Los sistemas de representación (II): axonometríaortogonal y oblicua

En la Unidad didáctica anterior hemos visto cómo el sistema diédrico nos permitía resolver problemas geométricos.Mediante sus proyecciones tenemos una representación precisa de las dimensiones de una figura situada en elespacio; pero la visión que nos ofrece este sistema no es lo suficientemente clara, resultan a veces demasiadoabstracta, de tal manera que, es difícil identificar un objeto real.Para subsanar esta deficiencia del sistema diédrico debemos recurrir al uso de las perspectivas, que nos ofrecen unavisión inmediata del contorno y la tridimensionalidad del objeto.Estos sistemas perspectivos, axonométrico y cónico, imitan la percepción humana, por lo que resulta complicadoobtener verdaderas magnitudes, o resolver problemas geométricos; sin embargo, nos ofrecen la posibilidad derepresentar la realidad tridimensional de un objeto a partir de sus vistas diédricas.

Mediante el sistema axonométrico, al superponer las tres proyecciones diédricas (alzado, planta y perfil) vamos aobtener una visión tridimensional de cualquier forma (plana, pieza, sólido, etc.)La principal finalidad del sistema axonométrico es facilitar al espectador (que puede desconocer el dibujo técnico) lacomprensión de los distintos elementos que conforman un proyecto: como ejemplo sirve la imagen superior: sin superspectiva isométrica sería difícil interpretarla, salvo que se conozcan los fundamentos del sistema diédrico.

1. Generalidades

El sistema axonométrico se basa en la proyección cilíndrica ortogonal u oblicua, sobre un plano principal y tresplanos auxiliares, por tanto, resulta más complejo que el sistema diédrico, ya que obtenemos cuatro proyecciones,una de ellas directa.Los tres planos auxiliares forman un triedro trirrectángulo; la relación de este respecto del plano principaldeterminan las distintas perspectivas axonométricas.En la imagen superior tienes un ejemplo de la disposición del triedro y las perspectivas que se originan.

1.1. Fundamentos

Mediante el sistema axonométrico podemos representar un objeto de forma clara, perodistorsionando la visión real que tendríamos de él.

El sistema axonométrico se basa en la proyección cilíndrica, ortogonal u oblicua.

Los planos que intervienen en este sistema son cuatro: tres planos perpendiculares entre sí, el triedrotrirrectángulo; y un plano de proyección principal (desde ahora plano del cuadro) en el que se apoya el triedroanterior, en un vértice o una de sus caras.

Las proyecciones de las aristas del triedro sobre el plano del cuadro son los ejes de la axonometría.

Cuando representemos una forma, objeto, pieza, etc.. la situaremos siempre el espacio que define el triedro, portanto, debemos proyectar ortogonalmente dicho objeto sobre las tres caras del triedro, para después proyectarlas(de forma ortogonal u oblicua) sobre el plano del cuadro. Las dos proyecciones son, en todo caso, cilíndricas.En las siguientes animaciones puedes ver cómo se originan las proyecciones de los ejes axonométricos.

Actividad

Cuando proyectamos sobre el plano del cuadro un eje axonométrico su dimensión queda reducida, originándose unarelación de proporcionalidad entre ésta y la real.

En la axonometría ortogonal la reducción afecta a los tres ejes, en la animación inferior puedes ver cómo se reduceun segmento contenido en el eje Z.

En la axonometría oblicua la reducción solamente afecta a un eje.

En la animación inferior puedes ver cómo se origina la reducción de un segmento contenido en el eje Y.

1.2. Elementos

Vamos a explicar los siguientes elementos fundamentales del sistema axonométrico: el triedro trirrectángulo, laproyección cilíndrica (ortogonal u oblicua), el plano de proyección, el triángulo de las trazas y el ángulo dependiente.

1.3. Coeficiente de reducción

En el sistema diédrico vimos que cuando una recta es paralela a un plano de proyección al proyectarla sobre dichoplano obtenemos su verdadera magnitud; si la recta es oblicua las proyecciones tienen una longitud menor a la real,es decir, su magnitud queda reducida.En el sistema axonométrico una longitud contenida en los ejes axonométricos, proyectada sobre el plano del cuadro,sufre una determinada reducción en cada eje.

Esta reducción viene determinada por el coeficiente de reducción, que es la relación entre la medida real de unsegmento situado en el espacio y la de su proyección sobre el plano del cuadro.

Para poder representar cualquier magnitud real, necesitaremos conocer la escala proyectiva, llamada escalaaxonométrica, que se calcula para cada eje axonométrico, según el ángulo que este forme con el plano del cuadro.

Esta escala gráfica se obtiene multiplicando el valor de la unidad real por el coeficiente de reduccióncorrespondiente.

El valor del coeficiente de reducción depende de la magnitud del ángulo que forma cada eje con elplano del cuadro.

En las axonometrías oblicuas, al estar una de las caras del triedro trirrectángulo contenida en elplano del cuadro, todo segmento contenido, o paralelo, a dicha cara, se proyectará en verdaderamagnitud. Por tanto, solamente se le aplicará el coeficiente de reducción a un eje.

Para calcular el coeficiente de reducción, en las axonometrías ortogonales, podemos emplear varios métodos:

Matemático. Mediante el coseno del ángulo que forma cada eje con el plano del cuadro.

Actividad

En isométrico mediante el tetraedro formado por la intersección de las aristas del triedrotrirrectángulo con un plano paralelo al plano del cuadro, también podemos determinar el coeficientede reducción:

Gráfico. La intersección (traza ordinaria) de una cara del triedro, con el plano del cuadro, forma 90º con laarista de la otra cara. Al abatir dicha cara, esta formará con su traza 45º.En la imagen inferior, en perspectiva isométrica, puedes ver cómo la traza de la cara XY del triedro, con el planodel cuadro, forma 90º con el eje Z. La cara XY abatida forma 45º con la traza XY; así mismo el eje Y forma 30ºcon dicha traza. Recuerda que las aristas del triedro (ejes de la isometría) se cortan ortogonalmente dos a dos.Podemos simplificar todo lo anterior construyendo dos semirrectas que formen 45º y 30º respectivamente conuna horizontal. Toda magnitud real colocada sobre la semirrecta del ángulo de 45º al proyectarse sobre el ladodel ángulo de 30º quedará reducida según el coeficiente 0,816.

Actividad

Existe otro método gráfico, que permite un trazadomás preciso; abatir el triángulo fundamental de lastrazas, mencionado en el apartado anterior. Esterecurso gráfico lo veremos en el siguiente curso.

En la imagen izquierda tienes lademostración gráfica de la reducciónde una magnitud real aplicando elcoseno del ángulo de pendiente (el queforma cada eje axonométrico con elplano del cuadro).Con la siguiente aplicación, cortesía deJuan José Romero Anaya(juanjoseromero@tekisuto.es), puedescalcular la reducción de una longitudreal según el ángulo de pendiente.

Como ejemplo comprueba la reducciónisométrica de distintas longitudes;recuerda que el coeficiente dereducción para este tipo deaxonometría es de 0,816 y que suángulo de pendiente (35º 16' ensexagesimal) debes pasarlo al sistemamixto: 35.26º.

Introduce la longitud real:

Introduce el ángulo de pendiente (sinº):

Calcular Limpiar

Longitud reducida:

Objetivos

2. Clases

Dependiendo de cómo se sitúe el triedro trirrectángulo respecto del plano del cuadro y del tipo de proyeccióncilíndrica empleado tendremos dos tipos de proyecciones axonométricas:

Ortogonal: el triedro trirrectángulo está apoyado sobre el plano del cuadro en su vértice, y usa la proyeccióncilíndrica ortogonal.

Oblicua: el triedro trirrectángulo tiene una de sus caras (plano XOZ) contenida en el plano del cuadro y lasotras dos perpendiculares a él. Usa la proyección cilíndrica oblicua.

En la imagen superior se muestra una pieza dada por sus vistas diédricas y representada por su perspectivaaxonométrica ortogonal y oblicua.

Las perspectivas son representaciones planas que expresan con claridad las tres dimensionespropias de las formas volumétricas.

Actividad

2.1 Ortogonal

Antes de desarrollar lo contenidos de este apartado vamos a repasar los fundamentos y elementos de laaxonometría ortogonal:

Las diferentes posiciones que el triedro trirrectángulo adopta respecto del plano del cuadro (ángulos de pendientes)originan tres tipos de perspectivas axonométricas ortogonales: isométricas, dimétricas y trimétricas.

Nosotros emplearemos la perspectiva Isométrica para representar figuras planas y sólidos.

Como vimos en el apartado anterior el coeficiente de reducción para cada uno de los ejes depende del ángulo queforme cada eje con el plano del cuadro. Considerando que la amplitud de dicho ángulo puede ser distinto para cadaeje, tenderemos varios coeficientes de reducción.

En la siguiente tabla tienes los coeficientes de reducción empleados con más frecuencia:

VALORES AXONOMÉTRICOS MÁS USUALES

Sistema EscalasCoeficientes

de ReducciónÁngulos entre ejes

X Y Z XOY XOZ ZOY

Isométrico 1 : 1: 1 0,816 0,816 0,816 120º 120º 120º

Dimétrico

1: 1/2 : 1 0,942 0,471 0,942 131º 25' 97º 10' 131º 25'

1: 1/3 : 1 0,973 0,324 0,973 133º 24' 93º 12' 133º 24'

1: 2/3 : 1 0,904 0,603 0,904 128º 35' 102º 50' 128º 35'

1: 3/4 : 1 0,883 0,662 0,883 126º 50' 106º 20' 126º 50'

Trimétrico

1: 1/2 7/8 0,872 0,498 0,996 168º 18' 92º 51' 98º 51'

1: 1/2 9/10 0,985 0,493 0,887 157º 95º 11' 107º 49'

1: 1/2 15/16 0,92 0,644 0,862 135º 105º 120º

1: 1/3 23/24 0,951 0,331 0,993 157º 28' 92º 16' 110º 16'

PERSPECTIVA AXONOMÉTRICA: se aplica coeficiente de reducción.DIBUJO AXONOMÉTRICO: no se aplica coeficiente de reducción.

Actividad

Actividad

CUADRADO AXONOMÉTRICO

Para facilitar el trazado en la axonometríadimétrica el ángulo desigual lo forman losejes X e Y.Así pues, el coeficiente de reducción esigual a los dos ejes, siendo distinto para eleje Z.En la imagen izquierda tienes un ejemplode cómo se disponen los ejes en laaxonometría dimétrica, la perspectiva delcuadrado queda representada como unrombo en el plano XOY y como unromboide en los planos XOZ y ZOY.

Objetivos

Pre-conocimiento

Las axonometrías ortogonales se emplean, preferentemente, para representar piezas industriales,en otras ocasiones, se usan para proyectar diseños arquitectónicos, como el que aparece en laimagen superior izquierda (banco de imágenes del ITE, Instituto de Tecnologías Educativas delMinisterio de Educación).Desde hace unos años las axonometrías ortogonales, sobre todo la dimétrica, se emplean en elámbito de los videojuegos ya que permite representar la realidad virtual desde un punto de vistabastante alto (casi a vista de pájaro). En la imagen superior central y derecha tienes dos ejemplosde videojuegos: Empire Earth y Los Sims para Facebook.

AV - Pregunta Verdadero-Falso

Verdadero Falso

2.2. Oblicua

El triedro está apoyado por una de sus caras en el plano del cuadro, dependiendo de qué cara sea, tendremos dostipos:

Perspectiva caballera: la cara XZ está contenida en el plano del cuadro.

Perspectiva planimétrica o militar: la cara XY está contenida en el plano del cuadro.

En la imagen superior tienes una perspectiva militar, observa cómo la planta está en verdadera magnitud, esto esasí ya que los ejes X e Y forman 90º.

Recordemos los fundamentos y elementos de la axonometría oblicua:

COEFICIENTE DE REDUCCIÓN. Se expresa numéricamente como razón o cociente: 1/2, 2/3 ó

Actividad

Perspectiva Caballera: se aplica al eje Y.Perspectiva Planimétrica o Militar: se aplica al eje Z.

La perspectiva planimétrica o militar seusa normalmente en diseños de obrasciviles o arquitectónicas, ya que ofreceuna visión en verdadera magnitud dela planta.

El nombre de esta perspectiva derivadel uso que hacían de la misma losingenieros y arquitectos militares.

En la imagen izquierda puedes ver eldiseño de una vivienda unifamiliarrealizada en este tipo de perspectiva.

Objetivos

AV - Pregunta de Elección Múltiple

magnitud?

La perspectiva Caballera o Frontal

La perspectiva Militar o Planimétrica

3. Representación

En el sistema diédrico obteníamos dos proyecciones, una en cada plano de proyección, y otra auxiliar, llamada deperfil.En el sistema axonométrico, al tener un plano de proyección más, se obtiene una cuarta proyección llamada directa,por ser su proyección inmediata sobre el plano del cuadro. Las otras tres proyecciones son secundarias, pues, comose explicó anteriormente, se proyectan perpendicularmente sobre los planos del triedro y luego de forma ortogonal uoblicua, sobre el plano del cuadro, dependiendo del tipo de axonometría.

En la imagen superior puedes ver un punto A situado en el espacio, entre los planos del triedro, y sus proyeccionesaxonométricas. También hemos proyectado otro punto B que junto con A conforman el segmento AB.

3.1. Notaciones

La correspondencia entre este nuevo sistema y el anterior es la siguiente:

Proyección plano XOY proyección horizontal PHP.Proyección plano XOZ proyección vertical PVP.PProyección plano YOZ proyección de perfil.

Así pues, para representar las proyecciones de un punto, recta o plano, usaremos las mismas notaciones que lasempleadas en el sistema diédrico, con la salvedad de la proyección directa que siempre va en mayúscula. Ejemplopunto A, recta M y plano P.

En el espacio: A, M y PProyección Directa: A, M y P.

Proyección plano XOY: a, m y P.

Proyección plano XOZ: a', m' y P'.

Proyección plano YOZ: a'', m'' y P''.

3.2. Sistema de coordenadas

El triedro trirrectángulo de referencia, de vértice O. En la axonometría ortogonal divide al espacio en ochotriedros u octantes. Como origen de coordenadas tenemos al vértice O y las aristas OX, OY, OZ representan los ejesdel sistema. Sus caras definen los planos coordenados o planos axonométricos: plano horizontal (XOY) y dosverticales (XOZ y ZOY). El primer triedro, zona ocupada por el observador, queda determinado por las direccionespositivas de las aristas, el resto queda conformado según se explica en a la siguiente animación:

Solamente vamos a representar, mediante coordenadas, los puntos situados en el primer diedro.

El sistema de coordenadas en Axonométrico que vamos a emplear es el mismo que usamos en el sistema diédrico,las coordenadas cartesianas (XYZ).

Podemos localizar cualquier punto, y definir su proyección directa, si describimos su posición con respecto a los tresejes X,Y, Z .

El origen: se sitúa en el vértice (O) del triedro. A partir de él el sentido puede ser positivo o negativo.El ancho: el eje X (coordenada desplazamiento) se extiende con su parte positiva hacia la derecha, a partir

de OEl alto: el eje Z (coordenada altura o cota), sentido positivo hacia arriba, a partir de O.La profundidad: eje Y (coordenada de alejamiento), sentido positivo hacia la derecha, a partir de O.

Representación de un punto por coordenadas.

En la representación axonométrica, sin coeficiente de reducción, de unpunto, dadas sus coordenadas, se sigue el procedimiento empleado enla imagen izquierda:

Actividad

1. Sobre cada eje axonométrico se coloca la coordenadacorrespondiente (sobre el eje X la coordenada X, etc.)2. Por cada punto determinado en un eje se trazan paralelas a losotros ejes (por la coordenada del eje X se dibujan paralelas a los ejesZ e Y).3. La intersección de dos paralelas determina la proyección secundariadel punto (paralelas a los ejes X y al Y determinan la proyecciónsecundaria a).4. Las paralelas trazada desde las proyecciones secundarias (a cadaeje restante) determinan en su intersección la proyección directa delpunto (las paralelas dibujadas por las proyecciones secundarias a y a'(a los ejes Z e Y respectivamente) determinan la proyección directa

A).

En la animación inferior puedes ver de manera detallada este procedimiento.

Necesitamos dos coordenadas, como mínimo, para poder definir la proyección secundaria de unpunto.

En la imagen izquierda tienes las coordenadasaxonométricas de los puntos A y B y los ejesisométricos X, Y, Z; tienes que dibujar lasproyecciones isométricas de los puntos dados ydel segmento M que pasa por dichos puntos.

Actividad

Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.

3.3. Paso de diédrico a Axonométrico

Para realizar un dibujo o perspectiva axonométrica podemos emplear las plantillas de dibujo o crear una retícula,llamada PAUTA AXONOMÉTRICA formada por las direcciones de los ejes axonométricos.

El origen de esta retícula es la pauta ortogonal, de estructura cuadrangular, cuyas direcciones son las de las vistasdiédricas del objeto a representar.

Así pues, al pasar del sistema diédrico al axonométrico, el cuadrado se adapta a los ejes axonométricos,transformándose en otro cuadrilátero (rombo o romboide). Para realizar un dibujo o perspectiva axonométricapodemos emplear las plantillas de dibujo o crear una retícula, llamada PAUTA AXONOMÉTRICA formada por lasdirecciones de los ejes axonométricos.

Cuando representamos piezas en perspectiva axonométrica, normalmente recurrimos a la isometría, ya que ladisposición de sus ejes facilita el trazado, ya sea con las plantillas de dibujo (los ángulos del cartabón coinciden conlos ejes isométricos) o mediante la PAUTA ISOMÉTRICA. En la imagen superior tienes un ejemplo derepresentación isométrica mediante el empleo de una pauta isométrica

Los procedimientos para pasar del sistema diédrico al sistema axonométrico los desarrollaremos conmayor detenimiento en los siguientes temas de esta unidada didáctica.

CUADRADO AXONOMÉTRICO. Para entender la estructura de las pautas axonométricas es necesario entendercómo se adapta un cuadrado a los ejes de este sistema (axonometría ortogonal u oblicua).

Axonometría ortogonal: se transforma en un ROMBO o ROMBOIDE. En la animación inferior puedes ver eldibujo isométrico de un cuadrado.

Actividad

Axonometría oblicua: se transforma en un CUADRADO y en dos ROMBOIDES. En la animación inferiorpuedes ver la perspectiva caballera de un cuadrado (coeficiente de reducción 1/2).

LA PAUTA ISOMÉTRICA:

Cuando pasamos de una retícula ortogonal (PAUTA DIÉDRICA) al sistema ISOMÉTRICO obtenemos una retículaformada a partir de rombos cuyos lados siguen las direcciones de los ejes, por tanto, la estructura de dicha pautaserá triangular (triángulos equiláteros).

En la animación inferior puedes ver la estructura de dicha pauta y cómo quedan dispuesta en ella las vistasdiédricas.

En la animación inferior puedes ver cómo se realiza un dibujo isométrico (sin coeficiente de reducción) de una piezadadas sus vistas diédricas: alzado, planta y perfil derecho, sobre una pauta isométrica.

En la imagenizquierda tienesrepresentada unapieza, según susvistas diédricas(planta, alzado yperfil derecho), sobreuna pauta ortogonal;tienes que realizar sudibujo isométricosobre la pautaisométrica de laderecha.

Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf.

4. QCAD (XII)

El dibujo de perspectivas isométricas es más sencillo cuando lo hacemos ayudado de una aplicación de diseñoasistido. Para empezar, el problema que se plantea con los coeficientes de reducción, aquí queda facílmente resueltodirectamente por el programa.

No obstante, debemos tener presente que QCad es un programa de dibujo en dos dimensiones, lo que nos lleva adibujar con el ordenador de forma similar a la que usamos al emplear el método tradicional de plantillas, compás,etc., sólo que tendremos algunas herramientas suplementarias que facilitarán la tarea.

4.1. Proyecciones isométricas

Veamos cómo usar la herramienta que nos permite convertir una proyección ortogonal (las diédricas) en otraisométrica dentro de la aplicación QCad.

En principio, debes tener claro que la herramienta que vas a estudiar no construye perspectivas de formaautomática, sino que convierte una proyección ortogonal en otra isométrica. En la siguiente figura puedes observarla función de convertir la vista diédrica del alzado de una pieza, en la proyección de la misma sobre el plano XZ.

La herramienta de proyección isométrica la encontramos en la parte inferior del menú principal deherramientas de la aplicación.

El proceso para obtener la proyección isométrica a partir de una ortogonal es el siguiente:

Las figuras obtenidas están compuestas por líneas comunes de QCad, y esto quiere decir que podemos hacercualquier tipo de edición con ellas: recortar, alargar, girar, cambiar de capa, etc.

4.2. Coeficiente de reducción

Ya sabes que al dibujar una figura en perspectiva isométrica, ésta sufre una reducción de 0,8165 aproximadamente.

Cuando trazamos una proyección isométrica en QCad, esta reducción se aplica de forma automática y no tendrásque preocuparte por este asunto, aunque debes tenerlo presente siempre que realices una de estas perspectivas.

Si deseas dibujar una isométrica sin la reducción, el proceso que deberás seguir es el de dibujarla normalmente (conreducción) y luego aplicar a esa figura la herramienta de edición Escalar, usando como coeficiente de reducción elque ya conoces de invertido.

En la imagen de arriba puedes ver que en la ventana para indicar el factor de reducción, podemos introducir unafórmula. En ella, para indicar una raíz cuadrada escribimos sqrt (del inglés square root) y usando los paréntesisnecesarios para establecer el orden operacional (igual que harías con una de las modernas calculadoras científicas).

La fórmula introducida es sqrt(3/2):

También podríamos haber escrito la expresión: 1/sqrt(2/3), que se corresponde con la expresión matemática:

Ambas expresiones, como sabes, son equivalentes.

En otros temas te hablaremos de forma detallada de las diferentes expresiones que puedes usar para introducirdatos numéricos en QCad.

4.3. Personalización de entidades

Para realizar los dibujos que vienen a partir de ahora será interesante que aprendas a ajustar las propiedades de lasentidades -cada una de las líneas trazadas- sin que tengamos que crear una capa específica con ellas.

Debes hacer visible la barra de herramientas Trazador en QCad, queactivarás en Ver > Barras de herramientas > Trazador.

En la siguiente imagen puedes apreciar los menús desplegados de lanueva barra que se incorpora a la barra superior en QCad

Observa en ella que en el primer desplegable seleccionamos el color,en el segundo, el grueso de línea y en el tercero, el tipo de línea.

Mediante esta barra puedes modificar las propiedades de todas lasentidades que traces después de haber hecho los ajustes, y dichaspropiedades prevalecerán sobre las de la capa en la que se encuentrela entidad o también si la cambias de capa.

Ten en cuenta que este menú no nos sirve para modificar las propiedades de las entidades ya dibujadas. Paramodificar propiedades en entidades que ya se encuentran dibujadas tendremos que acudir al menú deherramientas de edición (Edit) y seleccionar la herramienta Atributos, que abrirá una ventana de ajuste quepuedes ver en la siguiente imagen. Para proceder al cambio,

1. selecciona la(s) entidad(es) a modificar,2. pulsa sobre botón de la herramienta y3. haz los ajustes que desees.

1 2 3

4.4. Practica lo aprendido

1. Para practicar las proyecciones isométricas, realiza los siguientes ejercicios sobre figuras planas:

A. Dibuja los tres ejes isométricos para delimitar los planos de proyección. Crea una capa para ello.B. En la capa 0 dibuja un cuadrado de 20 cm de lado.C. Dibuja las tres proyecciones isométricas cuidando de que el resultado final sea parecido al que te mostramosen la siguiente imagen.

2. Construye una plantilla con un pautado ortogonal (para vistas diédricas) y otro isométrico siguiendo los pasossiguientes:

A. Traza los márgenes siguientes a un formato A4 (más adelante veremos la forma normalizada de trazar losmárgenes, pero ahora nos vendrá bien trazarlos con estas medidas)

B. Traza el siguiente cajetín de datos en la esquina inferior derecha de los márgenes del formato.

C. Traza una retícula ortogonal formada por 15 líneas verticales y 15 horizontales de 140 mm de longitudsituándola como se indica en la imagen.

D. Para la rejilla isométrica dibuja un cuadrado de 10 mm de lado con la diagonal y paralelas a ésta que ves enla siguiente imagen.

E. Trázale la vista de arriba para obtener la imagen siguiente (puedes borrar el cuadrado anterior del paso D,puesto que no se va a usar).

F. Mediante la opción Mover/copiar múltiple (herramienta de edición), copia 11 veces la figura del paso 2 paraobtener una imagen como la siguiente.

G. Mediante la opción Mover/copiar múltiple, copia 11 veces la figura del paso 3 para obtener una imagen comola siguiente.

H. Sitúa la rejilla isométrica hasta obtener el resultado final como el siguiente

Observa que para las rejillas hemos elegido un color gris para que no interfieran demasiado cuando dibujemos sobreellas.