CAPTULO 14 MUESTREO ALEATORIO SIMPLE Y TAMAO DE LA MUESTRA

1. Cul es la diferencia (si existe) entre un parmetro y un estadstico?

Un parmetro es una descripcin resumida de una medida en la poblacin definida, mientras que un estadstico es una descripcin resumida de una medida en la muestra seleccionada.

Pregunta del instructor para sondeo: En vista de que es poco realista presumir que un investigador conocera la desviacin estndar () en una encuesta, usara valores estadsticos o parmetros en los clculos? Respuesta sugerida al sondeo: El investigador usara parmetros en los clculos, los cuales son ms correctos desde el punto de vista tcnico que los valores estadsticos. 2. Identifique los smbolos que denotan parmetros y estadsticos comunes, tanto en las

variables continuas como dicotmicas.

Poblacin Muestra Continua 1) media X 2) varianza 2 s2 Dicotmica 1) proporcin que

responde s p

2) proporcin que responde no

(1-) (1-p) o q

3) varianza de la proporcin

2 s2

159

Pregunta del instructor para sondeo: Cmo se relacionan la poblacin y la muestra? Respuesta sugerida al sondeo: Una poblacin es el universo entero de todos los elementos posibles. Una muestra es un subconjunto de una poblacin dada. 3. Defina en palabras y en notacin matemtica la media y la varianza para una

poblacin y una muestra; maneje primero la variable como continua y luego como dicotmica.

Variable continua

1) Poblacin:

La media es una medida de tendencia central deducida al sumar los valores y dividir entre el nmero en la poblacin

N 1==N

iiX

La varianza es una medida de la dispersin de una distribucin de valores obtenidos al dividir la suma de las desviaciones al cuadrado con respecto a la media entre el nmero en la poblacin.

N

)( 1

2

2=

=

N

iiX

160

2) Muestra:

La media se obtiene al dividir la suma de los valores en la muestra entre el nmero en la muestra.

n

XX

n

ii

== 1

La varianza es obtenida al dividir la suma de las desviaciones al cuadrado con respecto a la media de la muestra entre el nmero de grados de libertad en la muestra.

s2n

XXn

ii

=

= 12)(

Dicotmica

1) Poblacin:

La media se obtiene al dividir el nmero de respuestas afirmativas entre el nmero total en la poblacin.

N

XN

ii

== 1

161

La varianza se obtiene al multiplicar la media de la poblacin por uno menos la media.

( )12 =

2) Muestra:

La media es la suma de las respuestas afirmativas dividido entre el nmero en la muestra.

n

Xp

N

ii

== 1

La varianza es la media de la muestra por uno menos la media de la muestra, multiplicado por el factor de ajuste para los grados de libertad.

( )

= 11

2

nnpps

Pregunta del instructor para sondeo: Qu significa un valor de incremento de la desviacin estndar (es decir, 1, 2, 3)? Respuesta sugerida al sondeo: Entre mayor sea la desviacin, son ms los elementos en la muestra que se garantiza estn dentro de esa desviacin. Por tanto, casi todos los elementos estarn contenidos dentro de 3.

162

4. Por qu el teorema del lmite central es fundamental para medir el error muestral?

El teorema del lmite central permite al investigador conocer: 1) que la media de la muestra que ha calculado viene de una distribucin de las medias muestrales que tienen la forma de una curva normal; y 2) el tamao de la desviacin estndar de la distribucin muestral. Adems, ya que conocemos el rea bajo una curva normal como se midi en las desviaciones estndar para la media, podemos medir el error muestral.

Pregunta del instructor para sondeo: Cul es la relacin entre el tamao de las muestras (n) y el error muestral, de acuerdo con el teorema del lmite central? Respuesta sugerida al sondeo: Con base en el teorema del lmite central, podemos concluir que conforme n crece, la curva de distribucin del muestreo se vuelve cada vez ms normal (en forma de campana) y, por tanto, disminuye la desviacin estndar. 5. Qu es un intervalo de confianza?

Un intervalo de confianza es un intervalo acerca de un estadstico calculado de una muestra extrada de una poblacin especfica, correspondiente a un nivel especfico de confianza y estimado para un tamao de muestra dado. Para un nivel de confianza dado (digamos .95), declaramos que los intervalos de confianza construidos en 95 de 100 muestras al azar contendran el parmetro de poblacin verdadero.

Pregunta del instructor para sondeo: Cmo se relaciona el intervalo de confianza con el tamao de la poblacin muestral? Respuesta sugerida al sondeo: Con base en un nivel de confianza aceptable que los investigadores escogen, luego se determina la poblacin muestral necesaria para lograr ese nivel de confianza.

163

6. Qu afecta el tamao de un intervalo de confianza?

1) El tamao de la muestra se relaciona en forma inversa al tamao del intervalo de confianza.

2) La desviacin estndar de la variable de inters se relaciona en forma directa con el tamao del intervalo de confianza.

3) El nivel de confianza elegido se relaciona en forma directa al tamao del intervalo de confianza.

Pregunta del instructor para sondeo: El intervalo de confianza, desde el punto de vista terico, se basa en el conocimiento de la desviacin estndar (). El conocimiento de la en un estudio real es poco realista. Qu se usa entonces para explicar la desconocida en un estudio real? Respuesta sugerida al sondeo: La distribucin t (tambin conocida como la distribucin t de Student) es una distribucin usada, por ejemplo, para explicar el hecho de que la no puede conocerse con exactitud. 7. Cules son las propiedades deseables de los estimadores?

1) Imparcial el valor esperado del estadstico es igual al parmetro. 2) Consistente mientras se incrementa el tamao de la muestra, el estadstico

converge en el parmetro. 3) Eficiencia la distribucin del estadstico alrededor del parmetro tiene una

varianza ms pequea que la de cualquier otro estimador. Pregunta del instructor para sondeo: Cul es el estimador ms eficiente? Respuesta sugerida al sondeo: El estimador ms eficiente es el trmino usado para describir un estimador que proporciona la varianza mnima y por tanto el error estndar mximo para cualquier tamao de muestra dado.

164

8. Hasta qu punto los intervalos de confianza aumentan nuestra certeza al hacer inferencias?

Los intervalos de confianza se basan slo en una medicin del error muestral. Si estn presentes errores no muestrales, se introduce un sesgo de grado y magnitud desconocidas, haciendo que la inferencia sea algo menos exacta.

Pregunta del instructor para sondeo: En qu situaciones de negocios prcticas sera til un intervalo de confianza? Cundo sera inadecuado un intervalo de confianza? Respuesta sugerida al sondeo: Para la gerencia de una compaa manufacturera, un intervalo le dara a la gerencia una idea para ayudar a pronosticar la demanda y los programas de produccin, evaluando por tanto el riesgo implicado en la produccin de una cierta cantidad de bienes. Con base en esta informacin, la gerencia puede decidir una cuota de manufactura y ordenar a la planta manufacturera producir esa cantidad de artculos. Sin embargo, considere que en una instalacin manufacturera, no se le puede decir al gerente de la planta que produzca algo entre 5,000 y 10,000 artculos a la semana. El gerente necesita que se le diga una cifra exacta, configurando por tanto la lnea y a las personas para que produzcan esa cantidad. 9. La mayora de los escrutinios polticos consideraron que la eleccin presidencial de

1980 era demasiado estrecha para predecir. Explique cmo pudo suceder esto.

El intervalo de confianza acerca de cualquier candidato a ser elegido se superpona un 50%. Adems, haba demasiados votantes indecisos. No estaba claro cmo distribuir su voto.

Pregunta del instructor para sondeo: Cul es una forma posible para explicar a los votantes indecisos?

165

Respuesta sugerida al sondeo: Un muestreo separado de los votantes indecisos con algn tipo de escala de clasificacin grfica medira cuntas personas se inclinan hacia un candidato u otro. Con base en estos resultados, los votantes indecisos podran explicarse entonces y podra predecirse un ganador global. 10. Cules son los problemas que es probable que se presenten al implementar un

estudio de campo utilizando el muestreo aleatorio simple?

1) Obtener una lista completa de elementos de muestreo de donde elegir. 2) Brincar por toda esta lista en funcin de los elementos especficos seleccionados

por nmero aleatorio. 3) No control de otras variables que podran estar afectando los valores de los

elementos seleccionados. Note que esta pregunta en realidad es una entrada a los acercamientos al muestreo que se presentan en el siguiente captulo.

Pregunta del instructor para sondeo: El muestreo aleatorio simple est libre de sesgo muestral? Por qu s o por qu no? Respuesta sugerida al sondeo: S, el muestreo aleatorio simple est libre de sesgo muestral en virtud de que cada muestra tiene una oportunidad igual de ser seleccionada. Sin embargo, en situaciones prcticas, como en el campo, la probabilidad de que un elemento sea seleccionado puede cambiar debido a las razones planteadas antes. 11. Por qu algunos investigadores calculan los intervalos de confianza a partir de datos

generados en muestras no probabilsticas?

1) No entienden que eso no debe hacerse; o 2) Creen que eso hace que los resultados parezcan ms cientficos y por

consiguiente ms vlidos.

166

Pregunta del instructor para sondeo: Cmo se determinan los intervalos de confianza en forma apropiada? Respuesta sugerida al sondeo: El investigador de mercados debe usar mtodos de muestreo probabilstico. 12. Puesto que las muestras no probabilsticas no generan una medida de error muestral,

por qu estos procedimientos se utilizan en forma tan extensa en la prctica comercial y acadmica?

Las restricciones de tiempo y costo, adems del hecho de que ciertas decisiones pueden tolerar grandes errores.

Pregunta del instructor para sondeo: Por qu las instituciones usaran un mtodo inmensurable de investigacin, aun si permite estudios ms baratos y ms rpidos? Respuesta sugerida al sondeo: Muchas formas de investigacin pretenden dar al tomador de decisiones una estimacin de una situacin y reducir la incertidumbre de una situacin hasta cierto grado. No todas las muestras no probabilsticas conducirn a decisiones de marketing importantes. 13. Qu es precisin absoluta? Qu es precisin relativa?

La precisin absoluta se expresa en unidades. La precisin relativa se expresa en porcentajes del valor medio.

Pregunta del instructor para sondeo: Cul es el propsito al definir cun exacta (la exactitud es un trmino bidimensional que consiste en confiabilidad y precisin) necesita ser una muestra?

167

Respuesta sugerida al sondeo: Al definir el nivel deseado de exactitud, pueden determinarse el tamao de la muestra y los recursos asociados necesarios. 14. Qu informacin se necesita para poder calcular un tamao de muestra

estadsticamente ptima para: a) una variable continua y b) una variable dicotmica?

Para una variable continua:

1) nivel de confianza 2) precisin requerida 3) coeficiente de variacin (s/ X )

Para una variable dicotmica:

1) nivel de confianza 2) precisin requerida 3) p

Pregunta del instructor para sondeo: Cul es la diferencia clave entre las variables continuas y las variables dicotmicas? Respuesta sugerida al sondeo: De manera bsica, las variables continuas miden un continuo de posibilidades, y las variables dicotmicas miden valores discretos especficos. 15. Qu factores deben considerarse al determinar el tamao de la muestra para un

estudio?

1) Objetivos de estudio. 2) Costo involucrado.

168

3) Condiciones de tiempo. 4) Tipo de anlisis de datos planeado. 5) Existencia de errores no muestrales. 6) Tamao de muestra estadsticamente ptima.

Pregunta del instructor para sondeo: Cmo se relaciona el tamao de la muestra seleccionada con la poblacin de la que se extrae la muestra? Respuesta sugerida al sondeo: El tamao de la muestra de estudio es afectado por la variabilidad de la poblacin de la que se selecciona la muestra. Un ejemplo de variabilidad es que los estudiantes por lo general tienen ingresos bajos y por tanto la variabilidad en la poblacin de ingreso de los estudiantes es muy baja. Mientras que, por otra parte, los doctores tienen una gran variabilidad de ingresos basada en la especialidad, la ubicacin, etc... La variabilidad de una poblacin se resume con la desviacin estndar de la poblacin y, por consiguiente, debe estimarse antes de realizar la encuesta de muestreo. 16. El director de afiliacin de un club estudiantil nacional quera realizar un estudio de

actitudes de los 2,500 miembros actualmente activos del club y los 12,000 ex alumnos. a. Qu marco o marcos muestrales es probable que estuvieran disponibles para este

propsito?

Es probable que las listas bastante exactas de miembros actuales y ex alumnos estaran disponibles en la sede nacional general de la fraternidad.

b. Explique cmo seleccionara una muestra aleatoria simple de miembros actuales y

ex alumnos.

Codifique cada miembro en la lista con un nmero (de 1 hasta 14,500). Para hacer una seleccin aleatoria, elija nmeros en el orden indicado por la lista de nmeros aleatorios.

169

c. La mayor parte de las preguntas estaban en una escala de clasificacin de 7 puntos. Para un tamao de muestra de 200 miembros, cul es el intervalo de confianza del 95% para un resultado de escala de clasificacin donde la respuesta media es 2.4 y la desviacin estndar es 1.1?

Dadas X = 2.4, n = 200 y s = 1.1. Queremos encontrar el rango numrico para el intervalo de confianza del 95% alrededor de x. Para eso usamos la frmula para el intervalo de confianza, la cual es:

intervalo de confianza del 95%: = x 2(s/ n )

Ponga los nmeros dados en las frmulas y resuelva las incgnitas.

IC del 95% = x 2(s/ n ) = 2.4 2(2.4 / 200) = 2.4 .34 = 2.06 a 2.74

d. Una pregunta se refera a la proporcin de ex alumnos miembros que asisten a las reuniones de la organizacin local. Desde el punto de vista histrico, esta proporcin ha sido alrededor de 20%. El director de afiliacin concluy que un error de 5% era aceptable para realizar esta estimacin. Cul es el tamao de la muestra que generar este tipo de estimacin al nivel de confianza de 95%?

Dado que p = .2, IC = 95% y la precisin es .05. Para resolver este problema, use la frmula para precisin de variables dicotmicas, la cual es:

precisin = 2 npq

170

Podemos sustituir los nmeros que tenemos y resolver para la variable incgnita n.

.05 = 2 n

.8 .2

.05 n = 2 16. elevando al cuadrado ambos lados, obtenemos

.0025n = 4 .16

.0025n = .64 n = 256

Pregunta del instructor para sondeo: Qu sesgos posibles se encuentran en esta muestra en el campo? Respuesta sugerida al sondeo: Algunos sesgos posibles que pueden producirse en el campo incluyen localizar ex alumnos antiguos actualizados y darse cuenta del sesgo que se crea si los miembros activos y los miembros no activos son tratados igual (los miembros activos sern ms positivos o negativos en forma inherente que los miembros no activos debido a su proximidad a la organizacin). 17. MINICASO

El instituto del caf quera estimar el nmero de tazas de caf que consuman al da los residentes de California. El coeficiente de variacin en los estudios previos de este tipo haba sido .31. La gerencia deseaba una precisin de 5% de la media, y estaba dispuesta a utilizar el nivel de confianza de 95%. a. Cul es un tamao de muestra apropiado?

Hay dos formas de encontrar el tamao de muestra apropiado. Uno es ms difcil pero ms exacto. Primero el mtodo ms exacto:

171

Para encontrar el tamao de muestra apropiado, necesitamos realizar un poco de lgebra. Usando las frmulas para la precisin y el coeficiente de variacin, podemos resolver para el tamao de la muestra.

precisin = 2s/ n = 5% de la media = .05 X coeficiente de variacin = s/ X = .31 Podemos combinar las dos ecuaciones en la siguiente forma: s/ X = .31 de modo que X = s/.31 Eliminando la s

2/ n = .05/.31 Haciendo una multiplicacin cruzada

.62 = .05 n Luego se elevan al cuadrado ambos lados para eliminar el radical .3844 = .0025n Se dividen ambos lados entre .0025 para resolver n 154 = n

172

El mtodo fcil es ste: Observe la figura 13-4. Proporciona un tamao de muestra aproximado necesario para una precisin (error permisible relativo), nivel de confianza y coeficiente de variacin dados.

b. Si la gerencia cambiara la precisin requerida a 2% de la media y si se considerase que una mejor estimacin del coeficiente de variacin sera .4, cul sera el tamao de muestra apropiado?

precisin = 2s/ n = 2% de la media = .02 X coeficiente de variacin = s/ X = .4 Podemos combinar las dos ecuaciones en la siguiente forma: s/ X = .4 de modo que X = s/.4 Luego, sustituyendo esto por X en la frmula de precisin, obtenemos

2 s/ n = .02 s/.4 Eliminando la s

2/ n = .02/.4 Haciendo una multiplicacin cruzada

.8 = .02 n

173

174

Luego se elevan al cuadrado ambos lados para eliminar el radical .64 = .0004n Se dividen ambos lados entre .0025 para resolver n 1600 = n Por tanto, podemos ver que al incrementar la precisin (disminuyendo el porcentaje de desviacin) e incrementar el coeficiente de variacin, necesitamos una muestra mucho mayor para generar un resultado en el nivel de confianza de 95%.

Pregunta del instructor para sondeo: Cules sesgos posibles se encuentran en esta muestra en el campo? Respuesta sugerida al sondeo: Algunos sesgos posibles que pueden resultar en el campo incluyen el periodo en que se aplica la encuesta (el clima tiende a estimular o desalentar la ingestin de caf) y ciertas reas, como los campus universitarios, que tienen un consumo mayor de caf que otras reas urbanizadas.