Manual Laboratorio FisicaI

Manual de Laboratorio Versión para el alumno

Mecánica I

Universidad de Sonora Departamento de Física

2003

Manual de Laboratorio Versión para el alumno

Mecánica I

Mario Enrique Álvarez Ramos Irma Elodia Morales Fernández

Saúl Robles García Emiliano Salinas Covarrubias

Eduardo Verdín López Héctor Antonio Villa Martínez

Universidad de Sonora Departamento de Física

2003

Índice

0. Introducción al estudio de las mediciones 11. Mediciones I 132. Mediciones II 173. Movimiento rectilíneo uniforme 274. Velocidad instantánea 315. Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 356. Caída libre 417. Movimiento de proyectiles 458. Movimiento circular uniforme 519. Segunda ley de Newton 5510. Fuerza de fricción estática 6111. Trabajo y energía cinética 6712. Conservación de la energía mecánica 7313. Disipación de energía mecánica 77Bibliografía 85

Laboratorio de Mecánica Introducción al estudio de las mediciones

Introducción al estudio de las mediciones

1.0 Medición

Una medición es el resultado de una operación humana de observación mediante la cual se compara una magnitud con un patrón de referencia. Por ejemplo, al medir el diámetro de una varilla, se compara el diámetro de la varilla con una regla graduada y se lee en la escala. Por otro lado, al medir la velocidad de un corredor, se compara el tiempo que tarda en recorrer una determinada distancia con el intervalo de tiempo registrado por un cronómetro, y después se calcula el cociente de la distancia recorrida entre el valor leído en el cronómetro.

Cuando alguien mide algo, debe tener cuidado para no producir una perturbación en el sistema que está bajo observación. Por ejemplo, cuando se mide la temperatura de un cuerpo, se le pone en contacto con un termómetro. Pero, cuando se les pone en contacto, se intercambia energía en forma de calor entre el cuerpo y el termómetro, dando como resultado un pequeño cambio en la temperatura de ambos. Así, el instrumento de medida afecta de algún modo a la magnitud o variable que se desea medir. En consecuencia, toda medición es una aproximación al valor real y por lo tanto siempre tendrá asociada una incertidumbre.

1.1 Patrones de medida

La existencia de diversos patrones de medida para una misma magnitud, ha creado dificultades en las relaciones internacionales de comercio, en el intercambio de resultados de investigaciones científicas, etc. La selección y adopción de los patrones para medir las magnitudes físicas es el resultado de una convención, y su definición es hasta cierto punto arbitraria, pero está condicionada a que cumpla los siguientes requisitos: • que sean reproducibles y

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• que sean invariantes. La primera condición garantiza su utilización universal y la segunda garantiza la universalidad de la magnitud física que se mide. Dentro de este contexto los científicos de diversos países intentaron establecer unidades comunes de validez universal. Durante el siglo XIX se creó el Sistema Métrico Decimal que, según sus autores, debería servir "en todos los tiempos, para todos los pueblos, para todos los países" y una de su aportación importante fue la introducción de los múltiplos y submúltiplos de los patrones en base diez . Este sistema comenzó a difundirse ampliamente, fue legalizado en todos los países y constituye la base de las unidades que sirven para la medición de todas las magnitudes en la física, en otras ciencias y en la ingeniería. Sin embargo, en algunos países aun se utilizan otros sistemas de medida, como es el caso del sistema ingles.

1.2 Sistema Internacional

Actualmente se reconoce al Sistema Internacional (SI) de Unidades como un sistema universal y su aplicación se está extendiendo gradualmente a todo los países y campos de la ciencia y la ingeniería. En el SI se reconocen siete unidades básicas: Unidad de tiempo El segundo (s) es la duración de 9 192 631 770 periodos de

la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133.

Unidad de longitud El metro (m) es la longitud del trayecto recorrido en el vacío

por la luz durante un tiempo de 1/299 792 458 de segundo. Unidad de masa El kilogramo (kg) es igual a la masa del prototipo

internacional del kilogramo Unidad de intensidad de corriente eléctrica

El ampere (A) es la intensidad de una corriente constante que manteniéndose en dos conductores paralelos, rectilíneos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y situados a una distancia de un metro uno de otro en el vacío, produce una fuerza igual a 2 x 10-7 newton por metro de longitud.

Unidad de temperatura termodinámica

El kelvin (K), unidad de temperatura termodinámica, es la fracción 1/273.16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua.

Observación: Además de la temperatura termodinámica (símbolo T) expresada en kelvins, se utiliza también la

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temperatura Celsius (símbolo t) definida por la ecuación t = T – T0 donde T0 = 273.15 K por definición

Unidad de cantidad de sustancia

El mol (mol) es la cantidad de sustancia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como átomos hay en 0,012 kilogramos de carbono 12.

Cuando se emplee el mol, deben especificarse las unidades elementales, que pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o grupos especificados de tales partículas.

Unidad de intensidad luminosa

La candela (cd) es la unidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia 540 x 1012 hertz y cuya intensidad energética en dicha dirección es 1/683 watt por estereorradián.

2.0 Fuentes de Incertidumbre

Todas las mediciones tienen asociada una incertidumbre que puede deberse a los siguientes factores: • la naturaleza de la magnitud que se mide, • el instrumento de medición, • el observador, • las condiciones externas. Cada uno de estos factores constituye por separado una fuente de incertidumbre y contribuye en mayor o menor grado a la incertidumbre total de la medida. La tarea de detectar y evaluar las incertidumbres no es simple e implica conocer diversos aspectos de la medición. En principio, es posible clasificar las fuentes de incertidumbres en dos conjuntos bien diferenciados, las que se deben a : • Errores accidentales o aleatorios que aparecen cuando mediciones

repetidas de la misma variable dan valores diferentes, con igual probabilidad de estar por arriba o por debajo del valor real. Cuando la dispersión de las medidas es pequeña se dice que la medida es precisa.

• Errores sistemáticos que son una desviación constante de todas las medidas

ya sea siempre hacia arriba o siempre hacia abajo del valor real y son producidos, por ejemplo, por la falta de calibración del instrumento de medición.

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En la figura 1 se representan los errores sistemáticos y los errores aleatorios. Los centros de los círculos indican la posición del valor que se quiere medir y las cruces indican los valores de varias mediciones. La dispersión de los puntos se asocia a la precisión, mientras que su centro efectivo (centroide) está asociado a la exactitud. El conjunto de medidas representa una medición a) precisa pero inexacta, b) más exacta y con la misma precisión, c) menos precisa y menos exacta, d) más exacta pero menos precisa. La medida ideal es aquella que tiene un 100% de exactitud y un 100% de precisión.

Figura 1. Ilustración esquemática de los conceptos de precisión y exactitud.

2.1 Incertidumbre en medidas reproducibles

Cuando al realizar una serie de medidas de una misma magnitud se obtienen los mismos resultados, no se puede concluir que la incertidumbre sea cero; lo que sucede es que los errores quedan ocultos ya que son menores que la incertidumbre asociada al aparato de medición. En este caso, puede establecerse un criterio simple y útil: cuando las medidas son reproducibles, se asigna una incertidumbre igual a la mitad de la división más pequeña del instrumento, la cual se conoce como resolución. Por ejemplo, al medir con un instrumento graduado en mililitros repetidas veces el volumen de un recipiente se obtiene siempre 48.0 ml, la incertidumbre será 0.5 ml. Lo que significa que la medición está entre 47.5 a 48.5 ml, a éste se le conoce como intervalo de confianza de la medición y su tamaño es el doble de la incertidumbre. Esto generalmente se aplica cuando se trata de aparatos de medición tales como reglas, transportadores, balanzas, probetas, manómetros, termómetros, etc

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2.2 Incertidumbre en medidas no-reproducibles

Cuando se hacen repeticiones de una medida y estas resultan diferentes, con valores x1, x2,...,xN, surgen las preguntas: • ¿Cuál es el valor que se reporta? • ¿Qué incertidumbre se asigna al valor reportado? La respuesta a estas preguntas se obtiene a partir del estudio estadístico de las mediciones, el cual debe de arrojar cual es la tendencia central de las medidas y su dispersión. Una introducción al tema del tratamiento de datos se presenta a continuación:

2.2.1 Medidas de tendencia central

La medida más común de la tendencia central de una muestra o conjunto de mediciones está dada por el promedio o media aritmética. Sin embargo, algunas veces este valor no basta y es necesario calcular otras variables estadísticas que ayuden a analizar el resultado de una medición. Estas variables estadísticas son la media y la moda .

2.2.1.1 El promedio x de una muestra o conjunto de mediciones está dado por Nxxxx ,,,, 321 ⋅⋅⋅⋅

( )N

xN

xxxxx iN ∑=

+⋅⋅⋅+++= 321

2.2.1.2 La mediana es el valor de la medición que divide la muestra en dos mitades: una mitad son aquellas mediciones menores a la mediana y la otra mitad es el conjunto de mediciones mayores que la mediana. Suponiendo que la muestra está ordenada de menor a mayor, la mediana está dado por:

mediana = 2

1+Nx

cuando la muestra tiene un número impar de elementos. Si la muestra tiene un número par de mediciones, la mediana está dada por

mediana =2

122

++ NN xx

2.2.1.3 La moda es la medición que ocurre con mayor frecuencia. En un conjunto de mediciones puede haber más de una moda.

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Cuando el conjunto de datos es simétrico, el promedio y la mediana coinciden, sí además, los datos tienen una sola moda, se dice que los datos son unimodales y la mediana, la moda y el promedio tienen el mismo valor. Cuando la mediana no coincide con el promedio, los datos están cargados o sesgados hacia la izquierda

.

tendencia central no es suficiente para determinar el resultado de una

Tienen el mismo valor para el promedio, la mediana y la moda. Sin embargo los

de diferentes maneras. Los indicadores más utilizados para representar la dispersión de un conjunto de datos son la desviación media y la desviación estándar.

2.2.2.1 La desviación media de una muestra está dada por

o hacia la derecha del promedio

2.2.2 Medidas de dispersión

Lamedición. Por ejemplo, los siguientes conjuntos de datos Muestra 1: 40, 41, 42, 43, 44, 45, 45, 46, 47, 48, 49, 50 Muestra 2: 20, 25, 30, 35, 40, 45, 45, 50, 55, 60, 65, 70

datos en la muestra 2 están más dispersos que en la muestra 1.

La dispersión de un conjunto de mediciones se puede medir

Nxxi∑ −

2.2.2.2 La desviación estándar de la muestra está dada por:

=δ

( )1−

=N

σ

Cuando se obtiene una medición de una muestra de datos, el valor central de la medición se representa con el promedio de los datos y el error o incertid

2−∑ xxi

umbre se representa con la desviación media cuando se trata de laboratorios introductorios,

to de datos más riguroso.

Toda medida ya sea reproducible o no, debe de ir seguida por la unidad de la variable que se mide y se expresa de l

y con la desviación estándar para un tratamien

3.0 Regla para expresar una medida

a forma

xx ∆± [unidades]

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x representa el valor central de la medición y x∆donde representa su incertidumbre. De manera que se entie da que la medición está comprendida ndentro del intervalo

[ ]xxxx ∆+∆− ,

La interpretación de esto es que el mejor valor de la medida es x y quien hizo las ediciones está razonablemente confiado de que sus mediciones caerán dentro

del intervalo anterior. Recordando el ejemplo de la sección 2.1, el volumen del recipiente está

3.1 Representación absoluta y relativa de la incertidumbre.

Tomando en cuenta que ∆x representa la incertidumbre absoluta y x representa el

(∆x/x)100%

representa la incertidumbre relativa porcentual. Cuando el intervalo se expr longitud de una varilla, por

longitud = 216.0 ± 0.5 mm

y cuando el intervalo se expresa en forma porcentual, la longitud de la varilla se

/100,000. En cambio, supóngase que en la medición de una istancia de tres centímetros se reporta con el mismo intervalo de un centímetro.

m

comprendido en el intervalo [47.5 ml, 48.5 ml] y se debe de reportar como

volumen = 48.0 ± 0.5 ml.

valor central de la medición, entonces

∆x/x

representa la incertidumbre relativa al valor central y

esa en forma absoluta, la ejemplo, se expresaría como

expresaría como

longitud = 216.0 mm ± 0.2 % = l ± (∆l/l)100%.

En todas las mediciones, la incertidumbre siempre debe ser menor que el valor medido. La incertidumbre porcentual refleja la calidad de la medición. Considérese, por ejemplo, que en la medición de un kilómetro se reporta un intervalo de un centímetro. Esto representa una medición muy precisa y poco usual ya que ∆x/x = 1dEsta representaría una medición muy mala ya que ∆x/x = 1/3. Por eso, la calidad de una medición se indica no solo por el tamaño de su intervalo sino también por el cociente de ∆x/x.

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En el caso de la medición de una distancia de un kilómetro con un intervalo de un

centual de .001%. En cambio en la medición de tres centímetros se obtiene una incertidumbre porcentual de 33.3%.

una medición directa si se mide

con una probeta graduada, y se considera como una medición indirecta si se

.2.1 Propagación de la incertidumbre

a incertidumbre como se explicó en las secciones 2.1 y 2.2.

la propagación de la incertidumbre de las mediciones directas de las que fueron

magnitudes y

centímetro se obtiene una incertidumbre por

3.2 Mediciones directas e indirectas

A las cantidades que se obtienen utilizando un instrumento de medida se les denomina mediciones directas, y a las mediciones que se calculan a partir de mediciones directas se les denomina mediciones indirectas.

Por ejemplo el volumen que ocupa un líquido es

obtiene de la medición de las dimensiones del recipiente que lo contiene.

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Las mediciones directas, que pueden ser reproducibles y no reproducibles, tienen asociada un

Las mediciones indirectas tienen asociada una incertidumbre que se origina de

derivadas.

3.2.1.1 Propagación de la incertidumbre en la suma y diferencia

Si las q r se miden con incertidumbre q∆ y r∆ respectivamente y si se utilizan para calcular la diferencia rqw −= entonces la incertidumbre asociada a la variable w es la suma de las incertidumbres asociadas a y a q r , es decir

rqw ∆+∆=∆

Lo mismo es cierto cuando se calcula la suma rqw += .

Este resultado nos indica que cuando se combinan dos variables mediante una

3.2.1.2 Propagación de errores en

as cantidades y

suma o una resta, las incertidumbres siempre se suman.

Ejemplo, (62 ± 0.01) + (1.7± 0.1) = 63.73± 0.11.

el producto y en el cociente

Si l q r se han medido con una incertidumbre q∆ y r∆ respectivamente y si los valores de y q r se utilizan para calcular el producto

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qrw = ó el cociente rqw = , entonces la incertidumbre asociada a , esta dada

por

w

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+

∆=∆

rr

qqww

Ejemplo, considérese la multiplicación

( )( ) 1344.05559.37.21.0

317.1001.05559.35559.31.07.2001.0317.1 ±=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +±=±±

Considérese ahora el cociente

828402367.276923077.353.11.01.076923077.3576923077.35

1.03.11.05.46 ⎞

⎜⎛±=

±±

5.46±=⎟

⎠⎝+

a cifra menos significativa del valor central.

los ejemplos anteriores se deben de reportar como:

(03 ± 0.01) + (1.7± 0.1) = 63.7± 0.1.

En estos últimos resultados pueden verse cifras que no dan una información útil y es necesario un criterio para eliminarlas.

Regla para reportar mediciones: en un laboratorio introductorio, la incertidumbre se redondea a una cifra significativa, y ésta debe de tener el mismo orden de

agnitud que lm De acuerdo con esto, los resultados de

La suma,

El producto,

( )( ) 1.06.31.07.2001.0317.1 ±=±±

La división,

3361.03.11.05.46

±=±±

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4 Cifras significativas

Una manera alternativa para reportar las mediciones es mediante el uso de las cifras significativas, que son aquellas que se conocen de manera razonablemente confiable; de este modo la incertidumbre está implícita en el último dígito y es igual a la mitad de una unidad del orden del digito menos significativo. Considérese, por ejemplo, que la longitud de un objeto se registró como 15.7 cm. Esto significa que la longitud se midió con una resolución de 0.1 cm (1 mm) y que su valor real cae entre 15.65 cm y 15.75 cm. Si la medida se hiciera con resolución de 0.01 cm (0.1 mm), se tendría que haber registrado como 15.70 cm. El valor 15.7 cm. representa una medición con tres cifras significativas (1, 5 y 7) mientras que el valor 15.70 cm. representa una medición con cuatro cifras significativas (1, 5, 7 y 0). Considérese ahora el caso en que la masa de un objeto se reporta como 2.04763 kg y ha sido medida con una balanza de 0.1 gr de sensibilidad. Esta medición tiene cinco cifras significativas (2, 0, 4, 7 y 6). El tres, que corresponde a .01 gr, no puede leerse en esta balanza y por consiguiente no tiene sentido considerarse para expresar la medición .

4.1 Redondeo de cifras significativas

Para eliminar las cifras no significativas se lleva a cabo un proceso de redondeo de acuerdo a la siguiente regla: • Si la última cifra es menor que cinco, se suprime • Si la última cifra es mayor o igual que cinco, se suprime la última y la anterior

se incrementa en uno. Ejemplos: 7.83 se redondea a 7.8; 3.14159 se redondea a 3.1416 y 0.35 se redondea a 0.4.

4.2 Cifras significativas e incertidumbre fraccional.

La incertidumbre fraccional está directamente relacionada con las cifras significativas. Considérese, por ejemplo, los números 10 y 9900 con dos cifras significativas. El 10 con dos cifras significativas significa

10 ± 0.5 = 10 ± 5%

El número 9900 con dos cifras significativas significa

9900 ± 50 = 9900 ± 0.5 %

Lo anterior muestra que, cuando se tiene dos cifras significativas, la incertidumbre fraccional ésta comprendida entre el 5% y el 0.5%.

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La tabla muestra la relación entre el número de cifras significativas y la incertidumbre fraccional correspondiente.

Correspondencia entre cifras significativas e incertidumbre fraccional

Número de cifras Significativas

Incertidumbre fraccional correspondiente

1 5% - 50% 2 0.5% - 5% 3 0.05% - 0.5% 4 0.005% - 0.05%

Bibliografía

[1] D. C. Baird. Experimentation: An Introduction to Measurement Theory and Experiment Design. Prentice Hall, 1962. [2] J. R. Taylor. An Introduction to Error Analysis. University Science Books, 1982. [3] Apuntes de Laboratorio de Física General, editado por la Facultad de Ciencias de la UNAM, 1976. [4] Federick J. Buche, FISICA GENERAL, Mc Graw Hill, 1999.

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Laboratorio de Mecánica. Experimento 1 Versión para el alumno

Mediciones I

Objetivo General

El alumno entenderá el concepto de medición.

Objetivos particulares

1. El alumno comprenderá la necesidad de utilizar patrones estándares de medida, 2. El alumno entenderá el concepto de incertidumbre de una medición.

Teoría

Una medición es el resultado de una operación humana de observación mediante la cual se compara una magnitud con un patrón de referencia. Por ejemplo, al medir el diámetro de una varilla, se compara el diámetro de la varilla con una regla graduada y se lee en la escala. Por otro lado, al medir la velocidad de un corredor, se compara el tiempo que tarda en recorrer una determinada distancia con el intervalo de tiempo registrado por un cronómetro, y después se calcula el cociente de la distancia recorrida entre el valor leído en el cronómetro.

Cuando alguien mide algo, debe tener cuidado para no producir una perturbación en el sistema que está bajo observación. Por ejemplo, cuando se mide la temperatura de un cuerpo, se le pone en contacto con un termómetro. Pero, cuando se les pone en contacto, se intercambia energía en forma de calor entre el cuerpo y el termómetro, dando como resultado un pequeño cambio en la temperatura de ambos. Así, el instrumento de medida afecta de algún modo a la magnitud o variable que se desea medir. En consecuencia, toda medición es una aproximación al valor real y por lo tanto siempre tendrá asociada una incertidumbre.

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Patrones de medida

La existencia de diversos patrones de medida para una misma magnitud, ha creado dificultades en las relaciones internacionales de comercio, en el intercambio de resultados de investigaciones científicas, etc. La selección y adopción de los patrones para medir las magnitudes físicas es el resultado de una convención, y su definición es hasta cierto punto arbitraria, pero está condicionada a que cumpla los siguientes requisitos: • que sean reproducibles y • que sean invariantes. La primera condición garantiza su utilización universal y la segunda garantiza la universalidad de la magnitud física que se mide. En el Sistema Internacional de Unidades (SI), que es el que rige actualmente, se reconocen siete unidades básicas: El metro (m), el kilogramo (kg), el segundo (s), el ampere (A), el kelvin (K), el mol (mol) y la candela (cd). Cada unidad básica esta asociada a la magnitud de una variable física. Al medir a una variable, por ejemplo la altura del edificio donde está el laboratorio de mecánica, se determina un intervalo donde dicha variable toma su valor. Este intervalo depende de la resolución del aparato con el que se mide, y del cuidado que se tenga para hacer la medición. Algunas variables, como el tiempo de oscilación de un péndulo, se tienen que medir varias veces y con métodos estadísticos se determina el intervalo donde se encuentra el valor de la variable medida (el periodo, en este caso).

Equipo y materiales

1. Una varilla metálica 2. Un riel de aire con su móvil 3. Un vaso desechable 4. Una barra de madera 5. Un vaso de precipitado graduado en 10 ml 6. Una probeta graduada en ml 7. Un cronómetro 8. Dos reglas; una graduada en cm y la otra graduada en mm 9. Un conjunto de clavos 10. Un vernier

Procedimiento para el objetivo particular uno

Realizar las siguientes mediciones utilizando patrones no estándares, seleccionados convenientemente:

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1. Medir la longitud de una varilla 2. Medir el tiempo que tarda en pasar el móvil del riel de aire entre dos marcas,

cuando éste se encuentra inclinado 5 º con respecto a la horizontal 3. Medir el volumen de un vaso desechable 4. Asentar los resultados de las mediciones en la tabla I Resultados

Tabla I Magnitud medida

Resultados de su equipo

Resultados del equipo No.



Longitud de la varilla

Volumen del vaso

Tiempo de deslizamiento del móvil entre dos marcas

Preguntas

1. ¿Se pueden comparar sus resultados con los resultados obtenidos por los otros equipos? ¿Por qué? 2. ¿Considera usted que en la sociedad actual es conveniente, que cuando se mida una misma magnitud por diferentes personas, se utilicen patrones de medición diferentes? ¿Por qué? 3. ¿Por qué los patrones estándares de medición deben cumplir con los requisitos de ser reproducibles e invariantes?

Procedimiento para el objetivo particular dos

Realizar las siguientes mediciones utilizando patrones estándares, mencionados en la tabla II: 1. Medir la longitud de una varilla 2. Medir el tiempo que tarda en pasar el móvil del riel de aire entre dos marcas,

cuando este se encuentra inclinado 5 º con respecto a la horizontal 3. Medir el volumen de un vaso desechable 4. Contar el número de clavos 5. Asentar los resultados de las mediciones en la tabla II

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Resultados

Tabla II Magnitud medida

Patrón calibrado 1

Patrón calibrado 2

Patrón calibrado 3

Longitud de la barra

Regla en cm:

Regla en mm:

Vernier:

Volumen del vaso

Vaso precipitado Graduado en 10 ml

Probeta graduada en ml

Probeta graduada en 0.1ml

Tiempo de deslizamiento del móvil entre dos marcas

Reloj

Cronómetro 1/10 s

Cronómetro (1/100s):

Número de clavos

Preguntas

1. ¿Encontró algún problema para determinar exactamente el número de clavos ? ¿Qué patrón de medida utilizó para la determinación del número de clavos?

2. ¿Pudo medir exactamente las magnitudes de la longitud de la varilla, el

volumen del vaso y el tiempo de deslizamiento del móvil entre las marcas ? Explique:

3. ¿Cuál es la diferencia entre las tres mediciones de la longitud de la barra

cuando utiliza patrones diferentes? 4. ¿Cuál es el efecto al utilizar patrones con diferente graduación sobre sus

medidas del volumen del vaso desechable? 5. Si deseara conocer con mayor precisión las magnitudes de la longitud de

la varilla y del volumen del vaso ¿cuáles patrones utilizaría? 6. En función de lo anterior, de manera general, ¿qué puede decir acerca de la

precisión de sus mediciones?

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Mediciones II

Objetivo General

El alumno determinará la incertidumbre de las mediciones.


1. El alumno determinará las incertidumbres a partir de los instrumentos de medición.

2. El alumno determinará las incertidumbres en mediciones indirectas. 3. El alumno comparará la medición de una magnitud realizada en forma directa

y en forma indirecta. 4. El alumno determinará las incertidumbres con métodos estadísticos.

Teoría

Todas las mediciones tienen asociada una incertidumbre que puede deberse a los siguientes factores: • la naturaleza de la magnitud que se mide • el instrumento de medición • el observador • las condiciones externas Cada uno de estos factores constituye por separado una fuente de incertidumbre y contribuye en mayor o menor grado a la incertidumbre total de la medida. La tarea de detectar y evaluar las incertidumbres no es simple e implica conocer diversos aspectos de la medición. En principio, es posible clasificar las fuentes de incertidumbres en dos conjuntos bien diferenciados, las que se deben a : • Errores accidentales o aleatorios que aparecen cuando mediciones

repetidas de la misma variable dan valores diferentes, con igual probabilidad de estar por arriba o por debajo del valor real. Cuando la dispersión de las medidas es pequeña se dice que la medida es precisa.

• Errores sistemáticos que son una desviación constante de todas las medidas

ya sea siempre hacia arriba o siempre hacia abajo del valor real y son producidos, por ejemplo, por la falta de calibración del instrumento de medición.

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En la figura 1 se representa el efecto de los errores sistemáticos y los errores aleatorios. Los centros de los círculos indican la posición del valor que se quiere medir y las cruces indican los valores de varias mediciones. La dispersión de los puntos se asocia a la precisión, mientras que su centro efectivo (centroide) está asociado a la exactitud. El conjunto de medidas representa una medición a) precisa pero inexacta, b) más exacta y con la misma precisión, c) menos precisa y menos exacta, d) más exacta pero menos precisa. La medida ideal es aquella que tiene un 100% de exactitud y un 100% de precisión.

Figura 1. Ilustración esquemática de los conceptos de precisión y exactitud.

Incertidumbre en medidas reproducibles

Cuando al realizar una serie de medidas de una misma magnitud se obtienen los mismos resultados, no se puede concluir que la incertidumbre sea cero; lo que sucede es que los errores quedan ocultos ya que son menores que la incertidumbre asociada al aparato de medición. En este caso, puede establecerse un criterio simple y útil: cuando las medidas son reproducibles, se asigna una incertidumbre igual a la mitad de la división más pequeña del instrumento, la cual se conoce como resolución. Por ejemplo, sí al medir con un instrumento graduado en mililitros repetidas veces el volumen de un recipiente se obtiene siempre 48 ml, la incertidumbre será 0.5 ml, lo que significa que la medición está entre 47.5 a 48.5 ml, a éste se le conoce como intervalo de confianza de la medición y su tamaño es el doble de la incertidumbre. Esto generalmente se aplica cuando se trata de aparatos de medición tales como reglas, transportadores, balanzas, probetas, manómetros, termómetros, etc

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Incertidumbre en medidas no-reproducibles

Cuando se hacen repeticiones de una medida y estas resultan diferentes, con valores x1, x2,...,xN, surgen las preguntas: • ¿Cuál es el valor que se reporta? • ¿Qué incertidumbre se asigna al valor reportado?

La respuesta a estas preguntas se obtiene a partir del estudio estadístico de las mediciones, el cual debe de arrojar la tendencia central de las mediciones y su dispersión.

Medidas de tendencia central

La medida más común de la tendencia central de una muestra o conjunto de mediciones está dada por el promedio o media aritmética. Sin embargo, algunas veces este valor no basta y es necesario calcular otras variables estadísticas que ayuden a analizar el resultado de una medición. Estas variables estadísticas son la mediana y la moda .

El promedio x de una muestra o conjunto de mediciones está dado por

Nxxxx ,,,, 321 ⋅⋅⋅⋅

( )N

xN

xxxxx iN ∑=

+⋅⋅⋅+++= 321

La mediana es el valor de la medición que divide la muestra en dos mitades: una mitad son aquellas mediciones menores a la mediana y la otra mitad es el conjunto de mediciones mayores que la mediana. Suponiendo que la muestra está ordenada de menor a mayor y cuando la muestra tiene un número impar de elementos, la mediana está dado por

21+= Nxmediana

Si la muestra tiene un número par de mediciones, la mediana está dada por

2

122

++

=NN xx

mediana

La moda es la medición que ocurre con mayor frecuencia. En un conjunto de mediciones puede haber más de una moda.

Cuando el conjunto de mediciones es simétrico, el promedio y la mediana coinciden, sí además, los datos tienen una sola moda, se dice que los datos son

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unimodales y la mediana, la moda y el promedio tienen el mismo valor. Cuando la mediana no coincide con el promedio, los datos están cargados o sesgados hacia la izquierda o hacia la derecha del promedio.

Medidas de dispersión

La tendencia central no es suficiente para determinar el resultado de una medición, además es necesario conocer la dispersión de las mediciones, la cual se puede medir de diferentes maneras. Los indicadores más utilizados para representar la dispersión de un conjunto de datos son la desviación media y la desviación estándar.

La desviación media de una muestra está dada por

Nxxi∑ −

=δ

La desviación estándar de la muestra está dada por:

( )1

2

−

−= ∑

Nxxiσ

Cuando se obtiene una medición de una muestra de datos, el valor central de la medición se representa con el promedio de los datos y el error o incertidumbre se representa con la desviación media cuando se trata de laboratorios introductorios, y con la desviación estándar para un tratamiento de datos más riguroso.

Regla para expresar una medida

Toda medida ya sea reproducibles o no, debe de ir seguida por la unidad de la variable que se mide y se expresa de la forma

xx ∆± [unidades]

donde x representa el valor central de la medición y x∆ representa su incertidumbre. De manera que se entienda que la medición está comprendida dentro del intervalo

[ ]xxxx ∆+∆− ,

La interpretación de esto es que el mejor valor de la medida es x y quien hizo las mediciones está razonablemente confiado de que sus mediciones caerán dentro del intervalo anterior.

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Representación absoluta y relativa de la incertidumbre.

Tomando en cuenta que ∆x representa la incertidumbre absoluta y x representa el valor central de la medición, entonces

xx∆

representa la incertidumbre relativa al valor central y

%100⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

xx

representa la incertidumbre relativa porcentual.

Mediciones directas e indirectas

A las cantidades que se obtienen utilizando un instrumento de medida se les denomina mediciones directas, y a las mediciones que se calculan a partir de mediciones directas se les denomina mediciones indirectas. Por ejemplo el volumen que ocupa un líquido es una medición directa si se mide con una probeta graduada, y se considera como una medición indirecta si se obtiene de la medición de las dimensiones del recipiente que lo contiene.

Propagación de la incertidumbre

Las mediciones directas, que pueden ser reproducibles y no reproducibles, tienen asociada una incertidumbre como se explicó anteriormente. Las mediciones indirectas tienen asociada una incertidumbre que se origina de la propagación de la incertidumbre de las mediciones directas de las que se derivan.

Propagación de la incertidumbre en la suma y en la diferencia

Si las magnitudes y q r se miden con incertidumbre q∆ y r∆ respectivamente y si se utilizan para calcular la diferencia rqw −= entonces la incertidumbre asociada a la variable w es la suma de las incertidumbres asociadas a y a q r , es decir

rqw ∆+∆=∆

Lo mismo es cierto cuando se calcula la suma rqw += . Este resultado nos indica que cuando se combinan dos variables mediante una suma o una resta, las incertidumbres siempre se suman. Ejemplo, (62 ± 0.01) + (1.7 ± 0.1) = 63.73 ± 0.11.

21


Propagación de errores en el producto y en el cociente

Si las cantidades q y r se han medido con una incertidumbre q∆ y r∆ respectivamente y si los valores de y q r se utilizan para calcular el producto

qrw = ó el cociente rqw = , entonces la incertidumbre asociada a , esta dada

por

w

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆+

∆=∆

rr

qqww

Ejemplo, considérese la multiplicación

( )( ) 1344.05559.37.21.0

317.1001.05559.35559.31.07.2001.0317.1 ±=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +±=±±

Considérese ahora el cociente

828402367.276923077.353.11.0

5.461.076923077.3576923077.35

1.03.11.05.46

±=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +±=

±±

Regla para reportar mediciones: en un laboratorio introductorio, la incertidumbre se redondea a una cifra significativa, y esta incertidumbre debe de tener el mismo orden de magnitud que la cifra menos significativa del valor central. De acuerdo con esto, los resultados de los ejemplos anteriores se deben de reportar como: La suma,

(03 ± 0.01) + (1.7± 0.1) = 63.7± 0.1.

El producto,

( )( ) 1.06.31.07.2001.0317.1 ±=±±

La división,

3361.03.11.05.46

±=±±

22


Cifras significativas

Una manera alternativa para reportar las mediciones es mediante el uso de las cifras significativas, que son aquellas que se conocen de manera razonablemente confiable; de este modo la incertidumbre está implícita en el último dígito y es igual a la mitad de una unidad del orden del digito menos significativo. Considérese, por ejemplo, que la longitud de un objeto se registró como 15.7 cm. Esto significa que la longitud se midió con una resolución de 0.1 cm (1 mm) y que su valor real cae entre 15.65 cm y 15.75 cm. Si la medida se hiciera con resolución de 0.01 cm (0.1 mm), se tendría que haber registrado como 15.70 cm. El valor 15.7 cm. representa una medición con tres cifras significativas (1, 5 y 7) mientras que el valor 15.70 cm. representa una medición con cuatro cifras significativas (1, 5, 7 y 0). Considérese ahora el caso en que la masa de un objeto se reporta como 2.04763 kg y ha sido medida con una balanza de 0.1 gr de sensibilidad. Esta medición tiene cinco cifras significativas (2, 0, 4, 7 y 6). El tres, que corresponde a .01 gr, no puede leerse en esta balanza y por consiguiente no tiene sentido considerarse para expresar la medición .

Redondeo de cifras significativas

Para eliminar las cifras no significativas se lleva a cabo un proceso de redondeo de acuerdo a la siguiente regla: • Si la última cifra es menor que cinco, se suprime • Si la última cifra es mayor o igual que cinco, se suprime la última y la anterior

se incrementa en uno. Ejemplos: 7.83 se redondea a 7.8; 3.14159 se redondea a 3.1416 y 0.35 se redondea a 0.4. Materiales 1. Una regla graduada en mm (de 30 cm de largo) 2. Un embudo 3. Una probeta graduada en ml (de 100 ml de capacidad) 4. Una balanza (de 0.1gr de resolución) 5. Un prisma rectangular de aluminio 6. Un vaso cilíndrico de acrílico 7. Un soporte 8. Un péndulo 9. Un cronómetro

23


Procedimiento para alcanzar los objetivos particulares uno y dos

Mediciones directas 1. Mida las dimensiones del prisma: largo, alto y ancho. 2. Mida la masa del prisma (utilice una balanza). Mediciones indirectas 3. Calcule el área de las caras del prisma (A = lado x lado). 4. Calcule el volumen del prisma (V = largo x ancho x alto). 5. Calcule la densidad del prisma (densidad = masa / volumen), 6. Determine las incertidumbres asociadas a cada una de las mediciones directas

e indirectas, 7. Exprese sus mediciones en la forma xx ∆± , 8. Exprese sus mediciones utilizando cifras significativas, 9. Escriba todos sus resultados en la tabla I. Resultados

Tabla I Magnitud Valor más

probable Incertidumbre Incertidumbre

relativa Resultado Cifras

significativasLargo (cm) Alto (cm) Ancho (cm) Masa (g) Área de una cara (cm2) Volumen (cm3) Densidad (g/cm3)

Preguntas

1. ¿Cómo se determina la incertidumbre de una medición directa?

2. ¿Cómo se determina la incertidumbre de una medición indirecta?

3. ¿Cómo podría reducir la incertidumbre en las mediciones reportadas en la tabla I?

Procedimiento para alcanzar el objetivo particular tres

1. Para medir directamente el volumen del cilindro, llénelo totalmente con agua y con la probeta mida su volumen.

2. Determine la incertidumbre asociada a su medición. 3. Anote sus resultados en la tabla II.

24


4. Para medir indirectamente el volumen del mismo cilindro, mídale las dimensiones internas (diámetro y altura) y calcule el volumen empleando la

fórmula π=V hd4

2

5. Determine la incertidumbre del volumen calculado, utilizando la expresión

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∆

+∆

=∆hh

ddVV 2

6. Anote sus resultados en la tabla II.

Tabla II Magnitud Valor central x Incertidumbre ∆ x Resultado (x x) ∆±Volumen (ml) Medición directa

Diámetro (cm) Altura (cm) Volumen (ml) Medición indirecta

Preguntas

1. ¿Si compara las mediciones, la directa y la indirecta, del volumen, qué observa? 2. ¿Qué medición es la más precisa? 3. ¿A qué se debe que la incertidumbre de la medición indirecta es mayor? Procedimiento para alcanzar el objetivo particular cuatro 1. Mida al menos diez veces el periodo T de un péndulo 2. Calcule la media aritmética del periodo T 3. Determine la desviación media de la medición del periodo 4. Determine la desviación estándar de la medición del periodo 5. Escriba todos sus resultados en la tabla III.

25


Resultados

Tabla III Medición Periodo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Promedio DesviaciónMedia

Desviación Estándar

Preguntas

1. ¿A qué atribuye que, en general, obtiene valores diferentes en las mediciones del periodo? 2. Exprese el resultado de su medición en la forma TT ∆± , utilizando la desviación media. 3. Exprese el resultado de su medición en la forma TT ∆± , utilizando la desviación estándar. 4. Si en lugar de 10 hiciera 100 mediciones, ¿qué efecto tendrían los errores

aleatorios en sus resultados?

26


Movimiento Rectilíneo Uniforme

Objetivo General

El alumno estudiará el movimiento rectilíneo uniforme


1. El alumno construirá y estudiará gráficas de la posición contra el tiempo, 2. El alumno estudiará el comportamiento de la velocidad media y determinará la

ecuación de movimiento,

Teoría

Cuando un objeto se mueve en línea recta recorriendo distancias iguales en tiempos iguales, se dice que su movimiento es rectilíneo uniforme. Sí representa el desplazamiento y 0xxx −=∆ 0ttt −=∆ representa el tiempo en que ocurre ese desplazamiento, entonces tx ∆∆ / es constante y se conoce como velocidad media, denotándose comov , es decir

txv ∆∆= /

o bien despejando se tiene x∆

tvx ∆=∆

o en forma equivalente

( )00 ttvxx −=−

si la medición del tiempo la iniciamos en cero ( 00 =t ) y la posición en , la ecuación anterior queda como

0x

tvxx += 0

Esta ecuación describe el movimiento rectilíneo uniforme y la gráfica de contra , es una línea recta cuya pendiente y ordenada en el origen son los valores de la

velocidad media y la posición inicial del móvil, respectivamente.

xt

Equipo y materiales

1. Riel de aire, con su móvil 2. Generador de chispas (GC) y cables

27


3. Cinta de papel registro 4. Cinta adhesiva 5. Regla transparente de 1 mm por división

Procedimiento

1. Asegúrese que el riel esté horizontal utilizando para ello el tornillo de ajuste. 2. Colocar el papel registro debajo de la barra superior. 3. Conectar las salidas del generador de chispas a las terminales del riel de aire.

Peligro: Las chispas son producidas por voltajes muy altos. Tenga cuidado de no tocar la salida del generador o cualquier parte metálicas del riel de aire.

4. Conectar el motor del riel de aire y el generador de chispas a la toma de corriente disponible en la mesa.

5. Impulsar el móvil utilizando un objeto no conductor y simultáneamente haga funcionar el generador de chispa.

6. Retirar la cinta de papel registro. 7. En el papel registro, seleccionar uno de los puntos iniciales e identifíquelo

como punto 0 y considere que en ese punto x = 0 y al instante correspondiente identifíquelo como t = 0.

8. Con respecto al punto seleccionado en el paso anterior, en la misma cinta de papel, medir las posiciones de los puntos subsecuentes (x1, x2,....,xn) los cuales ocurrieron en los instantes de tiempo t1 = (1/60)s, t2 = (2/60)s, t3 = (3/60)s, etc. Anote dicha información en la tabla I.

9. Con objeto de investigar el comportamiento del desplazamiento del móvil, proceder a evaluar los desplazamientos en intervalos de tiempo múltiplos de 3/60 s, (6/60 s, 9/60 s, etc). Anotar sus resultados en la tabla II

10. Construir una gráfica de la posición contra el tiempo y llamarla gráfica 1. 11. Con el objeto de investigar el comportamiento de la velocidad media proceder a calcularla en intervalos de tiempo múltiplos de 3/60 s, manteniendo fijo el instante inicial t0, es decir ∆t3 = t3 - t0 , ∆t6 = t6 – t0, ∆t9 = t9 - t0, etc. Calcular los desplazamientos correspondientes utilizando la información de la tabla I. Calcular la velocidad media del móvil como el cociente del desplazamiento entre el intervalo de tiempo (∆x /∆t). Anotar sus resultados en la tabla III.

28


Resultados

Tabla I marca Tiempo

(s) Posición

(cm)

Nota: Todas las mediciones de la posición tiene una incertidumbre de 0.05 cm

Desplazamientos

Tabla II Intervalos de tiempo (s)

Desplazamiento (cm)

∆t3 = t3 – t0 = ∆x3 = x3 – x0 = ∆t6 = t6 – t0 = ∆x6 = x6 – x0 = ∆t9 = t9 – t0 = ∆x9 = x9 – x0 = ∆t12 = t12 - t0 = ∆x12 = x12 – x0 = ∆t15 = t15 - t0 = ∆x15 = x15 – x0 = ∆t19 = t18 - t0 = ∆x18 = x18 – x0 =

29


Tabla III Intervalo de tiempo (s) Desplazamiento (cm) Velocidad media

(cm/s) ∆t3 = t3 - t0 = 3/60 ∆x3 = x3 – x0 = V3 = ∆t6 = t6 - t0 = 6/60 ∆x6 = x6 – x0 = V6 = ∆t9 = t9 - t0 = 9/60 ∆x9 = x9 – x0 = V9 = ∆t12 = t12 - t0 = 12/60 ∆x12 = x12 – x0 = V12 = ∆t15 = t15 - t0 = 15/60 ∆x15 = x15 – x0 = V15 = ∆t18 = t18 - t0 = 18/60 ∆x18 = x18 – x0 = V18 =

Preguntas

1. ¿Con referencia a los datos de la tabla II, qué relación existe entre el deslazamiento ∆x3 y el desplazamiento ∆x6?

2. ¿Cómo es el desplazamiento ∆x9, comparado con el desplazamiento ∆x3? 3. Si compara el desplazamiento ∆x ocurrido en cualquier ∆t con respecto al

desplazamiento ∆x3, ¿puede observar alguna regularidad? ¿cuál es? 4. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta en la gráfica 1? 5. ¿Cuál es la ecuación de la recta que mejor se ajusta a los puntos de la grafica

1? 6. ¿Con la ecuación obtenida en el punto anterior calcule la posición del móvil para

instantes de tiempo que no estén incluidos en la tabla I. Proporcionar un ejemplo?

7. Qué representa el valor de la pendiente de la gráfica 1? 8. ¿El movimiento que se ha estudiado en este experimento es rectilíneo

uniforme? ¿Por qué? 9. ¿Cómo es el valor de la velocidad media para diferentes intervalos de tiempo? 10. ¿Cuántas cifras significativas tienen sus cálculos de velocidad media?

30


Velocidad instantánea

Objetivo General

Proporcionar al estudiante un método de medición de la velocidad instantánea


El estudiante determinará la velocidad instantánea de un objeto conociendo su posición en diferentes instantes de tiempo.

Teoría

La velocidad media de un objeto, se define como el cociente del desplazamiento

dividido entre el tiempo transcurrido (txv

∆∆

= ).

La velocidad instantánea en un tiempo dado, se define como el valor límite al que tiende la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

=v lim∆t→0tx∆∆

A esta expresión se le conoce también como la derivada de la posición con respecto al tiempo; es decir, la velocidad instantánea está dada por

dtdxv = .

Equipo y materiales

1. Riel de aire con su móvil 2. Cinta de papel registro 3. Regla graduada en mm 4. Generador de chispas 5. Hojas de papel milimétrico

Procedimiento

Método gráfico

1. Inclinar el riel de aire un cierto ángulo 2. Hacer que el móvil se mueva en el riel de aire y registrar su movimiento en el

papel registro,

31


3. Del papel registro obtener los valores de la posición para cada chispazo, recordando que los chispazos ocurren cada 1/60 de segundo. Asentar estos valores en la tabla I con las cifras significativas adecuadas.

4. Etiquetar los valores como (t0, x0), (t1, x1), (t2, x2), (t3, x3), etc. 5. Seleccionar en el papel registro el punto (t5, x5) en el cual se evaluará la

velocidad instantánea del móvil. 6. Calcular el intervalo de tiempo 5ttt i −=∆ , el desplazamiento y la

velocidad media

5xxx i −=∆

txv

∆∆

= entre el punto seleccionado y otros puntos antes y

después. Para hacer esto, cambie el valor de i desde 0 hasta 4 (límite por la izquierda) y desde 6 hasta 10 (límite por la derecha). Anote sus resultados en la tabla II.

x5x4x3x2

x 5 - x4

x 5 - x3

x5 -x2

7. Construir una gráfica de la velocidad media contra t∆ . La velocidad media en

el eje vertical y en el eje horizontal. t∆8. Ajustar una recta a los puntos de la grafica construida en el punto anterior. 9. Obtener el valor de la velocidad instantánea correspondiente al punto (t5, x5)

en la intersección de la recta, ajustada en el paso anterior, con el eje vertical. Nótese que en el punto inicial (t0, x0), solamente es posible calcular la velocidad instantánea acercándose por la derecha, mientras que para el último punto solamente se puede hacerlo acercándose por la izquierda.

32


Resultados

1. La tabla I incluye los valores del tiempo y la posición medidos en el papel registro

Tabla I Marca (N) Tiempo (s) Posición (cm)

0 =0t 0/60 =0x 1 =1t 1/60 =1x 2 =2t 2/60 =2x 3 =3t 3/60 =3x 4 =4t 4/60 =4x 5 =5t 5/60 =5x 6 =6t 6/60 =6x 7 =7t 7/60 =7x 8 =8t 8/60 =8x 9 =9t 9/60 =9x

10 =10t 10/60 =10x 11 =11t 11/60 =11x 12 =12t 12/60 =12x

2. La tabla II incluye los valores de el intervalo de tiempo 5ttt i −=∆ , el

desplazamiento y la velocidad media 5xxx i −=∆txv

∆∆

= .

Tabla II i 5ttt i −=∆

(s) 5xxx i −=∆

(cm) txv

∆∆

= cm/s

0 -5/60 1 -4/60 2 -3/60 3 -2/60 4 -1/60 6 1/60 7 2/60 8 3/60 9 4/60

10 5/60

33


3. Gráfica de la velocidad media txv

∆∆

= contra el intervalo de tiempo 5ttt i −=∆

Herramienta computacional

1. Utilizando las herramientas para el laboratorio de Mecánica, que se localiza en la pagina del Departamento de Física, http://www.fisica.uson.mx/mecanica/.

2. Seleccione el applet estudio de la velocidad y lea con cuidado las instrucciones.

3. Capture en la ventana de datos los valores de tiempo y posición de la tabla I, en la forma (t0, x0), (t1, x1), (t2, x2), (t3, x3), ...(tN, xN).

4. Seleccione 5 como el punto de interés, para calcular la velocidad instantánea. 5. Haga clic en el botón calcular. 6. Obtenga el valor de la velocidad instantánea para el punto (t5, x5) de la ventana

de resultados del applet. 7. Anote sus resultados en la tabla III.

Tabla III Velocidad Instantánea (cm/s)

Incertidumbre (cm/s) ____

Preguntas:

1. ¿Cuál es el valor que obtuvo para la velocidad instantánea en ese instante de tiempo, utilizando el método gráfico?

2. ¿Cuál es el valor que obtuvo para la velocidad instantánea en ese instante de

tiempo, utilizando el applet? 3. ¿Cuál es la diferencia porcentual entre estos dos resultados? 4. Obtenga la velocidad instantánea para todos los puntos utilizando el applet. 5. ¿Cómo calcularía la velocidad instantánea para todos los tiempos, sin usar el

applet?

34


Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Objetivo General

El alumno estudiará el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado


1. Determinar experimentalmente la relación entre la velocidad y el tiempo para un objeto que se mueve con aceleración constante.

2. Determinar experimentalmente la relación entre la posición y el tiempo para un objeto que se mueve con aceleración constante.

Teoría

Cuando un objeto se mueve con aceleración constante, se tiene un movimiento uniformemente acelerado. Cuando el movimiento es en línea recta, la ecuación que lo describe es

20 2

1)( attvxtx ++=

Esta es la ecuación de una parábola.

Por otro lado, la velocidad instantánea atvdtdxtv +== 0)( , en el plano v-t describe

una línea recta cuya pendiente es igual a la aceleración del objeto. Si se tiene el registro de la posición de un objeto, en movimiento uniformemente acelerado, para diferentes instantes de tiempo, es posible determinar toda la información del movimiento del objeto: la ecuación de movimiento y la velocidad instantánea para cualquier tiempo.

Equipo y materiales

1. Riel de aire, con su móvil 2. Generador de chispas (GC) y cables 3. Cinta de papel registro 4. Cinta adhesiva 5. Regla transparente de 1 mm por división 6. Un soporte para inclinar el riel de aire

35


Procedimiento

1. Coloque el papel registro debajo de la barra superior. 2. Incline el riel de aire de un extremo. 3. Conecte las salidas del generador de chispas a las terminales del riel de aire.

Peligro: Las chispas son producidas por voltajes muy altos. Tenga cuidado de no tocar la salida del generador o cualquier parte metálica del riel de aire.

4. Conecte el motor del riel de aire y el generador de chispas a la toma de corriente disponible en la mesa,

5. Conecte las salidas del generador de chispas entre el móvil y la barra fija. 6. Haga que el móvil se mueva y simultáneamente haga funcionar el generador. 7. Retire la cinta de papel registro. 8. En el papel registro, seleccione uno de los puntos iniciales e identifíquelo como

punto 0 y considere que en ese punto x = 0 y al instante correspondiente identifíquelo como t = 0,

9. Con respecto al punto seleccionado en el paso anterior, en la misma cinta de papel, mida las posiciones de los siguientes puntos (x1, x2,....,xn) los cuales ocurrieron en los siguientes instantes de tiempo t1 = (1/60)s, t2 = (2/60)s, t3 = (3/60)s, etc. y anote dicha información en la tabla I, incluyendo la incertidumbre de la posición explícitamente.

10. Utilizando las herramientas computacionales para el laboratorio de Mecánica, localizadas en la dirección http://www.fisica.uson.mx/mecanica/, seleccione el applet “estudio de la velocidad”, evalué los valores de la velocidad (v1, v2,....,vn) y su incertidumbre (δv1, δv2,...., δvn) para los tiempos t1 = (1/60)s, t2 = (2/60)s, t3 = (3/60)s, etc. y anote dicha información en la tabla II.

11. Con objeto de investigar el comportamiento de la velocidad del móvil, evalué los cambios de velocidad ( if vv − ) y sus incertidumbres ifif vvvv δδδ +=− )( en diferentes intervalos de tiempo múltiplos de 3/60 s, (3/60 s, 6/60 s, 9/60 s, etc). Anote sus resultados en la tabla III.

12. Para los mismos intervalos de tiempo, calcule la aceleración media

(if

if

ttvv

a−

−= ) y su incertidumbre, ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

++

−

+=

if

if

if

if

tttt

vvvv

aaδδδδ

δ . Considere que la

incertidumbre asociada al tiempo es despreciable ( 0== if tt δδ ). Anote sus resultados en la tabla III.

13. Con los datos de las tablas I y II construya las gráficas de la velocidad y de la posición contra el tiempo y llámelas gráfica 1 y gráfica 2.

36


Resultados

Posición del móvil en función del tiempo

Tabla I

Punto Tiempo (s)

Posición (cm) x ± δx

Velocidad instantánea del móvil en función del tiempo

Tabla II Número de marca

Tiempo (s)

Velocidad (m/s) v ± δv

37


Cambios de velocidad y aceleración media

Tabla III Intervalos de tiempo

(s) Cambio de velocidad

(m/s) Aceleración media

(m/s2) ∆t30 = t3 – t0 = 3/60 ∆v30 = v3 – v0 = a30 = ∆t60 = t6 – t0 = 6/60 ∆v60 = v6 – v0 = a60 = ∆t90 = t9 – t0 = 9/60 ∆v90 = v9 – v0 = a90 = ∆t93 = t9 – t3 = 6/60 ∆v93 = v9 – v3 = a93 = ∆t82 = t8 – t2 = 6/60 ∆v82 = v8 – v2 = a82 = ∆t71 = t7 – t1 = 6/60 ∆v71 = v7 – v1 = a71 = ∆t85 = t8 – t5 = 3/60 ∆v85 = v8 – v5 = a85 = ∆t52 = t5 – t2 = 3/60 ∆v52 = v5 – v2 = a52 =

Preguntas 1. Tomando los valores de los cambios de velocidad y sus incertidumbres

obtenidos en la tabla III, es decir el valor estimado del cambio de velocidad y el intervalo de confianza para esta estimación, ¿qué relación existe entre el cambio de velocidad ∆v30 y el cambio de velocidad ∆v60?,

2. ¿Cómo son los cambios de velocidad ∆v90 y ∆v30? 3. Si compara el cambio de velocidad ∆v ocurrido en cualquier ∆t con respecto al

cambio de velocidad ∆v30, ¿puede observar alguna regularidad? ¿Cuál es?

38


4. Con relación a la respuesta de la pregunta anterior, ¿podría concluirse que la aceleración es constante? ¿Podría concluirse lo mismo a partir de la gráfica 1?

5. Si ajusta una recta a los puntos de la gráfica 1, ¿cuál es el valor de la

pendiente de la recta y del cruce de la recta con el eje vertical? 6. ¿Qué representan estos valores ? 7. ¿Cuál es la ecuación de la recta que mejor se ajusta a los puntos del la grafica v contra t:

8. ¿Es posible calcular la velocidad del móvil para instantes de tiempo que no están incluidos en la tabla II Proporcione un ejemplo? 9. ¿Qué tipo de curva se obtiene al graficar la posición como función del tiempo? 10. ¿Cuál es el valor de la posición inicial del móvil? 11. ¿Cuál es la ecuación que describe la posición como función del tiempo?

39


12. Utilizando la ecuación anterior, calcule la posición del móvil utilizando los tiempos de la tabla I. ¿Cuál es la diferencia porcentual (100((valor medido – valor calculado)/valor medido)%) entre el valor medido y el valor calculado ?

Tiempo Medición calculado Error %0/60 1/60 2/60 3/60 4/60 5/60 6/60 7/60 8/60 9/60

13. ¿El movimiento que se ha estudiado en este experimento es rectilíneo con aceleración constante? ____ ¿Por qué?

40


Caída libre

Objetivo General

El alumno estudiará el movimiento de un objeto en caída libre

Objetivos particular

Determinar el valor de la aceleración de la gravedad.

Teoría

La caída libre es un ejemplo de movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, cuya aceleración es producida por la atracción gravitacional entre la tierra y el cuerpo. Las ecuaciones que describen el movimiento de un cuerpo en caída libre están dada por

200 2

1)( attvyty ++=

atvtv += 0)(

donde es la altura inicial, es la velocidad inicial y es la aceleración producida por la gravedad.

0y 0v a

Equipo y Materiales

1. Aparato registrador de caída libre 2. Un esfera metálica (balín) de 2.5 cm de diámetro 3. Generador de chispas 4. Cinta de papel registro 5. Regla graduada en mm.

41


Procedimiento

1. Colocar la cinta de papel registro en el aparato de caída libre. 2. Usar la plomada integrada al aparato para asegurarse que se encuentre

vertical. 3. Conecte las salidas del generador de chispas a las terminales aparato de caída

libre. Peligro: Las chispas son producidas por voltajes muy altos. Tenga cuidado de no tocar la salida del generador o cualquier parte metálica del aparato de caída libre.

4. Encienda el interruptor para activar el electroimán para sujetar el balín en la parte superior del aparato.

5. Simultáneamente active el generador de chispas y desactive el electroimán . 6. Retirar la cinta de papel registro, 7. Del papel registro obtener los valores de la posición para cada chispazo,

recordando que los chispazos ocurren cada 1/60 de segundo. 8. En el papel registro, seleccione uno de los puntos iniciales e identifíquelo como

y al instante correspondiente identifíquelo como t = 0, 0y9. Etiquetar los valores como (t0, y0), (t1, y1), (t2, y2), (t3, y3), y medir la posición de

todos los puntos con respecto al punto final, anotando sus resultados en la tabla I.

10. Utilizando las herramientas computacionales para el laboratorio de Mecánica, localizadas en la dirección http://www.fisica.uson.mx/mecanica/, seleccione el applet “estudio de la velocidad”, evalúe los valores de la velocidad (v1, v2,....,vn) y su incertidumbre (δv1, δv2,...., δvn) para los tiempos t1 = (1/60)s, t2 = (2/60)s, t3 = (3/60)s, etc. y anote dicha información en la tabla II.

11. Con los datos de las tablas I y II construya las gráficas de la velocidad y de la posición contra el tiempo y llámelas gráfica 1 y gráfica 2.

12. Obtenga la aceleración de la gravedad, a partir de la gráfica velocidad vs tiempo.

42


Resultados

Posición del móvil en función del tiempo

Tabla I Punto Tiempo (s) Posición (cm)

Velocidad instantánea del móvil en función del tiempo

Tabla II

Número de punto

Tiempo (s)

Velocidad (m/s) v

43


Preguntas

1. A partir de la gráfica 1 determine el valor de la ordenada en el origen, ______ ¿que significado tiene este valor?

2. ¿Cuál es la ecuación de la recta que mejor se ajusta a los puntos de la gráfica v contra t?

3. ¿Qué tipo de curva se obtiene en la gráfica de la posición vs. tiempo (gráfica

2)? 4. Obtenga la ecuación de la posición como función del tiempo ( y(t) ). 5. ¿Por qué la velocidad y la aceleración resultan con signo negativo? 6. - Compare el valor obtenido de g, en este experimento, con el valor reportado

en los libros de texto determinando el error porcentual de su medición.

44


Movimiento de proyectiles

Objetivo General El alumno estudiará el movimiento de un proyectil Objetivos particulares 1. Determinar las componentes horizontal y vertical de la velocidad de un

proyectil en función del tiempo 2. Determinar las componentes horizontal y vertical de la aceleración de un

proyectil en función del tiempo. 3. Determinar las componentes horizontal y vertical de la posición de un proyectil

en función del tiempo Teoría Cuando se lanza un objeto en presencia solamente de un campo gravitatorio, como el de la tierra, se observa que dicho objeto se eleva, alcanza una determinada altura y cae. Las ecuaciones vectoriales que describen este tipo de movimientos son:

200 2

1)( tatvrtr ++=

tavtv += 0)(

Este movimiento ocurre en un plano y para su estudio se puede descomponer en un movimiento en la dirección horizontal y otro en la dirección vertical. En la dirección horizontal, el movimiento es uniforme con velocidad constante y las ecuaciones que lo describen son:

tvxtx x00)( += ctevtv xx == 0)(

donde es la componente horizontal de la posición inicial y es la componente horizontal del vector velocidad inicial.

0x xv0

En la dirección vertical, el movimiento es uniformemente acelerado, donde la aceleración es debida al campo gravitatorio. Las ecuaciones que lo describen son:

45


200 2

1)( attvyty y ++=

atvtv y += 0)(

donde es la componente vertical de la posición inicial, es la componente vertical de la velocidad inicial y es la componente vertical de la aceleración.

yv0

a

Equipo y materiales

1. Registrador de movimiento de proyectiles (placas paralelas) 2. Generador de chispas (GC) y cables 3. Un balín de acero de 2.5 cm 4. Hoja de papel registro 5. Cinta adhesiva 6. Regla transparente de 1 mm por división 7. Un juego de escuadras 8. Caja de luz Procedimiento 1. Coloque y pegue la hoja de papel registro en la placa interior del registrador de

proyectiles. 2. Asegúrese que el registrador de proyectiles y la hoja de papel registro se

encuentren completamente vertical. 3. Conecte las salidas del generador de chispas a las placas del registrador de

proyectiles. Peligro: Las chispas son producidas por voltajes muy altos. Tenga cuidado de no tocar la salida del generador o cualquier parte metálica del registrador de proyectiles .

4. Seleccione el ángulo de disparo del proyectil (balín). 5. Haga que el balín se mueva por la rampa de disparo y simultáneamente haga

funcionar el generador de chispas. 6. Apague y desconecte el generador de chispas 7. Retire la hoja de papel registro. 8. En el papel registro, seleccione uno de los puntos iniciales e identifíquelo como

punto 0 y considere que en ese punto = = 0 (origen del sistema de coordenadas) y al instante correspondiente identifíquelo como = 0,

0x 0y

0t9. Con respecto al punto seleccionado en el paso anterior, en la misma hoja de

papel registro, mida la posición de los siguientes puntos (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), etc, los cuales ocurrieron en los instantes de tiempo t1 = (1/60)s, t2 = (2/60)s, t3 = (3/60)s, etc. Anote dicha información en la tabla I. Una manera relativamente fácil de determinar las componentes horizontal y vertical de la

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posición es trazando líneas perpendiculares desde cada punto hacia el eje correspondiente.

10. Utilizando las herramientas computacionales para el laboratorio de Mecánica, localizadas en la dirección http://www.fisica.uson.mx/mecanica/, seleccione el applet “estudio de proyectiles”, obtenga las componentes horizontal y vertical de la velocidad y su incertidumbre para los tiempos t1 = (1/60)s, t2 = (2/60)s, t3 = (3/60)s, etc. y anote dicha información en la tabla II.

11. Con los datos de la tabla II construya las gráficas de las componentes horizontal y vertical de la velocidad contra el tiempo y llámelas gráfica 1 ( vs ) y gráfica 2 ( vs t ). xv t yv

12. Con los datos de la tabla I construya las gráficas de las componentes horizontal y vertical de la posición contra el tiempo y llámelas gráfica 3 ( x vs

) y gráfica 4 ( vs ). t y t Resultados Posición del proyectil en función del tiempo

Tabla I Número de Marca

Tiempo (s) Componente x(t) de la posición

(cm)

Componente y(t) de la posición

(cm) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12

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Velocidad del proyectil en función del tiempo

Tabla II Número

de marca

Tiempo (s)

vx(t) (m/s)

xvδ (m/s)

vy(t) (m/s)

yvδ (m/s)

0 0 1 1/60 2 2/60 3 3/60 4 4/60 5 5/60 6 6/60 7 7/60 8 8/60 9 9/60

10 10/60 11 11/60 12 12/60

Preguntas 1. ¿Qué tipo de gráfica resulta de la envolvente de los puntos de la figura 1; vx

vs t? 2. Determine la ecuación de la recta que mejor se ajusta a los puntos del la

grafica 1; vx contra t: 3. ¿Cuál es el valor de la pendiente de esta grafica? __ ¿Qué representa el

valor de esta pendiente en el diagrama vx contra t?

48


4. ¿Es posible calcular la componente horizontal de la velocidad del proyectil para instantes de tiempo que no están incluidos en la tabla II? __ Proporcione un ejemplo

5. Determine la ecuación de la recta que mejor se ajusta a los puntos del la

grafica 2 ( contra t): yv 6. ¿Qué representa el valor de la pendiente de la gráfica 3 (x contra t)? 7. Es posible calcular la componente horizontal de la posición del proyectil para

instantes de tiempo que no están incluidos en la tabla I? ___ Proporcione un ejemplo

8. ¿Qué tipo de movimiento observa en la dirección horizontal? a) movimiento con velocidad constante b) movimiento con aceleración constante c) movimiento con aceleración variable Explique su respuesta. 9. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta ajustada al graficar vY vs t ?

______ ¿qué representa este valor ?___________________¿Le parece conocido este valor? ___ ¿A que valor? __________________________

10. Determine la ecuación de la recta que mejor se ajusta a los puntos del la

gráfica 3 (vy contra t)

49


11. Utilizando los valores de 0y , yv0 y que se obtienen de las tabla I y II y de la gráfica 2, determine la ecuación que describe el movimiento vertical del proyectil bajo estudio.

g

12. ¿Que tipo de movimiento observa en la dirección vertical? a) movimiento con velocidad constante b) movimiento con aceleración constante c) movimiento con aceleración variable Explique su respuesta.

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Laboratorio de Mecánica. Experimento No. 8 Versión para el alumno

Movimiento circular uniforme

Objetivo general

Estudiar el movimiento circular de un cuerpo que se mueve con velocidad angular constante.

Objetivos específicos

Determinar la velocidad angular, la velocidad lineal y la aceleración centrípeta.

Teoría

Cuando un cuerpo gira con velocidad angular constante, el radio vector genera ángulos iguales en intervalos de tiempo iguales. Para cualquier tiempo t , el ángulo generado estará dado por la ecuación

θ = θ0 + ωt

donde θ es el ángulo en radianes, θ0 es la posición angular inicial, ω es la velocidad angular en radianes sobre segundo y t es el tiempo en segundos. Por otro lado, la relación entre la velocidad angular ω y la velocidad lineal (tangencial a la trayectoria) de un punto a una distancia r del centro de giro está dada por

v = ωr

y la aceleración centrípeta del mismo punto está dada por

a = v2/r.

Suponiendo que θ0 = 0, de la primera ecuación se obtiene que ω = θ/t. Sustituyendo ω en la segunda ecuación, se obtiene v = θr/t. Combinando esta expresión con la última ecuación y despejando θ2 se obtiene la relación

θ2 =(a/r)t2

que será utilizada en este experimento para calcular la aceleración centrípeta.

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Equipo y materiales

1. Registrador de movimiento circular 2. Generador de chispas 3. Transportador 4. Hoja de papel registro (papel de fax) 5. Regla graduada

Procedimiento

1. Colocar y pegar una hoja de papel registro (15 cm x 15 cm) en la parte interna de la tapa abatible del registrador de movimiento circular.

2. Para marcar el centro de giro en el papel, quitar el móvil giratorio y jalar hacia arriba la punta metálica colocada en la parte central.

3. Conecte el generador de chispas a la toma de corriente y al registrador, y acciónelo por un tiempo muy breve (un chispazo es suficiente). Debe quedar marcado un punto en el centro.

4. Regresar la punta metálica a su posición original y fijar el móvil al poste central.

5. Conectar y encender el registrador, impulsar al móvil, cerrar la tapa y accionar el generador de chispas, hasta que el móvil complete una vuelta. Tener cuidado de solamente completar una vuelta, para no sobreponer los puntos.

6. Apagar todo el equipo y retirar la hoja de papel registro. 7. Pegar la hoja sobre la mesa para trazar el radio correspondiente a cada

punto. 8. En el papel registro seleccionar uno de los radios como referencia e

identificarlo como radio 0, al cual le corresponde un ángulo θ0 = 0 y al tiempo correspondiente identificarlo como t0 =0.

9. A partir del radio 0, medir los ángulos para los radios subsecuentes (considerar al menos 12 ángulos). Registre sus mediciones en la segunda columna de la tabla 1.

10. Expresar los ángulos en radianes (rad) y anotarlos en la columna 3 de la tabla I.

11. Calcular el cuadrado de cada ángulo expresado en radianes y anotar los resultados en al columna 4 de la tabla I.

12. En papel milimétrico o utilizando el applet para movimiento circular, construir la gráfica de la posición angular contra el tiempo (θ contra t) y construir también la gráfica de θ2 contra t2.

13. En las gráficas obtenidas en el paso anterior, ajustar una recta por mínimos cuadrados y determine las pendientes correspondientes y anotar sus resultados en la tabla II.

14. A partir de las ecuaciones 2 y 4 calcular la velocidad lineal y la aceleración centrípeta, anotar sus resultados en la tabla II.

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Resultados

Tabla I

Tiempo (t/60)s θ (grados) θ (radianes) θ2 (rad2)

Tabla II Radio (m)

velocidad angular (rad/s)

velocidad lineal (m/s) 2

2

tθ

(s-2 )

Aceración centrípeta (m/s2)

Preguntas

1. Mencione tres ejemplos de movimiento circular uniforme, como el estudiado en este experimento.

2. En un movimiento circular, ¿Cuántas aceleraciones se pueden encontrar?

3. ¿Cuál es la dirección de la aceleración centrípeta?

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4. ¿Qué pasaría si hubiera aceleración tangencial? 5. Si este es un movimiento angular uniforme, ¿por qué hay aceleración

centrípeta?

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Segunda Ley de Newton

Objetivo General

El alumno entenderá la relación entre las fuerzas de la naturaleza y el movimiento


1. El estudiante encontrará la relación entre las fuerzas que actúan sobre un objeto y su aceleración.

2. El estudiante calculará la masa inercial de un cuerpo.

Teoría

La primera ley de Newton establece que para que un objeto permanezca en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, la fuerza neta que actúa sobre él debe ser igual a cero. Cuando una fuerza no equilibrada actúa sobre un objeto, le imprime una aceleración. Isaac Newton, en su Segunda Ley, estableció que la fuerza que actúa sobre un objeto y la aceleración que esta le provoca son directamente proporcionales, esto es.

amF =

Donde es una constante de proporcionalidad, característica del objeto en cuestión, denominada masa inercial.

m

Equipo y materiales 1. Riel de aire, con polea 2. Soporte de inclinación del riel 3. Dinamómetros de lectura máxima de 0.1 y 0.2 N 4. Móvil de riel 5. Un tramo de hilo 6. Transportador con plomada 7. Balanza de lectura máxima de 610 gramos

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Figura 1. Montaje experimental

Procedimiento

1. Colocar una tira de papel registro en la barra superior del riel de aire. 2. Inclinar el riel de aire un ángulo de aproximadamente 5°, con respecto a la

horizontal. 3. Colocar sobre el riel el móvil y atarle un extremo del hilo. 4. Hacer que el hilo pase por la polea colocada al final del riel. 5. En el otro extremo de la cuerda atar un dinamómetro. Nota: Antes de colocar el

dinamómetro, verifique que esté calibrado, es decir que el indicador coincida con el cero.

6. Ajuste la posición de la polea para que el hilo quede paralelo al riel. 7. Encender el riel de aire. 8. Medir la tensión del hilo, tomando la lectura del dinamómetro. Nota: el

dinamómetro debe de estar en posición vertical (vea la figura 1). Anotar la medición en la tabla I.

9. Desatar el móvil y colocarlo en el extremo superior del riel, sosteniéndolo con un material aislante.

10. Encender y disparar el generador de chispas y soltar el móvil para hacer una corrida como las realizadas en los experimentos anteriores. Peligro: Las

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chispas son producidas por voltajes muy altos. Tenga cuidado de no tocar la salida del generador o cualquier parte metálica del riel de aire.

11. Apagar el equipo. 12. Retirar el papel registro, seleccionar un punto de origen y a partir de ahí medir la

posición del móvil para tiempos subsecuentes. 13. Utilizar las herramientas computacionales para el laboratorio de Mecánica,

localizadas en la dirección http://www.fisica.uson.mx/mecanica/, seleccionar el applet “Cálculo de la velocidad”, evaluar los valores de la velocidad (v1, v2,....,vn) y su incertidumbre (δv1, δv2,...., δvn) para los tiempos t1 = (1/60)s, t2 = (2/60)s, t3 = (3/60)s, etc. y anotar dicha información en la tabla II.

14. Repetir los pasos anteriores para los siguientes ángulos: 10°, 15° y 20°. Anotar sus resultados en la tabla II.

15. Graficar las velocidades instantáneas, encontradas en el paso 13, como función del tiempo, para todos los ángulos de inclinación (cuatro gráficas).

16. Ajustar una recta en cada caso y determinar la aceleración del móvil con la pendiente de la recta. Anotar sus resultados en la tabla III.

17. Graficar la fuerza aplicada al móvil contra la aceleración (tabla III). 18. Ajustar una recta y determinar la masa del móvil con la pendiente de la recta. 19. Con una balanza medir la masa del móvil. 20. Comparar la masa medida en la balanza con aquella encontrada en el paso 18 y

calcular el error porcentual. Escriba sus resultados en la tabla IV. El error porcentual está dado por la expresión

%100∗−

=g

gi

mmm

Error

Donde es la masa inercial, medida con la ley de Newton y es la masa gravitatoria, medida con la balanza.

im gm

Resultados

La fuerza resultante para diferentes ángulos

Tabla I Ángulo (grados) Fuerza (N)

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Velocidad instantánea para diferentes ángulos

Tabla II

Velocidad (cm/s) Tiempo (1/60 s) 5 grados 10 grados 15 grados 20 grados

Gráficas

Fuerza y aceleración a diferentes ángulos

Tabla III Inclinación (grados aceleración (m/s2) Fuerza (N)

Valores de la masa gravitatoria y la masa inercial.

Tabla IV Inercial (N/m/s2) Gravitatoria (Kg) Error porcentual Masa

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Preguntas 1. ¿Qué tipo de curva se ajusta a los datos experimentales al graficar fuerza contra aceleración? 2. Si a la pendiente de la recta se le llama m, a la fuerza F y a la aceleración a, ¿qué ley encontró? 3. ¿Cómo se llama la constante que relaciona la fuerza con la aceleración? 4. ¿Son comparables los resultados de la masa obtenida a partir de la gráfica y la medida con la balanza? Explique por qué. 5. Si este experimento lo realizara en la luna ¿La relación entre la fuerza y la aceleración cambia?_________ ¿El valor de la masa será diferente?

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Fuerza de fricción estática

Objetivo general

Estudiar la fuerza de fricción estática.

Objetivos específicos

Determinar los coeficientes de fricción entre diferentes parejas de materiales. Teoría La fuerza de fricción entre dos cuerpos aparece aún sin que exista movimiento relativo entre ellos. Cuando así sucede actúa la fuerza de fricción estática, que usualmente se denota como y su magnitud puede tomar valores entre cero y un máximo, el cual está dado por

sf

Nf ss µ=max (1)

donde sµ es el coeficiente de fricción estático y es la fuerza normal. N

En el caso particular, de un objeto en reposo sobre un plano inclinado, como se ilustra en la figura 1. De acuerdo al diagrama de fuerzas, sobre este cuerpo actúan tres fuerzas: La normal , el peso W y la fuerza de fricción estática . N sf

Figura 1

61


Dado que el objeto está en reposo, a partir del diagrama de fuerzas se encuentran las ecuaciones:

0=−=∑ sx fmgsenF θ (2)

∑ =−= 0cosθmgNFy (3)

Si se aumenta el ángulo de inclinación gradualmente, hasta que el valor cθ ángulo al cual el objeto está a punto de iniciar su movimiento, la fuerza de fricción estática alcanza su valor máximo dado por la ecuación (1). Despejando la fricción y la normal, se tiene:

cs mgsenf θ=max

cmgN θcos=

y sustituyendo en la ecuación (1) se obtiene:

cs θµ tan= (4)

Esta ecuación, permite determinar el coeficiente de fricción estática entre dos materiales en contacto.

Equipo y materiales

1. Plano de inclinación variable 2. Placa de aluminio 3. Un bloque de madera de masa variable y de caras con diferentes áreas 4. Dos “pesas” de 100g de masa 5. Trozos de diferentes materiales

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Figura 2 Procedimiento ATENCIÓN: Antes de iniciar las mediciones, es necesario limpiar con un trapo limpio y húmedo las superficies que van a estar en contacto. Esto para retirar el polvo y suciedad que pudieran afectar los resultados. Dejar secar las superficies antes de hacer las mediciones. 1. Colocar el bloque de madera con su cara de mayor área sobre el plano

inclinado (plástico). 2. Aumentar el ángulo de inclinación gradualmente, hasta que el objeto esté a

punto de resbalar (ver figura 2) y anotar en la tabla I el valor del ángulo de inclinación.

3. Repetir los pasos anteriores 10 veces. 4. Colocar en el hueco del bloque de madera una masa de 100g y repetir los

pasos 1, 2 y 3, diez veces. Anotar los ángulos medidos en la tabla I. 5. Colocar otra masa de 100g, para alcanzar 200g y repetir el paso 4. Anotar sus

resultados en la tabla I. 6. Calcular el coeficiente de fricción utilizando la ecuación (4) y anotar el resultado

en la última columna de la tabla I.

63


7. Coloque sobre el plano inclinado cada uno de los diferentes materiales disponibles, repita el paso 2 y anote sus resultados en la tabla 2.

8. Utilizar las herramientas computacionales para el laboratorio de Mecánica, localizadas en la dirección http://www.fisica.uson.mx/mecanica/, seleccionar el applet “Análisis estadístico de mediciones” y obtener el promedio y la incertidumbre (desviación estándar). Anote sus resultados en la tabla 2.

9. Coloque la placa de aluminio sobre el plano inclinado, y repita los pasos 7 y 8 y anote sus resultados en la tabla 3.

Resultados

Tabla I

Renglón Carga (g)

Angulo cθ cc δθθ ± µs

1 0 2 100 3 200

Tabla 2

MATERIALES Angulo cθ cc δθθ ± µs

Plástico- aluminio

Plástico- latón

Plástico- fierro

Plástico- acrílico

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Tabla 3

Materiales Ángulo cθ cc δθθ ± µs

Aluminio- aluminio

Aluminio- latón

Aluminio- fierro

Aluminio- acrílico

Preguntas

1. ¿Qué sucede con el coeficiente de fricción estática al cambiar la masa del bloque de madera? 2. ¿Qué sucede con la fuerza de fricción estática máxima al cambiar la masa del bloque de madera? Debe de cambiar, porque al cambiar la masa, cambia la normal 3. ¿Qué sucede con la fuerza de fricción estática cuando se cambia el ángulo de inclinación? 4. ¿Qué sucede con la fuerza normal cuando se cambia el ángulo de inclinación?

65


5. Diga si son falsas (F) o verdaderas (V) las siguientes aseveraciones: ___ El coeficiente de fricción estática se da entre dos materiales en contacto. ___ Cada material tiene su coeficiente de fricción estática. ___ La fuerza de fricción estática no depende del coeficiente de fricción estática. ___ El coeficiente de fricción estática no puede ser mayor que 1.

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Trabajo y Energía Cinética

Objetivo General

Estudiar el teorema de la variación de la energía.

Objetivos Particulares

1. Determinar el trabajo realizado por una fuerza constante sobre un objeto en movimiento rectilíneo.

2. Determinar la variación de la energía cinética. 3. Verificar el teorema del trabajo y la energía.

Teoría

El trabajo realizado sobre un objeto por un agente que ejerce una fuerza constante F , está dado por el producto de la componente de la fuerza en la dirección del movimiento multiplicada por la magnitud del desplazamiento; esto es,

αcosFdW =

Cuando αcosF apunta en la dirección del desplazamiento, el trabajo es positivo y cuando apunta en dirección contraria, el trabajo se considera negativo.

En el caso de un objeto que se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado sin fricción, la fuerza de gravedad, que es la causante del movimiento, realiza un trabajo dado por

)( if xxmgsenW −= θ

donde representa el desplazamiento del objeto a lo largo del plano inclinado y

if xx −θmgsen es la componente de la fuerza de gravedad en la dirección del

desplazamiento (véase la figura 1).

67


Fx = mgsenθ

XF

XO

θ

X

X

hO

hF

sen θ = hO - hF / X F -X O

Figura 1

Durante el desplazamiento hacia abajo, se observa además que la velocidad del objeto aumenta gradualmente y su energía cinética dada por

2

21 mvK =

también aumenta. La variación de la energía cinética conforme el objeto se desplaza sin fricción es igual al trabajo realizado sobre el objeto, esto es:

KW ∆=

A este hecho se le conoce como el teorema de la variación de la energía, o como el teorema del trabajo y la energía (cinética). Esto es, el trabajo realizado por una fuerza constante para mover un objeto en ausencia de fricción es igual al cambio en la energía cinética del objeto.

Equipo y materiales

1. Riel de aire largo (RA) 2. Cinta de papel registro 3. Cinta adherente 4. Generador de chispa (GC) 5. Cables de conexión 6. Móvil para el riel 7. Una balanza con resolución de un gramo y que pueda medir hasta un

kilogramo 8. Dinamómetro.

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Procedimiento 1. Utilizando la balanza, medir la masa del móvil y anotar su valor en la tabla I. 2. Utilizando el dinamómetro, medir la componente de la fuerza de gravedad que

actúa en la dirección del movimiento. Nota: Antes de medir la fuerza, calibrar el dinamómetro después de colocarlo a lo largo del riel. Anotar su resultado en la tabla I.

3. Cortar una tira de papel registro de 110 cm de longitud y adherirla en la barra superior, desde el inicio del riel, a todo lo largo del mismo.

4. Inclinar el riel de aire un ángulo cercano a 40°. 5. Conectar las salidas del generador de chispas a las terminales del riel de aire.

Peligro: Las chispas son producidas por voltajes muy altos. Tenga cuidado de no tocar la salida del generador o cualquier parte metálica del riel de aire.

6. Conectar el motor del riel de aire y el generador de chispas a la toma de corriente disponible en la mesa.

7. Conectar las salidas del generador de chispas entre el móvil y la barra fija. 8. Hacer funcionar el generador e inmediatamente dejar que el móvil se deslice

libremente. 9. Retirar la cinta de papel registro, seleccionar el punto inicial e identificarlo

como , considerar que en ese punto la posición del móvil es igual a cero y al instante correspondiente identificarlo como t = 0.

0x

10. Con respecto al punto seleccionado en el paso anterior, en la misma cinta de papel, medir la posición de los puntos subsiguientes ( ). nxxxx ,...,,, 321

11. Localizar las herramientas en línea para el laboratorio de Mecánica en la dirección http://www.fisica.uson.mx/mecanica/ y seleccionar el applet “Calculo de la velocidad”.

12. Capturar los datos de tiempo y posición en la ventana de datos del applet. 13. De la ventana de resultados del applet, obtener los valores de la velocidad (v0,

v1, v2,....,vn) para todos los puntos. Anotar los resultados en la tabla II. 14. Utilizando una hoja electrónica, copiar en la hoja los valores de la posición y la

velocidad en todos los puntos del papel registro 15. En la hoja electrónica, con el valor de la masa del móvil, medida inicialmente, y

los valores de la velocidad, obtener la energía cinética del móvil ( 2

21 mvK = ) en

todos los puntos y anotar sus resultados en la tabla II. 16. En la hoja electrónica, para las diferentes parejas de puntos que aparecen en

la tabla III, calcular el cambio de energía cinética y el trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre el objeto y anotar sus resultados en la misma tabla III.

17. Graficar el cambio de energía cinética contra el trabajo realizado por la fuerza de gravedad para determinar la pendiente y la incertidumbre asociada.

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Resultados

Tabla I Masa del móvil (kg)

Magnitud de la fuerza

Tabla II Tiempo

(s) Posición

(m) Velocidad

(m/s) Energía cinética

(J) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

70


Tabla III Punto inicial y punto final

Desplazamiento (m)

Trabajo (J)

Cambio de energía cinética

(J)

ix , fx

if xx −

)( if xxmgsen −θ

if KKK −=∆

0, 6 13, 20 15, 18 3, 23 5, 16 2, 30 3, 18 5, 26

10, 28 15, 29 2, 25 8, 19

10, 20 15, 28 0, 11 0, 18 0, 25

Preguntas

1. ¿Qué tipo de curva muestra la gráfica de cambio de energía cinética contra trabajo?

2. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta que se ajusta a la gráfica de

cambio de energía cinética contra trabajo?

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3. ¿Cuál es el valor donde cruza la recta con el eje vertical? 4. ¿Qué significado tiene que pase por el origen? 5. ¿A partir de la gráfica de cambio de energía cinética contra trabajo, qué

relación existe entre ambas variables? 6. ¿Tomando en cuenta los resultados obtenidos en este experimento, es decir a

partir de la gráfica de cambio de energía cinética contra trabajo, considera usted que el teorema de la variación de la energía se cumple?

72


Conservación de la Energía Mecánica

Objetivo General Estudiar la ley de conservación de la energía mecánica.

Objetivos Particulares: 1. Determinar los cambios de la energía cinética y la energía potencial

gravitacional de un objeto. 2. Verificar la ley de conservación de la energía.

Teoría: Un objeto colocado a una cierta altura tiene una energía potencial dada por

mghU =

Si el objeto se deja caer, su altura disminuye y en consecuencia su energía potencial también disminuye. En cambio, conforme cae, su velocidad aumenta y en consecuencia su energía cinética dada por

2

21 mvK =

aumenta. Sin embargo, la suma de la energía cinética más la energía potencial no cambia; es decir, la energía mecánica definida como

UKE +=

es constante. A lo anterior se le conoce como la ley de conservación de la energía mecánica.

Equipo y materiales 1. Aparato registrador de caída libre 2. Un esfera metálica (balín) de 2.5 cm de diámetro 3. Generador de chispas 4. Cinta de papel registro 5. Regla graduada en mm 6. Una balanza con resolución de décimas de gramo

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Procedimiento 1. Colocar la cinta de papel registro en el aparato de caída libre. 2. Usar la plomada integrada al aparato de caída libre para asegurarse que se

encuentre vertical. 3. Conectar las salidas del generador de chispas a las terminales del aparato de

caída libre. Peligro: Las chispas son producidas por voltajes muy altos. Tenga cuidado de no tocar la salida del generador o cualquier parte metálica del aparato de caída libre.

4. Encender el interruptor para activar el electroimán que sujeta el balín en la parte superior del aparato.

5. Activar el generador de chispas e inmediatamente desactivar el electroimán . 6. Retirar la cinta de papel registro. 7. Del papel registro obtener los valores de la altura para cada chispazo,

recordando que los chispazos ocurren cada 1/60 de segundo. 8. En el papel registro, seleccionar uno de los puntos iniciales e identificarlo como

y al instante correspondiente identificarlo como t = 0. 0y9. Etiquetar los valores como (t0, y0), (t1, y1), (t2, y2), (t3, y3), y medir la altura de

todos los puntos con respecto al punto final, anotando sus resultados en la tabla I.

10. Utilizando las herramientas computacionales para el laboratorio de Mecánica, localizadas en la dirección http://www.fisica.uson.mx/mecanica/, seleccionar el applet “estudio de la velocidad”, obtener los valores de la velocidad (v1, v2,....,vn) y su incertidumbre (δv1, δv2,...., δvn) para los tiempos t1 = (1/60)s, t2 = (2/60)s, t3 = (3/60)s, etc. y anotar dicha información en la tabla I.

11. Con la balanza, medir la masa del balín y anotar su valor en la tabla I. 12. Utilizando una hoja electrónica, copiar en la hoja los valores de la posición y la

velocidad en todos los puntos del papel registro 13. Utilizando la misma hoja electrónica, obtener la altura del móvil respecto al

punto final ( θsenxxh kf )( −= con ,...2,1,0=k ). 14. En la hoja electrónica, calcular la energía potencial ( mghU = ), la energía

cinética ( 2

21 mvK = ) y la energía mecánica ( UKE += ) para todos los puntos.

Considerar que g = 9.8 m/s . 2

15. En la hoja electrónica, redondear sus resultados a dos cifras decimales (cifras significativas) y anotar sus resultados en la tabla I.

16. Construir las curvas de la energía potencial, la energía cinética y la energía mecánica como funciones de la altura en una sola gráfica.

17. Construir las curvas de la energía potencial, la energía cinética y la energía mecánica como funciones del tiempo en una sola gráfica.

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Resultados Tabla I

Punto Tiempo (s)

Altura (cm)

Velocidad(m/s)

Energía Potencial

(J)

Energía Cinética

(J)

Energía Mecánica

(J) 0 0/60 1 1/60 2 2/60 3 3/60 4 4/60 5 5/60 6 6/60 7 7/60 8 8/60 9 9/60

10 10/60 Masa del balín =

Preguntas 1. De los resultados en la tabla I, ¿qué comportamiento observa en la energía

potencial conforme el objeto cae? 2. De los resultados en la tabla I, ¿qué comportamiento observa en la energía

cinética conforme el objeto cae? 3. De los resultados en la tabla I, ¿qué comportamiento observa en la energía

mecánica conforme el objeto cae? 4. ¿En qué altura se cruzan las curvas de la energía potencial y la energía

cinética?

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5. ¿En qué tiempo se cruzan las curvas de la energía potencial y la energía cinética?

6. ¿Qué relación existe entre la altura y el tiempo de las dos preguntas

anteriores? 7. ¿Por qué la curva de energía mecánica es una recta con pendiente igual a

cero? 8. ¿Puede usted afirmar que se cumple la ley de conservación de la energía?

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Disipación de energía mecánica

Objetivo general

El estudiante medirá la energía que se pierde por la acción de la fuerza de rozamiento.


1. Determinar los cambios de la energía cinética de un móvil en presencia de fuerzas de rozamiento.

2. Determinar la perdida de energía mecánica debida a la fuerza de rozamiento. 3. Medir el coeficiente de fricción cinético.

Teoría

Se dice que una fuerza es conservativa cuando el trabajo realizado por dicha fuerza para mover un cuerpo no depende de la trayectoria seguida (la fuerza gravitacional es una fuerza de este tipo). En este caso cualquier cambio de la energía potencial debe ser compensado con un cambio igual y opuesto de la energía cinética, como se vio en el experimento Conservación de la energía mecánica. Cuando el trabajo es únicamente función de las coordenadas, se puede definir una función de energía potencial tal que el trabajo realizado sea igual a la disminución de la energía potencial.

UWc ∆−= Donde es el trabajo conservativo y cW if UUU −=∆ es el cambio de la energía potencial. Por otro lado, cuando el trabajo realizado por una fuerza para mover un cuerpo sí depende de la trayectoria, se dice que esta fuerza es no conservativa o fuerza disipativa (la fuerza de fricción o de rozamiento es una fuerza de este tipo). En tal caso, el teorema trabajo-energía se expresa como

KWW ncc ∆=+ Donde es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas. ncWComo se tiene UWc ∆−=

)()()()( iiffififnc UKUKUUKKUKW +−+=−+−=∆+∆= Pero la energía mecánica . Por lo tanto UKE +=

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ifnc EEW −=

Esto significa que el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual al cambio de la energía mecánica total del sistema. En el presente experimento, se estudiará el movimiento de un móvil que se desliza sobre un plano inclinado con fricción. El trabajo realizado por la fuerza de gravedad (conservativa) está dado por dmgsenWW gc )( θ== . Asimismo, el trabajo de la fuerza de fricción esta dado por

dfdfW kknc −== 0180cos Donde θmgsen es la componente de la fuerza de gravedad en la dirección de movimiento del móvil, es la fuerza de fricción cinética y es la distancia recorrida sobre el riel. Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene que

kf d

dfEE kif −=−

donde Nf kk µ=

tal como se ilustra en la figura 1. kµ es el coeficiente de fricción cinético y es la fuerza normal dada por

NθcosmgN = .

En el caso del objeto que se desliza hacia abajo sobre el plano inclinado, a partir de la segunda ley de Newton, se obtiene

0cos =− θmgN

NFma kg µ−= donde θmgsenFg = . Despejando el coeficiente de fricción kµ , se obtiene

θµ

cosmgmaFg

k

−=

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Fx = mgsenθ

XF

XO

θX

hO

hF

fk =µkΝ N

Wy = mgcosθ

Fx = mgsenθ

Figura 1

Equipo y materiales 1. Riel de aire (RA) 2. Cinta de papel registro 3. Cinta adherente 4. Generador de chispa (GC) 5. Móvil para el riel 6. Balanza con resolución de un gramo y que pueda medir hasta un kilogramo 7. Transportador con plomada 8. Regla graduada Procedimiento 1. Inclinar el riel de aire un ángulo de 50 grados, aproximadamente, medir el ángulo

cuidadosamente y anotar el resultado en la tabla I. 2. Con la balanza, medir la masa del móvil y anotar el resultado en la tabla I. 3. Cortar una tira de papel registro de aproximadamente 100 cm de longitud y adherirla

en la barra superior del riel, desde la parte más alta. 4. Conectar el GC a la toma de corriente. 5. Conectar la salida del GC a las terminales correspondientes en el riel de aire. 6. Colocar el móvil en la parte superior del riel de aire y mantenerlo allí mediante un trozo

de madera o cualquier otro objeto aislante. 7. Accionar el disparador del GC, y soltar el móvil con el riel sin aire. Peligro: Las

chispas son producidas por voltajes muy altos. Tenga cuidado de no tocar la salida del generador. Utilice aislantes.

8. Interrumpir la energía eléctrica a todo el equipo. 9. Retirar la cinta de papel registro y medir la posición de los puntos a lo largo de la

dirección de movimiento,

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10. Con los datos de la posición con respecto al tiempo y con ayuda del applet para el cálculo de velocidad instantánea, obtener los valores de la velocidad del móvil para todos los puntos marcados en el papel registro.

11. Utilizando el applet de regresión lineal obtener el valor de la aceleración del móvil ajustando una recta a la gráfica de la velocidad instantánea contra el tiempo. Anotar el valor de la aceleración en la tabla I.

12. Utilizando una hoja electrónica, copiar en la hoja los valores de la posición y la velocidad en todos los puntos del papel registro

13. En la hoja electrónica, obtener la energía cinética del móvil ( K ) en todos los puntos. 14. Utilizando la misma hoja electrónica, obtener la altura del móvil respecto al punto final

( θsenxxh kf )( −= con ). ,...2,1,0=k15. En la hoja electrónica, evaluar la energía potencial en todos los puntos con respecto al

punto final ( ). mghU =16. En la hoja electrónica obtener la energía mecánica ( UKE += ) para todos los puntos. 17. Utilizando la segunda ley de Newton ( maF = ) calcular la fuerza de rozamiento dada

por mamgsenfk −= θ , donde m es la masa del móvil, θ es el ángulo de inclinación y es el valor de la aceleración obtenida en el paso anterior. Anote su resultado en la

tabla I. a

18. En la hoja electrónica, obtener el trabajo de la fuerza de fricción xfdfW kknc −=−= , donde x es la posición del móvil (columna 1 de la tabla II).

19. En la hoja electrónica obtener la suma de la energía mecánica más la energía disipada por rozamiento ( ) para todos los puntos. ncWE +

20. Copiar la hoja electrónica en su reporte y llamarla tabla II con nombres convenientes para los encabezados.

21. Graficar en una misma figura la energía mecánica total E=U+K, el trabajo realizado por la fuerza de fricción Wnc y la suma de E + Wnc como función del la posición.

Resultados

Tabla I Angulo de inclinación

Masa del móvil (kg) Aceleración (m/s2) Fuerza de fricción (N) Coeficiente de fricción

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Tabla II

x (m)

v (m/s)

h (m)

K (J)

U (J)

E= UK +(J)

ncW (J)

ncWE + (J)

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Tabla III

Energía Valores (J) fK

iK mghUi =

0mghUf =

ff UK +

ii UK +

if EE −

ncW

Preguntas

1. En este experimento, ¿en qué se utilizó la energía potencial gravitacional que el cuerpo (móvil) tenía en la posición inicial?

2. Que porcentaje de energía mecánica se disipa por las fuerza de fricción.? 3. Determine el coeficiente de fricción cinético entre el móvil y el riel de aire.?

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4. ¿Cómo puede reducir en este experimento la disipación de energía por rozamiento?

5. Utilizando la ecuación θ

µcosmgf

Nf kk

k == , calcular el coeficiente de fricción dinámico.

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Laboratorio de Mecánica. Bibliografía Versión para el alumno

Bibliografía [1] BAIRD D. C. Experimentation: An Introduction to Measurement Theory and Experiment Design. Prentice Hall. 1962. [2] BUECHE Frederick J. Física General, Mc Graw Hill. 1999. [3] RESNICK, HALLIDAY, KRANE. Physics, Volume 1 y 2. Wiley, 1992. [4] ROBLES S., VILLA H, ALVAREZ E, MORALES I, SALINAS E, VERDIN E. Herramientas en línea para un laboratorio de física. Memorias del XI Congreso Internacional de Computación. Páginas 275-282. México, D.F. 2002. [5] ROBLES S., VILLA H, ALVAREZ E, MORALES I, SALINAS E, VERDIN E. Método alternativo para evaluar la velocidad instantánea en un laboratorio de docencia, médiate el uso de nuevas tecnologías. Revista Mexicana de Física 49 (6) 565, 2004. [6] SALINAS, VERDIN E, MUNGUIA H, ROBLES S, ALVAREZ E. PEREZ R, The Projectile Motion Board. The Physics Teacher. 1986. [7] SIN AUTOR Apuntes de Laboratorio de Física General, editado por la Facultad de Ciencias de la UNAM. 1976. [8] TAYLOR J. R. An Introduction to Error Analysis. University Science Books.1982. [9] SEARS F., ZEMANSKY M. Y YOUNG H. Física Universitaria, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana (6ª edición) [10] GIANCOLI D. Physics for Scientist and Engineering, Ed. Prentice-Hall (2ª edición).

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