Limites jc

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN

LÍMITE

ACERCAMIENTO

Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se aproxima a un valor a, podemos escribir:

Lf(x)limax

LÍMITES

Lf(x)

Lf(x)

f(x)lim

limlim

ax

ax

ax

Si L es finito y ambos límites laterales coinciden, se dice que el límite existe y vale L

REGLAS PARA CALCULAR LÍMITES

n

ax

n

ax

axax

axaxax

axaxax

axaxax

f(x)limf(x)lim

g(x)limKK.g(x)lim

g(x)lim/f(x)limf(x)/g(x)lim

g(x)lim.f(x)limf(x).g(x)lim

g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim

EJERCICIO 1

Lim f(x) no existe

x 1

y

x1 5

2

1

¿Qué ocurre con f(x) cerca de

x=1?

EJERCICIO 2


x=1?

Lim f(x) = L =2

x 1

y

x1 5

3

2

EJERCICIO 3


x=1?

Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1)

x 1

x1

y

5

2

1

EJERCICIO 4

Dado el gráfico de f(x) :

33

55

-3-3

33

-2-2xx

ff(x)(x)

3.53.5

f(x)d)f(x)c)

f(x)b)f(x)a)

limlim

limlim

2x0x

3x3x

Encuentre:

PASOS A SEGUIR PARA EL PASOS A SEGUIR PARA EL

CÁLCULO DE LÍMITESCÁLCULO DE LÍMITES

# 1# 1:: Evaluar para saber si se trata de un límite directo o Evaluar para saber si se trata de un límite directo o

estamos en presencia de una forma indeterminadaestamos en presencia de una forma indeterminada

# 2# 2:: INTENTAR desaparecer la indeterminación a través INTENTAR desaparecer la indeterminación a través

de operaciones algebraicas: factorización, productos de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica ...si fuera el caso...identidad trigonométrica ...si fuera el caso...

PROBLEMA 1

3xsi,1x1/

3 xsi2,xf(x)dondef(x);4)

2

3

2

3:Rpta;

3x4xx

2xx3)

1:Rpta,x

x1x12)

1/4:Rpta,x

24x1)

2

3x

1/31/3

23

2

1x

0x

0x

lim

lim

lim

lim

3

Evalúe los siguientes límites:

PROBLEMA 2

0x1,x

0x4,2xf(x)f(x);lim5)

x2

x4xlim4)

ba,ax

babxlim3)

x-4

2xlim2)

1-x1x

lim1)

0x

2

4x

22ax

22x

4

1x

Utilice las reglas para calcular límites para determinar:

PROBLEMA 3PROBLEMA 3

Utilice propiedades para hallar los Utilice propiedades para hallar los siguientes límites:siguientes límites:

2)(x

2x3)(xlimb.

1x1)(x2x

lima.

2x

1x

LÍMITES INFINITOSLÍMITES INFINITOS

Utilice propiedades para hallar los Utilice propiedades para hallar los siguientes límites:siguientes límites:

2)(x

2x3)(xlimb.

1x1)(x2x

lima.

2x

1x


Con la información que aparece a Con la información que aparece a continuación, construya el gráfico de continuación, construya el gráfico de F(x):F(x):

12)3;F(F(3)

2F(x)lim4;F(x)lim3x3x


Con la información que aparece a Con la información que aparece a continuación, construya el gráfico de continuación, construya el gráfico de F(x):F(x):

indefinida1;F(0)F(2)

0F(x)lim1;F(x)lim

1F(x)lim-1;F(x)lim

2x2x

0x0x

TEOREMA DEL SANDWICHTEOREMA DEL SANDWICH En caso de que se cumpla la siguiente En caso de que se cumpla la siguiente

relación (para toda x perteneciente a relación (para toda x perteneciente a algún intervalo abierto que contenga algún intervalo abierto que contenga a a cc):):

y además se cumple:y además se cumple:

Entonces:Entonces:

h(x)f(x)g(x)

Lh(x)limg(x)limcxcx

Lf(x)limcx

TEOREMA DEL SANDWICH TEOREMA DEL SANDWICH

h(x)h(x)

g(x)g(x)

f(x)f(x)

cc

LL

x

y

PROBLEMAPROBLEMA

11. Si. Si

22. Dada la función . Dada la función g(x)=xsen(1/x). g(x)=xsen(1/x). Estime : Estime :

(trabaje gráficamente)(trabaje gráficamente)

f(x)limHalle

xtodapara2cosx,f(x)x2

0x

2

g(x)lim0x

A partir de la gráfica de la función:

Estime, haciendo zoom en el origen, el valor de:

*Confirma tu resultado con una demostración

)x

1cos(xf(x) 32

f(x)lim0x

PROBLEMAPROBLEMA

PROBLEMAPROBLEMA

24)(x

5f(x)

24x

24x24x

4)(x

5lim

4)(x

5lim

4)(x

5lim

Analice el comportamiento de la función dadacerca de x = - 4

Esta función muestra un comportamiento consistente alrededor de x = - 4,

se puede decir que este límite vale

Gráficamente...

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4

0

2

4

6

8

10

12

14

16

x

5/(x+4)^2

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