Límite y continuidad en funciones de varias

variables

Realizado por:

Vásquez, Ysnaykellys

C.I: 25.656.277

Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”

Escuela, Ingeniería de Sistemas

Sede Barcelona

Límites en funciones reales

de varias variables

Definiciones

Límites en funciones vectoriales

de varias variables

Definiciones

El estudio del límite de una función,

Se reduce al estudio de los límites de las m funciones

de componentes,

Con lo cual se tiene:

Definiciones. Continuación

Algunas propiedades de los límites

Sea:

N

Se cumple:

• El límite si existe es único.

• Si una función tiene límite, está acotada:

• El límite relativo a un subconjunto , es también l,

Límites radiales o direccionales de una

función de varias variables

Son límites relativos a través del subconjunto y — b = m (x— a),

es decir, a lo largo de la recta que pasan por el punto (a,b).

Ejemplo:

Depende de . Luego,

Mas, los límites reiterados existen y son iguales.

Continuación

Ejemplos

1)

Cualquier acercamiento radical o direccional al origen es

mediante de la zona en la cual la función toma el valor —1,

después, el límite direccional tiene ese valor.

La única excepción es la recta X= 0, pero este subconjunto

del plano no pertenece al dominio de la función.

Continuación

Continuación

(0, 0), (-1, 0) , (1, 0), (-2, 0), (2, 0)

Existe límite direccional en

el primer punto y el mismo vale +1, y no existe en ninguno de

los otros cuatro restantes.

Continuación

2) Utilizando la definición de límite probar que:

Solución

Si hacemos se cumplirá la definición de límite:

Si se desea comprobar, tomamos un = 0,01.

Entonces cualquier punto que pertenezca a este entorno debe de tener su imagen en el mismo:

Para x = 0.995 f(x) = (0.995 + 3)/ 2= 1.9975

Para x = 1.015 f(x) = (1.015 + 3)/ 2 = 2.0075

Continuación

Continuidad en una función de varias

variables

Definiciones

Propiedades

Continuación

Continuación

Ejemplo

Estudiar la continuidad de la función:

Solución

La función es continua en los puntos que no pertenecen a la

circunferencia unidad: Sin

embargo, no lo es en los puntos de:

Bibliografía

http://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/03_2.pdf

http://personales.unican.es/gila/varias_variables.pdf

http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Funciones_Varias_Var

iables_I.pdf