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Productos notables . . . . . . . . . . . . . . . . 2Cuadrado de un binomio . . . . . . . . . . . . . 2Cubo de un binomio . . . . . . . . . . . . . . . 2Diferencia de cuadrados . . . . . . . . . . . . . 3Productos de la forma (x + a) (x + b) . . . . . . . 3Factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Lógica matemática . . . . . . . . . . . . . . . . 5Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . 6Lógica de predicados . . . . . . . . . . . . . . . 71. Cuantificadores universal y existencial . . . . . 72. Valores de verdad de expresiones con cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 . Proposiciones negadas . . . . . . . . . . . . 9

Uso de los diagramas de Venn en los conectivos lógicos . . . . . . . . . . . . . . . 10Relaciones lógicas en el cálculo de predicados . 12Medidas de posición: cuartiles, deciles y percentiles . . . . . . . . . . . . . . 14Cálculo de los cuartiles . . . . . . . . . . . . . 14Cálculo de los deciles . . . . . . . . . . . . . . 14Cálculo de los percentiles . . . . . . . . . . . . 14Correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Diagrama de dispersión . . . . . . . . . . . . . 16Correlación lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 18Interpretación de una correlación . . . . . . . . 21Probabilidad condicionada . . . . . . . . . . . 22Árboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Recorrido de un árbol . . . . . . . . . . . . . . 26

CONTENIDO

[ ]MATEMÁTICAS 32[ ]

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Capítulo 1

PRODUCTOS NOTABLESEn álgebra algunos productos ocurren con frecuencia, por lo que se les debe dar un tratamiento especial, con el propósito de que el estudiante aprenda a escribirlos rápidamente, sin hacer la multiplicación o división.

CUADRADO DE UN BINOMIO

(x + a)2 = (x + a) (x + a) = x2 + xa + ax +a2 = x2 + 2ax + a2

Luego el cuadrado de la suma de dos números reales es igual a la suma de los cuadrados de cada térmi-no, más el doble del producto del primero por el segundo .

(x - a)2 = x2 - 2ax + a2

Observamos que el cuadrado de la diferencia de dos números reales es igual a la suma de los cuadrados de cada término, menos el doble del producto del primero por el segundo .

Resuelve los productos siguientes:

1 . (a + b)2 2. (x +2y)2

3. (x - 3y)2 4. (x + 3y)2

5. (2x - y)2 6 . (2a + 2b)2

7 . (2a3 + 4)2 8 . (2x2 - y)2

9 . (3a - b)2 10. (2x + y)2

CUBO DE UN BINOMIO

(x + y)3 = (x + y)2 (x + y) = (x2 + 2xy + y2) (x + y) = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

(x - y)3 = (x - y)2 (x - y) = (x2 - 2xy + y2) (x - y) = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3

Resuelve los productos siguientes:1 . (2x + 2)3 2 . (2a + 2b)3

3. (3x + y)3 4 . (2a2 - b2)3

5 . (a2 - 3)3 6 . (x2 + xy - y2)3

7 . [(a - b)3 - (a + b)3]2 8 . (2x - 1)3

9 . (x/3 - 1/3)3 10 . (x2 - 4y)3

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DIFERENCIA DE CUADRADOS

(x + y) (x - y) = x2 - y2

Luego el producto de la suma de dos números reales por la diferencia de los mismos será igual a la dife-rencia de sus cuadrados .

Ejemplo: (x + 4) (x - 4) = x2 - 42 = x2 - 16


1 . (x + 2) (x - 2) 2 . (3x2 - 10)2 (3x2 + 10)2

3. (2x + y) (2x - y) 4. (a2 + b2)2 (a2 - b2)2

5 . (x + 1) (x - 1) 6 . (x + 5) (x - 5)

7 . (x - ½) (x + ½) 8 . (x2 - 2) (x2 + 2)

PRODUCTOS DE LA FORMA (x + a) (x + b)

(x + a) (x + b) = x2 + xb + ax + ab = x2 + (a+b)x + ab

Ejemplo: (x + 2) (x + 6) = x2 + (2 + 6)x + (2) (6) = x2 + 8x + 12


1 . (x + 3) (x + 5) 2 . (x - 2) (x + 5)

3 . (x - 2) (x - 10) 4 . (x + 4) (x + 6)

5. (x - 2y) (x - 5y) 6. (x - 1) (x + 2)

7 . (x + 3) (x - 11) 8 . (x - 9) (x + 3)

9 . (x - 12) (x + 8) 10 . (x - 2/3) (x + 5)

Capítulo 2

FACTORIZACIÓN

a. Factoriza los polinomios siguientes:

1 . ab + 2a + 3b + 6 2 . 15ax2 - 10ax

3 . 5x - 5 + ax - a 4 . x2 + 6x + 9

5 . 49 - 42a + 9a2 6 . 9x2 - 36

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7 . x2 - 12x + 36 8 . 16x2 - 25y2

9 . x2 - 121 10 . x16 - 4

b. Indica si las igualdades siguientes son verdaderas.

1 . (1 - a) (a + 1) = 1 - a2 2 . (m - 8) (m + 12) = m2 + 4m - 96

3 . (x3 + 6) (x3 - 8) = x6 - 2x3 - 48 4 . (1 + b)3 = 1 + 3b + 3b2 + b3

5 . (x + 1) (x - 1) = x2 - 1 6 . (x + 2)2 = x2 + 4x +4

7 . (x2 - 1) ÷ (x + 1) = x - 1 8 . (a2 - 4b2) ÷ (a + 2b) = a - 2b

9 . (11 - ab)2 = 121 - 22ab + a2b2 10 . (a2 + 8) (a2 - 7) = a4 + a2 - 56

Capítulo 4

Resuelve los problemas siguientes:

1 . El perímetro de un rectángulo mide 232 cm . El rectángulo mide 36 cm de ancho . ¿Cuánto mide el largo del rectángulo?

2. En un rectángulo su base mide el doble de la altura. Si su base mide 8 cm. ¿Cuál es su área y su perímetro?

3. Calcula el área de la figura siguiente:

4. ¿Cuál es el área de un triángulo cuya base mide 10 cm y su altura 16 cm?

5. ¿Cuál es la base de un triángulo si la altura tiene 40 cm y su área es de 200 cm2?

6. Halla el área de un rombo si sus diagonales miden 10 cm y 15 cm?

7. Halla el área de un triángulo inscrito en una circunferencia de radio 3.5 cm y los lados del triángulo son 5, 6, 7 cm .

8. Si el volumen de un cubo es de 216 cm3. Verifica si la arista mide 6 cm. y su área es de 36 cm2 .

9. Un cubo y una esfera miden 2.40 m de arista y de diámetro, respectivamente. Determina, ¿cuál es la diferencia de sus superficies y su volumen?

10 . Halla la arista de un cubo sabiendo que tiene un área de 400 cm2 .

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4 cm

4 cm 4 cm


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Capitulo 5

CONJUNTOS

1. Con los conjuntos: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {1, 2, 4, 7} B = {2, 3, 4, 6} C = {2, 6, 7, 8}

Haz las operaciones siguientes:

a . (A B= C b. A - (B Δ C)

c. A Δ (B C) d. (A - B) Δ C

e . A' (B - C) f . (A' B') - C

g. (A Δ B) - C h. (B - C) Δ A

i . (A B) - C' j. (C - A) Δ B'

2. Con los conjuntos: U = {a, b, c, d, e, f, g, h , i, j, k} A = {b, d, e, g, h} B = {a, d, e, i} C = {a, d, g, j}

Haz las operaciones siguientes:

a . (A B) C b. A Δ (B - C)

c . B' - (A C) d . (A B) - (B C)

e. A' Δ (B - C') f . C - (A Δ B)

LÓGICA MATEMÁTICA

Haz las tablas de verdad siguientes:

1. (p ˅ q)' (p'˄ q')

2 . [(p q) ˄ (q r)] (p r)

3. [p ˄ (q ˅ r)] [(p ˄ q) ˅ (p ˄ r)]

4 . (p q) (p' ˅ q)

5. (p ˅ q) ˄ (p r)

6 . [(p q) ˄ q'] p'

7 . [(p q) ˄ p] q

8. (p ˄ p) p

9 . [(p' q) ˄ q] p'

10 . [(p q) ˄ (r s)] [(q' ˅ s') (p' ˅ r')]

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Capítulo 9

NÚMEROS COMPLEJOS

En parejas investiguen la adición y el producto de un número complejo c con su conjugado c. El valor absoluto de un número complejo y cómo se define la raíz cuadrada de un número real negativo. Den dos ejemplos de cada uno.

1. Representa gráficamente:

a . M = 1 + 3ib . N = 3 - 2ic . P = - 3 - 4id . Q = 0 - 3ie . R = - 4 + 2i

2. Suma

a . 4i + (- 2i)b . (1 - 3i) + (-3 + 3i)c . (-3 + 6i) - (5 +2i)d . 4i - (5 - 2i)

3. Multiplica

a . (3 - 5i) (2 + 4i)b . (-1 - 2i) (4 + 5i)c . (5 - 2i) (5 + 3i)d . (-3 - 4i) (4 + 3i)

4. Divide

a . 6 + 2i / 1 - 3ib . 3 + i / 3 - 3ic . 10 + i / 2 - id . 1 / 2 - i

5. Resta

a . (8 - 3i) - (5 + i)b . (9 - 3i) - (15 - 4i)c . 12 - (5 - 2i)d . (5 + 7i) - (-2 - 4i)

INVESTIGA

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LÓGICA DE PREDICADOSEs una ampliación de la lógica proposicional porque provee métodos para determinar la verdad o false-dad de las proposiciones . Predicado es la expresión que resulta de reemplazar una variable booleana en una proposición por una expresión que al evaluarla dé verdadero o falso. Se introduce en la estructura interna de las proposiciones, distinguiendo en ellas predicados, individuos (constantes y variables) y cuantificadores.

También se llama lógica cuantificacional, porque trata acerca del uso correcto de los cuantificadores y lógica de funciones, porque en ella tiene un papel fundamental el concepto de función proposicional .

1. CUANTIFICADORES UNIVERSAL Y EXISTENCIAL

Hasta ahora solo hemos considerado proposiciones falsas y verdaderas. En matemáticas se requiere a veces de tres tipos de expresiones.

a) Verdadera b) Falsa c) Indistintas o abiertasEjemplos: a) 3 + 5 = 8 b) 2 + 5 = 8 c) x + 7 =10

Observemos que la expresión abierta puede ser verdadera o falsa, dependiendo de la sustitución que se haga para x .

Aplicaremos ahora el estudio de la lógica a las expresiones abiertas. Para esto vamos a cuantificar las variables, diciendo que la expresión será verdadera para todos o algunos de sus valores posibles.

Ejemplos:1) En la expresión 2x – 7x = 9x, para hacerla verdadera diremos: para todo x, 2x + 7x = 9x2) La expresión x + y = y + x, se convierte en verdadera al escribir: para todo x y todo y, x + y = y + x

Cualquier cuantificador de la forma para todo, todo, para cada o cada, se le llama cuantificador univer-sal y se simboliza así:

En los ejemplos anteriores tendremos: 1) x, 2x +7x = 9x 2) x y, x + y = y + x

Los cuantificadores de la forma existe, alguno, o existe por lo menos uno se les llama cuantificadores existenciales y se simbolizan así: $ (que significa existe).

Ejemplo: 3x + 2 = 11, para convertir la expresión en verdadera escribimos:

Existe una x tal que 3x + 2 = 11, observamos que es verdadera para un valor de x, (x = 3), aunque no es verdadera para otros valores de x.

1. Cambia cada una de las expresiones indistintas siguientes por una verda-dera.

a) 3x + 1 = 1 + 3x

b) Dos triángulos son congruentes .

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c) 3x + 2y = 2y + 3x

2. Convierte cada una de las expresiones abiertas en una verdadera.

a) 2x + 3 = 7

b) 3y < 12

c) 3x + 3 = 2x + 7

2. VALORES DE VERDAD DE EXPRESIONES CON CUANTIFICADORES

Cuando hablamos de una expresión estamos suponiendo la existencia de un conjunto universal y por lo tanto la existencia de un conjunto de valores posibles de la variable. Al conjunto se le llama dominio de la variable y los valores de verdad de las expresiones con cuantificadores pueden variar cuando cambian los valores de la variable.

Ejemplo:En la proposición x p (x) en donde p (x) es: x = 2, vemos que: x, x =2, es una proposición con un cuantificador universal. Si en el conjunto universal fueran todos los números enteros, la proposición sería falsa. Pero si el conjunto universal es el conjunto {2}, la proposición es verdadera. Por lo que podemos decir que una proposición que contiene un cuantificador universal es verdadera sí y solo sí el dominio de la variable, siempre es igual al conjunto universal correspondiente al problema.

Cuando se utiliza el cuantificador existencial, la proposición será verdadera sí y solo sí el dominio de la variable no es el vacío. O sea que hay por lo menos un valor de la variable que hace que la proposición sea verdadera.

Ejemplo:$ x tal que x2 – 4 = 0, en donde el conjunto universal es el conjunto de todos lo números reales y vemos que es verdadera, porque 2 es un valor de x que hace verdadera la expresión. Si analizamos la propo-sición x p (x), observamos que la expresión p (x) se llama predicado. En gramática, el predicado es la parte de la oración que dice algo del sujeto .

En síntesis podemos decir que en lógica matemática dar un predicado es establecer una función que produce una proposición siempre que le demos un elemento del universo, o sea, una función proposición valuada con dominio U. La función la denotamos por p (x). La variable x en la expresión p (x) se llama variable libre del predicado .

En tanto x varía en el universo los valores de verdad p (x) pueden variar. Al contrario podemos decir que la proposición x p (x) tiene un significado fijo y un valor de verdad que no varía con x. Así la variable x en x p (x) se llama variable acotada porque está acotada por el cuantificador .

También pueden ser predicados las que son funciones de más de una variable, de más de un universo del discurso y en estos casos el uso de varios cuantificadores resulta natural.

Ejemplos: 1. Consideremos la proposición: x $ y (x + y = 0), en donde el universo son los números reales. Para analizarla vamos a considerar una x fija, entonces $ y [x + y = 0] es verdadera, porque al elegir y = -x obtenemos x + (-x) = 0. Por lo que podemos decir que “x + y = 0” es verdadero o que $ y [x + y = 0] es verdadero para toda x.


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2. Consideremos la proposición:$y x [x y = 0], en donde el universo son los números reales. Para analizarla vamos a considerar una y fija y dos casos, entonces x [ x y =0]. Si y = 0, esta proposición es verdadera. Pero si x = 0 la proposición es falsa . Por lo tanto x [ x y = 0] es verdadero si y solo si y = 0.

3. PROPOSICIONES NEGADAS

Cuando la negación afecta al cuantificador, estamos en presencia de una proposición negada.

Ejemplo: Universal afirmativa: todos son inteligentes . Universal negativa: ninguno es inteligente . Existencial afirmativa: algunos son inteligentes . Existencial negativa: algunos no son inteligentes .

Las negaciones de estas proposiciones son: No todos son inteligentes. No es cierto que ninguno es inteligente. No es cierto que algunos son inteligentes. No es cierto que algunos no son inteligentes.

En tu cuaderno, realiza lo que se te indica:

1. Determina el valor de verdad de las proposiciones siguientes, en donde el universo son los números reales.

a) x $ y [ x y = 1] b) m $ n [2n = m]

c) x $ y [x y = 0] d) m $ n [2m = n]

e) x y [(x + y)2 = x2 + y2]

2. Determina los valores de verdad de las proposiciones siguientes.

a) x, x + 4 = 8 f) $x tal que 4x – 3 = 17

b) x, 2x – 1 = 5 g) $x tal que x2 – 9 = 0

c) x, 4x + 5x = 9x h) $x tal que x + 3 = 9

d) x, x + 2x = 3x i) $x tal que 3x + 2 = 11

e) x, x + 5 = 8 j) $x tal que x + 1 = 0

3. Escribe cada una de las expresiones abiertas siguientes, como una proposición verdadera empleando un cuantificador.

a) 3x + 9= 18 b) 2y < 5

c) (3x) (1) = 3x d) 2x + 3x = 5x

e) x2 – 16 = 0 f) 2x + 3 = 13

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USO DE LOS DIAGRAMAS DE VENN EN LOS CONECTIVOS LÓGICOS

Para ilustrar las relaciones entre varias proposiciones utilizaremos los diagramas de Venn .

Ejemplos:1) Para demostrar el razonamiento directo por medio de diagramas de Venn,

recordemos que:

Procedimiento: 1° Se traza el diagrama para ilustrar la

premisa p q2° La siguiente premisa es p y se ilustra

colocando una x dentro del círculo p .

Como la conclusión es q y el diagrama mues-tra una x dentro de q, no existe otra forma de trazar la figura en donde x quede fuera de q.

2) Demostrar la ley de transitividad por medio de Diagramas de Venn.

Recordemos que:

1° Se ilustra p q2° Se ilustra q r3° Al hacer q r nos resulta la conclusión

p r, porque p queda dentro de r .

1. Utiliza diagramas de Venn para ilustrar las relaciones siguientes.

a) ~ p Ù q b) ~p

c) p ~ q d) ~ p v ~ q

e) [(p q) Ù ~ q] ~ p

p qp

\q

p qq r

\p r

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conjunción disyunción

implicación equivalencia

p Ù q p v q

p q p q


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2. Niega las proposiciones siguientes.

a) Ninguno es estudioso .

b) Todos los enteros son positivos.

c) Algunos enteros son negativos.

d) Algunos no son estudiosos .

e) Todos los cuadrados son rectángulos .

3. Abstrae la forma lógica de las proposiciones siguientes.

a) Si Arturo viene, todos salimos.

b) Leibnitz era racionalista y Descartes también.

c) Si Lorena y Virginia no se callan, Miguel no cantará.

d) Andrea y José Luis viajarán si y solo si Cristina cobra la herencia.

e) Todos son guatemaltecos, pero Ingrid no .

4. Interpreta cada fórmula, describiendo cada paso.

a) (x) [($y) (A(x, y)) (z) B (x, y, z)]

b) (x) (y) [A(x, y) v (F(x) Ù G (f(x, y))]

c) ~($x) A (x, y) v (y) A (y, x)

d) ~ x p (x) $x [~p (x)]

e) x p (x) ~$x [ ~ p (x)]

Para concluir, diremos que dos proposiciones compuestas son lógicamente equivalentes si y solo si p q es una tautología y que también p implica

lógicamente q siempre y cuando p q es una tautología.


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RELACIONES LÓGICAS EN EL CÁLCULO DE PREDICADOS.

x y p (x, y) y x p (x, y) $x $y p (x, y) $y $x p (x, y)

$x y p (x, y) y $x p (x, y) ~ x p (x) $x [~p (x)]

~ $x p (x) x [~ p (x)] x p (x) ~ $x [~ p (x)]

$x p (x) ~ x [~ p (x)]

La base de la lógica radica para De Mórgan, en relaciones de inclusión o exclusión total o parcial entre clases.

Ejemplo: Todos los x son y.

Primera serieEn los espacios en blanco, responde las preguntas siguientes.

1 . ¿Qué es la lógica de predicados?

2. ¿Qué son los cuantificadores universales?

3. ¿Por qué se le llama lógica cuantificacional a la lógica de predicados?

4. ¿Qué son los cuantificadores existenciales?

5. ¿Cuándo es verdadera una proposición que contiene un cuantificador universal?

Segunda serieEscribe una de las proposiciones abiertas siguientes, como una proposición verdadera emplean-do un cuantificador. 1) 2x – x = x

2) x2 – 2 = 0

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3) 3y < 18

4) x + 3 = 21

5) (2x) (2) = 4x

Tercera serieNiega las proposiciones siguientes.

1. Todos los escolares viajan en bus.

2 . Algunos triángulos tienen un ángulo de 90° .

3. Todos los naturales son positivos.

4 . Ninguno es amable .

5 . Algunos son generosos .

Cuarta serieDetermina el valor de verdad de las proposiciones siguientes, si U = Z.

a) $ y x [xy = 1]

b x $ y [(x2 + 1) y = 1]

c) n $ m [m + 1 = n]

Quinta serieUtiliza diagramas de Venn para ilustrar las relaciones siguientes.

1 . (p q) r

2. p v (q v r)

3 . p Ù q

4 . p q

5 . (p q) (~ q ~ p)


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MEDIDAS DE POSICIÓN: CUARTILES, DECILES Y PERCENTILES

Estos valores son de la misma familia de la mediana, por lo que para calcularlos en las distribuciones de datos agrupados en intervalos, podemos utilizar la fórmula de la mediana, solo que el total de los datos en lugar de dividirlo entre dos, lo dividimos entre 4 para los cuartiles; entre 10 para los deciles y entre 100 para los percentiles o centiles .

Así podemos decir que el decil que coincide con la mediana es el cinco (D5), el percentil es el 50 (P50) y el cuartil es el 2 (Q2) .

En parejas investiguen las medidas de posición en el libro de Matemáticas de 2º. Básico.

CÁLCULO DE LOS CUARTILES

Son los valores que dividen los datos en cuatro partes iguales. Estos valores representados por Q1, Q2 y Q3, se llaman primero, segundo y tercer cuartil .

Para calcular los cuartiles, se utilizan las fórmulas:

CÁLCULO DE LOS DECILES

Si en lugar de dividir la distribución de frecuencias en 4 partes iguales la dividimos en 10 partes iguales, tendremos 9 puntos de división, correspondiendo a cada punto un valor que es un decil. Así el primer decil corresponde al valor por debajo del cual está el 10% de las observaciones, para el segundo el 20% y así sucesivamente.

Para calcularlos usaremos la fórmula:

CÁLCULO DE LOS PERCENTILES

Si dividimos el número total de los casos de una distribución de frecuencias en cien partes iguales, obte-nemos noventa y nueve puntos, llamados percentiles o centiles. El percentil que coincide con la mediana es cincuenta; el percentil veinticinco es igual al cuartil uno; el percentil setenta y cinco al cuartil tres, el percentil sesenta es igual al decil seis .

El percentil P de una distribución de frecuencias agrupadas en intervalos, es el valor tal que el P por ciento de los elementos u observaciones tienen un valor inferior a ese valor.

El percentil 80 se define como el valor de la variable que deja bajo si el 80% de los casos y sobre si el 20%

Ejemplo:Si el percentil ochenta de una distribución de frecuencias de una prueba objetiva de Estadística es de 87.5; este resultado lo interpretaremos diciendo que el 80% de los estudiantes han obtenido 87.5 puntos o menos y el 20% restante arriba de 87.5 puntos.

Para calcularlos usaremos la fórmula:

INVESTIGA

Q1 = L + (

N/4 - faa ) i

fQ1

Q2 = L + (

2N/4 - faa ) i

fQ2

Q3 = L + (

3N/4 - faa ) i

fQ3

Dx = L + (

Nx/10 - faa ) i

fDx

Px = L + (

Nx/100 - faa ) i

fPx


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En donde:x es el percentil buscado y fpx la frecuencia absoluta del intervalo en donde se encuentra el percentil.

1. Halla el cuartil uno, cuartil dos y cuartil tres de la distribución de frecuen-cias siguiente de una evaluación de Biología.

X 58 - 65 66 - 73 74 - 81 82 - 89 90 - 97f 1 5 15 10 9

2. Halla el cuartil uno, cuartil dos, cuartil tres y la desviación cuartil de la distribución de frecuencias siguiente de 60 trabajadores de una empresa, según su edad .

X 19 - 23 24 - 28 29 - 33 34 - 38 39 - 43 44 - 48f 15 16 13 10 5 1

3 . Si el Q3 = 7 y el Q1 = 4

a. Halla la desviación cuartil. b . Halla la mediana si ésta es igual a: Md = Q1 + QD c . Comprobando, halla el cuartil tres, si: Q3 = Md + QD

4. Halla el cuartil uno, cuartil dos, cuartil tres y la desviación cuartil de la distribución de frecuencias siguiente .

X 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 99f 1 6 8 7 8

5. Halla los deciles tres, cuatro, seis y ocho de la distribución del inciso 1.

6. Halla los deciles cinco, siete y nueve de la distribución del inciso 2.

7. Halla los deciles uno, dos y cinco de la distribución del inciso 1.

8. Halla los percentiles cuarenta, sesenta y cinco y setenta y dos del inciso 1.

9. Halla los percentiles treinta y cinco, y ochenta del inciso 2.

10. Halla los percentiles treinta, sesenta y ochenta y cinco del inciso 4.

11 . El peso de 30 alumnos de una clase, expresada en libras, es la siguiente:

166 150 152 153 151 157 169 153 156 154 155 153 160 161 153 153 145 156 154 154 152 153 156 153 145 154 157 158 150 160

a. Calcula el cuartil dos y tres. b. Encuentra la desviación cuartil. c. Halla los deciles tres, seis y nueve. d. Halla los percentiles cuarenta y setenta.

ACTIVIDAD


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12 . Los punteos obtenidos por 44 alumnos en un examen de Ciencias Sociales de 3º . Básico .

68 74 90 87 89 91 92 93 99 100 98 94 82 92 90 91 92 93 96 98 96 91 98 94 87 84 91 100 77 79 87 85 83 89 87 85 98 95 77 80 91 84 87 85

a. Calcula el cuartil uno y dos. b. Encuentra la desviación cuartil. c. Halla los deciles dos, cinco, siete y nueve. d. Halla los percentiles veinte, treinta, sesenta y noventa.

CORRELACIÓN

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

El descubrimiento de la existencia de una relación no dice mucho acerca del grado de asociación o co-rrelación entre dos variables. Muchas relaciones son estadísticamente significativas; algunas expresan una correlación perfecta o exacta . Por ejemplo: sabemos que la estatura y el peso de las personas están asociados, ya que mientras más alta es una persona su peso tiende a aumentar. Pero hay excepciones a la regla, ya que algunas personas altas pesan muy poco y algunas personas bajas pesan demasiado.

Las correlaciones varían respecto a su fuerza y se pueden visualizar diferencias en las fuerzas de la co-rrelación por medio de un DIAGRAMA DE DISPERSIÓN, que es una gráfica que nos muestra la forma en que los puntajes de dos variables cualesquiera X y Y están dispersas. Si x e y son dos variables estadís-ticas de un mismo fenómeno, el par (x, y) es una variable estadística bidimensional; los valores xi e yi de x e y , y sus frecuencias forman la distribución bidimensional.

Así a cada elemento de una muestra de tamaño N se le puede hacer corresponder un par de números . Los números de cada par son las medidas o valores correspondientes a determinadas características o aspectos que tienen los elementos de la muestra .

En la gráfica de los pares ordenados de datos de dos variables que están en un sistema de ejes coorde-nados . Los pares de números asociados a los N elementos de la muestra se representan por:

(X1 , Y1), (X2 , Y2), (X3 , Y3)... (XN , YN)

• En donde x, que es la variable de entrada se grafica en el eje horizontal y la variable de salida y, se grafica en el eje vertical.

• Los puntos de coordenadas (xi, yi) forman la nube de puntos de la distribución (x, y).

Ejemplo: Si la muestra está constituida por N personas, a cada persona se le hará corresponder dos números: uno que mide la estatura y otro que mide el peso. Así el conjunto de valores X1, X2 ,... XN , representan las diferentes medidas de estatura y el conjunto de valores Y1, Y2 ,... YN , las diferentes medidas de peso .

Nota: al hacer un diagrama de dispersión, se deben establecer las escalas de modo que el rango de los valores y a lo largo del eje vertical sea igual o más corto

que el rango de los valores x a lo largo del eje horizontal.


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Con frecuencia se puede describir a la correlación como positiva o negativa respecto a la dirección. Una correlación positiva nos indicará que los entrevistados que obtienen puntajes altos sobre la variable X también tienden a obtener puntajes altos sobre la variable Y, los entrevistados que obtienen puntajes bajos sobre X también tienden a obtener puntajes bajos sobre Y.

Cuando dos variables X y Y se correlacionan positiva o negativamente, los puntos correspondientes a los diagramas de dispersión quedan encerrados en un óvulo inclinado.

Ejemplos:

correlación positiva correlación negativa

La correlación es usada para determinar la confiabilidad y validez de pruebas o instrumentos de medición.

Haz el diagrama de dispersión:

a) Cuando la variable X toma los valores 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 y 8 y la variable Y, los valores 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 3, 5, y 5.

b) Cuando la variable X toma los valores 1,1, 2,2,2, 3,3,3, 4,4,4, 5,5,5, 6,6,6, 7 y 7 y la variable Y los valores 4, 5, 3, 4, 5, 2, 4, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 2, y 2

c) Con el número de horas de estudio, X, en comparación con la calificación que se obtuvo en una evaluación, Y.

x 2 5 1 4 2f 80 80 70 90 60

d) Demuestra que al dibujar la distribución estadística bidimensional (x, y) que toma los valores (xi, yi) que están en las parejas ordenadas siguientes: (xi, yi) = (8,7), (13,6), (18,5), (4,6), (1,6), (21,2), (8,10), (16,5), (1,4), (2,3), (20,3), (13,8), (15,7), (6,8), (6,9), (16,6), (2,5), (4,4), (11,7), (3,6), (6,7), (14,5), (4,8), (17,7), (9,9), (10,9), (7,9), (18,3), (3,4), (11,8), (6,6), (9,7), (2,6), (12,9), (19,1), (19,3) . La correlación parece ser de tipo parabólica .

Si la elipse que encierra los puntos de un diagrama de dispersión tiene el diámetro menor muy ancho, la relación entre las dos variables es muy débil, pero si el diámetro menor es angosto la relación entre las dos variables será fuerte. Podemos decir entonces, que la fuerza de la correlación entre X y Y aumenta a medida que los puntos de un diagrama forman al estrecharse más una línea recta que baja por el centro de la gráfica.

Y

X

Y

X

ACTIVIDAD


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Ejemplos:1. Diagrama de dispersión, según su correlación.

Correlación débil Correlación fuerte

Correlación débil Correlación fuerte

No hay correlación

Hay dependencia estadística o correlación entre x e y, si los valores xi, tienen

influencia en los valores yi, pero no los determina totalmente.

2. Diagramas de dispersión que representan una correlación positiva entre la preparación y el ingreso y una correlación negativa entre la preparación y el prejuicio.

Nota: si al crecer x, crece y, la correlación es directa; si y decrece, es inversa. Si entre x e y no hay ninguna relación, x e y son incorreladas. Si los puntos de (x, y) están

distribuidos en torno de una curva y = f(x), las x e y están correladas y su dependencia estadística es y = f(x). Si esta curva es una recta, se le llama recta de regresión y la

correlación es lineal.

CORRELACIÓN LINEAL

El coeficiente de correlación lineal r es la medida numérica de la intensidad de la relación lineal entre dos variables. Se llama lineal porque la representación gráfica de Y es una recta.

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

14,00012,00010,0008,0006,0004,0002,000

0

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

ING

RE

SO

$

AÑOS DE ESTUDIO (A)

140120100806040200

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

PR

EC

IO

AÑOS DE ESTUDIO (B)

alto

bajo


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Coeficiente de correlación de Pearson (r)

La fuerza de la relación lineal entre dos variables cuantitativas se estudia por medio del cálculo del coefi-ciente de correlación de Pearson. Este coeficiente oscila entre -1 y +1.

Para medir la relación entre dos variables se calcula el coeficiente de correlación lineal r mediante la expresión:

En donde N es el número de pares de datos y el valor de r es un número que satisface las desigualdades: -1£ r £ 1

También se puede calcular con la fórmula: En donde: x = x - x e y = y - y.

El coeficiente de correlación lo podemos interpretar de acuerdo con los casos siguientes:

1 . Si r es positiva, la correlación entre las variables es positiva . 2 . Si r es negativa, la correlación entre las variables es negativa . 3 . Si r = 0, no existe relación lineal entre las variables. 4 . Si r = 1, la correlación positiva es perfecta . 5 . Si r = -1, la correlación negativa es perfecta . 6. Si 0.90 < r < 1 ó –1 < r < 0.90 la correlación es excelente . 7. Si 0.80 < r < 0.90 ó –0.90 < r < 0.80 la correlación es aceptable . 8. Si 0.60 < r < 0.80 ó –0.80 < r < -0.60 la correlación es regular . 9. Si 0.30 < r < 0.60 ó –0.60 < r < 0.30 la correlación es mínima .10. Si 0 < r < 0.30 ó –0.30 < r < 0 no hay correlación .

Podemos observar, con respecto al grado de asociación, que mientras más cerca esté de 1.00 en una u otra dirección, mayor es la fuerza de la correlación. En vista de que la fuerza de una correlación es inde-pendiente de su dirección, podemos decir que –0.10 y +0.10 son iguales en tanto a la fuerza (ambas son muy débiles) y que –0.95 y +0.95 también tienen igual fuerza porque las dos son muy fuertes.

Gráficamente sería

r = N S (xy) - Sx Sy

(N Sx2 - (Sx)2) (N(S y)2 - (S y)2)

r = Sxy

(Sx)2 (S y)2

0r = 1

0r = -1

00 < r < 1

0-1 < r < 0

0r = 0


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La correlación lineal perfecta ocurre cuando todos los puntos están exactamente sobre una recta. Esta correlación puede ser positiva o ne-gativa, dependiendo de si crece o decrece a medida que x se incrementa .

Ejemplo:Con los datos siguientes calcularemos el coeficiente de correlación.

Al sustituir los datos en la fórmula del coeficiente, observamos que:

N = 13, S xy = 190, S x = 59, S y = 38, Sx2 = 297 y Sy2 = 132 .

r = 13 (190) - 59 (38)

[13 (297) - (59)2] [13 (132) - (38)2]

r = 2470 - 2242

(3861 - 3481) (1716 - 1444) r =

228 =

228 = 228 = 0 .71

380 (272) 103360 321 .5

Si r = 0 .71, ¿cómo es la correlación?

Utilizando la otra fórmula obtenemos el mismo resultado:

x = 4 .54 y = 2.92

Como: S xy = 17.79, S x2 = 29.21 y S y2 = 20 .92

Sustituyendo tenemos:

r = 17 .79 ¸ (29 .21) (20 .92)

= 17 .79 ¸ 611 .07

= 17 .79 ¸ 24 .72 = 0 .71

0 0

b)a)

x y x2 y2 xy2 1 4 1 23 2 9 4 63 3 9 9 94 1 16 1 44 2 16 4 84 3 16 9 124 4 16 16 165 2 25 4 105 3 25 9 155 4 25 16 206 3 36 9 186 5 36 25 308 5 64 25 40

59 38 297 132 190

x y x - x = x y - y = y xy x2 y2

2 1 -2 .54 -1 .92 4 .877 6 .45 3 .6863 2 -1 .54 -0 .92 1 .417 2 .37 0 .8463 3 -1 .54 -0 .08 0 .123 2 .37 0 .0064 1 -0 .54 -1 .92 1 .037 0 .29 3 .6864 2 -0 .54 -0 .92 0 .497 0 .29 0 .8464 3 -0 .54 0 .08 -0 .043 0 .29 0 .0064 4 -0 .54 1 .08 -0 .583 0 .29 1 .1665 2 0 .46 -0 .92 -0 .423 0 .21 0 .8465 3 0 .46 0 .08 0 .037 0 .21 0 .0065 4 0 .46 1 .08 0 .497 0 .21 1 .1666 3 1 .46 0 .08 0 .117 2 .13 0 .0066 5 1 .46 2 .08 3 .037 2 .13 4 .3268 5 3 .46 2 .08 7 .197 11 .97 4 .326

59 38 17.785 29.21 20.923

r = Sxy

(Sx)2 (S y)2


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INTERPRETACIÓN DE UNA CORRELACIÓN

Para interpretar un coeficiente de correlación hay que tener en cuenta por un lado su magnitud y por otro su signo. La magnitud se refiere al grado en que la relación entre las dos variables queda bien descrita con r, mientras que el signo se refiere al tipo de relación.

• Un coeficiente de correlación positivo entre las variables X e Y, indica la tendencia a aumentar los valores de Y cuando aumentamos los de X y a disminuir los valores de Y cuando disminuimos los de X.

• Un coeficiente de correlación negativo indica tendencia a disminuir los valores de Y cuando au-mentamos los de X y a aumentar los de Y cuando disminuimos los de X.

• Un coeficiente de correlación en torno a cero indica que el modelo de relación lineal entre esas va-riables no es válido. Que cuando aumentamos X, Y puede indistintamente aumentar o disminuir.

Por la magnitud del coeficiente de correlación decimos que si el módulo del coeficiente de correlación se sitúa entre 0 y 0.20, entonces es insignificante, si está entre 0.20 y 0.50 medio, entre 0.50 y 0.80 alto y a partir de 0.80 muy alto.

1. Para N = 6, S XY = 3605, SX = 108, SY = 195, SX2 = 2060 y SY2 = 6557. Calcula el coeficiente de correlación, comprueba que es igual a 0 .59 e indica, ¿cómo es la correlación?

2. Para N = 10 SX = 224, SY = 89, SX2 = 7658, SY2 = 1065 y SXY = 2790. Calcula el coeficiente de correlación y comprueba que es igual a 0.94.

3. El gerente de una empresa que se dedica a la venta y compra de aparatos eléctricos, considera que hay una correlación positiva entre las ventas y las compras de cinco sucursales que tiene la empresa. Calcula el coeficiente de correlación y determina si existe esa correlación positiva. (Datos en millones de quetzales) .

VENTAS 5 8 10 16 20COMPRAS 3 5 6 10 15

4. Seis estudiantes hacen lagartijas y sentadillas, según la tabla siguiente. Calcula el coeficiente de correlación .

ESTUDIANTES 1 2 3 4 5 6LAGARTIJAS 40 40 55 35 52 30SENTADILLAS 43 50 54 32 40 35

5. Comprueba si el coeficiente de correlación de Pearson para las puntuaciones de 15 sujetos en las variables X e Y es de 0.868.

x 9 12 6 9 7 9 2 9 7 3 10 6 11 4 13f 5 5 1 4 2 2 1 3 3 1 4 2 5 2 5

6. Con la tabla siguiente, demuestra que el coeficiente de correlación es igual a 0.96.

x 1 2 2 .5 3 4 4 .5 5 6y 1 .5 2 .2 2 2 .5 4 .5 4 5 5

ACTIVIDAD


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7. Demuestra que el coeficiente de correlación entre la masa corporal y la fuerza de 5 alumnos, es de 0 .77 .

Nombre Silvia Joaquín Rodrigo Fabiola OscarMasa 60 70 80 90 100

Corporal 130 150 170 190 210

Fuerza

1. El coeficiente r (producto-momento) de correlación lineal. 2. El coeficiente de correlación por rangos de Spearman.3. Covarianza y sus propiedades.

PROBABILIDAD CONDICIONADA Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee la probabilidad de A dado B .

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal . Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabi-lidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

Dado un espacio de probabilidad (W, F, P) y dos eventos (o sucesos) A, B Î F con P(B) > 0, la probabili-dad condicional de A dado B está definida como:

P(A|B) = P(A B) ¸ P(B) , si P(B) ¹ 0 P(A|B) se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza, P(A|B) sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe .

P(A B), es la probabilidad de tener gripe y dolor de cabeza.

Propiedades _ 1 . P (A|B) + P (A|B) = 1 2 . A Í B ® P (B|A) = 1 _ Pero NO es cierto que P (A|B) + P (A|B) = 1

Exclusividad mutua

Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo si A B = Æ . Entonces, P (A B) = 0 . Además, si P(B) > 0 entonces P (A|B) = 0.

En tu libro de Matemática de segundo básico, investiga: probabilidad y combinación de eventos. Da 2 ejemplos de cada uno.

INVESTIGA

INVESTIGA


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Ejemplos:1. Se lanzan dos dados:

a . ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a siete?b . Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados

haya salido un tres?

Solución: Sea: A = en algunos de los dados ha salido un tres . B = la suma de los puntos es siete .

a. Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y los casos favorables al suceso A son los siguientes: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) y (6,1).

Por tanto P(B) = 6/36 = 1/6

b. En este caso, el suceso A/B es solo en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3).

Por tanto P (A/B) = 2/6 = 1/3 .

2. Una mujer es portadora de la enfermedad de Duchenne ¿Cuál es la probabilidad de que su próximo hijo tenga la enfermedad?

Según las leyes de Méndel, todos los posibles genotipos de un hijo de una madre portadora (xX) y un padre normal (XY) son xX, xY, XX, XY y tienen la misma probabilidad.

El espacio muestral es W = {xX, xY, XX, XY}

El suceso A = {hijo enfermo} corresponde al genotipo xY, por tanto, según la definición clásica de proba-bilidad p(A) = 1/4 = 0 .25

La mujer tiene el hijo y es varón ¿qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?

Se define el suceso B = {ser varón} = {xY, XY} la probabilidad pedida es p(A|B) y aplicando la definición anterior p(B) = 0.5; A B = {xY}; p(A B) = 0.25; p(A|B) = 0.25/0.5 = 0.5

Si sabemos que es varón, el espacio muestral ha cambiado, ahora es B. Por lo tanto se puede calcular p(A|B) aplicando la definición clásica de probabilidad al nuevo espacio muestral.

p(A|B) = 1/2 = 0 .5

En parejas resuelvan los problemas siguientes en los espacios en blanco.

1. Una urna contiene 10 cincos, de las cuales 3 son rojos, 5 verdes y 2 azules. Se extraen al azar 3 cincos. Demuestra la probabilidad de que el primero sea azul, y los otros dos verdes es de 1/18.

ACTIVIDAD


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2. Una canasta tiene tres cincos azules y tres cincos rojos, se extraen con reemplazamiento dos cincos. Consideremos los sucesos A = el primer cinco extraído es azul y B = al menos un cinco extraído es azul .

Demuestra la probabilidad condicionada A/B = el primer cinco es azul en el supuesto que al me-nos uno es azul es de 2/3 .

3. Una bolsa contiene tres dulces de menta y dos chocolates. Extraemos sin reemplazamiento dos piezas y consideramos los sucesos A = la primera pieza extraída es un chocolate y B = al menos una pieza extraída es un chocolate . Demuestra que la probabilidad del suceso condicionado A/B = 4/7 .

4. Sea A y B dos sucesos de un espacio de probabilidad de manera que: P(A) = 0.4, P(B) = 0.3 y P(A B) = 0 .1 . Calcular razonadamente:

a . P(A U B) b . P(A/B)

5 . Demuestra que al lanzar un dado al aire, la probabilidad de que salga el número 4 es de 1/3 .


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ÁRBOLES• Un árbol es una gráfica acíclica conexa y no tiene lazos ni aristas paralelas.• Un árbol (libre) es un grafo simple en el cual existe un único camino entre cada par de vértices.• Un árbol con raíz (radicado) es un árbol que tiene un vértice particular designado como raíz. Son

utilizados para especificar relaciones de jerarquía.• Un grafo es un conjunto p de puntos llamados vértices y un conjunto L de segmentos llamados

lados .

Ejemplos:

árbol libre árbol con raíz

Observamos en los árboles que:1. En el árbol existe un único camino entre cada par de vértices.2. En el árbol con raíz, primero se sitúa la raíz en la parte superior. Debajo de la raíz y en el mismo

nivel se colocan los vértices que están unidos a la raíz mediante un camino de longitud 1. Debajo de cada uno de los vértices y en el mismo nivel se sitúan los vértices que están unidos a la raíz mediante un camino de longitud 2. y sé continúa de esta manera hasta obtener el dibujo completo del grafo. Observando que su altura es de 3, porque el árbol tiene tres niveles.

En el grafo podemos ver que el camino que va de la raíz a un vértice cualquiera es único y que a cada vértice le corresponde un nivel único. Le llamaremos nivel 0 al nivel de la raíz, a los vértices que están debajo de la raíz, nivel 1 y así sucesivamente.

Realiza lo que se te pide a continuación:

1. Traza el árbol libre del ejemplo como un árbol con el vértice b como raíz. ¿Cuál es la altura del árbol resultante?

2 . Como los árboles de jerarquización se utilizan para hacer los organigramas o diagramas de las organizaciones administrati-vas, elabora el diagrama de tu establecimiento.

3. Evalúa el nivel de cada uno de los vértices del árbol que se muestra y encuentra la altura del árbol.

4. ¿Cuántos vértices tienen los siguientes árboles?

a) b) c) d)

a

b

fh

idg

e

c c

b

a

d f

C raiz

g

i h

j

ACTIVIDAD


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RECORRIDO DE UN ÁRBOL

Un algoritmo de recorrido de árbol es un algoritmo para enlistar, visitar o buscar todos los vértices de un árbol enraizado ordenado finito. Los tres algoritmos más comunes son los que dan los recorridos preor-den, inorden ( para árboles binarios únicamente) y postorden.

1. Recorrido con orden inicial o preorden

Este algoritmo procesa los vértices de un árbol binario con raíz, usando un recorrido con orden inicial, en el cual cada vértice tiene un hijo a la derecha o un hijo a la izquierda, o un hijo a la derecha y uno a la izquierda, o bien ningún hijo. El algoritmo es recursivo. Es decir que, en este recorrido, la raíz se enlista primero y los subárboles se enlistan en el orden de sus raíces.

Ejemplos:1) ¿En qué orden se procesan los vértices del árbol de la

figura siguiente?

Observamos que al seguir los pasos –raíz/ izquierda/ derecha- .

El orden en el cual se procesan es: ABCDEFGHIJ.

2) En el siguiente árbol enraizado hay 6 hojas. El padre v tiene dos hijos, u y w, y cinco descen-dientes: u, w, x, y y z. Todos los vértices excepto r son descendientes de r.

Observamos que todo el árbol es en si un subárbol con raíz r y hay 6 subárboles triviales que son las hojas, representadas en los siguientes grafos . . .

Un árbol binario de búsqueda es una estructura que se utiliza para determinar con rapidez el valor o el lugar de los objetos, que estén ordenados linealmente como números o archivos alfabetizados. El árbol binario de búsqueda en la figura siguiente, se usa para buscar un número en {1, 2, 3,..., 14}.

Los números en círculos representan llaves. Dado un número en el conjunto, primero se le compara con 8: si es menor que 8 pasa a la llave 4, si es mayor que 8 pasa a la llave 12; si es igual a 8 la búsqueda terminó . Se procede así bajando por el árbol hasta que se encuen-tra el número .

Nota: las cadenas de mando en una organización se pueden representar con árboles enraizados.

JI

H

G

F

A

E

D

B

C

qp

s

r

z

w

v

uv

wu

x y z

w

x y z

s

p q


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.gt¿En qué orden se procesan los vértices de los árboles siguientes?

1) 2)

3) 4)

2. Recorrido con orden intermedio, inorden o interorden

Este algoritmo procesa los vértices de un árbol binario utilizando un recorrido con orden intermedio. El algoritmo es recursivo.

Ejemplo:

¿En qué orden se procesan los vértices del árbol de la figura utilizada en el primer ejemplo del inciso 1, si utilizamos este recorrido que sigue los pasos: izquierda/ raíz/ derecha?

Respuesta: el orden en el cual se procesan es CBDEAFIHJG.

3. Recorrido con orden final o postorden

Este algoritmo procesa los vértices del árbol binario empleando un recorrido con orden final. El algoritmo es recursivo.

Ejemplo: ¿En qué orden se procesan los vértices del árbol de la figura utilizada en el primer ejemplo del recorrido de preorden, si utilizamos este recorrido que sigue los pasos: izquierda/ derecha/ raíz? .

Respuesta: el orden en el cual se procesan es: CEDBIJHGFA

Para concluir con los recorridos, podemos decir que el recorrido con orden inicial se obtiene siguiendo la ruta siguiente:

ACTIVIDAD

a

g

e

f

j

d

b

c

hi

s

u y

w z

v x

v

u s w

x

y z

v

s x w u

z y

A

FB

C D

E

I

H

J

G

comienza termina


ww

w.z

antm

aroed

icio

nes.

com

.gt

Y que el recorrido final se obtiene siguien-do la siguiente ruta:

A. Aplica el algoritmo de preorden y de postorden a los árboles siguientes e indica el orden en el cual se procesan.

a) b)

c) d)

A

FB

C D

E

I

H

J

G

comienzatermina

ACTIVIDAD

B. En los grafos siguientes escribe el orden en el cual los vértices se procesan utilizando los recorridos de orden inicial, intermedio y final.

Preorden: ______________________ Postorden: ______________________

A

JI

HB

E

GF

C

A

JI

HB

E

GF

C

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