Losas Delgadas Kirchhoff

7/24/2019 Losas Delgadas Kirchhoff

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08 – Losas delgadas

Teoría de Kirchhoff

Diego Andrés Alvarez MarínProfesor Asociado

Universidad Nacional de Colo!ia"ede Manizales



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#n$rod%cci&n

● 'leen$os lainares delgados

– Losas o (lacas )son eleen$os (lanos*

– L+inas de s%(erficie c%rva

● Losas,

– Losas delgadas, $eoría de Kirchhoff

– Losas gr%esas )- delgadas*, $eoría de .eissner/Mindlin



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Alg%nas definiciones

● Placa , s&lido (aralele(í(edo en el %e %na des%s diensiones )es(esor t * es %cho +s(e%e1a %e las o$ras dos2

● Plano medio de la placa , s%(erficie (lanae%idis$an$e de las caras a-ores de la (laca



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Teoría de Kirchhoff vs Teoría de.eissner/Mindlin

La $eoría de Kirchhoff as%e %e las seccionesor$ogonales - (lanas al (lano edio de la (laca sean$ienen (lanas - or$ogonales des(%es de ladeforaci&n de la (laca2 La $eoría de .M as%e %e sean$ienen (lanas (ero N3 or$ogonales des(%és de la

deforaci&n2

Kirchhoff, .eissner/Mindlin,



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4i(&$esis f%ndaen$ales de la$eoría de Kirchhoff

5* Los (%n$os del (lano edio solo se des(lazanver$icalen$e u 6 v 6 0

7* Todos los (%n$os con$enidos en %na noral al (lanoedio $ienen el iso des(lazaien$o ver$ical

* 'l esf%erzo noral 9 z es des(recia!le

:* Las secciones or$ogonales - (lanas al (lano edio

de la (laca se an$ienen (lanas - or$ogonalesdes(%es de la deforaci&n de la (laca2

;* 'l a$erial de la (laca es el+s$ico< lineal< iso$r&(ico -hoogéneo



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Convenci&n de signos< e=es decoordenadas - des(lazaien$os



7

Ca(o de des(lazaien$os

Vector de movimientos )con$iene losdes(lazaien$os - giros de %n (%n$o

del (lano edio de la (laca*2



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Ca(os de deforaciones -esf%erzos



9

Le- de 4oo>e

Ma$riz cons$i$%$iva(ara %n eleen$oel+s$ico iso$ro(o

R d t



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?ec$or deoen$os)vec$or deesf%erzos

generaliza/dos*

'l s%! f %iere decir esf%erzos

de fle@i&n

?ec$or de deforaciones generalizadas defle@i&n )o vec$or de c%rva$%ras*

Ma$riz cons$i$%$iva de

fle@i&n generalizada

Recuerde que son momentospor unidad de longitud



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Princi(io de los $ra!a=os vir$%ales



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'c%aciones de e%ili!rio de la (laca



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'c%aci&n diferencial (arcial %edescri!e la flecha en %na (laca

's$a ec%aci&n diferencial (arcial =%n$o con s%scondiciones de fron$era es el (%n$o de (ar$ida(ara resolver analí$icaen$e (ro!leas de (lacasiso$r&(as2

D rigidez a fle@i&n de la (laca )fle@%ral s$iffness*2"&lo es v+lida (ara a$eriales el+s$icos e is&$ro(os

C di i d $



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Condiciones de con$orno



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Las flechasre(resen$an los gdlres$ringidos



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B%erzas - esf%erzos cor$an$es

Una vez se res%elve la ec%aci&n diferencial

se calc%lan los oen$os (or %nidad de longi$%d

- las f%erzas cor$an$es (or %nidad de longi$%d

finalen$e< los esf%erzos +@ios se es$iancoo,



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Bor%laci&n de eleen$os fini$os

'l (ro!lea radica en la selecci&n de $érinosdel (olinoio -a %e cada al$erna$iva genera %neleen$o diferen$e )- alg%nos de ellos nof%ncionan en la (r+c$ica*2



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Definiciones

"e dice %e %n eleen$o fini$o es confore c%ando los des(lazaien$os - giros en$reeleen$os son con$in%os2

"e dice %e %n eleen$o c%(le la condici&n de(arcela c%ando es$o garan$iza %e lasol%ci&n converger+ a la $eorica al disin%ir el$aa1o de la alla2

"e dice %e el eleen$o $iene invarianzageoé$rica c%ando el eleen$o )el (olinoio* no$iene direcciones (referenciales2



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'leen$orec$ang%lar

de c%a$ronodos MC

's$e eleen$o fini$of%e (ro(%es$o en5E: (or Melosh<ien>ieFicz< Che%ng)MC*2



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's$a selecci&n del ca(o de des(lazaien$osgaran$iza la invarianza geoé$rica )el (olinoiono $iene direcciones (referenciales*2 3!serve %ea lo largo de los lados x 6cons$ - y 6cons$ la flechaw varía de ac%erdo con %n (olinoio de $ercer

grado2



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Las cons$an$es G5< G

7< 222< G

57se calc%lan haciendo

donde la a$riz A es$+ dada (or,



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U$ilizando f%nciones de fora< se (%ede e@(resarel des(lazaien$o ver$ical w coo,

donde,

B%nciones de fora asociadas al nodo 5



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donde,

Para el c+lc%lo de las derivadas an$eriores %$ilizaos,

f

. l d l PT?



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.ee(lazando en el PT?

Carga (%n$%al - los dosoen$os flec$ores %e

e%ili!ran el nodo i

L $ i d i id $+ d d



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La a$riz de rigidez es$+ dada (or,




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f

'l vec$or de f%erzas nodales e%ivalen$es (ara%na carga %niforeen$e re(ar$ida de agni$%d q so!re el eleen$o es,

5 5 5 5 5 5 5 5

Binalen$e los oen$os flec$ores se calc%lan así,



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Binalen$e< los oen$os flec$ores se calc%lan así,



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'l eleen$o MC es no confore

's (osi!le deos$rar %e a%n%e el ca(o dedes(lazaien$os definido (or,

es$a!lece la con$in%idad de w en$re eleen$os< no

garan$iza< sin e!argo< la con$in%idad de las(rieras derivadas< e@ce($o en los nodos donde<na$%ralen$e< dichas derivadas $oan %n valorHnico2

'leen$o fini$o $riang%lar de



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'leen$o fini$o $riang%lar deTocher )5E7*

's$e eleen$o as%e %e el ca(o de des(laza/ien$os es$+ dado (or,

1 x y

x² xy y²x³ x²y xy² y³

I2 L2 Tocher< Anal-sis of (la$e !ending %sing$riang%lar eleen$s< Ph2 D2 Disser$a$ion< De($2of Civil 'ngineering< Universi$- of California<

Jer>ele-< California< 5E72



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.ee(lazando en el PT?



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Carga (%n$%al - los dosoen$os flec$ores %e

e%ili!ran el nodo i

Ma$riz cons$i$%$iva defle@i&n generalizada

#n$egraci&n n%érica %$ilizando las



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c%adra$%ras de a%ss Legendreso!re doinios $riang%lares

● David D%navan$< 4igh Degree 'fficien$ "-e$ricala%ssian %adra$%re .%les for $he Triangle<#n$erna$ional Io%rnal for N%erical Me$hods in

'ngineering<?ol%e 75< 58;< (ages 557/55:82● h$$(,(eo(le2sc2fs%2ed%=!%r>ard$Osrcd%navan$d%navan$2h$l

'n la $a!la la(recisi&n indica

http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/m_src/dunavant/dunavant.html

http://people.sc.fsu.edu/~jburkardt/m_src/dunavant/dunavant.html



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(recisi&n indicael grado del(olinoio %e se

in$egrae@ac$aen$e2

'n los ar$íc%loscien$íficos

%s%alen$e se$a!%lan los ide odo %es%en 52 "ine!argo en la

f&r%la sere%iere dividir(or 572 A%í los(esos -a se handividido (or 572



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●

'l eleen$o de Tocher es no confore< esdecir< no res(e$a la condici&n de con$in%idad dela derivada noral a lo largo de los ladosco%nes en$re eleen$os )(ero si conserva la

con$in%idad de los des(lazaien$os*

● La a$riz A del eleen$o de Tocher se v%elve

sing%lar c%ando los lados del $ri+ng%lo son(aralelos a los e=es x e y 2

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