Líneas de Espera: Teoría de Colas. Las colas… O Las colas son frecuentes en nuestra vida...

Líneas de Espera:Teoría de Colas

Las colas…OLas colas son frecuentes

en nuestra vida cotidiana:OEn un bancoOEn un restaurante de

comidas rápidasOAl matricular en la

universidadOLos autos en un lavacar

Las colas…OEn general, a nadie le gusta

esperarOCuando la paciencia llega a su

límite, la gente se va a otro lugar

OSin embargo, un servicio muy rápido tendría un costo muy elevado

OEs necesario encontrar un balance adecuado

Teoría de colasOUna cola es una línea de esperaOLa teoría de colas es un conjunto de

modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares

OEl objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada

Teoría de colasOExisten muchos sistemas de colas distintos

OAlgunos modelos son muy especiales

OOtros se ajustan a modelos más generales

OSe estudiarán ahora algunos modelos comunes

OOtros se pueden tratar a través de la simulación

Sistemas de colas: modelo básico

OUn sistema de colas puede dividirse en dos componentes principales:OLa colaOLa instalación del servicio

OLos clientes o llegadas vienen en forma individual para recibir el servicio


OLos clientes o llegadas pueden ser:OPersonasOAutomóvilesOMáquinas que requieren

reparaciónODocumentosOEntre muchos otros tipos de

artículos


OSi cuando el cliente llega no hay nadie en la cola, pasa de una vez a recibir el servicio

OSi no, se une a la colaOEs importante señalar que la

cola no incluye a quien está recibiendo el servicio


OLas llegadas van a la instalación del servicio de acuerdo con la disciplina de la cola

OGeneralmente ésta es primero en llegar, primero en ser servido

OPero pueden haber otras reglas o colas con prioridades


Llegadas

Sistema de colas

ColaInstalación

del servicio

Disciplinade la cola

Salidas

Estructuras típicas de sistemas de colas: una

línea, un servidor

Llegadas

Sistema de colas

Cola ServidorSalidas

Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, múltiples

servidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola

ServidorSalidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Estructuras típicas de colas: varias líneas, múltiples servidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola ServidorSalidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Cola

Cola

Estructuras típicas de colas: una línea, servidores secuenciales

LlegadasSistema de colas

Cola

Servidor

Salidas

Cola

Servidor

Sistemas de colas: Las llegadas – Distribución exponencial

OLa forma algebraica de la distribución exponencial es: ????

ODonde t representa una cantidad expresada en de tiempo unidades de tiempo (horas, minutos, etc.)

tetserviciodetiempoP 1)(

http://www.auladeeconomia.com

Sistemas de colas: Las llegadas – Distribución

exponencial

Media Tiempo0

P(t)

Sistemas de colas: Las llegadas – Distribución

exponencialOLa distribución exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeños

OEn general, se considera que las llegadas son aleatorias

OLa última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la siguiente


Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de Poisson

OEs una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas

OPara tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas


Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de

PoissonOSu forma algebraica es:

ODonde:OP(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo

O : tasa media de llegadasOe = 2,7182818…http://www.auladeeconomia.com

!)(

k

ekP

k

Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de

Poisson

http://www.auladeeconomia.com Llegadas por unidad de tiempo0

P

Sistemas de colas: El servicio

OEl servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores múltiples

OEl tiempo de servicio varía de cliente a cliente

OEl tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio ()



OEl tiempo esperado de servicio equivale a 1/

OPor ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por hora

OEntonces el tiempo esperado de servicio es 1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos


Sistemas de colas: El servicioOEs necesario seleccionar una

distribución de probabilidad para los tiempos de servicio

OHay dos distribuciones que representarían puntos extremos:OLa distribución exponencial (=media)

OTiempos de servicio constantes (=0)http://www.auladeeconomia.com


OUna distribución intermedia es la distribución Erlang

OEsta distribución posee un parámetro de forma k que determina su desviación estándar:

mediak

1



OSi k = 1, entonces la distribución Erlang es igual a la exponencial

OSi k = ∞, entonces la distribución Erlang es igual a la distribución degenerada con tiempos constantes

OLa forma de la distribución Erlang varía de acuerdo con k



http://www.auladeeconomia.comMedia Tiempo0

P(t)k = ∞

k = 1k = 2

k = 8

Proceso de Nacimiento y Muerte

O En el contexto de teoría de colas, se refiere al modelo probabilístico que describe las llegadas (nacimientos) y salidas (muertes) de clientes, en un sistema de colas.

O El estado del sistema en el tiempo t, que se denota N(t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t

O Supuesto 1:O Dado N(t) = n , la distribución de probabilidad

actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro n .

O Atención: n = la tasa media de llegadas cuando hay n clientes en el sistemahttp://www.auladeeconomia.com

Proceso de Nacimiento y Muerte

O Supuesto 2:

O Dado N(t) = n , la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (salida) es exponencial con parámetro n .

O Atención: n = la tasa media de salidas cuando hay n clientes en el sistema.

O Supuesto 3.

O La variable aleatoria de la suposición 1 (tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (tiempo que falta hasta la próxima muerte) son mutuamente independientes.


Modelos Poisson.


O En la teoría de la probabilidad y en la estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Ella expresa, por ejemplo, la probabilidad de que un correcto número de eventos ocurran en un periodo de tiempo, si estos ocurran con una tasa media conocida y si cada evento es independiente del tiempo transcurrido desde el último evento.

USOS

O La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.

O Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto.


usos

O Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña.

O Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido.


usosO La distribución fue descubierta por

Siméon –Denis Poisson (1781–1840) y publicada, conjuntamente con su teoría de la probabilidad, en 1838.

O Es en muchos sentidos la versión de tiempo continuo del proceso de Bernoulli.


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