LMITESCONCEPTUALIZACIN DEL CLCULOClculo,ramadelasmatemticas que se ocupa del estudio de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores mximo y mnimo de funciones y de la determinacin de longitudes, reas y volmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias e ingeniera, siempre que haya cantidades que varen de forma continua.EVOLUCIN HISTRICA DEL CLCULOElclculosederivade la antigua geometra griega. Demcrito calcul el volumen de pirmides y conos, se cree que considerndolos formados por un nmero infinito de secciones de grosor infinitesimal (infinitamente pequeo), y Eudoxo y Arqumedes utilizaron el mtodo de agotamiento para encontrar el rea de un crculo con la exactitud requerida mediante el uso de polgonos inscritos. Sin embargo, las dificultades para trabajar con nmeros irracionales impidieron formular una teora sistemtica del clculo. En el siglo XVII, Francesco B. Cavalieri y Evangelista Torricelli ampliaron el uso de los infinitesimales, y Descartes y Pierre de Fermat utilizaron el lgebra para encontrar el rea y las tangentes (integracin y diferenciacin en trminos modernos). Fermat e Isaac Barrow tenan la certeza de que ambos clculos estaban relacionados, aunque fueron Isaac Newton (hacia 1660) y Gottfried W. Leibniz (hacia 1670) quienes demostraron que son inversos, lo que se conoce como teorema fundamental del clculo. El descubrimiento de Newton, a partir de su teora de la gravedad, fue anterior al de Leibniz, pero el retraso en su publicacin an provoca disputas sobre quin fue el primero. Sin embargo, termin por adoptarse la notacin de Leibniz.EnelsigloXVIIIaument considerablemente el nmero de aplicaciones del clculo, pero el uso impreciso de las cantidades infinitas e infinitesimales, as como la intuicin geomtrica, causaban todava confusin y controversia sobre sus fundamentos. Uno de sus crticos ms notables fue el filsofo irlands George Berkeley. En el siglo XIX los analistas matemticos sustituyeron esas vaguedades por fundamentos slidos basados en cantidades finitas: Bernhard Bolzano y Augustin Louis Cauchy definieron con precisin los lmites y las derivadas; Cauchy y Bernhard Riemann hicieron lo propio con las integrales, y Julius Dedekind y Karl Weierstrass con los nmeros reales. Por ejemplo, se supo que las funciones diferenciables son continuas y que las funciones continuas son integrables, aunque los recprocos son falsos. En el siglo XX, el anlisis no convencional, legitim el uso de los infinitesimales. Al mismo tiempo, la aparicin de los ordenadores o computadoras ha incrementado las aplicaciones del clculo.

INTERPRETACIN GEOMTRICA Y MATEMTICA DE LMITE

La teora de lmites es fundamental en el clculo, puesto que es la base sobre la cual se dan los conceptos fundamentales del clculo como son: la derivada, la integral, etc. En la vida real se est hablando diariamente sobre diferentes lmites, como por ejemplo: la velocidad lmite de un automvil en la ciudad es de 50 km/h, la edad lmite promedio de vida es de 70 aos. Estas frases siguieren que el lmite es una especie de valor que a veces puede no ser alcanzable y otras, no slo alcanzable sino superable. En matemtica, la nocin de lmite puede ser captada mediante un ejemplo que ilustra la correspondencia entre las componentes de los pares ordenados. Al graficar la funcin para x0 se obtiene

Con se observa en la grfica, existen valores de f(x) para todos los puntos x, excepto para x = 1, ya que cuando x = 1 al ser reemplazado en f(x) se obtiene la divisin por 0, y esta divisin no est definida en los nmeros reales. Adems se observa que cuando x se acerca a 1, la funcin f(x) se acerca al valor 3, por lo que empleando la notacin de lmites diremos que el lmite de f(x) cuando x tiende a 1 es 3, que en lenguaje matemtico se simboliza as: . Es decir, si f(x) se aproxima arbitrariamente a un nmero L cuando x se aproxima a c, por ambos lados, decimos que el lmite de f(x) cuando x tiende a c es L (). A continuacin se analiza en forma geomtrica y matemtica la definicin de lmite. - y

Observe la grfica. En el lmite, .Si situamos a f(x) arbitrariamente prximo a L, entonces x se acerca a c, f (x) se encuentra en el intervalo (L-, L+), es decir, en trminos de valor absoluto .

De igual manera, x est en el intervalo (c-, c) o en el intervalo (c, c+), 0. En trminos de valor absoluto podemos escribir

Entonces, la definicin matemtica de lmite es: Si , significa que para cada 0, existe un 0 tal que siempre que

TEOREMAS SOBRE LOS LMITES

Sean f y g dos funciones tales que: , y k una constante, entonces:

1)

2)

3)

4)

5) , si L 0

6) , si M 0

7) , n entero positivo

8) , n para positivo

9)

FORMAS INDETERMINADAS

Son aquellas formas simblicas que resultan de evaluar una regla funcional para un valor del dominio, en el cual es no existe valor del recorrido de dicha funcin, lo cual es aplicable para calcular los lmites. Las siguientes formas son indeterminadas.

FORMAS DETERMINADASCuando su clculo puede ser posible directamente

TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

Qu es Clculo en Matemtica?

Realice un organizador grfico sobre la evolucin histrica del clculo.

Investigue en la biblioteca o en el internet sobre la biografa de Isaac Newtony realice un organizador grfico de la misma.

Investigue en la biblioteca o en el internet sobre la biografa de Gottfried Wilhelm Leibnizy realice un organizador grfico de la misma.

Calcule el lmite correspondiente de forma manual y empleando GeoGebra

1) 4Ingresar a GeoGebra

En Entrada escribir (x^2-2x-3)/(x-3)

Enter. Queda graficada la funcin f(x)

En Entrada escribir Lmite.

Escoger la opcin Lmite[ , ]

En escribir la funcin graficada, en este caso f(x). En escribir el valor al que tiende x en la funcin, en este caso 3

Enter. Queda calculado el lmite solicitado

2) 5/8

3) 10/6

4) 13/9

5) 1

6) 4/9

7) 1/2

8) 1/2

9) 1

10) -1/3

11) -3/2

12) -1/3

13) 3/4

14) 1/12

15) 3/2

16) 3

17) 13/12

18) 19/24

19) 3/4

20) -1/4

Ejercicios resueltos de la tarea los puede consultar en:http://www.monografias.com/trabajos97/limites-geogebra/limites-geogebra.shtml

LMITES AL INFINITO

TeoremaSea n un nmero entero positivo cualquiera entonces se cumple:

TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

Calcular los siguientes lmites en forma manual y empleando GeoGebra

1) 0

2) 0

3) 1/2

4) 1

5) 0

6) 0

7) 0

8) 1/2

9) 2/3

10) 2

11)

1

LMITES TRIGONOMTRICOS

Para l clculo de los lmites trigonomtricos es necesario establecer algunos criterios, los cuales se mencionan en el siguiente teorema:Teorema:

En la resolucin de los lmites trigonomtricos es importante recordar:

Relaciones trigonomtricas Por Cociente Pitagricas Inversas

Seno y coseno de la suma y diferencia de dos ngulos

Tangente de la suma y diferencia de dos ngulos

Funciones del ngulo doble

TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

Calcular el lmite correspondiente de forma manual y empleando GeoGebra

1)

7

2)

3

3) 1/2

4) 0

5)

0

6) 0

7) 2/7

8) 1/11

9)

0

10) 0

11)

9/16

Mgs. Mario Surez Lmites