UNIVERSIDADDELBIOBIOFACULTADDECIENCIASDEPARTAMENTODEMATEMATICACC-MHC/mhcLISTADOTRANSFORMACIONESLINEALESAlgebraII(220036)1. Cualesdelassiguientesfuncionessontransformacioneslineales?.Justiquea) T: R2 R,T(x, y)=2x 1b) T: R3 R2,T(x, y, z)=(x z, y + 2z)c) T:M2x2(R) P2(R),T_a bc d_=(a d)x2+ 4bx + 5cd) T:P2(R) R2,T(ax2+ bx + c)=(a + b, c + 4)2. Considerelaaplicacion: T: R4 R3/T(x, y, z, t)=(x + y, y z, x + z).DemuestrequeTeslinealyencuentrebasesparaelker(T)yparaIm(T).3. Sea,transformaci onlineal,talqueT(1, 2, 1)=(1, 0, 2);T(1, 0, 1)=(0, 1, 1);T(0, 1, 1)=(2, 0, 1);hallarT(x, y, z).4. Considerelaaplicacion:T: R4 R3/ T(1, 1, 1, 1)=(7, 2, 3);T(1, 1, 1, 0)=(6, 1, 7);T(1, 1, 0, 0)=(4, 1, 5); T(1, 0, 0, 0)=(1, 0, 1)a) HallarT(x, y, z, t)b) Encontrarelconjuntodelaspreim agenesde(7, 1, 8)c) Encontrar las preim agenes de (7, 1, 8) enque las sumas de las componentes es 1ylacomponentew= 1.5. SeaT: R4 R3latransformacionlinealdenidapor:T(x1, x2, x3, x4)=(2x1 x2, x1 3x4 + x3, x1 + x2 + x3)a) CalcularbasesdelKer(T)ydeIm(T).esTinyectiva?,esTsobreyectiva?b) CalcularlamatrizrepresentantedeTconrespectoalasbasesde R4y R3B= {(1, 0, 0, 2),(2, 1, 3, 4),(1, 0, 1, 2),(1, 1, 3, 1)} yB

= {(1, 1, 2),(0, 1, 0),(1, 1, 1)}6. Seaunatransformaci onlinealtalqueeln ucleoesgeneradoporelconjunto{x2 4x + 4, x3 1, 4x3+ x2 4x},ylaimagendeTesgeneradaporelconjunto__0 11 0_,_0 11 1__a) Determinarunabaseparaeln ucleodeTyladimensi onb) DeterminarunabaseparalaimagendeTyladimensi onc) Extender la base del n ucleo de Ta una base para P3(R), agregando los polinomios 1, x1.UBBsegundosemestre2011 2d) Encontrarlaecuaci ondedenici ondeT,usandolabaseencontradaen(c).7. Sea P3(R)= {p(x) R[x] /grado(p(x)) 3} y considere la transformacion L:P3(R) P3(R)denidaencadap(x) P3(R)como: L(p(x))=p(0)x3+ p(1)(x 4)2a) PruebequeLesunatransformacionlineal.b) CalculelamatrizrepresentantedeLcuandoenel espaciodepartidayenel espaciodellegadaseusalabasecan onicaB= {1, x, x2, x3} .c) Usando matrices de cambio de base (o de pasaje) calcule la matriz representante de L cuandoenlosespaciosdepartidaydellegadaconsideramoslabaseB=_1, x, (x 4)2, x3_8. SeaT:Mnxn(R) R,T(A)=tr(A)a) DemostrarqueTesunatransformaci onlineal.b) DemostrarqueT(A B)=T(B A)c) Demostrarque B Mnxn(R)talqueBesinvertible,setienequeT(B A1 B)=T(A)d) CalcularlanulidaddeT.9. SealatransformacionlinealT: R2 R2,denidaporT(x, y)=(2x y, x + y).Tesinyectiva?.Tesunisomorsmo?.HallelainversadeTsiexiste.10. SeaT : P2(R)R, tal queT(p(x)) =_10p(x)dx, encontrar lamatrizasociadaaTrespectodelasbasesB1= {1, x 1, x2 x}yB2= {1}.11. SeaT: R3 R2latransformaci onlineal conB= {(0, 0, 1) , (0, 2, 1) , (3, 2, 1)}basedeR3,C= {(1, 3) , (2, 5)}basede R2,seda:[T]CB=_ 1 3 24 12 8_a) HallarKer(T)b) DeterminarT(x1, x2, x3)encoordenadascan onicas.c) PorquenoesciertoT(x1, x2, x3)=[T]CB (x1, x2, x3)?d) Cuandoesv alidalaigualdadanterior?12. Seaf(x, y)=(18x 7y, 35x 14y, 20x + 7y)enL(R2, R3);seanB= {(1, 3), (2, 5)} ; B

= {(3, 7, 1), (1, 0, 5), (0, 0, 1)}basesde R2y R3respectivamente.Hallar[f]B

By[f]C3C2yunarelaci onentreambasmatrices.13. Sea V= R4 [x] polinomios de grado menor que 4. Sea B= {1 + x, 1 x2, 1 + x3, 1 + x2} ,y[f]B=__0 4 6 41 1 7210 0 0 01 1 121__a) VeriquequeBesunabasedeV .b) Hallarf,ker(f),Im(f)