UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONALINSTITUTO PEDAGOGICO NACIONAL

ENFÁSIS EN MATEMÁTICAS

ACTIVIDAD ESCOLAR: Presentación del Polinomio de Alexander, como Invariante de Nudos.

Por:

Andrés Hernando Borda Muñoz.

RESUMEN

En este trabajo se desarrolla un ejercicio propuesto en la asignatura de Tópicos de Calculo dentro de la temática de los NUDOS, la cual busca desarrollar, comprobar, y caracterizar el polinomio de Alexander como invariante de nudos, orientada por el licenciado William Alfredo Jiménez dentro del programa de énfasis de matemáticas para grado undécimo del Instituto Pedagógico Nacional.

En el desarrollo de este documento veremos la definición básica de nudo, características y problemas, además abordaremos la demostración del Polinomio de Alexander con el nudo de “Trébol” adquiriendo nociones básicas, las cuales nos permitirán, desarrollar un nudo propuesto en el desarrollo del curso para lograr llegar al Polinomio.

A continuación, se caracterizara el Polinomio de Alexander y se desarrollaran dos ejemplos mas de nudos utilizando la calculadora TI 92 como herramienta tecnológica y de aplicación para el desarrollo del Polinomio.

CONCEPTOS BÁSICOS, CARACTERISTICAS Y PROBLEMAS.

“El concepto matemático de nudo es una abstracción de la siguiente imagen física: Se toma un trozo de cuerda, se anuda, y después se identifican los extremos de tal manera que no podamos distinguir donde se ha realizado ese pegado. El resultado es una cuerda circular anudada” (Lozano, 1998, p.5), con esto se concluye que para un topólogo un nudo es una circunferencia en el espacio, es por ello que encuentra la siguiente definición matemática: El subconjunto K⊂R3 es un nudo si existe un homeomorfismo (misma forma, biyección de dos espacios topológicos) del círculo unitario S1 en R3 cuya imagen es K. Donde S1 es el conjunto de puntos (x, y) en el plano R2 que satisfacen la ecuación x2+ y2=1 (Cisneros, 2011, p.8).

Es por ello que de allí, entendamos la noción de nudo como termino indefinido dentro del curso de Tópicos, ya que su definición se compone principalmente de las nociones básicas de la geometría euclidiana las cuales son términos indefinidos.

Ahora, mediante el razonamiento de actividades propuesta en clase como “el trozo de lana”, identificamos que cualquier movimiento que se haga sin cortar ni volver a pegar el nudo nos proporciona un nudo equivalente. Gracias a esto surge la teoría de los nudos la cual hace parte de las matemáticas en la rama de la Topología, la cual ignora por completo la textura, el tamaño y la forma de estos. A partir de esta rama se desencadena una serie de problemas como el de la nomenclatura de los nudos, la cual ha sido tan discutida a lo largo de nuestras sesiones de Tópicos, ya que la actual nomenclatura (o la proporcionada por el profesor) solo los discrimina por orden cronológico de aparición, es por ello que sugerir un tipo de nomenclatura nueva es un ejercicio dinámico y en la mayoría de casos complejo, pero que logra poner a prueba el intelecto.

Fig. No. 1 Nudos de la tabla de Tait.

La anterior tabla fue desarrollada por el señor Tait, la cual fue muy discutida debido a que sus fundamentos matemáticos no son fuertes ni solidos, para mostrar que un nudo era diferente de otro, solo se basaba en demostraciones empíricas. Por ello se empieza a trabajar en cosas más formales.

Desde este punto, se han tenido diversas propuestas para solucionar el problema. Para comenzar a verlas es necesario diagramar el nudo, esto significa pasar el nudo a una proyección sobre el plano (ya que, el nudo es una representación tridimensional).

De esta forma aparece en 1932 Reidmeister, el cual publica unas transformaciones (las cuales denominaremos Axiomas) y a estas se les denomina “Desplazamientos de Reidmeister”. Con ello el teorema que se postula es que dos nudos son equivalentes, si sus diagramas se pueden convertir uno en otro a través de una sucesión de pasos con los Axiomas.

Fig. No.2 Axiomas de Reidmeister.

Aplicando estas transformaciones a un nudo, se podrá reducir a un nudo isomorfo. Como en la Actividad No. 1 de Tópicos, se aplican los movimientos de Reidmeister a un nudo para reducirlo a su diagrama mínimo, en este ejemplo, el nudo se reduce al nudo trivial.

Fig. No. 3 Aplicación de los Movimientos de Reidmeister para reducir un nudo a un diagrama mínimo.

Con los Axiomas de Reidmeister, además de poder ser desarrollados de forma grafica, también se puede de forma “matemática”, aplicando sus axiomas, se decodifica el nudo teniendo en cuenta el numero de cuerdas y el sentido en contra de las manecillas del reloj del cruce en el que entre la cuerda, además es de importancia especificar un inicio del nudo para empezar a caminar sobre él.

Fig. No. 4 Nudo de trébol, identificación de cuerdas.

Ahora se muestra la decodificación del nudo anterior en una matriz, con la cual, mediante el uso de los axiomas se reducirá a tal punto que quede el nudo

nulo o trivial el cual le corresponde la matriz [ [1,1 ] [1,1 ] ].

1 3 21 2 1

4 2 42 4 3

3 2 31 3 1

1 4 24 3 4

4 2 12 1 3

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INVARIANTE DE NUDOS.

En esta parte describiremos un tipo nuevo de invariantes de nudos. Esta vez, en lugar de asignar a los nudos un número o un grupo, les asignaremos polinomios. En la historia de la teoría de nudos hay dos momentos importantes los cuales revitalizaron y ahondaron el entendimiento de dicha área. Esos momentos son el descubrimiento del polinomio de Alexander en 1928 y el descubrimiento del polinomio de Jones en 1984. (Cisneros 2011)

El polinomio de Alexander asocia a cada nudo K un polinomio ΔK (t) en una variable t. Alexander probablemente descubrió este polinomio pensando acerca de espacios cubrientes, pero su artículo era estrictamente combinatorio y usaba algebra lineal, determinantes y los movimientos de Reidmeister. Demostró que si dos nudos o enlaces orientados K1 y K2 son equivalentes, entonces ΔK1 (t) ≗ ΔK2 (t), donde ≗ significa igualdad salvo un múltiplo de ±tn, para algún entero n. (Kosniowski, 1989)

Desde el curso de Tópicos, el Profesor William nos acerca a este concepto de Polinomio, utilizando el desarrollo del nudo de trébol. Para empezar se debe realizar el diagrama bidimensional del nudo, en este se debe marcar con dos puntos la arista que pasa por arriba.

El diagrama de un nudo con n cruces genera un diagrama con n+2 regiones, a cada región se le asigna un índice. No existe una indicación especial para asignar los índices a las regiones. Una de estas asignaciones se muestra en la Fig. No.5, donde Ri indica las regiones y Ci indica los puntos cruce del diagrama de nudo. Aunque es importante resaltar la forma general del polinomio en cuanto a la relación de área y corte.

Cn=Xr−Xr k+rs−rm

Fig. No. 5 Nudo de Trébol con su respectiva marcación.

NOTA: El desarrollo de este nudo se vera en un Documento de Excel denominado “Matrices Nudo de Trébol”.

En base a este ejemplo surge la necesidad de desarrollar un nudo más complejo para encontrar el polinomio o por lo menos ver los pasos para llegar hasta un polinomio, es por esto que desarrollamos el nudo de la Figura No. 6.

Fig. No. 6 Nudo a desarrollar.

NOTA: El desarrollo matricial de este nudo se vera en detalle en un Documento de Excel denominado “Matrices Nudo No. 1”.

Al finalizar el desarrollo de este nudo se concluye una serie de aspectos que lo caracterizan muy especialmente.

CARACTERIZACION DEL POLINOMIO DE ALEXANDER.

Como invariante de los nudos, cumple la característica primordial de ser una “solución” al problema principal de la teoría de nudos en topología saber si dos nudos son iguales o no denominada bajo el término de isotopía, esta es un conjunto de deformaciones continuas de un nudo haciendo dobleces, enredos, reducir o aumentar el tamaño evitando siempre romper el nudo. Un grupo de nudos son isótopos si existe una isotopía entre ellos, a este grupo se le llama clase isotópica y a los miembros de la clase se les llaman proyecciones y son considerados nudos isomorfos o iguales.

Este tan famoso polinomio fue descubierto en 1928 por James Waddell Alexander. Este parte de la representación bidimensional del nudo, el cual debe ser marcado con dos puntos la cuerda que pasa por arriba del cruce. Por esto el diagrama de un nudo con n cruces produce un diagrama con n+2 áreas, a cada región se le asigna un índice consecutivo y específico.

Debido a esto es posible asignar una serie de ecuaciones a un diagrama de nudo. Estas ecuaciones de un diagrama determinan su estructura. Con estas ecuaciones se genera la matriz de coeficientes, con n filas y v+2 columnas, donde las filas representan los cruces y las columnas representan las regiones. (Vásquez 2005)

La matriz generada cumple una propiedad muy especial para nuestro estudio, si se reduce la matriz M a una matriz cuadrada eliminando las dos columnas consecutivas de índices p y p +1, el determinante de la matriz restante M0 será independiente de las dos columnas eliminadas, dentro de un factor de la forma n±x (Alexander, 1928) El determinante obtenido es el llamado polinomio de Alexander y es un invariante de nudos.

ALGORITMO DEL POLINOMIO

Dentro de su caracterización se rescatan ciertos pasos a seguir en su desarrollo. Primero, se elige la orientación del nudo y se numeran los cruces y los puntos. Luego se obtiene la matriz y finalmente se encuentra el determinante. Y sobresale la siguiente característica “Si el polinomio de Alexander para un nudo es calculado utilizando diferentes conjuntos de elecciones de diagramas y etiquetados, los polinomios resultantes difieren por un múltiplo de ±tk $ k, k Ì Ζ. Así que no importa la fila y/o columna que se elimine para obtener la matriz de Alexander, tampoco importa el sentido del recorrido del nudo y tampoco importa el etiquetado de las aristas y vértices. Esta es, justamente, la propiedad de invariantes. (Vásquez, 2005)

Para ir culminando este documento se desarrollaran dos ejercicios mas del polinomio de Alexander con los nudos de las Figuras 7 y 8, pero esta vez se utiliza la calculadora TI–92 como herramienta tecnológica, la cual nos permite obtener resultados instantáneos de las matrices, expresados en el polinomio.

Fig. No. 7 Nudo 52 Fig. No. 8 Nudo 934

NOTA:El desarrollo de los dos nudos en su etapa inicial, esdecir en identificacion de los cortes y matriz de coeficientes se visualizaran en el Documento de Excel denominado “Matrices Nudo No. 2” y “Matrices Nudo No. 3”.

SOLUCION NUDO No.2

En este caso se denomina a la matriz dentro de la calculadora con la letra n, la cual al sacar el determinante da x2.

Fig. No. 9 Calculadora TI-92

NOTA: Las matrices de este nudo se encuentran en el Documento de Excel denominado “Matrices Nudo No. 2” y se añade la calculadora para cualquier consulta posterior.

SOLUCION NUDO No. 3.

En este caso se denomina a la matriz dentro de la calculadora con la letra m, la cual al sacar el determinante da:

2 x3 (x4−3 x3+2 x2−4 x+2 ) .

Fig. No. 10 Calculadora TI-92

NOTA: Las matrices de este nudo se encuentran en el Documento de Excel denominado “Matrices Nudo No. 2” y se añade la calculadora para cualquier consulta posterior.

Para redondear el tema utilizamos la calculadora para desarrollar el nudo de la Figura 6, denominando en la calculadora a la matriz con la letra b, la cual al resolver la determinante da:

x3 (x6−x5+x3−x2+1 ) .

Fig. No. 11 Calculadora TI-92

APLICACIONES

La teoría de nudos comenzó con el modelo atómico de Lord Kelvin, en el cual el universo entero estaba hecho de una substancia llamada éter y que la materia podía ser explicada como vórtices tubulares anudados en el. Tiempo después, dicha teoría fue descartada como válida y la teoría de nudos paso a ser únicamente una rama de las matemáticas puras.

El primer lugar donde la teoría de nudos encontró aplicaciones fue en el estudio del ADN. En 1953, James Watson y Francis Crick descubrieron que el material genético básico de la vida en la tierra tomaba la forma de una doble hélice. A partir de dicho descubrimiento, las relaciones entre el ADN (ácido desoxirribonucleico) y la teoría de nudos han sido interminables. También se encontró que el ADN frecuentemente se encuentra anudado, lo cual dificulta que el ADN realice su función. Existen enzimas llamadas topoisomerasas que pueden realizar manipulaciones topológicas en el ADN.

Otra área de aplicación de la teoría de nudos es la mecánica estadística. Esta aplicación fue descubierta recientemente. Vaughan Jones descubrió dicha conexión cuando descubrió el nuevo invariante polinomial de nudos y enlaces que lleva su nombre. En este campo, los nudos pueden representar sistemas y por lo tanto se incrementa su facilidad de estudio. La teoría de nudos es uno

de los más fascinantes campos de estudio dentro de las matemáticas, por si misma y por las múltiples aplicaciones que se han encontrado últimamente.(Cisneros 2011)

BIBLIOGRAFÍA

(Lozano, 1998) Lozano, M.T, Nudos y variedades tridimensionales (Discurso de ingreso en la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas, Químicas y Naturales de Zaragoza). Zaragoza: Librería General, 1998.

(Cisneros, 2011)Cisneros Molina, José Luis. Introducción a la teoría de nudos, v jornadas de física y matemáticas, Universidad Autónoma de Ciudad Juárez, 2011.

(Kosniowski, 1989) C. Kosniowski. Topología Algebraica. Editorial Reventé, 1989.

(Vásquez 2005)Vásquez Huerta, Ma. Elena, El polinomio de Alexander como invariante de nudos, Universidad Politécnica de Querétaro, 2005.

(Alexander, 1928) Alexander, J.W. Topological Invariants of knots and links, Transactions of the American Mathematical Society, 1928.

(Villabón, 2010)Villabón Aldana, Edgar. El Grupo Fundamental de Enlace, Universidad Nacional de Colombia (Sede Medellín), 2010.