8/16/2019 Límites de Una Función Real

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LÍMITES DE UNA FUNCIÓN REAL

Dada la función real f   : A⊂ R →R   y c∈ R ; se dice que el límite de f  ( x)

cuando  x  tiende a c  es un número  L∈ R , si ∀ ε>0 , ∃δ >0  tal que para

 x∈ A  se cumple que |f  ( x )− L|

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lim x→ c

a=a

"!lim x→ c

af ( x) =a lim x → c

f ( x)

#!lim x→ c

[ f  ( x ) . g ( x)]= lim x →c

f ( x) . lim x →c

g( x )

)!

lim x→ c

f ( x )g( x )

=lim x→ c

f ( x)

lim x →c

g ( x)considerando que lim

 x→ c

g( x )≠0 ∀ x

C*LCULO DE LÍMITES DE LA FORMA:0

0

Esta indeterminación se presenta cuando se calcula límites de la forma:

lim x→ c

 F ( x)G( x)

En esta caso tanto  F ( x )  como G( x)  presentan el factor común ( x−c )  que

es el que causa la indeterminación, siendo así, las funciones presentan lasi'uiente forma: F ( x )G( x )

=( x−c) f ( x)( x−c )g( x )

=f ( x)g ( x)

El propósito es )uscar este factor común y cancelarlo para e(itar laindeterminación; de persistir esta, se de)e repetir el procedimiento tantas (ecessea necesario.

E+e%-o .. Ca-c/-ar:

 L=lim x →5

√  x−4−√ 3 x−14

 x−5

So-/ciónE+e%-o ."! Ca-c/-ar:

 L=lim x →2

3√ 5 x−2− 3√  x+6 x

2−4

$'(ina"

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SoluciónE+e%-o .#! Ca-c/-ar:

 L=  lim x→−2

3√ 3 x+5+ x+33√  x+1+1

Solución

E+e%-o .)! Ca-c/-ar: L=lim

 x →2

3

√  x2+4−4

√  x2+6 x

 x2−4

LÍMITES LATERALES

LÍMITE LATERAL $OR LA DEREC0A! Dada la función real f  : A⊂ R →R   y

c∈ R ; se dice que el límite de f  ( x)  cuando  x  tiende a c  por la derecha es

un número  L∈ R , si ∀ ε>0 , ∃δ >0   tal que para  x∈ A   se cumple que

|f  ( x )− L|

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 x → c−¿

f ( x )= L⇔ lim x →c

f ( x )= L

 x → c+¿

f ( x)=lim¿

¿

lim¿¿

E+e%-o .3! alcular los (alores de las constantes c  y d , si sa)e que∀ x

0∈ D f   el lim  f ( x )  existe cuando  x → x0 , para:

f  ( x )={   x si x≤1cx+d si1

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 L=lim x →1

3

√ x ⟦  1 x2 ⟧+72− x2

So-/ción

LÍMITE INFINITO

Una 6/nción f  ( x)  tiene %or -9ite +#   c/an&o  x→a , si +a&o /n

n;ero+¿

$ ∈ R¿  se verica $   %ara to&os -os va-ores %ró=ios a

a !

As9:f  ( x )=#%∀ $ ∈ R

+¿∋ δ =δ ($ )>0 /0

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Una 6/nción f  ( x)  tiene %or -9ite −#   c/an&o  x→a , si +a&o /n

n;ero−¿

$ ∈ R¿  se verica 0∃ M = M  (& )∈ R¿∀ '∈ R¿

lim x→ #

f ( x )=

{  $ 

+#−#

⇔¿

$'(ina4

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LÍMITE CUANDO  x  TIENDE A MENOS INFINITO

−¿ : x0∃)=) (& )∈ R¿∀ '∈ R¿

lim x→−#

f ( x )={   $ +#−# ⇔¿

$'(ina5