Límites y continuidad de

funciones

1

Definición de límite• Llamamos LÍMITE de una función f en un punto x=a al valor al que

se aproximan los valores de la función cuando x se aproxima al valor de a.

• lím f(x) = b • x→→→→ a

2

• EJEMPLO:•• lím x2 = 22 = 4 ya que si…• x→→→→2

• El valor de x se aproxima a 2: 1’9, 1’99, 1’999, …• El valor de f(x) se aproxima a 4: 3’96, 3’98, 3’99, …

• El valor de x se aproxima a 2: 2’1, 2,01, 2,001, …• El valor de f(x) se aproxima a 4: 4’41, 4’04, 4’004, …

Definición de límite

• En un límite vemos que x puede tender al valor de “a” tomando valores tanto por su derecha como por su izquierda. Por ejemplo, puede tender a 2 tomando las siguientes sucesiones de números:

• 2’1, 2’01, 2’001,2’0001, 2’00001, …• 1’9, 1’99, 1’999, 1’9999, 1’99999, …• Se hace preciso distinguir ambos límites.

LIMITE POR LA DERECHAlím f(x) = L1x→xo+

•LIMITE POR LA IZQUIERDA

lím f(x) = L2 x→xo--

•Una función f tiene límite en un punto xo si sus límites laterales en dicho punto existen y coinciden.

3

Límites laterales

• Ejemplo_1• x – 4 • Lím ------------• x→ 1 x – 2 •• x y• ------------------------• 0,99 2,9802• 0,999 2,9980• 1 ? • 1,001 3,0020• 1,01 3,0202

• Como se puede intuir, el límite de la función cuando x�1 es 3

• Pero también f(1) = (1 – 4)/(1 –2)=3

4

• Ejemplo_2• x – 3 • Lím ----------• x→ 3 x2 – 9 •• x y• ------------------------• 2,999 0,1667• 2,9999 0,16667• 3 ?• 3,0001 0,16667• 3,001 0,1667

• Como se puede intuir, el límite de la función cuando x�3 es 1/6.

• Ahora f(3) <> 1/6

Límites laterales

5

• Ejemplo_1

• En la gráfica de la función vemos que:

• LIMITE POR LA DERECHA• lím f(x) = 7 • x→→→→ 2+

•• LIMITE POR LA IZQUIERDA• lím f(x) = 5• x→→→→ 2-

0 1 2 3 x

7

5

• Ejemplo_2

• En la gráfica de la función vemos que:

• LIMITE POR LA DERECHA• lím f(x) = 1

x→→→→ 0+

•• LIMITE POR LA IZQUIERDA

lím f(x) = 0x→→→→ 0-

0 1 2 x

y

1

Valor del límite y valor de la función

• EJEMPLO 1

• Sea la función de la izquierda.

• Si calculamos el límite en x=2 tenemos:

• Lím f(x) = Lím f(x) = 1• x�2+ x�2-• Sin embargo en x=2 la

función no existe, pues su dominio es:

• Dom f(x) = R – {2}

• En x=2 la función presenta límite y vale 1, aunque no existe valor de la función.

1

2

x2 – 3.x + 2f(x) = -----------------

x – 2

• EJEMPLO 2

• Sea la función troceada de la izquierda:

• Si calculamos el límite en x=1 tenemos:

• Lím f(x) = 1• x�1+ • Lím f(x) = 2• x�1-• Al no ser iguales los límites

laterales, en x = 1 la función no tiene límite.

• Sin embargo en x=1 la función existe y vale 2:

• f(1) = 1+1 = 2

• En x=1 la función existe, pero no presenta límite.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I 7

2

1

- 1 0 1

y=x+1

y=1

x+1 , si x ≤ 1f(x) =

1 , si x > 1

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Aplicadas CS I 8

• EJEMPLO 3

Sea la función

Si calculamos el límite en x=1 tenemos:

Lím f(x) = 4 – 12 = 3

x�1+

Lím f(x) = 4 – 12 = 3

x�1-

Al ser iguales los límites laterales, en

x = 1 la función tiene límite y vale 3.

Sin embargo en x=1 la función existe y vale 0: f(1) = 0

En x=1 la función existe, y el límite también, pero sus valores son distintos.

f(1) <> lím f(x)

x�1

-2 -1 0 1 2

4 – x2 , si x<>1y =

0 , si x=1

4

4 – x2 , si x<>1y =

0 , si x=1

9

• EJEMPLO 4

• Sea la función de la derecha:

• La podemos escribir también así:

• (– 2 + x)/(x – 2 ) = 1, si x >2

• f(x) =

• (2 – x)/(x – 2 ) = – 1, si x <2

• Si calculamos el límite en x =2 tenemos:

• Lím f(x) = (– 2+ 2+)/(2+ – 2 ) = 1

• x�2+

• Lím f(x) = (– 2+2-)/(2- – 2 ) = – 1

• x�2-

• Al no ser iguales los límites laterales, en

• x = 2 la función no tiene límite.

• Tampoco existe en x=2, pues no forma parte del dominio de la función.

4

-2 -1 0 1 2

|2 – x|f(x) = ----------

x – 2

LÍMITES LATERALESLÍMITES LATERALESLÍMITES LATERALESLÍMITES LATERALES• x – 4 , si x < 2 � Función lineal• Sea f(x) = • – 2 , si x ≥ 2 � Función constante

• Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x=2• Límite por la izquierda de x=2• Lím f(x) = Lím (x – 4) = 2 – 4 = – 2• x�2- x�2 • Límite por la derecha de x=2• Lím f(x) = lím – 2 = – 2 • x�2+ x�2

• El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego en x=2 existe dicho límite y vale - 2.

10

LÍMITES LATERALES

• x2 – 4 , si x < 1 � Función cuadrática• Sea f(x) = • x – 2 , si x ≥ 1 � Función lineal

• Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x=1• Límite por la izquierda de x=1• Lím f(x) = lím (x2 – 4) = 12 – 4 = – 3• x�1- x�1 • Límite por la derecha de x=1• Lím f(x) = lím (x – 2) = 1 – 2 = – 1 • x�1+ x�1

• El límite por la izquierda no coincide con el límite por la derecha, luego en x=1 no existe límite de la función.

11

Límites laterales

• x – 2 , si x < - 1 � Función lineal• Sea f(x) = • 1 / x , si x ≥ - 1 � Función racional

• Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x = -1• Límite por la izquierda de x= -1• Lím f(x) = lím (x – 2) = (– 1) – 2 = – 2• x�-1- x�-1 • Límite por la derecha de x= -1• Lím f(x) = lím (1 / x) = 1 /(– 1) = – 1 • x�-1+ x�-1

• El límite por la izquierda no coincide con el límite por la derecha, luego en x=-1 no existe límite de la función.

• Nota: En x=0, al no pertenecer al dominio, podría no haber límite.

12

Límites laterales

• Si lím (f(x) = p y lím g(x) = q• x����a x����a• a) El límite de una suma es la suma de los límites:• lím (f(x) ± g(x)) = p+q• x����a• b) El límite de una constante por una función es la constante por el límite de

f:• lím k.f(x) = k. p• x����a• c) El límite de un producto o división es el producto o división de los límites:• lím (f(x) / g(x)) = p / q , excepto que q=0• x����a• d) El límite de una potencia es la potencia de los limites :• g(x) q • lím (f(x)) = p• x����a• f) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite:• lím log f(x) = log lím f(x) = log p • x����a b b x����a b

13

Límites laterales

• Si lím f(x) = 5 y lím g(x) = 3 , calcula:• x����2 x����2

• a) lím (f(x) + g(x)) = lím f(x) + lím g(x) = 5 + 3 = 8• x����2 x����2 x����2

• b) lím 7.f(x) = 7. lím f(x) = 7.5 = 35• x����2 x����2

• c) lím √ [ f(x) / g(x) ] = √ [ lím f(x) / lím g(x) ] = √ (5 / 3) = √15 / 3• x����2 x����2 x����2

• d) g(x) 3 • lím (f(x)) = 5 = 125• x����2

• f) lím log f(x) = log lím f(x) = log 5 = 1 / 2• x����2 25 25 x����a 25

Matemáticas Aplicadas CS I 14

Ejercicios

Si a es un número real, lím f(x) = + ∞ significa que cuando x tome valores x�amuy próximos a a, a ambos lados, los correspondientes valores de f se harán arbitrariamente grandes.

De forma análoga se define lím f(x) = – ∞.x�a

Si a es un número real, lím f(x) = +∞ significa que cuando x tome valoresx�a+

muy próximos a a, pero mayores que a, los correspondientes valores de f se harán arbitrariamente grandes.De forma análoga se define lím f(x) = - ∞∞∞∞.

x�a+Y también lím f(x) = +∞ o lím f(x) = – ∞∞∞∞.

x�a- x�a-

LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO

LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO:

Asíntotas verticales

Asíntota• Ejemplo 1

Si representamos la función:x 3

f(x)= ------ = 1 + -------x – 3 x – 3

Vemos que en x=3 la función no existe. Sin embargo existe en las proximidades de x=3, donde la gráfica tiende a juntarse con una recta vertical.Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto xo=3.

Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de xo=3

0 3 x

Y

1

Asíntota• Ejemplo 1

Si representamos la función:x

f(x)= ------x – 2

Vemos que en x=2 la función no existe. Sin embargo existe en las proximidades de x=2, donde la gráfica tiende a juntarse con una recta vertical.Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto xo=2.

Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de xo=2

LIMITES en el INFINITO

Asíntotas horizontales

Límites en el infinito• El límite de una función f, cuando x tiende a ± oo, es L si para

cualquier sucesión de valores de x que tienda a oo, el límite de la sucesión de las correspondientes imágenes es L.

•• lím f(x) = L1 lím f(x) = L2• x� +oo x� –oo• En caso de existir límite en el infinito decimos que f presenta una

asíntota horizontal. (O dos, si L1 es distinto de L2 )

• Ejemplo• f(x) = x / (x – 3)• Para x = 1000 � y = 1000/997 = 1,003• Para x=10000 � y = 10000/9997 = 1,0003• Para x = 100000 � y = 1,00003• Está claro que por mucho que aumente la variable x, el valor de y

cambia muy poco y además se acerca a y=1, aunque nunca llega.

Límites en el infinito• Otro ejemplo

• y = x / (x2 – 4)• Para x = 1000 � y = 1000/999996 = 0,001• Para x=10000 � y = 10000/9999996 = 0,0001• Para x = 100000 � y = 0,00001• Para x = 1000000 � y = 0,000001

• Está ya claro que:• Lím f(x) = 0• x� +∞

• Si x toma valores negativos muy grandes, el valor de f(x) seguirá una sucesión de valores idéntica, aunque ahora negativos.

• Lím f(x) = 0• x� –∞

• La función presenta una recta asíntota horizontal que es y = 0.• Si los dos límites hallados fueran de distinto valor, la función

tendría dos asíntotas horizontales: y = L1 e y = L2

21

Matemáticas Aplicadas CS I 22

Ejemplo gráfico

L2

L1

0

Y

X

Lim f(x) = L2

x�-oo

Lim f(x) = L1

x�+oo

23

LEYES DE LOS LÍMITES

Si

Cálculo de límites• Una función polinómica, f(x)=P(x), es continua en todo su dominio, en

R.• En ellas siempre ocurrirá que:• Lím f(x) = f(a)• x � a

• EJEMPLOS

• Lím x – 5 = 2 – 5 = – 3 • x � 2

• Lím x2 + 3x = 32 +3· 3 = 9+9 = 18 • x � 3

• Lím 2x3 +1 = 2(-1)3 + 1 = – 2 + 1 = -1 • x �(-1)

• Lím 5 + x2 – 3x = 5 + 02 – 3.0 = 5 + 0 – 0 = 5 • x �0

De cociente de funciones

25

• Una función racional, f(x)= P(x) / Q(x), es continua en todo su dominio, excepto en los puntos en que el denominador, Q(x), vale cero.

• Sin embargo, en dichos puntos la función puede tener límite, aunque sea discontinua.

• En ellas siempre ocurrirá que:• Lím f(x) = f(a) , simplificando la expresión.• x � a

• EJEMPLOS

• x2 - x x . (x -1)• Lím ------------ = Lím -------------- = Lím x – 1 = 0 – 1 = - 1• x � 0 x x � 0 x x � 0

• x2 - 9 (x + 3) . (x – 3)• Lím ------------ = Lím ---------------------- = Lím x + 3 = 3+3 = 6• x � 3 x – 3 x � 3 (x – 3) x � 3

Indeterminada [0 / 0]

26

• Sabemos que 0 / k = 0 siempre.• Sabemos que k / 0 = oo siempre.

• Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente 0 / 0, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto.

• Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0 / 0]

• Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se factoriza numerador y denominador [ Por Ruffini si hace falta ] y se simplifica la expresión resultante.

• (x-a) . C1(x) C2(x)• Lím f(x) = [ 0 / 0 ] = Lím ------------------ = Lím ---------• x�a x�a (x-a). C2(x) x�a C2(x)

• Nota: Si el límite último vuelve a dar indeterminación, se volvería a realizar lo mismo. Observar que siempre “a” es una raíz de los polinomios a factorizar.

Ejemplo 1

• Ejemplo 1

•• x3 - 8 8-8 0

• lím ------------ = ------ = [---] = [ Factorizando por Rufinni…]

• x����2 x - 2 2-2 0

• 1 0 0 - 8

• 2 2 4 8

• 1 2 4 0

•• (x -2) (x2 + 2x + 4 ) 22 + 2.2 + 4 12

• lím ------------------------- = ---------------- = ----- = 12

• x����2 (x- 2) 1 1