Manual para la Solucion de metodos

Manual para la Solucion de metodos Euler y Runge-Kutta

Este manual ayudara a resolver los mtodos mencionados de la mejor forma posible

Martinez Gonzalez Luis Alberto114085709/06/2015

Pasos para resolver el mtodo de Euler

Tener un conocimiento previo del mtodo de Euler. Formulas del dicho tema

1- Seleccionar el ejemplo a resolver /=+ ; 0; ()=, con h = 0,5

2. Abrir Excel para solucionar el problema.

3. Apuntamos las formulas en la hoja de Excel para tenerlas a la vista.

4. Derivar el ejemplo que vamos a realizar que quedara de la siguiente manera:

5. Seleccionamos nuestra h

h=0,5

6. Cuando ya tengamos todas las formulas y nuestra h ya podemos empezar a realizar nuestro problema.

7. Realizar una tabla con las siguientes columnas:

NO.: Ser el nmero de iteraciones.(Xi, zi): Ser nuestra solucin aproximada.(Xi, yi): Sera nuestra solucin exacta.

8. Al realizar la tabla en Excel quedara de la siguiente manera:

9. Tambin en la tabla agregaremos:

i: como las iteracionesXiZi(aproximada)Yi(exacta)Error.

10. La tabla ya finalizada quedara de la siguiente manera:

11. Ya teniendo todo finalizado lo de los pasos anteriores seguimos con poner nuestras iteraciones en la tabla:

12. El valor de la primera abscisa es cero entonces el valor de Xi es cero:

13. Para encontrar el valor de las siguientes abscisas se tiene que usar la siguiente formula:

14. Para las dems abscisas no hay necesidad de meter la formula en cada con la primera que este hecha nomas se arrastra hasta el final de las iteraciones:

15. Para encontrar el valor de las abscisa de Zi, el primer valor nos lo proporciona el problema dice que y=1 entonces esa ser la primera abscisa pera para las dems abscisas usamos la siguiente formula:

16. Para las dems iteraciones nomas de ocupa arrastrarla hasta la ultima:

17. Para encontrar las ordenadas de la solucin exacta se utiliza la siguiente formula :

18. Para las siguientes ordenadas solo se ocupa arrastrar:

19. Por ultimo solo se ocupa calcular el error, solo se utiliza una sencilla formula :

20. Parta calcular los dems errores es necesario solo arrastrar:

21. Ahora solo queda graficar las funciones, elegimos los datos que vamos a graficar:

22. elegimos el tipo de grafica

22. Al haber hecho todo lo anterior nuestro problema ya esta resuelto y no que de la siguiente manera:

Pasos para resolver el mtodo Runge-Kutta de orden superior

Tener un conocimiento previo sobre el tema a evaluar. Tener las formulas de dicho tema.

1. Seleccionar el ejemplo a resolver.

2. Abrir Excel para resolver el problema.

3. Apuntamos todas las formulas en la hoja de Excel para tenerlas a la vista.

4. Ahora pondremos nuestros limites en nuestra x0,y0, y h.

5. Ahora haremos una tabla con las siguientes caractersticas:

Iteraciones, X, k1, k2, k3, k4, k5, k6, y, solucin exacta y error en Excel quedara de la siguiente manera:

6. Ahora pondremos valores a nuestras iteraciones:

7. Los valores en X estarn determinados por el intervalo a partir del valor de la condicin inicial hasta el valor que nos devuelva la formula en la ultima iteracin.

8. Primeramente tenemos que igualar el valor de la condicion en X:

9. Ahora igualaremos el valor de condicin inicial en Y:

10. Para los siguientes valores en X lo haremos de la siguiente manera:

11. Para lasa dems X solo se ocupa arrastrar la formula hasta el final y se resolvern la dems X:

12. Para encontrar K1 se usara la siguiente formula: _1=h*(2-(Y-X)).

13. Para encontrar K2 se usara la siguiente formula:

K_2=h*(2-((Y+k1/2))/(X+(h/2))).

14. Para encontrar k3 se usa la siguiente formula:

K_3=h*(2-(Y+(K2/2))/(X+(H/2))))

15. Para encontrar K4 se utiliza la siguiente formula:

K_4:=h*(2-((Y+K3)/(X+h)))

16. Para encontrar k5 se utiliza la siguiente formula:

K_5=(X+h)/(3/4*h))/(Y+3/16*(K1*h)+9/16*(K4*h).

17. Para encontrar K6 se utiliza la siguiente formula:

K_6=(X+h)/(Y-3/8*(K1*h)+2/7*(K2*h)+12/7*(K3*h)-(12/7*(K4*h))+8/7*(K5*h).

18. Para encontrar y se usa la siguiente formula:Y1=Yo+1/6*(K1+2*(K2)+2*(K3)+K4

19. Para encontrar la solucin exacta se usa la formula:

=x-(1/x)

20. Ya que hicimos todos los pasos anteriores solos queda arrastrar hasta el final de iteraciones y listo.

21. Para encontrar el error se utiliza la formula:

=ABS(Y-SE)/SE)*100

22. Ya solo se arrastra hasta el final y listo ahora si ya quedo terminado el problema

Mtodo de Euler

Enmatemticaycomputacin, elmtodo de Euler, llamado as en honor aLeonhard Euler, es un procedimiento deintegracin numricapara resolverecuaciones diferenciales ordinariasa partir de un valor inicial dado.Elmtodo de Euleres el ms simple de losmtodos numricospara resolver un problema del siguiente tipo:

Descripcin Considere el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuacin diferencial dada. Se puede pensar en la ecuacin diferencial como una frmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conozca.La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su punto de comienzo(al cual denotamos por A0) es conocido. Entonces, de la ecuacin diferencial se puede computar la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo tanto la recta tangente a la curva.Ahora, dando un pequeo paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo punto A1 y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A1. Luego de varios pasos tendremos formada una curva poligonal A0A1A2A3... En general esta curva que obtenemos al aplicar el mtodo no diverge lejos de la curva original, adems el error entre ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeos al avanzar sobre la recta tangente a la curva y adems el intervalo sobre el que trabajamos es finito(aunque las cosas son ms complicadas para ecuaciones inestables, como se discute ms abajo).

ProcedimientoConsiste en dividir los intervalos que va deaen subintervalos de ancho; o sea:

de manera que se obtiene un conjunto discreto depuntos:del intervalo de inters. Para cualquiera de estos puntos se cumple que:

.

La condicin inicial, representa el puntopor donde pasa la curva solucin de la ecuacin del planteamiento inicial, la cual se denotar como.Ya teniendo el puntose puede evaluar la primera derivada deen ese punto; por lo tanto:

Grfica A.Con esta informacin se traza una recta, aquella que pasa pory de pendiente.. Esta recta aproximaen una vecindad de. Tmese la recta como reemplazo dey localcese en ella (la recta) el valor decorrespondiente a. Entonces, podemos deducir segn la Grfica A:

Se resuelve para:

Es evidente que la ordenadacalculada de esta manera no es igual a, pues existe un pequeo error. Sin embargo, el valorsirve para que se aproximeen el puntoy repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesin de aproximaciones siguiente:

METODO DE RUNGE-KUTTA Orden SuperiorLosmtodos de Runge-Kuttason un conjunto de mtodos genricos iterativos, explcitos e implcitos, de resolucin numrica deecuaciones diferenciales. Este conjunto de mtodos fue inicialmente desarrollado alrededor del ao1900por los matemticosC. RungeyM. W. Kutta.DESARROLLOSi ahora m = 4, se obtiene, con un desarrollo del tipo del anterior, la siguiente frmula, para i desde 0 hasta N-1:

As, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) ms el producto del tamao del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado dependientes, dondees la pendiente al principio del intervalo,es la pendiente en el punto medio del intervalo, usandopara determinar el valor deyen el puntousando elmtodo de Euler.es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usandopara determinar el valor dey;es la pendiente al final del intervalo, con el valor deydeterminado por. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:

Esta forma del mtodo de Runge-Kutta, es un mtodo de cuarto orden lo cual significa que el error por paso es del orden de, mientras que el error total acumulado tiene el orden. Por lo tanto, la convergencia del mtodo es del orden de, razn por la cual es usado en los mtodos computacionales.