LOS CUANTIFICADORES

CUANTIFICADOR UNIVERSAL CUANTIFICADOR EXISTENCIAL CUANTIFICADOR EXISTENCIAL ÚNICO NEGACIÓN DEL CUANTIFICADOR EXISTENCIAL

LOS CUANTIFICADORES

En lógica matemática, teoría de conjuntos y matemáticas en general, los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos o qué tipo de elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad (por ejemplo, pertenencia, equivalencia u orden).

ejemplo P(x) = x es menor que dos Esto podría particularizarse así:

“Existe un número real que es menor que dos” o generalizarlo diciendo: “Todos los números reales son menores que dos”.

En cualquiera de los dos casos, se especifica un conjunto donde está tomando valores la variable, para nuestro ejemplo, el conjunto de los números reales.

Tipos de cuantificadores

CUANTIFICACIÓN UNIVERSAL El cuantificador universal se utiliza para

afirmar que todos los elementos de un conjunto cumplen con una determinada propiedad. Por ejemplo:

Para todo x perteneciente a A, se cumple P(x).

Esta afirmación suele usarse como la equivalente de la proposición siguiente:

Se define el conjunto A, como el de los elementos x de U, que cumplen P(x).

ejemploSi tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B: Todo elemento x de A pertenece a B: Al ser A y B conjuntos diferentes como indica el diagrama, podemos decir que no todos los elementos y de B pertenecen a A, siendo esto una garantía suficiente para que dos conjuntos cualesquiera puedan ser diferentes: Es decir: no para todo elemento y de B se cumple que y también pertenezca a A.

CUANTIFICACIÓN EXISTENCIAL

El cuantificador existencial se usa para indicar que hay uno o más elementos en el conjunto (no necesariamente único/s) que cumplen una determinada propiedad. Se escribe:

Existe x en A que cumple P(x). Esta proposición suele interpretarse como la

equivalente de la proposición siguiente: El conjunto de los elementos x de A, que

cumplen P(x) es distinto del conjunto vacío.

ejemplo

Si tenemos dos conjuntos diferentes A y B, y A es un subconjunto de B: Existe al menos un elemento x de B que pertenece a A: Al afirmar que existe al menos un x que pertenece a B y pertenece a A, quiere decir que no todos los elementos de B pertenecen a A, al ser A y B conjuntos distintos, existe al menos un elemento y de B que no pertenece a A: Que podemos leer: existe al menos un elemento y en B, y este elemento y no pertenece a A.

CUANTIFICACIÓN EXISTENCIAL ÚNICA El cuantificador existencial con

marca de unicidad se usa para indicar que hay un único elemento de un conjunto A que cumple una determinada propiedad. Se escribe:

Se lee: Existe una única x elementos de A,

que cumple P(x).

NEGACIÓN DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES

Sea p(x) una función proposicional con extensión A, entonces:

La negación del cuantificador universal único es el cuantificador universal lo que se puede ver en el siguiente ejemplo:

Sean A el conjunto de estudiantes de un curso y x un alumno cualquiera perteneciente a A:

∃! xϵA|x < 18 significa: existe un único alumno en A menor de 18 años

La negación de esta proposición es, en palabras: no existe un único alumno en el curso A que sea menor de 18 años; esto equivale a decir, existen varios alumnos del curso A menores de 18 años, lo cual se representa con la simbología proposicional como:

∃xϵA|x < 18

Existe al menos un alumno del curso A que tiene menos de 18 años. En resumen:

∼ (∃! xϵA|x < 18) <=> (∃xϵA|x < 18)

EJEMPLO 1.- Expresar “Todo el mundo tiene suerte de vez en cuando” en cálculo de predicados.

Solución definiendo: B=”tiene suerte de vez en cuando”

y se denota por Bx ↔ x tiene suerte de vez en

cuando. La frase “todo el mundo” indica que

esto es cierto para todos los x. ∴ (∀x) Bx

EJEMPLO 2.- Expresar “todos los gatos tienen cola” en cálculo de predicados.

Solución: Hallar primero el ámbito del

cuantificador universal, que es “Si x es un gato, entonces x tiene cola” y se define como

Gx ↔ x es un gato Cx ↔ x tiene cola ∴ (∀x) Gx → Cx

 DECLARACIONES CUANTIFICADAS

EQUIVALENCIAS