TÓPICOS DE MATEMÁTICA EPE (ADM)

Sesión 9.1

Razón de Cambio Promedio

Razón de Cambio instantánea (la derivada)

Razón de Cambio Promedio

La razón de cambio promedio de “y” respecto a “x”, cuando x cambia de x1 a x2 corresponde al resultado de dividir: el cambio en el valor de “y” entre el cambio en el valor de “x”:

1212

12 ; xxxxyy

Ejemplo:

Para f (x) = x2, determine la razón de cambio promedio cuando:

a. x cambia de 1 a 3

b. x cambia de 5 a 7

Razones de cambio promedio

x x + h

f (x)

f(x+h)

h

Ls

Razones de cambio promedio

La razón de cambio promedio de f con respecto a x está dado por:

0,)()(

hdondeh

xfhxf

Ejercicio:

Para f (x) = x2 determine la razón de cambio promedio en cada caso:

a. x = 5 y h = 3

b. x = 5 y h = 0,1

Note que la razón de cambio promedio no es otra cosa que la pendiente de la recta secante (Ls) a la gráfica de la función. Es decir :

hxfhxf

msL

)()(

Ejercicios

Material p. 36: 1 y 2

La Derivada

Si tomamos el límite de la razón de cambio promedio cuando “h” tiende a cero, la pendiente de la recta secante se convierte en la pendiente de la recta tangente, observemos:

x

y

0x

)( 0xf

)( 0 hxf

hx 0

h

x

y

0x

)( 0xf

)( 0 hxf

hx 0h

x

y

0x

)( 0xf

)( 0 hxf

hx 0h

x

y

0x

)( 0xf)( 0 hxf

hx 0h

x

y

0x

)( 0xf )( 0 hxf

hx 0

Tangente!!!

En el límite, cuando h tiende a cero, la recta secante se confunde con la recta tangente en x0 , y podemos decir que su pendiente es:

h

xfhxfLímmh

)()( 00

0

La Derivada

Este último límite es conocido en el Cálculo Diferencial é Integral como la derivada de la función respecto de la variable x, en x = x0 .

La Derivada

En consecuencia, la derivada de una función es numéricamente igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x = x0 .

La Derivada

El valor de la derivada de una función indica la rapidez con que la función está cambiando en un valor específico de x, en x = x0.

entonces, la derivada de una función en

x = x0 es:

hxfhxf

Límh

)()( 00

0

Pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en x = x0

La razón de cambio instantánea de la función en x = x0

Conceptualización de la derivada de una función

Notación de la derivada de una función:

La derivada de una función y = f (x) respecto de la variable x, se denota de las siguientes maneras :

dxdy )(xf y

Ejemplo:

Usando la definición, determine las expresiones de la derivada de las siguientes funciones :

b) f (x) = x2a) f (x) = x

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Técnicas de derivación

Regla de la potencia

¿Cuáles serán las derivadas de las siguientes funciones?

1. f (x) = x

2. f (x) = x2

¿Se puede generalizar?

Regla de la potencia

1 kk xkyxy

:kreal,númerocualquierPara

Ejemplos

Derivada de una función constante

La derivada de una función constante es cero

Es decir :

0 ycy

Ejemplos

Derivada de una constante por una función

La derivada de una constante por una función, corresponde a la constante multiplicada por la derivada de la función.

Esto se puede escribir así :

fcyfcy ..

Ejemplos

La derivada de una suma o diferencia de funciones, es igual a la suma o diferencia de las derivadas de dichas funciones

gfygfy

Derivada de una suma o diferencia de funciones

Ejemplos

. ' '. . 'y f g y f g f g

Derivada del producto de funciones

Ejemplos

Derivada del cociente de funciones

Si : 0, ggf

y

Entonces:

2

..g

gfgfy

Ejemplos

Ejercicios

Material p. 36: 3 (a, d, g, j) y 4

Ejercicios:

Sección de ejercicios 2.5: p. 148 del 1 al 62 impares

Sección de ejercicios 2.7: p. 163 del 1 al 38 impares y 77 (extra para profundizar: del 89 al 102 impares)

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Aplicaciones de la Derivada

Determine la ecuación de la tangente a la curva y = x2 + 2x en el punto donde x = 2.

Aplicaciones: Recta tangente

Una compañía determina que las ventas mensuales S, en miles de dólares, después de t meses de comercializar un producto se dan por la expresión:

S(t) = 2t3 - 40t2 + 220t + 160.

Halle la razón de cambio instantánea de las ventas en t = 1 y en t = 4.

Aplicaciones: Razón de Camb. Inst.

Aplicaciones: Análisis Marginal

¿Cómo podríamos determinar en forma aproximada el costo de producción de la novena unidad sin tener que hacer una diferencia de costos?

8 9

C(8)

C(9)Creal Caproximado

Costo (C)

Análisis Marginal

1 2 3 4 5 6 72° unidad

1° unidad9° unidad

Cantidad (q)

La pendiente de la recta tangente en q = 8 es la derivada del costo total en q = 8

Esta pendiente es numéricamente igual a cociente Caproximado / 1, es decir, al costo aproximado de producir la 9° unidad.

Análisis Marginal

Es decir, se puede deducir que:

C' (8) = Caproximado unidad 9.

En general podemos decir que :

Cunidad “n” = C' (n-1)

Análisis Marginal

La función ingreso marginal es la derivada de la función ingreso

La función utilidad marginal es la derivada de la función utilidad

Análisis Marginal

Si la demanda de un producto está dada por:

p = 16 – 0,02 x

a)Encuentre el ingreso aproximado que genera la venta de la unidad 43.

b)Encuentre el ingreso real que genera la venta de la unidad 43.

Ejemplo

Ejercicios

Material p. 37: del 6 al 12