   una   parte   muy  pequeña  de  él.    

             

     Analiza  cada  cuestión  e   ilústrela  con  un  dibujo  adecuado.  Argumenta   tu   respuesta,   es   decir,     cita   el   axioma  correspondiente  o  la  definición  según  sea  el  caso.    

a) Cuantos  puntos  como  mínimo  son  necesarios  para  especificar  la  posición  de  una  recta  en  un  plano.  

 b) Cuantas  rectas  determinan  3  puntos  a)  colineales,  

b)  no  colineales        

c) Los   puntos  M,   N   y   P   son   diferentes   y   colineales,  señala  todas  las  posibles  maneras  de  simbolizar  la  recta  que  pasa  por  los  puntos  M,  N,  y  P  utilizando  dos  de  tres  puntos  M,  N,  y  P  

                   

d) Que  figuras  forman  todas  las  rectas  que  pasan  por  un  plano  

     Concepto  de  semirecta    Como  ya  dijimos,  una  línea  recta  contiene  una  infinidad  de  puntos.   Para   interpretar   la   disposición   de   los   puntos   en  una   línea   recta   hay   dos   posibles   órdenes,   siendo   uno  opuesto  al  otro.  Al  escoger  uno  de  estos  órdenes,  decimos  que   asignamos   un   sobre   la   recta.   El   siguiente   axioma  especifica  la  interpretación  de  la  disposición  de  los  puntos  en  una  línea  recta    Axioma  4   (de  Orden)  de   tres  puntos  cualesquiera  de  una  recta,  uno  de  ellos  se  encuentra  entre  los  dos.                

A  

A  

B  

M   N   p  

A   B  O  

Considera  los  tres  puntos  colineales A, O  y B  de  la  figura.  

Uno  de  estos  puntos  entre  los  otros  dos.  Si  el  punto 0 está entre  los  puntos AyB,  decimos  que A precede a O y B sigue a  0,  en  el  sentido  de A  hacia B.  De  igual  manera,  decimos  

que  B   precede   a O y A   sigue   a   0   en   el   sentido   de B   al  punto A.  En  otras  palabras,  el  pun  to  O  divide  a  todos  los  

puntos   de   esta   recta   en   puntos   que   lo   preceden   y   en  puntos  que  lo  siguen.    

                   

 Lo  expuesto    en    el    axioma    sobre    el  orden    de  los  puntos    en   una   línea   recta     nos   permite   definir   el   concepto   de  semirrecta  que  necesitaremos  para  el  establecimiento  de  los  demás  hechos  geométricos.  Resulta  que  cada  punto  0    de  una  recta  divide  a   todos   los  demás  puntos  de  ésta  en  dos  partes  que  llamamos  semirrectas      o    rayos  con  punto  inicial  0,  cuya  definición  formal  es  la  siguiente.      D  E  F  I  N  I  C  I  Ó  N      1  .  6  .    Semirrecta    o  rayo  es    cada    una  de    las  partes    en  las    cuales      queda  divida    una    recta  por    cualquiera    de    sus    puntos.      Para   indicar   una   de   las   semirrectas   en   que   un   punto   0    divide   a   una   recta,   en   la   parte   de   la   recta   de   nuestro  interés  señalamos  un  punto  cualquiera  A  y  simbolizamos    la   semirrecta   por   OA   (véase   la   figura   1.20a).   De   igual  manera,   el   símbolo   OB   denota   la   parte   de   la   recta  formada  por  el  punto  O  y  todos  los  puntos  que  siguen  a  0    en  el  sentido  de  0    a  B  (véase  la  figura  1.20b).        Concepto  de  segmento  y  su  medida      Si  sobre  una  recta  consideramos  dos  puntos  distintos  AyB,    éstos   junto   con   todos   los   puntos   de   la   recta   que   se  encuentran     entre   ellos   forman   el   segmento     AB.   Dicho  segmento   lo   representamos   con  el   símbolo  AB  o  BA.   Los  puntos  A  y  B    son  los    extremos    del  segmento.    

 D  E  F  I  N  I  C  I  Ó  N      1.7.    Un  segmento    es     la  porción    de    recta    comprendida      entre    dos    puntos,  incluyendo    estos    puntos.    En   las   figuras   1.22a   y   1.22b   puedes   identificar   varios  segmentos.   ¿Cuántos   segmentos   hay   en   total?   ¿Cuáles  son?    

   •     En   la   figura   1.22a   (izquierda)   hay   tres   segmentos:   KL,  LM    y  KM.      •     En   la   figura   1.22b     (derecha)   hay   diez   segmentos:   AB,  BC,    CD,  AD,  AC,  BD,  AJE,  EC,MyED.      En   la   figura   1.23   se   ilustra   un   procedimiento   para  comparar  los  segmentos  CD,  EF    y  GH  con  el  segmento  AB.      La  abertura  del  compás  es  la  misma  en  todos  los  casos.  Es  de  especial   interés,  en  el  estudio  de  la  geometría,  el  caso  en  que  los  segmentos  son  iguales.      

   Cuando   comparamos   figuras   geométricas,   en   lugar   de  decir    "es  igual"  acostumbramos  decir  "es  congruente"  y  lo  anotamos  con  el  símbolo  =.  De  esta  manera,  decimos  que  el   segmento   AB   es   congruente     con   el   segmento   EF     y  escribimos      AB-­‐EF.      La   relación   de   congruencia   de   segmentos   tiene   tres  propiedades   básicas   que   están   descritas   en   el   siguiente  axioma  de  congruencia.      A  X  I  O  M  A      5      (D  E      C  O  N  G  R  U  E  N  C  I  A)  .    Dados    tres  segmentos      A  B,    C  D  y    E  F      cualesquiera,  la  relación    de  congruencia     entre     ellos   posee     las     siguientes        propiedades:    

A   O  

B  O  

 Propiedad      reflexiva:  AB  ~  BA.    Propiedad      simétrica:    Si  AB  =  CD  entonces    CD  =  AB.    Propiedad      transitiva:  S¿AB  =  CDjCD    =  EF  entonces    AB  =  EF.    La   propiedad   reflexiva   establece   que   todo   segmento   es  congruente  consigo  mismo  y  el  orden  en   la  anotación  de  los   extremos   no   tiene   importancia:   AB   también   lo  representamos  como  BA  y  se  trata  del  mismo  segmento.      C  O  N  S  T  R  U  C  C  I  Ó  N      1.1.    Constrúyase    un  segmento      C  D    congruente    con    un    segmento  dado    AB.      

   Paso   1     Trazamos   con   la   regla   una   recta   €   cualquiera   y  marcamos  un  punto  C  de  ella    (véase  la  figura  1.28).      Paso  2    Con   la  punta  de  un   compás    en    C   y   su  abertura  igual  a  la  longitud  del  segmento  AB,  trazamos  un  arco  que  corte  a  la  recta  en  D.    

a) Traza   un   segmento   AB.     Sobre   éste   coloca   dos  puntos  distintos    CyD.    Señala  todos  los  segmentos  posibles.  ¿Cuántos  son?    

 b) Traza    una    recta    y  sobre    ella    señala    un  punto    K.    

Localiza    y  señala    sobre    la  misma  recta  los  puntos  situados   a   3.7   cm   de   distancia   del   punto   K.  ¿Cuántos    

c) son?      

d) Determina   la   longitud   de   tu   paso   medio.   Para  esto,  mide  con  una    cinta  métrica  una  distancia  de  20  m  en  un  terreno  plano.  Recorre  esta  distancia    en    línea    recta    andando    normalmente    y  cuenta    el  número    de  pasos    

e) que    das.    Dividiendo     la     longitud     total,     20    m,    entre    el    numero    de    pasos  obtienes    la    longitud    media     de     un     paso     tuyo.     Memonza     esta    longitud   para   que,   en   caso   necesario,   puedas  emplearla  en  las  mediciones.    

 f) Mide   los   elementos   de   tu   propia   mano   y  

memoriza   los   resultados   de   estas     mediciones.    Utilizando     estas     medidas     podrás     medir    

aproximadamente   objetos   de   magnitudes  medianas   en   caso   de   que   no   tengas   disponible  una  cinta  métrica.  

Observa   la   siguiente   figura.   Por   cada   dos   de   los   puntos  marcados  traza  una  recta.  ¿Cuántas  rectas  en  total  puedes  trazar?      

     

1. El  segmento  PQ  mide  2m  y  PR,    54  cm.  ¿Cuántos  centímetros  mide  el  segmento  QR    si  los  puntos  P,  Q  y  R  son  colineales  y  el  punto  P  está  entre  Q  y  R?  Elabora  un  esquema  de  lo  descrito.    

 2. Sobre  una  recta  situamos  tres  puntos  A,  R  y  C  de  

tal  manera  que  AB  =    1  +  5x,  BC  =  3  —  2x  y  AC  =  4  +  3x    ¿Para  qué  valor  de  x  el  punto  B  se  encuentra  entre   A   y   C?   Elabora   un   dibujo   de   la   situación  descrita   y   establece   la   relación   que   satisfaga   las  condiciones  del  problema.    

 3. Sobre  una  recta  situamos  los  puntos  A,  B,  C  y  D  de  

tal  manera  que  AB  =  48  mm,  AC  —  12  mm  y  DB  =  19  mm.  Elabora  el  dibujo  y   calcula   la   longitud  de  CB.    

 4. El       Un   segmento   mide   12.5   cm.   ¿Cuántos  

milímetros  mide  su  quinta  parte?      

5. Menciona   las  características  de  un  segmento  que  lo  diferencian  de  una  recta  y  de  una  semirrecta.  

 6. Si  el  segmento  a  =  7  cm  y  el  segmento  b  =  2  ¾    cm,  

¿cuántos   centímetros   exactamente   mide   el  segmento  2b  1/3  a?  

   Operaciones  con  Segmentos    Suma  de  segmentos    La  suma  de  dos  segmentos  es  otro  segmento  que  tiene  por  inicio  el  origen  del  primer  segmento  y  como  final  el  final  del  segundo  segmento      

 La   longitud  del   segmento   suma  es   igual   a   la   suma  de   las  longitudes  de  los  dos  segmentos  que  lo  forman      Diferencia  de  segmentos    La   diferencia   de   dos   segmentos   es   otro   segmento   que  tiene  por  origen  el  final  del  segmento  menor  y  por  final  el  final  del  segmento  mayor  

 La   longitud  del  segmento  diferencia  es   igual  a   la  resta  de  las  longitudes  de  los  dos  segmentos    Producto  de  un  número  por  un  segmento    El   producto   de   un   número   con   un   segmento   es   otro  segmento   resultado   de   repetir   el   segmento   tantas   veces  como  indica  el  número  por  el  que  se  multiplica    

   La  longitud  del  segmento  obtenido  es  igual  al  número  por  la  longitud  del  segmento  inicial      División  de  un  segmento  por  un  número    La   división   de   un   segmento   por   un   número   es   otro  segmento   tal   que  multiplicado   por   ese   número   da   como  resultado  el  segmento  original    

   La  longitud  del  segmento  obtenido  es  igual  la  longitud  del  segmento  inicial  divido  por  el  número      

                                                                                                         

ANGULOS    Definición  de  ángulo  y  su  notación    Dos   semirrectas   con   origen   común   separan   el   plano   en  dos  regiones  infinitas.  Cada  una  de  las  regiones  del  plano,  junto   con   las   semirrectas,   forma   una   figura   geométrica  llamada   ángulo   (véase   la   figura   1.33).   Observa   que   dos  semirrectas  con  origen  común     forman    no  uno,   sino  dos  ángulos.  Por  comodidad,  para  señalar   la   región  del  plano  correspondiente     a   un   ángulo   trazamos   un   arco   o   la  llamada  "marca  de  ángulo".    

   D  E  F  I  N  I  C  I  Ó  N        1  .  8  .        Un  ángulo  es  la  figura  formada      por    dos    semirrectas    con    un  origen  común  y  una  de  las  regiones  en  que  dichas    semirrectas    separan    el    plano.    

   Siendo  OA   y   OB   dos   semirrectas   distintas   que   tienen   un  origen   común   O,   el   ángulo   que   forman     se   indica   por  cualquiera    de  las    notaciones    2^AOB  o  A^BOA,  donde  el    símbolo    4.    significa  ángulo    (véase  la  figura  1.34a).  Debes  tener     cuidado     en   que   la   letra   de   en  medio   sea   la   que  indica  el  vértice.  Las  semirrectas  OA  y  OB  se  llaman  lados    del   ángulo   y   el   origen   común,   el   punto   0,   se   denomina  vértice  del  ángulo  (véase  la  figura  1.34b).    A   veces   nombramos   un   ángulo   con   una   sola   letra   para  simplificar  el  lenguaje  y  la  notación.  Por  ejemplo,  al  hablar  del   %.AOB,   decimos   simplemente   "el   ángulo   O"   y  escribimos     4-­‐0,   es   decir,   nada  más   señalamos   el   vértice  del   ángulo.  Otra   forma   de   nombrar   un   ángulo   es   utilizar  las   letras   del   alfabeto   griego,   por   ejemplo,   4_a   ("ángulo  alfa"),  4-­‐P  ("ángulo  beta"),  etc.  Observa  las  notaciones  de  ángulos  en  la    figura  1.35.    

   Es   importante   señalar   que   los   lados   de   un   ángulo   no  terminan   en   donde   su     figura   lo   hace,   sino   que   se  extienden  indefinidamente.  Eso  se  debe  a  que  los  lados  de  un   ángulo   son   semirrectas,   no   segmentos.   Además,  

resumiendo  lo  antes  expuesto,  recuerda  que  dispones  de  tres  formas  comunes  para  nombrar  un  ángulo:    1)  Mediante    tres     letras    mayúsculas,    de    modo    que     la    de     en  medio     corresponda     al   vértice   y   las   otras   dos   a  puntos  sobre  los  lados  del  ángulo,  como  ^AOC  o  2^PQR,    etcétera.    2)     Por   medio     de   una     sola   letra     mayúscula     que  

corresponda    al  vértice    del  ángulo,  como    3)  Mediante  una  letra  minúscula  del  alfabeto  griego  como  α,  β,  etcétera.  En  ocasiones  también  conviene  denotar  los  

ángulos   con   números,   como     etc.,   poniendo     el  número     entre     los   lados     del   ángulo,     sobre   la   curva  trazada     entre   ellos,   o   con   letras   minúsculas   de   nuestro  alfabeto,  usadas  de  la  misma  manera  que  la  notación  con  números:    etcétera.    Para   familiarizarte   con   el   lenguaje   matemático,   su  interpretación   y   el   manejo   de   la   regla   y   el   compás,   te  invitamos  a  explorar  las  siguientes  construcciones.    C  O  N  S  T  R  U  C  C   I  Ó  N      1   .  4   .    Constrúyase    un  ángulo    congruente    con  un  ángulo    dado.    

   Paso  1    Trazamos  con  la  regla  una  recta    t.    Paso   2     Con   una   abertura   conveniente   del   compás,  apoyando   su   punta   en   el   vértice   A   del   ángulo   dado,  trazamos  un  arco  que  corte  a  sus  lados  en  los  puntos  P  y    Q  respectivamente.    Paso  3    Con   la  misma  abertura  del   compás,  apoyando  su  punta   en   un   punto   E   de   la   recta   €   antes   trazada,  marcamos  un  arco  que  corte  a  la  recta  en  el  punto  Q'.  Paso  4    Con  centro  en  Q'  y  la  abertura  de  compás  igual  a  la  longitud  del  segmento  PQ,  trazamos  un  arco  que  corte  al  arco  anterior  en  el  punto  P.    Paso  5    Con  la  regla  trazamos  la  semirrecta  EP'.    El   ángulo   P'EQ'   es   un   ángulo   congruente   con   el   ángulo  dado.      C  O  N  S  T  R  U  C  C   I  Ó  N      1   .  5   .    Constrúyase    un  ángulo  igual  a  la  suma    de  dos  ángulos    dados.  

   Paso  1    Se  traza  una  semirrecta  con  extremo  en  un  punto    0.    Paso   2     Con   una   abertura   conveniente   del   compás,  apoyando  su  punta  en  el  vértice  A    de  uno    de  los    ángulos    dados,  y  después    en    el  vértice    B    del  otro    ángulo  dado,  se  marcan  arcos  de  radios  iguales.    Denótense  con  P  y  Q  los  puntos  de  intersección    del  arco  y  los  lados  del  y  con  R  y  S  los  puntos  de  intersección  del  otro  

arco  y  los  lados  del     .    Paso  3    Con     la  misma    abertura    del  compás,    apoyando    su  punta    en    el  punto    0,    se  traza  un  arco.    Denótese  con  P'  el  punto  de  intersección  de  este  arco  y  la  semirrecta  trazada.    Paso  4    Sobre  la  semirrecta    OP'  se  construye    el    

congruente     con     el     ,     y   sobre   la   semirrecta  OQ'   el    

congruente  con  el      

El       es   igual   a   la   suma   de   los   ángulos   dados  

     Medida  sexagesimal  de  los  ángulos      Las   unidades    más   conocidas   para   la  medida   de   ángulos  son  los  grados    y  los    radianes.  La  primera  está  basada  en  la  asignación  de  360  grados  al  ángulo  completo  (sus  lados    coinciden).     La    utilización    de  este     sistema    data    de   los    antiguos     babilonios,   quienes     dividieron     el   ángulo  completo     en   360   partes     iguales   porque     en     su   época  consideraban  que  la  duración  del  año  era  de  360  días.      D   E   F   I  N   I   C   I  Ó  N       1   .   9   .       La     unidad     de  medida     de  ángulos  es    —parte          de  un  ángulo    completo  y  se  llama    grado.    En  la  notación  de  la  medida  de  un  ángulo,  la  palabra  grado    se  sustituye  por  el  símbolo          un  pequeño  círculo  colocado  justamente    arriba  y  a  la  derecha  del  número.    Así,  para  indicar  siete  grados  escribimos  7  o  ;  un  ángulo  de  90  grados  lo  apuntamos  como  90°;  la  décima  parte  de  un  ángulo  completo  lo  indicamos  como  36°.    Para  medir    fracciones    de  grado,    dividimos    el  grado    en    60   partes     iguales,     cada   una     de   las     cuales     recibe     el  

nombre    de  minuto.    El    minuto     lo    designamos     con  un  apóstrofo        así,  medio  grado  son  30  minutos  y  se  escribe  30'.  El  minuto  también  se  divide  en  60  partes  iguales,  cada  una  de  las  cuales  se  llama  segundo  y  su  símbolo  es  ";    así,  para  indicar  un  cuarto  de  minuto,  o  sea  15  segundos,  anotamos   15".  Utilizando   estas   subdivisiones   y   símbolos,    expresamos   la  medida   de   los   ángulos   con   el   número   de  grados,  minutos   y   segundos  que   contienen.  Por  ejemplo,  la  medida  42°  22'30"  la  leemos:  "42    grados,  22    minutos,    30  segundos".    De  igual  forma,  un  ángulo    de  7  grados,  56  minutos,  49  segundos  lo  denotamos  como  7  o    56'49".      En   la   mayoría     de   los     cálculos     es   conveniente    representar     las   fracciones     de   los   grados   con  decimales.  Las   calculadoras   científicas,   por   lo   general,   tienen   una  tecla  para  convertir    un  ángulo  dado  en  grados    decimales    a   grados,   minutos   y   segundos,   y   viceversa.   También  puedes   transformar   grados,   minutos   y   segundos   a  decimales,   y   viceversa,   utilizando   el   procedimiento   que  describimos  en  los  dos  ejemplos  siguientes.    Ejemplo  1.3    Expresa  7°   56'49"   como  decimal  hasta     diezmilésimos  de  grado.    

     

   Suma  de  ángulos  Gráfica  La  suma  de  dos  ángulos  es  otro  ángulo  cuya  amplitud  es  la  suma  de  las  amplitudes  de  los  dos  ángulos  iniciales.  

 Numérica  1º  Para  sumar  ángulos  se  colocan  los  grados  debajo  de  los  grados,  los  minutos  debajo  de  los  minutos  y  los  segundos  debajo  de  los  segundos;  y  se  suman.      

 2º   Si   los   segundos   suman   más   de   60,   se   divide   dicho  número  entre  60;  el  resto  serán  los  segundos  y  el  cociente  se  añadirán  a  los  minutos.    

 3º  Se  hace  lo  mismo  para  los  minutos.  

   Resta  de  ángulos  Gráfica  La  resta  de  dos  ángulos  es  otro  ángulo  cuya  amplitud  es  la  diferencia   entre   la   amplitud   del   ángulo   mayor   y   la   del  ángulo  menor.  

 Numérica  1º  Para  restar  ángulos  se  colocan  los  grados  debajo  de  los  grados,  los  minutos  debajo  de  los  minutos  y  los  segundos  debajo  de  los  segundos.    

 

2º   Se   restan   los   segundos.   Caso   de   que   no   sea   posible,  convertimos  un  minuto  del  minuendo  en  60  segundos  y  se  lo  sumamos  a  los  segundos  del  minuendo.  A  continuación  restamos  los  segundos.    3º  Hacemos  lo  mismo  con  los  minutos.      Multiplicación  de  ángulos  Gráfica  La   multiplicación   de   un   número   por   un   ángulo   es   otro  ángulo  cuya  amplitud  es  la  suma  de  tantos  ángulos  iguales  al  dado  como  indique  el  número.  

 Numérica  1º   Multiplicamos   los   segundos,   minutos   y   grados   por   el  número.  

 2º   Si   los   segundos   sobrepasan   los   60,   se   divide   dicho  número  entre  60;  el  resto  serán  los  segundos  y  el  cociente  se  añadirán  a  los  minutos.    

 3º  Se  hace  lo  mismo  para  los  minutos.  

 División  de  ángulos      Gráfica  La   división   de   un   ángulo   por   un   número   es   hallar   otro  ángulo   tal   que   multiplicado   por   ese   número   da   como  resultado  el  ángulo  original.  

:4   =

   Numérica  Dividir  37º  48'  25''  entre  5    1º  Se  dividen  los  grados  entre  el  número.  

 2º  El  cociente  son  los  grados  y  el  resto,  multiplicando  por  60,  los  minutos.  

 3º  Se  añaden  estos  minutos  a  los  que  tenemos  y  se  repite  el  mismo  proceso  con  los  minutos.  

 4º   Se   añaden   estos   segundos   a   los   que   tenemos   y   se  dividen  los  segundos.  

                   

Realizar  las  siguientes  operaciones    a.          56º  20'  40"    -­‐    37º  42'  15"    b.          125º  15'  30"    -­‐    24º  50'  40"    c.          33º  33'  33"    -­‐    17º  43'  34"    Operaciones  con  medidas  de  ángulos    

   

   

     

 

 

 

 

     

       

   

     Clasificación  de  Ángulos    

Agudo < 90° Recto = 90° Obtuso>90°

Convexo < 180° Llano = 180° Cóncavo > 180°

Nulo = 0º Completo = 360°

Negativo < 0º Mayor de 360°

       

Tipos  de  Ángulos  según  su  posición    Ángu los   consecut ivos  

 Ángulos  consecutivos  son  aquellos  que  tienen  el  vértice  y  un  lado  común    Ángulos  adyacentes  

 Ángulos   adyacentes   son   aquellos   que   tienen   el   vértice   y  un   lado   común,   y   los   otros   lados   situados   uno   en  polongación  del  otro    Ángulos  opuestos  por  el  vértice    

   Son   los   que   teniendo   el   vértice   común,   los   lados   de   uno  son  prolongación  de  los  lados  del  otro.  Los  ángulos  1  y  3  son  iguales  Los  ángulos  2  y  4  son  iguales    

Clases  de  ángulos  según  su  suma    Ángulos  complementarios    

 

 Dos  ángulos  son  complementarios  si  suman  90°    Ángulos  suplementarios  

   Dos  ángulos  son  suplementarios  si  suman  180°    

Ángulos  entre  paralelas  y  una  recta  transversal    Ángulos  correspondientes    

 Los  ángulos  1  y  2  son  iguales    Ángulos  alternos  internos      

   Los  ángulos  2  y  3  son  iguales    Ángulos  alternos  externos  

   Los  ángulos  1  y  4  son  iguales    

Ángulos  en  la  circunferencia    Ángulo  central  

   El   ángulo   central   tiene   su   vértice   en   el   centro   de   la  circunferencia  y  sus  lados  son  dos  radios  La   medida   de   un   arco   es   la   de   su   ángulo   central  correspondiente    

   Ángulo  inscrito    

 El  ángulo  inscrito  tiene  su  vértice  está  en  la  circunferencia  y  sus  lados  son  secantes  a  ella  Mide  la  mitad  del  arco  que  abarca  

   Ángulo  semiinscrito  

 El  vértice  de  ángulo  semiinscrito  está  en  la  circunferencia,  un  lado  secante  y  el  otro  tangente  a  ella  Mide  la  mitad  del  arco  que  abarca  

 Ángulo  interior  

 Su   vértice   es   interior   a   la   circunferencia   y   sus   lados  secantes  a  ella  

Mide  la  mitad  de  la  suma  de  las  medidas  de  los  arcos  que  abarcan  sus  lados  y  las  prolongaciones  de  sus  lados  

   Ángulo  exterior  Su   vértice   es   un   punto   exterior   a   la   circunferencia   y   los  lados  de  sus  ángulos  son:  o  secantes  a  ella,  o  uno  tangente  y  otro  secante,  o  tangentes  a  ella:    

             Mide   la   mitad   de   la   diferencia   entre   las   medidas   de   los  arcos  que  abarcan  sus  lados  sobre  la  circunferencia  

   

Ángulos  de  un  polígono  regular  

 Ángulo  central  de  un  polígono  regular  

 Es  el  formado  por  dos  radios  consecutivos.  Si  n  es  el  número  de  lados  de  un  polígono:  Ángulo  central  =  360°  :  n    Ángulo  central  del  pentágono  regular=  360°  :  5  =  72º    

Ángulo  interior  de  un  polígono  regular    

Es  el  formado  por  dos  lados  consecutivos.  Ángulo  interior  =180°  −  Ángulo  central  Ángulo  interior  del  pentágono  regular  =  180°  −  72º  =  108º    

Ángulo  exterior  de  un  polígono  regular    

Es   el   formado   por   un   lado   y   la   prolongación   de   un   lado  consecutivo.  

Los  ángulos  exteriores  e  interiores  son  suplementarios,  es  decir,  que  suman  180º.  Ángulo  exterior  =  Ángulo  central  Ángulo  exterior  del  pentágono  regular  =  72º    

Sistemas de medidas angulares

# Sistema Sexagesimal: en éste sistema la unidad de medida es el grado sexagesimal que corresponde a 1/360 que se abrevia 1°; éste a su vez se divide en 60 partes iguales y 1°/60 corresponde a un minuto sexagesimal que se abrevia 1´; éste a su vez se divide en 60 partes iguales y 1´/60 corresponde a un segundo sexagesimal que se abrevia 1".

# Sistema Circular: en éste sistema la unidad de medida es el radian.

¿Qué es el radian?: El radian es un ángulo central que tiene como lados 2 radios de una circunferencia, cuyo arco es igual al radio de la circunferencia al cual pertenece.

1 radián = 360º/2.π.R = 360º/6,283185307 = 57,29577951º = 57º 17´ 44,8"

Siendo;

π = 3,141592654

R = 1

Las unidades de medida que pasaré a estudiar pertenecen al sistema sexagesimal y circular.

Equivalencia entre los sistemas

α°/360°  =  αrad/2.π        Ejercicios  propuestos    

1- Expresar en grados.

a) 53° 16´ 50" = Respuesta: 53,28055556°

b) 170° 36´ 50" = Respuesta: 170,6138889°

c) 28° 10´ = Respuesta: 28,16666667°

d) 45° 36" = Respuesta: 45,01°

e) 276° 09´ 07" = Respuesta: 276,1519444°

2- Expresar en minutos.

a) 16° 29´ 32" = Respuesta: 989,5´

b) 148° 19´ 37" = Respuesta: 8899,6´

c) 45° 10´ = Respuesta: 2710´

d) 82° 18" = Respuesta: 4920,3´

3- Expresar en segundos.

a) 35° 19´ 43" = Respuesta: 127183"

b) 72° 40´ = Respuesta: 261600"

c) 180° 19" = Respuesta: 496819"

d) 342° 18´ 56" = Respuesta: 1232336"

4- Expresar en grados, minutos y segundos.

a) 38,466° = Respuesta: 38° 27´ 57,6"

b) 126,03334° = Respuesta: 126° 02´

c) 136,44´ = Respuesta: 2° 16´ 26,4"

d) 362,62´ = Respuesta: 6° 02´ 37,2"

e) 40436" = Respuesta: 11° 13´ 56"

f) 68367" = Respuesta: 18° 59´ 27"

5- Reducir al sistema circular. Para π = 3,14.

a) 42° 29´ 36" = Respuesta: 0,74 rad

b) 150° = Respuesta: 2,61 rad = (5/6).π rad

c) 36° 18´ = Respuesta: 0,63 rad

d) 146° 36" = Respuesta: 2,54 rad

e) 184,68´ = Respuesta: 0,05 rad

f) 58348" = Respuesta: 0,28 rad

g) 270° = Respuesta: 4,71 rad = (3/2).π rad

6- Reducir al sistema sexagesimal.

a) 1,36 rad = Respuesta: 77° 57´ 42,42"

b) 0,28 rad = Respuesta: 16° 03´ 03,44"

c) (3/2).π rad = Respuesta: 270°

d) (3/4).π rad = Respuesta: 42° 59´ 37,07"

e) (2/5).π rad = Respuesta: 72°

f) (3/7).π rad = Respuesta: 77° 08´ 34,29"

g) (5/9).π rad = Respuesta: 100°

h) (11/12).π rad = Respuesta: 165°

Ejercicios de aplicación

Se considera para π = 3,14.

1- Expresar en el sistema circular un ángulo de:

a) 18° = Respuesta: (1/10).π rad

b) 30° = Respuesta: (1/6).π rad

c) 36° = Respuesta: (1/5).π rad

d) 43° = Respuesta: 0,75 rad

e) 45° = Respuesta: (1/4).π rad

f) 60° = Respuesta: (1/3).π rad

g) 72° = Respuesta: (2/5).π rad

h) 75° = Respuesta: (5/12).π rad

i) 80° = Respuesta: (4/9).π rad

j) 120° = Respuesta: (2/3).π rad

k) 161° = Respuesta: 2,81 rad

l) 540° = Respuesta: 3.π rad

ll) 35° 40´ = Respuesta: 0,62 rad

m) 42° 27´ 32" = Respuesta: 0,74 rad

n) 42° 59´ 37" = Respuesta: 0,75 rad

ñ) 46° 20´ 30" = Respuesta: 0,81 rad

o) 55° 84´ = Respuesta: 0,98 rad

p) 97° 25´ = Respuesta: 1,70 rad

q) 150° 03´ 24" = Respuesta: 2,61 rad

2- Expresar en el sistema sexagesimal un ángulo de:

a) (1/12).π rad = Respuesta: 15°

b) (1/8).π rad = Respuesta: 22° 30´

c) (1/5).π rad = Respuesta: 36°

d) 1 rad = Respuesta: 57° 19´ 29,43"

e) (3/5).π rad = Respuesta: 108°

f) (2/3).π rad = Respuesta: 120°

g) (3/4).π rad = Respuesta: 135°

h) 2,5 rad = Respuesta: 143° 18´ 43,5"

i) (4/5).π rad = Respuesta: 144°

j) 2,7 rad = Respuesta: 154° 46´ 37,4"

k) 3,6 rad = Respuesta: 206° 22´ 09,94"

l) (4/3).π rad = Respuesta: 240°

ll) 4,18888 rad = Respuesta: 240° 07´ 36,76"

m) (7/5).π rad = Respuesta: 252°

n) (5/3).π rad = Respuesta: 300°

ñ) (7/4).π rad = Respuesta: 315°

o) 5,55555 rad = Respuesta: 318° 28´ 15,6"

p) 6 rad = Respuesta: 343° 56´ 56,5"

q) 6,17222 rad = Respuesta: 353° 49´ 17,5"

r) (7/3).π rad = Respuesta: 420°

   

 

    1.  Determina  el  complemento  de  72º.  2.  ¿Cuál  es  el  suplemento  de  139º?  3.  ¿Cuál  es  el  suplemento  de  (a  -­‐  12)º  4.  Determina  el  complemento  del  suplemento  de  143º.  5.   Si   36º   es   el   complemento   del   suplemento   de   x.  ¿Cuántos  grados  mide  x?  6.  ¿Cuál  es  el  suplemento  del  complemento  de  (a  -­‐  10)º.  7.  ¿Cuántos  grados  resultan  si  al  complemento  de  37º  se  le  suma  el  suplemento  de  93º.  8.  Determina  la  diferencia  entre  el  suplemento  de  (a  -­‐  15)º  y  el  complemento  de  (a  -­‐  45)º  9.  Un  ángulo  y  su  suplemento  están  en  razón  7:2.  ¿Cuánto  mide  el  ángulo  menor?  

10.   Un   ángulo   y   su   complemento   están   en   razón   2:1.  ¿Cuánto  mide  el  suplemento  del  ángulo  mayor?  11.   Determina   el   ángulo   que   es   el   triple   de   su  complemento.  12.   Determina   el   ángulo   que   es   la   cuarta   parte   de   su  suplemento.  13.   Dos   ángulos   son   complementarios   y   el   mayor   es   5  veces  el  menor.  ¿Cuánto  mide  el  ángulo  menor?  14.  Si  x  e  y  son  ángulos  adyacentes  y    x    tiene  27º  más  que  y.  ¿Cuánto  mide  x?  15.   Un   ángulo   tiene   35º   menos   que   otro   ángulo   cuyo  complemento   es   12º.   ¿Cuánto   resulta   de   sumar   dichos  ángulos?  16.  Dos  ángulos  que  suman  50º  están  en   la  razón  de  2:3.  ¿En   qué   razón   están   los   complementos   respectivos   de  estos  ángulos?  17.   El   complemento   y   el   suplemento   de   un   ángulo   son  entre  sí  como  1:5.  ¿Cuánto  mide  el  ángulo?  18.  Determina  el  complemento  de  42º18'.  19.  Determina  el  suplemento  de  154º27'42''.  20.   Si   el   suplemento   de   un   ángulo   es   113º26'14'',  determina  dicho  ángulo.  21.  Si  m  =  92º35'14''  y  n  =  27º47'32'',  ¿cuánto  es  m  +  n?  22.  Un  ángulo   recto   se  divide  en   razón  1:2:3.   ¿Cuál   es   la  diferencia   entre   el   ángulo   mayor   y   el   ángulo   menor   de  esta  división?  23.Dos  ángulos  opuestos  por  el  vértice  miden    (20  -­‐  a)º    y    (a  +  74)º.  ¿Cuánto  vale  a?  24.   El   complemento   de   un   ángulo   de   47º   es   (ß   -­‐   30)º.  ¿Cuánto  vale  ß?  25.  Si  la  diferencia  entre  dos  ángulos  complementarios  es      22º.   ¿Cuál   es   la   diferencia   entre   sus   complementos  respectivos?  26.  A   la   cuarta  parte  de  un  ángulo   se   le   suma  su   tercera  parte  resultando  7º.  ¿Cuánto  mide  el  ángulo?

27.   El   doble   de   un   ángulo   es   la   cuarta   parte   de   su  complemento.  ¿Cuánto  mide  el  ángulo?                                                                                                      

TRIANGULOS    

Un   triángulo,   en  geometría,   es   un   polígono  de   tres   lados   determinado  por   tres   segmentos  de   tres  rectas   que   se   cortan,  denominados   lados  (Euclides);  o  tres  puntos  no  alineados   llamados  vértices.   También   puede  determinarse   un   triángulo  por   cualesquiera   otros   tres  elementos   relativos   a   él,  

como  por  ejemplo  un  ángulo  y  dos  medianas;  o  un   lado,  una  altura  y  una  mediana.    Si   está   contenido   en   una   superficie   plana   se   denomina  triángulo,  o   trígono,  un  nombre  menos  común  para  este  tipo   de   polígonos.   Si   está   contenido   en   una   superficie  esférica  se  denomina  triángulo  esférico.  Representado,  en  cartografía,   sobre   la   superficie   terrestre,   se   llama  triángulo  geodésico    Convención  de  escritura  Los  puntos  principales  de  una  figura  geométrica,  como  los  

vértices   de   un  polígono,   suelen   ser  designados   por  letras   latinas  mayúsculas:   A,   B,   C,  ...  Un   triángulo   se  

nombra   entonces   como   cualquier   otro   polígono,  nombrando  sucesivamente  sus  vértices,  por  ejemplo  ABC.  El  orden  de  citación  de  los  vértices  es  irrelevante,  porque  todos   los   segmentos   de   los   que   estos   vértices   son   los  extremos,  son  los  lados  del  triángulo.  Los   lados   del   triángulo,   son   llamados,   como   todos   los  segmentos,   por   sus   extremos:   AB,   BC   y   AC,   en   nuestro  ejemplo.  Para   nombrar   la   longitud   de   un   lado,   por   lo   general   se  utiliza   el   nombre   del   vértice   opuesto,   convertido   a  minúscula  latina:  a  para  BC,  b  para  AC,  c  para  AB.  La   notación   general   para   el   ángulo   entre   dos   segmentos  

OP  y  OQ  que  comparten  el  extremo  O  es    También   podemos   utilizar   una   letra  minúscula,   griega   lo  más   a   menudo,   coronada   por   un   acento   circunflejo   (en  rigor,   los   ángulos   deben   ser   designados   por   letras  mayúsculas   y   su  medida  por  minúsculas,   pero   a  menudo  se  utilizan   los  mismos  nombres  para   los  dos  con  el   fin  de  simplificar  la  notación).  En  el  caso  de  un  triángulo,  el    

                                                                 

   

Contenido  

1  Convención  de  escritura  

2  Clasificación  de  los  triángulos    

       2.1  Por  la  longitud  de  sus  lados  

       2.2  Por  la  amplitud  de  sus  ángulos  

       2.3  Otras  denominaciones  

3    Congruencia  de  triángulos    

       3.1  Postulados  de  congruencia  

4  Semejanza  de  triángulos    

       4.1  Semejanzas  de  triángulos  rectángulos  

5  Propiedades  de  los  triángulos  

6  Centros  del  triángulo  

7  Cálculo  de  elementos  en  un  triángulo  

8  Elementos  notables  de  un  triángulo    

     8.1  Medianas  y  centro  de  gravedad  

     8.2  Mediatrices  y  círculo  circunscrito  

     8.3  Bisectriz  y  círculo  inscrito  

     8.4  Alturas  y  ortocentro  

     8.5  Recta  y  círculo  de  Euler  

 

ángulo  entre  dos  lados  todavía  puede,  por  tolerancia  y  en  ausencia  de  ambigüedad,  ser  designado  por  el  nombre  del  vértice   común,   coronado   por   un   acento   circunflejo.   En  resumen,   en   nuestro   ejemplo,   podemos   observar   los  ángulos:    

     2.  Clasificación  de  los  triángulos  Los   triángulos   se  pueden   clasificar   por   la   longitud  de   sus  lados  o  por  la  amplitud  de  sus  ángulos.  2.1  Por  la  longitud  de  sus  lados  Por  la  longitud  de  sus  lados,  los  triángulos  se  clasifican  en:  Triángulo   equilátero:   si   sus   tres   lados   tienen   la   misma  longitud   (los   tres   ángulos   internos   miden   60   grados   ó  

radianes.)  Triángulo   isósceles:   si   tiene   dos   lados   de   la   misma  longitud.  Los  ángulos  que  se  oponen  a  estos   lados  tienen  la  misma  medida.  Triángulo   escaleno:   si   todos   sus   lados   tienen   longitudes  diferentes.  En  un  triángulo  escaleno  no  hay  ángulos  con  la  misma  medida.    

 2.2  Por  la  amplitud  de  sus  ángulos  Por  la  amplitud  de  sus  ángulos,  los  triángulos  se  clasifican  en:  Triángulo   rectángulo:   si   tiene   un   ángulo   interior   recto  (90°).  A  los  dos  lados  que  conforman  el  ángulo  recto  se  les  denomina  catetos  y  al  otro  lado  hipotenusa.  Triángulo   obtusángulo:   si   uno   de   sus   ángulos   es   obtuso  (mayor  de  90°);  los  otros  dos  son  agudos  (menor  de  90°).  Triángulo   acutángulo:   cuando   sus   tres   ángulos   son  menores   a   90°;   el   triángulo   equilátero   es   un   caso  particular  de  triángulo  acutángulo.    

 

Se  llama  triángulo  oblicuángulo  cuando  no  tiene  un  ángulo  interior   recto   (90°).   Los   triángulos   obtusángulos   y  acutángulos  son  oblicuángulos.  3.  Otras  denominaciones  Además,  tienen  estas  denominaciones  y  características:  Los  triángulos  acutángulos  pueden  ser:  Triángulo   acutángulo   isósceles:   con   todos   los   ángulos  agudos,   siendo   dos   iguales,   y   el   otro   distinto,   este  triángulo  es  simétrico  respecto  de  su  altura  diferente.  Triángulo   acutángulo   escaleno:   con   todos   sus   ángulos  agudos  y  todos  diferentes,  no  tiene  ejes  de  simetría.  Los  triángulos  rectángulos  pueden  ser:  Triángulo  rectángulo  isósceles:  con  un  angulo  recto  y  dos  agudos   iguales  (de  45°  cada  uno),  dos   lados  son  iguales  y  el   otro   diferente,   naturalmente   los   lados   iguales   son   los  catetos,   y   el   diferente   es   la   hipotenusa,   es   simétrico  respecto  a   la  altura  que  pasa  por  el  ángulo  recto  hasta   la  hipotenusa.  Triángulo   rectángulo   escaleno:   tiene   un   ángulo   recto   y  todos  sus  lados  y  ángulos  son  diferentes.  Los  triángulos  obtusángulos  son:  Triángulo  obtusángulo  isósceles:  tiene  un  ángulo  obtuso,  y   dos   lados   iguales   que   son   los   que   parten   del   ángulo  obtuso,  el  otro  lado  es  mayor  que  estos  dos.  Triángulo  obtusángulo  escaleno:  tiene  un  ángulo  obtuso  y  todos  sus  lados  son  diferentes.  Triángulo  

equilátero   isósceles   escaleno  

acután

gulo    

   

rectán

gulo  

 

   

obtusángulo    

   

 3.  Congruencia  de  triángulos  Dos   triángulos   son   congruentes   si   hay   una  correspondencia   entre   sus   vértices   de   tal  manera   que   el  ángulo   del   vértice   y   los   lados   que   lo   componen   sean  congruentes  con  los  del  otro  triángulo.    

Dos   triángulos   son   congruentes   si   hay   una  correspondencia   entre   sus   vértices   de   tal  manera   que   el  ángulo   del   vértice   y   los   lados   que   lo   componen   sean  congruentes  con  los  del  otro  triángulo.    3.1  Postulados  de  congruencia    

Triángulo   Postulado  

 

Postulado  LAL  (Lado,  Ángulo,  Lado)    Dos  lados  en  un  triángulo  tienen  la  misma  longitud  que  dos  lados  en  el  otro  triángulo,  y  los  ángulos  comprendidos  entre  esos  lados  tengan  también  la  misma  medida.  

 

Postulado  ALA  (Ángulo,  Lado,  Ángulo)    Dos  ángulos  interiores  y  el  lado  comprendido  entre  ellos,  en  un  triángulo,  tienen  la  misma  medida  y  longitud,  respectivamente  con  los  del  otro  triángulo.  (El  lado  comprendido  para  un  par  de  ángulos  es  el  lado  que  es  común  a  ellos).  

 

Postulado  LLL  (Lado,  Lado,  Lado)    Cada  lado  de  un  triángulo  tiene  la  misma  longitud  que  un  lado  correspondiente  del  otro  triángulo.  

 

Postulado  AAL  (Ángulo,  Ángulo,  Lado)    Dos  ángulos  y  un  lado  correspondiente  no  comprendido  entre  los  ángulos,  en  un  triángulo,  tienen  la  misma  medida  y  longitud,  respectivamente,  que  las  del  otro  triángulo.  

 4.0  Semejanza  de  triángulos    Dos   triángulos   son   semejantes   si   sus   ángulos   tienen   la  misma  amplitud  y  los  lados  opuestos  de  estos  ángulos  son  proporcionales.  Criterio   aa   (ángulo,   ángulo).   Si   dos   de   sus   ángulos   son  semejantes  Criterio   lal   (lado,   ángulo,   lado).   Si   dos   de   sus   lados   son  proporcionales   y   el   ángulo   comprendido   entre   ellos   es  congruente.  Criterio   lll   (lado,   lado,   lado).   Si   sus   tres   lados   son  proporcionales.  Semejanzas  de  triángulos  rectángulos  

Dos   triángulos   rectángulos   son  semejantes   si   cumple  con  al  menos  uno  de  los  criterios  siguientes:  Si   uno   tiene   un   ángulo   agudo   de   igual   amplitud   que   un  ángulo  agudo  del  otro.  Si   uno   tiene   los   dos   catetos   proporcionales   con   los   del  otro.  Si  uno  tiene  un  cateto  y  la  hipotenusa  proporcionales  con  los  del  otro.    5.0  Propiedades  de  los  triángulos  

 Un   triángulo   puede  ser   definido   como   un  polígono   de   tres  lados,   o   como   un  polígono   con   tres  

vértices.  Después   del   punto   y   el   segmento,   el   triángulo   es   el  polígono  más  simple.  Es  el  único  que  no  tiene  diagonal.  En  el  espacio,   tres  puntos  definen  un  triángulo   (y  un  plano).  Por   el   contrario,   si   cuatro   puntos   de   un   mismo   plano  forman  un  cuadrilátero,  cuatro  puntos  que  no  estén  en  el  mismo  plano  no  definen  un  polígono,  sino  un  tetraedro  Por   otra   parte,   cada   polígono   puede   ser   dividido   en   un  número   finito   de   triángulos   que   se   forman   con   una  triangulación   del   polígono.   El   número   mínimo   de  triángulos  necesarios  para  esta  división  es  n  −  2,  donde  n  es   el   número   de   lados   del   polígono.   El   estudio   de   los  triángulos   es   fundamental   para   el   estudio   de   otros  polígonos,  por  ejemplo  para  la  demostración  del  Teorema  de  Pick    Los   tres   ángulos   internos   de   un   triángulo  miden   180°   lo  que  equivale  a  π  radianes,  en  geometría  euclidiana.1  

 La  suma  de  los  ángulos  de  un  triángulo  es  180  grados.  Euclides   había   demostrado   este   resultado   en   sus  Elementos   (proposición   I-­‐32)   de   la   siguiente   manera:  trazamos  la  paralela  a  la  línea  (AB)  que  pasa  por  C.  Siendo  paralelas,   esta   recta   y   la   recta   (AB)   forman   con   la   recta  (AC)  ángulos  iguales,  codificados  en  color  rojo  en  la  figura  de   al   lado   (ángulos   alternos-­‐internos).   Del  mismo  modo,  los  ángulos  codificados  en  color  azul  son   iguales   (ángulos  correspondientes).   Por   otro   lado,   la   suma   de   los   tres  ángulos  del  vértice  C  es  el  ángulo  llano.  Así  que  la  suma  de  las  medidas   del   ángulo   de   color   rojo,   del   ángulo   verde   y  

del  azul  es  un  ángulo  de  180  °  (o  π  radianes).  La  suma  de  los  ángulos  de  un  triángulo  es  180  °.  Esta  propiedad  es  el  resultado  de  la  geometría  euclidiana.  No  se  verifica  en  general  en  la  geometría  no  euclidiana.  La  suma  de  las  longitudes  de  dos  de  sus  lados  es  siempre  mayor  que  la  longitud  del  tercer  lado.  El   valor   de   la   paralela   media   de   un   triángulo   (recta   que  une  dos  puntos  medios  de  dos   lados)   es   igual   a   la  mitad  del  lado  paralelo.  Para   cualquier   triángulo   se   verifica   el   Teorema   del   seno  que   establece:   «Los   lados   de   un   triángulo   son  proporcionales  a  los  senos  de  los  ángulos  opuestos»:    

 

   El  teorema  de  Pitágoras  gráficamente.  Para  cualquier  triángulo  se  verifica  el  Teorema  del  coseno  que  demuestra  que  «El  cuadrado  de  un   lado  es   igual  a   la  suma  de  los  cuadrados  de  los  otros  lados  menos  el  doble  del   producto   de   estos   lados   por   el   coseno   del   ángulo  comprendido»:  

 

 

 Para   cualquier   triángulo   rectángulo,   cuyos   catetos  miden  a  y  b,  y  cuya  hipotenusa  mida  c,  se  verifica  el  Teorema  de  Pitágoras:  

     7.  Centros  del  triángulo  Geométricamente  se  pueden  definir  varios  centros  en  un  triángulo:  Baricentro:   es   el   punto   que   se   encuentra   en   la  intersección   de   las   medianas,   y   equivale   al   centro   de  gravedad  Circuncentro:   es   el   centro   de   la   circunferencia  circunscrita,   aquella   que   pasa   por   los   tres   vértices   del  triángulo.   Se   encuentra   en   la   intersección   de   las  mediatrices   de   los   lados.   Además,   la   circunferencia  circunscrita   contiene   los   puntos   de   intersección   de   la  mediatriz  de  cada  lado  con  las  bisectrices  que  pasan  por  el  vértice  opuesto.  

Incentro:  es  el  centro  de  la  circunferencia  inscrita,  aquella  que  es  tangente  a  los  lados  del  triángulo.  Se  encuentra  en  la  intersección  de  las  bisectrices  de  los  ángulos.  Ortocentro:   es   el   punto   que   se   encuentra   en   la  intersección  de  las  alturas.  Exincentros:   son   los   centros   de   las   circunferencias  exinscritas,   aquellas   que   son   tangentes   a   los   lados   del  triángulo.  Se  encuentra  en  la  intersección  de  una  bisectriz  interior  y  dos  bisectrices  exteriores  de  los  ángulos.  El  único  caso  en  que  los  cuatro  primeros  centros  coinciden  en  un  único  punto  es  en  un  triángulo  equilátero.  Cálculo  de  elementos  en  un  triángulo  Para   resolver   triángulos   utilizamos   generalmente   el  Teorema  de  Pitágoras  cuando  son  triángulos  rectángulos,  o  los  Teoremas  del  seno  y  del  coseno.      8.1  Medianas  y  centro  de  gravedad  

   Medianas  y  centro  de  gravedad  de  un  triángulo  Se   lama  mediana   de   un   triángulo   cada   una   de   las   tres  líneas   que   pasan   por   un   vértice   del   triángulo   y   por   el  punto  medio  del  lado  opuesto  al  vértice.  Cada  una  de  las  tres  medianas  dividen  el  triángulo  en  dos  triángulos  de  áreas  iguales.  Las   tres   medianas   de   un   triángulo   son   concurrentes.   Su  punto   de   intersección  G   es   llamado   centro   de   gravedad  del  triángulo    8.2  Mediatrices  y  círculo  circunscrito  

   

Mediatrices  y  círculo  circunscrito  de  un  triángulo.  Se   llama   mediatriz   de   un   triángulo   a   cada   una   de   las  mediatrices  de  sus  lados  [AB],  [AC]  et  [BC].  Las   tres  mediatrices  de  un   triángulo   son  concurrentes  en  un  punto  Ω  equidistante  de  los  tres  vértices.  El  círculo  de  centro  Ω   y   radio  ΩA   que   pasa   por   cada   uno   de   los   tres  vértices  del  triángulo  es  el  círculo  circunscrito  al  triángulo.  Notas:  Un   triángulo  es  obtusángulo   si   y   sólo   si   las  bisectrices   se  cortan  fuera  del  triángulo.  Un   triángulo   es   acutángulo   si   y   sólo   si   las   bisectrices   se  cortan  dentro  del  triángulo.  Propiedad:  ABC  es  un  triángulo  rectángulo  en  A   si  y  sólo  si  el  centro  de  su  círculo  circunscrito  es  el  centro  de  [BC].    8.3  Bisectriz  y  círculo  inscrito  

   Bisectrices  y  círculo  inscrito  de  un  triángulo.  Las  bisectrices   de  un   triángulo   son   las   tres  bisectrices  de  sus  ángulos  internos.  Las  tres  bisectrices  de  un  triángulo  son  concurrentes  en  un  punto  O.  El  círculo  inscrito  del  triángulo  es  el  único  círculo  tangente   a   los   tres   lados   del   triángulo   y   está   totalmente  incluido  en  el  triángulo.  Tiene  por  punto  central  O,  que  es  pues   el   centro   del   círculo   inscrito   en   el   triángulo.    8.4  Alturas  y  ortocentro  

   Alturas  y  ortocentro  de  un  triángulo  

Se   llama   altura   de   un   triángulo   a   cada   una   de   las   tres  líneas   que   pasan   por   un   vértice   del   triángulo   y   son  perpendiculares   a   la   cara   opuesta   al   vértice.   La  intersección   de   la   altura   y   el   lado   opuesto   se   denomina  «pie»  de  la  altura.  Estas   3   alturas   se   cortan   en   un   punto   único   H   llamado  ortocentro  del  triángulo.  Notas:  Un  triángulo  es  rectángulo  si  y  sólo  si  su  ortocentro  es  uno  de  los  vértices  del  triángulo  Un   triángulo   es   obtusángulo   si   y   sólo   si   su   ortocentro   se  encuentra  fuera  del  triángulo  Un  triángulo  es  acutángulo  si  y  sólo  si   su  ortocentro  está  dentro  del  triángulo      Recta  y  círculo  de  Euler  

   Recta  y  círculo  de  Euler  de  un  triángulo  Los  tres  puntos  H,  G  y  Ω  están  alineados  en  una  línea  recta  llamada   recta  de  Euler   del   triángulo   y   verifica   la   relación  de  Euler:  

 Por  otra  parte,  los  puntos  medios  de  los  tres  lados,  los  tres  pies  de   las  alturas  y   los  puntos  medios  de   los   segmentos  [AH],   [BH]   y   [CH]   están   en   un   mismo   círculo   llamado  círculo   de   Euler   o   círculo   de   los   nueve   puntos   del  triángulo        Ejercicios.    

1. Traza  3  triángulos  uno  acutángulo,  uno  rectángulo  y   otro   obtusángulo,   del   tamaño   que   puedas  manejar   con   facilidad.   Recorta   los   triángulos  trazados  y  suma  sus  ángulos  interiores.  

2. Prepara   4   palillos   de   madera   con   las   siguientes  medidas.   6,   10,   12   y   14   cm.   Forma   todos   los  triángulos   posibles   empleando   tres   palillos  ¿Cuántos   triángulos   puedes   formar?   ¿Qué   clase  de   triángulo   es   cada   uno   de   ellos?   Anota   tus  resultados  en  una  tabla.  

3. Calcula  la  medida  de  os  {angulos  interiores  de  los  siguientes  triángulos.                    

4. Completa   correctamente   los   siguientes  enunciados.    a) Los  ángulos  agudos  de  un  triángulo  rectángulo  

son  __________  b) Si   en   un   triángulo   dos   de   sus   ángulos  

interiores  miden  34ᵒ  y  75ᵒ  r4espectivamente  el  tercer  ángulo  mide  _________  y  el  triángulo  es  ________________  

c) Si  uno  de   los  ángulos  agudos  de  un   triángulo  rectángulo   mide   29ᵒ   48’   56”   el   otro   ángulo  agudo  debe  de  medir  ___________________  

5. Deduce   las   medidas   faltantes   de   los   ángulos  interiores   de   todos   los   triángulos   del   esquema  siguiente  y  clasifícalos  según  las  amplitudes  de  sus  ángulos  y  las  longitudes  de  sus  lados.  Presenta  los  resultados  en  una  tabla.  

                     6. Traza   un   triángulo   rectángulo   uno   de   cuyos  

catetos  mida   3   cm   y   uno   de   sus   ángulos   agudos  mida   50ᵒ.   Con   los   elementos   dados   ¿cuántos  triángulos  rectángulos  puedes  trazar?  

   

7. Traza   un   triángulo   isósceles   con   los   siguientes  datos.  ¿Cuántos  triángulos  isósceles  puedes  trazar  en  cada  caso?  a) Un   ángulo   adyacente   al   lado   desigual   mide  

45ᵒ  b) El   ángulo   comprendido   entre   los   lados  

congruentes  mide  45ᵒ  

8. Traza   un   triángulo   isósceles   con   los   elementos  proporcionados   ¿Cuántos   triángulos   isósceles  puedes  trazar  en  cada  caso?  a) El   segmento   AB   es   la   base   y   un   ángulo  

adyacente  a  ella  mide  45ᵒ            b) El  ángulo  opuesto  a   la  base  mide  110ᵒ  y  uno  

de  los  lados  congruentes  es  el  segmento  PR            

9. Analiza   los   datos   en   cada   inciso   y   responde:   ¿es  posible  construir  un  triángulo  con  estas  medidas?  Utiliza  la  notación  de  la  siguiente  figura.  

 a) a=12  cm  b=7  cm  c=4  cm  b) a=10  cm  b=3  cm  A=30ᵒ                                                                            B=40ᵒ          10. Dos   de   los   ángulos   interiores   de   un   triangulo  

miden  23ᵒ   y  34ᵒ   respectivamente  ¿Qué  clase  de  triángulos  es?  a) Acutángulo  b) Rectángulo  c) Obtusángulo  d) Equiángulo  

 11. Uno   de   los   ángulos   agudos   de   un   triángulo  

rectángulo   mide   39ᵒ   30’.   ¿Cuánto   mide   el   otro  ángulo?    a) 51ᵒ30’  b) 140ᵒ30’  c) 50ᵒ30’  d) 89ᵒ30’  

 12. Es   la   suma   de   las   medidas   de   los   ángulos  

interiores  K  y  M  del  triángulo  KLM  de  la  siguiente  figura  a) 63ᵒ  b) 117ᵒ  c) 90ᵒ  d) 27ᵒ  

54�  

108�   90�  

147.7�  

27�                                                            65�                      45�                                                            33�  

55�      33�                         45�  

A                                                                                                      B                                                                                                            C  

E                        

H                      

D                      

F                       G                        

A                                                                B  

45�  

A                                                                B  

110�  

 

A  

B  

C   a  

b  

c  

117�  

K  

L  

M  

   

   2   Observadores   separados   250   m   ven   un   globo   estático  situado   entre   ellos   bajo   ángulos   de   72ᵒ   y   85ᵒ   ¿a   que  altura   se   encuentra   el   globo?   ¿a   que   distancia   se  encuentra  cada  observador  del  glolbo?    La   base   de   un   triángulo   isóceles  mide   58   cm   y   los   lados  iguales  39  cm,  calcular  los  ángulos                                                                            

                                                                         POLIGONOS    Polígono   es   la   superficie   plana   encerrada   dentro   de   un  contorno   formado   por   segmentos   rectos   unidos   en   sus  extremos.    

Cada  uno  de  los  segmentos  se  denomina  lado.    El  punto  de  unión  de  cada  par  de  segmentos  se  denomina  ángulo.    El   número  de   lados,   (   y   por   tanto  de   ángulos)   ha  de   ser    mayor  o  igual  a  tres.    

   

Los  polígonos   suelen  nombrarse  por  el  número  de   lados:  triángulo,  cuadrilátero,  pentágono,...        SUMA  DE  LOS  ÁNGULOS  DE  UN  POLÍGONO.      Ya  vimos  en   los   temas  anteriores   la  suma  de   los  ángulos  de  un  triángulo  (180º)  y  de  un  cuadrilátero  (360º).    

   

POLÍGONO   n   SUMA  ÁNGULOS  Triángulo     3   180  Cuadrilátero   4   180·∙2  =  360  Pentágono   5   180·∙3=540  Polígono     n   180·∙(n-­‐2)  La   suma   de   los   ángulos   de   un   polígono   de   n   lados   es  180·∙(n-­‐2)  

¿Cuánto suman los ángulos interiores de un este polígono?  

   

   

Un   pentágono   puede   descomponerse   en   tres   triángulos.  Bien  desde  el  punto  que  se  ha  marcado  o  desde  otro.    Por   tanto   la   suma  de   sus  ángulos   interiores  es     3·∙180º  =  540º.  

 

     DIAGONALES  DE  UN  POLÍGONO.    Diagonal   de   un   polígono   es   un   segmento   que   une   dos  vértices  no  consecutivos  

¿Cuántas  diagonales  tienen  un  polígono  de  n  lados?    

       

Polígono   Nº  Lados   Nº  Diagonales  Triángulo     3   d3=  0  Cuadrilátero   4   d4=2  Pentágono   5   d5=  2+3=5    Hexágono   6   d6=  2+3+4=9    Heptágono   7    d7  =  2+3+4+5=14              Polígono     n      2+3+4+5+....+(n-­‐2)    

Aplicando esta expresión calcula el número de diagonales de un decágono.  

 

Veamos  un  razonamiento  más  sencillo  para  determinar  el  número  de  diagonales  de  un  polígono  cualquiera.  

 Imagina  un  polígono  de  n  lados  (n  vértices).    De  cada  vértice  salen  n-­‐3  diagonales,  ya  que  a  él  mismo  y  

a  los  dos  contiguos  no  hay  diagonal.  Tenemos  por  tanto,  n  vértices  ·∙  (n-­‐3)  diagonales  de  cada  vértice.    Con   esta   cuenta   cada   diagonal   la   contamos   dos   veces,  hay  por  tanto  que  dividir  entre  dos.  Por   tanto   un   polígono   de   n   lados   tiene   dn=   n·∙   (n-­‐3)/2  

diagonales.    Dibuja   un   octógono   y  sus   diagonales.  ¿Cuántas   tiene?  cuéntalas,   y   después  haz   el   cálculo   con   la  expresión   que   se   ha  deducido.        ¿Cuántas   diagonales  tiene   un   polígono   de  

20  lados?        

POLÍGONOS  CONVEXOS    

       Un   polígono   es   convexo   si   todos   los   ángulos   interiores  son  menores  de  180º.    En   un   polígono   convexo   la   suma   de   los   ángulos  exteriores  es  360º.    

Es  muy  sencillo  de  ver,  entre  todos   los  ángulos  dan  una  vuelta  completa.  

 

Un polígono es regular,  si  todos  sus  lados  son  iguales  y  sus  ángulos  también  son  iguales    Polígono   regular  es  el  que   tiene   lados   iguales   y  ángulos  iguales.      Un  polígono  es  regular  si  es  equilátero  y  equiángulo      

Triángulo  equilátero  

 Cuadrado  

 Pentágono  regular  

 Hexágono  regular  

   

Heptágono  regular  

     

Octógono  regular  

 

   

   

   EJERCICIOS  1.-­‐   Dibuja   un   triángulo   cuyos   lados   midan   6,   7   y   8  centímetros.   ¿Cómo   es   el   triángulo   según     sus     lados     y    según     sus    ángulos?    Traza     todas     las     rectas    y    puntos    notables.    ¿Dónde  están  situados  los  puntos  notables?    El     triángulo     es     escaleno     porque     los     tres     lados     son    distintos     y     acutángulo     porque   todos   sus   ángulos   son  agudos.  Todos  los  puntos  notables  están  en  el  interior.    

   2.-­‐   Dibuja   un   triángulo   cuyos   lados   midan   6,   8   y   10  centímetros.   ¿Cómo   es   el   triángulo   según     sus     lados     y    según     sus    ángulos?    Traza     todas     las     rectas    y    puntos    notables.    ¿Dónde  están  situados  los  puntos  notables?    El     triángulo     es     escaleno     porque     los     tres     lados     son    distintos    y     rectángulo    porque   tiene  un  ángulo   recto.  El  circuncentro   coincide   con   el   punto   medio   de   la  hipotenusa.    El    ortocentro    coincide    con    el    vértice    del    ángulo    recto.    El    baricentro    y    el    incentro  están  en  el  interior.        3.-­‐   Dibuja   un   triángulo   cuyos   lados   midan   6,   8   y   12  centímetros.   ¿Cómo   es   el   triángulo   Según     sus     lados     y    según     sus    ángulos?    Traza     todas     las     rectas    y    puntos    notables.    ¿Dónde  están  situados  los  puntos  notables?    El  triángulo  es  escaleno  porque  los  tres  lados  son  distintos  y   obtusángulo   porque   tiene   un   ángulo   obtuso.   El  circuncentro  y  el  ortocentro  quedan  fuera  del  triángulo.    El  baricentro  y  el  incentro  están  en  el  interior.        4.-­‐   Dibuja   un   triángulo   cuyos   lados   midan   6,   6   y   6  centímetros.   ¿Cómo   es   el   triángulo   según     sus     lados     y    según     sus    ángulos?    Traza     todas     las     rectas    y    puntos    notables.    ¿Qué  ocurre  con  las  rectas  y  los  puntos  notables?    El   triángulo  es  equilátero  y  acutángulo,   todos   los  ángulos  miden  60º.  Las  rectas  y  los  puntos  notables  coinciden.  La   siguiente   figura  muestra   polígonos   regulares   de   hasta  36   lados,  observa  que  al  aumentar  el  número  de   lados   la  forma  del  polígono  se  aproxima  a  una  circunferencia.    

   

   Los   elementos   más   importantes   de   un   polígono   regular  son:  centro,  radio,  lado  y    apotema    

Centro,  el  punto  que  equidista  de  los  vértices.  Radio   R,   es   el   segmento   que   une   el   centro   con   un  vértice.  Apotema  a,  segmento  que  une  el  centro  con  el  punto  medio  de  un  lado.          

En   todo   polígono   regular   se   puede   construir   un    triángulo  rectángulo  que  tiene  por  lados  la  mitad  del  lado,  el  apotema  y  el  radio.    Aplicando  el  teorema  de  Pitágoras,      

 

   Ángulo  central  de  un  polígono  regular.  

   La   figura   representa   el   ángulo   central   de   un  polígono  regular  de  N  lados.  

 

La  amplitud  del  ángulo  central  es    

   Comprueba  en  la  figura  que  el  ángulo  central  de  un  octógono  es  45º.    ¿Cuánto   mide   el   ángulo   central   de   un   decágono  regular?  (10  lados)?    

         

No  todos  los  polígonos  regulares  pueden  construirse  de  forma  exacta  con  regla  y  compás.      

EL ÁNGULO CENTRAL ES IGUAL A 360 DIVIDIDO ENTRE EL NÚMERO DE LADOS

         CONSTRUCCIÓN  DE  POLÍGONOS  REGULARES    En   primer   lugar   debes   saber   que   no   todos   los   polígonos  regulares   pueden   construirse   de   forma   exacta   utilizando  únicamente  regla  y  compás.    Desde   los   tiempos     Euclides   (300   A.C)   se   conocían  construcciones  geométricas  con  sólo  regla  y  compás  para  polígonos  regulares  de  3,  4,  5  y  15  lados  y  los  que  de  éstos  se  deducen:    Si  un  polígono  regular  de  n   lados  es  construible,   también  lo  son  los  de  número  de  lados  2n,  4n,  8n,...  basta  para  ello  trazar  la  circunferencia  circunscrita  al  polígono  y  hacer  las  mediatrices  de  sus  lados.      Si   un   polígono   regular   de   n   lados   puede   construirse  también   son   construibles   los   polígonos   cuyo   número   de  lados  sea  divisor  de  n.  Basta  unir   los  vértices  de  m  en  m.  Ej.  Si  construimos  el  polígono  regular  de  12  lados,  uniendo  

de   3   en   3   se   obtiene   un   cuadrado.   Si   unimos   de   dos   en  dos,  hexágono.      Veamos   en   primer   lugar   algunas   construcciones   de  polígonos  regulares  conocido  el  lado    

TRIÁNGULO  EQUILÁTERO    

   

 CUADRADO  

 

   

HEXÁGONO  REGULAR    

   Utiliza  los  controles  de  la  parte  inferior  de  cada  una  de  las  construcciones  para  su  observación  detallada.    

A   veces   interesa   construir   un   polígono   regular   partiendo  de  la  circunferencia  circunscrita    

CUADRADO    

   

HEXÁGONO  REGULAR    

   

   

OCTÓGONO  REGULAR    

   Para   construir   el   cuadrado   se   han   trazado   una   recta  cualquiera  que  pase  por   el   centro  de   la   circunferencia,   a  continuación  una  recta  perpendicular  a  ella.    

Observa   que   el   octógono   se   ha   construido   haciendo   la  bisectriz  de  las  rectas  que  definen  el  cuadrado.  ¿Como   harías   para   construir   un   dodecágono   regular?  Dodecágono  =  12  lados.    A   finales  del   Siglo  XVIII,   uno  de   los   grandes  matemáticos  de   la   historia,   Gauss,   con   tan   solo   19   años   demostró   la  construcción   del   polígono   regular   de   17   lados.   Gauss,  conocido   como   el   Príncipe   de   las   Matemáticas,   también  demostró   que   es   imposible   construir   utilizando  únicamente  regla  y  compás  los  polígonos  regulares  de  7,9  y  13  lados.    A  modo  de  curiosidad,  observa   la  construcción  del  genial  Gauss    

 ACTIVIDADES  

   

   

 

   

   

 4.-­‐Varía   el   número   de   lados   del   polígono   de   la   figura,   y  completa  la  tabla  siguiente.  

 

Polígono  Regular   Número  de  lados    n  

Ángulo  Interior  180  -­‐  360/n  

Divisor  de    360  

Triángulo  Equilátero     3   60º    SI  

Cuadrado   4          

Pentágono  Reg.   5          

Hexágono  Reg.   6          

Heptágono  Reg.              

Octógono  Reg.              

Eneágono  Reg.                

Decágono  Reg.                

Undecágono  Reg.                

Dodecágono  Reg.                

Indica  si  el  ángulo  interior  es  divisor  de  360º.  

 

   

 Escribe   los       polígonos   regulares   cuyo   ángulo   interior   es    divisor  de  360º.    

 

CIRCUNFERENCIA  Y  CÍRCULO  Circunferencia   es   la   línea   curva   cerrada   y   plana   cuyos  puntos   están   a   la   misma   distancia   (radio)   de   un   punto  (centro).      

   Círculo   es   la     superficie   plana   limitada   por   una  circunferencia    

   

El  centro  y  el  radio  son  los  elementos  característicos  de  la  circunferencia  y  del  círculo.  

   Diámetro  es  el   segmento  que   tiene  por  extremos  puntos  de  la  circunferencia  y  pasa  por  el  centro.  El  diámetro  es  de  longitud  dos  veces  el  radio.  D  =  2R  La   longitud  de   la  circunferencia  dividida  entre   la   longitud  del   diámetro   es   una   constante   que   se   llama   Pi   =   Π   =  3,14159....  

 

   Otros  objetos  geométricos  ligados  circunferencia  y  circulo:  CIRCUNFERENCIA  Arco,   parte   de   la   circunferencia   comprendida   entre   dos  puntos.  

   Cuerda,  segmento  que  une  dos  puntos  cualesquiera  de  la  circunferencia  

   Semicircunferencia:   cada   una   de   las   partes   que   un  diámetro  divide  a  la  circunferencia    

         CÍRCULO    Sector   circular,   región  del   círculo   comprendida  entre  dos  radios  y  el  arco  correspondiente.    

   

Segmento   circular,   región   del   círculo   comprendido   entre  un  arco  y  su  cuerda    

     Semicírculo,   región   limitada   por   un   diámetro   y   su   arco.  Mitad  del  círculo    

   En  dos  circunferencias  con  el  mismo  centro  (concéntricas),  se  llama  corona  circular  a  la  región  del  plano  comprendida  entre  ellas.    

       

CIRCUNFERENCIA Y CIÍRCULO ESTÁN DEFINIDOS POR EL VALOR DEL RADIO

             

POSICIÓN  RELATIVA  DE  RECTA  Y  CIRCUNFERENCIA    Distancia  de  un  punto  a  una  recta.  La  distancia  de  un  punto  a  una  recta  es  la  longitud  del  segmento   que   une   el   punto   con   la   recta   formando  ángulo  recto.  Si  el  punto  P  está  en  la  recta  r,    d  (P,r)  =  0  

 Una  recta  y  una  circunferencia  pueden  ser  exteriores,  tangentes   y   secantes   en   función   de   como   sea   la  distancia  d  del   centro  de   la   circunferencia  a   la   recta  con  respecto  al  radio  R  de  la  circunferencia.  

Exteriores.    La   distancia   de   O  a   r   es  mayor   que  R.  La   recta   y   la  circunferencia   no  tienen   puntos  comunes.        

Tangentes.  La   distancia   del  centro   de   la  circunferencia   a   la  recta   es   igual   al  radio  de  ésta.  La   recta   y   la  circunferencia  tienen   un   punto   en  común.        

Secantes.  La   distancia   del  centro   O   de   la  circunferencia   a   la  recta   es  menor  que  el  radio  r.  Hay   dos   puntos  comunes   a   recta   y  circunferencia  

 

           

CONSTRUCCIÓN   DE   RECTA   TANGENTE   A   UNA  CIRCUNFERENCIA.  a.-­‐  Por  un  punto  P  de  la  circunferencia.    

   Dada  la  circunferencia  c  y  un  punto  P  de  la  circunferencia,  para  trazar  la  tangente  por  P:  1.-­‐  Se  traza  el  radio  OP.    2.-­‐  Se  traza  la  recta  perpendicular  al  radio  por  P.    3.-­‐  La  perpendicular  trazada  es  tangente  a  la  circunferencia.    b.-­‐  Por  un  punto  P  exterior  a  la  circunferencia.    

   Sea  c  la  circunferencia  con  centro  O  y  P  un  punto  exterior.    1.-­‐  Se  calcula  el  punto  medio  M    de  OP.    2.-­‐Se   traza   la   circunferencia   de   centro   M   y   radio   MP.   esta  circunferencia  corta  a  la  inicial  en  dos  puntos,  T1  y  T2.  Estos  son  los  puntos  de  tangencia.    3.-­‐   Las   rectas   PT1   y   PT2   son   las   rectas   tangentes   a   la  circunferencia    LA   RECTA   TANGENTE   A   UNA   CIRCUNFERENCIA   ES  PERPENDICUALR  AL  RADIO  EN  EL  PUNTO  DE  TANGENCIA            

POSICIÓN  RELATIVAS  DE  DOS  CIRCUNFERENCIAS    La   posición   relativa   entre   dos   circunferencias   viene  determinada  por   la  distancia  entre   sus   centros   (d)   y  el  valor  de  sus  radios  R  y  R'.    Se  tienen  los  casos  siguientes  

Exteriores

La distancia entre los centros, d, es mayor que la suma de

los radios. Las circunferencias no tienen puntos en común.

Secantes

La distancia d es menor que la suma de los radios y mayor

que su diferencia. Tienen dos puntos en común

Interiores

La distancia entre los centros es mayor que cero y menor que la diferencia entre los radios.

Una circunferencia está dentro de la otra, y por tanto no tienen puntos en común.

     

     

Tangentes Exteriores

Tangentes Interiores

Concéntricas

La  distancia  entre  los  centros  es  igual  a  la  suma  de  los  radios.  El  centro  de  cada  circunferencia  es  exterior  a  la  otra  y  tienen  un  punto  en  común,  punto  de  tangencia.        

La  distancia  entre  los  centros  es  igual  a  la  diferencia  entre  los  radios.  El  centro  de  una  de  las  circunferencias  está  dentro  de  la  otra.  Tienen  un  punto  en  común.        

Tienen  el  mismo  centro.  La  distancia  d=0.  No  tienen  puntos  en  común,  salvo  que  R=R',  en  este  caso  son  la  misma  circunferencia.        

La  situación  más  interesante  es   la  de  circunferencias  tangentes,  que  pueden  ser  exteriores  e  interiores.    CIRCUNFERENCIAS  TANGENTES.  

La   figura   de   la   derecha   representa   dos  circunferencias   tangentes.   Mueve   los   centros   y   la  circunferencias  azul,  y  comprueba  que  siempre  es  así.  En  la  figura  puedes  observar  la  condición  que  verifican  dos  circunferencias  tangentes:      El  punto  de  tangencia  está  sobre  la  recta  que  une  los  centros  de  las  circunferencias    

   

     CONSTRUCCIÓN  DE  DOS  CIRCUNFERENCIAS  TANGENTES.    Sea  c  una  circunferencia  con  centro  en  O.  Sea  P  un  punto  cualquiera  distinto  de  O.  Construir  una  circunferencia  con  centro  en  P  tangente  a  la  circunferencia  inicial.    1.-­‐  Se  traza  la  recta  que  pasa  por  O  y  por  P.  Sea  T  el  punto  en   que   el   segmento   OP   (   o   su   prolongación)   corta   a   la  circunferencia  c.  2.-­‐  Con  centro  en  P  se  traza  la  circunferencia  de  radio  PT.    

   La  circunferencia  trazada  es  tangente  a  la  primera    

EL PUNTO DE TANGENCIA DE DOS CIRCUNFERENCIAS ESTÁ SOBRE EL SEGMENTO

QUE UNE SUS CENTROS    ÁNGULOS  EN  LA  CIRCUNFERENCIA    

Vamos a estudiar en este apartado algunos ángulos que pueden definirse sobre una circunferencia y las relaciones que existen entre ellos.

ÁNGULO CENTRAL

   Se  llama  ángulo  central  al  que  tiene  su  vértice  en  el  centro  de  la  circunferencia.  En   la   figura   está   representado   el   ángulo   AOB   y   su   arco  

correspondiente  AB.    La  medida  angular  del  arco  AB  es  la  de  su  ángulo  central  AOB  

 

   ÁNGULO  INSCRITO      Ángulo   inscrito   en   una   circunferencia   es   que   tiene   su   vértice  sobre  la  circunferencia  y  sus  lados  cortan  a  la  circunferencia.      

   

   Los   ángulos   inscritos   que   abarcan   el   mismo   arco   son  iguales.  

La   medida   del   ángulo   inscrito   es   la   mitad   del   ángulo  central  correspondiente.      ÁNGULO   INSCRITO   QUE   ABARCA   UNA  SEMICIRCUNFERENCIA.  

   Este  caso  particular  es  muy  importante.  Sea  AB  un  diámetro  de  la  circunferencia.  AOB  =  180º  El  ángulo  inscrito  AVB  ha  de  medir  180/2  =  90.  El  ángulo  inscrito  en  una  semicircunferencia  es  recto    

   UN  TRIÁNGULO  INSCRITO  EN  UNA  SEMICIRCUNFERENCIA  ES  RECTO          ACTIVIDADES    ¿Cuánto  vale  AOB?  Haz  ahora  AVB  =  90º.    ¿Qué  es  AOB  en  esta  situación?    

   3.-­‐Sitúa  los  segmentos    sobre  la  circunferencia  

   4.-­‐La  figura  representa  un  octógono  inscrito.  ¿Cuánto  valen  los  ángulos  marcados?    

   5.-­‐Determina   la  medida  de   los  ángulos  que  se   indican  en  el  hexágono  regular  de  la  imagen.  Explica   por   qué   es   ángulo   recto   el   que   aparece  marcado  con  un  cuadradito.