Mansilla Ricardo - De Las Epidemias a Las Bolsas de Valores

8/19/2019 Mansilla Ricardo - De Las Epidemias a Las Bolsas de Valores

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RICARDO MANSILLA

mucho tiempo que se resistena ser descritos

por medio de ecuaciones diferenciales. En

particular, los llamados sistemas comple-

jos, que al no estar relacionados con un

campo de la ciencia espectfico se dificulta

su descripci6n usando las tecnicas clasicas.

Ejemplos de enDS edan en as comunidades

de honnigas, el genornahumano, los sistemas

sociales,a econornfay el funcionarniento del

particulas. Partiendo de una descripci6n

microsc6pica se ha logrado avanzar bacia la

explicaci6n del origen de conceptos macros-

c6picos, como temperatura, presi6n, magne-

tismo, etcetera.

A pesar de lselevantes resultados obte-

nidos en este campo, esnecesario resaltar a

simplicidad de las interacciones de log ele-

mentos de estos sistemas.Los choques entre

partlculas son siempre iguales, y estasno tie-

nen memoria ni comportamientos que se

adapten a un ambiente cambiante, es decir,

no tienen un comportamiento adaptativo. Al-

gunos grupos humanos, bajo ciertas circung.;

tancias, son ejemplos notables de tales

fen6menos, en og cuales el aprendizaje y log

juegos estrategicos son parte fundamental de

sus interacciones y comportamiento.

La comprensi6n de log procesos de pro-

pagaci6n de enfermedades en comunida-

des de seresvivientes ha sido un reto para

muchas generaciones de cientificos. Si bien

en la Antigtiedad y la Edad Media existie-

ran intentos par comprender el desarrollo

de log procesos de infecci6n, el inicio de la

etapa moderna podria considerarse con D.

Bernoulli y SU

rabaj pionero publicado en

1760. Buena parte e log modelos desarro-

llados desde e onces hall sido descritos en

terrninos de ecuaciones diferenciales. En

algunos de estos modelos se supone que

log grupos de individuos en log cualesqueda

dividida la poblaci6n (enfermos, suscepti-

hies, inmunes, etcetera)estanperfectamente

bien mezclados, es decir, log aspectos espa-

ciales del proceso infeccioso son irrelevan-

tes a su dinamica. En otros modelos estos

aspectos son tenidos en cuenta y par 10 anto

conducen a otro tipo de ecuaciones. Es pre-

ciso seflalar que ambos tipos tienen validez

en diferentes situaciones concretas.

Un ejemplo nos ayudara a entender esto.

Consideremos un asentamiento humano

como la Ciudad de Mexico y una persona

Roberto Koch, The Anthrax bacillus, ca. 18n

cerebra. Su caracterlstica mas importante

parece seTa existencia de ciems estructuras

comunes a todos elios, los cuales rehuyen

el paradigma reduccionista de la ciencia. Mu-

chos investigadores creen que en la com-

prensi6n de esasestructuras esta el secreta

de sus complicados comportamientos.

La mecanica estadistica ha alcanzado un

notable exito en a explicaci6n del compor-

tamiento de grandes conglomerados de

ecuaciones diferenciales ban sido uno

paradigrnas mas exitosos en la des-

maternatica de 105 en6menos natu-

En su obra fundamental Prindpios ma-

natural, Isaac Newton

su valoraci6n acerca de esta

del siguiente

Data aequatione uotcunqueluen-

quantitae involvente luxiones invenire et

cual, en ellenguaje actual, puede

traducido como: es util resolver ecua-

influencia de estos metodos en la con-

del mundo fue tan gran-

en as corrientes filos6ficas

siglos XVII Y XVIII. P S. Laplace hizo

lucido juicio de este estado de casas

poderosa pu-

con precisi6n as posiciones velo-

de todos los cuerpos del Univel$O,asi

uerzas por media de as cuales

podria conocer con precisi6n

el futuro y el pasado del Univel$O".

triunfalismo de la comunidad cien-

dar una versi6n meca-

del mundo basada en modelos

del siglO xx con el descubri-

de 105 fen6menos cuanticos y la

de la correspondiente

El mundo no era completamente

El segundo gran golpe a estos

de vista habria de surgir del propio

de la teoria de as ecuaciones diferen-

mas precisamente, de la teoria de 105

dinamicos. El descubrimiento del

detenninista (conceptos estos rrecon-

desde el origen de 105 tiempos)

golpe definitivo alas concepciones

mecanicismo cientifico.

otra pane, existen fen6menos bien

par 105 cientificos desde hace

Ires examinando sangre en el National Institute for Medical Research, Londres, ca. 1945.

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Un ejemplo nos ayudará a entender esto.Consideremos un asentamiento humanocomo la Ciudad de México y una persona(que llamaremos Pedro) que vive en su ex-tremo norte y ha contraído gripe. Cuandohablamos, minúsculas partículas de salivason expulsadas de nuestra boca pudiendotransportar gérmenes de la gripe. No des-cartamos, obviamente, contactos más estre-

chos que produzcan la transmisión del virus.Consideremos la situación hipotética (tal vezno tanto) de que esta persona se desplacediariamente distancias grandes para llegara su trabajo, centro de estudios u otra acti-vidad social; digamos hasta Xochi- milco.Es bastante probable entonces que Pedrotransmita la enfermedad a una perso- nacuya posición espacial es bastante lejanaa su posición de origen. Si el porcentajede la población que se comporta comoPedro es muy alto, en un corto intervalo detiempo los enfermos estarán perfectamentebien mezclados en la población. Por lo tanto,

los aspectos espaciales de este proceso sonirrelevantes. En poco tiempo la densidad deinfectados en la norteña vecindad de Pedro yen Xochimilco será la misma, por tanto, parala descripción de la enfermedad sólo bastaconocer la evolución de estas proporcionesen el tiempo. Este tipo de situaciones se des-cribe habitualmente por medio de sistemasde ecuaciones diferenciales ordinarias. Alos modelos correspondientes se les lla-ma con frecuencia densodependientes,pues, como ya dijimos, dependen sólode las densidades de los distintos grupospoblacionales.

Imaginemos ahora que toda la actividadvital de Pedro se desarrolla en su colonia.Imaginemos, además, que un porcenta-

je alto de la población de la ciudad secomporta de manera similar. Entonces,esta epidemia de gripe no alcanzará a loshabitantes de Xochimilco tan rápidamentecomo en la situación anterior. Pedro sólopuede ahora transmitir su enfermedad apersonas espacialmente cercanas, éstos aotros espacialmente cercanos y así suce-sivamente. De tal forma que la difusiónde la enfermedad es tal que los aspectos

espaciales de la misma son completa-mente relevantes para su descripción.Pasado un cierto tiempo, las densidadesde enfermos en la colonia de Pedro y enXochimilco serán distintas, por lo tanto, elcomponente espacial del problema es aquíimprescindible. Este tipo de situacionesse describe habitualmente por mediode sistemas de ecuaciones en derivadasparciales.

Si bien las deniciones utilizadas en

la presentación de estos tópicos han sidotomadas de la epidemiología, lo anteriores en la práctica válido para la difusiónde rumores y noticias en una población(en ausencia de medios de comunicaciónmasiva). Nos queda aún por contestar unaim- portante pregunta: ¿qué pasa si Pedro yla mayoría de los habitantes de la ciudad notienen ninguno de los dos comportamientosextremos anteriores, sino más bien una ru-tina de movimiento intermedia? En otraspalabras, ¿cómo modelar la situación en laque los miembros de la población tienen unmovimiento promedio demasiado gran- depara que un modelo de difusión lo des- cri-ba correctamente y a la vez demasiado pe-queño para ser modelado por un sistemade ecuaciones diferenciales ordinarias?Como veremos existe la posibilidad de

describir todas las situaciones anteriorespor medio de un único modelo construidocon autómatas celulares.

La teoría de los autómatas celulares tienesus orígenes a nales de la década de loscuarenta en los trabajos de J. von Neu-mann. Un ejemplo notable de autómatacelular es el llamado “Juego de la vida” de

J. Conway, que ocupó durante varios añosun lugar privilegiado en alguna secciónde la revista Scientic American. En años

recientes esta teoría ha recibido un nuevoimpulso con los trabajos de S. Wolfram.Con respecto a los procesos de transmisiónpor contacto, N. Boccara ha desarrollado untipo especial de estos autómatas, llamadosautómatas celulares de intercambio de si-tios. Éstos se basan en la acción conjunta dedos subreglas: una de transporte (que actúasecuencialmente) y otra de infección (que

actúa de manera sincrónica). La descripciónde su funcionamiento es como sigue: con-sideremos una supercie cuadriculada,como un tablero de ajedrez (aquí el colorde los escaques es irrelevante). En ellaalgunas cuadrículas estarán ocupadas yotras vacías. Dentro del conjunto de es-caques ocupados distinguiremos dos tiposdiferentes: infectados y susceptibles. Losinfectados (al igual que Pedro) poseenuna enfermedad que pueden transmitirpor contacto a los susceptibles. Si entrelos ocho escaques que conforman la másestrecha vecindad de un susceptible existen

algunos ya infectados, entonces cada uno deestos últimos infecta al susceptible con unaprobabilidad ρ (gura 1).

La otra subregla modela el movimiento delos miembros de la población. En cada itera-ción se elige al azar un subconjunto de losescaques ocupados. Estos elementos sontrasladados a otras cuadrículas vacías, y lacantidad de elementos de este subconjuntoes un parámetro del modelo. La elecciónde los escaques vacíos es completamentealeatoria. En diferentes iteraciones una mis-ma cuadrícula ocupada puede ser enviada aposiciones diferentes. Como consecuencia deesto, puede estar a cualquier distancia de laposición inicial.

Con las reglas de transporte e infecciónantes denidas, N. Boccara logró demostrarque su modelo de autómatas conducía a mo-delos discretos densodependientes.

Sin embargo, estos resultados tienen unpar de objeciones serias. La primera es elcarácter aleatorio en cada iteración del mo-vimiento de los miembros de la población.

Al menos para las comunidades humanasesta hipótesis está lejos de cumplirse.

Cada día (aun cuando no sea de su

agrado) buena parte de la población setraslada a lugares jos, determinados porsus actividades sociales (escuelas, centrosde trabajo, etcétera). En un modelo de losantes descritos, Pedro podría moverse ellunes a Xochimilco, el martes a Tacubaya,el miércoles se quedaría en su vecindad yasí sucesivamente. Esto puede resultar muyameno, pero no describe el comportamientoreal de una población.

La segunda objeción está relacionada

Figura 1.

II

S

II

I


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con la falta de control sobre la longituddel camino medio recorrido por los miem-bros de la población. En estos modelos lassituaciones de tipo difusivas no puedenobtenerse.

Otras reglas de transporte más realistashan sido propuestas. En ellas, el movi-miento de los miembros de la población

se dene como sigue: inicialmente paraun subconjunto de los escaques ocupadosse decide a qué posición serán traslada-dos. Esto se hace aleatoriamente sobre elconjunto de las posiciones vacías que seencuentran en una vecindad de radio 2λ de la posición inicial. Al parámetro λ sele denomina longitud del camino medio

recorrido. La diferencia fundamental conlos modelos anteriores es que esta asigna-ción se conserva y es utilizada a lo largo dela simulación del proceso, es decir, no sereconstruye de nuevo en cada iteración. Enun modelo como éstos, Pedro va el lunesa Xochimilco y también todos los demásdías. Si los valores de λ son pequeños

Gimnasio de la Universidad del estado de Iowa durante la pandemia de febre española , ca . 1918.


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respecto de las dimensiones de la región,entonces puede probarse que se obtienencomportamientos descritos por ecuacionesen derivadas parciales. Si λ toma valoresgrandes respecto de las dimensio- nesde la región, entonces se obtienen com-portamientos descritos por ecuacio- nesdiferenciales ordinarias.

En la gura 2 se muestran los resultadosde una simulación hecha con un látice de150x150 con una densidad de cuadrículasocupadas de 0.46. Aquí sólo hemos re-presentado las posiciones ocupadas porinfectados. En el instante t=0 sólo existeun único enfermo para todas las simu- la-ciones. Las guras 2a, 2b, 2c representanel estado del sistema en t=10, t=30 y t=50 respectivamente con λ=75, mientras quelas guras 2d, 2e y 2f representan el es-tado del sistema en t=10, t=30 y t=50 respectivamente con λ=9. Lo anteriormuestra que el parámetro λ controla eltipo de evolución del proceso infeccioso.

Valores pequeños de λ producen com-portamientos difusivos, susceptibles deser descritos por ecuaciones en derivadasparciales. Valores grandes de λ pro ducen

un comportamiento donde los com ponen-tes de la población están bien mez- cladas ypor tanto los sistemas de ecuaciones dife-renciales ordinarias son las herramientasadecuadas para su descripción.

No obstante, la verdadera trascendenciade los modelos en autómatas celulares deintercambio de sitio está en que permitenestudiar la zona donde las ecuacionesdife- renciales fallan en la descripción de losfenómenos de contagio, a saber, donde λ no

es lo sucientemente pequeño para que elproceso sea difusivo ni lo sucientementegrande para que las características espacialespuedan ser desestimadas.

Existen muchos resultados interesan-tes del estudio de estos modelos en esta“zona crítica”. Por razones de espacio nosreferiremos aquí sólo a la situación enque la en-fermedad tiene un tiempo deduración determinado, después del cuallos elementos de la población vuelven a sersusceptibles de enfermarse. La gripe es porcierto una enfermedad de ese tipo.

Sea d la duración (en número de itera-ciones del modelo) de la enfermedad bajoestudio. Numerosas simulaciones han mos-trado que el parámetro de orden es:

μ= pd / λ

El comportamiento de una serie de tiempotípica de los infectados tiene frecuentes“subidas” y “bajadas”, como puede verse enla gura 3. Obsérvese lo irregular del com-portamiento de esta serie. Con el objetivo dedescubrir ocultas características periódicasse ha estudiado el espectro de potencias de

esta serie de tiempo. Los resultados puedenverse en la gura 4. En la medida en que elparámetro μ aumenta aparecen evidenciasde doblamiento de periodo. Para el valor deμ= 0.66 el espectro de potencias se vuelvecontinuo, lo cual indica que se ha llegado aun comportamiento caótico. Este es el casode la serie de la gura 3. En algunos modelosde epidemias en ecuaciones diferenciales ordi-narias se ha observado un comportamientocaótico. Lo notable de los resultados antes

mencionados es que ocurren en circuns-tancias que no pueden ser descritas porecuaciones diferenciales ordinarias.

Así, del comportamiento microscópicode los agentes emerge el comportamientoglobal. No obstante, es necesario señalarque los miembros de la población tienenuna posición pasiva en estos modelos conrespecto a la epidemia. Su comportamientono varía en el tiempo, no se adapta a lascambiantes circunstancias, a diferencia deotros fenómenos en los que el carácter adap-tativo del comportamiento de los miembrosde la población es vital para la modelación y

comprensión de la dinámica del sistema.

DE LAS BOLSAS DE VALORES

El proceso de globalización, con sus secue-las de angustias económicas y miseria paracien- tos de millones de seres humanos haelevado a la categoría de templos a algunasinstituciones que hace un par de décadaspodían pasar inadvertidas para la mayoríade los seres humanos. La existencia deuna economía internacional relativamenteabierta y con grandes y crecientes ujos

comer- ciales y de inversión de capital entrelas nacio- nes ha convertido a las bolsas devalores en el centro de la atención ciuda-dana. Los medios masivos tratan el com-portamiento de los índices nancieros conel mismo interés que el resumen del estadodel tiempo. Tormentas reales y nancierasson examinadas en sus secciones corres-pondientes por analistas que valoran susduraciones y consecuencias.

Los físicos han contribuido consistent-emente a la modelación de sistemas com-

Figura 2 (a-c).


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plejos usando herramientas y metodologíasdesarrolladas en la mecánica estadística y lafísica teórica. Los mercados nancieros sonejemplos notables de sistemas complejos, delos cuales se tiene información muy precisa(con frecuencia medida en intervalos delorden de los segundos). Por estos motivos(entre otros) los mercados nancieros sontan atractivos para ciertos investigadoresinteresados en desarrollar una compren-sión profunda de los sistemas complejos.

Estos sistemas son ejemplos paradigm-áticos de aquellos en los cuales las estra-tegias exitosas son tales que inducen a losagentes a comportarse diferente de suscompetidores. En 1994 el economista B.

W. Arthur propuso lo que en la actualidades conocido como “el problema del bar ElFarol”. Su nombre lo debe a un bar de laciudad de Santa Fe, Nuevo México, sedede un famoso instituto de sistemas com-plejos, donde cada jueves se tocaba músicairlandesa. Si la mayoría de los fans decidíair, entonces el hacinamiento en el localhacía imposible disfrutar de la música.La opción correcta era quedarse en casa.Si contraria- mente la mayoría decidía

quedarse en casa, entonces el bar tendríapocos clientes y se podría disfrutar de lamúsica a plenitud. La opción correcta era,pues, ir al bar. Como era poco probable quetodos los pobladores se comunicaran entresí para conocer la decisión de los otros antesde ir al bar, era preciso elaborar estrategias,es decir, reglas de inferencia que permitierantomar decisiones a partir de la historia realde los sucesos. La manera elegida por Arthurpara modelar esto estaba dirigida a resaltar

el carácter adaptativo del comportamientode los agentes. Es un buen ejercicio para ellector tratar de entender qué tiene que vertodo esto con un mercado nanciero.

Existen muchas “variaciones sobre eltema”, en particular los llamados “juegosde minoría”. En cualquier caso las deci-siones de los jugadores pueden codicarseen alfabeto binario: 0 signica quedarse encasa y 1 signica ir al bar. En el modelo sesupone que los amantes de la música sólorecuerdan cuál fue la opción ganadora lasúltimas m noches. A este valor se le llamatamaño de la memoria. Los miembros dela población poseen cada uno s estrategias elegidas al azar al inicio del juego. Es unbuen ejercicio demostrar que si la memoriade los agentes es de longitud m entoncesexisten 2m historias posibles y 2 2mestrate-gias disponibles.

Después de ejecutar el juego un cierto nú-mero de veces (observar la asistencia al bardurante un cierto número de días) tendre-mos una cadena binaria que representalas decisiones ganadoras a lo largo de losdías observados. Se le ha concedido granimpor- tancia al comportamiento de la

varianza σ de los valores de esta serie.En los mercados nancieros reales a estamagnitud se le conoce como volatilidad.No obstante, recientemente se ha demos-trado que para los juegos de minoría (enparticular para el modelo del bar El Farol)esta magnitud no reeja ninguna propiedadinherente al comportamiento de los agentes.Esto signica que medidas alternativas dela complejidad de la serie binaria debenser buscadas.

Existía un importante acervo teórico de es-tudio de secuencias simbólicas, relacionadoen particular con el estudio del ADN. En loque al modelo anterior respecta, estudiar lacomplejidad de las cadenas de dígitos binariossignica estudiar la complejidad del procesoen el tiempo.

Se han utilizado con éxito medidas decomplejidad derivadas de la entropía de Kol-mogorov-Chaitin. Un resultado importan-te de estos estudios es que la serie real dedígitos binarios que representa las sucesivasdecisiones correctas (ir o no ir) sí contieneinformación relevante acerca del sistema.Esto, como veremos a continuación, estáen contradicción con ciertos resultadosteóricos tácitamente admitidos.

El paradigma más aceptado entre loscreyentes de las teorías neoclásicas (cono-cido como la hipótesis de mercado eciente)es que los mercados son muy ecientesen la incorporación de cualquier infor-mación relevante a los niveles de preciossubsistentes. Una consecuencia inmediatade esto (demostrada por P. A. Samuelsonen 1965) es que la serie temporal de losprecios debía ser completamente aleatoria.

Sin embargo, los resultados obtenidos enlos modelos multiagentes, como los desa-rrollados con anterioridad, muestran queestas series temporales no son aleatorias,que contienen información relevante.La información obtenida de las series detiempo de los mercados nancieros realesparece corroborar esto. Si las series fuesencompletamente aleatorias las variacionesde precios debían tener una distribuciónnormal. No obstante, minuciosos estudios

Figura 2 (d-f).


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han demostrado que la función de distri-bución de las variaciones de precios tieneen general “cola gruesa”, es decir, grandesvariaciones de precios son realmente másprobables que lo que podía esperarse deuna distribución normal. El conocimientode la verdadera función de distribuciónde las variaciones de precios es un resul-tado de gran importancia práctica, pues la

mayoría de los métodos de evaluación deopciones y otros productos nancieros sebasan en la suposición de que las variacionesde precios siguen una ley normal. Estudiosmuy cuidadosos hechos recientemente in-dican que estas uctuaciones en los preciosparecen seguir una distribución tipo Levyestable.

Queda el punto de la predictibilidad delas debacles nancieras. Según la hipótesisde mercado eciente no es posible sacarconclusiones a futuro, por lo tanto nopodrían predecirse, pero según los resul-tados de los modelos multiagentes hay

información relevante encriptada en laserie temporal. Por otra parte, las técnicasderi- vadas Kolmogorov-Chaitin de la en-tropía abren una nueva vía de estudio parala predictibilidad de esos sucesos.

CONCLUSIONES

Los autómatas celulares y los modelosmultiagentes son las técnicas en las cualesdescansan los diferentes modelos basadosen la simulación microscópica de sistemascomplejos aquí expuestos. Ésta es una líneade trabajo muy promisoria en cuanto a lacomprensión de los sistemas compuestospor un gran número de partes. En laspróximas décadas las ciencias sociales sebeneficiarán de esta revolución que hallegado para quedarse en el ámbito de lossistemas complejos.

AGRADECIMIENTOS

Todos los seres humanos en el transcurso de sus

vidas se ven inuidos por la autoridad que ciertas

personas ejercen en su desarrollo. El autor de este

trabajo no es una excepción. Dejando a un lado la

guía que padres y maestros en las distintas etapasde su vida le brindaron, el autor tuvo el privilegio

de realizar su doctorado bajo la dirección de un

maestro notable, con el cual ha tenido además la

posibilidad de adentrarse en varios temas de inves-

tigación, beneciándose de su profunda intuición,

amplia erudición, amor por la ciencia y aprendiendo

de su humildad genuina. Por todo ello, el autor de

estas líneas quisiera aprovechar esta oportunidad

para rendir un modesto homenaje al maestro

Germinal Cocho.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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Samuelson, P. A. 1965. “Proof that Properly An-

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Management Review 6.

Sornette, D. y A. Johansen, del Departamento

de Ciencias de la Tierra de UCLA, han publicado

recientemente varios artículos sobre el tema.

Véase por ejemplo: http: //arXiv.org/abs/cond-

mat/0004263.

Von Neumann, J. 1957. Collected Papers. Nueva

York, Birkhausser.

Wolfram, S. 1986. Theory and Applications ofCellular Automata. Singapur, World Scientic.

Al lector interesado en este tipo de modelos

Soldados británicos durante una epidemia de plaga, Hong Kong, 1890.

Figura 3.

Figura 4 (a-c, de abajo hacia arriba).

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