Introducción a los límites con geogebra
-
Upload
mario-suarez -
Category
Education
-
view
54 -
download
0
description
Transcript of Introducción a los límites con geogebra
LÍMITES
1) 3
32lim
2
3
x
xx
x
Factorando
lim𝑥→3
(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
𝑥 − 3
Simplificando
lim𝑥→3
𝑥 + 1
1
Evaluando
3 + 1
1= 4
En GeoGebra se procede de la siguiente forma
a) En Entrada escribir la función
b) Enter
c) En Entrada, escribir las primeras letras de límite, se despliega algunas opciones.
d) Escoger la opción
e) En Función, escribir f(x). En Valor numérico escribir 3
f) Enter
g) Clic derecho en a=4 (el cual representa el límite de la función cuando x tiende a 3)
h) Clic en Propiedades de Objeto
i) En Nombre, escribir límite
j) Clic en Cerrar ventana de Preferencias
2) xx
xxx
x 9
214lim
3
23
3
Factorando, simplificando y evaluando.
lim𝑥→3
𝑥(𝑥2 + 4𝑥 − 21)
𝑥(𝑥2 − 9)= lim
𝑥→3
𝑥(𝑥 + 7)(𝑥 − 3)
𝑥(𝑥 + 3)(𝑥 − 3)= lim
𝑥→3
(𝑥 + 7)
(𝑥 + 3)=3 + 7
3 + 3=10
6=5
3= 1,67
3) 122072
128lim
234
23
2
xxxx
xxx
x
Factorando
1 -2 -7 20 -12 1 ±1,±2,±3,±4,±6,±12
1 -1 -8 12
1 -1 -8 12 0
(𝑥 − 1)(𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12)
Remplazando valores, simplificando y evaluando.
lim𝑥→2
𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12
(𝑥 − 1)(𝑥3 − 𝑥2 − 8𝑥 + 12)= lim
𝑥→2
1
𝑥 − 1=
1
2 − 1=1
1= 1
4) 1
23lim
2
1
x
x
x
Multiplicando por la conjugada
lim𝑥→1
√𝑥2 + 3 − 2
𝑥 − 1∙√𝑥2 + 3 + 2
√𝑥2 + 3 + 2= lim
𝑥→1
𝑥2 + 3 − 4
(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)
Factorando
lim𝑥→1
𝑥2 − 1
(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)= lim
𝑥→1
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(√𝑥2 + 3 + 2)
Simplificando y evaluando
lim𝑥→1
(𝑥 + 1)
(√𝑥2 + 3 + 2)=
1 + 1
√12 + 3 + 2=
2
√4 + 2=
2
2 + 2=2
4=1
2= 0,5
5)x
xx
x
11lim
0
Multiplicando por la conjugada
lim𝑥→0
√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥
𝑥= lim
𝑥→0
√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥
𝑥∙√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥
√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥
Realizando las operaciones
lim𝑥→0
1 + 𝑥 − (1 − 𝑥)
𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)= lim
𝑥→0
1 + 𝑥 − 1 + 𝑥
𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)= lim
𝑥→0
2𝑥
𝑥(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)
lim𝑥→0
2
(√1 + 𝑥 + √1 − 𝑥)=
2
(√1 + 0 + √1 − 0)=
2
√1 + √1=
2
1 + 1=2
2= 1
6) 741
63lim
2
x
x
x
lim𝑥→2
3𝑥 − 6
1 − √4𝑥 − 7= lim
𝑥→2
3𝑥 − 6
1 − √4𝑥 − 7∙1 + √4𝑥 − 7
1 + √4𝑥 − 7= lim
𝑥→2
(3𝑥 − 6)(1 + √4𝑥 − 7)
1 − (4𝑥 − 7)
lim𝑥→2
3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)
1 − 4𝑥 + 7= lim
𝑥→2
3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)
8 − 4𝑥
lim𝑥→2
3(𝑥 − 2)(1 + √4𝑥 − 7)
−4(𝑥 − 2)= lim
𝑥→2
3(1 + √4𝑥 − 7)
−4=3(1 + √4 ∙ 2 − 7)
−4=3(1 + √1)
−4
6
−4= −
3
2
7) 123
2lim
4
x
x
x
lim𝑥→4
2 − √𝑥
3 − √2𝑥 + 1= lim
𝑥→4
2 − √𝑥
3 − √2𝑥 + 1∙2 + √𝑥
2 + √𝑥∙3 + √2𝑥 + 1
3 + √2𝑥 + 1
lim𝑥→4
(4 − 𝑥)(3 + √2𝑥 + 1)
(2 + √𝑥)(9 − 2𝑥 − 1)= lim
𝑥→4
(4 − 𝑥)(3 + √2𝑥 + 1)
(2 + √𝑥)2(4 − 𝑥)= lim
𝑥→4
(3 + √2𝑥 + 1)
2(2 + √𝑥)
(3 + √2 ∙ 4 + 1)
2(2 + √𝑥)=
3 + √9
2(2 + √4)=
3 + 3
2(2 + 2)=
6
2(4)=3
4= 0,75
8) 11
11lim
30
x
x
x
Multiplicando por la conjugada
lim𝑥→0
√1 + 𝑥 − 1
√1 + 𝑥3
− 1∙(√1 + 𝑥3
)2+ √1 + 𝑥
3∙ 1 + 12
(√1 + 𝑥3
)2+ √1 + 𝑥
3∙ 1 + 12
∙√1 + 𝑥 + 1
√1 + 𝑥 + 1
lim𝑥→0
(1 + 𝑥 − 1) ((√1 + 𝑥3
)2+ √1 + 𝑥
3+ 1)
(1 + 𝑥 − 1)(√1 + 𝑥 + 1)
lim𝑥→0
(√1 + 𝑥3
)2+ √1 + 𝑥
3+ 1
√1 + 𝑥 + 1=(√1 + 03
)2+ √1 + 0
3+ 1
√1 + 0 + 1
(√13
)2+ √1
3+ 1
√1 + 1=1 + 1 + 1
1 + 1=3
2= 1,5
9) 1
3lim
34
1
x
xxx
x
Cambiando la variable
𝑥 = 𝑎12
𝑎𝑚𝑛 = √𝑎𝑚
𝑛
813 = √81
3= 2
lim𝑎12→1
√𝑎124
+ √𝑎123
+ √𝑎122
− 3
𝑎12 − 1= lim
𝑎12→1
𝑎124 + 𝑎
123 + 𝑎
122 − 3
𝑎12 − 1
Factorando
lim𝑎12→1
𝑎3 + 𝑎4 + 𝑎6 − 3
𝑎12 − 1= lim
𝑎12→1
𝑎6 + 𝑎4 + 𝑎3 − 3
𝑎12 − 1
1 0 1 1 0 0 -3 1 ±1,±3
1 1 2 3 3 3
1 1 2 3 3 3 0 (𝑎 − 1)(𝑎5 + 𝑎4 + 2𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎 + 3)
𝑎12 − 1 = (𝑎6 + 1)(𝑎6 − 1) = (𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)(𝑎3 + 1)(𝑎3 − 1) 𝑎12 − 1 = (𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)(𝑎 + 1)(𝑎2 − 𝑎 + 1)(𝑎 − 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1)
Remplazando
lim𝑎12→1
(𝑎 − 1)(𝑎5 + 𝑎4 + 2𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎 + 3)
(𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)(𝑎 + 1)(𝑎2 − 𝑎 + 1)(𝑎 − 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1)
Simplificando
lim𝑎12→1
𝑎5 + 𝑎4 + 2𝑎3 + 3𝑎2 + 3𝑎 + 3
(𝑎2 + 1)(𝑎4 − 𝑎2 + 1)(𝑎 + 1)(𝑎2 − 𝑎 + 1)(𝑎2 + 𝑎 + 1)
Remplazando
𝑎12 = 1
√𝑎1212
= √1212
⇒ 𝑎 = 1
15 + 14 + 2 ∙ 13 + 3 ∙ 12 + 3 ∙ 1 + 3
(12 + 1)(14 − 12 + 1)(1 + 1)(12 − 1 + 1)(12 + 1 + 1)
=1 + 1 + 2 + 3 + 3 + 3
(1 + 1)(1 − 1 + 1)(1 + 1)(1 − 1 + 1)(1 + 1 + 1)=
13
(2)(1)(2)(1)(3)=13
12= 1,08
10) 1
1523lim
1
x
xxx
x
Evaluando y restando la evaluación
lim𝑥→1
√𝑥 + √3𝑥 − 2 − √5𝑥 − 1
𝑥 − 1= lim
𝑥→1
(√𝑥 − 1) + (√3𝑥 − 2 − 1) − (√5𝑥 − 1 − 2)
𝑥 − 1
Distribuyendo
lim𝑥→1
(√𝑥 − 1)
𝑥 − 1+ lim
𝑥→1
(√3𝑥 − 2 − 1)
𝑥 − 1− lim
𝑥→1
(√5𝑥 − 1 − 2)
𝑥 − 1
Resolviendo el primer límite
lim𝑥→1
(√𝑥 − 1)
𝑥 − 1= lim
𝑥→1
√𝑥 − 1
𝑥 − 1∙√𝑥 + 1
√𝑥 + 1= lim
𝑥→1
𝑥 − 1
(𝑥 − 1)(√𝑥 + 1)= lim
𝑥→1
1
√𝑥 + 1=
1
√1 + 1
lim𝑥→1
(√𝑥 − 1)
𝑥 − 1=1
2
Resolviendo el segundo límite
lim𝑥→1
(√3𝑥 − 2 − 1)
𝑥 − 1= lim
𝑥→1
√3𝑥 − 2 − 1
𝑥 − 1∙√3𝑥 − 2 + 1
√3𝑥 − 2 + 1= lim
𝑥→1
3𝑥 − 2 − 1
(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)
lim𝑥→1
3𝑥 − 3
(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)= lim
𝑥→1
3(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(√3𝑥 − 2 + 1)= lim
𝑥→1
3
√3𝑥 − 2 + 1
3
√3 ∙ 1 − 2 + 1=
3
√1 + 1=3
2
Resolviendo el tercer límite
lim𝑥→1
(√5𝑥 − 1 − 2)
𝑥 − 1= lim
𝑥→1
√5𝑥 − 1 − 2
𝑥 − 1∙√5𝑥 − 1 + 2
√5𝑥 − 1 + 2= lim
𝑥→1
5𝑥 − 1 − 4
(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)
lim𝑥→1
5𝑥 − 5
(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)= lim
𝑥→1
5(𝑥 − 1)
(𝑥 − 1)(√5𝑥 − 1 + 2)= lim
𝑥→1
5
√5𝑥 − 1 + 2
5
√5 ∙ 1 − 1 + 2=
5
√4 + 2=5
4
Sumando las tres respuestas
lim𝑥→1
(√𝑥 − 1)
𝑥 − 1+ lim
𝑥→1
(√3𝑥 − 2 − 1)
𝑥 − 1− lim
𝑥→1
(√5𝑥 − 1 − 2)
𝑥 − 1
1
2+3
2−5
4=2 + 6 − 5
4=3
4