Magnetostatica Materia

Miguel Delgado León

Magneto estática en MediosMateriales

EE-521 Propagación y Radiación Electromagnética

MSc. Ing. Miguel Delgado León

Magnetostática en Medios Materiales


Toda la materia consiste fundamentalmente de átomos y cada átomo contiene electrones en movimiento. Estos circuitos electrónicos son las corrientes atómicas. Estas corrientes atómicas pueden producir campos magnéticos.Ampere propuso una hipótesis que se acepta para el estudio de la magnetostática en medios materiales.Hipótesis de Ampere: La materia puede considerarse como un conjunto de corrientes atómicas

Cada corriente atómica es un minúsculo circuito cerrado de tal manera que es razonable que el campo magnético distante pueda describirse apropiadamente como un dipolo magnético.


La materia puede considerarse como un conjunto de dipolos magnéticos

Dipolos Magnéticos

Dipolos

magnéticos

orientados

aleatoriamente

Dipolos

magnéticos

orientados

según el campo externo

El alineamiento de los dipolos es parcial


Magnetización M (A/m) y campo magnético producido por un material magnetizado

La magnetización se define como el momento dipolar magnético por unidad de volumen

( ')M r

' 0

( ') ( ')( ') lim (1)

' 'V

m r d m rM r

V dV

es el momento dipolar en un volumen infinitesimal (puntual) dentro del volumen V’ El campo potencial vector magnético de un dipolo puntual esta dado por

d m

03

03

( ')( )

4

( ')'

4

d m r Rd A r

R

M r RdV

R

El campo A debido a todo el volumen (material magnetizado) será:

03

'

( ')( ) ' (2)

4 V

M r RA r dV

R

El campo magnético B será:

( ) ( )B r A r

Densidad de corrientes de magnetización y


Utilizando la identidad vectorial:

3

''

M M M R

R R R

Reemplazando en la expresión de A (2), obtenemos:

0 0

' '

' ( ') ( ')( ) ' ' '

4 4V V

M r M rA r dV dV

R R

Utilizando la identidad vectorial:

' '

ˆ' ' ' 'V S

F dV F n dS

0 0

' '

ˆ' ( ') ( ') '( ) ' ' (3)

4 4V S

M r M r nA r dV dS

R R

( ')mJ r

( ')mK r

Definimos las densidades corrientes de magnetización volumétrica y superficial

Densidad de corriente volumétrica de magnetización

( ') ' ( ') (4)mJ r M r

ˆ( ') ( ') ' (5)mK r M r n

Densidad de corriente superficial de magnetizaciónDe manera que:

0 0

' '

( ') ( ')( ) ' ' (6)

4 4m m

V S

J r K rA r dV dS

R R

El campo B se obtiene del rotacional de A

0 03 3

' '

( ') ( ')( ) ' '

4 4m m

V S

J r R K r RB r dV dS

R R

Densidad de polos magnéticos y


( ')m r ( ')m r

Como es conocido:

03

'

( ')( ) '

4 V

M r RA r dV

R

03

'

( ')( ) ( ) '

4 V

M r RB r A r dV

R

y de

Llegamos a:

0 0( ) ( ) ( ) (7)mB r V r M r

donde:

3'

1 ( ')( ) '

4m

V

M r RV r dV

R

o

' '

( ') ( ')1 1( ) ' ' (8)

4 4m m

m

V S

r rV r dV d S

R R

donde:

ˆ( ') ( ') ' (9)m r M r n

Es la densidad de polo magnético superficial

( ') ( ') (10)m r M r

Es la densidad de polo magnético volumétrico

0 0( ) ( ) ( ) (12)B r H r M r

Posteriormente se definirá el campo H que es: ( ) ( ) (11)mH r V r

Así (7) se transforma en:

Densidad de polos magnéticos


0 0( ) ( ) ( )B r H r M r

Aplicando divergencia a (12) tenemos:

Puesto que la expresión es: ( ) 0B r

( )m M r

( ) ( )H r M r

Según (10) , entonces:

( ) ( )mH r r

Integrando sobre un volumen queda:

( ) ( )m

V V

H r dV r dV

Aplicando el teorema de la divergencia al lado izquierdo:

ˆ( ) ( )m m

S V

H r n d S r dV Q

Ejemplo 1. Una región esférica de radio a cuyo centro coincide con el origen de coordenadas tiene una magnétización dada por:

0

'( ')

rM r M

a

Determine el campo H y B en todo el espacio.

Ejemplo 2. Un material cilíndrico de radio a y longitud indeterminada tiene una magnetización uniforme de modulo y dirección paralela al eje del cilindro. Determine el campo H y B en todo el espacio.

0M

Problemas


Ejemplo 3. Un material en forma de placa de espesor d y extensión indeterminada como se muestra esta magnetizado. Determine el campo H y B cuando:a)la magnetización esb)La magnetización es

0 ˆM M x

0 ˆM M y

Ejemplo 4. Un material esférico de radio a tiene una magnetización uniforme de modulo determine el campo A y B en todo el espacio.

0M

Ejemplo 5. Un material cilíndrico de radio a y longitud indeterminada tiene una magnetización uniforme de modulo y dirección perpendicular al eje del cilindro. Determine el campo A, H y B en todo el espacio.

0M

Ejemplo 6. En el ejemplo 4 (ejemplo 5). Resolver considerando en lugar de una esfera (cilindro) un cascarón esférico (cilíndrico) de radio interno a y radio externo b.


Magnetostática en Materiales con Fuentes

• Puede Ocurrir que el material tenga una magnetización permanente (imán) y que no este afectado por la fuente J

• Puede ocurrir que la magnetización sea inducida debido a la presencia de J, ósea que la magnetización depende de B que a su vez depende de J: M=M(B(J))

En la sección anterior hemos aprendido a calcular el campo B debido solamente a un material magnetizado. Ahora conoceremos como se calcula el campo B debido a una fuente de corriente y un material magnetizado.


Magnetostática en Materiales con Fuentes

• El campo B será la superposición, de la fuente de corriente y el material magnetizado

0 0

3 3' ''

'', ''' '' ...

4 4

m

V V

J r B RJ r RB dV dV

R R

Resulta una ecuación integro diferencial para B. Para evitar esta dificultad, se utiliza la ecuación diferencial equivalente a la ecuación de Biot y Savart.

Ley de Biot y Savart

0 0 0 0mB J J J M

De esta ecuación tenemos:

0

BM J


Deducción de campo H (Intensidad de Campo Magnético)

• El termino entre paréntesis se define como el campo H, (Intensidad Magnética) A/m

0

BH M

De manera que:( ) ( )H r J r

Que es conocida como la forma diferencial de la ley de Ampere para el campo H, y es fácil deducir la forma Integral de la ley de Ampere o ley circuital de Ampere para el campo H

ˆ encerrado por C

C S

H dr J n ds I

(*)


Deducción de campo H (Intensidad de Campo Magnético)

• El vector M es una medida del magnetismo interno presente en un material ya sea como magnetismo permanente (Imán) o como magnetismo inducido debido a la presencia de las fuentes de corriente.

• De forma similar que en electrostática en dieléctrico se definía una permitividad absoluta del medio ε, en magnetostática se define la permeabilidad absoluta del medio μ

ED

HB

En conclusión un material puede caracterizarse por su magnetización M o su permeabilidad μ, que podría ser homogéneo, no homogéneo, isótropo, anisótropo, lineal , no lineal, dependiendo del material


Susceptibilidad Magnética, permeabilidad relativa

• De la ecuación (*) podrá observarse que si μ = μ0 en el material entonces

B= μ0 H corresponde a un medio no magnético y se confirma que M se anula bajo estas circunstancias

• La magnetización M puede relacionarse con el campo H, como la ecuación

mM H

Donde m es la susceptibilidad magnética, que esta relacionada con la ecuación (*) se llega a :

HB m

10

De aquí se encuentra que 10 m

De donde, se define la permeabilidad relativa:

mr 10


Clasificación de Medios Magnéticos

Diamagnéticos Paramagnéticos Ferro magnéticos 0.99983

0.99996

0.99998

0.99999

r

r

r

r

Bismuto

Oro

Plata

Cobre

min 1.000021

1.000012

1.00082

tan 1.00018

r

r

r

r

Alu io

Magnesio

Paladio

Ti io

250

600

( ) 4000

100000

r

r

r

r

Niquel

Cobalto

Hierro puro

Mumetal

Ferritas: Es un grupo importante de los materiales ferro magnéticos, una característica importante es su baja conductividad. Una aplicación es en transformadores de alta frecuencia y antenas.


Clasificación de Medios Magnéticos

1. En los materiales diamagnéticos el flujo magnético pasará preferentemente por el aire, que es el medio más permeable que el material, aparece una fuerza de repulsión sobre el material que es muy pequeña. En los Paramagnéticos la fuerza es de atracción y es también pequeña

2. En el material Ferromagnético el flujo del campo pasa totalmente por el material, el material es más permeable que el aire; aparece una fuerza de atracción relativamente grande


Características de los Materiales Ferromagnéticos

• Permeabilidad muy alta en la zona lineal• Temperatura de Curie • Si el material ferromagnético pasa una temperatura critica

llamada de Curie este medio pasa a tener un comportamiento de un material paramagnético (770º para el hierro)

• La saturación: si se aumenta indefinidamente el campo H el campo B ya no crece (no lineal)


Curva de Saturación de los materiales ferromagnéticos

Zona de SaturaciónZona aprox. Lineal

Ejemplos


Ejemplo 1Un material magnético no isótropo está caracterizado por la relación B y H como:

Donde k es una constante. Encontrar la permeabilidad efectiva cuando

0

7 6 0

6 12 0

0 0 3

x x

y y

z z

B H

B k H

B H

0 ˆ ˆ3 2H H x y

Ejemplo 2Un toroide de radio medio R, de sección transversal circular de radio a (a<<R) está construida de un material ferro magnético de permeabilidad r. Si el toroide está bobinado con un conductor de N vueltas que conduce una corriente I. a)Determine los campos H,B y M.b)Determine Bo y M para r=1c)Si se hace una abertura en el toroide (de un ángulo ). Determine el nuevo campo B’d)Calcule el valor numérico de B’/B y B’/Bo para r=1000 y =/30. Calcule Bo, B y B’ para N=200, I=1 A.


Imanes Permanentes

• La diferencia entre los materiales ferromagnéticos (Hierro, Níquel, Cobalto, etc.) con los imanes permanentes es que los primeros puede desmagnetizarse fácilmente

• Los Imanes Permanentes no se desmagnetizan fácilmente (ejemplo de imán es el Alnico aleación de Aluminio Níquel Cobalto)

• La característica principal de los imanes es la curva de Histéresis (del significado griego “ir detrás”)


Curva de Histéresis de los imanes

Inducción Remanente

Intensidad coercitiva

Curva de magnetización Inicial

IMPORTANTE: Para diseño de circuitos Magnéticos, el fabricante debe proporcionar la curva del segundo cuadrante de la curva B-H


Curva de Histéresis

En materiales Ferromagnéticos la curva es angosta y es de fácil magnetización y desmagnetización

En Materiales duros o Imanes, la curva de B-H es ancha y de difícil desmagnetización


Condiciones de Frontera entre dos medios

Medio 1

Medio 2

Interfase

Para el campo B


Condiciones de Frontera entre dos medios

Medio 2

Para el campo H


Circuitos Magnéticos

Entrehierro de aire

Miguel Delgado León José Díaz Zegarra

Comparación ente circuitos eléctricos y Magnéticos

Ejemplos


Ejemplo 1 (parcial 2010 –I)El circuito magnético mostrado en la figura contiene un imán para producir campo magnético y un material ferro magnético. La curva de saturación del material ferro magnético esta dado por:

La curva de histéresis del imán en el segundo cuadrante está dado por:

Determine B en el entrehierro

2

80

HB

H

2

1000 12m

m

BH

Ejemplo 2 Un material magnético con una alta permeabilidad relativa (r=1000) se encuentra rodeada por el vacio (r=1). Suponga que el campo B1 en un punto dentro del material muy cerca a la frontera es 1 Tesla. El ángulo entre B1 y la normal dirigida hacia afuera es 80 grados.a)Calcular la componente normal y tangencial de B2 (campo en el mismo punto pero fuera del material) b)El ángulo entre B2 y la normal

Ejemplo 3 El campo potencial vectorial magnético se sabe que es tangencial a la frontera de una material ferro magnético ideal demostrar que la condición de frontera del campo A es de Neumman homogéneo.

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