LO QUE VAMOS A APRENDER · 2. División de polinomios. Regla de Ruffini 42 3. Valor numérico de un...
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01 NÚMEROS REALES 1. El número real 12 2. Topología de la recta real 14 3. Aplicaciones de los números reales 16 4. Notación científica. Operaciones 18 5. Estimaciones, aproximaciones y errores 20 6. Radicales y operaciones con radicales 22 7. Racionalización 26 8. Logaritmos 28 ACTIVIDADES 32 02 EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. Suma, resta y multiplicación de polinomios 40 2. División de polinomios. Regla de Ruffini 42 3. Valor numérico de un polinomio. Teorema del resto 44 4. Raíces de un polinomio. Teorema del factor 46 5. Factorización de polinomios 47 6. Fracciones algebraicas 49 7. Operaciones con fracciones algebraicas 50 ACTIVIDADES 52 03 ECUACIONES E INECUACIONES 1. Ecuaciones de primer grado 60 2. Ecuaciones de segundo grado 62 3. Ecuaciones bicuadradas 64 4. Ecuaciones factorizadas y polinómicas. Ecuaciones con fracciones algebraicas 65 5. Ecuaciones irracionales 67 6. Inecuaciones 69 7. Inecuaciones de primer grado con una incógnita 70 8. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas 71 9. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita 72 10. Resolución algebraica de problemas 73 ACTIVIDADES 76 LO QUE VAMOS A APRENDER MATEMÁTICAS ACADÉMICAS PARA QUE LAS COSAS OCURRAN
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01 NÚMEROS REALES 1. El número real 12 2. Topología de la recta real 14 3. Aplicaciones de los números reales 16 4. Notación científica. Operaciones 18 5. Estimaciones, aproximaciones y errores 20 6. Radicales y operaciones con radicales 22 7. Racionalización 26 8. Logaritmos 28ACTIVIDADES 32
02 EXPRESIONES ALGEBRAICAS. POLINOMIOS 1. Suma, resta y multiplicación de polinomios 40 2. División de polinomios. Regla de Ruffini 42 3. Valor numérico de un polinomio. Teorema del resto 44 4. Raíces de un polinomio. Teorema del factor 46 5. Factorización de polinomios 47 6. Fracciones algebraicas 49 7. Operaciones con fracciones algebraicas 50ACTIVIDADES 52
03 ECUACIONES E INECUACIONES 1. Ecuaciones de primer grado 60 2. Ecuaciones de segundo grado 62 3. Ecuaciones bicuadradas 64 4. Ecuaciones factorizadas y polinómicas.
Ecuaciones con fracciones algebraicas 65 5. Ecuaciones irracionales 67 6. Inecuaciones 69 7. Inecuaciones de primer grado con una incógnita 70 8. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas 71 9. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita 7210. Resolución algebraica de problemas 73ACTIVIDADES 76
LO QUE VAMOS A APRENDER
MATEMÁTICAS ACADÉMICAS
PARA QUE LAS COSAS OCURRAN
07 TRIGONOMETRÍA 1. Medidas de ángulos: el radián 140 2. Razones trigonométricas de un triángulo rectángulo 141 3. Razones trigonométricas de algunos ángulos 142 4. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera 144 5. Relaciones entre las razones trigonométricas 147 6. Reducción de las razones trigonométricas
al primer cuadrante 150 7. Aplicaciones de la trigonometría 152ACTIVIDADES 154
08 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS 1. Resolución de triángulos rectángulos 162 2. Teorema del seno 164 3. Teorema del coseno 166 4. Resolución de triángulos no rectángulos 168 5. Aplicaciones 170ACTIVIDADES 176
09 GEOMETRÍA ANALÍTICA 1. Vectores en el plano 184 2. Operaciones con vectores 186 3. Vectores dependientes e independientes.
Base del espacio vectorial. Sistema de referencia 190 4. Ecuaciones de la recta 192 5. Posiciones relativas de dos rectas 194 6. Relaciones métricas 196ACTIVIDADES 200
04 SISTEMAS DE ECUACIONES Y DE INECUACIONES 1. Sistemas de dos ecuaciones lineales
con dos incógnitas 84 2. Sistemas de tres ecuaciones lineales
con tres incógnitas 86 3. Método de Gauss 88 4. Sistemas de ecuaciones no lineales 90 5. Sistemas de inecuaciones con una incógnita 92 6. Sistemas de inecuaciones con dos incógnitas 94 7. Aplicaciones 96ACTIVIDADES 98
05 PERÍMETROS, LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES 1. Perímetro y áreas de las figuras planas 106 2. Longitudes y áreas de las figuras circulares 108 3. Áreas y volúmenes de poliedros 110 4. Áreas y volúmenes de cuerpos de revolución 112ACTIVIDADES 114
06 SEMEJANZA 1. Teorema de Tales 122 2. Figuras semejantes 124 3. Semejanza de triángulos 126 4. Semejanza de triángulos rectángulos 128 5. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes
de cuerpos semejantes 130ACTIVIDADES 132
12 ESTADÍSTICA 1. Etapas de un estudio estadístico 256 2. Estadística unidimensional 257 3. Estadística bidimensional 260 4. Dependencia aleatoria y funcional 263 5. Correlación entre dos variables 264 6. Coeficiente de correlación lineal.
Interpretación 265 7. Regresión lineal. Rectas de regresión 266ACTIVIDADES 268
13 COMBINATORIA 1. Técnicas de recuento 276 2. Permutaciones 277 3. Variaciones 279 4. Números combinatorios.
Triángulo de Pascal-Tartaglia. Binomio de Newton 281
5. Combinaciones 284ACTIVIDADES 286
14 PROBABILIDAD 1. Sucesos: tipos y operaciones con sucesos 294 2. Probabilidad en experimentos simples 296 3. Probabilidad en experimentos compuestos 300 4. Probabilidad condicionada 304 5. Sucesos dependientes e independientes 305ACTIVIDADES 306
10 CARACTERÍSTICAS GLOBALES DE LAS FUNCIONES 1. Funciones. Dominio y recorrido 208 2. Puntos de corte con los ejes 211 3. Continuidad 212 4. Monotonía y puntos extremos 214 5. Curvatura y puntos de inflexión 217 6. Simetría 218 7. Tendencia y periodicidad 219 8. Operaciones con funciones 221 9. Análisis e interpretación de funciones 223ACTIVIDADES 224
11 ESTUDIO DE ALGUNAS FUNCIONES 1. Funciones afín, constante y lineal 232 2. Función cuadrática 234 3. Funciones x n y n x 236 4. Funciones definidas a trozos 237 5. Función valor absoluto 238 6. Función de proporcionalidad inversa 239 7. Función exponencial 240 8. Función logarítmica 241 9. Funciones trigonométricas 243ACTIVIDADES 248
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294 | LAS GRANDES MENTES DISCUTEN IDEAS; LAS MENTES PROMEDIO DISCUTEN ACONTECIMIENTOS; LAS MENTES PEQUEÑAS DISCUTEN CON LAS PERSONAS
Los experimentos cuyo resultado final se conoce antes de su realización se denominan experimentos deterministas. Por el contrario, los experimentos cuyo resultado final no se puede pronosticar reciben el nombre de experimen-tos aleatorios.
1.1 TIPOS DE SUCESOS
En un experimento aleatorio se llama espacio muestral, E, del experimento al conjunto de sus posibles resultados. Cada uno de los subconjuntos del espacio muestral es un suceso. Los sucesos se nombran con letras mayúsculas.
Tipos de sucesos
Suceso elemental
Es el suceso formado por un único elemento del experimento. Por tanto, cada uno de los elementos del espacio muestral es un suceso elemental.
Suceso compuesto Suceso contrario
Es el suceso formado por varios sucesos elementales.
Se designa mediante Ac o A .
Suceso seguro Sucesos incompatibles
Es el formado por todos los sucesos elementales. Coincide con el espacio muestral, E.
Son los que no tienen ningún elemento en común.
Suceso imposible Sucesos compatibles
Es el que no se verifica nunca. Se designa con el símbolo del conjunto vacío, ∅.
Son los que tienen algún elemento en común.
Actividad resuelta
Indica el espacio muestral en los siguientes experimentos aleatorios:
a. Sacar una carta de una baraja española y anotar el palo que ha salido.
b. Elegir un número primo menor que diez.
a. E = {oros, copas, bastos, espadas}. b. E = {2, 3, 5, 7}
1 SUCESOS: TIPOS Y OPERACIONES CON SUCESOS
Espacio de sucesos, SSe llama espacio de sucesos, S, al conjunto de los sucesos aleatorios. Si un espacio muestral tiene n elementos, el espacio de sucesos tiene 2n elementos.
Actividad resuelta
Se lleva a cabo el experimento consis-tente en elegir al azar una de las cinco vocales cuyo espacio muestral es E = {a, e, i, o, u}. Indica los elementos que forman los siguientes sucesos:
a. Un suceso elemental.
b. Un suceso compuesto.
c. Un suceso seguro.
d. Un suceso imposible.
e. Dos sucesos contrarios.
f. Dos sucesos incompatibles.
g. Dos sucesos compatibles.
a. Un suceso elemental puede ser A = {a}.
b. Un suceso compuesto puede ser B = «obtener una vocal abierta» = = {a, e, o}.
c. El suceso seguro es E = «obtener una letra que no sea consonante» = = {a, e, i, o, u}.
d. Un suceso imposible es D = «obtener una consonante» = {∅}.
e. Si A = {a, e, o}, entonces Ac = {i, u}
f. D = {e, i} y F = {a, o, u}
g. G = {a, i, u} y H = {i, o, u}
14 | PROBABILIDAD | 295
1.2 OPERACIONES CON SUCESOSLas operaciones con sucesos más importantes son la unión y la intersección.
Unión de sucesos Intersección de sucesos
Sean dos sucesos, A y B; se llama unión de sucesos, A ∪ B, al suceso que contiene los elementos de A y los elementos de B.
Sean dos sucesos, A y B; se llama intersección de sucesos, A ∩ B, al suceso que contiene a los elementos comunes de A y de B.
Propiedades de las operaciones con sucesos
Propiedad 1 Propiedad 4
Dos sucesos incompatibles, A y B, verifican que A ∩ B = ∅.
La unión de un suceso y su contrario es el espacio muestral: A ∪ Ac = E
Propiedad 2 Propiedad 5
El contrario del contrario de un suceso es ese suceso: (Ac)c = A
Leyes de Morgan:
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
Propiedad 3
La intersección de un suceso y su contrario es el conjunto vacío: A ∩ Ac = ∅
Actividad resuelta
Sirviéndote de la representación con diagramas de Venn, demuestra que:
á ÜA B A B=
• Primer miembro de la igualdad:
A ∪ B áA B
A ∪ B
A B⇒
A ∪ BA B
• Segundo miembro de la igualdad:
A B A ∩ B
AA B
BA B
⇒
A ∪ BA B
Como puede observarse, se cumple la igualdad.
Actividad resuelta
Sean los sucesos A = {e, i} y B = {i, o, u}, halla:
a. A ∪ B
b. A ∩ B
a. A ∪ B = {e, i, o, u }
A ∪ BA B
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b. A ∩ B = {i}
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296 | LAS GRANDES MENTES DISCUTEN IDEAS; LAS MENTES PROMEDIO DISCUTEN ACONTECIMIENTOS; LAS MENTES PEQUEÑAS DISCUTEN CON LAS PERSONAS
El grado de posibilidad de que ocurran los diferentes sucesos se puede cuanti-ficar y recibe el nombre de probabilidad.
2.1 FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA DE UN SUCESOSe realiza el experimento aleatorio de girar la ruleta y anotar el color obtenido. El experimento se lleva a cabo 12 veces y se obtienen estos resultados:
R A R V V M A V M R V A
Si se considera el suceso A = {obtener el color verde}, se observa en los resulta-dos obtenidos que aparece 4 veces, es decir, la frecuencia absoluta es 4.
La frecuencia absoluta de un suceso A, ni (A), es el número de veces que se produce el suceso al realizar el experimento.
Sin embargo, es más útil conocer la frecuencia relativa.
La frecuencia relativa de un suceso A, fi (A), es el número de veces que se produce el suceso con respecto al total de veces que se realiza el experimento. Se calcula como el cociente entre la frecuencia absoluta del suceso y el número de veces que se realiza el experimento:
fi (A) = n.º de veces que se realiza el experimento
frecuencia absoluta de AN
n (A)i=
Así, la frecuencia relativa del suceso A = «obtener el color verde» se expresa:
f (A) = 124
31=
Propiedades de las frecuencias relativas
Propiedad 1 Propiedad 3
La frecuencia relativa de cualquier suceso, A, está comprendida entre 0 y 1: 0 ≤ fi (A) ≤ 1
Como consecuencia de esta propiedad tenemos que:
• La frecuencia relativa del suceso imposible es 0.
• La frecuencia relativa del suceso seguro es 1.
La frecuencia relativa de la unión de sucesos incompatibles se expresa así:
fi (A ∪ B) = fi (A) + fi (B)
Como consecuencia de esta propiedad cabe concluir que:
fi (A) + fi (Ac) = 1
Propiedad 2 Propiedad 4
La suma de las frecuencias relativas de todos los sucesos elementales es 1.
La frecuencia relativa de la unión de sucesos compatibles tiene como expresión fi (A ∪ B) = fi (A) + fi (B) – fi (A ∩ B).
2 PROBABILIDAD EN EXPERIMENTOS SIMPLES
14 | PROBABILIDAD | 297
2.2 LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS. DEFINICIÓN DE PROBABILIDADLa ley de los grandes números, también llamada ley del azar, afirma que, al repetir un experimento aleatorio un número muy elevado de veces, la frecuen-cia relativa de cada suceso elemental tiende a aproximarse a un número con-creto. Este número es el que se asignará como la probabilidad experimental del suceso y cuantificará la posibilidad de que ocurra dicho suceso.
Así, si continuamos con el ejemplo de la ruleta, la frecuencia relativa del suceso A al realizar 12 veces el experimento es 0,33; sin embargo, a medida que se incre-menta el número de veces que se hace girar la ruleta, la frecuencia relativa del suceso se irá estabilizando en torno al valor 0,25.
Las propiedades de la probabilidad son análogas a las de la frecuencia relativa.
Propiedades de la probabilidad
Propiedad 1 Propiedad 3
La probabilidad de un suceso está comprendida entre 0 y 1:
0 ≤ P (A) ≤ 1
Como consecuencia de esta propiedad cabe concluir que:
• La probabilidad del suceso imposible es 0: P (∅) = 0
• La probabilidad del suceso seguro es 1: P (E) = 1
La probabilidad de la unión de sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Como consecuencia de esta propiedad, se deduce que la suma de la probabilidad de un suceso y su contrario es 1:
P (A) + P (Ac) = 1
Propiedad 2 Propiedad 4
La suma de las probabilidades de todos los sucesos elementales es 1:
P (A1) + P (A2) + … + P (An) = 1
La probabilidad de la unión de sucesos compatibles es igual a la suma de las probabilidades de los sucesos menos la probabilidad del suceso intersección de los mismos:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
Actividad resuelta
Sean dos sucesos, A y B, de un experimento aleatorio, de los cuales se conoce que P (Ac) = 0,25, P (A ∩ B) = 0,45 y P (A ∪ B) = 0,80. Calcula P (A) y P (B).
Utilizando la expresión de la suma de un suceso y su contrario de la propiedad 3 de la probabilidad:
P (A) + P (Ac) = 1 ⇒ P (A) = 1 – P (Ac) ⇒ P (A) = 1 – 0,25 = 0,75
Por otro lado, al aplicar la propiedad 4 de la probabilidad, dado que los sucesos A y B tienen elementos en común al no ser nula la probabilidad de su intersección, se tiene que:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) ⇒ P (B) = P (A ∪ B) – P (A) + P (A ∩ B)
P (B) = 0,80 – 0,75 + 0,45 = 0,50
Probabilidad de un sucesoLa probabilidad de un suceso es el número al que se aproxima su frecuencia relativa cuando el experimento se repite un gran número de veces.
298 | LAS GRANDES MENTES DISCUTEN IDEAS; LAS MENTES PROMEDIO DISCUTEN ACONTECIMIENTOS; LAS MENTES PEQUEÑAS DISCUTEN CON LAS PERSONAS
Actividad resuelta
Determina si son compatibles o incompatibles los sucesos A y B de un experimento
aleatorio en el que P (A) = 31 , P (B) = 4
1 y P (A ∪ B) = 21 .
Los sucesos A y B son incompatibles siempre que no tengan ningún elemento en común, es decir, cuando la probabilidad de su intersección es 0.
Si ocurre esto, se verifica la propiedad 3 de la probabilidad, es decir: P (A ∪ B) = P (A) + P (B). Se comprueba la veracidad de esta igualdad:
≠ ≠ò21
31
41
21
127+
Al constatar que no es cierta, puede concluirse que la probabilidad de la intersección no es nula y es preciso restar dicha intersección al valor del segundo miembro para que se verifique la igualdad:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B) ⇒ 21
31
41= + – P (A ∩ B)
Por consiguiente, cabe deducir que los sucesos son compatibles y se puede obtener el valor de la probabilidad de su intersección:
P (A ∩ B) = 31
41
21
121–+ =
2.3 REGLA DE LAPLACE
Para calcular la probabilidad experimental de los sucesos de un experimento aleatorio a partir de la frecuencia relativa, se debe realizar dicho experimento un número muy elevado de veces, manteniendo, además, en todo momento las mismas condiciones. Sin embargo, esto no siempre es posible.
La regla de Laplace permite calcular la probabilidad de que ocurra un suceso antes de realizarlo. Para ello, hay que tener en cuenta los siguientes conceptos:
• Los casos posibles son todos los resultados que se pueden obtener al realizar el experimento.
• Los casos favorables de un suceso, A, son los resultados que verifican dicho suceso.
Para poder aplicar la regla, los sucesos elementales tienen que ser equiproba-bles, es decir, deben tener todos la misma probabilidad de ocurrir.
El enunciado de la regla de Laplace es el siguiente:
La probabilidad de un suceso A, P (A), es igual al cociente entre los casos favorables que verifican el suceso y los casos posibles del experimento:
P (A) = n.º de casos posibles
n.º de casos favorables a A
Pierre Simon Laplace (1749-1827) fue un matemático francés que realizó trabajos importantes en el campo de la astronomía y del cálculo de probabilidades.
14 | PROBABILIDAD | 299
Actividades resueltas
1 Se extrae una bola de un bombo que contiene diez bolas numeradas del 0 al 9. Halla la probabilidad de que la bola extraída:
a. Sea la del número 5.
b. Tenga un número impar.
c. Tenga un número mayor de 3.
Los sucesos elementales son equiprobables; por tanto, se puede aplicar la regla de Laplace. El número de casos posi-bles es 10.
a. El número de los casos favorables es 1. En consecuencia:
P (5) = 101 = 0,1
b. Aquí, el número de casos favorables es 5. Así pues:
P (impar) = 105 = 0,5
c. Los casos favorables son 6:
P (mayor de 3) = 106 = 0,6
2 En un dado trucado de seis caras en el que los sucesos elementales no son equiprobables, la probabilidad de obtener cada uno de los números impares es igual, y también lo es la de obtener cada uno de los números pares; sin embargo, hay el doble probabilidades de que salga un número par que de que sea uno impar. Halla la probabilidad de:
a. Sacar un 5. b. Sacar un 2.
P (1) = P (3) = P (5) = x; P (2) = P (4) = P (6) = 2x
La suma de todas las probabilidades es la unidad, así pues:
P (1) + P (2) + P (3) + P (4) + P (5) + P (6) = 1
9x = 1 ⇒ x = 91
a. P (5) = 91 b. P (2) =
92
2.4 TÉCNICAS COMBINATORIASEn algunos problemas de cálculo de probabilidades, para hallar tanto el nú-
mero de casos favorables como el de casos posibles, resulta más sencillo utilizar
las técnicas combinatorias.
Actividades resueltas
1 Luisa disputará la final de 100 m lisos junto a otras siete corredoras. Halla la probabilidad de que Luisa quede cla-sificada entre las tres primeras corredoras y pueda subir al pódium suponiendo que todas las atletas tienen las mismas probabilidades de conseguir la victoria.
Para determinar los casos posibles de configuración del pódium, se consideran las formas de agrupar a tres corre-doras de entre las ocho participantes. Teniendo en cuenta que el orden importa, puesto que no es lo mismo acabar primera, que segunda o tercera…, las diferentes formas son V8, 3.
Para calcular el número de casos favorables, se le asigna un puesto en el pódium a Luisa y se reparten los otros dos pues-tos entre las restantes 7 corredoras. Como hay tres puestos en el pódium, los casos favorables son 3 · V7, 2. Por tanto:
P (Luisa ocupe pódium) = V
3 · V326126
8, 3
7, 2 = = 0,375
2 Se forman claves de cuatro letras con las vocales, que pueden repetirse. Halla la probabilidad de que al elegir una de las claves al azar comience por U.
En la determinación de los casos favorables de elección se consideran las formas de agrupar cuatro elementos de en-tre cinco con repetición, que deben comenzar por U:
U · cualquier vocal · cualquier vocal · cualquier vocal ⇒ VR5, 3
Para determinar el número de casos posibles, se consideran las formas de agrupar cuatro elementos de entre cinco con repetición:
cualquier vocal · cualquier vocal · cualquier vocal · cualquier vocal ⇒ VR5, 4
Así, la probabilidad de que, al elegir una de las claves, co-mience por U es:
P (comience en U) = VRVR
625125
51
5, 4
5, 3 = =
Recuerda• Permutaciones: Pn = n!
• Variaciones sin repetición:
Vn, k = n · (n – 1) · … · (n – k + 1)
• Variaciones con repetición: VRn, k = nk
• Combinaciones: Cn, k = k! · (n – k)!
n!
300 | LAS GRANDES MENTES DISCUTEN IDEAS; LAS MENTES PROMEDIO DISCUTEN ACONTECIMIENTOS; LAS MENTES PEQUEÑAS DISCUTEN CON LAS PERSONAS
3 PROBABILIDAD EN EXPERIMENTOS COMPUESTOSLanzar al aire un dado o una moneda, así como extraer una carta de una ba-raja, son ejemplos de experimentos simples. Sin embargo, si estos experimen-tos se realizan varias veces de forma consecutiva, pasan a ser experimentos compuestos.
Un experimento compuesto es aquel que consta de dos o más experimentos aleatorios simples realizados de forma consecutiva.
Por tanto, el experimento consistente en lanzar dos dados de forma consecutiva o en tirar un dado y posteriormente una moneda son experimentos compuestos.
3.1 DIAGRAMA DE ÁRBOLPara obtener el espacio muestral de un experimento aleatorio compuesto, re-sulta muy útil, en la mayoría de los casos, realizar un diagrama de árbol que permita reflejar todos los posibles resultados del experimento.
En la unidad de combinatoria ya se abordó esta técnica de recuento; en esta unidad se añadirá en cada una de las ramas la probabilidad que tiene de ocu-rrir el suceso en cuestión.
De la urna del margen, en la que hay diez bolas de colores, se extraen dos bolas sucesivamente y con reemplazamiento. Se quiere conocer cuál es la probabili-dad de obtener bola negra en la primera extracción y morada en la segunda.
En el diagrama de árbol se representan todos los resultados posibles; en cada rama aparece indicada su correspondiente probabilidad de ocurrir. Recuerda que, para poder calcular la probabilidad de cada rama por el método de Laplace, los sucesos elementales deben ser equiprobables.
En nuestro caso, cada bola de la urna tiene la misma probabilidad de ser ex-
traída que el resto, 101 .
En este diagrama de árbol se han destacado las ramas que formarían el resul-tado del suceso que se está estudiando. Para hallar la probabilidad de este su-ceso, se utiliza el principio de multiplicación, según el cual la probabilidad se obtiene multiplicando las probabilidades de cada una de las ramas que confor-man el resultado:
P (negra y morada) = · ,105
103
10015 0 15= =
La probabilidad de un suceso en un experimento compuesto se calcula multiplicando las probabilidades de cada una de las ramas que conforman dicho suceso.
Urna
Negra Amarilla
Negra
5–––10
2–––10
3–––10
5–––10 2
–––10
2–––10
2–––10
3–––10
5–––10
3–––10
5–––10
3–––10
Morada
Negra
Amarilla
Morada
Negra
Amarilla
Morada
Amarilla
Morada
14 | PROBABILIDAD | 301
Actividad resuelta
Con la ruleta de la imagen se realiza el siguiente experimento compuesto: se hace girar dos veces la flecha y se anotan los colores que salen. Halla la probabilidad de obtener amarillo en la primera vuelta y negro en la segunda.
Se representa en un diagrama de árbol todos los resultados posibles, indicando en cada rama la correspondiente probabilidad de que ocurran:
3––6
3––6 2––
6
1––6
3––6 2––
6
1––6
3––6 2––
6
1––6
2––6
1––6
Cada uno de los seis sectores de la ruleta tiene la misma probabilidad de salir. Ello permite
aplicar la regla de Laplace. Así, la probabilidad de que salga el amarillo es 63 : tres sectores
amarillos de los seis totales.
Con el diagrama de árbol se puede calcular la probabilidad de cualquier suceso del espacio muestral sin más que multiplicar las probabilidades de las dos ramas que conforman el su-ceso.
En nuestro caso, la probabilidad de obtener primero amarillo y después negro será:
P (amarillo, negro) = ·63
61
363
121= =
Probabilidad de un experimento compuestoDiseña una ruleta como la de la figura, utilizando para ello una hoja milimetrada, un clip, un lápiz y cinco rotuladores de distinto color. El experimento se realiza dando un golpe al clip para que gire y anotando el color en el que se detiene. Realiza esta operación dos veces.
A continuación, halla la probabilidad de obtener azul en el primer giro y un color que no sea el amarillo en el segundo. Observa que los resultados posibles del experimento, junto con sus probabilidades, se pueden expresar en un diagrama de árbol.
En nuestro caso, la probabilidad de obtener azul es, si nos fijamos en la ruleta cuadriculada, de una parte entre ocho, mientras que la de que el clip señale un color no amarillo es de tres partes entre cuatro.
Por tanto, la probabilidad de obtener primero color azul y después uno no amarillo es de:
P (azul, no amarillo) = ·81
43
323=
302 | LAS GRANDES MENTES DISCUTEN IDEAS; LAS MENTES PROMEDIO DISCUTEN ACONTECIMIENTOS; LAS MENTES PEQUEÑAS DISCUTEN CON LAS PERSONAS
3.2 TABLA DE CONTINGENCIAEn el menú de un restaurante se ofrece, como primer plato, gazpacho, ensalada o revuelto de espárragos, y, de segundo, rape en salsa verde o solomillo Welling- ton. Hoy han acudido 50 clientes al restaurante. De los 20 que optaron por el rape, 10 eligieron gazpacho, 6 ensalada y 4 revuelto. Del resto, 18 eligieron de primero ensalada; 8, gazpacho, y 4, revuelto. En la tabla adjunta se distribuyen todos los datos en función del plato elegido como primero y segundo.
Se constata, así, que una forma muy práctica de presentar los datos es agrupar-los en una tabla, puesto que facilita su comprensión al ofrecer una visión global de toda la información. En este caso, la tabla es de doble entrada y se denomina tabla de contingencia.
Una tabla de contingencia es una tabla de doble entrada que organiza la información de un grupo de individuos en torno a dos características, que a su vez se dividen en varias modalidades.
En el ejemplo anterior, la tabla de contingencia presenta dos características: el primer plato y el segundo plato. Cada una de ellas, por su parte, se divide en varias modalidades: gazpacho, ensalada y revuelto, en el caso del primer plato, y rape o solomillo, en el del segundo plato.
En cada casilla de una tabla de contingencia se muestra un número, nij, que representa el número de casos que poseen los tipos «i» y «j» de ambas caracte-rísticas, o la probabilidad de que sucedan esos dos tipos.
Así, el número 6 de la tabla expresa que seis personas eligieron para comer en-salada de primer plato y rape como segundo. Cada individuo del grupo debe es-tar reflejado en la tabla de contingencia, pero contabilizado en una única casilla.
Si la tabla de contingencia es de 2 × 2, es decir, dos características agrupadas en dos tipos, su estructura se ajusta al siguiente esquema:
Suceso A Suceso Ac Total
Suceso B A ∩ B Ac ∩ B N.º de datos del suceso B
Suceso Bc A ∩ Bc Ac ∩ Bc N.º de datos del suceso Bc
Total N.º de datos del suceso A N.º de datos del suceso Ac N.º total de datos
La tabla de contingencia ofrece la información necesaria para calcular las proba-bilidades de los diferentes sucesos registrados en ella. Los casos posibles se reco-gen en la casilla donde se registra el número total de datos, y los casos favorables a cada uno de los sucesos, en las filas o columnas marginales. Los casos favorables a las intersecciones de los sucesos se encuentran en cada una de las casillas.
En nuestro ejemplo, habría que proceder del siguiente modo si se quiere calcular la probabilidad de que una persona, elegida aleatoriamente entre las que acuden al restaurante, escoja revuelto de primer plato y solomillo de segundo plato:
P (revuelto – solomillo) = 504
252=
Rape Solomillo Total
Gazpacho 10 8 18
Ensalada 6 18 24
Revuelto 4 4 8
Total 20 30 50
14 | PROBABILIDAD | 303
Completar tablas de contingencia
En un centro escolar hay 400 estudiantes, cada uno de los cuales estudia un único idioma que ha de elegir entre inglés y chino. Teniendo en cuenta que 112 alumnas y 81 alumnos estudian chino y que en total hay 250 alumnos varones:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea una alumna que curse inglés?
b. ¿Y la probabilidad de seleccionar a alguien que estudie inglés?
c. Si es un alumno, ¿cuál es la probabilidad de que estudie chino?
d. Si estudia inglés, ¿cuál es la probabilidad de que no sea una alumna?
Ya se ha comprobado la utilidad de trabajar disponiendo los datos en una tabla. En esta ocasión, se utilizará una tabla de doble entrada para ordenar los sucesos, es decir, se or-ganizará en función de dos características: el idioma estudiado y género de los alumnos. A su vez, cada una de ellas se dividirá en dos modalidades: inglés y chino para el idioma, y alumno y alumna en el caso del sexo del estudiante.
Según esto, si se conoce el dato de un suceso de la primera característica, A, el resto pertenecerá a su contrario. Es decir, los que no hayan elegido inglés deben haberse deci-dido por chino.
Para completar la tabla, hay que ceñirse al siguiente esquema:
Suceso A Contrario de A, Ac Total
Suceso B A ∩ B Ac ∩ B
Contrario de B, Bc A ∩ Bc Ac ∩ Bc
Total N.º total de datos, N
Observa que es posible rellenar la tabla solo con los datos del enunciado.
Si han elegido chino 112 alumnas y 81 alumnos, y hay 250 alumnos varones en total en el centro, el resto de alumnos, 250 – 81 = 169, tiene que haberse apuntado a inglés.
También podemos obtener el número de alumnas del centro, 400 – 250 = 150 alumnas. Por tanto, el número de alumnas que estudia inglés será de 150 – 112 = 38.
La tabla quedaría así:
Inglés (A) Chino (Ac) Total
Alumna (B) 150 – 112 = 38 112 400 – 250 = 150
Alumno (Bc) 250 – 81 = 169 81 250
Total 207 193 N.º total de datos, N = 400
A partir de los datos recogidos en la tabla se procede a calcular las probabilidades pedidas:
a. P (alumna e inglés) = P (A ∩ B) = ,40038 0 095=
b. P (inglés) = P (A) = ,400207 0 518=
c. P (Ac / Bc) = ,25081 0 324=
d. P (Bc / A) = ,207169 0 816=
304 | LAS GRANDES MENTES DISCUTEN IDEAS; LAS MENTES PROMEDIO DISCUTEN ACONTECIMIENTOS; LAS MENTES PEQUEÑAS DISCUTEN CON LAS PERSONAS
Si se considera el experimento consistente en extraer sucesivamente dos bolas de una urna que contiene dos bolas verdes y cuatro bolas azules, se pueden presentar dos tipos de extracciones:
• Si la extracción se realiza con reemplazamiento, es decir, con la devolución del objeto extraído a su lugar de origen, las condiciones del experimento se mantienen iguales en cada sucesiva extracción y no influyen en el resultado.
• Si la extracción es sin reemplazamiento, las condiciones del experimento sí se ven afectadas por la extracción anterior; por tanto, el resultado de la extracción aporta una información adicional que hace que la siguiente ex-tracción esté condicionada.
Sean dos sucesos, A y B, de un experimento aleatorio; se define como probabilidad de A condicionada a B, siempre que B no sea un suceso imposible, y se designa P (A/B), la probabilidad de que ocurra el suceso A si previamente ha tenido lugar el suceso B. Se calcula mediante la expresión:
P (A/B) = Ü
P (B)P (A B)
Actividad resuelta
Se dispone de las dos urnas siguientes:
Urna A
Urna B
Se lanza un dado y, si el resultado es inferior a 3, se extrae una bola de la urna A; en caso contrario, se extrae de la urna B.
a. Calcula la probabilidad de que se extraiga una bola roja de la urna A.
b. Sabiendo que se ha obtenido un 3, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea azul?
a. Como la bola se extrae de la urna A, el resultado obtenido en el dado ha sido inferior a 3. Por tanto:
P (sacar menos de 3 y extraer bola roja) = ·62
72
424
212= =
b. El resultado del lanzamiento del dado ha sido un 3, es decir, diferente de obtener menos de 3; por ello, la bola se extrae de la urna B. En consecuencia:
P (extraer bola azul/obtener 3) = 63
21=
4 PROBABILIDAD CONDICIONADA
Actividad resuelta
Se extraen dos bolas de la urna ante-rior (con 2 bolas verdes y 4 azules). Calcula la probabilidad de que:
a. Las dos bolas sean verdes si la ex-tracción es con reemplazamiento.
b. Las dos bolas sean verdes si la ex-tracción es sin reemplazamiento.
a. P (las dos bolas son verdes) =
= P (verde ∩ verde) = ·62
62
91=
b. En este caso no se reemplaza la pri-mera bola extraída. Por lo tanto, hay una bola verde menos y, en conse-cuencia, una bola menos en la urna:
P (las dos bolas son verdes) =
= P (verde ∩ verde) =
= P (la 1.ª es verde) · P (la 2.ª es verde/la 1.ª ha sido verde) =
= ·62
51
151=
Extracción con reemplazamiento.
2––6
4––6
4––6
2––6
4––6
2––6
Extracción sin reemplazamiento.
2––6
4––6
3––5
2––5
4––5
1––5
14 | PROBABILIDAD | 305
Se realiza el experimento consistente en extraer, con reemplazamiento, dos bo-las de la urna del margen. Sean los sucesos A = {obtener una bola naranja en la primera extracción} y B = {obtener una bola naranja en la segunda extracción}. La probabilidad del suceso B es la misma que la probabilidad del suceso B sa-
biendo que se ha verificado el suceso A: P (B) = 73 = P (B/A)
Si las extracciones se realizan con reemplazamiento, los sucesos son inde-pendientes entre sí porque las condiciones que hay al realizar la segunda ex-tracción son las mismas que las de la primera extracción.
Dos sucesos, A y B, son independientes si el hecho de que se verifique uno de ellos no influye en la probabilidad de que ocurra el otro suceso:
P (B/A) = Ü ò Ü
P (A)P (A B)
P (B)P (A)
P (A B)= ⇒ P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Supongamos ahora que no se devuelve a la urna la primera bola extraída. La probabilidad del suceso B, extraer una bola naranja en la segunda extracción, es diferente que la probabilidad de ese mismo suceso B si se ha verificado el suceso A, extraer una bola naranja en la primera extracción. Así:
P (B) = · ·73
62
74
63
73+ = ≠ P (B/A) = 6
231=
Si las extracciones se realizan sin reemplazamiento, los sucesos son depen-dientes porque las condiciones al realizar la segunda extracción varían con respecto a la primera extracción.
Dos sucesos, A y B, son dependientes si el hecho de que se verifique uno de ellos influye en la probabilidad de que ocurra el otro suceso:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B/A) o P (A ∩ B) = P (B) · P (A/B)
Actividad resuelta
Se realiza el experimento que consiste en extraer dos bolas. Hay dos opciones:
• Opción A: extraer una bola de la urna 1 y otra bola de la urna 2.
• Opción B: extraer, sin reemplazamiento, las dos bolas de la urna 3.
a. ¿Cómo son los sucesos según se escoja la opción A o la B?
b. Halla la probabilidad de que las dos bolas sean blancas en ambas opciones.
a. Si el experimento se realiza según la opción A los sucesos son independientes; en cambio, con la opción B son dependientes.
b. Opción 1: P (las dos blancas) = P (1.ª blanca ∩ 2.ª blanca) =
= P (1.ª blanca) · P (2.ª blanca) = ·53
64
52=
Opción 2: P (las dos blancas) = P (1.ª blanca ∩ 2.ª blanca) =
= P (1.ª blanca) · P (2.ª blanca/1.ª blanca) =
= ·85
74
145=
5 SUCESOS DEPENDIENTES E INDEPENDIENTES
ObservaLos conceptos de sucesos incompatibles y sucesos independientes no son equivalentes: uno se refiere a conjuntos y el segundo a probabilidades. De este modo:
• Dos sucesos son incompatibles si:
A ∩ B = ∅
• Dos sucesos son independientes si:
P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Urna 1
Urna 2
Urna 3
ACTIVIDADES
306 | LAS GRANDES MENTES DISCUTEN IDEAS; LAS MENTES PROMEDIO DISCUTEN ACONTECIMIENTOS; LAS MENTES PEQUEÑAS DISCUTEN CON LAS PERSONAS
14 PROBABILIDAD
1Sucesos: tipos y operaciones con sucesos
1 Se lanza un dado cúbico y se anota su número. Escribe los ele-mentos que componen:
a. El espacio muestral.
b. A = {obtener un número mayor que 3}
c. B = {obtener un número compuesto}
d. C = {obtener un número primo}
e. D = {no obtener un divisor de 4}
2 En el experimento aleatorio que consiste en lanzar un dado cú-bico indica de qué tipo son los siguientes sucesos:
a. A = {obtener un número menor que 2}
b. B = {obtener un número múltiplo de 7}
c. C = {obtener un 3}
d. D = {obtener un número impar}
e. F = {obtener un número divisor de 6} y G = {obtener un nú-mero cuadrado perfecto}
3 Se hace girar una ruleta como la de la figura y se apunta el nú-mero en el que se detiene la flecha.
15
106
23
8
4
97
a. ¿Es aleatorio este experimento?
b. Escribe su espacio muestral.
c. Escribe el suceso contrario de A = {1, 4, 6, 8}.
d. Indica un suceso compatible con B = {5, 8, 10}.
e. Escribe un suceso incompatible con C = {salir un número múl-tiplo de 2}.
4 Una heladería dispone de helados de cinco sabores: fresa, na-ranja, vainilla, coco y turrón. Si Nicolás elige uno al azar, des-cribe los siguientes sucesos con operaciones e indica sus elementos:
a. A = {tomar un helado que no sea de vainilla}
b. B = {tomar un helado de fresa o de coco}
c. C = {no tomar un helado de naranja ni de turrón}
d. D = {no tomar un helado de vainilla o de fresa}
14 | PROBABILIDAD | 307
10 Se consideran dos sucesos, A y B, de un experimento aleatorio, de los cuales se conoce que P (Bc) = 0,34, P (A ∩ B) = 0,37 y P (A ∪ B) = 0,76. Calcula P (A) y P (B).
11 Determina si son compatibles o incompatibles los sucesos A y B
de un experimento aleatorio, teniendo en cuenta que P (A) = 32 ,
P (B) = 72 y P (A ∪ B) =
2120 .
12 En una alacena se guardan 14 platos llanos grandes, 11 platos llanos pequeños y 13 platos hondos. Si se coge un plato al azar, indica cuál es la probabilidad de que el plato sea:
a. Hondo.
b. Llano pequeño.
c. Llano grande.
13 En un aparato de música están presintonizadas 10 emisoras de radio; de ellas, 3 son divulgativas, 5 son musicales y 2 son de-portivas. Si Andrea selecciona al azar uno de los 10 botones con los que se sintonizan estas emisoras, halla la probabilidad de que la emisora elegida:
a. Sea una emisora musical.
b. Sea una emisora divulgativa.
c. No sea una emisora deportiva.
14 Una baraja española contiene 40 naipes agrupados en cuatro palos: oros, copas, espadas y bastos. Cada palo tiene diez nai-pes: siete cartas numeradas del 1 al 7 y tres figuras (sota, caba-llo y rey). Si se extrae una carta de forma aleatoria de la baraja, halla la probabilidad de los siguientes sucesos:
a. A = {sacar una figura} c. A ∩ B
b. B = {sacar un oro} d. A ∪ Bc
15 En un experimento aleatorio se consideran los sucesos A y B, que cumplen las condiciones:
P (A) = 51 , P (B) =
31 y P (Ac ∩ Bc) =
52
¿Verifican las propiedades de la probabilidad?
16 Con objeto de financiar parte de su viaje de fin de curso, los alumnos de 4.º de ESO de cierto instituto han vendido 200 pa-peletas para una rifa de dos premios. Si Manu ha comprado 10 papeletas, ¿cuál es la probabilidad de que consiga algún premio?
17 En la clase de Ana quieren elegir a una alumna que haga habi-tualmente deporte. Los 30 alumnos de la clase practican algún deporte, 25 de ellos están apuntados a atletismo y 17 juegan a bádminton. ¿Cuál es la probabilidad de que salga elegida una persona que practique ambas modalidades deportivas?
5 Comprueba que se cumplen las propiedades de las operaciones con sucesos para el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado y registrar el resultado, teniendo en cuenta los siguien-tes sucesos: A = {1, 2, 3} y B = {sacar un número impar}
6 Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y pon un ejemplo que corrobore tu respuesta:
a. Si dos sucesos son compatibles, entonces sus sucesos contra-rios también lo son.
b. Si dos sucesos son incompatibles, entonces sus sucesos con-trarios también los son.
c. Dos sucesos que sean contrarios pueden ser incompatibles.
d. Dos sucesos que sean contrarios pueden ser compatibles.
7 Se lanza un dado dodecaédrico y se anota el número de la cara superior. Escribe los elementos de los sucesos:
a. A = {obtener número impar} y B = {obtener número primo}
b. A ∪ B y A ∩ B
c. Ac ∩ B y A ∪ Bc
d. (A ∩ B)c y (A ∪ B)c
8 Celia tiene una baraja vieja de la que se han extraviado varias cartas, pero con las restantes plantea un reto a sus amigos: si saca una carta al azar, la probabilidad de que sea un as es P (as) = 0,16, la de que sea una espada es P (espada) = 0,33, y la de que sea un as o una espada es P (as o espada) = 0,45; ¿se puede asegurar que el as de espadas está entre las cartas que quedan de la baraja?
2Probabilidad en experimentos simples
9 Se ha lanzado 500 veces un dado tetraédrico con sus caras numeradas del 1 al 4 y se han anotado los resultados obtenidos en esta tabla:
N.º lanzamientos
N.º obtenido100 200 300 400 500
1 24 55 77 101 126
2 18 42 74 98 123
3 30 60 78 107 130
4 28 43 71 94 121
a. Halla la frecuencia relativa de cada número e indica su proba-bilidad experimental.
b. ¿Pertenecen todas las probabilidades al intervalo [0 , 1]?
c. Comprueba que las probabilidades de los sucesos elementales suman 1.
d. Halla la suma de la probabilidad de obtener 2 y la probabilidad de no obtener 2.
308 | LAS GRANDES MENTES DISCUTEN IDEAS; LAS MENTES PROMEDIO DISCUTEN ACONTECIMIENTOS; LAS MENTES PEQUEÑAS DISCUTEN CON LAS PERSONAS
27 Para empezar bien el día, Sara se prepara un desayuno com-pleto de lo que más le gusta: un buen tazón de leche con cerea-les. Dispone para ello de copos de cereales de diferentes variedades para mezclarlos: de avena, de trigo, de maíz y de centeno, y también le gusta añadir muesli. De estos cinco pro-ductos siempre echa cuatro: muesli y otros tres cereales que elige al azar.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que hoy desayune copos de avena?
b. ¿Y de que su desayuno no contenga maíz?
3Probabilidad en experimentos compuestos
28 Se lanzan dos dados de seis caras numeradas del 1 al 6 y se suman los números obtenidos en la cara superior. Halla la pro-babilidad de que el resultado de la suma sea 11.
29 Se lanzan tres monedas al aire. Calcula la probabilidad de:
a. Obtener una cara.
b. Obtener dos caras.
c. No obtener ninguna cara.
d. Obtener al menos una cara.
30 En un centro de acogida de animales hay 25 perros y 12 gatos. Si se eligen dos animales al azar, halla la probabilidad de que:
a. Los dos sean gatos.
b. Uno sea un perro y otro un gato.
31 Luismi tiene dos tipos de fruta: 12 manzanas y 8 peras. De las manzanas hay 3 picadas, mientras que entre las peras 2 están estropeadas. Si Luismi elige al azar una de las frutas, ¿cuál es la probabilidad de que esté en mal estado?
32 En un cajón hay 10 pares de calcetines negros y 6 de calcetines blancos. Si se extraen dos pares de calcetines aleatoriamente, halla la probabilidad de que:
a. Los dos pares sean de distinto color.
b. Los dos pares sean negros.
18 Las letras de la palabra MANZANA se escriben cada una en una tarjeta y se introducen en una bolsa. A continuación, se lleva a cabo el experimento aleatorio consistente en extraer una pape-leta de la bolsa y apuntar la letra escrita.
a. Halla la probabilidad de extraer la letra A.
b. ¿Qué es más probable extraer una vocal o una consonante?
c. ¿Cuál es la probabilidad de no extraer una N?
19 Cristina y Carlos han ideado un juego con números. Para ello, han anotado en tarjetas los números del 1 al 12, ambos inclu-sive. A continuación, han introducido las doce tarjetas en una bolsa y extraen una al azar: si es un número múltiplo de 3 o de 6, el juego lo gana Cristina; por el contrario, si el número es mayor de 7 o menor de 3, el ganador es Carlos. ¿Cuál de los dos amigos tiene mayor probabilidad de ganar?
20 Indica si es verdadera o falsa la siguiente afirmación, razo-nando tu respuesta: «Si la probabilidad de que ocurran dos su-
cesos a la vez es menor que 31 , la suma por separado de las
probabilidades de ambos sucesos no puede ser mayor de 34 ».
21 Con los dígitos 1, 2, 3 y 4 se forman números de tres cifras distintas. Halla la probabilidad de que, al elegir uno al azar:
a. Sea par.
b. Comience por 1.
c. Sea mayor de 200.
22 Con los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5 se forman números de tres cifras que pueden repetirse. Halla la probabilidad de que, al elegir un número al azar:
a. Sea impar.
b. Sea menor de 300.
c. Sea capicúa.
23 En el cumpleaños de Luis, cuatro amigos se preguntan sobre la probabilidad de que al menos dos de ellos celebren este año su cumpleaños el mismo día de la semana. ¿Puedes calcular cuál es esa probabilidad?
24 Si se toma un número al azar de entre todos los comprendi-dos entre el 4 000 y el 9 000, ambos inclusive, ¿cuál es la pro-babilidad de que sea capicúa?
25 En las quinielas de fútbol hay que acertar el resultado de 15 partidos. Si gana el equipo local, se marca 1; si gana el equipo visitante, 2, y si empatan, se pone X. Calcula la probabi-lidad de hacer un pleno al 15, es decir, acertar los 15 resultados de la quiniela.
26 Dos amigos están jugando a pensar un número cada uno del 1 al 5 para ver si coinciden en su elección. ¿Cuál es la probabi-lidad de que ambos piensen el mismo número?
14 | PROBABILIDAD | 309
37 A unas pruebas de natación se presentan 34 candidatos. Reco-rren la distancia exigida en menos de 2 min 12 de las mujeres y 16 de los hombres. Teniendo en cuenta que el total de mujeres presentadas es de 14, elabora una tabla de contingencia y halla las probabilidades de que, al elegir un participante al azar:
a. Sea un hombre.
b. Sea una mujer y tarde al menos 2 min.
c. Tarde menos de 2 min y sea un hombre.
38 Se está realizando un estudio sobre la conveniencia de cierta vacuna y para ello se han recogido datos en un grupo de 100 personas. Según estos datos, 82 integrantes de este grupo están actualmente vacunados; 70 son mayores de 65 años y, de ellos, 8 no están vacunados. Elegida una persona al azar, cal-cula la probabilidad de que:
a. Esté vacunada.
b. No esté vacunada y tenga más de 65 años.
c. Esté vacunada si es menor de 65 años.
39 Para realizar una selección entre un grupo de 80 personas, se clasifican entre quienes tocan algún instrumento de música y son mayores de 40 años. Esta clasificación permite comprobar que 12 personas menores de 40 años tocan algún instrumento y que de las 50 personas mayores de 40 años hay 20 que no tocan ningún tipo de instrumento. Si se eligiera una persona al azar, halla la probabilidad de que:
a. Sea menor de 40 años.
b. Toque algún instrumento.
c. Tenga más de 40 años y toque algún instrumento.
d. No toque ningún instrumento sabiendo que es menor de 40 años.
Elabora una tabla de contingencia para responder a las preguntas.
40 Se ha realizado una encuesta con objeto de conocer si los habi-tantes de una ciudad usan el transporte público o el privado para ir a trabajar y si lo hacen por la mañana o por la tarde. Se ha encuestado a 500 personas y se ha constatado que, de las 180 personas que se desplazan en transporte público, 130 lo hacen por la mañana. También se ha registrado que hay 100 personas que acuden por la tarde usando el transporte privado. Si se elige una de las personas encuestadas al azar, calcula la probabilidad de que:
a. Use el transporte privado.
b. Vaya por la tarde al trabajo en transporte público.
c. Acuda a trabajar por la mañana.
41 Ordena de mayor a menor los siguientes sucesos según la pro-babilidad que tienen de ocurrir:
• Obtener un 6 como resultado de sumar los números sacados al lanzar un dado dos veces.
• Obtener dos fichas dobles al extraerlas sucesivamente de un juego de dominó de 28 fichas.
• Obtener dos caras al lanzar sendas monedas.
33 Los caballos que participan en esta carrera avanzan hacia la meta mediante el siguiente procedimiento: se lanzan dos dados, se restan los números que han salido en ambos (siempre el ma-yor menos el menor) y el resultado obtenido indica el caballo que debe avanzar una casilla. ¿Tienen todos las mismas proba-bilidades de ser el primero en llegar a la meta? Investiga la pro-babilidad de cada uno de los resultados.
0
1
2
6
3
5
4
34 El mejor alero de un equipo de baloncesto tiene un gran acierto en el lanzamiento de tres puntos, con una probabilidad de ano-tar un triple de 0,8. Si en el primer cuarto del partido realizara dos lanzamientos de triple:
a. ¿Qué probabilidad tendría de encestar los dos triples?
b. ¿Qué probabilidad tendría de encestar alguno de los dos lan-zamientos?
35 En el desplazamiento a su lugar de trabajo, Silvia debe tomar tres medios de transporte público. Las probabilidades de que cada uno de los tres medios sea puntual y cumpla el horario previsto son de 0,9, 0,75 y 0,8, respectivamente. Halla la proba-bilidad de que:
a. Los tres medios de transporte lleguen a la hora prevista.
b. Silvia llegue tarde al trabajo porque los tres medios han lle-gado con retraso.
c. Al menos uno de ellos cumpla con el horario previsto.
d. Al menos dos lleguen puntuales.
36 Sea el experimento consistente en lanzar dos dados y sumar los números obtenidos en la cara superior. Dos sucesos posibles son obtener 7 u 8, ya que ambos se pueden conseguir con tres pa-rejas de números. Sin embargo, la probabilidad de obtener 7 es mayor que la de obtener 8. ¿Por qué?
310 | LAS GRANDES MENTES DISCUTEN IDEAS; LAS MENTES PROMEDIO DISCUTEN ACONTECIMIENTOS; LAS MENTES PEQUEÑAS DISCUTEN CON LAS PERSONAS
47 Dos amigos lanzan un dado y juegan a sacar el número más alto. Si el primero en lanzar ha obtenido un 4, calcula la proba-bilidad de que:
a. Gane el segundo jugador.
b. Empaten ambos jugadores.
c. Gane el primer jugador.
48 Tres personas han ido de visita a casa de un amigo. Al entrar, le han dado sus abrigos para que los guardara. Al marcharse, el amigo les ha devuelto los abrigos aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que cada abrigo haya sido entregado a su dueño?
4Probabilidad condicionada
49 Se considera el experimento aleatorio que consiste en extraer una carta de una baraja española de 40 naipes. Sean los suce-sos: A = {sacar una figura} y B = {sacar una espada}. Razona cuál de las siguientes probabilidades es menor: P (A/B) o P (B/A).
50 Se extraen tres cartas sin reemplazamiento de una baraja espa-ñola de 40 naipes. Calcula la probabilidad de:
a. Sacar tres reyes.
b. Sacar tres figuras.
c. Sacar las tres del mismo palo.
d. Sacar al menos un as.
51 A la prueba teórica del carnet de conducir se han presentado 60 aspirantes, de los cuales 20 han ensayado los test que la academia ofrece en su web sin necesidad de asistir a clase. Se sabe que aprueban el 70 % de los aspirantes que usan la web para su preparación y el 60 % de los que asisten a clases. Si se elige un alumno al azar:
a. Determina la probabilidad de que haya suspendido, sabiendo que es de los que asisten a clase.
b. Calcula la probabilidad de que haya aprobado.
52 A Enrique le han regalado dos cajas de bombones: una con-tiene 8 bombones de chocolate negro y 4 del blanco, y la otra contiene 6 bombones de cada tipo. Si Enrique toma una de las cajas al azar y coge un bombón aleatoriamente, ¿cuál es la pro-babilidad de que el bombón sea de chocolate negro?
53 A un concursante de un programa en el que se deben ir acer-tando preguntas para conseguir el premio final le quedan dos por responder. La fiabilidad del concursante, en tanto por uno, a la hora de dar una respuesta correcta a las preguntas es de un 0,7. Halla la probabilidad de que:
a. Acierte las dos respuestas y consiga el premio.
b. Responda de forma errónea a una de las preguntas y quede eliminado.
42 A una conferencia sobre cambio climático asisten 54 personas menores de 30 años y 36 cuyas edades oscilan entre 30 y 50 años. La tercera parte de los integrantes del primer grupo de edad y la mitad de los del segundo no tienen estudios superio-res. Si se toma uno de los asistentes al azar, calcula la probabi-lidad de que:
a. Tenga una edad de entre 30 y 50 años.
b. Haya cursado estudios superiores.
c. Sea miembro del primer grupo sin estudios superiores.
43 En una encuesta realizada a 80 jóvenes acerca de sus habili-dades en las tareas del hogar, 19 indican que saben cocinar, 67 contestan que no saben planchar y 51 declaran que no son capaces de realizar ninguna de las dos tareas. Si se elige a uno de los encuestados aleatoriamente, halla la probabilidad de que:
a. Sepa cocinar y planchar.
b. Sepa planchar, pero no cocine.
c. Solo sepa cocinar.
44 Inés y Patricia trabajan en la elaboración de una misma pieza para aviones en dos factorías diferentes. El volumen de produc-ción de la pieza que fabrica Inés es de 5 000 unidades al día, mientras que en el caso de Patricia son 3 000 unidades diarias. El porcentaje de piezas defectuosas para cada una de esas par-tidas es de 0,03 % y 0,015 %, respectivamente. Si en los contro-les de seguridad se elige una muestra de piezas al azar, halla la probabilidad de que una pieza tomada al azar sea defectuosa en cada una de las fábricas.
45 Se dispone de dos urnas, A y B. La urna A contiene 3 bolas verdes, 3 bolas amarillas y 4 bolas rosas, y en la urna B hay 2 bolas verdes, 5 bolas amarillas y 3 bolas rosas. Se lanza una moneda; si sale cruz, se extrae una bola de la urna A, y si sale cara, una de la urna B. Halla la probabilidad de obtener:
a. Cruz y bola verde.
b. Bola verde.
c. Bola amarilla.
d. Bola no rosa.
46 Copia en tu cuaderno la tabla de contingencia propuesta y com-plétala con las siguientes características:
P (D/A) = 258 , P (B/C) =
3013 , P (B/D) =
157
Nota: las fracciones no están simplificadas.
C D Total
A
B
Total
14 | PROBABILIDAD | 311
59 Se consideran los sucesos A, B y C, que cumplen las siguientes condiciones:
P (A) = 83 P (B) =
92 P (C) =
31
P(A ∩ B) = 706 P (B/C) =
92 P (A ∩ C) =
81
Indica, razonando tu respuesta, qué parejas de sucesos son in-dependientes.
60 Una urna tienen la siguiente composición:
Se extraen dos bolas de la urna sucesivamente y sin reemplaza-miento. Halla las siguientes probabilidades:
a. Las dos bolas son azules.
b. La primera bola es morada y la segunda gris.
c. Una bola es azul y otra gris.
d. Las dos bolas tienen colores diferentes.
61 En un experimento aleatorio se consideran dos sucesos, A y B, que cumplen las siguientes condiciones:
P (A) = 0,3 P (Bc) = 0,5 P (Ac ∩ Bc) = 0,35
a. ¿Son los sucesos A y B independientes? Razona tu respuesta.
b. Halla P (A/B).
62 Sea A un suceso tal que P (A) ∈ (0 , 1); responde a las si-guientes cuestiones, razonando tus respuestas:
a. ¿Es el suceso A independiente del suceso Ac?
b. Si B es un suceso tal que P (B) ∈ (0 , 1) y B ⊂ A, ¿pueden los sucesos A y B ser independientes?
63 Demuestra que, si dos sucesos, A y B, son independientes, también lo son sus contrarios.
64 Considera dos sucesos, A y B, compatibles. ¿Tienen que ser dependientes? Indica algún ejemplo que corrobore tu respuesta.
65 Se conocen las siguientes probabilidades de dos sucesos, A
y B, de un experimento aleatorio: P(B) = 41 , P(A/B) =
31 y
P (B/A) = 41 . Razona si son ciertas o falsas las siguientes afirma-
ciones:
a. Los sucesos A y B son dependientes.
b. Los sucesos A y B son compatibles.
c. P(Ac/Bc) = 31
d. P(B/A) + P(Bc/Ac) = 1
54 Se ha extendido un virus mortal y ha afectado a un 25 % de cierta población. Se ha conseguido elaborar una vacuna contra el virus, aunque todavía no es completamente efectiva, pues solo cura al 80 % de los afectados, además de infectar al 1 % de la población sana. Si se realiza una vacunación masiva de toda la población, halla la probabilidad de que:
a. Una persona sane si anteriormente estaba infectada.
b. Una persona quede infectada si anteriormente estaba sana.
c. Una persona quede infectada si ya lo estaba.
d. Una persona permanezca sana si ya lo estaba.
e. Después de la vacunación una persona quede sanada.
5Sucesos dependientes e independientes
55 En unas oposiciones, se eligen tres temas al azar de entre los 70 de que consta el temario. Si un opositor tiene bien preparados 40 temas, halla la probabilidad de que se sepa al menos uno de los tres temas.
56 En el mismo armario de Laura e Inés, dos hermanas mellizas que comparten ropa, hay seis pantalones amarillos, ocho de cuadros y cinco cortos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que Laura coja un pantalón de cuadros?
b. Si la hermana de Laura ha cogido un pantalón de cuadros, ¿cuál es la probabilidad de que el elegido por Laura sea tam-bién de cuadros?
57 Dos urnas tienen la siguiente composición:
Urna 1 Urna 2
Si se extrae una bola de cada una de las urnas, halla las siguien-tes probabilidades:
a. Las dos bolas extraídas son rosas.
b. La primera bola es marrón y la segunda rosa.
c. La primera bola es rosa y la segunda marrón.
d. Una bola es rosa y otra marrón.
e. La segunda bola es marrón.
58 Según la impresión que tiene un estudiante tras finalizar los exámenes, las probabilidades de aprobar Matemáticas son del 91 %, las de aprobar Historia del 50 % y las de aprobar Lengua del 72 %. Halla:
a. La probabilidad de no aprobar ninguna materia.
b. La probabilidad de aprobar alguna de ellas.
