Magneto esttica en el VacoEE-521 Propagacin y Radiacin Electromagntica IMiguel Delgado Len MSc. Ing. Miguel Delgado Len

Miguel Delgado Len

Introduccin: Campo elctrico E Miguel Delgado Len En electrosttica se vio la fuerza elctrica entre dos cargas puntuales en reposo

(Ley de Coulomb)q es la carga fuente, q es la carga de campo y el vector unitario. Separando la carga de campo q se define un nuevo campo vectorial: E es el campo vectorial llamado campo elctrico que es producido por la carga fuente q.La presente figura muestra la direccin del campo E calculado y graficado con Matlab

Miguel Delgado Len

Campo magntico de corrientes estacionariasMiguel Delgado Len Si las cargas se movieran con velocidades constantes v y v, respectivamente, existira adems una fuerza magntica ejercida por q sobre q es conocida como la permeabilidad del vacoEn el Sistema Internacional Separando la carga de campo q y su velocidad v se define otro campo vectorial: El campo B es conocido con los siguientes nombres: campo induccin magntica o densidad de flujo magntico o simplemente campo B. En (3), si en lugar de q reemplazamos por un diferencial de carga dq tenemos:

Miguel Delgado Len

Fuerza de Lorentz, Ley de Biot y SavartMiguel Delgado Len Si se encuentran presentes un campo elctrico y un campo magntico, la fuerza total sobre una carga mvil es: que se conoce como la fuerza de Lorentz.

La fig. muestra un dq que se desplaza dr en un tiempo dt. Tenemos: Reemplazando (6) en (4) llegamos a:Que es el campo de una parte infinitesimal del circuito. El campo debido a todo el circuito C es la integral dada por:Es la Ley de Biot y Savart donde I es constante

Miguel Delgado Len

Ley de fuerzas de AmpereMiguel Delgado Len La frmula (3) es la fuerza magntica sobre una carga q. Si en lugar de q reemplazamos un diferencial de carga dq. La fuerza se transforma en:La frmula (6) indica que , que reemplazando en (9) llegamos a: Que es la fuerza sobre una parte infinitesimal de un circuito. La fuerza magntica sobre todo el circuito C es una integral: Reemplazando (8) en (11) llegamos a:Es la Ley de fuerzas de Ampere: la fuerza que el circuito C de corriente I ejece sobre el circuito C de corriente I

Miguel Delgado Len

Aplicacin de la Ley de Biot y SavartMiguel Delgado Len Ejemplo 1: El campo magntico del segmento recto portador de corrienteSolucin. De la Ley de Biot y Savart , el campo B es:A partir de este resultado se puede determinar el campo B debido a una corriente recta infinita haciendo Para una corriente recta infinitaLa presente figura muestra la direccin del campo B calculado y graficado con Matlab

Miguel Delgado Len

Aplicacin de la Ley de Biot y SavartMiguel Delgado Len Ejemplo 1: El campo magntico debido a una espira circular de radio a que conduce una corriente I en puntos de su eje.Solucin: Aplicando la frmula (7) que es el campo de un elemento de corriente, tenemos:

Segn la figura es fcil darse cuenta que la resultante del campo tiene la direccin del eje Z y el mdulo es

La componente en la direccin Z ser:

El campo B debido a toda la espira ser:

o

Miguel Delgado Len

Efecto HallMiguel Delgado Len Cuando se coloca un conductor que transporta corriente en un campo magntico, se genera una diferencia de potencial en una direccin perpendicular tanto de la corriente como del campo magntico.Si los portadores de carga son electrones que se mueven con una velocidad de arrastre V experimentan una fuerza magntica hacia abajo acumulndose en la superficie inferior electrones y dejando en la superficie superior exceso de cargas positivas. Esta acumulacin de cargas en los bordes establece un campo elctrico en el conductor y se incrementa hasta que la fuerza elctrica equilibra la fuerza magntica. Cuando se alcanza el equilibrio no habr desplazamiento de cargas. Se puede medir la diferencia de potencial (voltaje Hall). Primero se calcula el campo elctrico: La tensin de Hall es: La relacin entre la densidad de corriente volumtrica y la velocidad es: Aqu n es el nmero de electrones por unidad de volumen. De las expresiones de J llegamos a:Tambin Que reemplazando en Vh: conductores metlicos

Miguel Delgado Len

Ley de Biot y Savart para distribuciones de corrientes continuasMiguel Delgado Len Puede demostrarse fcilmente que la relacin de la corriente filamental, superficial y volumtrica es: Reemplazando en (8) tenemos:K es el vector densidad de corriente superficial A/mReemplazando en (8) tenemos(B para corriente superficial)(B para corriente volumtrica)J es el vector densidad de corriente volumtrica A/m2Se define el flujo magntico como la integral de superficie del campo B

Miguel Delgado Len

EjemplosMiguel Delgado Len 1) Una corriente I circula a lo largo de una placa infinita de ancho w. Determine el campo induccin magntica B en z=d 3) Un solenoide ideal consiste en un nmero de vueltas (bobina) distribuido uniformemente como se muestra en la figura. Para un solenoide de longitud L, N vueltas que conduce una corriente I determine el campo B dentro del solenoide en un punto del eje z4) Demostrar que para un solenoide ideal infinitamente largo de n vueltas por unidad de longitud y que conduce una corriente I el campo dentro (en cualquier punto) del solenoide es constante e igual aY fuera del solenoide el campo B=02) Una corriente circula en todo el plano XY con una densidad de corriente superficial dada por donde Ko es constante, determine el campo B en todo el espacio

Miguel Delgado Len

Caracterizacin del campo magntico, Ley circuital de AmpereMiguel Delgado Len Teorema de Helmholtz: Un campo vectorial est determinado si su divergencia y su rotacional estn especificados en todos los puntosEl campo induccin magntica es solenoidal, es decir, la divergencia del campo B es nula:El campo B es rotacional, es decir:Considerando una superficie abierta S con recorrido C que puede intersectar la fuente de corriente J. Efectuando la integral de superficie sobre la ltima ecuacin, tenemos: Aplicando el teorema de Stokes al primer lado:Es la forma integral de la Ley de Ampere o tambin conocida como Ley circuital de Ampere para el campo B. Se definir posteriormente un campo intensidad magntica H (A./m.) que es:

Miguel Delgado Len

Problemas de la ley circuital de AmpereMiguel Delgado Len 2) Dos regiones cilndricas de longitudes infinitas y radio a se intersecan como se muestra en la figura. Conducen densidades de corrientes y excepto en la interseccin. Determine el campo B en mdulo y direccin en cualquier punto de la interseccin. 1) En una regin cilndrica de longitud infinita y radio a cuyo eje coincide con el eje z conduce una corriente a lo largo del cilindro con densidad de corriente . Determine el campo B en todo el espacio 3) Determine el campo B en mdulo y direccin en todo el espacio debido a la distribucin de corriente cuya densidad volumtrica est dada por: 4) Determine en forma aproximada la componente radial del campo B en puntos muy cercanos del eje de una espira circular de radio a que conduce una corriente I

Miguel Delgado Len

Potencial vector magnticoMiguel Delgado Len El campo B es solenoidal, es decir la divergencia de B es cero. Por las matemticas sabemos que la divergencia de un rotacional siempre es cero. Es decir B es un rotacional: Para deducir el campo A de un circuito fila mental partimos del campo B. Como se sabeMediante anlisis vectorial se demuestra que: Reemplazando est equivalencia en la expresin de B:El trmino entre corchetes es el campo Ay para una corriente volumtrica es:El potencial vector debido a una corriente superficial:

Miguel Delgado Len

Propiedades del potencial vector magnticoMiguel Delgado Len Ejemplo 2: Determinar el potencial vector magntico del segmento recto portador de corrienteSolucin. De la frmula (19) , el campo A es:A partir de est expresin puede calcularse el campo A debido a una corriente recta infinita haciendo que es un punto de referencia donde A=0Mediante este simple ejemplo podemos concluir en general que para una distribucin de corriente infinita debe escogerse otro punto de referencia donde el potencial A=0. Otra prueba de la validez de la expresin anterior es que si tomamos el rotacional de A obtenemos la expresin correcta del campo B

Miguel Delgado Len

Problemas de potencial vectorial magnticoMiguel Delgado Len 1) Una espira circular de radio a localizado en al plano xy cuyo centro coincide con el origen de coordenadas conduce una corriente I demostrar que el potencia vectorial magntico en cualquier punto del espacio es:donde2) Determinar el potencial vectorial magntico en todo el espacio producido por un solenoide ideal de longitud muy grande, radio a (L>>a) y n vueltas por unidad de longitud que conduce una corriente I. 3) Una carga elctrica espacial con densidad de carga volumetrica constante r0 se distribuye en una regin cilindrica de radio a y longitud infinita. Si la distribucin de carga gira alrededor de su eje con una velocidad angular constante w. Determine el campo A y B en todo el espacio.

Miguel Delgado Len

Ecuacin diferencial para el campo AMiguel Delgado Len Otra propiedad del potencial vectorial magntico es que la divergencia de A es cero: Ejemplo 3 Demostrar lo siguiente:ySolucin. Sabemos que: Aplicando la conocida propiedad:sea que:Considerando la expresin del campo A debido a una distribucin de corriente volumtrica, tenemos que:Utilizando las propiedades de las funciones Delta de Dirac :La ltima integral es cero cuando r est fuera de la regin de r y diferente de cero cuando r est en la regin de r. Finalmente el flujo magntico es:(Ecuacin diferencial para A)

Miguel Delgado Len

Potencial Escalar magntico VmMiguel Delgado Len En la regin fuera de la fuente (J=0) se cumple:Segn las matemticas: El rotacional de un gradiente siempre es cero. Es decir podemos considerar: El potencial escalar magntico cumple con la ecuacin diferencial de Laplace. Aplicando divergencia a (22):La divergencia de un gradiente es el laplaciano: Se conoce una expresin explicita de Vm para circuitos fila mentales cerrados:y

Miguel Delgado Len

Potencial Escalar magntico VmMiguel Delgado Len Ejemplo 3: Determine el potencial escalar magntico Vm debido a una espira circular de radio a y corriente ISolucin: Aplicamos la frmula (24) Las dos integrales son simples, el resultado final es:El campo B se obtiene mediante (22)

Miguel Delgado Len

Campo magntico de circuitos distantes (dipolo magntico) Miguel Delgado Len El potencial vector magntico debido a un circuito muy pequeo o el punto donde se evalan los campos magnticos est muy distante puede evaluarse con relativa facilidad. As:Considerando el punto muy alejado del circuito aproximamos: Reemplazando en (25) quedaEs fcil demostrar que la primera integral es cero, quedando:Utilizando la siguiente identidad vectorial: As:Diferenciando

Miguel Delgado Len

Dipolo magnticoMiguel Delgado Len De (27) y (28) despejando y reemplazando en (26) se obtiene:La segunda integral es cero, queda:Se puede demostrar que el trmino entre corchetes es el rea con direccin encerrada por CSe define el momento dipolar magntico como:De manera que (29) se expresa como: Es el potencial vector magntico de un dipolo magntico. Se puede demostrar: Es el campo B de un dipolo magntico. El potencial escalar magntico es:

Miguel Delgado Len

Ejemplos de dipolos magnticosMiguel Delgado Len 1) Una espira circular de radio a localizado en al plano xy cuyo centro coincide con el origen de coordenadas conduce una corriente I . Encontrar los campo A , B y Vm para puntos r>>a2) Una carga elctrica Q se distribuye de forma uniforme en una regin circular de radio a. Si la distribucin gira alrededor de su eje con una velocidad angular constante w. Determine los campos A, B y Vm en puntos r>>a.

Miguel Delgado Len

Momento de rotacin magntico o torque magnticoMiguel Delgado Len Otra cantidad interesante es el momento de rotacin o torque sobre un circuito cerrado. El momento de rotacin es el momento de la fuerza magntica, el momento de rotacin infinitesimal est dado por:El momento de rotacin sobre un circuito cerrado es:Si el campo B no es uniforme, no puede simplificarse la expresin. Un campo vectorial es uniforme cuando es constante en mdulo y direccin. Cuando B es uniforme procedemos as:Est expresin reemplazamos en (33):oLa segunda integral es cero, queda Utilizando la identidad conocida

Miguel Delgado Len

Momento de rotacin magnticoMiguel Delgado Len La expresin (34) se transforma en:Se demuestra fcilmente que cuando B es uniforme La expresin (35) queda como:El trmino entre corchetes es el momento dipolar magntico. seaEst frmula es vlida solamente para cualquier circuito que sea fila mental. Ejemplo: Dos dipolos puntuales m1 y m2 son paralelos y estn separados una distancia r. Los dipolos estn fijos en sus posiciones pero el dipolo 2 puede girar.Determine el torque sobre m2El ngulo q para el torque mximo

Miguel Delgado Len

Miguel Delgado Len Jos Daz Zegarra*Miguel Delgado Len Jos Daz Zegarra