Álvaro García Corral 13-12-2011 Métodos Matemáticos III ......
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Álvaro García Corral 13-12-2011
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Métodos Matemáticos III. Grupo 536. Prof. J.V. Álvarez.
Un sonido se propaga dentro de una caja cilíndrica llena de
un fluido, de una altura y un radio . El sonido se propaga como una onda de presión longitudinal, dando lugar a la siguiente ecuación diferencial (“Ecuación de Ondas”):
Donde es la presión del fluido en cada punto. Halla la función solución teniendo en cuenta que las condiciones de contorno son homogéneas y de primera especie ya que la presión del fluido en todas las paredes de la caja es constante. El sistema de referencia que vamos a escoger tiene el origen en el centro de una de las tapas del cilindro. El conjunto de coordenadas que utilizaremos serán las coordenadas cilíndricas, de manera que el centro de la otra
tapa del cilindro está en la coordenada . Tenemos la siguiente ecuación diferencial en la que hemos expresado el laplaciano en coordenadas cilíndricas:
[
(
(
))
]
Y las condiciones de contorno son:
( ) {
Y una condición de contorno periódica en el ángulo:
( ) ( )
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SEPARACIÓN DE VARIABLES: La primera suposición que haremos en este ejercicio es suponer que la función solución se puede expresar como producto de funciones de cada una de las variables:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) La segunda suposición es que la parte espacial de la
solución ( ) es autofunción del operador laplaciano, y
sus autovalores son por lo tanto:
( ) ( ) ( ) ( )
[ ( ) ( )] ( ) [ ( )] PARTE ESPACIAL; AUTOFUNCIONES DEL LAPLACIANO: Para la resolver la parte espacial, nos fijamos en la ecuación de autovalores y autofunciones del laplaciano:
( ) ( )
( ) ( )
(
(
( )
))
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Dividimos en ambos miembros por la parte espacial:
( )(
(
( )
))
( )
( )
( )
( )
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ALTURA; COORDENADA : Ya resolvimos en clase la Ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas, en su resolución veíamos que
puesto que los autovalores son números, cada uno de los términos de la suma deberán ser constantes, por lo que podemos asumir que:
( )
( )
Las condiciones de contorno son de primera especie y
homogéneas para las coordenada espacial , por lo tanto al expresar la solución como una serie de Fourier, sólo queda la parte del seno, siendo nulos los coeficientes del coseno:
( ) ∑
La ecuación que nos queda es:
( )(
(
( )
))
( )
( )
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PARTE ANGULAR; COORDENADA : Para separar ambas variables multiplicamos la ecuación
por :
( )(
(
( )
))
( )
( )
(
)
( )(
(
( )
)) (
)
( )
( )
Y conseguimos que cada término de la ecuación dependa de una sola variable. Como su suma es igual a cero, ambos términos tendrán que ser iguales a constantes de diferente signo, de manera que:
( )(
(
( )
)) (
)
( )
( )
Para resolver la parte angular contamos con la condición
de que ( ) ( ), que aplicamos a la siguiente ecuación:
( ) ( )
La solución es:
( ) ∑( ( ) ( ))
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PARTE RADIAL; COORDENADA : La parte radial es más complicada, tenemos la ecuación:
( )(
(
( )
)) (
)
Multiplicamos todo por ( ):
(
(
( )
)) ( )(
) ( )
Y sacando factor común a ( ) en el segundo y tercer
término, y dividiendo por obtenemos la ecuación de Bessel:
(
( )
) ( ) * (
)
+
Recordamos ahora que un operador era autoadjunto si, al
actuar sobre una función ( ), se podía escribir como:
( )
( ( )
( )
) ( ) ( )
Entonces dicho operador es autoadjunto, y la función ( ) es autofunción, por lo tanto el conjunto de autofunciones
( ) forma una base ortogonal, en la que expresaremos la parte radial de la solución. Los autovalores tienen la
particularidad de ser un número por una función ( ).
( ) ( ) ( )
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Identificando términos con la ecuación para la parte radial tenemos que:
( ) ( )
( )
Las autofunciones del operador y por lo tanto las soluciones de la ecuación para la parte radial son las
llamadas funciones de Bessel ( ). Estas funciones forman base y es en esta base en la que vamos a expresar la parte radial de la solución. Primero ponemos la ecuación en su forma canónica,
realizando la derivada y dividiendo por .
( )
( )
( ) *(
)
+
Ahora realizamos un cambio de variable que nos permitirá
re-escalar la solución, es decir, eliminar el parámetro de la ecuación.
√( )
⁄ (
√( )
) ( )
La ecuación que nos queda es:
( )
( )
( ) *
+
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Tenemos aquí una familia de EDO’s, una para cada valor
de . La solución para cada una de las EDO’s es una combinación lineal de las soluciones particulares, esta EDO es la ecuación de Bessel, en la forma canónica, y sus soluciones son las funciones de Bessel, en particular, las soluciones particulares de esta familia de EDO’s son las funciones de Bessel, y las funciones de Bessel de segundo tipo o funciones de Newmann.
Las funciones de Bessel ( ) y funciones de Newman
( ) forman base ortogonal, por lo que es posible expresar una función en ellas. Estas familias de funciones
están bien determinadas, las funciones van de hasta
. Son funciones oscilantes, pero no periódicas, eso implica que sus ceros no están equiespaciados. Las soluciones tienen la siguiente forma:
( ) ∑ ( ) ( )
Si deshacemos el cambio de variable, el conjunto de soluciones es:
( ) ∑ ( √( )) ( √(
))
Para simplificar las expresiones digamos √( )
( ) ∑ ( ) ( )
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Ahora tenemos que imponer las condiciones de contorno,
que dicen que la función ( ) se tiene que anular en , por lo tanto la condición será que en ese punto las funciones de Bessel y de Newmann valgan cero. Las condiciones de contorno no nos determinan los coeficientes de las funciones de Bessel y Newmann, pero
nos determinan ya que estas funciones son oscilantes,
cortando infinitas veces al eje , por lo tanto tienen infinitos
ceros, utilizaremos el subíndice para denotar el cero de
la función. De esa manera ( ) y ( ) siendo:
√( )
A partir de esta ecuación podemos hallar los valores de
que están cuantizados, uno para cada cero de cada una de las funciones de Bessel y de Newmann.
La variable de estas funciones es , a la que multiplicamos
por el número constante , por lo tanto la función cambia (se dilata o contrae). Lo que estamos haciendo es representar una función en la base de funciones de Bessel y Newmann, si una de estas funciones de Bessel o de
Newmann cambia debido al cambio de al realizar los sumatorios, cambia su aportación o su peso. Esto hace que
los coeficientes y también dependerán del valor de ;
y .
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PARTE TEMPORAL; COORDENADA : Aplicamos en la ecuación de ondas el hecho de que la parte espacial es autofunción del Laplaciano:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) La ecuación que nos queda para la parte temporal es la del oscilador armónico simple, de manera que:
( ) ∑ ∑( ( ) ( ))
√
Ya podemos hallar las frecuencias angulares de los modos del sistema.
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Ya hemos resuelto la parte temporal y la parte espacial del problema. Podemos ver la forma de la función solución:
( ) ∑ ∑( ( ) ( ))
( ) ∑ ∑ ( ( ) ( ))
( ) ∑( ( ) ( ))
( ) ∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
∑ ∑ [( ( )
( )) ( ( )
( ))( ( ) ( ))]
