Introducción a los límites con geogebra

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LÍMITES 1) 3 3 2 lim 2 3 x x x x Factorando lim →3 ( − 3)( + 1) −3 Simplificando lim →3 +1 1 Evaluando 3+1 1 =4 En GeoGebra se procede de la siguiente forma a) En Entrada escribir la función

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Limites

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Page 1: Introducción a los límites con geogebra

LÍMITES

1) 3

32lim

2

3

x

xx

x

Factorando

lim𝑥→3

(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)

𝑥 − 3

Simplificando

lim𝑥→3

𝑥 + 1

1

Evaluando

3 + 1

1= 4

En GeoGebra se procede de la siguiente forma

a) En Entrada escribir la función

Page 2: Introducción a los límites con geogebra

b) Enter

c) En Entrada, escribir las primeras letras de límite, se despliega algunas opciones.

Page 3: Introducción a los límites con geogebra

d) Escoger la opción

e) En Función, escribir f(x). En Valor numérico escribir 3

Page 4: Introducción a los límites con geogebra

f) Enter

g) Clic derecho en a=4 (el cual representa el límite de la función cuando x tiende a 3)

Page 5: Introducción a los límites con geogebra

h) Clic en Propiedades de Objeto

i) En Nombre, escribir límite

Page 6: Introducción a los límites con geogebra

j) Clic en Cerrar ventana de Preferencias

2) xx

xxx

x 9

214lim

3

23

3

Factorando, simplificando y evaluando.

lim𝑥→3

𝑥(𝑥2 + 4𝑥 − 21)

𝑥(𝑥2 − 9)= lim

𝑥→3

𝑥(𝑥 + 7)(𝑥 − 3)

𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)= lim

𝑥→3

(𝑥 + 7)

(𝑥 + 3)=3 + 7

3 + 3=10

6=5

3= 1,67

Page 7: Introducción a los límites con geogebra

3) 122072

128lim

234

23

2

xxxx

xxx

x

Factorando

1 -2 -7 20 -12 1 ±1,±2,±3,±4,±6,±12

1 -1 -8 12

1 -1 -8 12 0

(𝑥 − 1)(𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12)

Remplazando valores, simplificando y evaluando.

lim𝑥→2

𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12

(𝑥 − 1)(𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12)= lim

𝑥→2

1

𝑥 − 1=

1

2 − 1=1

1= 1

Page 8: Introducción a los límites con geogebra

4) 1

23lim

2

1

x

x

x

Multiplicando por la conjugada

lim𝑥→1

√𝑥2 + 3 − 2

𝑥 − 1∙√𝑥2 + 3 + 2

√𝑥2 + 3 + 2= lim

𝑥→1

𝑥2 + 3 − 4

(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)

Factorando

lim𝑥→1

𝑥2 − 1

(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)= lim

𝑥→1

(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)

Simplificando y evaluando

lim𝑥→1

(𝑥 + 1)

(√𝑥2 + 3 + 2)=

1 + 1

√12 + 3 + 2=

2

√4 + 2=

2

2 + 2=2

4=1

2= 0,5

5)x

xx

x

11lim

0

Multiplicando por la conjugada

lim𝑥→0

√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥

𝑥= lim

𝑥→0

√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥

𝑥∙√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥

√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥

Realizando las operaciones

lim𝑥→0

1 + 𝑥 − (1 − 𝑥)

𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)= lim

𝑥→0

1 + 𝑥 − 1 + 𝑥

𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)= lim

𝑥→0

2𝑥

𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)

Page 9: Introducción a los límites con geogebra

lim𝑥→0

2

(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)=

2

(√1 + 0 + √1 − 0)=

2

√1 + √1=

2

1 + 1=2

2= 1

6) 741

63lim

2

x

x

x

lim𝑥→2

3𝑥 − 6

1 − √4𝑥 − 7= lim

𝑥→2

3𝑥 − 6

1 − √4𝑥 − 7∙1 + √4𝑥 − 7

1 + √4𝑥 − 7= lim

𝑥→2

(3𝑥 − 6)(1 + √4𝑥 − 7)

1 − (4𝑥 − 7)

lim𝑥→2

3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)

1 − 4𝑥 + 7= lim

𝑥→2

3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)

8 − 4𝑥

lim𝑥→2

3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)

−4(𝑥 − 2)= lim

𝑥→2

3(1 + √4𝑥 − 7)

−4=3(1 + √4 ∙ 2 − 7)

−4=3(1 + √1)

−4

6

−4= −

3

2

Page 10: Introducción a los límites con geogebra

7) 123

2lim

4

x

x

x

lim𝑥→4

2 − √𝑥

3 − √2𝑥 + 1= lim

𝑥→4

2 − √𝑥

3 − √2𝑥 + 1∙2 + √𝑥

2 + √𝑥∙3 + √2𝑥 + 1

3 + √2𝑥 + 1

lim𝑥→4

(4 − 𝑥)(3 + √2𝑥 + 1)

(2 + √𝑥)(9 − 2𝑥 − 1)= lim

𝑥→4

(4 − 𝑥)(3 + √2𝑥 + 1)

(2 + √𝑥)2(4 − 𝑥)= lim

𝑥→4

(3 + √2𝑥 + 1)

2(2 + √𝑥)

(3 + √2 ∙ 4 + 1)

2(2 + √𝑥)=

3 + √9

2(2 + √4)=

3 + 3

2(2 + 2)=

6

2(4)=3

4= 0,75

Page 11: Introducción a los límites con geogebra

8) 11

11lim

30

x

x

x

Multiplicando por la conjugada

lim𝑥→0

√1 + 𝑥 − 1

√1 + 𝑥3

− 1∙(√1 + 𝑥3

)2+ √1 + 𝑥

3∙ 1 + 12

(√1 + 𝑥3

)2+ √1 + 𝑥

3∙ 1 + 12

∙√1 + 𝑥 + 1

√1 + 𝑥 + 1

lim𝑥→0

(1 + 𝑥 − 1) ((√1 + 𝑥3

)2+ √1 + 𝑥

3+ 1)

(1 + 𝑥 − 1)(√1 + 𝑥 + 1)

lim𝑥→0

(√1 + 𝑥3

)2+ √1 + 𝑥

3+ 1

√1 + 𝑥 + 1=(√1 + 03

)2+ √1 + 0

3+ 1

√1 + 0 + 1

(√13

)2+ √1

3+ 1

√1 + 1=1 + 1 + 1

1 + 1=3

2= 1,5

Page 12: Introducción a los límites con geogebra

9) 1

3lim

34

1

x

xxx

x

Cambiando la variable

𝑥 = 𝑎12

𝑎𝑚𝑛 = √𝑎𝑚

𝑛

813 = √81

3= 2

lim𝑎12→1

√𝑎124

+ √𝑎123

+ √𝑎122

− 3

𝑎12 − 1= lim

𝑎12→1

𝑎124 + 𝑎

123 + 𝑎

122 − 3

𝑎12 − 1

Factorando

lim𝑎12→1

𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎6 − 3

𝑎12 − 1= lim

𝑎12→1

𝑎6 + 𝑎4 + 𝑎3 − 3

𝑎12 − 1

1 0 1 1 0 0 -3 1 ±1,±3

1 1 2 3 3 3

1 1 2 3 3 3 0 (𝑎 − 1)(𝑎5 + 𝑎4 + 2𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎 + 3)

𝑎12 − 1 = (𝑎6 + 1)(𝑎6 − 1) = (𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)(𝑎3 + 1)(𝑎3 − 1) 𝑎12 − 1 = (𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)(𝑎 + 1)(𝑎2 − 𝑎 + 1)(𝑎 − 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1)

Remplazando

lim𝑎12→1

(𝑎 − 1)(𝑎5 + 𝑎4 + 2𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎 + 3)

(𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)(𝑎 + 1)(𝑎2 − 𝑎 + 1)(𝑎 − 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1)

Simplificando

lim𝑎12→1

𝑎5 + 𝑎4 + 2𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎 + 3

(𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)(𝑎 + 1)(𝑎2 − 𝑎 + 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1)

Remplazando

𝑎12 = 1

√𝑎1212

= √1212

⇒ 𝑎 = 1

15 + 14 + 2 ∙ 13 + 3 ∙ 12 + 3 ∙ 1 + 3

(12 + 1)(14 − 12 + 1)(1 + 1)(12 − 1 + 1)(12 + 1 + 1)

=1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 3

(1 + 1)(1 − 1 + 1)(1 + 1)(1 − 1 + 1)(1 + 1 + 1)=

13

(2)(1)(2)(1)(3)=13

12= 1,08

Page 13: Introducción a los límites con geogebra

10) 1

1523lim

1

x

xxx

x

Evaluando y restando la evaluación

lim𝑥→1

√𝑥 + √3𝑥 − 2 − √5𝑥 − 1

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

(√𝑥 − 1) + (√3𝑥 − 2 − 1) − (√5𝑥 − 1 − 2)

𝑥 − 1

Distribuyendo

lim𝑥→1

(√𝑥 − 1)

𝑥 − 1+ lim

𝑥→1

(√3𝑥 − 2 − 1)

𝑥 − 1− lim

𝑥→1

(√5𝑥 − 1 − 2)

𝑥 − 1

Resolviendo el primer límite

lim𝑥→1

(√𝑥 − 1)

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

√𝑥 − 1

𝑥 − 1∙√𝑥 + 1

√𝑥 + 1= lim

𝑥→1

𝑥 − 1

(𝑥 − 1)(√𝑥 + 1)= lim

𝑥→1

1

√𝑥 + 1=

1

√1 + 1

lim𝑥→1

(√𝑥 − 1)

𝑥 − 1=1

2

Resolviendo el segundo límite

lim𝑥→1

(√3𝑥 − 2 − 1)

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

√3𝑥 − 2 − 1

𝑥 − 1∙√3𝑥 − 2 + 1

√3𝑥 − 2 + 1= lim

𝑥→1

3𝑥 − 2 − 1

(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)

Page 14: Introducción a los límites con geogebra

lim𝑥→1

3𝑥 − 3

(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)= lim

𝑥→1

3(𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)= lim

𝑥→1

3

√3𝑥 − 2 + 1

3

√3 ∙ 1 − 2 + 1=

3

√1 + 1=3

2

Resolviendo el tercer límite

lim𝑥→1

(√5𝑥 − 1 − 2)

𝑥 − 1= lim

𝑥→1

√5𝑥 − 1 − 2

𝑥 − 1∙√5𝑥 − 1 + 2

√5𝑥 − 1 + 2= lim

𝑥→1

5𝑥 − 1 − 4

(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)

lim𝑥→1

5𝑥 − 5

(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)= lim

𝑥→1

5(𝑥 − 1)

(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)= lim

𝑥→1

5

√5𝑥 − 1 + 2

5

√5 ∙ 1 − 1 + 2=

5

√4 + 2=5

4

Sumando las tres respuestas

lim𝑥→1

(√𝑥 − 1)

𝑥 − 1+ lim

𝑥→1

(√3𝑥 − 2 − 1)

𝑥 − 1− lim

𝑥→1

(√5𝑥 − 1 − 2)

𝑥 − 1

1

2+3

2−5

4=2 + 6 − 5

4=3

4