Límites y continuidad en dimensiones superiores

DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES FACULTAD DE

CIENCIAS E INGENIERÍA

E.P. : INGENIERÍA DE SISTEMAS E INFORMÁTICA E.P.: INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES

ÁREA: MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA A LA INGENIERÍA III CICLO: III

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E_MAIL. [email protected] – [email protected]

Web: http://migueltarazonagiraldo.com/ [email protected] 999685938

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TEMA: Límite y continuidad de dimensiones superiores SEMANA: 10

TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 503 B SEMESTETRE: 2017 - II

LÍMITES Y CONTINUIDAD EN DIMENSIONES SUPERIORES

Límites para funciones de dos variables

Si valores de f (x, y) son arbitrariamente cercanos a un número real fijo L para todos los puntos (x, y) suficientemente

cercanos a un punto (𝑥0, 𝑦0), decimos que f tiende al límite L cuando (x, y) tiende a (𝑥0, 𝑦0). Esto es similar a la

definición informal de límite de una función de una sola variable. Sin embargo, observe que si (𝑥0, 𝑦0)está en el interior

del dominio de f, (x, y) se puede acercar a (𝑥0, 𝑦0) desde cualquier dirección. Para que el límite exista, se debe obtener

el mismo valor límite desde cualquier dirección de aproximación. Ilustramos este hecho con varios ejemplos después

de la definición.

DEFINICIÓN Decimos que una función f (x, y) tiende al límite L cuando (x, y) tiende a (𝑥0, 𝑦0), y escribimos

0 0( , ) (x ,y )lim (x,y) L

x yf

si para cada número 휀 > 0, existe un número correspondiente 𝛿 > 0 tal que para todo (x, y) en

el dominio de f , (x,y) Lf siempre

que 2 2

0 00 (x x ) (y y ) .

En la definición de límite, d es el radio de un

disco con centro en (𝑥0, 𝑦0). Para todos los

puntos (x, y) dentro de este disco, los valores

de la función f (x, y) se encuentran dentro del

intervalo correspondiente ⟨𝐿 − 휀, 𝐿 + 휀⟩.

Propiedades de los límites de funciones de dos variables

Las siguientes reglas se cumplen si L, M y k son números reales y

0 0( , ) (x ,y )lim (x,y) L

x yf

y

0 0( , ) (x ,y )lim g(x,y)

x yM

Regla de la suma

0 0( , ) (x ,y )lim ( (x,y) g(x,y)) M

x yf L

Regla de la resta

0 0( , ) (x ,y )lim ( (x,y) g(x,y)) M

x yf L

Regla de la multiplicación por una constante

0 0( , ) (x ,y )lim (x,y) L

x ykf k

(Para cualquier número k)

Regla del producto

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0 0( , ) (x ,y )lim ( (x,y) g(x,y)) M

x yf L

Regla de del cociente

0 0( , ) (x ,y )

(x,y)lim , 0

g(x,y)x y

f LM

M

Regla de la potencia

0 0( , ) (x ,y )

lim (x,y) Ln n

x yf

, n es entero positivo

Regla de la raíz

0 0

1

( , ) (x ,y )lim (x,y) Ln nn

x yf L

, n es entero positivo, y n es par. Suponemos que 𝐿 > 0

Ejemplo 01: Compruebe que el siguiente límite no existe

𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒙𝒚

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

Solución

El dominio de esta función es D = R2 – {(0,0)}. Para comprobar que le límite no existe, consideramos dos trayectorias

diferentes de acercamiento al punto (0,0).

∎ Sobre el eje 𝑋 (𝒚 = 𝟎) cada punto es de la forma (x, 0) y el límite en esta dirección es:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2 = lim(𝑥,𝑦)→(𝑥,0)

𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2 = 𝑥(0)

𝑥2+(0)2 =0

𝑥2 = 0

∎ Sobre la trayectoria 𝒚 = 𝒙 cada punto es de la forma (𝑥, 𝑥) y el límite en esta dirección es

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2 = lim(𝑥,𝑦)→(𝑥,𝑥)

𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2 = 𝑥(𝑥)

𝑥2+(𝑥)2 =𝑥2

𝑥2+𝑥2 =𝑥2

2𝑥2 =1

2

Esto quiere decir que en un disco abierto cualquiera centrado en (0,0) existen puntos (𝑥, 𝑦) en los cuales f vale 1/2 y

0. Luego f no puede tener límite cuando (𝑥, 𝑦) → (0,0).

Ejemplo 02. Compruebe que: lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

3𝑥2𝑦

𝑥2+𝑦2 = 0

Solución

La técnica que usamos con el ejemplo anterior no es adecuada para este caso, pues aunque el límite dé cero a través de

muchas trayectorias esto no demuestra que este sea su valor; pero nos hace sospechar que el límite existe.

Sea 휀 > 0, queremos encontrar un 𝛿 > 0 tal que









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|3x2y

x2+y2 − 0| < 휀 siempre que 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿

Es decir:

3x2|y|

x2+y2 < 휀 siempre que 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿

Como:

𝑥2 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 1

x2+ y2 ≤1

x2 3x2|y|

x2+y2 ≤3x2|y|

x2 = 3|𝑦| = 3√𝑦2 ≤ 3√𝑥2 + 𝑦2

Por consiguiente, si elegimos a δ =ε

3 , entonces

|3x2y

x2 + y2− 0| ≤ 3√𝑥2 + 𝑦2 ≤ 3𝛿 = 3 (

휀

3) = 휀

Por consiguiente, por la definición:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

3𝑥2𝑦

𝑥2+𝑦2 = 0

Recordatorio sobre las propiedades del valor absoluto

(1) |𝐚. 𝐛| = |𝐚|. |𝐛|

(2) |𝐚

𝐛| =

|𝐚|

|𝐛|

(3) |𝐚 + 𝐛| ≤ |𝐚| + |𝐛|

(4) |𝒂 − 𝒃| ≥ |𝒂| − |𝒃|

Ejemplo 03. Usar la definición de límite para demostrar que 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟑)

(𝟐𝒙 + 𝟑𝒚) = 𝟏𝟏

Solución

El primer requisito de la definición es que 2x + 3y debe estar definido en algún disco abierto que tenga centro en el

punto (1,3), excepto posiblemente en (1,3). Como 2𝑥 + 3𝑦 está definida en cada punto (x, y), entonces cualquier disco

abierto centrado en (1,3) satisfará este requisito. Ahora, debe demostrarse que para cualquier 휀 > 0 existe un 𝛿 > 0 tal

que:

Si 0< √(𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 < 𝛿, entonces |𝐟(𝐱, 𝐲) − 𝐋| = |𝟐𝐱 − 𝟑𝐲 − 𝟏𝟏| < 휀

De la desigualdad,

|𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟏𝟏| = |𝟐𝒙 − 𝟐 + 𝟑𝒚 − 𝟗| ≤ 𝟐|𝒙 − 𝟏| + |𝒚 − 𝟑|

Debido que:

|𝑥 − 1| ≤ √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 y |𝑦 − 3| ≤ √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2

Se deduce que:









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Si0 < √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 < 𝛿 entonces 2|𝑥 − 1| + 3|𝑦 − 3| < 2𝛿 + 3𝛿

Esta proposición muestra que una elección adecuada para 𝛅 es 5𝜹 = 𝜺, esto es, 𝜹 =𝟏

𝟓𝜺. Con esta 𝛅 se tiene el argumento

siguiente:

0< √(𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 < 𝛿 |𝒙 − 𝟏| < 𝛿 y |𝒚 − 𝟑| < 𝛿

2|𝒙 − 𝟏| + 𝟑|𝒚 − 𝟑| < 5𝛿 |𝟐(𝒙 − 𝟏) + 𝟑(𝒚 − 𝟑)| < 5 (𝟏

𝟓𝜺)

|𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 − 𝟏𝟏| < 휀

De este modo, se ha probado que para cualquier 𝜺 > 0 se elige 𝛿 =1

5휀 a fin de que la proposición 0 <

√(𝒙 − 𝟏)𝟐 + (𝒚 − 𝟑)𝟐 < 𝛿, entonces |(𝟐𝒙 + 𝟑𝒚) − 𝟏𝟏| < 휀

Sea verdadera. Esto demuestra que:

𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟑)

(𝟐𝒙 + 𝟑𝒚) = 𝟏𝟏

Ejemplo 04. Calcule el límite siguiente: lim(𝑥,𝑦)→(1,0)

𝑥+𝑦

𝑥2 + 𝑦2

Solución

Evaluando da: 1+0

(1)2+02 = 1


𝑥−𝑦

𝑥3− 𝑦3

Solución

Evaluando dá: 1−1

(1)3−13 =0

0 la cual es una indeterminación, entonces factorizando el denominador, recordando que:

A3 - B3 = (A – B)(A2 + AB + B2), luego:

lim(𝑥,𝑦)→(1,1)

𝑥−𝑦

𝑥3− 𝑦3 = lim(𝑋,𝑌)→(1,1)

𝑥−𝑦

(𝑥−𝑦)(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2 = lim(𝑥,𝑦)→(1,1)

1

𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2 =1

(1)2 + (1)(1)+ (1)2 =1

1 + 1 + 1=

1

3


𝑥 − 𝑦

√𝑥 − √𝑦

Solución

Evaluando dá: 4 − 4

√4 − √4=

0

0 la cual es una indeterminación, entonces racionalizando el denominador, nos queda:

lim(𝑥,𝑦)→(4,4)

𝑥 − 𝑦

√𝑥 − √𝑦 = lim

(𝑥,𝑦)→(4,4)

𝑥 − 𝑦

√𝑥 − √𝑦

√𝑥 + √𝑦

√𝑥 + √𝑦= lim

(𝑥,𝑦)→(4,4)

(𝑥 – 𝑦)(√𝑥 + √𝑦)

(𝑥 − 𝑦) =









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= lim(𝑥,𝑦)→(4,4)

(√𝑥 + √𝑦)= √4 + √4 = 2 + 2 = 4


𝑥𝑦

√𝑥2+ 𝑦2

Solución

Sean (r,𝜃) las coordenadas polares del punto (x, y) y sean (r, θ, z) las coordenadas cilíndricas del punto (x, y, z). Entonces

debemos tener presente que en coordenadas polares y en coordenadas cilíndricas:

Polares Cilíndricas

𝑥 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃 x = ρ. sen∅. cosθ 𝜌2 = x2 + y2 + z2

𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃 y = ρ. sen∅. senθ

𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 z = ρ. cos∅

Evaluando da: (0)(0)

√(0)2+(0)2=

0

0 la cual es una indeterminación, luego usando coordenadas polares, cuando (x,y)→(0,0)

entonces r→ 𝟎, luego el

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦

√𝑥2+ 𝑦2 = lim

𝑟→0

(𝑟.𝑐𝑜𝑠𝜃)(𝑟.𝑠𝑒𝑛𝜃)

𝑟= lim

𝑟→0𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃 =0

Pues, |𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃| ≤ 1 para cualquier valor de 𝜃.

Ejemplo 08. Estudie la existencia del siguiente límite: lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥3𝑦

𝑥6 + 𝑦2

Solución

∎ Usando trayectorias rectas que pasan por el origen 𝒚 = 𝒎𝒙, donde m ≠ 0, tenemos:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥3𝑦

𝑥6 + 𝑦2 = lim(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)

𝑥3(𝑚𝑥)

𝑥6 + (𝑚𝑥)2 = lim(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)

𝑥3(𝑚𝑥)

𝑥2(𝑥4 + 𝑚2)

=𝑚(0)

(0)4 +𝑚2 =0

𝑚2 = 0

∎ Usando como trayectoria la parábola y=x2, luego tenemos que:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥3𝑦

𝑥6 + 𝑦2 = lim(𝑥,𝑥2)→(0,0)

𝑥3(𝑥2)

𝑥6 + (𝑥2)2 = lim(𝑥,𝑥2)→(0,0)

𝑥5

𝑥4(𝑥2 + 1)=

0

(0)2 + 1=

0

1= 0

∎ Esto nos podría llevar a concluir que el límite existe y es cero, pues las rectas y la parábola que pasan por el origen

son una infinidad de trayectorias. Pero observe que al usar la trayectoria y = x3, obtenemos:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥3𝑦

𝑥6 + 𝑦2= lim

(𝑥,𝑥3)→(0,0)

𝑥3(𝑥3)

𝑥6 + (𝑥3)2= lim

(𝑥,𝑥2)

𝑥6

2𝑥6=

1

2

Por tanto, el límite no existe.









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Ejemplo 09. Calcule el siguiente límite: lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥4−𝑦4

𝑥2 + 𝑦2

Solución

Evaluando da: (0)4−(0)4

(0)2+(0)2 =0

0 la cual es una indeterminación, entonces factorizando el numerador, nos queda:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥4−𝑦4

𝑥2 + 𝑦2 = lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

(𝑥2−𝑦2)(𝑥2+𝑦2)

𝑥2 + 𝑦2 = lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

(𝑥2 − 𝑦2) =

= (o)2 - (0)2 = 0

Ejemplo 10. Calcule el siguiente límite: lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2− 𝑥𝑦

√𝑥 − √𝑦

Solución

Evaluando dá: (0)2−(0)(0)

√0 − √0=

0

0 la cual es una indeterminación, entonces racionalizando el denominador, nos queda:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2− 𝑥𝑦

√𝑥 − √𝑦= lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥2− 𝑥𝑦

√𝑥 − √𝑦 √𝑥+√𝑦

√𝑥+√𝑦 = lim

(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥(𝑥− 𝑦)(√𝑥 + √𝑦)

𝑥 − 𝑦=

= lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥(√𝑥 + √𝑦) = (0)(√0 + √0) = 0

Ejemplo 11. Aplicando la definición de límite, demostrar que: lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

4𝑥𝑦2

𝑥2 + 𝑦2 = 0

Solución

Para cualquier 휀 > 0 existe un𝛿 > 0 tal que:

|𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 휀 Siempre que 0< √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 < 𝛿, o sea

|4xy2

x2+y2 − 0| < 휀 Siempre que 0< √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 < 𝛿

|4xy2

x2+y2| < 휀 Siempre que 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿

4|x|y2

x2+y2 < 휀 Siempre que 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿

Desde 𝑦2 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 tenemos que:

4|x|y2

x2 + y2 ≤ 4|x| = 4√x2 ≤ 4√x2 + y2

Si escogemos 𝛿 = 휀4⁄ y deje 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿, obtendremos que:









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|4xy2

x2 + y2 − 0| ≤ 4√x2 + y2 < 4𝛿 = 4 (휀

4) = 휀

Esto demuestra que:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

4𝑥𝑦2

𝑥2 + 𝑦2 = 0

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)

𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 =𝟏

𝟑 2) 𝐥𝐢𝐦

(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒕𝒈(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐

3) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟏)

𝒙𝒚 − 𝟏

𝟏 + 𝒙𝒚= 𝟎 4) 𝐥𝐢𝐦

(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)

𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒙𝒛

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐+ 𝒛𝟐 = 𝑵𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆

5) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)

𝒙𝒚 + 𝒚𝒛𝟐 + 𝒙𝒛𝟐

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐+ 𝒛𝟐 6) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)

𝒙𝒚 + 𝒙𝒛 + 𝒚𝒛

√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐+ 𝒛𝟐= 𝟎

7) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝒌,𝟎)

𝒙𝟐.𝒔𝒆𝒏(𝒚

𝒌)

𝒚 (Trabajo) 8) 𝐥𝐢𝐦

(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒔𝒆𝒏(𝒙+𝒚)

𝒚

9) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒆𝒙𝒚 − 𝟏

𝒙 (Trabajo) 10) 𝐥𝐢𝐦

(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏

11) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒙𝟑 + 𝒚𝟑

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟎 12) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒙𝟐 − 𝒚𝟐

√𝒙𝟐 + 𝒚𝟐= 𝟎

13) 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)𝒍𝒏(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) = 𝟎

14) Usar coordenadas esféricas para encontrar el límite. (Sugerencia: tomar:

x = ρ. sen∅. cosθ

y = ρ. sen∅. senθ

z = ρ. cos∅









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𝜌2 = x2 + y2 + z2

Observar que (x, y, z)→(0, 0, 0) es equivalente a 𝜌 → 0+)

𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)

𝒙𝒚𝒛

𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 = 𝟎

Continuidad

Como en las funciones de una variable, la continuidad se define en términos de límites.

DEFINICIÓN Una función f (x, y) es continua en el punto (𝑥0, 𝑦0) si

1. ƒ está definida en (𝑥0, 𝑦0).

2. 0 0( , ) (x ,y )

lim (x,y)x y

f

existe,

3. 0 0

0 0( , ) (x ,y )

lim (x,y) f(x ,y )x y

f

Una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio.

La definición de continuidad para funciones de dos variables, pueden extenderse a funciones de tres o más variables.

Ejemplo 01. Determine si la función g es continua en (0, 0), si

4 2 2 4

2 2

2 2(x, y) (0,0)

(x, y)

2 (x, y) 0,0

g

si

x x y ysi

x y

Solución

(i) 𝒈(𝟎, 𝟎) = 𝟐. Por tanto, se cumple la primera condición.

(ii) Veremos si lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑔(𝑥, 𝑦) 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒, para ello calculemos el límite:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥4+2𝑥2+2𝑦2+𝑦4

𝑥2+𝑦2 , evaluando da: 0 0⁄

∎ Usando trayectorias rectas que pasan por el origen y=mx, donde m ≠ 0, tenemos:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥4 + 2𝑥2 + 2𝑦2 + 𝑦4

𝑥2 + 𝑦2 = lim(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)

𝑥4 + 2𝑥2 + 2(𝑚𝑥)2 + (𝑚𝑥)4

𝑥2 + (𝑚𝑥)2 =

= lim(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)

𝑥4 + 2𝑥2 + 2𝑚2𝑥2 + 𝑚4𝑥4

𝑥2 + 𝑚2𝑥2 = lim(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)

𝑥2(𝑥2 + 2 + 2𝑚2 + 𝑚4𝑥2)

𝑥2(1 + 𝑚2)=

=(0)2 + 2 + 2𝑚2 + 𝑚4(0)2

(1 + 𝑚2)=

2 + 2𝑚2

1 + 𝑚2 =2(1 + 𝑚2)

1 + 𝑚2 = 2


lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥4 + 2𝑥2 + 2𝑦2 + 𝑦4

𝑥2 + 𝑦2= lim

(𝑥,𝑥2)→(0,0)

𝑥4 + 2𝑥2 + 2(𝑥2)2 + (𝑥2)4

𝑥2 + (𝑥2)2=









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= lim(𝑥,𝑥2)→(0,0)

𝑥2(𝑥2 + 2 + 2𝑥2 + 𝑥6)

𝑥2(1 + 𝑥2)= lim

(𝑥,𝑥2)→(0,0)

𝑥2 + 2 + 2𝑥2 + 𝑥6

1 + 𝑥2=

(0)2 + 2 + 2(0)2 + (0)6

1 + (0)2=

2

1= 2

𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑔(𝑥, 𝑦) 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑦 𝑒𝑠 2

/(𝑖𝑖𝑖) lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑔(0,0) = 2

Por tanto, podemos concluir que g es continua en el punto (0,0), ya que cumple con las tres condiciones de continuidad.

Ejemplo 02. Determine si la función h es continua en (0, 0), si

2 2(x, y) (0,0)

h(x, y)

0 (x, y) 0,0s

xysi

i

x y

Solución

(i) 𝒉(𝟎, 𝟎) = 𝟎. Por tanto, se cumple la primera condición.

(ii) Veremos si lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

ℎ(𝑥, 𝑦) 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒, para ello calculemos el límite:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦

𝑥2+𝑦2, evaluando da: 0 0⁄

∎ Usando trayectorias rectas que pasan por el origen y=mx, donde m ≠ 0, tenemos:

lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑦2 = lim(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)

𝑥(𝑚𝑥)

𝑥2 + (𝑚𝑥)2 = lim(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)

𝑚𝑥2

𝑥2(1 + 𝑚2)=

= lim(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)

𝑚

(1+𝑚2)=

𝑚

(1+𝑚2), ya podemos concluir que el limite no existe porque el limite quedo en función de m, sin

embargo vamos a usar otra trayectoria de acercamiento al punto (0,0), para verificar que el limite no existe.


lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑦2 = lim(𝑥,𝑥2)→(0,0)

𝑥(𝑥2)

𝑥2 + (𝑥2)2 = lim(𝑥,𝑥2)→(0,0)

𝑥(𝑥2)

𝑥2(1 + 𝑥2)=

= lim(𝑥,𝑥2)→(0,0)

𝑥

1 + 𝑥2 =0

1 + (0)2 =0

1= 0

Luego, el 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)

𝒉(𝒙, 𝒚) 𝑵𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛









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Si una función f de dos variables es discontinua en un punto (a,b) pero 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)

𝒇(𝒙, 𝒚) 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆, entonces se dice

que f tiene una discontinuidad removible (o eliminable) en (a,b) debido a que si se redefine f en (a,b) de modo que:

𝒇(𝒂, 𝒃) = 𝐥𝐢𝐦(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)

𝒇(𝒙, 𝒚)

Entonces la nueva función es continua en (a,b). Si una discontinuidad no es removible, entonces de denomina

discontinuidad esencial.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Analizar la continuidad de la función siguiente:

𝒇(𝒙, 𝒚) = { 𝑥2 + 2𝑥𝑦2 + 𝑦2

𝑥2 + 𝑦2 𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚) ≠ (𝟎, 𝟎)

𝟏 𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚) = (𝟎, 𝟎)

2) En los ejercicios (2.1) a (2.4) la función es discontinua en el origen debido a que 𝑓(0, 0) no existe. Determine si la

discontinuidad es removible o esencial. Si la discontinuidad es removible redefina 𝑓(0, 0) de modo que la nueva función

sea continua en (0,0).

(2.1) 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥𝑦

𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝐸𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙

(2.2) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦). 𝑠𝑒𝑛 (𝑥

𝑥2 + 𝑦2) 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝑓(0,0) = 0

(2.3) 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥3𝑦2

𝑥6 + 𝑦4 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝐸𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙

(2.4) 𝑓(𝑥, 𝑦) =𝑥3−4𝑥𝑦2

𝑥2 + 𝑦2 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝑓(0,0) = 0

Bibliografía LARSON. HOSTETLER. Cálculo y geometría analítica. Tercera edición. McGRAW-WILL (Stewart, Cálculo de varias variables: Trascendentes tempranas, 2008) Referencias https://ingejoel . j imdo.com/c%C3%A1lculo -vectorial/ https://es.slideshare.net/miguelangeltarazonagiraldo

https://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html www.migueltarazonagiraldo.com

https://www.youtube.com/watch?v=Cq4ihtKd7So



https://ingejoel.jimdo.com/c%C3%A1lculo-vectorial/

https://es.slideshare.net/miguelangeltarazonagiraldo

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