Luis Zaldumbide Figuras Alabeadas
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analisis de figuras alabeadas
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I
II
© Universidad Central del Ecuador (2014)
Reservados todos los derechos de reproducción
III
DECLARACIÓN
Yo, Luis Fernando Zaldumbide Paredes, declaro que el trabajo aquí descrito es de
mi autoría; que no ha sido previamente presentado para ningún trabajo; y, que e
consultado las referencias bibliográficas que se incluyen en este documento.
La Universidad Central del Ecuador puede hacer uso de los derechos
correspondientes a este trabajo, según lo establecido por la Ley de Propiedad
Intelectual, por su Reglamento y por la normativa institucional vigente
__________________________
Luis Zaldumbide
C.I. 100362786-4
IV
CERTIFICACIÓN
Certifico que el presente trabajo fue desarrollado por Luis Fernando Zaldumbide
Paredes, bajo mi supervisión
_____________________________
Arq. Edmundo Llaguno Andrade
DIRECTOR DE PROYECTO
V
AGRADECIMIENTOS
Primeramente a Dios, por darnos la bendición que es la vida
A nuestros padres, quienes nos apoyaron incondicionalmente, durante la
ejecución del trabajo
Al Arquitecto Edmundo Llaguno Andrade, quien nos dio la confianza,
conocimientos y guía durante el desarrollo de este trabajo
A la Universidad Central del Ecuador, por permitirnos realizar este trabajo, y
saciarnos de conocimientos
VI
DEDICATORIA
A nuestros padres, por ser la razón de nuestra vida.
VII
DEDICATORIA
A mis padres, por ser la razón de nuestra vida.
VIII
INDICE:
Contenido RESUMEN .......................................................................................................................................... IX
ABSTRACT .......................................................................................................................................... IX
CONTEXTUALIZACIÓN DEL PROBLEMA .............................................................................................. X
ANTECEDENTES. ................................................................................................................................. X
Los antecedentes del proyecto se tomaron en función del problema objeto de estudio
refiriéndose a casos de la ciudad de Quito; que se detallan a continuación ..................... X
OBJETIVO GENERAL ............................................................................................................................ X
INTRODUCCIÓN: ................................................................................................................................. X
JUSTIFICACIÓN .................................................................................................................................. XI
MARCO TEORICO ............................................................................................................................... XI
PIEZAS DE TRANSICIÓN. ............................................................................................................... XI
SUPERFICIES PLANAS ............................................................................................................... XIII
SUPERFICIES ALABEADAS .......................................................................................................... XVIII
CLASIFICACIÓN DE LAS SUPERFICIES ALABEADAS: .................................................................. XXI
TIPO DE SUPERFICIES .............................................................................................................. XXII
PARABOLOIDE: ....................................................................................................................... XXII
EL CONOIDE: .......................................................................................................................... XXIII
El helicoide ............................................................................................................................ XXVI
Superficies cóncavas ............................................................................................................ XXVII
PLAN DE TRABAJO Y CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES ................................................................. XXIX
Para la investigación planteada se realizó un cronograma tomando referencia a un
diagrama de Gantt para la planificación de actividades a realizar, los cuales se indican en
la tabla 1. ..................................................................................................................................... XXIX
BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................ XXIX
IX
RESUMEN
El objetivo del presente trabajo fue analizar el estudio de superficies alabeadas y
piezas de transición aplicadas en el diseño arquitectónico; para alcanzar un
conocimiento claro en sus aplicaciones. Estas superficies van tomando un lugar
importante en el desempeño profesional, dando soluciones exactas y eficientes a
problemas comunes que suelen suceder, por tales razones, la presente
investigación está enfocada a entender el estudio de estas superficies como
aplicación en el diseño arquitectónico. Este estudio nos permite representar una,
varias curvas o superficies en el plano y en el espacio, mediante valores
arbitrarios o constantes, los cuales permiten trabajar hasta en tres dimensiones.
Un ejemplo claro de este estudio es al momento de tomar una curva, considerado
un problema de cálculo por su enorme magnitud, que a simple vista no es de fácil
solución, por lo cual; interviene el estudio de estas superficies que permite dar la
mejor solución a este problema, originando un procedimiento exacto y necesario
para poder plasmar su diseño exacto. Gracias a este estudio, se logra una mayor
facilidad en el trabajo de construcciones arquitectónicas, que compete como un
enfoque general de estudio, dando a su vez un valor agregado a los
conocimientos requeridos por estudiantes.
PALABRAS CLAVES: Superficies alabeadas, Valores arbitrariosABSTRACT
The objective of present study was to analyze the study of warped surfaces and
transition pieces applied in architectural design; to achieve a clear understanding
in their applications. These surfaces are taking an important place in professional
performance, giving accurate and efficient to common problems that often occur,
for these reasons, solutions this research is focused on understanding the study of
these surfaces in architectural design application. This study allows us to
represent one, several curves or surfaces in the plane and in space, by arbitrary or
constant values, which allow you to work up to three dimensions. A clear example
of this study is when cornering, considered a problem of calculating their
magnitude, which at first glance it is no easy solution, whereby; involving the study
of these surfaces can give the best solution to this problem, resulting in an
accurate and necessary to translate their exact design procedure. Thanks to this
study, a more easily achieved in the work of architectural constructions, which
compete as a general approach to study, giving in turn add value to the knowledge
required by students.
KEYWORDS: Warped surfaces, arbitrary values
X
CONTEXTUALIZACIÓN DEL PROBLEMA
Analizar el comportamiento de las superficies alabeadas y piezas de transición,
con el fin de conocer la posibilidad de resolución en problemas arquitectónicos
que poseen figuras novedosas en la ciudad de Quito del presente año.
ANTECEDENTES.
Los antecedentes del proyecto se tomaron en función del problema objeto de
estudio refiriéndose a casos de la ciudad de Quito; que se detallan a continuación
OBJETIVO GENERAL Analizar el comportamiento de las superficies alabeadas y piezas de transición,
con el fin de conocer la posibilidad de resolución en problemas arquitectónicos
que poseen figuras novedosas en la ciudad de Quito del presente año
INTRODUCCIÓN:
Las construcciones de muchos grandes arquitectos están implícitamente
reguladas por la geometría pero en las obras de algunos de ellos; el predominio
de ésta es muy explícito y notorio.
Particularmente el estudio de las curvas y superficies dentro de la geometría
descriptiva nos puede facilitar la comprensión de algunos elementos singulares de
un cierto tipo de arquitectura o de ciertas artes aplicadas y nos puede servir no
solo para entender y analizar estos elementos sino también para poder
generalizarlos estableciendo modelos que pueden ser utilizados como nuevos
objetos arquitectónicos.
XI
Aquí vamos a esbozar los análisis y generalización sobre hallazgos e
innovaciones de la aplicación de superficies alabeadas y piezas de transición en
la arquitectura.
JUSTIFICACIÓN La presente investigación está enfocada a los impactos, aportes y beneficios de
los resultados a realizar, donde contiene una gran cantidad de ayudas para la
ejecución de diseños tales como para la arquitectura, urbanismo, entre otros.
Además son muy eficaces al momento de realizar un diseño de estas superficies
y piezas de transición debido a que las mismas mantienen una serie de resultado
que pueden representarse, formando el diseño de una superficie alabeada.
El estudio en sí de estas superficies y piezas de transición, aumenta la flexibilidad
y transformabilidad durante el proceso, se tendrá cifras más exactas que ayudan
a que el diseño no tenga ningún error al momento de pasar las medidas
adecuadas. Una de las mayores ventajas del diseño paramétrico es la simbiosis
entre disciplinas, la cual permite integrar criterios estructurales, sociales,
simulaciones de flujo, etc. Con la finalidad de que el modelo tridimensional no sea
solo una maqueta virtual, sino una herramienta capaz de dar resultados e
información para lograr diseños más adecuados con resultados contundentes.
En fin, esta investigación trata de conseguir la manera más fácil para visualizar
realizar un diseño de estas superficies y piezas de transición, gracias a la
utilización de este estudio, serán útiles para encontrar puntos en el diseño.
MARCO TEORICO
PIEZAS DE TRANSICIÓN.
Las superficies que cada manera de resolver una forma de transición genera son
la materia prima del trabajo y de este análisis, son la unidad básica con la que se
componen las formas.
XII
Estas superficies pueden ser, según su grado de complicación- ante la
construcción material que es en definitiva lo que interesa a la arquitectura de
cuatro grandes familias: planas, desarrollables, alabeadas o cóncavas.
Desde una perspectiva puramente geométrica estos cuatro tipos de superficies se
clasificarían en función de las tangencias con un plano por uno de sus puntos:
Superficies planas: en las cuales un plano tangente por un punto
cualquiera es el mismo plano
Superficies de puntos parabólicos: en las que un plano tangente por un
punto lo es en toda una línea de la superficie.
De puntos hiperbólicos: en las que el plano tangente por un punto corta la
superficie.
De puntos elípticos: cuyos planos tangentes por un punto contienen sólo
ese punto.
Para ser rigurosos hay que precisar que de estas cuatro posibilidades de
tangencia se pueden presentar más de una en la misma superficie geométrica.
Sería más preciso decir que una superficie puede tener puntos elípticos, puntos
parabólicos y puntos hiperbólicos, o bien ser un plano. Pero insistiré en que el
interés es llegar a hablar de las superficies desde sus cualidades arquitectónicas
más que desde sus características geométricas, y ver si ambos aspectos pueden
llegar a encontrarse.
Es por ello que he querido distinguir los grupos de superficies en función de su
incidencia en los procesos constructivos y hacer ver que incluso la propia
superficie puede cumplir leyes que no se ajustan a la relación puramente
geométrica de sus líneas sino a esos procesos constructivos y que, en ocasiones,
esos mismos procesos se encuentran en los dibujos.
Los casos escogidos contienen preferentemente superficies alabeadas porque la
selección inicial ya ha discriminado en ese sentido los ejemplos estudiados, pero
se ha querido no aislar unas superficies de otras por entender el problema
arquitectónico en toda su magnitud y las superficies alabeadas han sido sólo una
excusa para cribar los numerosos casos que podrían incluirse como transiciones.
XIII
La diferencia esencial entre estos cuatro tipos de superficies, enumerados más
arriba, es la implicación que la forma tiene en la solución constructiva y después
de esta reflexión quedará expuesta la idea de que son las mismas diferencias que
hay en cómo se deben manejar para su control gráfico, en cómo se dibujan.
SUPERFICIES PLANAS
El análisis de las superficies planas se pasa a menudo por alto por considerar sus
cualidades demasiado obvias. La construcción pone en su lugar la importancia
que tienen cuando por ejemplo aparece el cristal como material; o cuando las
caras planas pueden descomponer figuras más complicadas para abaratar costes
en la formación de prefabricados o encofrados. El gran campo de trabajo de
superficies con esta geometría está en las láminas plegadas que traducen formas
complejas en la combinación de elementos planos. En este trabajo han aparecido,
de una manera colateral ejemplos, por formar parte de edificios que han suscitado
el interés por otros motivos, por ejemplo la cubierta plegada de la sala de
asambleas de la UNESCO.
Se ha visto cómo este tipo de superficies se utilizaban en los pilares de Nervi para
fragmentar el fuste en varias caras; y puesto que un plano queda determinado por
tres puntos de una forma unívoca, basta con una arista y un vértice exterior para
determinarlo.
Figura 1 PIEZAS DE TRANSICIÓN
En la torre Agbar de Nouvel aparece el plano como problema constructivo de la
cúpula que remata el edificio. Inicialmente fue diseñada como una jaula de líneas
meridianas y líneas paralelas que definían celdas alabeadas. Las líneas directoras
XIV
de la forma servían para plantear una envolvente general pero hubo que corregir
la definición de esta cúpula inicial para convertirla en un poliedro. Cada cara de
cada celdilla hubo que determinarla por tres puntos para asegurar que se trataría
de un plano perfecto donde encajar el cristal. El cuarto punto es consecuencia de
la situación de los tres primeros.
Las caras planas de algunos elementos que se describen de manera
individualizada en los capítulos anteriores, aparecen como consecuencia de la
resolución de la forma entre los extremos fijados, como en las costillas del
intradós de Sídney en las que aparecen caras planas porque en las secciones
extremas se determinan unas variables y unos segmentos fijos. Estos elementos
fijos, si son rectilíneos, generan planos y facilitan el control sobre la forma general.
Figura 2. SUPERFICIES PLANAS DE FORMAS DE TRANSICION
Las formas de transición no han sido, por sí mismas, un tema compositivo, sino
que han sido la consecuencia de elementos fijados previamente y de la necesidad
práctica que impone la construcción material de un edificio.
La transformación entre una figura y otra ha aparecido en todo tipo de edificios,
como problema secundario en su diseño. Estas formas no son en sí mismas o por
sí solas el objetivo de la obra de arquitectura, pero su resolución debe –
necesariamente ajustarse a la lógica de los sistemas constructivos propios de la
arquitectura: son, por naturaleza, formas constructivas. Por esto tienen, en mi
opinión, el mismo interés que pueda tener la obra completa, pero se pueden
analizar desde puntos de vista más objetivos, donde la carga emotiva o ideológica
del artista sea, cuanto más, equiparable a las solicitaciones de la construcción
material. De otro modo, es muy difícil emitir una opinión que valore la bondad de
XV
la solución adoptada o que ponga en duda lo que sería una opción casi
sentimental.
Hay temas recurrentes en la historia de la arquitectura que entrañan un problema
de transición. Por ejemplo el paso de la forma cuadrada de la planta de un
crucero en una iglesia, a la forma circular o poligonal de la cubierta resuelta en
cúpula.
El uso de pechinas trompas o tambores como elementos constructivos son tres
maneras de resolver esta transformación formal.
Figura 3. CUPULA DE SANTA SOFIA
Dos ejemplos de formación de cúpula sobre un espacio cuadrado como Santa
Sofía de Istambul y la Capilla Pazzi de Fillippo Brunnelleschi en Florencia.
Figura 4. CUPULA DE LA CATEDRAL DE SALAMANCA
XVI
Solución con trompas: crucero de San Daniel en Gerona y ejemplo con tambor:
cúpula de la catedral de Salamanca.
El cambio de sección de un pilar entre su base y su capitel sería otra familia de la
cual se recogen algunos ejemplos más adelante y de la que formarían parte las
columnas que Antoni Gaudí diseñó para la Sagrada Familia.
Figura 5. CAPITELES DE LAS COLUMNAS DE SAN EGIDIO EN KLEINKOMBURG
Capiteles de las columnas de San Egidio en Kleinkomburg y Modelos de estudio
en yeso de las columnas para la Sagrada Familia de A. Gaudí.
Estas columnas plantean un caso claro de transición puesto que la sección
cambia desde un polígono hasta otro. Sin embargo, su principio generador es un
movimiento constante helicoidal en dos sentidos rotatorios opuestos a la vez y la
simultánea intersección de las dos formas “salomónicas” que resultarían de este
movimiento. El objeto de este planteamiento pone el interés en el propio
movimiento (que, por otro lado, tiene vocación de ser infinito puesto que parece
querer llegar, por la multiplicación de los lados, al círculo) y no tanto en las dos
secciones extremas del fuste, como punto de partida de la definición de su forma.
Este aspecto y la complejidad intrínseca de la figura de Gaudí han llevado a no
incluir esas columnas en el análisis, lo que no significa que no haya sido un
referente en el estudio.
XVII
Un capialzado resuelve cómo debe construirse la superficie interior en un muro de
piedra que plantea, por ejemplo, un arco de medio punto en la cara exterior y una
abertura rectangular en el interior, o arcos de diferente trazado o tamaño.
Figura 6. REPRESENTACION DEL ARCO DE MEDIO PUNTO
Dos soluciones de capialzado en una misma puerta de Santa Maria de El Parral
en Segovia y cuatro ventanas que resuelven la transición entre las dos aberturas
de maneras distintas en la cabecera del refectorio de Santa Maria de Huerta en
Soria.
Una vez planteado el problema de partida, la transformación entre una y otra
figura es una excusa para hablar de forma, de geometría, de construcción, de luz
y de material; es una excusa, en definitiva, para hablar de arquitectura en
términos más o menos objetivos.
La peana de un pilar, o de una escultura, que empieza con una basa de planta
cuadrada y debe llegar a recibir la circunferencia del fuste puede preparar la
forma de su sección para hacer esa transformación más suave interponiendo
formas de transición que resuelvan el acuerdo entre el polígono y el círculo.
El monumento en memoria de Ludvig Alfred Otto, conde Reventlow, que se
encuentra en el parque Pederstrup, en la isla danesa de Lolland es un caso muy
claro de forma de transición entre dos figuras en los términos que se recogen en
este trabajo. Este pequeño monumento de piedra, de 1946, es obra de Mogens
Koch y, como otros trabajos de este diseñador danés, la geometría es la
generadora de toda la forma. El planteamiento de partida es la colocación a
diferentes alturas de dos cuadrados iguales, girados 45º entre ellos y con los
XVIII
respectivos centros algo desplazados. La forma del monumento es la
consecuencia de la transformación de un cuadrado en otro, y esta transición se
resuelve con triángulos que se construyen desde el vértice de un cuadrado y la
arista del otro. El elemento queda definido por triángulos capiculados –y por lo
tanto caras planas- y la forma y posición de éstos viene marcada por la posición
de las dos bases cuadradas de partida.
Figura 7.MONUMENTO ALA MEMORIA DEL CONDE DE REVENTLOW
Monumento a la memoria del Conde de Reventlow en el parque de Pederstrup en
la isla de Lolland. En el dibujo diédrico define la figura de transición de un
cuadrado a otro.
SUPERFICIES ALABEADAS
Estas superficies, que han sido expresamente buscadas en este trabajo como
tema de estudio concreto, han servido para identificar los temas que se quieren
poner en evidencia. Geométricamente las superficies alabeadas son aquellas que
tienen doble curvatura de tal manera que dos secciones perpendiculares por
alguno de sus puntos producen líneas cuyas curvaturas son de sentidos
opuestos.
Por esto hay vistas de estas superficies que ofrecerían una imagen delimitada por
un contorno aparente curvo aun tratándose de superficies construidas a base de
rectas, como un paraboloide de cualquier pilar estudiado, o a base de arcos como
XIX
la cubierta de los talleres de ferrocarriles búlgaros en Russe, o la cubierta de
Atlántida o la marquesina de la Zarzuela que, aun partiendo de la idea del
hiperboloide reglado, acaba siendo el movimiento de una arco de circunferencia
por una hipérbola, pero en cualquier caso es claramente una superficie alabeada.
Figura 8. SUPERFICIES ALABEADAS.
Si estas superficies son regladas, como lo son la mayoría de los casos
construidos, reducen su complicación geométrica puesto que parten de un
elemento simple cuya traducción en la construcción es literalmente un elemento
rectilíneo.
Cada superficie alabeada que ha aparecido como consecuencia de las formas de
transición es en sí misma una forma de transición y por esto ha tenido doble
interés su análisis como elemento abstracto. Una superficie alabeada pensada
como forma de transición nace de la idea del movimiento continuo de una recta
apoyada sobre dos líneas. Este planteamiento de partida tiene muchas soluciones
posibles.
Una superficie reglada alabeada queda unívocamente determinada por tres
directrices. En los casos que se han estudiado siempre se parte de dos líneas,
que son directrices de la superficie; por lo tanto siempre queda por determinar la
tercera directriz. Es más claro describir esta tercera directriz como la tercera
condición puesto que no siempre se tratará de una línea concreta o fácilmente
identificable.
XX
En los ejemplos aparecen casos en los que esta tercera condición es de índole
geométrica. Como en los casos de conoides de plano director: la cubierta
deDarmstadt, o el muro de Atlántida, o la viga de Sydney, o la marquesina de la
Unesco.
En todos ellos las generatrices se disponen paralelas a un plano
(geométricamente todas las generatrices se cortarían en una recta que está en el
infinito, impropia, y es la recta común a todos los planos paralelos a esa
orientación).
Figura 9.TIPOS DE REPRESENTACION DE SUPERFICIES ALABEADAS
Pero también los hay que han utilizado como tercera condición una característica
de tipo constructivo. Como los casos descritos en los que las rectas generatrices
se apoyan en las dos directrices de partida y que se disponen repartidas sobre
ambas de manera equidistante. Esta distribución de rectas no se corresponde con
ningún modelo abstracto de figura geométrica sino con un principio constructivo,
según el cual las líneas del listonado del encofrado tienen continuidad. Así son los
casos de Turín, de New Norcia, o el del pilar de la sala de asambleas de la
UNESCO.
Hay que notar que en los paraboloides hiperbólicos la característica constructiva
de reparto equidistante coincide –en cumplimiento del teorema de Talescon la
XXI
solución geométrica de plano director puesto que las generatrices de estas
superficies dividen en partes iguales las rectas directrices. Pero gráfica y
constructivamente es más lógico pensar que la distribución de rectas se ha hecho
por equidistancias y no disponiéndolas paralelas a un plano, que a menudo no
queda proyectante en las proyecciones diédricas básicas del elemento.
En estas superficies ocurre que hay proyecciones en las cuales el contorno
aparente, su silueta, es curva. Y puede ser de interés la aportación expresiva que
pueden ofrecer este tipo de figuras (algo muy bien aprovechado en los
laboratorios Jorba, o en muchos ejemplos nervianos). Esta característica formal
tiene otra implicación de gran interés y es el comportamiento de estas figuras bajo
la luz del sol.
A diferencia de los planos estas caras pueden quedar parcialmente iluminadas
por el sol por la que aparece una línea de sombra, o un degradado que expresa
su curvatura. Es por esto que este tipo de superficies tienen una gran riqueza
expresiva.
CLASIFICACIÓN DE LAS SUPERFICIES ALABEADAS:
Las generatrices deben apoyarse siempre sobre tres directrices:
Se apoyan sobre tres directrices sin perder en ningún momento el contacto
con ellas. En este caso tenemos el hiperboloide elíptico y de revolución,
construido sobre tres líneas rectas. Curvas alabeadas construidas con dos
líneas rectas y una curva. Curvas alabeadas construidas con una línea
recta y dos curvas, por ejemplo el cuerno de vaca. Curvas alabeadas
construidas con tres líneas curvas.
Se apoyan en dos líneas directrices y siempre están paralelas a un plano
director. Apoyado sobre dos líneas rectas tenemos el paraboloide
hiperbólico. Apoyado en una línea recta y una curva tenemos el conoide y
el helicoide recto. Apoyado en dos líneas curvas tenemos el cilindroide.
Se apoyan en dos líneas directrices y forma la generatriz siempre un
mismo ángulo con algún plano. Apoyado en dos líneas rectas tenemos el
hiperboloide concoideo Apoyado en una línea recta y una curva tenemos el
XXII
helicoide oblicuo. Apoyado en dos líneas curvas tenemos el helicoide
oblicuo.
TIPO DE SUPERFICIES
Cilindroide: la generatriz (g) se desplaza manteniéndose paralela a un plano
director (d) y apoyada sobre dos directrices (d1 y d2) curvas..
Conoide: la generatriz (g) se desplaza manteniéndose paralela a un plano
director (d) y apoyada sobre dos directrices, siendo una de ellas recta (d1)
y la otra curva (d2).
Superficie doblemente reglada: Superficie alabeada en la cual por cada uno
de sus puntos pasan dos generatrices (g1 y g2). Entre ellas se pueden
citar:
Paraboloide Hiperbólico: la generatriz (g) se desplaza manteniéndose
paralela a un plano director (d) y apoyada sobre dos directrices rectas (d1 y
d2) que se cruzan.
Hiperboloide de Revolución: la generatriz (g) se apoya sobre dos directrices
(d1 y d2) circulares, paralelas, y se mueve manteniendo constante el
ángulo (a0) que forma ellas.
PARABOLOIDE:
El paraboloide está generado por una recta que se apoya en dos líneas directrices
y siempre se mantiene paralela a un plano llamado director. Existe otro conjunto
de generatrices consideradas como directrices y un plano paralelo a estas
directrices definido como nuevo plano director.
XXIII
Figura 10. SUPERFICIE PARABOLOIDE
Dos generatrices infinitamente próximas se cruzan mientras que las de distinto
sistema se cortan.
La superficie es de segundo orden ya que si es cortada por una recta la corta
como máximo en dos puntos.
El plano tangente en un punto a la misma está definido por dos generatrices, una
de cada sistema, y ambas pasan por el plano.
Como cada sistema contiene una generatriz en el infinito -la línea del infinito del
plano director- todo plano secante tiene dos puntos en el infinito comunes con la
superficie. Las secciones planas de la superficie son de forma general hipérbolas
y en casos particulares parábolas.
Los planos paralelos a la recta común de los planos directores producen
secciones parabólicas mientras que todas las demás secciones son hiperbólicas.
Figura 11. REPRESENTACION DE SUPERFICIES PARABOLOIDES
EL CONOIDE:
El conoide es una superficie reglada alabeada con un plano director y dos
directrices, una rectilínea y otra curva. Si la directriz curva es un círculo se tiene el
conoide circular, si es una elipse tenemos el conoide elíptico, etcétera.
Si la recta directriz es paralela al plano de la directriz curva y perpendicular al
plano director la superficie engendrada se denomina conoide recto, en caso de
que no lo sea se denomina oblicuo.
XXIV
Figura 12. FIGRA DESCRPTIVA Y SUPERFICIE CONICA
HIPERBOLOIDE DE REVOLUCIÓN DE UNA RAMA:
Se le denomina también hiperboloide y es un caso particular del hiperboloide
elíptico. Todas las secciones que cortan a la superficie perpendicularmente al eje
son círculos. El hiperboloide se puede generar por una recta que se mueve
siempre en contacto con tres directrices que se cruzan, también por una recta
girando alrededor del eje de forma que se cruza con él.
También se puede generar por una recta que se mueve incidente en tres círculos
cuyos centros están en el eje de revolución. También se puede generar por una
hipérbola que gira alrededor de la directriz.
Figura 13. FORMULA DE UNA SUPERFICIE HIPERBOLOIDE
XXV
Siendo el hiperboloide de doble reglaje se puede construir mediante el cruzado de
barras rectas. Se aplica en torres, mástiles, en tejidos, engranajes hiperbólicos
para dos ejes que se cruzan. Las superficies de rodadura son troncos de
hiperboloides. Los dientes de engranajes hiperbólicos en forma de espiral para
suavizar la acción motriz del sistema de engranajes.
Si consideramos dos rectas que se cruzan y una de ellas es el eje de revolución al
girar las se engendra un hiperboloide de una hoja.
Las rectas de esta superficie infinitamente próximas se cruzan y la simétrica de
cualquiera respecto a un plano meridiano de la superficie de revolución es una
generatriz del otro sistema de rectas.
Figura 14. SUPERFICIE HIPERBOLOIDE
El hiperboloide es una superficie cuyas secciones son siempre cónicas, cuando la
superficie gira cualquier generatriz aparece dos veces paralela a un plano
meridiano por lo que toda sección meridiana es una hipérbola. De ello se
desprende que la superficie se puede generar por rotación de una hipérbola en
torno a su eje.
El hiperboloide es una superficie de segundo orden y por cada uno de sus puntos
pasan dos líneas de cada sistema que definen el plano tangente en uno de sus
puntos. Éste plano secciona a la superficie en dos rectas. La superficie no se
puede desarrollar por ser alabeada.
Para calcular la intersección de una superficie alabeada como un plano se unen
los puntos de intersección de las generatrices con el plano secante.
XXVI
La intersección de cualquier superficie alabeada con otra se obtiene calculando
las intersecciones de las generatrices de las dos.
Figura 15. SUPERFICIES REGLADAS
Las superficies regladas alabeadas encuentran una aplicación muy extendida en
la construcción de cubiertas, tejados, ajustes de tuberías, engranajes, torres de
refrigeración de centrales nucleares, engranajes hiperbólicos para ajustar ruedas
cuyos ejes se cruzan, etc.
El helicoide
El helicoide recto es una superficie reglada alabeada cuya generatriz se mueve
siempre en contacto con dos hélices concéntricas. Estas hélices son sus
directrices y forman un ángulo siempre igual con sus ejes. Si la generatriz es
ortogonal tenemos un helicoide recto, si no lo es porque tenemos uno público.
El helicoide oblicuo es aquel cuya generatriz siempre mediante un mismo ángulo.
Figura 16. SUPERFICIE HELICOIDAL
La superficie helicoidal posee muchas aplicaciones, la rosca cuadrada con una
helicoidal posee una superficie lateral que es un helicoide recto, los muelles de
XXVII
arrollamientos helicoidales. Las roscas de tornillos los muelles de las bobinas, los
resortes, las rocas de los taladros las escaleras de caracol, etcétera.
Figura 17. SUPERFICIES HELICOIDAELES
Superficies cóncavas
Por último unas superficies de un gran interés para la arquitectura. Estas
superficies curvas tienen la particularidad de tener derecho y revés. De hecho se
podrían distinguir entre cóncavas y convexas según desde qué lado las veamos.
Este derecho y revés de la superficie tiene repercusiones en estabilidad
estructural, en acústica, en la reflexión de la luz, o para la recogida de aguas entre
otras muchas cosas. El gran inconveniente que tienen es la dificultad de
construirlas.
La forma más simple en este grupo sería aquella que necesita menos datos para
determinarse: la esfera. Esta virtud es la que atrajo a Utzon para idear las
cubiertas su Opera House.
Figura 18. SUPERFICIE CONCAVAS
XXVIII
Otro edificio donde aparece algún fragmento cóncavo es la cubierta de la sala
vaticana en los tramos que la parábola de la sección y la de la trayectoria son de
igual signo en sus respectivas curvaturas; o la cubierta de Atlántida que tiene
porciones cóncavas en las cumbreras de la cubierta ondulada.
También en la cubierta de los talleres de Russe, al generarse por el movimiento
de un arco por otro arco, se construye una superficie que es parcialmente
cóncava, aunque en muchos de sus puntos la doble curvatura es de sentidos
opuestos.
La cubierta de la TWA también es una superficie cóncava, que busca en ese
abovedamiento la estabilidad que necesita para soportarse en sólo cuatro puntos
de apoyo. Tal como está definida en los planos del proyecto, una sección por
cualquiera de sus puntos es una curva invertida.
La cúpula que remata el núcleo de hormigón de la torre Agbar también es una
superficie cóncava que se dibuja por múltiples secciones paralelas para perfilar la
silueta que se busca.
Todos estos casos se han resuelto de dos maneras: o bien son porciones de una
figura geométrica conocida cuyas secciones (también conocidas) son las que se
utilizan para trazarla en la obra o en el proyecto, o bien son figuras aleatorias cuyo
control sólo se puede aproximar por el trazado de secciones múltiples.
XXIX
PLAN DE TRABAJO Y CRONOGRAMA DE ACTIVIDADES Para la investigación planteada se realizó un cronograma tomando referencia a un
diagrama de Gantt para la planificación de actividades a realizar, los cuales se
indican en la tabla 1.
Tabla 1. Diagrama de actividades para la realización del proyecto
Actividad 2014
enero enero Febrero
Recolección de Información
Contextualización del problema
Planteamiento de Objetivos
Determinación de procedimientos
Entrega de proyecto
BIBLIOGRAFÍA
Antorveza, K. (2015). Nuevo paradigma. Recuperado de
www.the3dcrafters.com/blog/diseno-parametrico (Enero, 2015)
Arcos, V. (2015). Estudiantes construyen muros de ladrillo en disposición .
Recuperado de www.plataformaarquitectura.cl/cl/756587/estudiantes-
construyen-muros-de-ladrillo-en-disposicion- (Enero, 2015
30
